大学物理能量和动量

o
t
讨论潜艇 运动情况
t 0 v 0, t v dv , dt
t
v
vm ax
mg F kA
恒量
极限速率（收尾速率）
类似处理：跳伞运动员下落，
有阻力的抛体运动
小球在粘滞流体中下落…...
练习: 物体在粘性流体中运动时会受到流体的阻力作
用成。正实比验 ，证 方明 向， 与当 速物度体方速向度相不反太，即大时f， 阻力v 与，速其度中大为小
冲量 I 是 F 对时间的累积效应，其效果在于改变物
体的动量。
14世纪末，中国明代有一位木匠叫万虎，在几个 徒弟的帮助下，造了一只“飞天椅”。万虎让人把它 绑在椅子上，并点着火箭。但不幸的是，火箭点完后， 他坠地身亡。
世界公认万虎是“真正的 航天始祖”，20世纪60年 代，国际天文学会将月球 上的一座环行山命名为 “万虎山”，以纪念这位 勇士。
开始时，下端与地面的距离为 h , 当链 条自由下落在地面上时
求 链条下落在地面上的长度为 l ( l<L )时，地面
所受链条的作用力？
解设
ml
l
ml L
链条在此时的速度
v 2g(l h)
Lm h
dm
根据动量定理
fdt 0 (vdt)v
地面受力
f vdtv v 2 2m(l h)g f '
隔离物体——明确研究对象
具体分析——研究对象的运动情况和受力情况 选定坐标——参考系、坐标系、正方向
建立方程——分量式
Fx
dpx dt
max
Fy
dp y dt
may
Fz
dpz dt
maz
Fτ
m
dv dt
maτ
Fn
m
v2 R
man
例. 一艘质量为m的潜水艇，全部浸没水中，并由静 止开始下沉。设浮力为F ，水的阻力f = kAv，式中A为 潜水艇水平投影面积，k为常数。求潜水艇下沉速度与 时间的关系。
0
TA
m( v2 R
g)
TB
Fra Baidu bibliotek
m( v2 R
g)
在最高点A时细绳不致松弛所需的条件为TA=0
由TA
m( v2 R
g)
0得
vA,min gR
三、动量定理 力对时间的累积效应
1. 质点的动量定理
微分形式
dp
F
dt
Fdt dp
令 dI Fdt
I
t2
Fdt
t1
— 力的元冲量
— 力的冲量
积分形式
I内
i 1
t2 t1
F内dt
0
质点系总动量的变化与内力 的冲量无关。
内力的冲量起什么作用？
改变质点系总动量在系内各质点间的分配。
牛顿第二定律反映了力的瞬时效应；而动量 定理则反映力对时间的累积效应，即加速度 与合外力对应，而动量变化与合外力的冲量 对应。
例 质量为 m 的匀质链条，全长为 L，
t 0.019s
微2分. 质形点式系：的动dd量pt 定F理外
积分形式：
I外
t2 t1
F外dt
p2
dp
p
p1
质点系动量的增量等于质点系所受外力矢量和的冲量。
分量式：
Ix
t2 t1
F外xdt
px
I y
t2 t1
F外ydt
py
Iz
t2 t1
F外zdt
pz
注意：
N
F内 Fi内 0
F2
F2外
F2内
dp2 dt
FN
FN外
FN内
dpN dt
将以上各式相加，并考虑到
N
F内 Fi内 0
得：
即
F1外
F2外
F外
iN1Fi外FN外ddpt
d dt
(
p1
i 1
p2
pN )
结论：质点系所受外力的矢量和等于质点系的总
动量的时间变化率。
牛顿定律的应用
ma F
dt dt d t
dt
(v c)
质点动量的时间变化率是质点所受的合力
牛顿第二定律的一般形式
F
dp
特例
F ma
v c
dt
2. 质点系动量的时间变化率
N个质量分别为m1, m2,, mN
动量分别为
p1,
p2
,,
pN
的质点组F成1 一F个1外质 点F1内系，dd各pt1质点所受的合力分别为
I
t2 Fdt
t1
p2 p1
dp
p2
p1
p
质点动量的增量等于质点所受合力的冲量
分量式：
Ix
t2 t1
Fxdt
px
I y
t2 t1
Fydt
p y
Fx
Iz
t2 t1
Fz dt
pz
冲量和平均冲力
I
t2
Fdt
Ft
t1
Fx
O t1
t2 t
Ix
t2
t1
Fxd
t
Fxt,
I y Fyt,
Iz Fzt
dt
L
F
f ' ml g
m (3l L
2h)g
例 一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块, 已知两木块的质量分别为 m1, m2 ，子弹穿过两木块的时间 各为 t1, t2 ，设子弹在木块中所受的阻力为恒力F
第二节 动量守恒定律
一、质点和质点系的动量
1. 质点的动量
p mv
质点机械运动的量度
2. 质点系的动量 N个质量分别为
m1,
m2
,,
mN
,动量分别为
p1
,
p2
,,
pN
的质点组成质点系，其总动量为
p
p1
m1v1
p2m2v 2 pN
mN
vN
mivi
i
二、动量的时间变化率 力
1.d质p 点 动d量mv的 时d间m变v化 率m dv
时细绳不致松弛所需的最低速率。
A
解：如图所示，小物体在任意位置
时受到两个力的作用：重力mg 细绳张力T
OR
T
按法向、切向分解，其牛顿运动
方程为：
T
mg cos
m
v2
(1)
R
m
B
mg
mg sin maτ
(2)
aτ g sin (3)
解上述方程得 T m( v2 g cos )
R
A点： B点：
常数，与流体性质有关。今有一质量为m的物体，在t =0
时以初速v0进入粘性流体，并设物体除受阻力外，未受 其它力作用。试求某一时刻 t 物体的速度大小。
答案：
t
v v0e m
v0 v
O
t
例.质量为m的小物体，在半径为R、一端固定于O点 的细绳拉动下在竖直面内作圆周运动。试求小物体位
于圆周最高点A和最低点B处时绳的张力，以及在A点
解：以潜艇为研究对象，受力如图,
在地球系中建立如图坐标
由牛顿第二定律：
mg F kAv m dv dt
v
mdv
t
dt
0 mg F kAv 0
FO f
c
mg +
m ln mg-F-kAv t
v
kA mg F
mg
F
kAv
kAt
em
vm
mg F
v
mg kA
F
1
kAt
em
例 一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落，到达地面后，以同样 速率反弹，接触时间仅0.019s.
求 对地平均冲力? 解 篮球到达地面的速率
v 2gh 2 9.8 2 6.3 m/s
F F(max)
对地平均冲力
F
F 2mv 2 0.58 6.3 3.8102 N
t
0.019
O
相当于 40kg 重物所受重力!