~机械优化设计复习题及答案

机械优化设计复习题

一.单项选择题

1．一个多元函数()

F X在X* 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（）

A．()*0

F X

?= B. ()*0

F X

?=,()*

H X为正定

C．()*0

H X= D. ()*0

F X

?=,()*

H X为负定

2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n维问题来说，复合形的顶点数K 应（）

A．1

K n

≤+ B. 2

K n

≥ C. 12

n K n

+≤≤ D. 21

n K n

≤≤-

3．目标函数F（x）=4x2

1+5x2

2

，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x

1

+3x

2

-6=0,

则目标函数的极小值为（）

A．1 B． 19.05 C．0.25 D．0.1

4.对于目标函数F(X)=ax+b受约束于g(X)=c+x≤0的最优化设计问题，用外点罚函

数法求解时，其惩罚函数表达式Φ(X,M(k))为( )。

A. ax+b+M(k){min［0,c+x］}2，M(k)为递增正数序列

B. ax+b+M(k){min［0,c+x］}2，M(k)为递减正数序列

C. ax+b+M(k){max［c+x,0］}2，M(k)为递增正数序列hn

D. ax+b+M(k){max［c+x,0］}2，M(k)为递减正数序列

1.B

2.C

3.B

4.B

5.A

6.B

7.D

8.B

9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D

17.D 18.A

0.186 C

6.F(X)在区间［x

1,x

3

］上为单峰函数，x

2

为区间中一点，x

4

为利用二次插值法公式

求得的近似极值点。如x 4-x 2>0,且F(x 4)>F(x 2)，那么为求F(X)的极小值，x 4点在下一次搜索区间内将作为( )。 A.x 1 B.x 3 C.x 2

D.x 4

7.已知二元二次型函数F(X)=AX X 2

1T ，其中A=??

?

?

??4221，则该二次型是( )的。 A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 8.内点罚函数法的罚因子为（ ）。

A.递增负数序列

B.递减正数序列

C.递增正数序列

D.递减负数序列

9.多元函数F(X)在点X *附近的偏导数连续，?F(X *)=0且H(X *

)正定，

则该点为F(X)的（ ）。 A.极小值点 B.极大值点 C.鞍点 D.不连续点

10.F(X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（ ）。

A.凸函数

B.凹函数

C.严格凸函数

D.严格凹函数

1.B

2.C

3.B

4.B

5.A

6.B

7.D

8.B

9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A

11.在单峰搜索区间[x 1 x 3] (x 1x 4,并且其函数值F （x 4）

A. n 次

B. 2n 次

C. n+1次

D. 2次 13.在下列特性中，梯度法不具有的是（ ）。

A.二次收剑性

B.要计算一阶偏导数

C.对初始点的要求不高

D.只利用目标函数的一阶偏导数值构成搜索方向 14.外点罚函数法的罚因子为（ ）。

A.递增负数序列

B.递减正数序列

C.递增正数序列

D.递减负数序列 15.内点惩罚函数法的特点是（ ）。

A ．能处理等式约束问题 B.初始点必须在可行域中

C.初始点可以在可行域外

D.后面产生的迭代点序列可以在可行域外 16.约束极值点的库恩—塔克条件为?F(X)=)X (g i q

1i i ?λ-∑=，当约束条件g i (X)≤

0(i=1,2,…,m)和λi ≥0时，则q 应为 ( )。

A.等式约束数目；

B.不等式约束数目；

C.起作用的等式约束数目

D.起作用的不等式约束数目

17 已知函数F(X)=-1222121

x 2x x x 2x 2+-+，判断其驻点(1，1)是( )。

A.最小点

B.极小点

C.极大点

D.不可确定

18．对于极小化F(X)，而受限于约束g μ(X)≤0(μ=1,2,…,m)的优化问题，其内

点罚函数表达式为（ ） A. Ф(X, r (k)

)=F(X)-r

(k)

11/()

g

X u u m

=∑ B. Ф(X, r (k))=F(X)+r

(k)

11/()

g

X u u m

=∑

C. Ф(X, r (k))=F(X)-r

(k)

max[,()]

01

g

X u u m

=∑ D. Ф(X, r (k))=F(X)-r

(k)

min[,()]

01

g

X u u m

=∑

19. 在无约束优化方法中，只利用目标函数值构成的搜索方法是( )

A. 梯度法

B. Powell 法

C. 共轭梯度法

D. 变尺度法 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D

17.D 18.A

20. 利用0.618法在搜索区间［a,b ］内确定两点a 1=0.382,b 1=0.618，由此可知区

间［a,b ］的值是( )

A. ［0,0.382］

B. ［0.382,1］

C. ［0.618,1］

D. ［0,1］ 21. 已知函数F(X)=x 12+x 22-3x 1x 2+x 1-2x 2+1，则其Hessian 矩阵是( ) A. ????

??--2332 B. ??????2332 C. ??????2112 D. ??

?

???--3223 22. 对于求minF(X)受约束于g i (x)≤0(i=1,2,…,m)的约束优化设计问题，当取λ

i

≥0时，则约束极值点的库恩—塔克条件为( )

A. ?F(X)=∑=?λm

1

i i i (X)g ,其中λi 为拉格朗日乘子

B. -?F (X)= ∑=?λm

1

i i i (X)g ,其中λi 为拉格朗日乘子

C. ?F(X)= ∑=?λq

1

i i i (X)g ,其中λi 为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处的约束面数

D. -?F(X)= ∑=?λq

1

i i i (X)g ,其中λi 为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处的约束面数

23. 在共轭梯度法中，新构造的共轭方向S (k+1)为( ) A. S (k+1)= ?F(X (k+1))+β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 B. S (k+1)=?F(X (k+1))－β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 C. S (k+1)=-?F(X (k+1))+β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 D. S (k+1)=-?F(X (k+1))－β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数

24. 用内点罚函数法求目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c-x ≥0的约束优化设计问题，其惩罚函数表达式为( ) A. ax+b-r (k)

x

-c 1，r (k)为递增正数序列

B. ax+b-r

(k)

x

-c 1，r (k)

为递减正数序列 C. ax+b+ r (k)x

-c 1，r (k)为递增正数序列

D. ax+b+r

(k)

x

-c 1，r (k)

为递减正数序列

25. 已知F(X)=x 1x 2+2x 22

+4,则F(X)在点X (0)

=?

??

???-11的最大变化率为( ) A. 10 B. 4 C. 2 D.

10

26.在复合形法中，若映射系数α已被减缩到小于一个预先给定的正数δ仍不能使映射点可行或优于坏点，则可用（ ） A.好点代替坏点 B.次坏点代替坏点 C.映射点代替坏点 D.形心点代替坏点

1.B

2.C

3.B

4.B

5.A

6.B

7.D

8.B

9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A

27. 优化设计的维数是指( )

A. 设计变量的个数

B. 可选优化方法数

C. 所提目标函数数

D. 所提约束条件数

28.在matlab 软件使用中，如已知x=0:10，则x 有______个元素。

A. 10

B. 11

C. 9

D. 12

29.如果目标函数的导数求解困难时，适宜选择的优化方法是（ ）。

A. 梯度法

B. Powell 法

C. 共轭梯度法

D. 变尺度法 30.在0.618法迭代运算的过程中，迭代区间不断缩小，其区间缩小率在迭代的过程中（ ）。

A ．逐步变小

B 不变

C 逐步变大

D 不确定

二 填空

1.在一般的非线性规划问题中，kuhn-tucker 点虽是约束的极值点，但 是全域的

最优点。

2.判断是否终止迭代的准则通常有 . 和 三种形式。

3.当有两个设计变量时，目标函数与设计变量关系是 中一个曲面。

4.函数在不同的点的最大变化率是 。

5.函数()22

12144f x x x x =+-+，在点()[]132T

X = 处的梯度为 。

6.优化计算所采用的基本的迭代公式为 。 7．多元函数F （x ）在点x *

处的梯度▽F （x *

）＝0是极值存在的 条件。

8．函数F （x ）=3x 21+x 22-2x 1x 2+2在点（1，0）处的梯度为 。 9．阻尼牛顿法的构造的迭代格式为 。 10．用二次插值法缩小区间时，如果p x x <2，p f f >2，则新的区间（a,b ）应取作 ，

用以判断是否达到计算精度的准则是 。

11.外点惩罚函数法的极小点是从可行域之 向最优点逼近，内点惩罚函数法的极小点是从可行域之 向最优点逼近。

12．罚函数法中能处理等式约束和不等式约束的方法是 罚函数法。 13.Powell 法是以 方向作为搜索方向。

14.当有n 个设计变量时，目标函数与n 个设计变量间呈 维空间超曲面关系。

1．不 2。距离.目标函数改变量.梯度 3。三维空间 4。不同的 5。[]T 42 6．k k k k d x x α+=+1 7。必要条件 8。][T 2

6- 9。()[]()k k k k x f x f x ??--12α

10．[]b x 2 ,ε<-a b ? 11.外.内 12.。混合 13.。逐次构造共轭 14.。n+1

三 问答题

1. 变尺度法的基本思想是什么？

2. 梯度法的基本原理和特点是什么？

3．什么是库恩－塔克条件？其几何意义是什么？

4. 在内点罚函数法中，初始罚因子的大小对优化计算过程有何影响?

5. 选择优化方法一般需要考虑哪些因素?

6. 满足什么条件的方向是可行方向？满足什么条件的方向是下降方向？作图表示。

7. 简述传统的设计方法与优化设计方法的关系。 8. 简述对优化设计数学模型进行尺度变换有何作用。 9. 分析比较牛顿法.阻尼牛顿法和共轭梯度法的特点

10．为什么选择共轭方向作为搜索方向可以取得良好的效果？

11．多目标问题的解与单目标问题的解有何不同？如何将多目标问题转化为单目

标问题求解？

12.黄金分割法缩小区间时的选点原则是什么？为何要这样选点？

四.计算题

1.用外点法求解此数学模型

2 将()22

121212262233f x x x x x x x =+++++写成标准二次函数矩阵的形式。

3 用外点法求解此数学模型 ：()()()12

211221min ..00

f X x x s t

g X x x g X x =+=-≤=-≤

4 求出()221122262420f x x x x x =-+-+的极值及极值点。

5 用外点法求解此数学模型 ：()()()()3

1211221min 13

..100

f X x x s t

g X x g X x =++=-+≤=≥

6．用内点法求下列问题的最优解：

（提示：可构造惩罚函数 []∑=-=2

1

)(ln )(),(u u x g r x f r x φ，然后用解析法求解。）。

7.设已知在二维空间中的点[]T x x x 21

=，并已知该点的适时约束的梯度

[]T g 11

--=?，目标函数的梯度[]T f 15

.0-=?，试用简化方法确定一个适

用的可行方向。

8. 用梯度法求下列无约束优化问题：Min F(X)=x 12+4x 22，设初始点取为X (0)=[2

2]T ，以梯度模为终止迭代准则，其收敛精度为5。

9. 对边长为3m 的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水

槽，问如何剪法使水槽的容积最大？建立该问题的优化设计的数学模型。 10. 已知约束优化问题： 试以[][][]T T T x x x 33

,14

,12

30

201===为复合形的初始顶点，用复合形法进

行一次迭代计算。

机械优化设计综合复习题参考答案

一.单项选择题

1.B

2.C

3.B

4.B

5.A

6.B

7.D

8.B

9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 二 填空

1．不 2。距离.目标函数改变量.梯度 3。三维空间 4。不同的 5。[]T 42 6．k k k k d x x α+=+1 7。必要条件 8。][T 2

6- 9。()[]()k k k k x f x f x ??--12α

10．[]b x 2 ,ε<-a b ? 11.外.内 12.。混合 13.。逐次构造共轭 14.。n+1 三 问答题

1.变尺度法的基本思想是：通过变量的尺度变换把函数的偏心程度降低到最低限度，显着地改进极小化方法的收敛性质。

2．梯度法的基本原理是搜索沿负梯度方向进行，其特点是搜索路线呈“之”字型的锯齿路线，从全局寻优过程看速度并不快。

3．库恩-塔克条件是判断具有不等式约束多元函数的极值条件。

库恩—塔克条件的几何意义是: 在约束极小值点*X 处，函数()x F 的负梯度一定能表示成所有起使用约束在该点梯度（法向量）的非负线性组合。

4．初始罚因子0r ，一般来说0r 太大将增加迭代次数，0r 太小会使惩罚函数的性态变坏，甚至难以收敛到极值点。

5．选择优化方法一般要考虑数学模型的特点，例如优化问题规模的大小，目标函数和约束函数的性态以及计算精度等。在比较各种可供选用的优化方法时，需要考虑的一个重要因素是计算效率。 6．可行条件应满足第二式： 7.下降条件应满足第一式：

搜索方向应与起作用的约束函数在k x 点的梯度及目标函数的梯度夹角大于或等于900。

8．数学模型的尺度变换是一种改善数学模型性态，使之易于求解的技巧。一般可以加速优化设计的收敛，提高计算过程的稳定性。 9．牛顿法的迭代关系式为：

阻尼牛顿法的迭代关系式为： 共轭梯度法的迭代关系式为：

牛顿法适合二次型问题，阻尼牛顿法有防止目标函数值上升的阻尼因子，适合非二次型问题，两者均需计算海森矩阵及其逆矩阵，计算量大。共轭梯度法用梯度构造共轭方向，仅需梯度计算且具有共轭性质，收敛速度快，不必计算海森

121[()]()(0,1,2,)

k k k

k f f

k +-=-??=L x x x x

矩阵，使用更加方便。

10．根据共轭方向的性质：从任意初始点出发顺次沿n 个G 的共轭方向进行一维搜索，最多经过n 次迭代就可找到二次函数的极小点，具有二次收敛性。 11．单目标问题的解一般是唯一理想解，多目标的解一般是相对理想解。多目标问题转成单目标问题的常用方法有：主要目标法.线性加权法.理想点法.平方和加权法.分目标乘除法.功率系数法和极大极小法。

12．选点原则是插入点应按0.618分割区间。因为这样选点可以保持两次迭代区间的相同比例分布，具有相同的缩短率。 四.计算题

1．提示：先转化为惩罚函数形式 答案1=x 2．二次函数的矩阵标准形式为

C x B Gx x T T

++2

1 答案为?????

??

?

???

?????122

2421T x x +[]32x +3 3．参考第六章复习题提示 结果为][T x 00=

4. 用梯度计算极值点 答案为][T 1

5.1

5. 先构造外点罚函数 答案为][T 01-

6. 先构造内点罚函数 答案为][T 3

1

7. 用图解法，先画出约束函数梯度及目标函数梯度，做两者的垂线，与两梯度夹角均大于900的任意方向均可。

8. 以负梯度为搜索方向进行迭代计算 答案为[]T 00

9. 设剪掉的正方形边长为1x

数学模型为 Min []12)

23()(x x x F -=

10. 提示 先算三点的目标函数值并排序，将最差点沿其余点中心进行反射，计算反射点函数值并判断可行性。 答案为][T 5

.31