(完整版)2019高考数学专题等差等比数列含答案解析.docx

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培优点十 等差、等比数列

1．等差数列的性质 例 1：已知数列 a n ， b n 为等差数列，若 a 1 b 1 7 ， a 3 b 3 21 ，则 a 5 b 5 _______

【答案】 35

【解析】 ∵ a n ， b n 为等差数列，∴ a n b n 也为等差数列，

∴ 2 a 3

b 3

a 1

b 1

a 5

b 5 ，∴ a 5 b 5 2 a 3

b 3

a 1

b 1

35 ．

2．等比数列的性质

例 2：已知数列 a n 为等比数列，若 a 4 a 6

10 ，则 a 7 a 1 2a 3

a 3a 9 的值为（

）

A ． 10

B ． 20

C ． 100

D ． 200

【答案】 C

【解析】 与条件 a 4 a 6 10 联系，可将所求表达式向

a 4 ， a 6 靠拢，

从而 a 7 a 1 2a 3

a 3a 9 a 7 a 1 2a 7 a 3 a 3a 9

a 42 2a 4a 6

a 62

a 4

2

a 6 ，

即所求表达式的值为 100 ．故选 C ．

3．等差、等比综合

例 3：设 a n 是等差数列， b n 为等比数列， 其公比 q 1 ，且 b i 0 i 1,2,3,L , n ，若 a 1 b 1 ，

a 11b

11

，

则有（ ）

A ． a 6 b 6

B ． a 6 b 6

C ． a 6 b 6

D ． a 6 b 6 或 a 6 b 6

【答案】 B

【解析】 抓住 a 1 ， a 11 和 b 1 ， b 11 的序数和与 a 6 ， b 6 的关系，从而以此为入手点．

由等差数列性质出发， a 1 b 1 ， a 11 b 11 a 1

a

11

b 1 b 11 ，

因为 a 1 a 11

2a 6 ，而 b n 为等比数列，联想到 b 1 b 11 与 b 6 有关，

所以利用均值不等式可得：

b 1 b 11 2

b 1 b

11

2 b 62

2b 6 ；

（ q 1 故b1b11，均值不等式等号不成立）

所以 a1 a11b1 b11 2a6 2b6．即 a6 b6．故选 B．

对点增分集训

一、单选题

1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，

斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少

斤．”（）

A．6 斤B．7斤C．8 斤D．9 斤

【答案】 D

【解析】原问题等价于等差数列中，已知a1 4 ， a5 2 ，求 a2a3a4的值．

由等差数列的性质可知：a2a4a1

a1a5

3 ，a5 6 ， a32

则 a2 a3a49 ，即中间三尺共重9 斤．故选 D．

2．设 S n为等差数列 { a n } 的前n项和，若 S540， S9126 ，则 S7（）A． 66B． 68C． 77D． 84【答案】 C

S55a340， S99a5126a38

【解析】根据等差数列的求和公式，化简得

a5

，14

根据等差数列通项公式得a12d8

，解方程组得

a12

a14d14

，

d3

S7 7a47 a13d72 3 377 ．故选 C．

3．已知等比数列a n的前 n 项和为S n，且满足2S n2n1，则的值为（）A． 4B． 2C．2D．4

【答案】 C

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【解析】 根据题意，当 n

1时， 2S 1 2a 1 4

，故当 n 2 时， a n S n S n 1

2n 1 ，

∵数列 a n 是等比数列，则 a 1

1，故

4

1 ；解得

2 ．故选 C ．

2

4．已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 5 a 7

14 ，则 S 11 （

）

A ． 140

B ． 70

C ． 154

D ． 77

【答案】 D

【解析】 等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 5 a 7 14 ，

∴ S 11

a 1 a 11

11 a 5 a 7

11

14 77 ．故选 D ．

2

2

11

2

5．已知数列 a n 是公比为 q 的等比数列， 且 a 1 ，a 3 ，a 2 成等差数列， 则公比 q 的值为（ ）

A ． 1

B ． 2

C ．1 或

1

D ． 1或

1

2 2

2

【答案】 C

【解析】 由题意知： 2a 3 a 1 a 2 ，∴ 2a 1 q 2 a 1 q a 1 ，即 2q 2

q 1 ，

∴ q 1 或 q

1

．故选 C ．

2

6．公比不为 1 的等比数列

a n 的前 n 项和为 S n ，且 2a 1 ， 1

a 2 ， a 3 成等差数列， 若 a 1 1 ，

2

则 S 4 （

）

A ． 5

B ． 0

C ． 5

D ． 7

【答案】 A

【解析】 设 a n 的公比为 q ，由 2a 1 ，

1

a 2 ， a 3 成等差数列，可得

a 2

2a 1 a 3 ，

2

若 a 1 1 ，可得 q

2 q 2

，解得 q

21舍去，

a 1 1 q 4

1 2 4

则 S 4

5 ，故选 A ．

1

q

1

2

7 ．等比数列 a n 的各项均为正数，且

a 5 a 6 a 4 a 7 18 ，则 log 3 a 1

log 3 a 2 L

log 3 a 10

（ ）

A ． 12

B ． 10

C ． 8

D ． 2 log 3 5

【答案】 B

【解析】 由等比数列的性质结合题意可知：

a 5a 6 a 4a 7 9 ，