两角和与差、二倍角的三角函数公式练习题

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三角函数两角和与两角差倍角公式

三角函数训练-两角和与两角差1.若sin532=θ，542cos -=θ则θ在（） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限Ｄ.第四象限 2.cos2125π＋cos 212π＋cos 125πcos 12π的值等于 ( ) A.26 B.23 C.45 Ｄ.1+433.已知π＜α＜23π，且sin （23π＋α）＝54，则tan 2α等于 ( ) A.3 B.2 C.－2 Ｄ.－34.若tan θ＋cot θ＝ｍ，则sin2θ等于 ( ) A.m 1 B.m 2 C.2ｍＤ.21m5.下列关系式中不正确．．．的是 ( ) A.sin α＋sin β＝2sin2βα+cos2βα-B.sin α－sin β＝2cos 2βα+cos 2βα-C.cos α＋cos β＝2cos 2βα+cos 2βα-Ｄ.cos α－cos β＝2sin 2βα+sin 2αβ-6.如果tan 312=α，那么cos α的值是 ( )A.53B.54C.－53 Ｄ.－547.化简)4sin()4cos()4sin()4cos(x x x x ++++-+ππππ的值是 ( ) A.tan 2xB.tan2xC.－tan x Ｄ.cot x8.若sin α＝135，α在第二象限，则tan 2α的值为 ( )A.5B.－5C.51 Ｄ.－51三角函数训练-两角和与两角差1.设5π＜θ＜6π，cos2θ＝a ，则sin 4θ等于 ( ) A.－21a + B.－21a- C.－21a + Ｄ.－21a - 2.若tannmA =2，则ｍcos A －ｎsin A 等于 ( ) A.ｎ B.－ｎ C.－ｍＤ.ｍ3.若tan α＝－2且sin α＜0，则cos α＝ .4.tan5π＋tan 52π＋tan 53π＋tan 54π＝ .5.已知sin θ＝－53，3π＜θ＜27π，则tan 2θ＝ .6.已知sin α＝31，2π＜α＜3π，那么sin 2α＋cos 2α＝ .7.cos 85πcos 8π＝ .8.sin （θ＋75°）＋cos （θ＋45°）－3cos （θ＋15°）＝ . 9.已知π＜θ＜23π，cos θ＝－54，则cos 2θ＝ . 10.tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝ . 11.若cos （α＋β）＝54，cos （α－β）＝－54，且2π＜α－β＜π，23π＜α＋β＜2π，则cos2α＝，cos2β＝ .12.求2sin160°－cos170°－tan160°sin170°的值.13.已知sin （x －43π）cos （x －4π）＝－41，求cos4x 的值. 14.求证tan xx x x x 2cos cos sin 22tan 23+=- 15.若函数ｙ＝x 2－4px －2的图象过点(tan α，1)，及点(tan β，1).求2cos2αcos2β＋p sin2（α＋β）＋2sin 2（α－β）的值.三角函数训练- 两倍角公式1．如果,532cos =θ那么θθ44cos sin +的值是（） A ．251 B.1 C.2517 D.2517-2．若,135)4cos(=+A π求sin2A 的值. 3．求证：αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=.4．已知,31)sin()sin(=-+βαβα求证：αβα422cos sin 2sin 41++为定值.5．已知α、)2,0(πβ∈，且,02sin 22sin 3,1sin 2sin 322=-=+βαβα求证：,22πβα=+并求αsin 、βsin 、αcos 、βcos 的值.6．若,cos sin ,cos sin ,40b a =+=+<<<ββααπβα则（）A ．a <b B.a >b C.ab <1 D.ab >27．已知θ是第三象限角，且95cos sin 44=+θθ，那么θ2sin 等于（） A ．322 B. 322- C. 32 D.32-三角函数训练(三)答案1、解：由sin532=θ＞22，cos 2θ＝－54＜－22 得2θ为第二象限角. 即2ｋπ＋43π＜2θ＜2ｋπ＋π （ｋ∈Ｚ）∴4ｋπ＋23π＜θ＜4ｋπ＋2π （ｋ∈Ｚ）∴θ在第四象限. 答案：Ｄ 2、解：原式＝sin 212π＋cos 212π＋sin 12πcos 12π＝1＋21sin 6π＝45 答案：C3、解：由sin （23π＋α）＝－cos α＝54，π＜α＜23π，得cos α＝－54，2π＜2α＜43π∵cos α＝1－2sin22α ∴sin 2α＝10103 cos2α＝－1010∴tan 2α＝－3答案：Ｄ4、解：∵tan θ＋cot θ＝tan θ＋θtan 1＝ｍ即：m =+θθtan 1tan 2 又∵sin2θ＝m2tan 1tan 22=+θθ答案：B5、解：因为sin α－sin β＝2cos 2βα+sin2βα-.答案：B6、解：cos α＝549119112tan 12tan 122=+-=+-αα.答案：B7、解：原式＝x x x x x x x x 2cos 12sin )22sin(1)22cos()]4sin()4[cos()4(sin )4(cos 222+-=+++=++++-+ππππππ x x x tan cos 2cos sin 22-=-=α答案：C8、解：由sin α＝135，α在第二象限得cos α＝－1312. ∴tan2α＝5cos 1sin =+αα答案：A三角函数训练(四)答案1、解：∵cos 2θ＝1－2sin 24θ 5π＜θ＜6π 45π＜4θ＜23π ∴sin 24θ＝21a - 即sin4θ＝－21a -. 答案：Ｄ2、解：ｍcos A －ｎsin A ＝ｍ·.2tan 12tan22tan 12tan 1222m AAn A A -=+⋅-+- 答案：C3、解：由⎪⎩⎪⎨⎧-==+2cos sin 1cos sin 22αααα得cos α＝55.答案：55 4、解：原式＝tan 5π＋tan 52π＋tan （π－52π）＋tan （π－5π）＝tan 5π＋tan 52π－tan52π－tan 5π＝0. 答案：05、解：∵3π＜θ＜27π ∴23π＜2θ＜47π又∵sin θ＝532tan 12tan22-=+θθ∴tan2θ＝－3. 答案：－36、解：∵2π＜α＜3π ∴π＜2α＜23π（sin2α＋cos 2α）2＝1＋sin α＝34∴sin2α＋cos 2α＝－332. 答案：－332 7、解：cos85πcos 8π＝cos （2π＋8π）cos 8π＝－sin8πcos 8π＝－21sin 4π＝－42.答案：－428、解：设θ＋15°＝α原式＝sin （α＋60°）＋cos （α＋30°）－3cos α＝sin αcos60°＋cos αsin60°＋cos αcos30°－sin αsin30°－3cos α＝0. 答案：09、解：由π＜θ＜23π得2π＜2θ＜43π 又cos θ＝2cos 22θ－1＝－54∴cos2θ＝－1010. 答案：－101010、解：原式＝tan （19°＋26°）（1－tan19°tan26°）＋tan19°tan26°＝1. 答案：111、解：∵2α＝（α＋β）＋（α－β） ∴cos2α＝cos ［（α＋β）＋（α－β）］＝－257∵2β＝（α＋β）－（α－β） ∴cos2β＝cos ［（α＋β）－（α＋β）］＝－ 1. 答案：－257－112、解：原式＝2sin20°＋cos10°＋tan20°sin10°.360sin 220cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin 20cos 10cos 40sin 20cos )10sin 20sin 20cos 10(cos 20cos 20sin 2=︒=︒︒︒=︒︒+︒=︒︒+︒=︒︒︒+︒︒+︒︒=13、解：由sin （x －43π）cos （x －4π）＝－41 ⇒21［sin （2x －π）＋sin （－2π）］＝－41⇒sin2x ＝－21⇒cos4x ＝1－2sin 22x ＝21.14、证明：左边＝2cos23cos 2sin23cos 2cos 23sin 2cos 2sin 23cos 23sin x x x x x x x x x x -=- x x x x x x x 2cos cos sin 2)cos 2(cos 21)223sin(+=+-＝右边. 15、解：由条件知tan α、tan β是方程 x 2－4px －2＝1的两根. ∴⎩⎨⎧-==+3tan tan 4tan tan βαβαp∴tan （α＋β）＝p p=--)3(14.∴原式＝2cos2αcos2β＋tan （α＋β）sin2（α＋β）＋2sin 2（α－β）＝cos2（α＋β）＋cos2（α－β）＋2sin 2（α＋β）＋2sin 2（α－β）＝cos2（α＋β）＋cos2(α－β)＋［1－cos2(α＋β)］＋［1－cos2(α－β)］＝2三角函数训练(五)答案1、分析：先化简θθ44cos sin +为（.cos sin 2)cos sin 22222θθθθ-+即为.)cos (sin 212θθ-然后用倍角公式：.22sin cos sin θθθ=⋅用532cos =θ可得2516)2(sin 2=θ ∴原式.251725421=⋅-= 答案：C2、分析：角2A 与A +4π不是倍角关系，但)4(222A A +=+ππ，故我们可以结合诱导公式与倍角公式来解决这个问题.解：169119)135(21]1)4(cos 2[)4(2cos )22cos(2sin 22=⨯-=-+-=+-=+-=A A A A πππ3、分析：因为α是2α的半角.所以可以将等式右边用倍角公式展开证得.证明：∵2tan 2cos2sin2cos 22cos2sin2cos 1sin 2αααααααα==⋅=+ 同理，2tan 2cos2sin2cos2sin22sin 2sin cos 12αααααααα===- 所以原式成立.4、分析：求证一个三角函数式为定值，就是证它等于一个常数.我们发现已知条件算式的左边是两个角的正弦函数相乘的形式，所以我们得用如下公式：).cos()cos(sin sin 2βαβαβα+--=证明：∵)]()cos[()]()cos[(βαβαβαβα--+--++)sin()sin()cos()cos(βαβαβαβα-+--+=)sin()sin()cos()cos(βαβαβαβα-+--+-)sin()sin(2βαβα-⋅+-=∴32312)sin()sin(22cos 2cos -=⨯-=-+-=-βαβαβα ∵αβα422cos sin 2sin 41++)(324121)32(21414121)2cos 2(cos 21)2cos 2(sin 412cos 412cos 21412cos 21212sin 41)]2cos 1(21[)2cos 1(212sin 41222222常数=++-⨯+=++-++=+++-+=++-+=βαααααβααβα ∴原命题成立.5、分析：本题前半部分实际上是一个给值求角类型题，因此在确定βα2+范围的前提下，利用两个已知条件，求得βα2+的某一三角函数值.而要求βα2+的三角函数值必须用到和角公式，且应找到β2sin 、β2cos 与角α的三角函数值之间的关系.解：由已知得：ααββαcos sin 32sin sin 21sin 322=-=即αβ2sin 32cos = ① ααβcos sin 32sin = ② ∴βαβαβα2sin sin 2cos cos )2cos(-=+ 0cos sin 3sin sin 3cos 2=⋅-⋅=ααααα∵α、)2,0(πβ∈, ∴)23,0(2πβα∈+ 于是有22πβα=+，原式成立.由①2+②2得：22222)cos sin 3()sin 3(2sin 2cos αααββ+=+1sin 9 sin 9)cos (sin sin 922222==+=ααααα即得∵)2,0(πα∈， ∴322sin 1cos 31sin 2=-==ααα 将91sin 2=α代入1sin 2sin 322=+βα得：1sin 2)31(322=+⨯β 即31sin 2=β ∵)2,0(πβ∈ ∴33sin =β 36cos =β 6、分析：此题可用倍角公式化简后再比较.把a =+ααcos sin 的两边平方，则有ααsin 2sin 2+αα2cos cos +22sin 1a =+=α，同理.2sin 12b =+β因,40πβα<<<所以,2220πβα<<<则,,2sin 2sin 22b a <<βα而a ＞0,b ＞0,则有a ＜b .答案：A7、分析：此题主要考查同角三角函数关系及倍角公式22244)cos (sin cos sin θθθθ+=+θθ22cos sin 2-,95)2(sin 2112=-=θ则,98)2(sin 2=θ因θ为第三象限角，则,0cos ,0sin <<θθ即.02sin cos sin 2>=⋅θθθ所以.3222sin =θ 答案：A。

两角和与差、二倍角的三角函数公式练习题

两角和与差、二倍角的三角函数公式课时作业1.假设tan α＝3，tan β＝43，那么tan(α－β)等于( )A ．－3B ．－13C ．3 D.132．求值：⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12＝( ) A ．－32 B ．－12C.12D.323．α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.17B ．7C ．－17D ．－74．sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝35，那么cos 2β的值为( )A.725B.1825 C ．－725 D ．－18255．0<α<π，sin α＋cos α＝12，那么cos 2α的值为( )A.74 B ．－74C ．±74D ．－346．α，β为锐角且cos α＝110，cos β＝15，那么α＋β的值等于________． 7α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35， sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，那么cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 8α，β均为锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝13，那么cos(α－β)＝________.9.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为根底设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如右图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于________．10cos ()α＋β＝45，cos ()α－β＝－45，且32π<α＋β<2π， π2<α－β<π，分别求cos 2α和cos 2β的值．11函数f (x )＝sin x ＋sin(x ＋π2)，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最大值和最小值，并求出取得最值时的x 的值； (3)假设f (α)＝34，求sin 2α的值．12设f (x )＝6cos 2x －3sin 2x . (1)求f (x )的最大值及最小正周期；(2)假设锐角α满足f (α)＝3－23，求tan 45α的值．参考答案1．D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.3π4 7，－5665,8..59729．解析：图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴ 每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2512ab ＝6，∴ 两条直角边的长分别为3,4，直角三角形中较小的锐角为θ，cos θ＝45，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝725.答案：72510．cos 2α＝－725，cos 2β＝－111．(1)2π (2)当x ＝π4＋2k π，k ∈Z 时，f (x )max ＝ 2当x ＝－3π4＋2k π，k ∈Z 时，f (x )min ＝－ 2(3)－71612．(1)f (x )的最大值为23＋3；最小正周期为T ＝π. (2) 3。

两角和与差的三角函数、二倍角公式

tan β＝－17＞－1，所以 0＜α＜π4，34π＜β＜π，则 0＜2α＜π2，－π＜－β＜－34π，－π＜
2α－β＜－π4，所以 2α－β＝－34π.
总结提炼
1．解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1) 当“已知角”有
两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2) 当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把 “所求角”变成“已知角”．
A．－2245
B．2245
C．274
D．－274
【解析】因为－π3＜θ＜π6，所以 0＜θ＋π3＜π2，所以 cos θ＋π3＝35，故 tan θ＋π3＝43，
tan
2θ＋π6 ＝ tan
2θ＋3π－π2 ＝
sin cos
2θ＋π3－π2 2θ＋π3－π2
＝
－
cos sin
2θ＋π3 2θ＋π3
＝
2 2
C．tan 15°＝2－ 3
D．12sin 40°＋ 23cos 40°＝sin 70°
【解析】sin 2＋π2＝cos 2，故 A 正确； cos 73°·cos 28°＋sin 73°sin 28°＝cos (73°－28°)＝cos
45°＝
22，故
B
正确；
tan 15°＝tan (60°－45°)＝1＋3－13＝2－ 3，故 C 正确；
2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋2 β－α－2 β，α＝α＋2 β
＋α－2 β，α－2 β＝α＋β2－α2＋β等．
研题型能力养成举题说法
1．(2023·梅州一模)已知 sin α＋π6＝13，则 cos 23π－2α＝

两角和与差的正、余弦公式、正切公式、二倍角公式

1.已知tan 2α=，则tan 2α的值为．【答案】43-【分析】222tan 224tan 21tan 123ααα⨯===---. 2．已知P （－3，4）为角α终边上的一点，则cos （π+α）= ．【考点】任意角的三角函数的定义．【答案】35【分析】∵P （－3，4）为角α终边上的一点，∴x =－3，y =4，r =|OP |=5，∴cos （π+α）=－cos α=x r -=35--=35，故答案为35． 3．已知cos(α－β)=35，sin β=513-且α∈（0，π2），β∈（π2-，0），则sin α= ．【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．【答案】3365【分析】∵α∈（0，π2），β∈（π2-，0），∴α－β∈（0，π），又cos （α－β）=35，sin β=513-，∴sin （α－β）=21cos ()αβ--=45，cos β=21sin β-=1213，则sin α=sin[（α－β）+β]= sin （α－β）cos β+cos （α－β）sin β=45×1213+35×（513-）=3365．故答案为3365. 4.若0≤x ≤π2，则函数y =cos （x -π2）sin （x +π6）的最大值是．【考点】两角和与差的正余弦公式的应用．【答案】234+ 【分析】y =sin x （sin x 32⋅+12cos x ）=322sin x +12sin x cos x =()31cos 24x -+14sin2x =12sin （2x -π3）+34， ∵0≤x ≤π2，∴-π3≤2x -π3≤2π3，∴max y =12+34=234+. 5.已知过点（0，1）的直线l ：x tan α－y －3tan β=0的一个法向量为（2，－1），则tan （α+β）=________．【考点】平面的法向量．【答案】1【分析】∵过点（0，1）的直线l ：x tan α－y －3tan β=0的一个法向量为（2，－1），∴－1－3tan β=0，12-tan α=－1．∴1tan 3β=-，tan α=2． ∴tan （α+β）=12tan tan 3111tan tan 123αβαβ-+==-+⨯，故答案为1． 6.在ABC △中，已知BC =8，AC =5，三角形面积为12，则cos2C = ．【考点】三角形面积公式，二倍角公式的应用．【答案】725【分析】∵已知BC =8，AC =5，三角形面积为12， ∴12⋅BC ⋅AC sin C =12,∴sin C =35,∴cos2C =122sin C -=1-2×925=725. 7.某种波的传播是由曲线()()()sin 0f x A x A ωϕ=+>来实现的，我们把函数解析式()()sin f x A x ωϕ=+称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波()()11sin f x x ϕ=+与()()22sin f x x ϕ=+叠加后仍是“1类波”，求21ϕϕ-的值；（2）在“A 类波“中有一个是()1sin f x A x =，从 A 类波中再找出两个不同的波()()23,f x f x ，使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后()()()1230f x f x f x ++=，并说明理由．（3）在()2n n n ∈N,≥个“A 类波”的情况下对（2）进行推广，使得（2）是推广后命题的一个特例．只需写出推广的结论，而不需证明．【考点】两角和与差的正弦函数；归纳推理．【解】（1）()()()()1212sin sin f x f x x x ϕϕ+=+++ =1212(cos cos )sin (sin sin )cos x x ϕϕϕϕ+++，振幅是221212(cos cos )(sin sin )ϕϕϕϕ+++=()1222cos ϕϕ+-，则()1222cos ϕϕ+-=1，即()121cos 2ϕϕ-=-，所以122π2π,3k k ϕϕ-=±∈Z ．（2）设()()21sin f x A x ϕ=+，()()32sin f x A x ϕ=+，则()()()()()12312sin sin sin f x f x f x A x A x A x ϕϕ++=++++=()()1212sin 1cos cos cos sin sin 0A x A x ϕϕϕϕ++++=恒成立，则121cos cos 0ϕϕ++=且12sin sin 0ϕϕ+=，即有：21cos cos 1ϕϕ=--且21sin sin ϕϕ=-，消去2ϕ可解得11cos 2ϕ=-，若取12π3ϕ=，可取24π3ϕ=（或22π3ϕ=-等），此时，()22πsin 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()34πsin 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（或()32πsin 3f x A x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭等），则()()()1231313sin sin cos sin cos 02222f x f x f x A x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+-++--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以是平波．（3）()1sin f x A x =，()22πsin f x A x n ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()34πsin f x A x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，…， ()()21πsin n n f x A x n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这n 个波叠加后是平波．8. (4分)已知sin α=3cos α，则cos 21sin 2αα=+ ________．【参考答案】 12-【测量目标】运算能力/能根据法则准确的进行运算和变形. 【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦.【试题分析】由已知先求tan α，因为sin α=3cos α，所以tan α=3，把所求的式子中的三角函数利用二倍角公式进行化简，然后化为正切形式，即可求值:222222cos 2cos sin 1tan 1911sin 2cos 2sin cos +sin 12tan tan 1692ααααααααααα---====-++++++.9.若tan （α－π4）=14，则tan α=______．【参考答案】 53【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【考点】两角和与差的正切函数.【试题分析】 ∵tan （α－π4）=14， ∴πtan tan4π1tan tan4αα-+=tan 11tan αα-+=14，解得tan α=53．故答案为53． 10.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos 4B =. (1)求2sin 2cos2A CB ++的值； (2)若3b =，求ABC △面积的最大值. 【考点】余弦定理，二倍角的正弦、余弦. 【解】(1)因为3cos 4B =,所以7sin 4B =, 又22π1sin 2cos2sin cos cos 2sin cos (1cos )222A CB B B B B B B +-+=+=+- =73113724488+⨯⨯+=. (2)由已知可得：2223cos 24a cb B ac +-==, 又因为3b =，所以22332a c ac +-=, 又因为223322a c ac ac +=+≥，所以6ac ≤，当且仅当6a c ==时，ac 取得最大值.此时11737sin 62244ABC S ac B ==⨯⨯=△. 所以△ABC 的面积的最大值为374. 11.已知1sin 4θ=，则sin 2()4θπ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦__________. 【答案】78-【分析】27sin 2()cos 212sin 48θθθπ⎡⎤-=-=-+=-⎢⎥⎣⎦.12. 已知α为第二象限的角，sin α=35，则tan2α=_______________. 【答案】247-【分析】因为α为第二象限的角，又sin α=35，所以cos α=45-，tan α=sin cos αα=34-，tan2α=22tan 1tan αα-=247-.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 13.若△ABC 的内角A 满足sin2A =23，则sin A +cos A 等于（） A.153 B.153- C.53 D.53-【答案】A 【分析】∵0＜A ＜π，0＜2A ＜2π，又sin2A =23，即2sin A cos A =23，∴0＜A ＜π2, 2(sin cos )A A +=53，sin A +cos A =153，故选A. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 14.已知sin θ+cos θ=15，且π2≤θ≤3π4，则cos2θ的值是___________. 【答案】725-【分析】由已知sin θ+cos θ=15①，2sin θcos θ= 2425-，又π2≤θ≤3π4，∴cos θ＜0，sin θ＞0. 2(cos sin )θθ-=4925，则sin θ－cos θ=75②，由①②知cos2θ=22cossin θθ-=725-. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.15.已知0＜α＜π2，sin α=45.（1）求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值；（2）求tan(α－5π4)的值.【解】∵0＜α＜π2，sin α=45，∴cos α=35，tan α=43.（1）22sin sin2cos cos2αααα++=222sin2sin cos2cos sinααααα+-=22tan2tan2tanααα+-=2244()23342()3+⨯-=20；（2）tan(α－5π4)=tan11tanαα-+=413413-+=17.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.16.已知x∈(π2-,0)，cos x=45，tan2x=（）A.724B.724- C.247D.247-【答案】D【分析】sin x=35-，tan x=34-，tan2x=22tan1tanxx-=247-，故选D.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.17.cos20cos351sin20︒︒-︒=（）A.1B. 2C.2D.3【答案】C【分析】cos20cos351sin20︒︒-︒=22cos10sin10cos35(cos10sin10)︒-︒︒︒-︒=cos10sin10cos35︒+︒︒=2sin55cos35︒︒=2，故选C.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.18.设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c =62，则a、b、c大小关系是（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC. c＜b＜aD. a＜c＜b【答案】D【分析】由题意知，a =2sin59°，b =2sin61°，c =2sin60°，所以a＜c＜b，故选D.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.19.tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°=_____________.【答案】3【分析】tan60°= tan(20°+40°)=tan20+tan401tan20tan40︒︒-︒︒=3，∴3－3tan20°tan40°=tan20°+tan40°，移向即可得结果为3. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 20.已知sin2θ+cos 2θ=233，那么sin θ =______,cos2θ =___________. 【答案】13，79【分析】2(sin cos )22θθ+=1+ sin θ=43，sin θ=13，cos2θ=1－22sin θ=79. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 21.若1tan 1tan αα+-=2008，则1cos 2α+tan2α=_______________.【答案】2008【分析】1cos 2α+tan2α=1sin 2cos 2cos 2ααα+=1sin 2cos 2αα+=222(cos +sin )cos sin αααα-= cos +sin cos sin αααα-=1+tan 1tan αα-=2008.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 22.计算：sin65+sin15sin10sin 25cos15cos80︒︒︒︒-︒︒=________.【答案】2+3【分析】sin65+sin15sin10sin 25cos15cos80︒︒︒︒-︒︒=sin80cos15sin15cos10︒︒︒︒=cos15sin15︒︒=2+3．【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.23．求值：(1)sin6°sin42°sin66°sin78°;(2)22sin 20cos 50︒+︒+sin20°cos50°.【解】原式＝sin6°cos12°cos24°cos48°=sin 6cos 6cos12cos 24cos 48cos 6︒︒︒︒︒︒=1sin12cos12cos 24cos 482cos6︒︒︒︒︒=1sin 24cos 24cos 484cos6︒︒︒︒=1sin 48cos 488cos6︒︒︒=1sin 9616cos6︒︒=1cos616cos6︒︒=116; (2)原式＝1cos 401cos1001(sin 70sin 30)222-︒+︒++︒-︒ ＝1+111(cos100cos 40)sin 70224︒-︒+︒-=31sin 70sin 30sin 7042-︒⋅︒+︒=34.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 24.已知tan α、tan β是方程2x -5x +6=0的两个实根，求22sin ()αβ+-3sin ()αβ+cos ()αβ++2cos ()αβ+的值．【解】由韦达定理得tan α+tan β=5，tan α·tan β=6，所以tan(α+β)=tan tan 1tan tan αβαβ+-⋅=－1.原式=[22sin ()αβ+－3sin(α+β)cos(α+β)+2cos ()αβ+]/[22sin ()cos ()αβαβ+++]=222tan ()3tan()1tan ()1αβαβαβ+-++++=213(1)111⨯-⨯-++=3.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.。

二倍角的三角函数练习(包含答案)

一、选择题1．已知cos（α+β）=，cos（a﹣β）=﹣，则cosαcosβ的值为（）A．0B．C．0或D．0或考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先用两角和公式的余弦函数对题设中的等式展开后，两式相加即可求得cosαcosβ的值．解答：解：依题意可知，两式相加得2cosαcosβ=0，∴cosαcosβ=0，故选A．点评：本题主要考查了两角和公式的余弦函数．考查了学生对基础知识的理解和应用．2．如果，那么等于（）A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：由两角和与差的正弦函数公式化简原式，变形得到一个比例式，然后把所求的式子利用同角三角函数的关系化简后，将变形得到的比例式整体代入可求出值．解答：解：由==，得：nsinαcosβ+ncosαsinβ=msinαcosβ﹣mcosαsinβ移项合并得cosαsinβ（n+m）=sinαcosβ（m﹣n），变形得=，则===．故选A点评：本题的解题思路是运用和与差的正弦函数公式和同角三角函数的基本关系把已知和所求的式子化简后找出其联系点，然后利用整体代入的思想解决数学问题．3．已知α，β，γ均为锐角，且tanα=，tanβ=，，则α，β，γ的和为（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：先根据两角和的正切公式利用tanα和tanβ的值求得tan（α+β）的值，进而利用两角和的正切公式求得tan （α+β+γ）的值，进而根据α，β，γ的范围确定α，β，γ的和．解答：解：tan（α+β）==tan（α+β+γ）==1由α，β，γ都为锐角及各自取值，知0＜α，β，γ＜，即α+β+γ也是锐角，故α+β+γ=．故选B点评：本题主要考查了两角和与差的正切函数，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．4．在△ABC中，C＞90°，E=sinC，F=sinA+sinB，G=cosA+cosB，则E，F，G之间的大小关系为（）A．G＞F＞E B．E＞F＞G C．F＞E＞G D．F＞G＞E考点：三角函数的积化和差公式；同角三角函数基本关系的运用．专题：综合题．分析：把F和G利用三角函数的和差化积公式及诱导公式化简后，做差得到大小；利用正弦定理和三角形的两边之和大于第三边判断F和E的大小，即可得到三者之间的大小关系．解答：解：因为F=sinA+sinB=2sin cos=2cos cos；G=cosA+cosB=2cos cos=2sin cos；由180°＞C＞90°得到45°＜＜90°，根据正弦、余弦函数的图象得到sin＞cos，所以G﹣F=2cos（sin﹣cos）＞0即G＞F；根据正弦定理得到=，因为a+b＞c，所以sinA+sinB＞sinC即F＞E；所以E，F，G之间的大小关系为G＞F＞E故选A点评：解此题的方法是利用正弦定理和做差法比较大小，要求学生灵活运用三角函数的和差化积公式及诱导公式化简求值．5．化简：的值为（）B．t an2x C．﹣tanx D．c otxA．tan考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：把原式的分子和分母根据两角和的正弦、余弦函数公式进行化简后合并，再根据同角三角函数间的基本关系化简可得值．解答：解：原式=═=﹣tanx故选C点评：此题是一道基础题，要求学生掌握两角和与差的正弦、余弦函数的公式，以及会利用同角三角函数间的基本关系．6．若A，B为锐角三角形的两个锐角，则tanAtanB的值（）A．不大于1 B．小于1 C．等于1 D．大于1考点：正切函数的值域．专题：计算题．分析：直接利用锐角三角形的性质，确定sinA＞cosB，利用切化弦化简tanAtanB，即可得到选项．解答：解：因为三角形是锐角三角形，所以A+B＞；即：，所以sinA＞cosB，同理sinB ＞cosA，tanAtanB=＞1故选D点评：本题是基础题，考查锐角三角形的性质，切化弦的应用，考查计算能力，常考题型．二、填空题7．（2008•浙江）若，则cos2θ=．考点：诱导公式的作用；二倍角的余弦．分析：由sin（α+）=cosα及cos2α=2cos2α﹣1解之即可．解答：解：由可知，，而．故答案为：﹣．点评：本题考查诱导公式及二倍角公式的应用．8．若cosαcosβ=，则sinαsinβ的取值范围是______．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：设x=sinαsinβ，利用两角和与差的正弦函数公式分别化简cos（α+β）与cos（α﹣β），将cosαcosβ的值代入，利用余弦函数的值域列出不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为sinαsinβ的取值范围．解答：解：∵cosαcosβ=，设sinαsinβ=x，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣x，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=+x，∴﹣1≤﹣x≤1，﹣1≤+x≤1，解得：﹣≤x≤，则sinαsinβ的取值范围是[﹣，]．故答案为：[﹣，]点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．三、解答题9．在△ABC中，∠B=60°，且tanAtanC=2+，求角A，C的度数．考点：解三角形．专题：计算题．分析：根据B的值，进而确定A+C的值，进而利用两角和与差的正切函数公式求得tanA+tanC的值，进而联立求得tanA和tanC的值，进而求得A和C．解答：解：∵∠B=60°且A+B+C=180°，∴A+C=120°，∴tan（A+C）=．由tanAtanC=2+，∴tanA+tanC=3+，∴tanA，tanC可看作方程x2﹣（3+）x+（2+）=0的两根．解方程得x1=1，x2=2+．当tanA=1，tanC=2+时，A=45°，C=75°．当tanC=1，tanA=2+时，A=75°，C=45°．点评：本题主要考查了解三角形问题，两角和与差的正切函数．考查了学生对三角函数基础知识的掌握．10．若已知方程x2﹣（tanθ+cotθ）x+1=0有两个实根，且其中一个根是2﹣，求cos4θ的值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：计算题．分析：利用方程的根，结合判别式确定sin22θ≤1，通过两个根求出另一个根，推出sin2θ的值，然后求出cos4θ的值．解答：解：∵方程x2﹣（tanθ+cotθ）2x+1=0有两个实根，∴△=（tanθ+cotθ）2﹣4==，即sin22θ≤1．设另一个根为m，则由根与系数的关系可得，（2﹣）m=1，于是，故tanθ+cotθ=4，即，∴sin2θ=（满足sin22θ≤1）．∴cos4θ=1﹣2sin22θ=．点评：本题考查三角函数的化简求值，考查二次方程根的问题，二倍角公式的应用，考查计算能力．11．已知函数y=，求函数的最大值及对应自变量x的集合．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数y=，然后求出最大值，及其相应的x 值．解答：解：==，y取最大值，只需，即，∴当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．点评：本题考查三角函数的最值，二倍角公式的应用，同时利用两角和的正弦函数化简是本题解题的关键，本题考查计算能力，是基础题．12．如图，在某点B处测得建筑物AE的项点A的仰角为θ，沿B前进30米至C点处测得顶点A的仰角为2θ，再继续前进10米至D点，测得顶点A的仰角为4θ，求θ的大小及建筑物AE的高．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：由题意及仰角的定义画出图形，利用数形结合的思想，利用图形中角与角的联系及三角形求解即可．解答：解：由已知BC=30米，CD=10米，∠ABE=θ，∠ACE=2θ，∠ADE=4θ，在Rt△ABE中，BE=AEcotθ，在Rt△ACE中，CE=AEcot2θ，∴BC=BE﹣CE=AE（cotθ﹣cot2θ）．同理可得：CD=AE（cot2θ﹣cot4θ）．∴即而cotθ﹣cot2θ==．同理可得cot2θ﹣cot4θ=．∴==2cos2θ=∴cos2θ=，结合题意可知：2θ=30°，θ=15°，∴AE=（米）．点评：此题考查了学生会从题意中抽取出图形进而分析问题，还考查了学生们利用三角形解出三角形的边与角，及二倍角的正切公式．。

二倍角的三角函数练习(含答案)

系化简后，将变形得到的比例式整体代入可求出值．
解答：解：由
=
= ，得：nsinαcosβ+ncosαsinβ=msin αcosβ﹣ mcosαsinβ
移项合并得 cosαsinβ（ n+m）=sin αcosβ（ m﹣ n），变形得
=
，
则
=
=
=
．
故选 A 点评：本题的解题思路是运用和与差的正弦函数公式和同角三角函数的基本关系把已知和所求的式子化简后找出
4．在 △ABC 中， C＞ 90°， E=sinC ， F=sinA+sinB ， G=cosA+cosB ，则 E， F， G 之间的大小关系为（
）
A ．G＞ F＞ E
B． E＞ F＞ G
C． F＞ E＞ G
D ．F＞ G＞ E
考点：三角函数的积化和差公式；同角三角函数基本关系的运用．
专题：综合题．
（ α+β+γ）的值，进而根据 α， β，γ的范围确定 α， β， γ的和．
解答：解： tan（ α+β） =
=
tan（ α+β+γ）=
=1
由 α， β， γ都为锐角及各自取值，知 0＜ α， β， γ＜，
即 α+β+γ也是锐角，故 α+β+γ= ．
故选 B 点评：本题主要考查了两角和与差的正切函数，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．
，则 cos2θ=
．
考点：诱导公式的作用；二倍角的余弦．分析：由 sin（α+ ） =cosα及 cos2α=2cos2α﹣ 1 解之即可．
解答：解：由
可知，

8.两角和与差的三角函数及二倍角公式

三角函数——3．两角和与差的三角函数及二倍角公式【知识要点】1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令＝＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=- 如（1）下列各式中，值为12的是（）A 、1515sin cosB 、221212cos sin ππ- C 、22251225tan .tan .- D；（2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的（）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件；（3）已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____ ；（4）11080sin sin -的值是____ __； (5)已知0tan110a =，求0t an 50的值（用a 表示），乙求得的结果是212a a -，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______ ;2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：看角度：已知与未知的角度是否有差异；看名称：所给与所求的函数名称是否有差异；看次数：条件与结论的次数是否统一；看结构：左边与右边的结构是否有差异；看常数：条件和结论的常数是否有差异.基本的技巧有:（1）角的分拆配凑（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，2αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等），如（1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____ ；（2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+的值；（3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______ ；(2)三角函数名互化(切弦转化)，如（1）求值sin50(13tan10)+；（2）已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值；(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。

两角和与差及二倍角的三角函数公式必修四

2.1两角和与差及二倍角的三角函数公式一、选择题1．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于( )A ．－12 B.12 C ．－ 32 D.322．log 2sin π12＋log 2cos π12的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．23．(2011年辽宁)设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.794．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( ) A.103 B.53 C.23D ．－2 5．(2011年湖北)已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z 二、填空题6．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是______________．7．(2010年全国)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________. 8．(2010年浙江)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－2 2sin 2x 的最小正周期是________． 9．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 三、解答题10．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，1)．(1)当a ⊥b 时，求tan2θ；(2)求|a ＋b |的最大值．11．(2010年天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C .(1)证明：B ＝C ；(2)若cos A ＝－13，求sin ⎝⎛⎭⎫4B ＋π3的值．1．B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.－2＋1 7.－128.π 9．－566510．解：(1)a ⊥b ⇔3cos θ＋sin θ＝0(cos θ≠0)⇔3＋tan θ＝0⇔tan θ＝－3，∴tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－2 31－(－3)2＝ 3. (2)∵a ＋b ＝(cos θ，sin θ)＋(3，1)＝(cos θ＋3，sin θ＋1)， ∴|a ＋b |＝(cos θ＋3)2＋(sin θ＋1)2＝cos 2θ＋2 3cos θ＋3＋sin 2θ＋2sin θ＋1＝5＋2 3cos θ＋2sin θ ＝5＋4⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ＝5＋4sin (θ＋60°). 当sin(θ＋60°)＝1时，|a ＋b |max ＝5＋4＝3. 11．解：(1)证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得 sin B sin C ＝cos B cos C，于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0. 因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0.所以B ＝C .(2)由A ＋B ＋C ＝π和(1)得A ＝π－2B ，故cos2B ＝cos(π－A )＝－cos A ＝13. 又0<2B <π，于是sin2B ＝1－cos 22B ＝2 23. 从而sin4B ＝2sin2B cos2B ＝4 29， cos4B ＝cos 22B －sin 22B ＝－79. 所以sin ⎝⎛⎭⎫4B ＋π3＝sin4B cos π3＋cos4B sin π3＝4 2－7 318.。

第三节两角和与差及二倍角三角函数公式

，则tan α＝－
∴tan＝
.
高考总复习•数学（理科）
高考总复习•数学（理科）点评： (1) 两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同
名不同角的三角函数运算规律”，对公式要会“正用”“逆
用”“变形用”； (2) 应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求值，其关键是熟练掌握公式的特点，准确使用公式； (3) 已知三角函数值求角，应根据条件确定角的范围，然
设条件先求这个角所对应的三角函数值，再根据所求角的所在范围确定这个角的大小．解决这类问题，重点是三角函数
值的求解，难点是角的范围的确定．
高考总复习•数学（理科）变式探究 3．已知cos α＝则β＝________. ，cos(α－β)＝，且0<β<α< ，
解析：∵0<β<α<
又∵cos(α－β)＝ ∴sin(α－β)＝
(3)注意二倍角的相对性；
(4)注意角的范围；
(5) 熟悉常用的方法和技巧，如切化弦、异名化同名、
异角化同角等．
高考总复习•数学（理科）变式探究 4．(2012· 南京二模)设向量a＝(2，sin θ)，b＝(1，cos θ)， θ为锐角． (1)若a· b＝，求sin θ＋cos θ的值；的值．
.
作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
高考总复习•数学（理科）
高考总复习•数学（理科）
答案：(1)C (2)
再求2α－β的正切值)
(也可先求2α－β的正弦、余弦值，
高考总复习•数学（理科）
点评：三角函数的“给值求角”问题，一般是根据题

高302班之三角函数两角和差及二倍角公式

高302班之三角函数两角和差及二倍角公式1．计算sin95cos50cos95sin50︒︒-︒︒的结果为（）A ．2-B ．12C ．2D ．22．式子22cos cos sin sin 3636ππππ-的值为( )A ．12-B ．0C ．1D ． 3．计算sin13cos17cos13sin17+的值为（）A ．2B ．12C ．1-2D ．4．00sin37522+的值为（）A ．2 B ．12 C ．2- D ．12- 5．cos15cos 45sin15sin 45︒︒︒︒+等于( )A ．12B C D ．16．cos165°的值为（）A B C ． D ． 7．若tan ,tan αβ是方程2240x x --=的两根，则()tan αβ+=（） A ．25B ．23-C ．25-D ．238．函数2530x x ++=的两根是1tan x α=和2tan x β=，则tan()αβ+=（） A ．53B ．52C ．52-D ．53-9．已知3tan 4α=-，则tan()4πα+=（）A ．17 B ．7C ．17-D ．-710．若3cos 5α=，α是第四象限角，则sin()4πα+=（）A ．10-B ．10C ．10-D ．1011．若,αβ均为第二象限角，满足3sin 5α=，5cos 13β=-，则c o s ()αβ+=（）A ．3365-B ．1665-C ．6365D ．336512．若tan 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan θ=（）A ．B ．C ．-D ．13．在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点34(,)55P -，则s i n()4πα+=（）A ．10B ．10C D ．-1014．若角α的终边过点(1,2)-，则sin2α=( ) A ．45B ．2-5C ．25D ．45-15．2sin15cos15︒︒的值等于（）A ．0B C ．1 D ．1216．已知sin α=，则cos2=α（）A ．35-B ．35C ．5-D 17．sin15cos15︒︒的值是( )A ．14B ．12C D 18．计算212sin 22.5-︒的结果等于( )A ．12B ．2C D 19．212cos 67.5-︒=（）A ．12B ．2-C ．2D ．20．下列各式中的值为的是（） A ． B ． C ．D ．21．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2α=（）A B ．13C ．13-D ． 22．已知1sin 4x =，x 为第二象限角，则sin 2x =（）A ．316-B ．8-C ．8±D 23．在平面直角坐标系中，角α的终边过()P 2,1-，则2cos αsin2α-的值为( ) A ．2425B ．85C ．65D ．4524．若α为第一象限角，3sin 5α=，则sin 2α=（） A ．2425B ．1225-C ．1225D ．2425-25．若2sin()3απ-=，则cos2=α（） A ．59 B ．19C ．19-D ．59-26．已知3sin 4α=，则()cos 2απ-=( )A ．18 B ．18-C ．19D ．327．已知cos θ=13，θ∈（0，π），则cos （32π+2θ）=（）A ．9-B ．79-C ．9D ．7928．已知sin()25πα+=，(,0)2απ∈-，则sin 2α=（） A ．45-B ．45C ．25D ．25-29．己知，则（）A ．B ．C ．D ．30．已知，则（） A ． B ．C ．D ．31．计算sin 47cos17cos47sin17︒︒︒︒-的结果为________.32．若4tan 3α=，则3tan()4πα+= ________. 33．cos75︒=_____. 34．已知,αβ均为锐角，且满足11sin ,cos ,23αβ==则()cos αβ-=________.35．已知3sin 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2α=________ 36．已知sin 2cos 0αα-=，则tan2α=________. 37．已知，则______．38．已知3sin α5=，πα,π.2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1求cos α和()tan απ+的值． ()2求πsin α4⎛⎫+ ⎪⎝⎭和πcos α.3⎛⎫- ⎪⎝⎭39．已知45cos α=-，且α为第二象限角．（Ⅰ）求22cos πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）求24tan πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．参考答案1．C 【解析】【分析】由两角差的正弦公式计算可得答案. 【详解】sin95cos50cos95sin50sin(9550)sin 452︒︒-︒︒=︒-︒=︒=故选：C 【点睛】本题考查两角差的正弦公式的应用，属于简单题. 2．D 【解析】【分析】利用两角和的正弦公式可得原式为cos （2ππ36+），再由特殊角的三角函数值可得结果. 【详解】2ππ2ππcoscos sin sin 3636-=cos （2ππ36+）＝cos 5π6=-cos π62=-，故选D ．【点睛】本题考查两角和的余弦公式，熟练掌握两角和与差的余弦公式以及特殊角的三角函数值是解题的关键，属于基础题. 3．B 【解析】【分析】根据式子的特点，逆用正弦两角和公式，即可计算出。

两角和与差二倍角公式求值

两角和与差二倍角公式()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±()βαβαβαsin sin cos cos cos =±()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=± （二）倍角公式βααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα22tan 1tan 2tan -= 例1、求值() 555sin 1 ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-125tan 2π 例2设,322sin ,912cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαβα,20,2πβπαπ<<<<().cos βα+求(二),公式逆用sin1630sin2230+sin2530sin3130例3 已知()(),43tan tan tan tan tan =+⋅--+βααβαβα且(),0cos >+βπ求()πβ3sin -(三).用用边角关系的公式解三角形例4、在三角形ABC 中,角A..B.C 对边a,b,c222sin():sin a b A B Cc --=证明(四)综合例5、(0,),sin sin sin 2cos cos cos ,παβγαγββγαβα++∈+=+=-求三角函数式的求值(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。

找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角例1、计算)310(tan 40sin 00-的值。

练习:（全国高考）tan20°+4sin20°“给值求值”例2、(上海高考)已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值练习:)6sin(,212tanπαα+=求已知例3、已知sin(-4πx)=135，0<x<4π，求)4cos(2cos x x +π的值。

两角和与差的三角函数与二倍角公式试题

练习15 两角和与差的三角函数与二倍角公式1.sin 22cos82cos22sin82︒︒︒︒-的值是（）A.12B.12-C.2D.2答案：D【详解】由题意，()()sin 22cos82cos 22sin82sin 2282sin 60︒︒-︒︒=︒-︒=-︒=2. 已知tan 3β=，()tan 5αβ-=，则tan α的值为（）A.47-B.47 C .18 D.18- 答案：A【详解】()()()tan tan 534tan tan 1tan tan 1537αββααββαββ-++=-+===-⎡⎤⎣⎦---⨯.3. 在ABC △中，34cos ,cos 55A B ==，则()cos A B -=（）A.725-B.0C.925D.2425答案：D【详解】在ABC 中， ()0A B π∈、，.因为34cos ,cos 45A B ==，所以4sin 5A ===，3sin 5===B ，所以()344324cos cos cos sin sin 555525A B A B A B -=+=⨯+⨯=. 4. 函数cos22sin y x x =+的值域为（）A.[]1,3B.[]3,1-C.31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦答案：D【详解】2cos22sin 12sin 2sin y x x x x =+=-+，令sin [1,1]t x =∈-，则22132212()22y t t t =-++=--+，有12t =时，max 32y =，1t =-时，min 3y =-，函数cos22sin y x x =+的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.5. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于45，则这个三角形底角的正弦值为（）A. 10B.C. 10D.－10答案：C【详解】底角为锐角，()4cos 205πθ-=>，即24cos 212sin ,sin 5θθθ=-=-=6．已知α，β均为锐角，且sin α=cos β=，则αβ-的值为（）A ．π4B ．π4- C ．3π4D ．3π4-【答案】B【详解】∵α，β均为锐角，且sin α，cos β=∴cos α==，sin β==∴()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-==. 又∵α，β均为锐角 ∴ππ22αβ-<-<. ∴π4αβ-=-.故选：B.7. 已知ππ,,tan 242αα⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，则22πsin 2cos 14αα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值为___________. 答案：710【详解】因为ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2,π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为tan 2α=，所以2222sin cos 2tan 4sin 22sin cos sin cos 1tan 5ααααααααα====++ 22222222cos sin 1tan 143cos 2cos sin cos sin 1tan 145ααααααααα---=-====-+++，22π1cos 2π2sin 2cos 1cos 242αααα⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭--+=- ⎪⎝⎭411sin 2375cos 222510αα--⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭ 8. 函数()cos2cos sin 2sin f x x x x x =-的最小正周期为________. 答案：23π【详解】()()cos 2cos sin 2sin cos 2cos3f x x x x x x x x =⋅-⋅=+=，所以最小正周期为23π 9. 已知353sin(),cos()41345αβππ+=-=，且3044αβπ<<<<π，则()sin αβ+的值是________.答案：5665【详解】因35sin()413πα+=，即5sin[()]2413ππα++=，则5cos()413πα+=又04πα<<，即442πππα<+<，则12sin()413πα+==，而3cos()45πβ-=，344πβπ<<，即042ππβ<-<，4sin()45πβ-=，则有s i n ()s i n [()(44444πππππαβαβαβ+=++-=+-123545613513565=⋅+⋅=. 10. 已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2x =__________.答案：725【详解】因为3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2cos 2cos 224x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭223712sin 124525x π⎛⎫⎛⎫=--=-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 11. 设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=_________. 答案：【详解】f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎪⎝⎭x －φ)，其中sin φcos φ＝x －φ＝2kπ＋2π (k ∈Z)时，函数f (x )取得最大值，即θ＝2kπ＋2π＋φ时，函数f (x )取到最大值，所以cos θ＝－sin φ12．函数()2sin()sin()44f x x x ππ=+-的图象的对称轴方程为_________________．【答案】π,2k x k =∈Z 【详解】因为ππsin()cos 44x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以πππππ2sin sin =2sin cos sin 22cos 244444x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅---=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()f x 对称轴为π2π=2k x k x k =⇒∈Z ，.故答案为:,2k x k π=∈Z。

高一-三角函数的和差公式与二倍角含答案

课程主题：三角函数的和差公式与二倍角教学内容知识精讲知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)()βαtan tan 1∙ ； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛±4πa .4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．例题精讲题型1：三角函数的给值求值例1.已知0β<<344παπ<<，335cos(),sin()45413παπβ-=+=，求的sin(α＋β)的值．分析：比较所要求的角和已知角，可以发现3()()()442πππβααβ+--=++或由cos()sin 4πα-=()4πα+，再由3()()()44παπβπαβ+++=++求解. 解（一）：33,,0444424ππππαππαα<<∴-<-<--<-<，又34cos(),sin().4545ππαα-=∴-=-33353120,,sin(),cos()444413413πβππβππβπβ<<∴<+<+=∴+=-.sin(α＋β)=3cos[()]cos[()()]244ππαβπβα-++=-+--33cos()cos()sin()sin()4444πππβαπβα=+--+-1235456()()13513565=--⨯-⨯-=.解（二）：cos()sin 4πα-=()4πα+35=，4,cos()2445πππαπα<+<∴+=-.33353120,,sin(),cos()444413413πβππβππβπβ<<∴<+<+=∴+=-.sin(α＋β)333sin[()()][sin()cos()cos()sin()]444444πππαπβαπβαπβ=-+++=-+++++3124556[()()]51351365=-⨯-+-⨯=.解题思路：我们在计算、化简或证明一些三角函数式时，充分所求的角和已知角之间的联系，如：()()()αβαββαβαα-+=-++=,2，33ππαα-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，244παπαπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+，()⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+44πββαπα，这一点非常重要它可以有效的帮助我们解题，更重要的是它可以让许多问题变得非常简单.课堂检测如图，点P 是单位圆上的一个顶点，它从初始位置0P 开始沿单位圆按逆时针方向运动角α（02πα<<）到达点1P ，然后继续沿单位圆逆时针方向运动3π到达点2P ，若点2P 的横坐标为45-，则cos α的值等于。

三角函数和差与二倍角公式试题(1)

三角函数和差与二倍角单元检测题一．选择题1. 已知x x 2sin ,31)4sin(则=-π的值为 A.97 B.95 C.94 D.92 2. =+οοοο55cos 10cos 35cos 80cosA ．22 B ．22- C ．21D ．21- 3. 已知βαβαβαcos cos ,31)cos()cos(则=-++的值为 A.21 B.31 C.41 D.61 4. 已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于A.17B.7C.17- D.7- 5. (文)0000sin15cos75cos15sin105+等于A.0B.12D.16. 设α是第四象限角，53sin -=α，则=+)4cos(2παA.57B.51C.57-D.51- 7. 函数()sin cos f x x x =最小值是 A.-1 B. 12- C. 12 D.18. 已知4sin 5θ=，且sin cos 1θθ->，则sin 2θ= A.2425- B.1225- C.45- D.24259. 的值是015cot 15tan +334.4. 32. 2.D C B A + 10. 已知31)4sin(=-πα，则)4cos(απ+的值等于 A.232 B.－232 C.31 D.－3111. 已知532cos =α，则αα44cos sin -的值是 A.53B.－53C.259D.－25912. 若△ABC 的内角A 满足322sin =A ，则=+A A cos sinA.315B.315-C.35D.35-13. 函数y ＝－3sin x ＋cos x 在x ∈[－π6，π6]时的值域是A. [0，62] B.[－3，0] C.[0，1] D.[0，3] 14. (文)已知πcos 2ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，且π||2ϕ<，则tan ϕ=A.-C.15. α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α= A.15B.15-C.513D.513-16. 已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=2,0,1312sin πθθ，则2tan θ=. A.23 B.2332或 C.32 D.21 17. 已知ααααα22sin cos cos sin 21,2tan -+=则的值等于A.31B.3C.－31D.－3 18. 的值为则已知)4cos(2cos ,135)4sin(απααπ+=-1312D. 1213C. 2413B. 1324.A 19. αααα2cos cos 2cos 12sin 22⋅+ =A.tan αB.tan 2αC.1D.1220. 下列各式中，值为23的是A οο15cos 15sin 2 B.οο15sin 15cos 22-C.115sin 22-οD.οο15cos 15sin 22+21. 已知函数sin()cos(),1212y x x ππ=--则下列判断正确的是A.此函数的最小正周期为2π,其图象的一个对称中心是(,0)12πB.此函数的最小正周期为π,其图象的一个对称中心是(,0)12πC.此函数的最小正周期为2π,其图象的一个对称中心是(,0)6πD.此函数的最小正周期为π,其图象的一个对称中心是(,0)6π22. 已知)211cos(,53)9cos(,2παπαπαπ--=-<<求的值A.53B.－53C.－54D.54 二填空题1. 若1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，则=⋅βαtan tan _____. 2. ____cos ),2,0(,,54)cos(,135cos =∈-=+=βπβαβαα则且已知3. 已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是__________ 4. 函数)(cos 21sin R x x x y ∈-=的最大值为 . 5. 函数)4sin(cos )4cos(sin π++π+=x x x x y 的最小正周期T=___________。

两角和与差、二倍角的公式(三)

05-04 两角和与差、二倍角的公式（三）点一点——明确目标能综合使用两角和与差、二倍角的三角函数公式进行求值、化简、证明，具有在不同的解题方法、方案中，对优秀者的选择能力.做一做——热身适应1.已知cos α－cos β=21，sin α－sin β=31，则cos （α－β）=_______. 解析：（cos α－cos β）2=41，（sin α－sin β）2=91. 两式相加，得2－2cos （α－β）=3613. ∴cos （α－β）=7259. 答案：72592.f （x ）=xx xx cos sin 1cos sin ++的值域为 .解析：令t =sin x +cos x =2sin （x +4π）∈［－2，－1）∪（－1，2］，则f （x ）=tt +-1212=21-t ∈［212--，－1］∪（－1，212-）.答案：［212--，－1］∪（－1，212-） 3.满足cos αcos β=23+sin αsin β的一组α、β的值是 A.α=12π13，β=4π3 B.α=2π，β=3πC.α=2π，β=6π D.α=3π，β=6π解析：由已知得cos （α+β）=23，代入检验得A. 答案：A4.已知tan α和tan （4π－α）是方程ax 2+bx +c =0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 A.b =a +cB.2b =a +cC.c =b +aD.c =ab解析：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-+，）（，）（a c ab αααα4πtan tan 4πtan tan∴tan 4π=aca b--1=1.∴－a b =1－ac . ∴－b =a －c .∴c =a +b . 答案：C理一理——疑难要点1.化简求值解题目标（1）能求出值的应求出值.（2）使三角函数种数、项数尽量少；分母尽量不含三角函数；被开方式尽量不含三角函数. 2.化简求值常用方法（1）活用公式（包括正用、逆用、变形用）. （2）切割化弦、异名化同名、异角化同角等. 3.化简求值常用技巧（1）注意特殊角的三角函数与特殊值的互化.（2）注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质. （3）注意利用角与角之间的隐含关系. （4）注意利用“1”的恒等变形.拨一拨——思路方法【例1】求证：αβαsin 2sin ）（+－2cos （α+β）=αβsin sin .剖析：先转换命题，只需证sin （2α+β）－2cos （α+β）·sin α=sin β，再利用角的关系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）－α=β可证得结论.证明：sin （2α+β）－2cos （α+β）sin α =sin ［（α+β）+α］－2cos （α+β）sin α=sin （α+β）cos α+cos （α+β）sin α－2cos （α+β）sin α =sin （α+β）cos α－cos （α+β）sin α=sin ［（α+β）－α］=sin β. 两边同除以sin α得 αβαsin 2sin ）（+－2cos （α+β）=αβsin sin .评述：证明三角恒等式，可先从两边的角入手——变角，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略.【例2】试证：θθθθθθsin sin 1tan sin sin 1tan -+++）（）（=θθθθsin tan sin tan +.证明：左边=θθθθθθθθsin sin 1cos sin sin sin 1cos sin -+++）（）（=θθθθcos sin cos sin 1-+1++=2sin 22cos 2sin 22cos 22cos2sin222θθθθθθ++=2sin2cosθθ=cot 2θ，右边=θθθθθθsin cos sin sin cos sin ⋅+=θθsin cos 1+=2cos2sin22cos 22θθθ=cot2θ，∴原等式成立. 【例3】已知α、β∈（0，4π），3sin β=sin （2α+β），4tan 2α=1－tan 22α.求α+β的值.解：∵4tan2α=1－tan 22α， ∴2·tan α=1，tan α=21.∵3sin β=sin （2α+β），∴3sin β=sin （α+β）cos α+cos （α+β）sin α. ∴3sin （α+β）cos α－3cos （α+β）sin α =sin （α+β）cos α+cos （α+β）sin α. ∴sin （α+β）cos α=2cos （α+β）sin α.∴tan （α+β）=2tan α=1.∴α+β=4π.评述：角的变换是常用技巧.如2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）－α等. 【例4】求cot10°－4cos10°的值.提示：cot10°－4cos10°=︒︒10sin 10cos －4cos10°=︒︒-︒10sin 20sin 210cos =︒︒-︒-︒10sin 20sin 22030cos ）（=︒︒-︒+︒10sin 20sin 220sin 2120cos 23 =︒︒-︒10sin 20sin 2320cos 23 =︒︒-︒10sin 2030sin 3）（=3.练一练——巩固提高1.（2003年高考新课程卷）已知x ∈（－2π，0），cos x =54，则tan2x 等于 .解析：∵cos x =54，x ∈（－2π，0）， ∴sin x =－53.∴tan x =－43. ∴tan2x =x x 2tan 1tan 2-=169123--=－23×716=－724. 答案：－724 2.函数y =5sin x +cos2x 的最大值是_______.解析：y =5sin x +cos2x =5sin x +1－2sin 2x =－2（sin x －45）2+833. ∴sin x =1时，y max =4.答案：43.（2004年春季北京）已知sin （θ+π）＜0，cos （θ－π）＞0，则下列不等关系中必定成立的是A.tan2θ＜cot 2θ B.tan2θ＞cot 2θ C.sin 2θ＜cos 2θD.sin 2θ＞cos 2θ解析：由已知得sin θ＞0，cos θ＜0，则tan 2θ－cot 2θ=2cos 2sinθθ－2sin2cosθθ=－θθsin cos 2＞0. ∴tan2θ＞cot 2θ. 答案：B4.下列四个命题中的假命题是A.存在这样的α、β，使得cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin βB.不存在无穷多个α、β，使得cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin βC.对于任意的α、β，cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin βD.不存在这样的α、β，使得cos （α+β）≠cos αcos β－sin αsin β解析：由cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin β=cos αcos β－sin αsin β，得 sin αsin β=0.∴α=k π或β=k π（k ∈Z ）. 答案：B5.求周长为定值L （L ＞0）的直角三角形的面积的最大值.解法一：a +b +22b a +=L ≥2ab +ab 2. ∴ab ≤22+L.∴S =21ab ≤21（22+L ）2=21·［222L ）（-］2=4223-L 2.解法二：设a =c sin θ，b =c cos θ.abc∵a +b +c =L ，∴c （1+sin θ+cos θ）=L . ∴c =θθcos sin 1++L .∴S =21c 2sin θcos θ=22L 2cos sin 1cos sin ）（θθθθ++. 设sin θ+cos θ=t ∈（1，2］，则S =22L ·22121）（t t +-=42L ·11+-t t =42L （1－12+t ）≤42L （1－122+）=4223-L 2. 6.（2004年湖南，17）已知sin （4π+2α）·sin （4π－2α）=41，α∈（4π，2π），求2sin 2α+tan α－cot α－1的值.解：由sin （4π+2α）·sin （4π－2α）=sin （4π+2α）·cos （4π+2α）=21sin （2π+4α）=21cos4α=41，得cos4α=21. 又α∈（4π，2π），所以α=12π5. 于是2sin 2α+tan α－cot α－1=－cos2α+ααααcos sin cos sin 22-=－cos2α+αα2sin 2cos 2-=－（cos2α+2cot2α）=－（cos 6π5+2cot 6π5）=－（－23－23）=253.7.求证：2sin 2sin 12αα-1+=2tan12tan1αα-+.证明：左边=ααcos sin 1+=2sin 2cos 2cos 2sin 222αααα-+）（=2sin 2cos 2sin2cos αα-+，右边=2cos2sin 12cos2sin 1αααα-+=2sin2cos2sin 2cos αααα-+，∵左边=右边，∴原式成立.8.（2005年春季北京，15）在△ABC 中，sin A +cos A =22，AC =2，AB =3，求tan A 的值和△ABC 的面积.分析：本题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力.解法一：∵sin A +cos A =2cos （A －45°）=22， ∴cos （A －45°）=21. 又0°＜A ＜180°，∴A －45°=60°，A =105°. ∴tan A =tan （45°+60°）=3131-+=－2－3.∴sin A =sin105°=sin （45°+60°） =sin45°cos60°+cos45°sin60°=462+. ∴S △ABC =21AC ·AB sin A =21·2·3·462+=43（2+6）. 解法二：∵sin A +cos A =22， ①∴（sin A +cos A ）2=21.∴2sin A cos A =－21. ∵0°＜A ＜180°，∴sin A ＞0，cos A ＜0.∴90°＜A ＜180°.∵（sin A －cos A ）2=1－2sin A cos A =23， ∴sin A －cos A =26. ②①+②得sin A =462+. ①－②得cos A =462-.∴tan A =A Acos sin =462+·624-=－2－3.（以下同解法一）想一想——拓展发散锐角x 、y 满足sin y csc x =cos （x +y ）且x +y ≠2π，求tan y 的最大值. 解：∵sin y csc x =cos （x +y ），∴sin y csc x =cos x cos y －sin x sin y ， sin y （sin x +csc x ）=cos x cos y . ∴tan y =x x xcsc sin cos +=x x x sin 1cos sin +=x x x x 22cos sin 2cos sin +=x x 2tan 21tan +≤xx tan 22tan =42，当且仅当tan x =22时取等号. ∴tan y 的最大值为42.。

三角函数的两角和差及倍角公式练习题(随堂教学)

三角函数的两角和差及倍角公式练习题一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是A ．2B ．－2C ．211D ．-2112、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是A ．16B ．15C ．29D ．3103、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+A ．1318B ．322C ．1322D ．-13184、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝ ⎫⎭⎪232则等于A ．-12B ．-32C ．12D ．325、在∆ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+=；7、若αα23tan ，则=所在象限是；8、已知=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则；9、=︒︒-︒+︒70tan 65tan 70tan 65tan · ；10、化简3232sin cos x x +=。

三、解答题： 11、求的值。

·︒︒+︒100csc 240tan 100sec12、的值。

，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。

cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x·cos()αβ+的值。

答案：一、 1、B2、D 提示: tan x = 3, 所求122sin x , 用万能公式。

3、B 提示: ()απαββπ+=+--⎛⎝ ⎫⎭⎪444、A 提示: 把x =π3代入5、B提示: ∵cos(A + B ) > 0∴角C 为钝角。

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第三节两角和与差及二倍角三角函数公式

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