直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半-----经常练(1)

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直角三角形斜边上的中线(人教版)(含答案)

直角三角形斜边上的中线（人教版）
试卷简介:本套试卷继续训练直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余，斜边长大于任意一条直角边长，30°所对的直角边等于斜边的一半，同时加上斜边中线等于斜边的一半，检测同学们见到什么想什么，以及有序梳理条件、对条件进行搭配和组合的能力．
一、单选题(共10道，每道10分)
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,点P是BD的中点.
③统计数据，检验，防止遗漏．
2．解题过程
3.易错点
未考虑C′D=AD，遗漏三角形ADC′是等腰三角形这一种情形．
试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半
9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC延长线上,且 .若∠D=50°,则∠B的度数为( )
A.25° B.30°
C.40° D.45°
∴∠1=∠B=20°
∴∠3=40°
∵E为AB的中点，∠ACB=90°
∴CE=BE=AE
∴∠2=∠B=20°
∴∠DFE=∠AFC=∠2+∠3=60°
故选C
试题难度：三颗星知识点：三角形的外角
8.如图,AD是直角三角形△ABC斜边上的中线,把△ADC沿AD对折,点C落在点C′处,
连接CC′,则图中共有等腰三角形( )个.
∵F为BD中点
∴EF⊥BD
故选A
试题难度：三颗星知识点：等腰三角形三线合一性质
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,D在CB上,E为AB之中点,AD,CE相交于F,且AD=DB.
若∠B=20°,则∠DFE的度数是( )
A.40° B.50°
C.60° D.70°
答案：C
解题思路：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半例题

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半例题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在中学数学课堂上，直角三角形是一个非常常见的几何形状。

直角三角形的特点是其中一个角为直角（90度），而其他两个角则为锐角和钝角，另外两条边分别为斜边和两条直角边。

直角三角形的性质十分有趣，其中有一条性质是斜边上的中线等于斜边的一半。

这个性质看似简单，但需要一些几何知识和推理来证明。

让我们来了解一下中线是什么。

在一个三角形中，中线是连接一个角的顶点和对边中点的线段。

对于直角三角形来说，如果我们将斜边一分为二，使之成为等分线，那么这条等分的线段就是斜边上的中线。

接下来，让我们来证明斜边上的中线等于斜边的一半。

假设我们有一个直角三角形ABC，其中角A为直角，AB和AC分别为直角边，BC为斜边。

我们需要证明BD（BC的中线）等于BC的一半。

我们可以得出直角三角形ABC中的角B和角C分别为锐角和钝角。

根据直角三角形的性质，角B和角C的和为90度，即B+C=90度。

又因为直角三角形中，直角边的对边相等，所以AB=AC。

我们可以得出结论：斜边上的中线等于斜边的一半。

在这个例子中，BD等于BC的一半，也就是说斜边BC的中线等于一半的斜边BC。

这个性质在几何学中有许多应用，特别是在解题时。

通过掌握这个性质，我们可以更快地解决直角三角形的问题，提高我们的数学能力和解题速度。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是一个十分有趣的几何性质。

通过几何推理和证明，我们可以更深入地理解这个性质，并在实际问题中灵活运用。

希望同学们在学习数学的过程中，能够多多探索，多多实践，不断提升自己的数学水平。

【2000字】第二篇示例：直角三角形是三角形中特殊的一种，其中一个角是直角（即90度角）。

在直角三角形中，斜边是最长的一条边，其余两边分别称为直角边。

而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这是一个非常有趣且有趣的几何性质。

考虑一个直角三角形ABC，其中∠C是直角，AB为斜边，AC和BC为直角边。

专题14 直角三角形斜边上的中线-2020-2021学年八年级数学下册常考题专练(人教版)(解析版)

专题14直角三角形斜边上的中线★知识归纳●直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点梳理：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.★实操夯实一．选择题（共16小题）1．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（）A．B．C．D．7【解答】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝7，∴AB＝4，由勾股定理知AF＝＝，故选：B．2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝6，则CP的长为（）A．3B．3.5C．4D．4.5【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA＝30°，∴BD＝AD，∵AD＝6，∴BD＝6，∵P点是BD的中点，∴CP＝BD＝3．故选：A．3．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（）A．不变B．变小C．变大D．无法判断【解答】解：不变．连接OP，在Rt△AOB中，OP是斜边AB上的中线，那么OP＝AB，由于木棍的长度不变，所以不管木棍如何滑动，OP都是一个定值．故选：A．4．如图，∠ABC＝∠ADC＝Rt∠，E是AC的中点，则（）A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．∠1与∠2大小关系不能确定【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴DE＝AC，BE＝AC，∴DE＝BE，∴∠1＝∠2．故选：B．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为斜边AB上的中点，则CD为（）A．10B．3C．5D．4【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∵点D为斜边AB上的中点，∴CD＝AB＝×10＝5，故选：C．6．已知直角三角形斜边上的中线长为3，则斜边长为（）A．3B．6C．9D．12【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线长为3，∴斜边长是6．故选：B．7．直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【解答】解：直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为3cm，故选：C．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝10，则CD＝（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝10，∴AE＝CE＝10，∵AD＝2，∴DE＝8，∵CD为AB边上的高，在Rt△CDE中，CD＝＝＝6，故选：D．9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6cm，D为AB的中点，则CD等于（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AB＝×6＝3cm．故选：C．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC延长线上，且AD＝BC，若∠D＝40°，则∠B＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°【解答】解：取BC的中点E，连接AE，∵∠BAC＝90°，点E是BC的中点，∴AE＝BC＝BE，∴∠B＝∠EAB，∵AD＝BC，∴AE＝AD，∴∠AED＝∠D＝40°，∴∠B＝20°，故选：B．11．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（）A．10B．6C．8D．5【解答】解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∵E为AC的中点，∴DE＝AC＝×10＝5，故选：D．12．如图在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝3，BC＝8，则△EFM的周长是（）A．21B．15C．13D．11【解答】解：∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点，∴EM＝FM＝BC＝×8＝4，∴△EFM的周长＝8+8+3＝11．故选：D．13．如图，边长为2的等边三角形ABC，点A，B分别在y轴和x轴正半轴滑动，则原点O到C的最长距离（）A．B．C．D．【解答】解：取AB的中点D，连接OD，CD，在△OCD中，OC＜OD+CD，只有当O，D，C三点在一条线上时，OC＝OD+CD，此时OC最大，如图所示，OC⊥AB，∵△AOB为等腰直角三角形，AB＝2，∴OD＝AB＝1，在Rt△BCD中，BC＝2，BD＝1，根据勾股定理得：CD＝＝，∴OC＝+1．故选：D．14．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5B．C．D．2【解答】解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，∴AC＝，CF＝3，∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，由勾股定理得，AF＝＝＝2，∵H是AF的中点，∴CH＝AF＝×2＝．故选：B．15．如图，△ABC中，∠A+∠B＝90°，AD＝DB，CD＝3，则AB的长度为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵△ABC中，∠A+∠B＝90°，∴∠ACB＝90°．∵AD＝DB，∴CD是该直角三角形斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝6．故选：D．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝3，AE平分∠BAC，∴BE＝CE＝BC＝2，又∵D是AB中点，∴BD＝AB＝，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC＝，∴△BDE的周长为BD+DE+BE＝++2＝5．故选：C．二．填空题（共7小题）17．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝4，BC＝10，则△EFM的周长是14．【解答】解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，BC＝8，∴在Rt△BCE中，EM＝BC＝5，在Rt△BCF中，FM＝BC＝5，又∵EF＝4，∴△EFM的周长＝EM+FM+EF＝5+5+4＝14．故答案是：14．18．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，E是AC的中点，若AB＝6，则DE的长为3．【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵点E为AC的中点，∴DE＝AC＝3．故答案为：3．19．如图所示，在△ABC中，∠C＝2∠B，点D是BC上一点，AD＝5，且AD⊥AB，点E是BD上的点，AE＝BD，AC＝6.5，则AB的长度为12．【解答】解：∵Rt△ABD中，AE＝BD，∴AE＝BE＝DE；∴∠B＝∠BAE，即∠AED＝2∠B；∵∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C，即AE＝AC＝6.5；∴BD＝2AE＝13；由勾股定理，得：AB＝＝12．20．如图，△AEF是直角三角形，∠AEF＝90°，B为AE上一点，BG⊥AE于点B，GF∥BE，且AD＝BD＝BF，∠BFG＝60°，则∠AFG的度数是20°．【解答】解：∵四边形BEFG是长方形，∴FG∥BE，∴∠FBE＝∠BFG＝60°，∵AD＝BD＝BF，∴∠A＝∠ABD，∠BDF＝∠BFD，∵∠BDF＝∠DFB＝∠A+∠ABD＝2∠A，∴∠EBF＝∠A+∠AFB＝3∠A＝60°，∴∠A＝20°，∵FG∥BE，∴∠AFG＝∠A＝20°，故答案为：20°．21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为．【解答】解：如图，连接DM，DN，由图可以得到M的轨迹是一条线段（AD的垂直平分线的一部分），M在AN上的时候最大（此时AM最大，MN最小），当M在AN上时，设AM＝x，则MN＝3﹣x，DM＝AM＝x，DN＝AB＝，在直角三角形DMN中，根据勾股定理，得DM2＝DN2+MN2，∴x2＝（3﹣x）2+2.52，解得x＝，∴3﹣x＝，此时AM﹣MN＝﹣＝．∴AM﹣MN的最大值为．故答案为：．22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF＝CD，过点B 作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为6．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，∴CD＝AB＝4.5．∵CF＝CD，∴DF＝CD＝×4.5＝3．∵BE∥DC，∴DF是△ABE的中位线，∴BE＝2DF＝6．故答案为6．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B＝50°，则∠ACB′＝10°．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝50°，∴∠A＝40°，∵∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，∴CD＝BD，CD＝AD，∴∠BCD＝∠B＝50°，∠DCA＝∠A＝40°，由翻折变换的性质可知，∠B′CD＝∠BCD＝50°，∴∠ACB′＝∠B′CD﹣∠DCA＝10°，故答案为：10°．三．解答题（共4小题）24．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．（1）求证：CG＝EG．（2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积．【解答】（1）证明：连接DE，在Rt△ADB中，点E是AB的中点，∴DE＝AB＝AE，∵CD＝AE，∴DE＝DC，又DG⊥CE，∴CG＝EG．（2）解：作EF⊥BC于F，∵BC＝13，CD＝5，∴BD＝13﹣5＝8，∵DE＝BE，EF⊥BC，∴DF＝BF＝4，∴EF＝＝＝3，∴△EDC的面积＝×CD×EF＝×5×3＝7.5．25．如图：BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，若EF＝6，BC＝24．（1）证明∠ABE＝∠ACF；（2）判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论；（3）求MN的长．【解答】解：（1）∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，∴∠ABE+∠A＝90°，∠ACF+∠A＝90°，∴∠ABE＝∠ACF；（2）MN垂直平分EF．证明：如图，连接EM、FM，∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，M是BC的中点，∴EM＝FM＝BC，∵N是EF的中点，∴MN垂直平分EF；（3）∵EF＝6，BC＝24，∴EM＝BC＝×24＝12，EN＝EF＝×6＝3，由勾股定理得，MN＝＝＝3．26．拓展：如图四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，EF平分∠BED交BD于点F．（1）猜想EF与BD具有怎样的关系？（2）试证明你的猜想．【解答】解：（1）EF垂直平分BD，（2）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，∴BE＝AE＝EC，ED＝AE＝EC，∴BE＝DE，∵EF平分∠BED交BD于点F，∴EF⊥BD，BF＝FD，即EF垂直平分BD．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，AM＝AN，∠N+∠CAN＝180°．求证：MN＝AC．【解答】证明：∵∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，∴CM＝AM，∴∠MCA＝∠MAC，∵AM＝AN，∴∠AMN＝∠ANM，∵∠N+∠CAN＝180°，∴AC∥MN，∴∠AMN＝∠MAC，∴∠AMC＝∠NAM，∴AN∥MC，又AC∥MN，∴四边形ACMN是平行四边形，∴MN＝AC．。

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一、直角三角形的性质《解直角三角形》专题复习1、直角三角形的两个锐角互余A几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

1D几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC= AB 】23、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

几何表示：【∵∠ACB=90° D 为 AB 的中点 ∴ CD= 1 AB=BD=AD 】2C B4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方几何表示：【在 Rt△ABC 中∵∠ACB=90° ∴ a 2 + b 2 = c 2 】5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。

即：【∵∠ACB=90°CD⊥AB∴ CD 2 = AD • BDAC 2 = AD • AB BC 2 = BD • AB 】6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。

（ a • b = c • h ）由上图可得：AB • CD=AC • BC二、锐角三角函数的概念如图，在△ABC 中，∠C=90°sin A = ∠A 的对边 =a斜边 c cos A = ∠A 的邻边 =b斜边 c tan A = ∠A 的对边 =a∠A 的邻边 b cot A = ∠A 的邻边 =b ∠A 的对边 a锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数锐角三角函数的取值范围：0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.三、锐角三角函数之间的关系（1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于 1) sin 2 A + cos 2 A = 1 （2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数） tanA • tan(90°—A)=1； cotA • cot(90°—A)=1；（3）弦切关系tanA= sin A cos A cotA= cos Asin A （4）互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等) sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)30°23 60°C仰角俯角北东南iα1tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)四、特殊角的三角函数值A说明：锐角三角函数的增减性，当角度在 0°~90°之间变化时. （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） B（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） A（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）2五、解直角三角形2 在 Rt△中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

浙教版数学八下课件5.1.3直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半

E
做一做
1、如图Ｒt⊿ABC中，∠ＡＣＢ＝９０°，点Ｄ，Ｆ
分别是ＡＣ，ＢＣ边上的中点，点Ｅ是ＡＢ边上的
中点，如果ＣＥ＝３，则ＤＦ＝＿＿＿
∵点Ｅ是ＡＢ边上的中点，∠ＡＣＢ＝９０° ∴ＣＥ是Ｒt⊿ABC的斜边的中线 ∴ＡＢ＝２ＣＥ＝２×３＝６直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半）（＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
AB 2
1
A
C
一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
求证： ΔABC是直角三角形 1 证明：延长CD到E，使DE=CD = CE，
1 已知：在ΔABC中，CD是边AB上的中线，且 CD AB 2
E D
连接AE，BE。
∵CD是边AB上的中线， ∴AD=DB 又∵CD=DE， ∴四边形AEBC是平行四边形
练一练
（1）在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC= 2 2 3 BC=1，则AB边上的中线长为________ 2
（2）如图，一斜坡AB的中点为D，BC=1，CD=2，则斜坡的坡比为______ 1 : 15
B C D A
练一练
（3）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，
∠BAE=30 ，AE=2，则BD=________ 7 A D A D
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
已知:在Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠, CD是斜边AB上的中线, 求证:CD=1/2AB
A
D
C
B
已知：在RtΔ ABC中，∠ACB=Rt∠,CD是斜边AB上的中线求证：CD=
证明：延长CD到E，使DE=CD=
1 CE，连接AE，BE。 2 ∵CD是斜边AB上的中线， E ∴AD=DB。 D 又∵CD=DE， ∴四边形AEBC是平行四边形请说出这个命题的逆命题，并证明；对角线互相平分的四边形是平行四边形（ _________________________________） ∵ ∠ACB=Rt∠ B ∴四边形AEBC是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形（______________________________________ ） ∴CE=AB 1 矩形的对角线相等（____________________________ ），∴CD= 2 AB。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测题(含答案解析)

一、选择题1．如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是()A．AB∥DC B．AB＝DCC．AC⊥BD D．AC＝BD2．如图，边长为,a b的矩形的周长为14，面积为10，则22a b ab+的值为（）A．140 B．70 C．35 D．243．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F 处．若AB＝3，BC＝5，则DE的长为（）A．12B．53C．25D．134．如图，边长为22+的正方形，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的边长为（）A．0.5 B．22C．1 D25．如图，已知正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4和1，若将正方形AEFG绕点A旋转，则在旋转过程中，点,C E之间的最小距离为（）A ．3B ．421-C ．321-D ．42 6．如图，以ABC 的每一条边为边作三个正方形．正方形ABIH 的顶点H 恰好在ED 边上，记DHK △的面积为1S ，AHE 的面积为2S ，ABC 的面积为3S ，四边形CJIK 的面积为4S ，四边形BFGJ 的面积为5S ．若12534S S S S S ++=+，则3S 与4S 的大小关系式成立的是( )A ．34S S >B ．34S S =C ．34S S <D ．无法判断 7．给出下列命题，其中错误命题的个数是（）①四条边相等的四边形是正方形；②四边形具有不稳定性；③有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；④一组对边平行的四边形是平行四边形．A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，小红在作线段AB 的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A ，B 为圆心，大于线段AB 长度一半的长为半径画弧，相交于点C ，D ，则直线CD 即为所求．连结AC ，BC ，AD ，BD ，根据她的作图方法可知，四边形ADBC 定是．．（）A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形 9．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，延长CB 至E 使BE=CB ，连续AE ．下列结论①AE=2OE ；②90EAC ∠=︒；③四边形ADBE 为平行四边形；④34AEBO ABCD S S =四边形菱形中，正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A ．两组对边分别平行B ．对角线相等C ．对角线互相垂直D ．两组对角分别相等 11．如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）A ．甲、乙都可以B ．甲、乙都不可以C ．甲不可以、乙可以D ．甲可以、乙不可以12．如图所示，正方形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上两点，连接BE ，BF ，DE ，DF ，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF 是菱形（）A ．∠1＝∠2B ．BE ＝DFC ．∠EDF ＝60°D ．AB ＝AF二、填空题13．（知识衔接）（1）长方形的对角线相等且互相平分；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（问题解决）如图，在ABCD 中，2CD AD =，BE AD ⊥于点E ，F 为DC 的中点，连结EF ，BF ．下列结论：①2ABC ABF ∠=∠；②EF BF =；③S 四边形DEBC 2EFB S =△；④4CFE DEF ∠=∠．正确的是_______14．如图，四边形ABCD 是一个正方形，E 是BC 延长线上一点，且AC ＝EC ，则∠DAE 的度数为_________．15．已知：如图，点P 是边长为2的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M 是AB 边的中点，且60BAD ∠=︒，则MP PB +的最小值是_______．16．如图，在菱形ABCD 中，AB=18cm ，∠A=60°，点E 以2cm/s 的速度沿AB 边由A 向B 匀速运动，同时点F 以4cm/s 的速度沿CB 边由C 向B 运动，F 到达点B 时两点同时停止运动．当点E 运动_______秒时，△DEF 为等边三角形．17．如图，BD为矩形ABCD的对角线，点E在BC上，连接AE，AE=52，EC=7，∠C=2∠DAE，则BD=__．18．如图，长方形ABCD中，AD＝8，AB＝4，BQ＝5，点P在AD边上运动，当BPQ为等腰三角形时，AP的长为_____．19．如图，将一个长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C点与A点重合，若==，则线段DF的长是_________．AB AD2,420．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（3，2），则对角线AC＝_____．三、解答题21．△ABC是等腰三角形，其中AB＝BC，将△ABC绕顶点B逆时针旋转50°到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别相交于点E，F．（1）求证：△BCF≌△BA1D；（2）当∠C＝50°时，判断四边形A1BCE的形状并说明理由．22．如图，长方形ABCD中，AD＝a cm，AB＝b cm，且a、b满足|8－a|＋(b－4)2＝0．（1）长方形ABCD的面积为；（2）动点P在AD所在直线上，从A出发向左运动，速度为2cm/s，动点Q在DC所在直线上，从D出发向上运动，速度为4cm/s．动点P、Q同时出发，设运动时间为t秒．①当点P在线段AD上运动时，求以D、P、B、Q为顶点的四边形面积；（用含t的式子表示）②求当t为何值时，S△BAP＝S△CQB．⊥，交AB于点E，过点A作23．如图，过ABC边AC的中点O，作OE ACAD BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分ACB //⊥∠，CE BO 于点F．（1）求证：①OC BC=，②四边形ABCD是矩形；BC=，求DE的长．（2）若324．如图，已知四边形ABCD中，90∠=∠=︒，点E是AC中点，点F是BD中ABC ADC点．（1）求证：EF BD ⊥；（2）过点D 作DH AC ⊥于H 点，如果BD 平分HDE ∠，求证：BA BC =． 25．如图，长方形ABCD 沿着直线DE 和EF 折叠，使得AB 的对应点A′，B′和点E 在同一条直线上．（1）写出∠AEF 的补角和∠ADE 的余角；（2）求∠DEF ．26．如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处．（1）求点E 的坐标；（2）求点D 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】连AC ，BD ，根据三角形中位线的性质得到EF ∥AC ，EF=12AC ；HG ∥AC ，HG=12AC ，即有四边形EFGH 为平行四边形，当AB ∥DC 和AB=DC ，只能判断四边形EFGH 为平行四边形；当AC ⊥BD ，只能判断四边形EFGH 为矩形；当AC=BD ，可判断四边形EFGH 为菱形．【详解】解：连AC ，BD ，如图，∵E 、F 、G 、H 为四边形ABCD 各中点，∴EF ∥AC ，EF=12AC ；HG ∥AC ，HG=12AC ， ∴四边形EFGH 为平行四边形，要使四边形EFGH 为菱形，则EF=EH ，而EH=12AC ， ∴AC=BD ．当AB ∥DC 和AB=DC ，只能判断四边形EFGH 为平行四边形，故A 、B 选项错误；当AC ⊥BD ，只能判断四边形EFGH 为矩形，故C 选项错误；当AC=BD ，可判断四边形EFGH 为菱形，故D 选项正确．故选D ．【点睛】本题考查了菱形的判定定理：邻边相等的平行四边形是菱形．也考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质．2．B解析：B【分析】由矩形的周长和面积得出7a b +=，10ab =，再把多项式分解因式，然后代入计算即可．【详解】根据题意得：1472a b +==，10ab =， ∴22a b ab +()10770ab a b =+=⨯=；故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质、分解因式、矩形的周长和面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．3．B解析：B【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到DE的长．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，BF4，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，在Rt△ECF中，CE2+FC2＝EF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝43，∴DE＝3﹣x＝53，故选：B．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键．4．D解析：D【分析】设正八边形的边长为x，表示出剪掉的等腰直角三角形的直角边，再根据正方形的边长列出方程求解即可．【详解】解：设正八边形的边长为x，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为2x，∵正方形的边长为2+，∴2x+x x+=+解得：2x = ∴正八边形的边长为2故选：D【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，读懂题目信息，根据正方形的边长列出方程是解题的关键．5．B解析：B【分析】连接CE 、AC ，根据正方形ABCD 与正方形AEFG 的边长分别为4和1，可以求出AC 的长，又因为CE≥AC -AE ，所以当A 、E 、C 三点共线时取等号，即可求值；【详解】如图，连接CE 、AC ，已知正方形ABCD 与正方形AEFG 的边长分别为4和1，∴ AB=BC=4，AE=1，由勾股定理得：222AC AB BC =+ ，∴224442AC =+=∵ CE≥AC-AE ，∴CE≥421-，∴CE 的最小值为421-，故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、以及三角形的三边关系，正确掌握知识点是解题的关键．6．B解析：B【分析】设,,AC b BC a AB c ===，则有22125,BCJ ACKH S S S b S S a ++=+=四边形，234+BCJ ACKH S S S S c ++=四边形，进而可得△ABC 是直角三角形，然后由正方形的性质可证△ABJ ≌△BIK ，最后根据等积法可求解．【详解】解：∵四边形ACDE 、ABIH 、BCGF 都是正方形，∴AB=AH=BI ，AC=AE ，∠ABI=∠BIK=90°，∠GCB=90°，设,,AC b BC a AB c ===，则有22125,BCJ ACKH S S S b S S a ++=+=四边形，234+BCJ ACKH S S S Sc ++=四边形， ∵12534S S S S S ++=+，∴222+=a b c ， ∴△ABC 是直角三角形，∴∠ACB=90°，∴A 、C 、G 三点共线，∵∠JAB+∠ABC=90°，∠KBI+∠ABC=90°，∴∠JAB=∠KBI ，∵∠ABJ=∠BIK=90°，∴△ABJ ≌△BIK （ASA ），ABJ BIK SS ∴=， ∵34,+ABJ BCJ BIK BCJ S S S S S S =+=，∴34S S =；故选B ．【点睛】本题主要考查正方形的性质及勾股定理，熟练掌握正方形的性质及勾股定理是解题的关键．7．C解析：C【分析】利用正方形的判定、直角三角形全等的判定、平行四边形的判定定理对每个选项依次判定解答．【详解】①四条边相等的四边形是菱形，故①错误；②四边形具有不稳定性，故②正确；③两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，两个锐角对应相等，因此构成了AAA ，不能判定全等，故③错误；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故④错误；综上，错误的命题有①③④共3个．故选：C ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定、平行四边形的判定及直角三角形全等的判定．8．C解析：C【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC 四边的关系进而得出四边形一定是菱形．【详解】∵分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ， ∴AC=AD=BD=BC ，∴四边形ADBC 一定是菱形，故选C ．【点睛】考查了线段垂直平分线的性质以及菱形的判定，得出四边形四边关系是解决问题的关键． 9．D解析：D【分析】先判定四边形AEBD 是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及菱形的性质，即可得出结论．【详解】解：四边形ABCD 是菱形，AD BC ∴=，//AD BC ，2BD DO =，又BC BE =，AD BE ∴=，∴四边形AEBD 是平行四边形，故③正确，AE BD ∴=，2AE DO ，故①正确；四边形AEBD 是平行四边形，四边形ABCD 是菱形，//AE BD ∴，AC BD ⊥，AE AC ∴⊥，即90CAE ∠=︒，故②正确；四边形AEBD 是平行四边形， 12ABE ABD ABCD S S S 菱形，四边形ABCD 是菱形，14ABO ABCDS S 菱形， 34ABE ABO AEBO ABCDS S S S 四边形菱形，故④正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及平行四边形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键．10．B解析：B【分析】矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分，互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，据此解答．【详解】A、是菱形的性质，是矩形的性质，故本选项不符合题意；B、是矩形的性质，不是菱形的性质，故本选项符合题意；C、是菱形的性质，不是矩形的性质，故本选项不符合题意；D、矩形、菱形的对角都相等，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查矩形的性质，菱形的性质，熟记各自的性质特征是解题的关键．11．A解析：A【解析】试题分析：剪拼如下图：乙故选A考点：剪拼，面积不变性，二次方根12．B解析：B【分析】由正方形的性质，可判定△CDF ≌△CBF ，则BF=FD=BE=ED ，故四边形BEDF 是菱形．【详解】由正方形的性质知，∠ACD=∠ACB=45°，BC=CD ，CF=CF ，∴△CDF ≌△CBF ，∴BF=FD ，同理，BE=ED ，∴当BE=DF ，有BF=FD=BE=ED ，四边形BEDF 是菱形．故选B ．【点睛】考查了菱形的判定，解题关键是灵活运用全等三角形的判定和性质，及菱形的判定.二、填空题13．①②③【分析】利用平行线的性质等腰三角形的性质即可判断①；延长EF 与BC 的延长线相交与点G 易证再根据全等三角形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可判断②；根据三角形中位线的性质即可判断③ 解析：①②③【分析】利用平行线的性质，等腰三角形的性质即可判断①；延长EF 与BC 的延长线相交与点G ，易证DEF CGF ≅△△，再根据全等三角形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可判断②；根据三角形中位线的性质即可判断③；设DEF x ∠=，根据三角形外角和平行线的性质即可判断④．【详解】解：F 为DC 的中点，2CD CF ∴=2CD AD =,AD BC =CF BC AD ∴==CFB CBF ∴∠=∠//AB CDCFB ABF ∴∠=∠ABF CBF ∴∠=∠2ABC ABF ∴∠=∠,故①正确；延长EF 与BC 的延长线相交与点G ，//AD BC ，BE AD ⊥DEF G ∴∠=∠，⊥BE BG在DEF 和CGF △中，DEF G EFD GFC DF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩DEF CGF ∴≅△△EF GF ∴=在Rt EBG 中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，EF BF ∴=，故②正确；BF 是EBG 的中线2BEG BEF S S ∴=△△又DEF CGF S S =△△∴S 四边形DEBC =S △BEC∴S 四边形DEBC =2S △BEF ，故③正确；设DEF x ∠=//AD BCDEF G x ∴∠=∠=FG FB =G FBG x ∴∠=∠=2EFB x ∴∠=，CFB CBF x ∠=∠=233CFE CFB BFE x x x DEF ∴∠=∠+∠=+==∠，故④错误；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线、三角形外角性质、三角形中位线、等腰三角形的三线合一、全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．14．5°【分析】由四边形ABCD 是一个正方形根据正方形的性质可得∠ACB=45°又由AC=EC 根据等边对等角可得∠E=∠CAE 继而根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求得∠EAC 的度数进一步即可求得∠D解析：5°【分析】由四边形ABCD 是一个正方形，根据正方形的性质，可得∠ACB=45°，又由AC=EC ，根据等边对等角，可得∠E=∠CAE ，继而根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求得∠EAC 的度数，进一步即可求得∠DAE 的度数．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴45ACB ∠=︒，∴18045135ACE ∠=-=︒︒︒，又∵AC CE =， ∴()118013522.52CAE CEA ∠=∠=⨯︒-︒=︒，则4252.52.52DAE DAC CAE ∠=∠-∠=-︒=︒︒．故答案为：22.5°【点睛】此题考查了正方形的性质以及等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．15．【分析】找出B 点关于AC 的对称点D 连接DM 则DM 就是PM+PB 的最小值求出即可【详解】解：连接DE 交AC 于P 连接BDBP 由菱形的对角线互相垂直平分可得BD 关于AC 对称则PD=PB ∴PE+PB=PE+【分析】找出B 点关于AC 的对称点D ，连接DM ，则DM 就是PM+PB 的最小值，求出即可．【详解】解：连接DE 交AC 于P ，连接BD ，BP ，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B 、D 关于AC 对称，则PD=PB ，∴PE+PB=PE+PD=DE ，即DM 就是PM+PB 的最小值，∵∠BAD=60°，AD=AB ，∴△ABD 是等边三角形，∴DE ⊥AB （等腰三角形三线合一的性质）在Rt △ADE 中，DM=22ADAM －=2221=3－．故PM+PB 的最小值为3．故答案为：3．【点睛】本题考查的是最短线路问题及菱形的性质，由菱形的性质得出点D 是点B 关于AC 的对称点是解答此题的关键．16．3s 【分析】连接BD 易证△ADE ≌△BDF 即可推出AE ＝BF 列出方程即可解决问题【详解】连接BD 如图：∵四边形ABCD 是菱形∠A ＝60°∴AD ＝CD ＝BC ＝AB ＝18△ADB △BDC 都是等边三角形∴解析：3s【分析】连接BD ．易证△ADE ≌△BDF ，即可推出AE ＝BF ，列出方程即可解决问题．【详解】连接BD ．如图：∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴AD ＝CD ＝BC ＝AB ＝18，△ADB ，△BDC 都是等边三角形，∴AD ＝BD ，∠ADB ＝∠DBF ＝60°，∵△DEF 是等边三角形，∴∠EDF ＝60°，∴∠ADB ＝∠EDF ，∴∠ADE ＝∠BDF ，在△ADE 和△BDF 中，60A DBF AD BDADE BDF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE ≌△BDF （ASA ），∴2t＝18−4t，∴t＝3，故答案为：3s．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程等知识，解题的关键是利用全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17．13【分析】直接利用矩形的性质结合等腰直角三角形的性质得出ABBE的长再利用勾股定理得出BD的长【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠C=90°AD∥BC∵∠C=2∠DAE∴∠DAE=45解析：13【分析】直接利用矩形的性质结合等腰直角三角形的性质得出AB，BE的长，再利用勾股定理得出BD的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C=90°，AD∥BC，∵∠C=2∠DAE，∴∠DAE=45°，∴AB=BE，∵，∴AB=BE=5，∵EC=7，∴AD=BC=12，∴．故填：13．【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理、等腰直角三角形的性质，正确得出AB，BE的长是解题关键．18．3或或2或8【分析】根据矩形的性质可得∠A＝90°BC＝AD＝8然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论根据勾股定理和垂直平分线等知识即可求解【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴∠A＝90°BC＝AD＝8解析：3或52或2或8【分析】根据矩形的性质可得∠A＝90°，BC＝AD＝8，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，根据勾股定理和垂直平分线等知识即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，BC ＝AD ＝8，分三种情况：①BP ＝BQ ＝5时，AP ＝22BP AB -＝2254-＝3；②当PB ＝PQ 时，作PM ⊥BC 于M ，则点P 在BQ 的垂直平分线时，如图所示：∴AP ＝12BQ ＝52； ③当QP ＝QB ＝5时，作QE ⊥AD 于E ，如图所示：则四边形ABQE 是矩形，∴AE ＝BQ ＝5，QE ＝AB ＝4， ∴PE 22QP QE -2254-3，∴AP ＝AE ﹣PE ＝5﹣3＝2；④当点P 和点D 重合时，∵CQ=3，CD=4，∴根据勾股定理，PQ=5=BQ ，此时AP=AD=8，综上所述，当BPQ 为等腰三角形时，AP 的长为3或52或2或8；故答案为：3或52或2或8．【点睛】此题考查的是矩形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握矩形的性质、等腰三角形的性质、分类讨论的数学思想和勾股定理是解题关键． 19．【分析】根据折叠的性质和勾股定理即可求得【详解】解：∵长方形纸片∴根据折叠的性质可得设根据勾股定理即解得故答案为：【点睛】本题考查折叠与勾股定理能正确表示直角三角形的三边是解题关键解析：32【分析】根据折叠的性质和勾股定理即可求得DF ．【详解】解：∵长方形纸片ABCD ，∴2CD AB ==，90C ∠=︒，根据折叠的性质可得'2AD CD AB ===，90AD F C '∠=∠=︒，D F DF '=，设D F DF x '==，4AF AD DF x =-=-，根据勾股定理D F AD AF ''+=，即()2224x x +=-，解得32x =，故答案为：32．【点睛】本题考查折叠与勾股定理．能正确表示直角三角形的三边是解题关键．20．【分析】连接ACBO 依据点B 的坐标为（32）即可得到OB ＝再根据四边形ABCO 是矩形即可得出对角线AC 的长【详解】解：如图连接ACBO ∵点B 的坐标为（32）∴OB ＝＝∵四边形ABCO 是矩形∴AC ＝B【分析】连接AC ，BO ，依据点B 的坐标为（3，2），即可得到OB ABCO 是矩形，即可得出对角线AC 的长.【详解】解：如图，连接AC ，BO ，∵点B 的坐标为（3，2），∴OB∵四边形ABCO 是矩形，∴AC ＝BO【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理，熟知矩形的对角线相等是解答此题的关键.三、解答题21．（1）见解析；（2）四边形A 1BCE 是菱形，理由见解析．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AB=BC ，∠A=∠C ，由旋转的性质得到A 1B=AB=BC ，∠A=∠A 1=∠C ，∠A 1BD=∠CBC 1，根据全等三角形的判定定理得到△BCF ≌△BA 1D ；（2）由旋转的性质得到∠A 1=∠A ，根据平角的定义得到∠DEC=180°-50=130º，根据四边形的内角和得到∠ABC=360°-∠A 1-∠C-∠A 1EC=180°-50=130º，证得四边形A 1BCE 是平行四边形，由于A 1B=BC ，即可得到四边形A 1BCE 是菱形．【详解】解：（1）证明：∵△ABC 是等腰三角形，∴AB=BC ，∠A=∠C ，∵将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转50度到△A 1BC 1的位置，∴A 1B=AB=BC ，∠A=∠A 1=∠C ，∠A 1BD=∠CBC 1，在△BCF 与△BA 1D 中，111A C AB BCA BD CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BCF ≌△BA 1D （ASA ）；（2）四边形A 1BCE 是菱形，理由：∵将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转50度到△A 1BC 1的位置，∴∠A 1=∠A ，∵∠ADE=∠A 1DB ，∴∠AED=∠A 1BD=50º，∴∠DEC=180°-50º=130º，∵∠C=50º，∴∠A 1=50º，∴∠A 1BC=360°-∠A 1-∠C-∠A 1EC=180°-50º=130º，∴∠A 1=∠C ，∠A 1BC=∠A 1EC ，∴四边形A 1BCE 是平行四边形，∴A 1B=BC ，∴四边形A 1BCE 是菱形．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．22．（1）32cm 2；（2）①四边形的面积为S ＝12t ＋16（cm 2）；②当t ＝43或45时，S △BAP ＝S △CQB ．【分析】(1) 由|8－a|＋(b －4)2＝0．可求=8=4a b ，，可求长方形ABCD 的面积=AD•AB ＝32(cm 2)；(2)① 当P 在线段AD 上运动时，如图，DP ＝8－2t ，DQ ＝4t ，连BD ，可求S 四边形BPDQ ＝S △BDP ＋S △BDQ ＝12t ＋16(cm 2)；②由S △BAP ＝S △CQB ，可列方程12×2t×4＝12×|4t －4|×8，化去绝对值44t t -=±分类解方程即可．【详解】解：(1) a 、b 满足|8－a|＋(b －4)2＝0．∵()28-0,40a b ≥-≥， ∴8-=04=0a b -，，∴=8=4a b ，，∴AD ＝8cm ，AB ＝4cm ，∴长方形ABCD 的面积=AD•AB ＝32(cm 2)；(2)① 当P 在线段AD 上运动时，如图，DP ＝8－2t ，DQ ＝4t ，连BD ，S 四边形BPDQ ＝S △BDP ＋S △BDQ ，＝12(8－2t)×4＋12×4t×8，＝12t ＋16(cm 2)； ②由S △BAP ＝S △CQB ，得：12×2t×4＝12×|4t －4|×8，即|4t －4|＝t ，44t t -=±，44t t -=或44t t -=-，解得：t ＝43或45，当t ＝43或45时，S △BAP ＝S △CQB ．【点睛】本题考查非负数和的性质，矩形面积，四边形面积，一元一次方程，掌握非负数的性质，利用非负数求出AD ，AB ，会求矩形面积，以及四边形面积，会利用三角形面积列方程解决问题是解题关键．23．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）DE =【分析】（1）①运用ASA 证明OCF BCF ≌△△即可得出结论；②先证明四边形ABCD 是平行四边形，再证明90EBC ∠=︒即可得出结论；（2）证明△OCB 是等边三角形，得∠ECB=30°，求出AE 的长，再运用勾股定理求出DE 的长即可．【详解】证明：（1）①∵CE 平分BCA ∠，∴OCE BCE ∠=∠．∵BO CE ⊥，∴90∠∠==︒CFO CFB ．又∵CF CF =，∴()≌OCF BCF ASA △△∴OC BC =．②∵O 是AC 的中点，∴OA OC =．又∵//AD BC ．∴DAO BCO ∠=∠，ADO CBO ∠=∠．∴()≌OAD OCB ASA △△．∴AD BC =．∵//AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵OE AC ⊥，∴90EOC ∠=︒∵OCE BCE ∠=∠，CE CE =，OC BC =，∴()≌OCE BCE ASA △△．∴90∠∠==︒EBC EOC ．∴四边形ABCD 是矩形．（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴3AD BC ==，90DAB ∠=︒，AC BD =．∴OB OC =．∵OC BC =，∴OB OC BC ==．∴OBC 是等边三角形．∴60OCB ∠=︒ ∴1302∠∠︒==ECB OCB ． ∵90EBC ∠=︒， ∴12=EB EC ． ∵222BE BC EC +=，3BC =． ∴EB =EC = ∵OE AC ⊥，OA OC =， ∴==EC EA ．在Rt ADE △中，90DAB ∠=︒，∴===DE【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理以及直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解答此题的关键．24．（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形“三线合一”，即可得到结论；（2）先证明DH ∥BE ，再证明BE 垂直平分AC ，即可得到结论．【详解】（1）90ABC ADC ∠=∠=︒，点E 是AC 中点， ∴DE=12AC ,BE=12AC ， ∴DE=BE ，∵点F 是BD 中点，∴EF BD ⊥；（2）∵BD 平分HDE ∠，∴∠HDB=∠EDB ，∵DE=BE ，∴∠EDB=∠∠EBD ，∴∠HDB=∠EBD ，∴DH ∥BE ，∵DH AC ⊥，∴BE ⊥AC ，∵点E 是AC 中点，∴BE 垂直平分AC ，∴BA BC =．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质定理以及中垂线的性质定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形“三线合一”是解题的关键． 25．（1）∠AEF 的补角有∠BEF 和∠B′EF ，∠ADE 的余角有∠AED 、∠A′ED 和∠CDE ；（2）∠DEF=90°【分析】（1）根据折叠的性质以及补角的定义和余角的定义即可写出；（2）由折叠的性质得到∠AED=∠A′ED ，∠BEF=∠B′EF ，根据平角的定义即可得到结论；【详解】（1）根据折叠的性质知：∠AED=∠A′ED ，∠BEF=∠B′EF ，∵四边形ABCD 是长方形，∴∠ADC=∠A=90︒，∴∠AEF+∠BEF=180︒，∴∠AEF 的补角有∠BEF 和∠B′EF ，∠ADE+∠CDE=90︒，∠ADE+∠AED =90︒，∠ADE 的余角有∠AED 、∠A′ED 和∠CDE ；（2）由折叠可知∠AED=∠A′ED ，∠BEF=∠B′EF ，∵∠AED+∠A′ED+∠BEF+∠B′EF=180°，∴∠DEA′+∠B′EF=12⨯180°=90°，∴∠DEF=90°；【点睛】本题考查了折叠的性质，补角和余角的定义，正确的识别图形解题的关键．26．（1）()4,8E ；（2）()0,5D【分析】（1）由折叠的性质得10AO AE ==，利用勾股定理求出BE 长，得到CE 的长，就可以得到点E 的坐标；（2）设OD x =，8CD x =-，由折叠的性质得OD DE x ==，再在Rt CDE △中利用勾股定理列式求出x 的值，就可以得到点D 的坐标．【详解】解：（1）∵折叠，∴10AO AE ==，在Rt ABE △中，6BE ===，∴1064CE BC BE =-=-=，∴()4,8E ；（2）设OD x =，则8CD x =-，∵折叠，∴OD DE x ==，在Rt CDE △中，222CD CE DE +=，即()22284x x -+=，解得5x =， ∴()0,5D ．【点睛】本题考查折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，并结合勾股定理进行边长的求解．。

专题13 斜边上的中线问题(解析版)-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题13 斜边上的中线问题【规律总结】直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线等于斜边的一半”【典例分析】例1．（2021·上海九年级专题练习）一副三角板如图摆放，点F 是45角三角板ABC 的斜边的中点，4AC .当30角三角DEF 的直角顶点绕着点F 旋转时，直角边DF EF ，分别与,AC BC 相交于点.M N ，则CMFN 的面积为____________．【答案】4【分析】连结CF ，证明CFM BFN =，根据12BFC ACB CMFN S SS ==四边形即可求解．【详解】解:连结CF ，如图，点F 是45角三角板ABC 的斜边的中点，CF BF CF ∴=，平分,,45ACB CF AB B ∠⊥∠=︒，45,2345ACF ∴∠=︒∠+∠=︒1290∠+∠=︒，13∴∠=∠，在CFM △和BFN 中，13MCF B CF BF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()CFM BFN ASA ∴=，CFM BFNS S ∴=，111444222BFC ACB CMFN S SS ∴===⨯⨯⨯=四边形．【点睛】此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题．例2．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·九年级期中）如图，在等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，AC a =，点E 为边AC 上任意一点，点D 为AB 的中点，过点D 作DF DE ⊥交BC 于点F ．求证：CE CF +为定值．【答案】证明见解析【分析】连接CD ，证明△CDE△△BDF ，得CE=BF ，进一步证明CE+CF=BC=AC a =，从而得到结论．【详解】证明：连接CD ，如图，△△ABC 是等腰直角三角形，且D 为AB 的中点，△CD△AB ，CD 平分△ACB ，AD=BD=CD△△DCA=△DCB=△DBC=45°又DE△DF△△EDC+△FDC=90°而△FDC+△FDB=90°△△EDC=△FDB在△CDE 和△BDF 中，DCE DBF CD CDEDC BDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△CDE△△BDF△CE=BF△BC=AC=a△CE+CF=BE+CF=BC=AC=a ，故：CE CF +为定值．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，证明CE=BF 是解答此题的关键．【真题演练】一、填空题1．（2020·哈尔滨市萧红中学八年级月考）如图，在ABC 中，∠B=60°，CD 为AB 边上的高，E 为AC 边的中点，点 F 在BC 边上，∠EDF=60°，若 BF=3，CF=5，则AC 边的长为．【答案】【分析】如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理得出,4D B F D ==，再根据等边三角形的判定与性质得出4,60DH BDH =∠=︒，然后根据三角形的中位线定理、平行线的性质得出60EHD BDH ∠=∠=︒，从而可得EHD B ∠=∠，BDF HDE ∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理与性质得出DE DF ==据此根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．【详解】如图，过点D 作DG BC ⊥于点G3,5BF CF ==8BC BF CF ∴=+=在Rt BCD 中，60B ∠=︒，9030BCD B ∠=︒-∠=︒142BD BC ∴== 在Rt BDG 中，60B ∠=︒，9030BDG B ∠=︒-∠=︒12,2BG BD DG ∴====1GF BF BG ∴=-=，DF =取BC 的中点H ，连接DH 、EH142DH BH BC BD ∴==== BDH ∴是等边三角形60BDH ∴∠=︒点E 是AC 边的中点∴EH 是ABC 的中位线//EH AB ∴60EHD BDH ∴∠=∠=︒60EHD B ∴∠=∠=︒又60BDF FDH BDH ∠+∠=∠=︒，60HDE FDH EDF ∠+∠=∠=︒BDF HDE ∴∠=∠在HDE 和BDF 中，EHD B DH DBHDE BDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()HDE BDF ASA ∴≅DE DF ∴==则在Rt ACD △中，12DE AC =，即2AC DE ==故答案为：【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、三角形的中位线定理等知识点，通过作辅助线，构造等边三角形和全等三角形是解题关键．二、解答题2．（2020·庆云县第二中学八年级期中）已知：在ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点．（1）直线BF 垂直于CE 于点F ，交CD 于点G （如图1），求证：AE=CG ；（2）直线AH 垂直于CE ，垂足为H ，交CD 的延长线于点M （如图2），求证：BCE CAM ≌．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）运用等腰直角三角形性质，三线合一，可以得到△AEC 和△CGB 一组对应边、一组对应角相等，AC BC =，CAE BCG ∠=∠；然后利用同角的余角相等，证得ACE CBG ∠=∠；两角及其夹边对应相等()ASA 则两三角形全等．（2）运用等腰直角三角形性质，三线合一，可以得到△BCE 和△CAM 一组对应边、一组对应角相等，AC BC =，ACM CBE ∠=∠；然后利用同角的余角相等，证得BEC CMA ∠=∠；两角及其中一角的对边对应相等()AAS 则两三角形全等．【详解】（1）证明：△点D 是AB 中点，AC=BC ，△ACB=90°，△CD△AB ，△ACD=△BCD=45°，△△CAD=△CBD=45°，△△CAE=△BCG ，又△BF△CE ，△△CBG+△BCF=90°，又△△ACE+△BCF=90°，△△ACE=△CBG ，在△AEC 和△CGB 中，CAE BCG AC BCACE CBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△AEC△△CGB （ASA ），△AE=CG ，（2）证明：△CH△HM ，CD△ED ，△△CMA+△MCH=90°，△BEC+△MCH=90°，△△CMA=△BEC ，又△△ACM=△CBE=45°，在△BCE 和△CAM 中，BEC CMA ACM CBE BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△BCE△△CAM （AAS ）．【点睛】本题考查全等三角形判定定理，从题中找到对应边、角的信息，灵活运用三角形判定定理是解题关键．3．（2020·张家港市梁丰初级中学八年级期中）已知，∠ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，若E是线段CA上任意一点，DF∠DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，连接CG并延长交直线AB于点H．（1）试说明：①AE=CF；②CG=GD；（2）若AE=6，CH=10，求边AC的长．【答案】（1）理由见详解；（2）AC=14【分析】（1）①由题意易得AD=DC=DB，△A=△B=45°，CD△AB，进而可证△ADE△△CDF，然后根据全等三角形的性质可得；②由直角三角形斜边中线定理可得11,22CG EF DG EF==，进而问题得证；（2）由（1）可得AE=CF=6，由题意易得12DG CH=，则有EF=CH=10，然后根据勾股定理可求解．【详解】解：（1）①AE=CF，理由如下：△AC=BC，△ACB=90°，CD为边AB上的中线，△AD=DC=DB，△A=△B=45°，CD△AB，△△A=△BCD=45°，△DF△DE，△△EDC+△CDF=90°，又△△ADE+△EDC=90°，△△ADE=△CDF，△△ADE△△CDF（ASA），△AE=CF，②CG=GD，理由如下：△△ACB=90°，△EDF=90°，EG=GF，△11,22CG EF DG EF==，△CG=GD；（2）由（1）得：AE=CF=6，CG=GD，12DG EF=，△△GCD=△GDC，△△GCD+△CHD=90°，△GDC+△GDH=90°，△△CHD=△GDH，△GH=GD，△12DG CH=，△CH=10，△CH=EF=10，在Rt△CEF 中，222+=CF CE EF ，即222610CE +=，解得：CE=8，△AC=AE+CE=14．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、勾股定理及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、勾股定理及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．4．（2019·陇东学院附属中学八年级期末）如图在Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，O 为BC 的中点．（1）写出点O 到ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的大小关系．（2）如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，移动中保持AN BM =，请判断OMN 的形状，并证明你的结论．（3）当点M 、N 分别在AB 、AC 上运动时，四边形AMON 的面积是否发生变化？说明理由．【答案】（1）OA OB OC ==；（2）OMN 是等腰直角三角形，证明见解析；（3）四边形AMON 的面积不变，理由见解析【分析】（1）连接OA ，由O 为BC 的中点可得OC OB =，由直角三角形斜边上的中线的性质可得12OA BC =，即可得OA OB OC ==．（2）由（1）不难证明45CAO B ∠=∠=︒，结合已知条件进而证明OAN △OBM ，即可得OM ON =，NOA MOB ∠=∠，即90NOM AOB ∠=∠=︒，所以OMN 是等腰直角三角形．（3）由（2）可得OAN S =OBM S ，进而将四边形AMON 的面积转化为AOB 的面积，AOB 的面积保持不变，故四边形AMON 的面积保持不变．【详解】（1）连接OA ，Rt ABC △中，O 为BC 的中点，∴12OA BC =，OC OB =， ∴122OA OB OB =⨯⨯=， ∴OA OB OC ==．（2）OMN 是等腰直角三角形，证明如下：AB AC =，O 为BC 的中点，∴AO BC ⊥，∴90AOB ∠=︒，OA OB OC ==，∴45CAO B ∠=∠=︒，在OAN 与OBM 中，OA OB CAO B AN BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OAN △OBM ，∴OM ON =，NOA MOB ∠=∠，∴90NOM AOB ∠=∠=︒，∴OMN 是等腰直角三角形．（3）四边形AMON 的面积保持不变，理由如下：由（2）可得： OAN S =OBM S ， ∴OAN AOM OBM AOM AOB AMON S S S S S S =+=+=四边形． AOB 的面积保持不变∴四边形AMON 的面积保持不变．【点睛】本题主要考查直接三角形斜边上中线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质定理并灵活运用是解题关键．5．（2020·乌兰察布市·内蒙古凉城县宏远中学八年级月考）已知：三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 边的中点，（1）如图①，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE ＝AF ，求证：∠DEF 为等腰直角三角形．（2）如图②，若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE ＝AF ，其他条件不变，那么，∠DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）△DEF为等腰直角三角，证明见解析【分析】（1）先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有△CAD=△BAD=45°，AD=BD=CD，而△B=△C=45°，所以△B=△DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED△△AFD，从而得出DE=DF，△BDE=△ADF，从而得出△EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；（2）还是证明：△BED△△AFD，主要证△DAF=△DBE（△DBE=180°-45°=135°，△DAF=90°+45°=135°），再结合两组对边对应相等，所以两个三角形全等．【详解】（1）证明：连接AD，△AB=AC，△BAC=90°，D为BC的中点，△AD△BC，BD=AD．△△B=△DAC=45° 又BE=AF，△△BDE△△ADF（SAS）．△ED=FD，△BDE=△ADF．△△EDF=△EDA+△ADF=△EDA+△BDE=△BDA=90°．△△DEF为等腰直角三角形．（2）△DEF为等腰直角三角形．证明：若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示：连接AD，△AB=AC，△△ABC为等腰三角形，△△BAC=90°，D为BC的中点，△AD=BD，AD△BC（三线合一），△△DAC=△ABD=45°．△△DAF=△DBE=135°．又AF=BE，△△DAF△△DBE（SAS）．△FD=ED，△FDA=△EDB．△△EDF=△EDB+△FDB=△FDA+△FDB=△ADB=90°．△△DEF仍为等腰直角三角形．【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．6．（2019·全国九年级专题练习）如图所示，E，F分别是正方形ABCD的边AD，CD上AB=，连DH.求线段DH长度的最小的两个动点，且AE DF=，BE交AF于点H，2值.【答案】DH1【解析】【分析】根据正方形性质可得AB=DA ，△BAD=△ADF=90°，又根据AE=DF ，利用SAS 可证得△ABE△△DAF ，于是△ABE=△DAF ；由于△DAF+△BAH=△ABE+△BAH=90°，从而△AHB=90°，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，则OH=12AB=1，在Rt△AOD 中，根据勾股定理计算出OD 的值；根据三角形的三边关系，可得OH+DH ＞OD ，于是当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小为OD -OH ，据此解答.【详解】解：△四边形ABCD 是正方形，△AB=DA ，△BAD=△ADF=90°，又△AE=DF ，△△ABE△△DAF ，△△ABE=△DAF.△△DAF+△BAH=△ABE+△BAH=90°，△△AHB=90°，取AB 的中点O ，连OH 、OD ，△112OH AB ==，OD ==OHD ∆中有DH OD OH >-，即1DH >.故O、H、D三点共线时DH最小，△DH1.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理及三角形三条边的关系，确定出点H的位置是解答本题的关键.。

2021——2022冀教版初二上学期第十三章三角形全等几何模型-斜边上的中线(专项练习)

专题13.5 三角形全等几何模型-斜边上的中线（专项练习）通过斜边上的中线达到线段、角、面积等等的变换，此模型在几何证明中占据相当重要的地位，在压轴题里常常有此类题的身影，因为通过此模型的学习，对初学三角形全等的学生来讲，是十分必要的，对提升学生几何综合能力是相当重要。

本专题汇编了一些斜边上中线的常考题，供师生选择使用。

知识储备：0=∆∠∆∆如图一，在ABC 中，C 90，则边AB 叫ABC 的斜边，AC 、BC 是ABC 的直角边。

图一0=∆∠∆如图二，在ABC 中，C 90，CO 为ABC 斜边上的中线，则 OA=OB=OC 或AB=2OC ，即直角三角形斜边上的中线等于斜边一半。

图二一、填空题1．一副三角板如图摆放，点F 是45角三角板ABC 的斜边的中点，4AC =.当30角三角DEF 的直角顶点绕着点F 旋转时，直角边DF EF ，分别与,AC BC 相交于点.M N ，则CMFN 的面积为____________．二、解答题2．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，AC a =，点E 为边AC 上任意一点，点D 为AB 的中点，过点D 作DF DE ⊥交BC 于点F ．求证：CE CF +为定值．3．已知：在ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点．（1）直线BF 垂直于CE 于点F ，交CD 于点G （如图1），求证：AE=CG ；（2）直线AH 垂直于CE ，垂足为H ，交CD 的延长线于点M （如图2），求证：BCE CAM ≌．4．如图在Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，O 为BC 的中点．（1）写出点O 到ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的大小关系．（2）如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，移动中保持AN BM =，请判断OMN 的形状，并证明你的结论．（3）当点M 、N 分别在AB 、AC 上运动时，四边形AMON 的面积是否发生变化？说明理由．5．已知：三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 边的中点，（1）如图∠，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE ＝AF ，求证：∠DEF 为等腰直角三角形．（2）如图∠，若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE ＝AF ，其他条件不变，那么，∠DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．6．已知：如图，等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，D 为BC 中点，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且满足EA CF =．连接AD ．求证：DE DF =．7．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 为斜边AB 的中点，90EDF ∠=︒，DEF 的顶点E ，F 分别在边AC ，BC 上，求EC CF +的长．8．如图，在ABC 中，,90CA CB ACB =∠=︒，O 为AB 的中点，D ，E 分别在,AC BC上，且OD OE ⊥．求证：CE CD AC +=．9．如图，在ABC 中，90,,ACB AC BC D ︒∠==是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且AE CF =．求证：,DE DF DE DF =⊥．10．∠ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，CD=BD ，∠1=∠2，求证：CM∠AD 。

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明．一、有直角、有中点，连线出中线，用性质例1．如图1，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点，N 是DE 的中点．试问：MN 与DE 有什么关系？证明你的猜想．猜想：MN 垂直平分DE.证明：如图：连接ME 、MD ，在Rt△BEC 中，∵点M 是斜边BC 的中点，∴ME=21BC ，又NE ＝ND ，∴直线MN 是线段DE 的垂直平分线，∴NM⊥DE．即MN 垂直平分DE.评析：题目中给出了三角形的两条高与两个中点，联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，问题便迎刃而解．二、有直角、无中点，取中点，连线出中线，用性质例2．如图2，在Rt △ABC 中，∠C=900，AD ∥BC ，∠图A DFCBE=12∠ABE ，求证：DE=2AB分析：欲证DE=2AB ，则可寻DE 的一半，再让其与AB 相等，取DE 的中点F ，连AF ，则AF=FD=12DE ，可证得△A FD ， △ABF 均为等腰三角形，由此结论得证．证明：DE 的中点F ，连AF ，则AF=FD=12DE ，所以∠DAF=∠ADF ，又因为AD ∥BC ，所以∠CBE=∠ADF ，又因为∠CBE=12∠ABE ，所以∠ABF=∠AFB ，所以AF=AB ，即DE=2AB ．评析：本题是有直角、无中点的情况，这时要取直角三角形的斜边上的中点，再连结该点与直角顶点，然后用性质来解决问题．三、有中点、无直角，造直角，用性质例3．如图3，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 是AB 、CD 的中点，∠ADC+∠BCD=2700，求证：MN=12（AB-CD ）．证明：延长AD 、BC 交于P ，∵∠ADC+∠BCD=2700， ∴∠APB=900，连结PN ，连结PM 交DC 于K ，下证N 和K 重合，则P 、N 、M 三点共线， B AC D P M N K 图∵PN 、PM 分别是直角三角形△PDC 、△PAB 斜边上的中线，∴PN=CN=DN=12CD ，PM=BM=DM=12AB ， ∵∠PNC=2∠PDN=2∠A ，∠PMB=∠PKC=2∠A ，∴∠PNC=∠PKC ，∴N 、K 重合，∴MN=PM-PN=12（AB-CD ）．评析：本题只有中点，而没有直角，这时要想方设法构造直角，应用性质，而条件中正好有角的关系“∠ADC+∠BCD=2700 ”，这样问题就易以解决了四、逆用性质解题例4．如图4，延长矩形ABCD 的边CB 至E ，使CE=CA ，P 是AE 的中点．求证：BP ⊥DP ．证明：如图3，连结BD 交AC 于点O ，连结PO ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴AO=OC=OB=OD ，∵PA=PE ，∴PO=12EC ，∵EC=AC ，∴PO=12BD ，即OP=OB=OD ，∴BP ⊥DP ．评析：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质是众所周知的，而它的逆定理往往被大家所忽视，本题就是利用这个性质构造△PBD ，证BD 边的中线等于BD 的一半．请同学们试一试吧！BA C D E P 图O1．如图5，△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=∠CBD ，BD ⊥DE 于D ，DE 交BC 于E ，求证：CD=12BE ． 2．如图6，△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 是BC 的中点，求证：AB=2DM ．1．提示：结论中的BE 是直角三角形的斜边，由12BE 应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，故应取BE 的中点F ，连结DF ，只需证明DC=DF ，即证∠C=∠DFC ．2．提示：取AB 的中点N ，连结DN 、MN 即可．直角三角形斜边上中线性质的应用直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。

中考经典题型--“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明．一、有直角、有中点，利用垂直平分线性质【例1】如图，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点，N 是DE 的中点．求证：MN 垂直平分DE ．二、有直角、无中点，取中点，连线出中线【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD ∥BC ，∠CBE=21∠ABE ，求证：DE=2AB ．三、有中点、无直角，造直角【例3】如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 是AB 、CD 的中点，∠ADC+∠BCD=270°，求证：MN=21（AB －CD ）．四、逆用性质解题【例4】如图，延长矩形ABCD 的边CB 至E ，使CE=CA ，P 是AE 的中点．求证：BP ⊥DP ．【习题练习】1、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=∠CBD ，BD ⊥DE 于D ，DE 交BC 于E ，求证：CD=21BE ．2、如图，△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 是BC 的中点，求证：AB=2DM ．3、如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90°，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点.确定MN 、AC 的位置关系．直角三角形斜边上中线性质的应用一、直角三角形斜边上中线的性质 1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图，在Rt △BAC 中，∠BAC=90°，D 为BC 的中点，则BC 21AD =． 2、性质的拓展：如图：因为D 为BC 中点，所以BC 21DC BD ==，所以AD=BD=DC=BC 21，所以∠1=∠2，∠3=∠4，因此∠ADB=2∠1=2∠2，∠ADC=2∠3=2∠4．因而可得如下几个结论：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍．二、性质的应用1、21倍关系求值例1、如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ．2、证明线段相等例2、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D 点，使AB 21AD =，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点．（1）求证：DF=BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于G ．求证：AG=DG ．3、证明角相等及角的倍分关系例3、已知，如图，在△ABC中，∠BAC 90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE．例4、已知：如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线。

2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明之直角三角形综合练(一)

北师大版下册第一章《三角形的证明》之直角三角形综合练（一）1．如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC．（1）求证：∠ACE＝∠ABC；（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；（3）求证：∠CEF＝∠CFE．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC 的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：BE ∥DF．3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是△ABC的角平分线，CD⊥AB，垂足D，延长CE 与外角∠ABG的平分线交于点F．（1）若∠A＝60°，求∠DCE和∠F的度数；（2）若∠A＝n°（0＜n＜90）直接写出用含n的代数式表示∠DCE和∠F．（3）在图中画△FCB高FH和∠DCB的角平分线交于点Q，在（2）的条件下求∠CQH的度数，请直接写出∠CQH的度数．4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠DEC＝25°，求∠B的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．5．我们知道定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这个定理的逆命题也是真命题．（1）请你写出这个定理的逆命题是；（2）下面我们来证明这个逆命题：已知：如图，CD是△ABC的中线，CD＝AB．求证：△ABC为直角三角形．请你写出证明过程：6．如图在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BC，AB，CD上的点，连接EF，GH．①若EF⊥GH，则必有EF＝GH．②若EF＝GH，则必有EF⊥GH．判断上述两个命题是否成立，若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例．7．在△AOB中，∠AOB＝90°，点C为直线AO上的一个动点（与点O，A不重合），分别作∠OBC和∠ACB的角平分线，两角平分线所在直线交于点E．（1）若点C在线段AO上，如图1．①依题意补全图1；②求∠BEC的度数；（2）当点C在直线AO上运动时，∠BEC的度数是否变化？若不变，请说明理由；若变化，画出相应的图形，并直接写出∠BEC的度数．8．已知△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G．（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠A＝50°，直接求出∠G的度数；（2）如图2，若∠ACB≠90°，试判断∠G与∠A的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若FE∥AD，求证：∠DFE＝∠ABC+∠G．9．如图1，直线PQ⊥直线MN，垂足为O，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与直线PQ交于点C．（1）若∠A＝∠AOC＝30°，则BC BO（填“＞”“＝”“＜”）；（2）如图2，延长AB交直线MN于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB＝∠EOB，∠AEO＝α，求∠AOE的度数（用含α的代数式表示）；（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点R，∠A＝36°，当△AOB绕O点旋转时（斜边AB与直线PQ始终相交于点C），问∠R的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．10．锐角三角形ABC中，AC＞BC，点D是边AC的中点，点E在边AB上．①如果DE∥BC，那么DE＝BC②如果DE＝BC，那么DE∥BC．判断上述两个命题是否成立，若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例．11．如图，在△ABC中，AC＝CB，∠ACB＝90°，在AB上取点F，过A作AB的垂线，使得AD＝BF，连接BD，CD、CF，CE是∠ACB的角平分线，交BD于点M，交AB于点E．（1）若AC＝6，AF＝4．求BD的长：（2）求证：2CM＝AF12．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，∠ABC＝60°，∠ECD＝15°．（1）直接写出∠ADB的度数是；（2）求证：BD＝AB；（3）若AB＝2，求BC的长．13．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P 运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？参考答案1．证明：（1）∵CE⊥AD，∠ACD＝90°，∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠D．∵∠D＝∠ABC，∴∠ACE＝∠ABC；（2）∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，∴∠ACB＝∠DAC，∴AD∥BC，∵CE⊥AD，∴CE⊥BC，∴∠BEC+∠EBC＝90°，∵∠D+∠ECD＝90°，∠D＝∠ABC，∴∠ABC+∠ECD＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC∴2∠EBC+∠ECD＝90°，∴2∠EBC+∠ECD＝∠BEC+∠EBC，即∠EBC+∠ECD＝∠BEC；（3）∵∠ABF+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFE，∴∠ABF+∠CFE＝90°，∵∠CBE+∠CEF＝90°，∠ABF＝∠CAE，∴∠CEF＝CFE．2．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝54°，∴∠CBD＝126°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝63°；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝63°，∴∠CEB＝90°﹣63°＝27°．又∵∠F＝27°，∴∠F＝∠CEB＝27°，∴DF∥BE3．解：（1）∵CD⊥AB，∠A＝60°，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，∵CF平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠FCB＝∠ACB＝45°，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝45°﹣30°＝15°，∵∠ABG＝∠A+∠ACB＝150°，∵BF平分∠ABG，∴∠FBG＝∠ABG＝75°，∵∠FBG＝∠F+∠FCB，∴∠F＝75°﹣45°＝30°．（2）∵CD⊥AB，∠A＝n°，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝90°﹣n°，∵CF平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠FCB＝∠ACB＝45°，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝45°﹣90°+n°＝n°﹣45°，∵∠ABG＝∠A+∠ACB＝90°+n°，∵BF平分∠ABG，∴∠FBG＝∠ABG＝45°+n°∵∠FBG＝∠F+∠FCB，∴∠F＝n°．（3）如图，∵FH⊥CG，∴∠FHC＝90°，∵∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°∴∠A＝∠DCB＝n°，∵CQ平分∠DCB，∴∠QCH＝n°，∴∠CQH＝90°﹣n°．4．解：（1）∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝25°，∴∠BDE＝50°，又∵DE⊥AB，∴Rt△BDE中，∠B＝90°﹣∠BDE＝90°﹣50°＝40°；（2）∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠ACB，又∵DE＝DC，AD＝AD，∴△AED≌△ACD（HL），∴AE＝AC，∴点D在CE的垂直平分线上，点A在CE的垂直平分线上，∴直线AD是线段CE的垂直平分线．5．解：（1）∵“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，∴它逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；（2）∵CD是△ABC的中线∴AD＝BD＝AB，∵CD＝AB，∴AD＝CD＝BD，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCB，在△ABC中，∠A+∠B+∠ACD+∠DCB＝180°∴∠A+∠B+∠A+∠B＝180°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴△ABC为直角三角形．6．解：①成立，②不成立；理由如下：①作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，如图1所示：则∠GMH＝∠FNE＝90°，GM⊥FN，GM＝AD，FN＝AB，∴∠OGQ+∠OQG＝90°，∵EF⊥GH，∴∠PFQ+∠PQF＝90°，∵∠OQG＝∠PQF，∴∠OGQ＝∠PFQ，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∴FN＝GM，在△EFN和△HGM中，，∴△EFN≌△HGM（ASA），∴EF＝GH；②作GM⊥CD于M，FN⊥AD于N，如图2所示：则∠GMH＝∠FNE＝90°，GM⊥FN，GM＝AD，FN＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∴FN＝GM，在Rt△EFN和Rt△HGM中，，∴Rt△EFN≌Rt△HGM（HL），∴∠OGQ＝∠PFQ，∵∠OGQ+∠OQG＝90°，∠OQG＝∠PQF，∴∠PQF+∠PFQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴EF⊥GH；作GH关于GM的对称线段GH'，则GH'＝GH＝EF，显然EF与GH'不垂直；综上所述，若EF＝GH，则必有EF⊥GH．不成立．7．解：（1）①图形如图所示．②设∠EBO＝∠EBC＝x，∠OCE＝∠ECK＝y．则有：，可得∠E＝×90°＝45°．（2）如图，当点C在OA的延长线上时，结论∠BEC＝135°．理由：∵∠AOB＝90°，∴∠OBC+∠OCB＝90°，∵∠EBC＝∠OBC，∠ECB＝∠OCB，∴∠EBC+∠ECB＝×90°＝45°，∴∠BEC＝180°﹣45°＝135°．如图当点C在AO的延长线上时，同法可证：∠BEC＝135°．8．解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠ABC＝40°，∵BG平分∠ABC，∴∠CBG＝20°，∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD＝90°，∵DG平分∠ADE，∴∠CDF＝45°，∴∠CFD＝45°，∴∠BFD＝180°﹣45°＝135°，∴∠G＝180°﹣20°﹣135°＝25°；（2）如图2，∠A＝2∠G，理由是：由（1）知：∠ABC＝2∠FBG，∠CDF＝∠CFD，设∠ABG＝x，∠CDF＝y，∵∠ACB＝∠DCF，∴∠A+∠ABC＝∠CDF+∠CFD，即∠A+2x＝2y，∴y＝，同理得∠A+∠ABG＝∠G+∠CDF，∴∠A+x＝∠G+y，即∠A+x＝∠G++x，∴∠A＝2∠G；（3）如图3，∵EF∥AD，∴∠DFE＝∠CDF，由（2）得：∠CFD＝∠CDF，△FBG中，∠G+∠FBG+∠BFG＝180°，∠BFG+∠DFC＝180°，∴∠DFC＝∠G+∠FBG，∴∠DFE＝∠CFD＝∠FBG+∠G＝+∠G．9．解：（1）∵△AOB是直角三角形，∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，∵∠A＝∠AOC＝30°，∴∠B＝∠BOC＝60°∴△BOC是等边三角形，∴BC＝BO故答案为：＝；（2）∵OD⊥AB，∠AEO＝α，∴∠DOE＝90°﹣α，∵∠DOB＝∠BOE，∴∠BOE＝＝（90°﹣α）＝45°﹣α，∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝90°+45°﹣＝135°﹣；（3）∠R的度数不变，∠R＝27°．理由如下：设∠AOM＝β，则∠AOC＝90°﹣β，∵OF平分∠AOM，∴∠FOM＝∠RON＝，∴∠COR＝∠CON+∠RON＝90°+，∵∠OCB＝∠A+∠AOC＝36°+90°﹣β＝126°﹣β，∵CR平分∠BCO，∴∠OCR＝＝63°﹣，∴∠R＝180°﹣（∠OCR+∠COR）＝180°﹣63°+﹣90°﹣＝27°，∴∠R的度数不变，∠R＝27°．10．解：①∵锐角三角形ABC中，AC＞BC，点D是边AC的中点，DE∥BC，∴AE＝EB，即DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC故①正确；②令E为AB中点，可以在AB上取到一点F，使DF＝DE，但DF与BC不平行．故②错误．11．解：（1）∵AC＝CB＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝12∵AF＝4，∴BF＝AB﹣AF＝12﹣4＝8，∴AD＝BF＝8，在Rt△ADB中，BD＝＝4；（2）∵AC＝CB，∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，∴AE＝BE＝CE＝AB，CE⊥AB，∵∠DAB＝∠MEB＝90°，∠DBA＝∠MBE，∴△MBE∽△DBA，∴＝＝，∴ME＝AD，∴ME＝BF，∵CE＝AB，∴CM+ME＝（BF+AF），∴CM+BF＝BF+AF，∴CM＝AF，即AF＝2CM．12．解：（1）∵CE⊥BE，∴∠E＝90°，∵∠ECD＝15°，∴∠ADB＝∠CDE＝90°﹣15°＝75°故答案为75°．（2）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵∠ADB＝75°，∴∠A＝75°，∴∠A＝∠ADB，∴AB＝DB．（3）过点D作DF⊥BC，交BC于F点．∵DF⊥BC，∴∠DFB＝∠DFC＝90°，∵∠DBF＝30°，∴DF＝BD，∵BD＝AB＝2，∴DF＝1，∴FB＝，∵CE⊥BE，∴∠E＝90°，∵∠DBC＝30°，∴∠ECB＝60°，∵∠ECD＝15°，∴∠DCB＝45°，∴∠DCF＝∠FDC＝45°，∴FD＝FC＝1，∴BC＝．13．解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝BC＝10；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，不合题意．综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等．。

直角三角形中,斜边中线等于斜边一半两种证明

直角三角形中，斜边中线等于斜边一半两种证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容应该对文章的主题进行简要介绍，并提供一些背景信息。

在这篇长文中，我们将讨论直角三角形中的一个有趣现象：斜边的中线等于斜边的一半。

这是一个具有一定难度和重要性的几何问题。

在人们学习几何的过程中，直角三角形是一个非常基础且重要的概念。

我们都知道，直角三角形是由一个直角（90度角）和两个锐角（小于90度角）组成的三角形。

其特点之一是斜边较长，并且在几何学中占有重要地位。

我们旨在通过两种不同的证明方法来展示这一有趣的现象。

通过对直角三角形的结构和性质进行深入研究，我们将从理论角度解释为什么斜边的中线等于斜边的一半。

这将有助于我们理解几何学中的一些基本概念和定理，并培养我们的证明能力和逻辑思维。

此外，本文还将探讨每种证明方法的假设和前提，详细介绍证明过程以及分析结果。

我们还将对每种证明方法的结论进行总结，并提供对结果的分析和讨论。

最后，我们将对我们的研究进行总结，并探讨研究的局限性以及未来可能的展望。

通过深入研究直角三角形中斜边中线等于斜边一半的证明，我们希望读者可以更好地理解几何学中的一些基本概念和定理，并培养他们的证明能力和逻辑思维。

本文的结论也将为几何学领域的研究提供一些新的思路和启示。

1.2文章结构文章结构：本文分为以下几个部分：引言、正文和结论。

在引言部分，首先对直角三角形的性质进行概述，包括直角三角形的定义、斜边、直角边和斜边中线的概念。

接着介绍文章的结构，即正文中将会介绍两种证明直角三角形中斜边中线等于斜边一半的方法，并说明正文的目的以及预期的结果。

最后对全文内容进行总结。

正文部分包括四个小节，分别介绍两种证明方法。

每个小节中首先说明该方法的假设和前提条件，然后详细描述证明的过程，包括推导和推理的步骤。

在证明过程中需要用到相关的数学定理和几何公式，应给予详细的解释和说明。

接着对证明结果进行分析，解释为什么斜边中线等于斜边的一半。

专题21 勾股定理-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破(解析版)

专题21 勾股定理【考查题型】【知识要点】知识点一勾股定理勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么。

变式：，，,,.适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。

用拼图的方法验证勾股定理的思路是：1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理勾股定理的证明方法：方法一（图一）：，，化简可证．方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为，所以方法三（图三）：，，化简得证图一图二图三知识点二勾股数勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数常见的勾股数：如；；；等扩展：用含字母的代数式表示组勾股数：1）（为正整数）；2）（为正整数）3）（，为正整数）注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。

知识点三勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边【注意】1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；2)定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边3)勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形知识点四直角三角形的性质与判定性质：1）直角三角形的两个锐角互余。

经典题 --直角三角形80

A. 三角形内
B. 三角形外
C. 斜边的中点
D. 或 D. 不能确定
36. 若
满足下列某个条件，则它不是直角三角形的是（）。
A. C. 37. 下列命题的逆命题为真命题的是（）。 A. 对顶角相等 C. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等
B. D.
B. 全等三角形的对应角相等 D. 平行四边形的对角线互相平分
；②若
，则；③角平分线上的点到角两边的距
离相等；④平行四边形的对角线互相平分； ⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。其中原命题与逆命题均为真命题的是（）。
A. ①③④
B. ①②④
C. ③④⑤
D. ②③⑤
23. 已知一个直角三角形的两条直角边上的中线长分别为，那么这个三角形的斜边长为（）。
50. 下列命题的逆命题是假命题的是（）。
A. 、、为直角三角形三边，则 C. 任何两个矩形相似
B. 两个相似三角形是位似图形 D. 四边形的内角和为
51. 满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是（）。
A. 三内角之比为 C. 三边长分别为、、
B. 三边之比为 D. 三边长分别为、、
判断题
52. 若
，则
是直角三角形。（）
单选题
53. 如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若
① 平分
；
② 长为
；
③
是等腰三角形；
④
的周长等于的长。
，则下列说法中正确的个数有（）。
10
直角三角形80
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
猿题库
54. 折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段。在折纸中，蕴涵许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想。把一张直角三角形纸片按照图①至④的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论（）。

2.5第3课时含30°的直角三角形与斜边上的中线性质(七大题型)(原卷版)-2024-2025学年

八年级上册数学《第2章轴对称图形》2.5 等腰三角形的轴对称性第3课时含30°的直角三角形与斜边上的中线性质◆1、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.◆2、几何语言：∵ 在R t △ABC 中，点O 是AB 的中点，∴ OB =AO =CO =21AC . ◆3、直角三角形斜边上的中线性质适用于任何直角三角形.◆在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．◆此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．【注意】①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ①应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．【例题1】（2022春•镇江期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E ，F 分别为AB ，AC ，BC 的中点．若CD ＝5，则EF的长为．【变式1-1】（2023春•青原区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边上的一点，点P是AD的中点，若AC的垂直平分线经过点D，DC＝8，则BP＝（）A．8B．6C．4D．2【变式1-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝3，则AB的长为．【变式1-3】（2022秋•海口期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE ∥AC，交AB于点E，若AB＝6，则DE的长为（）A．2.5B．3C．3.5D．4【变式1-4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝（）A．2B．3C．4D．2√3【变式1-5】如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF＝2，则AC的长是（）A．3B．4C．5D．6【变式1-6】如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝7，BC＝10，则△EFM的周长是．【例题2】（2023春•中山市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝28°，D是AC的中点，则∠CBD＝°．【变式2-1】（2022秋•仓山区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝52°，则∠EBD＝°．【变式2-2】（2022•碑林区校级模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE=√3，则∠ACD＝（）A．15°B．30°C．22.5°D．45°【变式2-3】（2021秋•潍坊期末）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，E为对角线AC的中点，∠DAC＝30°，∠CAB＝40°，连结BE，DE，BD，则∠BDE＝度．【变式2-4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，∠ECD是度．【变式2-5】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°．以AB长为一边作△ABD，且AD＝BD，∠ADB＝90°，取AB中点E，连DE、CE、CD．则∠EDC＝°．【变式2-6】如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（）A．5°B．10°C．20°D．30°【变式2-7】（2022秋•市中区校级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，求∠COE的度数．【例题3】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：（1）MD＝MB；（2）MN⊥BD．【变式3-1】（2022秋•大名县期末）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE．（1）求证：∠AEC＝∠C；（2）求证：BD＝2AC；【变式3-2】（2022春•零陵区校级期中）如图，△ABC中，BE平分∠ABC，BE⊥AF于F，D为AB中点，请说明DF∥BC的理由．【变式3-3】如图，已知△ABC的高BD、CE相交于点O，M、N分别是BC、AO的中点，求证：MN垂直平分DE．【变式3-4】如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．（1）求证：DE⊥CF；（2）求证：∠B＝2∠BCF．【变式3-5】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，F为AC的中点，AE∥BC交BD 的延长线于点E，其中∠FBC＝2∠FBD．（1）求∠EDC的度数．（2）求证：BF＝AE．【变式3-6】如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点，点F是BD中点．（1）求证：EF⊥BD；（2）过点D作DH⊥AC于H点，如果BD平分∠HDE，求证：BA＝BC．【变式3-7】如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，E为BD的中点，F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM．（1）求证：EF=12 AC；（2）若EF⊥AC，求证：AM+DM＝CB．【变式3-8】（2022秋•宿城区期中）如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明你的猜想．（3）当∠BAC变为钝角时，如图②，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由．【例题4】如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC＝3，则OF长度是（）A．3B．4C．5D．6【变式4-1】（2023•香洲区校级一模）如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝8，则BD的长为（）A．1B．2C．2.5D．3【变式4-2】（2022春•三水区校级期中）如图，在①ABC中，①C＝90°，①A＝15°，①DBC＝60°，BC＝1.5，则AD的长为（）A．1.5B．2C．3D．4【变式4-3】（2022春•西安期末）如图，在①ABC中，AB＝AC，①C＝30°，点D在BC上，AB①AD，AD ＝3cm，则BC的长为cm．【变式4-4】如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE ＝3，则AB的长为（）A．16B．12C．9D．10【变式4-5】如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB＝AC，顶角∠BAC＝120°，跨度BC＝10m，AD为支柱（即底边BC的中线），两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE+DF等于（）A．10m B．5m C．2.5m D．9.5m【变式4-6】（2022春•坪山区期末）如图，在①ABC中，AB＝AC，①BAC＝120°，AC的垂直平分线交AC 于点D，交BC于点E，交BA的延长线于点F，若AF＝2，则BF的长为．【变式4-7】如图，①ABC中，AB＝AC．①BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于D．交AC于E，DE＝2．求BD的长．【变式4-8】如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长．【变式4-9】如图，在①ABC中，AB＝AC，AD是①ABC的角平分线，点G在边BC上，EG交AD于点F，BE＝BG＝6cm，①BEG＝60°，EF＝2cm．（1）求①DFG的度数．（2）求BC的长度．【例题5】（2023春•凤翔县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E求证：AE＝2CE．【变式5-1】在直角三角形中∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB，求证：AB＝2BC．【变式5-2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D、E．求证：CE=13AC．【变式5-3】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，求证：BD=14AB．【变式5-4】如图，在等边①ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE＝CD，BE与AD相交于点P，BQ①AD于点Q．（1）求证：①ABE①①CAD；（2）请问PQ与BP有何关系？并说明理由．【例题6】一棵大树在一次强台风中于离地面6米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（）A．12米B．18米C．24米D．30米【变式6-1】（2022•鱼峰区模拟）如图，是柳州市鱼马公园一段索道的示意图，已知A、B两点间的距离为30米，①A＝30°，则缆车从A点到达B点过程中，上升的高度（BC的长）为米．【变式6-2】（2022春•永定区校级期中）如图所示，为了躲避海盗，一轮船由西向东航行，早上8点，在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上，以每小时20海里的速度继续向东航行，10点到达B处，并测得小岛P在北偏东60°的方向上，已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险？【变式6-3】（2022秋•民权县期末）如图，一条船上午8时从A处以20海里/小时的速度向正南航行，上午10时到达B处，从A处测得灯塔C在南偏东30°的方向上，在B处测得灯塔C在南偏东60°的方向上．（1）求B处离灯塔C的距离：（2）轮船从B处出发，按原速度航行，再过多少小时灯塔C正好在船的正东方向．【变式6-4】（2023春•宿州月考）上午8时，一条船从海岛A出发，以每小时航行18海里的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得灯塔C在A的北偏西15°，灯塔C在B的北偏西30°方向上，在小灯塔C的周围20海里范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险？请说明理由．【变式6-5】如图，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上．该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上．船以原速度再继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点．求船从A到D一共走了多少海里？【例题7】（2022秋•宜春期末）如图所示，在等边△ABC中，AB＝8cm，点P与点Q分别从点B，C同时出发，沿三角形的边运动，已知点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设点P与点Q运动的时间运动s后，可得到Rt△CPQ．为ts．当0＜t＜12时，点P与点Q【变式7-1】（2023春•普宁市月考）如图，在△ABC中，∠C＝90o，∠A＝30o，AB＝60cm，动点P、Q 同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，点P的运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？【变式7-2】（2022春•南城县期中）如图，在Rt①ABC中，①C＝90°，①A＝30°，BC＝12cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）t为多少时，①PBQ是等边三角形？（2）P、Q在运动过程中，①PBQ的形状不断发生变化，当t为多少时，①PBQ是直角三角形？请说明理由．【变式7-3】（2022秋•晋安区期末）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B 两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？。

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1.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，E为AC的中点．
（1）若DE＝5cm，则AB＝ cm；（2）若∠CDE＝70º，则∠B＝
2.如图，∠BAC＝∠BDC＝90º，E为BC的中点，AE＝5cm，则BC＝ cm，DE＝ cm．
3.如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CE⊥AB，垂足为E，CE＝5cm，CD＝6cm，则AB＝ cm，△ABC的面积为
4.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90º，M、N分别是AC、BD的中点，
证明：（1）MD＝MB；（2）MN⊥BD．
1.如图，在△ABC中，BE和CF是高，M为BC中点，连接ME和MF，EF＝5cm，BC＝12cm，则△EFM的周长为 cm.
2.如图，△ABC中，BD，CE是高，G、F分别是线段BC，DE的中点，连接FG．求证：FG⊥ED.
3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝90º，AB＝AC，AD＝2，BC＝8，求梯形ABCD的面积.
4.证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
1.如图，在△ABC中，AB＝AC ，BD平分∠ABC，BD与AC交于点D，DE⊥BD，DE与BC交于点
E，DC＝5cm，那么BE＝ cm.
2.如图，AE、BD相交于点C，AC＝AD，BC＝BE，M、N、P分别是DC、CE、AB的中点，AB＝10 cm，那么PM＝ cm，PN＝ cm.
3.如图，在等腰直角△ABC中，AB＝BC ，点E在AB上，DE⊥AC，DE交AC于点D，M是EC
的中点，求证：（1）BM＝DM；（2）BM⊥DM.
4.如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DF⊥CE，F为垂足，
求证：（1）F是CE的中点；（2）∠B＝2∠BCE.。