公因数和公倍数知识点

公因数和公倍数知识点

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公因数和公倍数

【知识点回顾】

1、公因数

（1）互素数:公因数只有１的两个自然数叫做互素数。

(2)简分数：分子、分母是互素数的分数叫做简分数。

(３)求最大公因数的方法：分解素因数法和短除法。

2、公倍数

求最小公倍数的方法:分解素因数和短除法，即用最大公因数×各自独有的因数。

3、求两个数的最大公因数和最小公倍数,有３种基本情况，区别如下:

两个数的关系最大公因素最小公倍数

特殊关系互素（７和８） 1 两个数的积（7×8=５6）较大数是较小数的倍数

(12和48）

较小数(1２) 较大数(48）

一般关系（12和1８) 用短除法

将除数连乘(2×３=6) 将除数和商连乘

（2×3×2×3=3６）

4、求最大公因数和最小公倍数的方法：

一、特殊情况：

(１）倍数关系的两个数,最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。(如；6和12的最大公因数是6,最小公倍数是1２。）

(2）互质关系的两个数,最大公因数是１,最小公倍数是它们的乘积。（如，5和7的最大公因数时1,最小公倍数是５×７＝３５)

二、一般情况:

（1)求最大公因数:

列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。

①列举法：如，求18和27的最大公因数

先找出两个数的所有因数１8的因数有：1、2、3、６、９、１8

2７的因数有:１、３、9、27

再找出两个数的公因数：１8的因数有:1、2、３、6、9、18

27的因数有:1、3、９、27

1、3、９

最后找出最大公因数： 9

②单列举法:如,求1８和27的最大公因数

先找出其中一个数的因数:１8的因数有:１、２、３、６、9、18

再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数

最后找出最大公因数: 9

③短除法:

３ 18 ２7

3 6 9

2 ３

除到商是互质数为止,最后把所有的除数相乘3×3＝9 ④除法算式法:

用这两个数同时除以公因数,除到最大公因数为止。18

÷

９就是1８和2７的最大公因数 27

(2）求最小公倍数:

列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。

①列举法：如,求18和12的最小公倍数

先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数： 1８的倍数：1８、36、5４、72

12的倍数：12、24、３６、48 再找出两个数的最小公倍数：18的倍数:18、３6、54、７２

12的倍数：１２、24、3６、４8

②单列举法:如，求１８和12的最小公倍数

先找出一个数的倍数： 18的倍数有:1８、３6、54、７2

再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数,找出最小公倍数: 36

③大数翻倍法:如,求18和1２的最小公倍数

把较大的数翻倍(2倍开始）,每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。

如，求１8和12的最小公倍数。可以把１8翻倍:１8×2=３6，3６又是12的倍数，所以３6是1８和12的最小公倍数。

④短除法：用这两个数同时除以一个质数（要能整除）

如，求１８和１2的最小公倍数，先用18和12同时除以质数2，再同时除以质数3,除到两个商是互质数（公因数只有１）为止。

2 18 1２

3

3 ２

除数商

ﻬ【例题精讲】

问题１、(1)既是3０的因数，又是45的因数的数共有几个?其中最大的数是多少?

（２)既是30的倍数,又是45的倍数的数，最小是多少?

想:(1)既是30的因数，又是45的因数的数，就是30和45的公因数,其中最大的就是30和４５的最大公因数;(2）既是３0的倍数，又是45的倍数的数就是３０和４5的公倍数，其中最小的数就是3０和4５的最小公倍数。1 3

除到商是互质数为止，最后把所有的除数和商相乘18和12的最小公倍数是：2×3×3×2=36

9 6

解：（1)3０和45的公因数有：1，3，5,1５共四个，其中最大的是１5;

(2)30和4５的公倍数有：9０,１８0,270等等，其中最小是9０。

随堂练习

1、既是３０的倍数,又是４５的倍数,还是75的倍数的数，最小是多少?

问题2、三个连续自然数的最小公倍数是1６8，那这三个连续自然数的和是多少?

解析：要求三个连续自然数的和,就要把这三个自然数求出来，而这三个连续自然数的最小公倍数是1６8，可先把1６８分解质因数168＝2×２×2×３×7,根据16８的质因数的情况可以肯定其中一个是７,(为什么不可能是１4)因此这三个连续自然数只有６、7、８和7、８、9两种可能,而７、8、９这三个数任两个数公因数都是１，故这三个连续自然数只能是６、7和8。（经检验正确）它们的和是6＋7＋8=21。

答：这三个连续自然数是6、7、8。它们的和是21。

随堂练习

1、三个连续自然数的最小公倍数是660，那么这三个连续自然数各是几?

问题3、有一种长60厘米,宽４5厘米的长方形砖，用这样长方形砖铺地，至少要用多少块这样的砖，才能铺成一块正方形?

想:用长6０厘米，宽45厘米的砖铺成一块正方形，这个正方形的边长既是60的倍数，也是45的倍数,也就是60和４5的公倍数，因此正方形的边长是180厘米,由此容易求得一共用的地砖块数。

解：[60、４5］=180 (180÷６0)×(180÷4５)=12（块）

答:至少要用12块这样的砖,才能铺成一块正方形。

随堂练习

1、一种长45厘米，宽3０厘米的长方形塑料板，拼成一个正方形，至少要用这种塑料板多

少块？

问题4、某班学生排队做操，如果每排３人，少了1人；如果每排5人，就多出2人；如果每排6人,就多出２人。这个班至少有多少人?

想：如果把每排3人,就少了1人，转化成每排３人,也就是多了2人,这样就把这个班分别排成每排3人、5人、6人都统一成多出了2人。如果把这个班的人数减去２人,那么这个班的学生人数正好是3、5和6的倍数,也就是3、５和6的最小公倍数,然后加上多出的2人就是这个班的学生人数。

解:［3、5、6]=30 , 30+２=32(人)答：这个班至少有32人。

随堂练习

1、有一个自然数，除以１0余7，除以６余3,除以４余1。这个自然数最小是多少?