公因数和公倍数知识点
最大公因数和最小公倍数知识点归纳
【记忆背诵要点】家长签字：姓名：注意：每一个分数无论题目要求没，要约分后才能作为最后的结果。
一：约分的方法：1、先找到分子，分母的最大公因数；2、利用分数的性质约去最大公因数；3、化成最简分数。
（即不能再约分为止）二:比较分数大小的方法:1、分别对每个分数进行约分(或者通分),变成同分母分数, 或者变成同分子分数；2、比较化简后的两个分数的大小；3、比较原数的大小。
三：弄清互质的几种情况互质：两个数的最大公因数为1就叫做这两个数互质。
1.两个连续自然数是互质的。
例如：8与9；15与162.两个质数必然是互质的。
例如：5和7；11和133.一个质数和不是它倍数的合数。
例如：5和14；3和84.尽管两个数都是合数，但一个是2或3的倍数，另一个数是7或5的倍数。
例如：15和8，21和10四：求最大公因数或最小公倍数的方法：1.若两个数是互质的，则最大公因数为1，最小公倍数为这两个数的乘积。
2.若两个数是倍数关系，则较小的数为它们的最大公因数，较大的数为它们的最小公倍数。
当两个数相差较大时，要判断大数是否为小数的倍数。
例如：13与26，39，52，65，78；14与28，42，56，70，84；17与34，51等等。
以上两种情况不需要用分解质因数的方法。
3.两个数不是倍数关系的，也不是互质的才适合用分解质因数去求最大公因数和最小公倍数。
五：应用题中如何识别是求公因数还是公倍数的方法1.分析题意，判断结果应该比所给数量大，则是求公倍数；2.分析题意，判断结果应该比所给数量小，则是求公因数；3.题目中含“最多”或“最长”等字眼，则是求最大公因数；4.题目中含“至少”，“下一次”字眼，则是求最小公倍数；【认真练习】 1.填空75和15 16和30 77和44 6和10 13和91 21和35 12和18 3和14 最大公因数最小公倍数2.比较大小：（1）和（2）和。
公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数
公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数1、掌握最大公因数和最小公倍数的求法；2、会解有关最大公因数和最小公倍数的应用题；【知识点1】最大公因数几个数公有的因数叫这些数的公因数。
其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
【知识点2】最大公因数求法1、列举法先找出两个数的（因数），再找出两个数的（公因数），最后找出二个数的（最大公因数）找8和6的最大公因数8的因数有1、2、4、86的因数有1、2、3、68和6的最大因数数是2。
2、观察法(特殊情况)1）两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数就是其中较小的数。
2）两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最大公因数就是1。
3）两个数不是倍数和互质关系，用小数缩小法案件分解：●两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数是其中较小的数。
8和16的最大公因数（8 ）4和8的最大公因数（4 ）9和3的最大公因数（3 ）28和7的最大公因数（7 ）●两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最大公因数就是1。
✧相邻两个自然数(0除外)2和3的最大公因数是（1 ）8和9的最大公因数是（1 ）99和98的最大公因数是（1 ）✧两个不同的质数5和7的最大公因数是（1 ）17和29的最大公因数是（1 ）11和19的最大公因数是（1 ）✧两个互质的合数4和9的最大公因数是（1 ）20和49的最大公因数（1 ）25和69的最大公因数是（1 ）●两个数不是倍数和互质关系，用小数缩小法把较小的数缩小（除以2、3、4……）每次缩小后看得到的商是不是另一个数的因数，直到所得的商是另一个数的因数为止。
18和48的最大公因数先用小数 18÷2=9，9不是48的因数，18÷3=6，6是48的因数，那么18和48的最大公因数6。
16和36的最大公因数16÷2=8，8不是36的因数，16÷4=4，4是36的因数，那么16和36的最大公因数4。
公倍数和公因数
公倍数和公因数基础知识回顾1、公倍数和最小公倍数的意义：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
2、公倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，因此两个数的公倍数的个数也是无限的。
只有最小公倍数，没有最大公倍数。
3、求两个数的最小公倍数的两种特殊情况：1）如果两个数中较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
（2）如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最小公倍数就是它们的乘积。
4、公因数和最大公因数的意义：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。
5、公因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，因此两个数的公因数的个数也是有限的。
最小的公因数是1.6、求两个数的最大公因数的特殊情形：1）当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数；较大数就是这两个数的最小公倍数。
2）如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最大的公因数是1；最小公倍数是它们的乘积。
3）假如两个数都是质数或者两个数是继续的天然数，那末这两个数的乘积就是它们的最小公倍数。
7、公倍数是最小公倍数的倍数，最小公倍数是公倍数的因数。
8、素数：一个数，如果只有1和它本身两个因数的数叫做素数。
合数：除了1和它本身外另有别的的因数叫做合数。
9、公有的质因数和各自独有的质因数的乘积就是它们的最小公倍数。
例如：6和8都是合数，6的质因数有2、3；8的质因数有：2、2、2；6和8的最小公倍数是2*3*2*2=2424是它们的最小公倍数。
10、两个合数，如果它们只有公因数1，那么最大公因数也是1.11、1与任意非零天然数的公因数只要1个，就是1.12、用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时，一般用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数乘起来，就得到这两个数的最大公因数。
而把所有的除数与它们只有公因数1时的数相乘就是它们的公倍数。
公因数和公倍数知识点
公因数和公倍数知识点公因数和公倍数公因数是指两个或多个数公有的因数，而公倍数是指两个或多个数公有的倍数。
在数学中，我们常常需要求两个数的最大公因数和最小公倍数。
首先，我们需要了解一些基本知识。
两个自然数如果公因数只有1，那么它们就是互素数。
而分子、分母是互素数的分数则被称为简分数。
求最大公因数的方法有分解素因数法和短除法。
最小公倍数的求法有分解素因数和短除法，即用最大公因数乘以各自独有的因数。
对于两个数的最大公因数和最小公倍数，有三种基本情况：特殊互素、较大数是较小数的倍数、一般关系。
对于特殊情况，我们可以直接求解，而对于一般情况，我们可以使用列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法等方法来求解最大公因数。
对于最小公倍数的求解，我们可以使用列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法等方法。
最后，我们需要记住，当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数；当两个数是互质关系时，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
12的倍数为12、24、36、48.一种方法是单列举法，比如求18和12的最小公倍数，先找出18的倍数：18、36、54、72，再从小到大找这些倍数中哪个同时也是另一个数的倍数，最小公倍数为36.另一种方法是大数翻倍法，将较大的数翻倍，每次翻倍后检查结果是否也是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。
比如求18和12的最小公倍数，可以将18翻倍，得到36，而36又是12的倍数，因此36是18和12的最小公倍数。
还有一种方法是短除法，先用两个数同时除以一个质数（要能整除），再同时除以另一个质数，直到得到两个互质的商为止，最后将所有的除数和商相乘即可得到最小公倍数。
对于问题1，（1）既是30的因数又是45的因数的数共有4个，其中最大的是15；（2）既是30的倍数又是45的倍数的数最小是90.对于问题2，将168分解质因数得到2×2×2×3×7，其中一个因数必为7，因此这三个连续自然数只有6、7、8和7、8、9两种可能，而7、8、9这三个数任意两个数的公因数都是1，因此这三个连续自然数只能是6、7和8，它们的和为21.随堂练：1、既是30的倍数又是45的倍数还是75的倍数的数最小是450；2、三个连续自然数的最小公倍数是660，这三个连续自然数分别是220、221和222.最小公倍数和最大公因数在数学中有着广泛的应用。
五年级数学下册最大公因数和最小公倍数知识点
五年级数学下册最大公因数和最小公倍数知识点-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN（没有教不会的学生，只有不会教的老师）1、因数和倍数在整数除法中，（第一个条件）如果商是整数而没有余数，（第二个条件）结论是：我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
2、一个数的倍数的求法：依次乘以非0自然数。
加省略号。
3、一个数的因数的求法：成对地按顺序找。
（除数和商）。
4、2的倍数特征（能被2整除）：个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
5、3的倍数特征（能被3整除）：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
6、5的倍数特征（能被5整除）：个位上是0或5的数，是5的倍数。
7、2的倍数特征（能被2整除）：奇数、偶数。
因数个数质数、合数。
质合判断看因数，奇偶判断被2除，质2和3应记住，奇单偶双分清楚。
8、20以内质数：口诀2、3、5、7、11（一十一）13、19和179、分数：①整体：一个物体、一些物体、一个单位都可以看作一个整体。
②单位“1”：把一个整体用自然数1来表示。
③分数：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份或几份的数。
④分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。
⑤分数与除法关系分数的基本性质。
⑥分数的分类：真分数、假分数、带分数。
10、因数和倍数、公因数、最大公因数、公倍数最小公倍数理解：公因数、最大公因数；公倍数、最小公倍数的意义。
11、求最大公因数方法：（约分）求12和16的最大公因数①列举法②圈画法③短除法2④分解质因数法（甲＝2×3×5，乙＝2×3×7，甲和乙的最大公因数是（）．）⑤辗转相除法最大公因数不难算，三种类型最常见。
倍数关系是小数，互质是1不用算。
以上两种都不是，短除法来最简便。
1、找出下列各数的最大公因数。
5和13 6和7 5和8 4和686和12 9和3 25和102、用短除法求下列各组数的最大公因数．56和42 225和15 84和10554、72和90 60、90和12012、求最小公倍数方法：（通分）求6、8最小公倍数①列举法②圈画法③短除法④分解质因数法⑤翻番法最大公因数不难算，三种类型最常见。
公倍数
第3讲 公因数和公倍数1.定义：如果一个数同时是几个数的因数，那么我们就称它为这几个数的公因数。
几个数的公因数中最大的一个，称为这几个数的最大公因数。
如果一个数同时是几个数的倍数，那么我们就称它是这几个数的公倍数。
几个数的公倍数中最小的一个，称为这几个数的最小公倍数。
2.求最大公约数和最小公倍数一般有以下几种方法。
1．短除法：例 求8，12的最大公因数和最小公倍数。
求9，36，48的最大公因数和最小公倍数。
2．分解质因数法：分解质因数是求最大公因数的最直接的方法。
求最大公因数是求所有数公有质因数的积,而且取相同质因数的最低次方。
求最小公倍数是求所有数只要出现质因数的积,而且取相同质因数的最高次方。
例如：36=2232⨯240=324⨯×5【36，48】=72053224=⨯⨯（36，48）=12322=⨯3．辗转相除法：例 从一张长2002毫米、宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程不断地重复，最后剪得的正方形的边长是______毫米。
第一、二次剪下847×847平方毫米的正方形。
第三、四次剪下边长308毫米的正方形。
第五次剪下边长231毫米的正方形。
第六、七，八次剪下边长77毫米的正方形。
以上的解题过程，实际上给出了求最大公约数的另一个办法——辗转相除法。
以上过程可用算式表示如下：2002＝847×2＋308847＝308×2＋231308＝231×1＋77231＝77×3由以上算式可以看出；这种方法就是用大数除以小数，再用上次运算中的除数除以余数，如此反复除，直至余数为零。
最后一个除数就是两数的最大公因数。
这是因为；两个数的最大公因数，同时是两个数的因数，也就是余数的因数。
拿这道题来说，2002和847的公因数，也就是847与308的公因数，也就是308与231的公因数，也就是231与77的公因数。
人教版小学数学最大公因数和最小公倍数知识点
最大公因数和最小公倍数1. 基本知识(1)因数与最大公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，所有的公因数中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
自然数 a，b 的最大公因数记作(a，b)，例如(12，8)=4，(4，6，10) =2。
如果(a，b)=l，则 a 与b 互质。
如果a 是b 的倍数，则（a，b）=b。
自然数 a 能被自然数b 整除，则称 a 是b 的倍数，b 是a 的因数。
(2)倍数与最小公倍数几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。
公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
一般用符号[a，b]表示 a，b 的最小公倍数，例如：[4，10] =20。
(3)求解方法①求最大公因数常用的方法：短除法，列举法，分解质因数法，辗转相除法。
②求最小公倍数常用的方法：短除法，分解质因数法，列举法，最大公因数法。
2.性质(1)两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数。
如果（a，b）=d，c|d，那么 c|a，c|b。
(2)两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质的。
如果(a，b)=d，那么（a÷d，b÷d）=1。
(3)若一个数 c 能同时被两个自然数 a，b 整除，那么 c 一定能被这两个数的最小公倍数整除。
或者说，一些数的公倍数一定是这些数的最小公倍数的倍数。
(4)两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
例1(★)已知两个数分别是 4 和 B，已知4 =2×2×3×5．B=2×3×3×5，求 A，B 的最大公因数。
例2(★)一箱图书可以平均分给 2，3，4，5，6 名小朋友，这箱图书最少有多少本？。
公因数和公倍数
公因数和公倍数初中数学中，公因数和公倍数是一个非常重要的概念。
理解公因数和公倍数的概念，对于解决数学问题、进行数学推理和提高数学思维能力都有着重要的作用。
本文将从实际问题入手，通过举例和分析，详细介绍公因数和公倍数的概念、性质和应用。
一、公因数的概念和性质公因数是指两个或多个数共有的因数。
比如，对于数5和10来说，它们的公因数有1和5。
公因数的性质主要有以下几点：1. 公因数是两个或多个数的因数，因此，公因数一定是这些数的约数。
2. 公因数中最大的一个数，称为最大公因数。
最大公因数是两个或多个数的公共约数中最大的一个。
3. 如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数被称为互质数。
通过以下例子，我们可以更好地理解公因数的概念和性质：例1：求出12和18的公因数。
解：首先，我们列出12和18的所有因数：12的因数有：1、2、3、4、6、1218的因数有：1、2、3、6、9、18根据以上列出的因数，我们可以发现12和18的公因数有1、2、3、6。
其中，最大公因数为6。
例2：求出24和36的最大公因数。
解：同样地，我们列出24和36的所有因数：24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、2436的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36根据以上列出的因数，我们可以发现24和36的公因数有1、2、3、4、6、12。
其中，最大公因数为12。
二、公倍数的概念和性质公倍数是指两个或多个数共有的倍数。
比如，对于数3和5来说，它们的公倍数有15和30。
公倍数的性质主要有以下几点：1. 公倍数是两个或多个数的倍数，因此，公倍数一定是这些数的倍数。
2. 公倍数中最小的一个数，称为最小公倍数。
最小公倍数是两个或多个数的公共倍数中最小的一个。
通过以下例子，我们可以更好地理解公倍数的概念和性质：例3：求出6和8的公倍数。
解：首先，我们列出6和8的所有倍数：6的倍数有：6、12、18、24、30、36、...8的倍数有：8、16、24、32、40、48、...根据以上列出的倍数，我们可以发现6和8的公倍数有24。
五年级数学最大公因数和最小公倍数知识点份
五年级数学最大公因数和最小公倍数知识点份 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#第三单元最大公因数和最小公倍数知识点：一、公倍数：2×4=8，8既是2的倍数，也是4的倍数，那么就称8是2和4的公倍数。
2和4的公倍数不止一个，还有4、12、16、20……，其中最小的那个叫做2和4的最小公倍数。
（两个数的公倍数的个数是无限的）二、公因数：2既是8的因数，也是12的因数，那么就称2是8和12的公因数。
8和12的公因数不止一个，还有 1、4，其中最大的那个就叫做8和12的最大公因数。
（两个数的公因数的个数是有限的）例如：求24和36的公因数和最大公因数24的因数：1、2、3、4、6、12、2436的因数: 1、2、3、4、6、9、12、18、3624和36的公因数：1、2、3、4、6、1224和36的最大公因数：12【练习】1.写出下面每组数的最大公因数。
3和5 （） 4和8 （） 1和13 （）13和26 （） 4和9 （） 17和51 （）21和36 （） 22和55 （）2.写出下面每组数的最小公倍数。
3和5 （） 4和8 （） 1和13 （）13和26 （） 22和55 （） 21和36 （）4和9 （） 17和51 （） 30和45 （）三、最小公倍数与最大公因数的求法：1.用大数除以小数，若能整除，最小公倍数就是大的那个，最大公因数就是小的那个。
2.若不能整除，再看两数是否互质，若互质，最小公倍数是两数相乘，最大公因数是1。
3.若不互质，运用短除法计算。
2 ∣24 36 将两个数同时除以相同的质因数，所得结果2 |12 18 对齐写在相应的数字下面，直到不能分解为止3 |6 9 最大公因数：2×2×3=122 3 最小公倍数：2×2×3×2×3=72四、性质一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
五年级数学知识点《公倍数和公因数》
五年级数学知识点《公倍数和公因数》
一个素数和一个合数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
[5，8]=40，(5，8)=1
相邻关系的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
[9，8]=72，(9，8)=1
特殊关系的数(两个都是合数，一个是奇数，一个是偶数，但他们之间只有一个公因数1)，比如4和9、4和15、10和21，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。
(详见课本31页内容)
以上是由小编为大家整理的五年级数学知识点《公倍数和公因数》，如果您觉得有用，请继续关注查字典数学网。
公倍数和公因数
第三单元公倍数和公因数基础知识回顾1、公倍数和最小公倍数的意义：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
2、公倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，因此两个数的公倍数的个数也是无限的，只有最小公倍数，没有最大公倍数。
3、求两个数的最小公倍数的两种特殊情况：（1）如果两个数中较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
（2）如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最小公倍数就是它们的乘积。
4、公因数和最大公因数的意义：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。
5、公因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，因此两个数的公因数的个数也是有限的，最小的公因数是1。
6、求两个数的最大公因数的特殊情况：（1）当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数；较大数就是这两个数的最小公倍数。
（2）如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最大的公因数是1；最小公倍数是它们的乘积。
（3）如果两个数都是质数或者两个数是连续的自然数，那么这两个数的乘积就是它们的最小公倍数。
7、公倍数是最小公倍数的倍数，最小公倍数是公倍数的因数。
8、素数：一个数，如果只有1和它本身两个因数的数叫做素数。
合数：除了1和它本身外还有另外的因数叫做合数。
9、公有的质因数和各自独有的质因数的乘积就是它们的最小公倍数。
例如：6和8都是合数，6的质因数有2、3 ；8的质因数有：2、2、2；6和8的最小公倍数是2*3*2*2=24 24是它们的最小公倍数。
10、两个合数，如果它们只有公因数1，那么最大公因数也是1。
11、1与任意非零自然数的公因数只有1个，就是1。
12、用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时，一般用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数乘起来，就得到这两个数的最大公因数。
而把所有的除数与它们只有公因数1时的数相乘就是它们的公倍数。
五年级数学知识点：公倍数和公因数
五年级数学知识点：公倍数和公因数
一个素数和一个合数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
[5，8]=40，(5，8)=1
相邻关系的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
[9，8]=72，(9，8)=1
特殊关系的数(两个都是合数，一个是奇数，一个是偶数，但他们之间只有一个公因数1)，比如4和9、4和15、10和21，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。
(详见课本31页内容) 以上是五年级数学知识点：公倍数和公因数，希望对大家有所帮助!。
数学公倍数和公因数的知识点
数学公倍数和公因数的知识点数学公倍数和公因数的知识点公倍是指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数。
公倍数中最小的，就称为这些整数的最小公倍数，以下是店铺为大家整理的数学公倍数和公因数的知识点，仅供参考，希望能够帮助大家。
数学公倍数和公因数的知识点11、一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。
一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
一个数倍数的个数是无限的。
一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。
2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，用符号[ ，]表示。
几个数的公倍数也是无限的。
3、两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数，用符号( ，)。
两个数的公因数也是有限的。
4、两个素数的积一定是合数。
举例：35=15，15是合数。
5、两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。
举例：[6，8]=24，(6，8)=2，24是2的倍数。
6、求最大公因数和最小公倍数的方法：倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的.数。
举例：15和5，[15，5]=15，(15，5)=5素数关系的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
举例：[3，7]=21，(3，7)=1一个素数和一个合数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
[5，8]=40，(5，8)=1相邻关系的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
[9，8]=72，(9，8)=1特殊关系的数(两个都是合数，一个是奇数，一个是偶数，但他们之间只有一个公因数1)，比如4和9、4和15、10和21，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。
(详见课本31页内容)数学公倍数和公因数的知识点2一、公因数和最大公因数概念：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
最大公因数与最小公倍数应用(较难含有部分的讲解)
最大公因数与最小公倍数应用（一）一、知识要点：1、性质1：如果a、b两数的最大公因数为d，则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。
例如：（24,54）=6,24=4×6,54=9×6，（4,9）=1。
2、性质2：两个数的最小公倍数与最大公因数的乘积等于这两个数的乘积。
a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公因数，并且a×b=[a,b]×（a,b）。
例如：（18，12）= ，[18，12]= （18，12）×[18，12]= 3、两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。
3、辗转相除法二、热点考题：例1 两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是72。
已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。
练一练：甲数是36，甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是288，求乙数。
例2 两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是210。
这两个自然数的和是77，求这两个自然数。
分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公因数是1，最小公倍数是30。
这两个自然数的和是11，求这两个自然数。
”例3 已知a与b，a与c的最大公因数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。
分析与解：因为12，15都是a的因数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。
再由[a，b，c]=120知，a只能是60或120。
[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。
练一练：已知两数的最大公因数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？例4已知两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，求这两个自然数。
例5 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。
习题四1．已知某数与24的最大公因数为4，最小公倍数为168，求此数。
公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数 1
第二讲：公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数第一部分：公因数与最大公因数知识点归纳：1：公因数和最大公因数的意义几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，称为这几个数的最大公因数。
注意：几个数的公因数必须包含它们公有的素因数（至少一个），而几个数的最大公因数必须包含它们全部公有的素因数。
2：互素的意义若两个数的公因数只有1 ，则称这两个数互素，它和素数、素因数是绝对不同的概念，素数是指一个数除了1和本身以外没有别的因数的数。
当素数是一个合数的因数时，则称这个素数为这个合数的素因数。
3：求公因数和最大公因数的方法若两个数互素，则它们的公因数为1.若两个数之间存在倍数关系，则它们的最大公因数是其中较小的那个数。
若两个数既不互素，也不存在倍数关系，则一般可用短除法或者分解素因数法找到它们全部公有的素因数，这些素因数的积就是这两个数的最大公因数。
典例练习1、用边长为6厘米、4厘米的正方形纸片分别铺长为18厘米、宽为12厘米的矩形。
哪种纸片能将矩形铺满？2、两个数的和是60 ，且它们的最大公因数为12 ，求这两个数。
3、若甲数= a×b×c ，乙数= a×c ×d (a、b 、c 、d 是不同的素数)，则甲、乙两数的最大公因数是什么？4、有12米长的铁丝8根，18米长的铁丝7根，要把它们截成一样长的铁丝，不浪费，截下的铁丝要最长，铁丝长几米？可以截多少根？5、小华在制作船模时，将三根长分别为12厘米，18厘米，和30厘米的木条截成同样长的若干段，且都没有剩余，请你算一算每段最长是几厘米，一共截了多少段？6、把一张长42厘米，宽30厘米的长方形，剪成大小一样的正方形而无剩余，剪成的正方形至少有几个？7、甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同的天数去图书馆一次，甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次，有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再经过多少天他们三人又在图书馆相会？8、1路、2路和5路公交车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路每隔20分钟发一辆，当这三种线路的车同时发车后，至少要过多少分钟又有这三种路线同时发车？9、有一个长方体木块，长60厘米，宽40厘米，高24厘米，如果要切成同样大小的小立方体，这些小立方体的棱长最长是多少厘米？10、一个数除253余1，除299余2，这个数最大是多少？11、一条成直角形状的街道，一条街道长840米，另一条街道长720米，要在这条街道的右侧等距离的装上路灯，且要求两端和转弯处都必须装灯，那么这条街道最少要装多少盏灯？12、有三个素数，它们的乘积是1001，求这三个素数分别是多少？13、某校购进72台同型号的录音机，由于发票上的字迹太淡，首尾两个数看不清楚，只能看出应付的钱数是 5928元，你能推算出这次学校购买的录音机的单价和总价吗？第二部分：公倍数与最小公倍数知识点归纳：1：公倍数和最小公倍数的意义几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
五年级上册第14讲 公因数与公倍数
（377，221）= 13
（511，1314）= 1
互质
6
【典型例题】
例3：老师在阿呆班发水果，一共有59个苹果，97个梨，平均分给班上的学生， 最后还剩5个苹果，7个梨。请问班里（最多）一共有多少名学生。
苹果： 梨：
59－5=54 (个） 97－7=90 (个）
人数是54和90的公因数。
（54，90）= 18
2
互质
三个数最 大公因数 是1
两两互质
（120，264）= 2×2×2×3=24 [ 120，264] = 2×2×2×3×5×11=1320
（240，80，96）= 2×2×2×2=16 240，80, 96] = 2×2×2×2×5×3×2=480
5
【典型例题】
例2：求下列各组数的最大公因数。
13
【课堂精练】
5．用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且 最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？
边长是1072和469的最大公因数。
2 1072 938 2 134 134 0 （1072，469）= 67
469 3 402 67
答：这些正方形的边长最长是67毫米。
（54，90）= 18 [ 54，90] = 18×3×5=270
4
【典型例题】
（3）120和264 2 120 2 60 2 30 3 15 5 264 132 66 33 11 （4）240、80和96 240 2 120 2 60 2 30 5 15 33 1 80 40 20 10 5 1 1 96 48 24 12 6 6 2
互质
互质
（54，90）= 2×3×3=18 [ 54，90] = 2×3×3×3×5=270
公因数与公倍数
公倍数和公因数一、知识点。
1.几个数公有的倍数叫做公倍数，公倍数的个数是无限的，最小的那个公倍数是这几个数的最小公倍数。
如果两个数只有公因数1，那么这两个数是互质关系，它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。
如果两个数中一个数是另一个数的倍数，这两个数是倍数关系，它们的最小公倍数就是较大数。
2.几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，公因数的个数是有限的，最大的那个公因数叫做最大公因数。
如果两个数只有公因数1，那么这两个数是互质关系，它们的最大公因数就是1。
如果两个数中一个数是另一个数的倍数，这两个数是倍数关系，它们的最大公因数就是较小数。
3.学习公倍数和公因数的同时，还要熟练运用质数、合数和奇数、偶数的知识。
二、例题精选。
1.填空题。
①若a和b是连续的两个自然数，那么a和b的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
②若x÷3=y，那么x和y的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
③A和b是相邻的两个自然数，他们的最小公倍数是（），最大公因数是（）。
④A和b的最大公因数是1，那么他们的最小公倍数是（）。
⑤两个数的最大公因数是14，最小公倍数是168，其中一个数是42，另一个数是（）。
2.一盒铅笔，5人分多3枝，7人分也多3枝，那么铅笔至少有多少枝？3.一个两位数既是3的倍数，也是5的倍数，而且是偶数，这个数最小是多少？最大是多少？4.按要求写出两个质数，使它们的最大公因数是1。
①两个数都是质数：（）和（）②两个数都是合数：（）和（）③一个奇数一个偶数：（）和（）④一个质数一个合数：（）和（）三、能力训练。
1.填空题。
①m÷n=8，m和n的最小公倍数是（），最大公因数是（）。
②三个质数的乘积是105，这三个质数分别是（）（）（）。
③已知两个数的最大公因数是1，最小公倍数是57，那么这两个数是（）和（）或者是（）和（）。
④已知甲=2×3×a；乙=2×7×a，甲乙的最大公因数是（）；最小的公倍数是（）。
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公因数和公倍数知识点————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:ﻩ公因数和公倍数【知识点回顾】1、公因数（1）互素数:公因数只有１的两个自然数叫做互素数。
(2)简分数：分子、分母是互素数的分数叫做简分数。
(３)求最大公因数的方法：分解素因数法和短除法。
2、公倍数求最小公倍数的方法:分解素因数和短除法，即用最大公因数×各自独有的因数。
3、求两个数的最大公因数和最小公倍数,有３种基本情况，区别如下:两个数的关系最大公因素最小公倍数特殊关系互素（７和８） 1 两个数的积（7×8=５6）较大数是较小数的倍数(12和48）较小数(1２) 较大数(48）一般关系（12和1８) 用短除法将除数连乘(2×３=6) 将除数和商连乘（2×3×2×3=3６）4、求最大公因数和最小公倍数的方法：一、特殊情况：(１）倍数关系的两个数,最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
(如；6和12的最大公因数是6,最小公倍数是1２。
）(2）互质关系的两个数,最大公因数是１,最小公倍数是它们的乘积。
（如，5和7的最大公因数时1,最小公倍数是５×７＝３５)二、一般情况:（1)求最大公因数:列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。
①列举法：如，求18和27的最大公因数先找出两个数的所有因数１8的因数有：1、2、3、６、９、１82７的因数有:１、３、9、27再找出两个数的公因数：１8的因数有:1、2、３、6、9、1827的因数有:1、3、９、271、3、９最后找出最大公因数： 9②单列举法:如,求1８和27的最大公因数先找出其中一个数的因数:１8的因数有:１、２、３、６、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数最后找出最大公因数: 9③短除法:３ 18 ２73 6 92 ３除到商是互质数为止,最后把所有的除数相乘3×3＝9 ④除法算式法:用这两个数同时除以公因数,除到最大公因数为止。
18÷９就是1８和2７的最大公因数 27(2）求最小公倍数:列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。
①列举法：如,求18和12的最小公倍数先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数： 1８的倍数：1８、36、5４、7212的倍数：12、24、３６、48 再找出两个数的最小公倍数：18的倍数:18、３6、54、７２12的倍数：１２、24、3６、４8②单列举法:如，求１８和12的最小公倍数先找出一个数的倍数： 18的倍数有:1８、３6、54、７2再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数,找出最小公倍数: 36③大数翻倍法:如,求18和1２的最小公倍数把较大的数翻倍(2倍开始）,每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。
如，求１8和12的最小公倍数。
可以把１8翻倍:１8×2=３6，3６又是12的倍数，所以３6是1８和12的最小公倍数。
④短除法：用这两个数同时除以一个质数（要能整除）如，求１８和１2的最小公倍数，先用18和12同时除以质数2，再同时除以质数3,除到两个商是互质数（公因数只有１）为止。
2 18 1２33 ２除数商ﻬ【例题精讲】问题１、(1)既是3０的因数，又是45的因数的数共有几个?其中最大的数是多少?（２)既是30的倍数,又是45的倍数的数，最小是多少?想:(1)既是30的因数，又是45的因数的数，就是30和45的公因数,其中最大的就是30和４５的最大公因数;(2）既是３0的倍数，又是45的倍数的数就是３０和４5的公倍数，其中最小的数就是3０和4５的最小公倍数。
1 3除到商是互质数为止，最后把所有的除数和商相乘18和12的最小公倍数是：2×3×3×2=369 6解：（1)3０和45的公因数有：1，3，5,1５共四个，其中最大的是１5;(2)30和4５的公倍数有：9０,１８0,270等等，其中最小是9０。
随堂练习1、既是３０的倍数,又是４５的倍数,还是75的倍数的数，最小是多少?问题2、三个连续自然数的最小公倍数是1６8，那这三个连续自然数的和是多少?解析：要求三个连续自然数的和,就要把这三个自然数求出来，而这三个连续自然数的最小公倍数是1６8，可先把1６８分解质因数168＝2×２×2×３×7,根据16８的质因数的情况可以肯定其中一个是７,(为什么不可能是１4)因此这三个连续自然数只有６、7、８和7、８、9两种可能,而７、8、９这三个数任两个数公因数都是１，故这三个连续自然数只能是６、7和8。
（经检验正确）它们的和是6＋7＋8=21。
答：这三个连续自然数是6、7、8。
它们的和是21。
随堂练习1、三个连续自然数的最小公倍数是660，那么这三个连续自然数各是几?问题3、有一种长60厘米,宽４5厘米的长方形砖，用这样长方形砖铺地，至少要用多少块这样的砖，才能铺成一块正方形?想:用长6０厘米，宽45厘米的砖铺成一块正方形，这个正方形的边长既是60的倍数，也是45的倍数,也就是60和４5的公倍数，因此正方形的边长是180厘米,由此容易求得一共用的地砖块数。
解：[60、４5］=180 (180÷６0)×(180÷4５)=12（块）答:至少要用12块这样的砖,才能铺成一块正方形。
随堂练习1、一种长45厘米，宽3０厘米的长方形塑料板，拼成一个正方形，至少要用这种塑料板多少块？问题4、某班学生排队做操，如果每排３人，少了1人；如果每排5人，就多出2人；如果每排6人,就多出２人。
这个班至少有多少人?想：如果把每排3人,就少了1人，转化成每排３人,也就是多了2人,这样就把这个班分别排成每排3人、5人、6人都统一成多出了2人。
如果把这个班的人数减去２人,那么这个班的学生人数正好是3、5和6的倍数,也就是3、５和6的最小公倍数,然后加上多出的2人就是这个班的学生人数。
解:［3、5、6]=30 , 30+２=32(人)答：这个班至少有32人。
随堂练习1、有一个自然数，除以１0余7，除以６余3,除以４余1。
这个自然数最小是多少?问题5、五(2）班同学共38人。
一天上体育课，排成一列横队,都面向老师站，然后按１,2,3,4……36,3７,38报数，老师要求学生按如下的步骤进行操作：（1）先让报数是３的倍数的同学向后转；(２）再让报数是５的倍数的同学向后转。
经过这两步操作后,还有多少名同学仍面向老师?解析：报数是３的倍数的同学有：38÷３≈1２（人)，报数是５的倍数的同学有:38÷5≈7(人）,但要注意的是，报数是3和5的公倍数的同学有38÷(３×5)≈2(人），而这２人转了2次,又面向了老师,所以经过两步操作后，背对老师的同学共有12+７－２×2=15（人）,这时仍有38-15=23(名）同学面对老师。
答:经过这两步操作后，还有23名同学仍面向老师。
随堂练习1、五(1)班同学有４7人,一天上体育课，排成一列横队，都面向老师，然后按1、２、３、4……46、47报数，老师要求学生按如下的步骤操作:(1)先让报数是3的倍数的同学向后转;（2)再让报数是５的倍数的同学向后转。
经过这两步操作后，还有多少名同学面向老师?最小公倍数与最大公因数典型的应用题汇总一、解题技巧：最大公因数解题技巧:通常从问题入手，所求的数量处于小数（即处于除数、商、因数）的地位时,因为小数（即处于除数、商、因数)是大数（即处于被除数、被除数、积）的因数，此时,所求的数量就处于因数的地位。
如果出现相同的(公有的）/最长的所求数量,即求他们的公因数/最大公因数的应用题。
最小公倍数解题技巧：通常从问题入手,所求的数量处于大数(即处于被除数、被除数、积）的地位时,因为大数(即处于被除数、被除数、积）是小数(即处于除数、商、因数)的倍数，此时，所求的数量应处于倍数的地位。
如果出现相同的(公有的）／最小的所求数量,即求他们的公倍数/最小公倍数的应用题。
补充部分公式小长方形个数＝（大正方形边长÷小长方形长）×（大正方形边长÷小长方形的宽）小正方形个数＝（大长方形的长÷小正方形边长)×（大长方形的宽÷小正方形边长）小长方体个数=(大正方体边长÷小长方体长）×(大正方体边长÷小长方体的宽)×（大正方体边长÷小长方体高）小正方体个数=（大长方体边长÷小正方体边长）×(大长方体的宽÷小正方体边长）×(大长方体的高÷小正方体边长）剩余定理余数相同时,总数（被除数)=最小公倍数＋余数缺数相同时,总数（被除数)=最小公倍数-缺数植树问题公式不封闭型: 2、只有一端都栽１、两端都栽间隔个数=株数间隔个数=株数－1株数=间隔个数＋1 株数＝间隔个数距离＝一个间隔的长度×间隔个数ﻩ距离＝一个间隔的长度×间隔个数３、两端都不栽间隔个数=株数＋1株数=间隔个数－１距离=一个间隔的长度×间隔个数封闭型:间隔个数=株数株数=间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数封闭型再正方形边上栽，并且4个顶点都栽:株数＝（每边株数-１）×４备注：上下多少层楼以及锯段数及敲钟问题等实际运用实质上是两端都栽树的植树问题,这类题通常先求一层／一段需要多少时间,再乘以段数即可二、经典题目１、一个大长方形长2４厘米,宽18厘米，把它裁成若干个小正方形而没有剩余，如小正方形的边长最长,边长是多少厘米?最多能裁成多少个小正方形？2、一个长方形的长6厘米,宽4厘米,至少要多少个这样的小长方形才能拼成一个大的正方形?此时,大的正方形的边长是多少厘米?3、一个大长方体长24厘米,宽18厘米，高12厘米,把它裁成若干个小正方体而没有剩余,如小正方体的边长最长，正方体的棱长是多少厘米?最多能裁成多少个小正方体？4、一个长方体的长6厘米，宽４厘米,高２厘米。
至少要多少个这样的小长方体才能拼成一个大的正方体?此时,大的正方体的棱长是多少厘米?5、一路车５分钟发一次车，二路车６分钟发一次车,他们现在同时发车,至少要多少时间再次同时发车？6、崔青青5天去一次图书馆,李幻霞３天去一次图书馆,修畅6天去一次图书馆,她们今天同时在图书馆，至少要多少天她们3人再次相遇？7、五(3)班做早操,每6人一排或每7人一排,都能排成整排而没有剩余,五（3)班至少有多少人?8、五（3）班做早操，每6人一排或每７人一排,都都剩余3人,五（3)班至少有多少人?(备注:最小公倍数与剩余定理题综合出题）９、五(３）班做早操,每6人一排少3人,每7人一排剩余4人，五（3）班至少有多少人？（备注：最小公倍数与剩余定理题综合出题)10、五(3）班分水果,桃子84个，苹果42个，平均分给每个同学正好分完而没有剩余。