北大数字通信47通信中的常见噪声

0 • 互补误差函数
erfc(x) 1 erf (x) 2 ez2 dz
x
5
• 误差函数和互补误差函数的主要性质 1) erf ( ) 1 2) erfc( ) 0
6
• 误差函数的其他表示方法
Qx
1
2
x
exp
t2 2
dt,
x0
Qx 1 erfc x
2 2
7
带通系统中的高斯噪声
能力的评估。这种评估一般用错误概率来表示。
数学描述 • 信号传输： y(t) h(t) x(t) n(t)
接收信号 信道特征 信源 噪声 （随机） （随机）（随机）（随机）
• 接收机： xˆ(t) f y(t) • 系统评估： f1 x(t) xˆ(t)
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在任何通信系统中，高斯噪声都是存在的，它作为加性噪 声叠加到接收信号上
Pn
1
2
Pn ()d R(0)
• 而噪声的方差为
2 Dn(t) E n(t) E n(t)2
E n2 (t) E n(t)2 R(0) a2 R(0)
• 所以 Pn=σ2
4
• 标准正态分布
p(x)
1
2
exp
x2 2
• 误差函数
erf (x) 2 x ez2 dz
Rn(τ)
Rn ( ) Pn () • 因此，白噪声的自相关函数为
n0/2
0
ω
n0/2
0
τ
Rn
(
)
1
2
n0 e j d n0 ( )
2
2
白噪声的功率谱密度与自相关函数
• 白噪声的自相关函数是一个位于τ=0 处的冲激函数，即白
噪声只有在 n0 /2 时才相关，而在任意两个不同时刻上的 随机取值都是不相关的。
2
exp
2 2 2
0
p() 1 0 2 2
p(ρ) 和 p(φ) 的波形如下图所示。
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在通信系统中，概率论与随机过程是重要的数学工具。 • 接收机的设计：接收机的作用是设法去除信道对随机信源
的影响，恢复出原始的随机信源信号。 • 系统性能评估：性能评估实际上是对接收机恢复原始信源
;
m
P Ai
,
B
j
PB
j
j 1
i 1
14
统计独立
事件A 的发生不依赖事件B 的发生，即
PA | B PA PA, B PAPB
px, y
1
2
2 n
exp
x
mx
2
2
2 n
y
m
y
2
px, y pxpy
1
2 n
exp
x
mx
2
2 n
2
1
exp
2 n
y my
2
2 n
2
8
• 窄带高斯噪声的另外一种表达式为
n(t) (t) cos(t) cosct (t)sin(t)sin ct nc (t) cosct ns (t)sin ct
• 其中
nc (t) (t) cos(t) ns (t) (t)sin(t)
式中 nc(t) 及 ns(t) 分别称为 n(t) 的同相分量和正交分量。
15
随机变量的和
假设 Xi, i=1,2,…n 是统计独立且同分布的随机变量，
有限均值 mx ，有限方差 x2。Y 定义为归一化总和，
称为样本平均
Y
1 n
n i 1
Xi
Y 的均值 EY mx 均值不变
Y 的方差
2 y
2 x
n
方差减小到 1 n
y
x
n
标准差减小到
1 n
16
n
若Y 没有被归一化，即 Y Xi ，其它条件同上，则有 i 1
9
2 统计特性
(1)一个均值为零，方差为σx2 的窄带高斯噪声 n(t)，假定它是 平稳随机过程，则它的同相分量 nc(t)、正交分量 ns(t)同样 是平稳高斯噪声，且均值都为零，方差也相同，即
E n(t) E nc (t) E ns (t) 0 Dn(t) Dnc (t) Dns (t)
均值： EY n mx
方差：
2 y
n
2 x
17
Example:
设发射信号为 s1
P(s1)=p，P(s2)=1-p
b ，s2 b
Baidu Nhomakorabea接收信号
r b yn T
yn(T)为零均值高斯噪声
18
接收信号的概率密度函数为
p r s1
1
exp
r
b
2
2 n
2
2 n
p r s2
白噪声
• 白噪声的定义：功率谱密度函数在整个频域(-∞<ω<+∞)内 是常数的噪声
• 不符合上述条件的噪声称为有色噪声 • 白噪声的功率谱密度函数
Pn
()
n0 2
( )
n0 是一个常数，单位为W/Hz
1
白噪声的自相关函数
• 由于功率信号的功率谱密度与其自相关函数 R(τ) 互为傅氏
变换对
Pn(ω)
1 定义与表达式 • 高斯噪声通过以ωc 为中心的窄带系统可形成窄带高斯噪声。 • 特点：频谱局限在±ωc 附件很窄的频率范围内，包络和相
位作缓慢随机变化。 • 窄带高斯噪声 n(t) 可表示为
n(t) (t)cosct (t)
ρ(t)为噪声 n(t)的随机包络，φ(t)为噪声 n(t)的随机相位。
其中
2 x
2 c
2 s
这里，σx2、σc2、σs2分别表示窄带高斯噪声 n(t)、同相分量 nc(t)和正交分量 ns(t)的方差（亦即功率）。
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(2)一个均值为零，方差为σx2 的窄带高斯噪声 n(t)，假定它是 平稳随机过程，则其随机包络ρ(t) 服从瑞利分步，相位φ(t)
服从均匀分布，即
p()
2
高斯噪声
• 高斯噪声的定义：概率密度函数服从高斯分布（即正态分 布）的噪声。
p(x)
1
2
exp
(x a)2
2 2
式中，a 为噪声的数学期望值，也就是均值；σ2 为噪声的
方差。
• 通常，通信信道中噪声的均值 a=0。
3
• 在噪声均值为零时，噪声的平均功率等于噪声的方差。 • 因为噪声的平均功率为
1
exp
2 n
r b
2
2 n
2
19
20
n
若Y 没有被归一化，即 Y Xi ，其它条件同上，则有 i 1
均值： EY n mx
方差：
2 y
n
2 x
问题:
在高斯信道中，将固定数据重复发送后，求系统信噪比 的变化
信噪比的定义为：
SNR
ES
2
y1 x n1 y2 x n2
• 高斯噪声的表达式
pr
1
2 n
exp
r 2
2
2 n
pr
1
2 n
exp
r
mr
2
2 n
2
13
联合事件
考虑两个事件，其联合概率记做 P(A, B)，联合概率 满足以下条件
0 PA, B 1 ;
且
m m
P Ai , B j 1
i1 j 1
m
P Ai , B j PAi