2-5 向量范数与矩阵范数
向量范数
计算方法
2
常用向量范数
设向量 x = ( x1 , x2 ,..., xn ) || x ||1 = ∑ | xi |
n i =1 n
T
|| x ||2 = ( ∑ | xi | ) = ( x , x ) = ( x T x )
i =1
1 2 2
1 2
1 2
|| x ||∞ = max{| xi |}
定义
设λi(i = 1,2 ,...,n)为矩阵 A的特征值 , 则称
1≤ i ≤ n
ρ ( A) = max{| λi |}
的谱半径。 为矩阵 A的谱半径。 矩阵A的谱半径 ρ ( A)不是A的一种范数 , 但易证
ρ ( A) ≤ A
定义2 定义2
若
Ax ≤|| A || ⋅ || x || ∀x ∈ R n , ∀A ∈ R n× n
称矩阵范数与向量范数是相容的. 称矩阵范数与向量范数是相容的. 相容的
2 − 1 例4 ： 设矩阵 A = − 2 4 , 求 || A ||1 , || A ||2, || A ||∞ 。 解： || A || = max{ 2+ | −2 |, | −1 | +4} = 5 1
1≤ i ≤ n
计算方法
T || || 例3：已知 x = (1, 2, − 3 ) , 求 || x ||1 ， x ||2 ， x ||∞
解： x
1
= x1 + x2 + x3 = 1+2+3= 6
2 2 x12 + x2 + x 3 = 1 + 4 + 9 = 14
x2=
x
∞
数值分析8(向量范数与矩阵范数)
20:22
16/16
20:22
11/16
A 2 ( A A), 其中 ( B ) max{| i ( B ) |}
T i
2 T T 证: 2 这表明矩阵ATA是对称半正定的, 是非负。设矩阵ATA的特征值为
|| Ax || x A Ax 0
1 2
所以它的特征值 都
n 0
并设对应的特征向量为
v1 , 由于ATA是对称,故 v1 ,
vi
20:22
2
1, i 1,
, vn , v n 是Rn的标准正交基: T , n vi v j 0, i j
12/16
对于向量 x 可被特征向量系所表示 x ck v k
n n k 1
n n
n
T T T || Ax ||2 x A Ax ( c v k k )( ck k vk ) 2
Matlab内部函数: norm(A,p)。
20:22
9/16
矩阵算子范数
设 ||x||是Rn上的向量范数,A∈Rn×n,则A的非 负函数 || Ax ||
|| A || max
x 0
|| x ||
称为矩阵A的算子范数(或诱导范数)。 注1 矩阵算子范数由向量范数诱导出, 如
|| Ax ||2 || A ||2 max x 0 || x || 2
1 i n
, xn
Matlab内部函数: norm(x,p)。特别的, norm(x) 等价于norm(x,2)。 范数概念是我们熟悉的距离概念的一种自然的 推广。 k *
lim || x x || 0
k
则称序列{xk}在范数||.||下收敛于x*。
向量范数生成的矩阵范数
向量范数生成的矩阵范数矩阵范数在矩阵分析、系统理论、数值逼近等领域有着广泛的应用。
矩阵的范数是一个数学工具，用于度量矩阵的大小或者多样性。
它是矩阵理论中重要的概念之一，具有很多有用的性质。
矩阵范数的定义有很多种不同的形式，其中一种常见的定义是通过向量范数来生成的。
本文重点介绍向量范数生成的矩阵范数的定义、性质和应用。
一、向量范数的定义向量范数是将一个向量映射到非负实数的函数。
常用的向量范数包括欧几里得范数、曼哈顿范数、p-范数、无穷范数等。
以二维向量为例，这些向量范数的定义如下：1. 欧几里得范数：||x||₂ = sqrt(x₁² + x₂²)，其中x=(x₁,x₂)。
2. 曼哈顿范数：||x||₁ = |x₁| + |x₂|。
向量范数满足以下条件：1. 非负性：对于所有的向量x，||x||≥0，且等号成立当且仅当x=0。
2. 齐次性：对于所有的向量x和标量a，||ax|| = |a|||x||。
3. 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y||≤||x||+||y||。
给定一个矩阵A∈R^(m×n)，我们可以通过向量范数定义一种矩阵范数，记作||A||。
向量范数生成的矩阵范数定义如下：||A|| = sup{||Ax|| : x∈R^n, ||x||=1}。
其中||x||=1是指x的范数等于1，sup表示取最大值。
也就是说，矩阵A的范数等于将所有满足x的范数为1的向量Ax的范数取最大值。
4. Frobenius范数：||A||_F = sqrt(∑(i,j)|a_ij|²)。
其中，1-范数和无穷范数是矩阵列向量和行向量的范数的最大值和最大值，而2-范数就是矩阵的谱半径。
Frobenius范数是矩阵元素绝对值平方和的开方。
三、性质和应用和向量范数一样，向量范数生成的矩阵范数也具有一些重要的性质，它们包括：3. 子多项式不等式：对于所有的矩阵A和所有次数不超过n的多项式p，有||p(A)||≤ ||p||_∞||A||。
向量和矩阵的范数
|| k Ax || | k ||| Ax || 2) || k A || max max | k ||| A || x0 x0 || x || || x || || Ax || 3) 由 || A || max ，则 || Ax |||| A |||| x || x R n x 0 || x || 于是 || ( A B ) x || || Ax Bx |||| A |||| (|| A || || B ||) || x ||
法则对应于一非负实数 ||
n
则称 || x || 为向量x的范数。
常见的向量范数
设向量x ( x1 , x2 ,..., xn )T || ||
x || | x |
1 i 1 i
n
x || || x ||
( | xi | ) ( x, x) ( xT x) 2
i 1
3.5 病态方程组与矩阵的条件数
例3.5.1 设线性方程组 0.99 x1 1.99 1 0.99 0.98 x 1.97 2 试分析系数矩阵和右端项有微小扰动, 解将产生 什么样的变化 ? 解 该方程组的精确解为x (1,1)T 。
||
Hale Waihona Puke x ||2 n ||
x ||
1 例如 : || n
1 n x ||1 | xi | || n i 1
x ||
max{| xi |} | xi |
1i n i 1
n
向量的收敛性
定义3.4.2 设R n中一向量序列{ x ( k ) }( k 1,2,...), 其中 (i 1,2,..., n)
向量范数与矩阵范数
kA max kAx k max Ax k A .
x 1
x 1
(3) 对任意的n×n矩阵 A 和 B, 有
A B max (A B)x max Ax Bx
x 1
x 1
max Ax Bx x 1
max Ax max Bx A B
正定性三角不等式积的范数小于等于范数的积矩阵范数与向量范数的相容性定义给定向量范数和矩阵范数如果对任和任意的nn矩阵a它们总满足则称所给的矩阵范数与向量范数是相容的
§1.3 向量范数与矩阵范数
为了研究线性方程组近似解的误差估 计和迭代法的收敛性，我们需要对 Rn 中 向量或 Rn×n 中矩阵的“大小”引进某种 度量----向量或矩阵的范数。向量范数是 三维欧氏空间中向量长度概念的推广，在 数值分析中起着重要作用。
1.3.1 向量范数
向量的范数是刻画向量大小的量, 又叫向量的模.
❖定义 Rn 上的实值函数‖·‖称为向量范数，如果 对任意的 x, y∈Rn, 它均满足下列3条性质:
(1)正定性: || x ||,且 0 x 0;|| x || 0
(2)齐次性:对 k ,有R
|| kx |;|| k | || x ||
以及
A. F
解 x | 3| | 5| |1| 9, 1
x 32 (5)2 12 35 2
x max{| 3|,| 5|,|1|} 5,
|1| | 2 | | 3 |,
A
1
max
|
5
|
|1|
|
8
|,
向量与矩阵的范数
范数
定义：设是一线性空间，而对其每一点都有一个非负实数适合以下条件，则称为地范数. ()；
()
()
向量地范数
定义：对维空间中任一向量，按一定规则有一确定地实数与之对应，该实数记为，若满足下面三个性质：文档来自于网络搜索
()；
()
()
则称该实数为向量地范数.
几种常见地范数：设
（）范数（又称为ö范数）
（）,向量地范数:
（）,向量地范数:
（）向量地:
性质：（向量范数地连续性）向量范数是定义在上地连续实函数
性质：（向量范数地等价性）设是定义在上地两个范数，则存在正数，使对任意，有.文档来自于网络搜索
性质：任意两个等价地向量范数决定地向量序列地收敛性是相同地
矩阵范数
定义：非负函数,叫做上地矩阵范数，如果满足：
正定性：.
齐次性：.
三角不等式：.
相容性：
定理：设是上地一个向量范数，则非负函数
是定义在上地一个矩阵范数.
由上述定理给出地矩阵范数称为从属于向量范数地矩阵范数，也称由向量范数诱导出地算子范数.
矩阵地范数：
矩阵地范数是由向量范数诱导出地算子范数：
常见地矩阵范数计算公式：
矩阵范数（列范数）
矩阵范数（行范数）
矩阵范数（谱范数）
矩阵地范数：
由矩阵范数推出地向量范数
矩阵范数可由向量范数诱导，同样，向量范数有时也可以从矩阵范数推出例：设是上地矩阵范数，任取中地非零向量，则函数
是上地向量范数.。
向量与矩阵的范数
那么
n
X X H *
xi
X 1
i 1
矩阵旳谱半径及其性质
定义：设 A C mn ，A 旳 n 个特征值为 1, 2, , n ，我们称
( A) max{ 1 , 2 , , n }
为矩阵 A 旳谱半径。 例 1 ：设 A C mn ，那么
( A) A
这里 A 是矩阵 A 旳任何一种范数。
F
F
于是有
AB A B
F
F
F
例 4 ：对于任意 A C nn ，定义
A
[Tr
(
AH
A)]
1 2
证明如此定义旳 A 是矩阵 A 旳范数。
证明： 首先注意到这么一种基本事实，
即
[Tr( AH
1
A)] 2
(
m
n
aij
2
)
1 2
i1 j1
由一种例题可知此定义满足范数旳性质。
Frobenious范数旳性质：
(1)' n
1
(2)' n
2
1
2
(3)' n
2
引理（Hoider不等式）：设
a1, a2, , an T , b1, b2, , bn T Cn
则
n
n
aibi (
ai p ) 1 p ( n
bi
q)
1 q
i 1
i 1
i 1
其中 p 1,
q1 且
1p
是矩阵范数。
证明：非负性，齐次性和三角不等式轻易 证得。目前我们考虑乘法旳相容性。设
A C nn , B C nn ，那么
n
n
AB
课件：2-5 矩阵范数
i1 j1
i1 j1
A B
m1
m1
➢ 满足相容性
nn n
nn n
AB m1
aik bkj
i1 j1 k1
( | aik | | bkj |)
i1 j1 k1
nn n
n
(| aik | | bkj |)
i1 j1 k1
k 1
nn
nn
( | aik | ) ( | bkj |)
aij
m1-范数与m2-范数可以视为向量的1-范数与2-范数的直接推 广，而矩阵的m∞-范数与向量的∞-范数却并不相同，这是为 什么呢？先看一个例子
若定义
A
max i, j
|
aij
|,
对
A
1 0
1 1
,, B
1 1
0 1
有 A 1, B 1, AB 2, 从而 AB A B
因此这样定义是为了满足相容性而设的。
A UA AV UAV
F
F
F
F
2.5.3 矩阵范数的性质
定理3 设 A, B C nn (或 Rnn )，则
(1) Onn 0 (2) A B A B
(3) ||A||是关于矩阵A各元素aij的连续函数。 证明 与向量范数类似，略。
定义2 设|| A || ,|| A || 是C nn 中定义的任意两种矩 阵范数，若存在两个与A无关的正常数m、M，使得
定义1 设F nn 是数域 F (R或C)上所有n n矩阵全体构成 的线性空间。实值函数 : F nn R 称为矩阵范数，是 指对于任意矩阵 A, B F nn 满足下列性质
(1) 正定性: || A || 0 当且仅当: A 0 , A 0
矩阵范数和向量范数的关系
矩阵范数和向量范数的关系矩阵范数和向量范数是线性代数中常用的概念，它们之间存在一定的关系。
本文将从矩阵范数和向量范数的定义、性质以及它们之间的联系等方面进行阐述。
我们来介绍矩阵范数和向量范数的定义。
矩阵范数是定义在矩阵上的一种范数，它可以将一个矩阵映射为一个非负的实数。
常见的矩阵范数有Frobenius范数、1-范数、2-范数和∞-范数等。
以Frobenius范数为例，对于一个矩阵A，它的Frobenius范数定义为矩阵元素平方和的平方根，即∥A∥F = √(∑∑|aij|^2)。
向量范数是定义在向量空间中的一种范数，它可以将一个向量映射为一个非负的实数。
常见的向量范数有1-范数、2-范数和∞-范数等。
以2-范数为例，对于一个向量x，它的2-范数定义为向量元素平方和的平方根，即∥x∥2 = √(∑|xi|^2)。
矩阵范数和向量范数之间存在一定的联系。
首先，对于一个n维向量x，可以将其看作是一个n×1的矩阵。
此时，向量范数就可以看作是矩阵范数的一种特殊情况。
例如，向量的2-范数就是矩阵的2-范数。
因此，矩阵范数可以看作是向量范数的推广。
矩阵范数和向量范数之间满足一些性质。
例如，对于一个矩阵A和一个向量x，满足以下性质：1. 三角不等式：对于任意的矩阵A和向量x，有∥A∥ + ∥x∥ ≤∥A + x∥。
2. 齐次性：对于任意的矩阵A和实数α，有∥αA∥ = |α|∥A∥。
3. 子多重性：对于任意的矩阵A和B，有∥AB∥ ≤ ∥A∥∥B∥。
我们来讨论矩阵范数和向量范数的联系。
通过定义可以看出，矩阵范数和向量范数都是对于矩阵或向量的度量。
矩阵范数可以看作是对矩阵的度量，而向量范数可以看作是对向量的度量。
矩阵范数和向量范数都满足范数的定义，即满足非负性、齐次性和三角不等式。
在应用中，矩阵范数和向量范数有着广泛的应用。
矩阵范数可以用于矩阵的相似性度量、矩阵的特征值估计等问题。
而向量范数可以用于向量的相似性度量、向量的正则化等问题。
向量和矩阵的范数
向量和矩阵的范数一、引言向量和矩阵是线性代数中最基本的概念之一，而范数则是线性代数中一个非常重要的概念。
范数可以用来度量向量或矩阵的大小，也可以用来衡量它们之间的距离。
在本文中，我们将讨论向量和矩阵的范数。
二、向量范数1. 定义向量范数是一个函数，它将一个向量映射到一个非负实数。
它满足以下条件：（1）非负性：对于任意的向量x，有||x||≥0；（2）齐次性：对于任意的标量α和向量x，有||αx||=|α|·||x||；（3）三角不等式：对于任意的向量x和y，有||x+y||≤||x||+||y||。
2. 常见范数（1）L1范数：也称为曼哈顿距离或城市街区距离。
它定义为所有元素绝对值之和：||x||1=∑i=1n|xi| 。
（2）L2范数：也称为欧几里得距离。
它定义为所有元素平方和再开平方根：||x||2=(∑i=1nxi^2)1/2 。
（3）p范数：它定义为所有元素p次方和的p次方根：||x||p=(∑i=1n|xi|^p)1/p 。
（4）无穷范数：它定义为所有元素绝对值中的最大值：||x||∞=ma xi|xi| 。
三、矩阵范数1. 定义矩阵范数是一个函数，它将一个矩阵映射到一个非负实数。
它满足以下条件：（1）非负性：对于任意的矩阵A，有||A||≥0；（2）齐次性：对于任意的标量α和矩阵A，有||αA||=|α|·||A||；（3）三角不等式：对于任意的矩阵A和B，有||A+B||≤||A||+||B||。
2. 常见范数（1）Frobenius范数：也称为欧几里得范数。
它定义为所有元素平方和再开平方根：||A||F=(∑i=1m∑j=1naij^2)1/2 。
（2）一范数：它定义为每列元素绝对值之和的最大值：||A||1=maxj(∑i=1m|aij|) 。
（3）二范数：它定义为矩阵A的最大奇异值：||A||2=σmax(A) 。
（4）∞范数：它定义为每行元素绝对值之和的最大值：||A||∞=maxi(∑j=1n|aij|) 。
研究生数值分析(2)向量范数与矩阵范数
我们用其度量向量 X (x1, x2, x3)T 的“大小”。
实质上向量范数 X 是一个实值函数， 它满足如下3个条件： (1非负性). 对任意 X R3 ，都有 X 0
当且仅当 X 0 X 0
(2齐次性). 对任意 a R 和向量 X R3 ,
aX a X
(3三角不等式). 对任意 X ,Y R3 , 都有
n
X 2 2
xi
2
n max{
x1 2 ,
x2 2 ,, xn 2} n
X
2
i 1
即有 X n X ，故有 X X n X
2
2
例5 设
X (1, 2, 3)
，求
X ,X ,X
1
2
解：由向量 X 的1，2， 范数定义
X 1 2 3 6 1
X r X 0
rr
r
证毕。
常用的3种算子范数的定义与算式为：p10-11
AX
n
1―范数（列模）
A max
1
X 0
X
1 1
max 1 jn
i 1
aij
2―范数（谱模）
AX
A max 2
X 2
X 0
max ( AT A)
2
∞―范数（行模）
AX
n
A max
X 0
X (1)2 22 (3)2 14 2
X max{ 1 , 2 , 3} 3
(2) 矩阵的范数
定义2 设 N(A) A 是定义在 Rnn 上的实值函数， 如果它满足4个条件：
向量范数和矩阵范数
2. L1范数：对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的L1范数定义为 ||x||1 = |x1| + |x2| + ... + |xn|。它表示向量各个元素的绝对值之和。
向量范数和矩阵范数
3. 无穷范数（L∞范数）：对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的无穷范数定义为 ||x||∞ = max(|x1|, |x2|, ..., |xn|)。它表示向量各个元素的绝对值的最大值。
矩阵范数是对矩阵进行度量或衡量的方式，它是一个将矩阵映射到非负实数的函数。常见 的矩阵范数有谱范数、F范数和1-范数。
1. 谱范数：对于n×n矩阵A，它的谱范数定义为 ||A||2 = max(σ)，其中σ是A的特征值的 模的最大值。谱范数衡量了矩阵的最大特征值的大小，表示矩阵的最大奇异值。
向量范数和矩阵范数
2. F范数：对于m×n矩阵A，它的F范数定义为 ||A||F = √(∑∑|aij|^2)，其中aij表示A的第i 行第j列的元素。F范数衡量了矩阵所有元素的平方和的平方根。
3. 1-范数：对于m×n矩阵A，它的1-范数定义为 ||A||1 = max(∑|aij|)，其中∑表示对所有 列求和。1-范数衡量了矩阵列向量绝对值之和的最大值。
向量范数和矩阵范数
向量范数是对向量进行度量或衡量的方式，它是一个将向量映射到非负实数的函数。常见 的向量范数有欧几里得范数（L2范数）、L1范数和无穷范数（L∞范 ..., xn)，它的欧几里得范数定义为 ||x||2 = √(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)。它表示向量的长度或大小，也可以理解为向量的2范数。
向量和矩阵的范数
一、向量的范数定义1 设x=(x1 ,x2,…,x n )n ,y=(y1 ,y2,…,y n )n∈R n (或C n )。
将实数(或复数),称为向量x,y的数量积。
将非负实数或称为向量x的欧氏范数。
对向量x,y的数量积有：1. (αx,y)=α(x,y).α为实数(或(x,αy)=(x,y),α为复数);2. (x,y)=(y,x)[(x,y)=(,)];3. (x1 +x2 ,y)=(x1 ,y)+(x2 ,y);4. (Cauchy-Schwarz不等式)(5.1)等式当且仅当x与y线形相关时成立。
对向量x的欧氏范数有：1. ‖x‖2≥0, ‖x‖2 =0当且仅当x=0时成立;2. ‖αx‖2=|α|‖x‖2，任意的α∈R(或α∈C),3. ‖x+y‖2≤‖x‖2 +‖y‖2 (三角不等式)，(5.2)注(5.1)和(5.2)有下面的事实得到(x+ty,x+ty)=(x,x)+2(x,y)t+(y,y)t2≥0由一元二次方程根的判别定理可知(5.1)成立；取t=1,再利用(5.1)得即得(5.2)。
定义2(向量的范数) 如果向量x∈R n (或C n )的某个实值函数N(x)=‖x‖, 满足条件：(1) ‖x‖≥0(‖x‖=0当且仅当x=0)(正定条件)，(2) ‖αx‖=|α|·‖x‖，任意的α∈R(或α∈C),(3) ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖(三角不等式)，则称N(x)是R n (或C n )上的一个向量范数(或模)。
下面我们给出几种常用的向量范数。
1. 向量的∞-范数(最大范数)：(5.3)2. 向量的1-范数：3. 向量的2-范数：(5.4)4. 向量的p-范数：(5.5)例6 计算向量x=(1,-2,3)T的各种范数。
解：定理6(N(x)的连续性) 设非负函数N(x)=‖x‖为R n上任一向量范数，则N(x)是x的分量x1 ,x2,…,x n的连续函数。
证明设其中e i=(0,…,1,0,…,0)T, . 只须证明当x→y时N(x)→N(y)即成。
向量与矩阵范数
9
算子范数性质
算子范数的性质
定理：设 || ·|| 是 Rn 上的任一向量范数，其对应的 算子范数也记为 || ·|| ，则有
Ax A x
定理：设 || ·|| 是任一算子范数，则 ( A) A
定理：对任意 >0, 总存在一算子范数 || ·|| ，使得
1 n
3
范数性质
范数的性质
(1) 连续性 设 f 是 Rn 上的任意一个范数，则 f 关于 x 的每个分
量是连续的
(2) 等价性 设 || · ||s 和 || ·||t 是 Rn 上的任意两个范数，则存在 常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 xRn 有
c1 x s x t c2 x
p xi , p [1, ) ，是 Rn 上向量范数 i 1
n 1 p
p
2
向量范数
常见的向量范数 ① 1-范数 ② 2-范数
x 1 xi
i 1 n
n 2 x 2 xi i 1
1 2
③ 无穷范数（最大范数）
x
max xi
8
矩阵范数性质
矩阵范数的性质
(1) 连续性：设 f 是 Rnn 上的任一矩阵范数，则 f 关于 A
的每个分量是连续的
(2) 等价性：设 || ·||s 和 || ·||t 是 Rnn 上的任意两个矩阵 范数，则存在常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 A Rnn 有
c1 A s A t c2 A s
本讲内容
向量范数
向量范数的定义 常见的向量范数
向量范数的性质
2-6向量范数与矩阵范数的相容性
证明
(1) 当A为非零矩阵时，一定可以找到非零向量 x ，使 Ax≠0 ，从而有
A max
x0
Ax x
v
v
0
即||A||满足正定性；另外，显然||A||=0当且仅当A=0。 (2) 对任意的常数k∈C，
kA max
x 0
kAx x
v
v
k max
x 0
Ax x
v
v
k A
即||A||满足齐次性。
(3) 对任意的方阵A，B∈Cn×n，
A B max
x 0
( A B) x x Ax x
v v v
v
max(
x 0
Ax x
v
v
Bx x
v
v
)
max
x 0
max
x 0
Bx x
v
v
A B
即||A||满足三角不等式。 上述定义的实值函数||A|| n×n， A的范数。 (4) 对任意的方阵A，B∈C是矩阵
n
k 1 max aij
j i 1
n i 1
，并取单位向量 ek 0, ..., 0,1, 0, ..., 0
Aek
1
T
则 ek 1 1 ，且有 k
1
，于是
Aek
1
| aik |
i 1
n
即||Ax||1在单位球面{ x | ||x||1=1 }上的极大值点为ek，
n ,n C T
1 2
证明：设 A (aij ) C ， x 1 , 2 ,
Ax 2
n i 1
向量范数和矩阵范数知识点总结
向量范数和矩阵范数知识点总结《向量范数和矩阵范数知识点总结：一场有趣的数学冒险》嘿，大家好呀！今天咱来唠唠向量范数和矩阵范数这俩家伙，那可真是数学世界里一对有趣的“难兄难弟”啊！咱先说向量范数，它就像是给向量套上了一个“紧箍咒”，用来衡量这个向量的大小或长度。
想象一下，向量就像个调皮的小猴子，在数学丛林里上蹿下跳，而向量范数就是那个抓住它、给它定个大小的“如来佛祖的手掌”。
它能让我们清楚地知道这个向量到底有多“厉害”或者多“弱小”。
这玩意儿有好多类型呢，比如咱常见的1-范数、2-范数啥的。
它们各有各的特点，就像不同的魔法技能。
1-范数呢，就像是给向量的每个分量都贴上了个小标签，然后把这些标签加起来，简单粗暴。
而2-范数就有点高深了，它是通过一个神奇的公式算出来的，就像给向量做了一次美容，让它以最帅气的样子展现出来。
再来说说矩阵范数，这可是个大家伙。
它就像个“大管家”，管理着矩阵这个“大家庭”。
矩阵范数可以衡量矩阵的“能量”或者说“影响力”。
想象一下，矩阵就像个有很多房间的大房子，矩阵范数就是给这个房子估个价。
矩阵范数也有好多分类，像什么Frobenius 范数啊，那可是矩阵范数界的明星。
它把矩阵的每个元素都照顾到了，算出一个综合的值。
这就好像给矩阵进行了一次全面的体检，看看它到底有多健康。
学这些范数的时候啊，那可真是一场刺激的冒险。
有时候感觉就像在走迷宫，到处都是弯弯绕绕，一不小心就迷路了。
但当你突然找到了那条正确的路，哇，那种感觉简直爽翻了！就像你在黑暗中突然找到了一盏明灯。
不过别怕，虽然它们有点复杂，但只要咱多琢磨琢磨，多做几道题，慢慢地就会和它们成为好朋友啦。
当你真正掌握了它们，就会发现它们其实也没那么可怕，反而还挺有趣的呢！总之，向量范数和矩阵范数就像是数学世界里的宝藏，只要我们勇敢地去挖掘，就一定能找到属于我们自己的惊喜。
加油吧，小伙伴们！让我们一起在这场有趣的数学冒险中勇往直前！。
向量与矩阵的范数
3.5 向量与矩阵的范数
一、. 向量范数： 对n维实空间Rn中任一向量X ，按一定规则有一
确定的实数与其相对应，该实数记为||X||，若||X||满足 下面三个性质： (1)(非负性)||X||0，||X||=0当且仅当X=0。 (2)(齐次性)对任意实数 ，|| X||=| | ||X||。 (3)(三角不等式)对任意向量YRn，||X+Y||||X||+||Y||
解：A=[1,2,3,4;2,3,4,1;3,4,1,2;4,1,2,9]; n1=norm(A,1), n2=norm(A), n3=norm(A,inf)，n4=norm(A, 'fro') n1=16，n2=12.4884，n3=16，n4=13.8564
计算方法三⑤
15/35
•矩阵范数的性质：
|λE-A’A|=0 λ2-30λ+4=0
——弗罗贝尼乌斯 (Frobenius)范数 简称F范数
12/35
几种常用的矩阵范数：
弗罗贝尼乌斯 (Frobenius) 范数简称F范数
计算方法三⑤
13/35
Matlab中计算矩阵的范数的命令(函数)：
(1) n = norm(A) 矩阵A的谱范数(2范数), = A’A的最大特征值的算术根
定义：设A非奇异，称||A-1|| ||A|| 为矩阵A的条件数, 记为Cond (A)，即Cond (A)= ||A-1||||A||.
当cond(A)>>1，则方程组称为“病态”的； 当cond(A)较小时，则方程组称为“良态”的。
计算方法三⑤
28/35
>>cond(a,p)
通常使用的条件数有：
证:设λ为A的任意一个特征值, X为对应的特征向量 AX=λX
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重点： 施密特正交化方法；正交子空间及其正交补；
正交投影；酉变换；算子范数；相容性
难点： 正交基及子空间的正交关系，算子范数及其与
向量范数的相容性
范数集中描述了向量空间的中大小和距
离的度量。
从范数可以导出向量与向量、矩阵与矩阵之间
的距离，进而引出向量序列和矩阵序列收敛的
问题。
§2.5
向量范数与矩阵范数
考虑线性空间Cn中的单位球面
S { x ( x1 , x2 , , xn )T | x |21 | x |2 2 | x |2 n 1}
由于S是有限闭集，且f(x)在S上的点均不为0，因
此，f(x)在S上连续。根据多元函数的性质，在S上
可取得最大值M与最小值m，即
0 m min
x S
x x
x x
max
x S
x x
M
对任意的向量x∈ Cn ，且x≠0，则
y x | x1 | | x2 | ... | xn |
2 2 2
S
m
y y
M
注意到
y y
x,
x
2
| x1 | | x2 | ... | xn | 1
数,则对于任意的 x V ,有:
(1) x max{ x , x } 是 V (F ) 上的范数. (2) x k1 x
k2 x
是V (F ) 上的范数.
x 0 ，可知
其中k1，k2为正实数。 证明(1)：当 x 时，由 x 0
x max{ x , x } 0
kx
p
( kxi ) ( k
i 1
n
1 p p
p
x
i 1
n
1 p p i
) k x
p
(3) 由Minkowski不等式知
x y
p
( xi yi )
p i 1 n 1 p p
n
1 p
( x i ) ( yi ) x p y
p i 1 i 1
即正定性成立。
对任意的常数k∈C，及任意的x∈V，有
kx max{ kx
, kx
} max{ k
x
, k
x
}
k max{ x
, x
} k
x
即齐次性成立。 (1) x max{ x , x } 是 V (F ) 上的范数. 对任意的y∈V，有
x y max{ x y max{ x max{ x x y
又由于 i 是固定向量 i 的范数,所以,它与 x i , yi 是无关的,所以,当 yi x i 时,有:
( y1 , y2 , , yn ) ( x1 , x 2 , , x n )
所以 x 必为 x1 , x2 ,, xn 的连续函数
定理2 设 x
,
x 是Cn中定义的两种向量范数，
Re x , y
x, y
|| x || || y ||
x , x 2 Re x , y y , y
定理1 设 x 是 C n ( R n ) 中的向量 x x1 , x2 , , x n T的 向量范数,则 x 必为 x1 , x2 ,, xn 的连续函数
造标准正交基；
3, 理解正交子空间及其正交补的概念，掌握正交投影的 概念；理解正交变换的概念，熟练掌握正交矩阵的性质；
教学内容和基本要求
4, 理解向量范数的概念，知道常用向量范数的几何意义
及其性质；理解矩阵范数的概念，掌握算子范数，会求 常用的算子范数，并掌握矩阵范数与向量范数的相容性； 5, 理解谱半径的概念，掌握谱半径的相关性质；
2
n
其中 p 1, q 1 且 p=2， Cauchy-Schwarz不等式 （Minkowski不等式）：
1 1 1 p q
1 p
n n n ( ai bi ) ( ai ) ( 2bi )
i 1
i 1
ai bi 1 ai i i 1
定义
x
max xi
i
，试证， x
是Cn上的一个向量范数。
解答： 正定性显然成立。 对任意的常数k∈C，及任意的x∈Cn，有 该范数被称为∞-范数。
kx
max kxi k max xi k
i i
x
对任意的x，y∈Cn，有
x y
max xi yi
i i i
max xi max yi x
n
1 p
p
x
p
( xi )
i 1
n
1 p p
p≧1，可知在同一个线性空间 中，可以定义不同的向量范数。
例2
设C[a,b]是由 [a,b]上所有连续函数f(x)所构成的
集合,按照通常意义下的加法和数乘构成线性空间，如
下三种映射是该空间中常用的三种范数
f ( t ) 1 f ( t ) dt ,
x的范数，简称向量范数。
向量范数是定义在线性空间上的一个非负的实值函数，
它具有如下的性质：
(1)
0
1 x 1, || x || 0 x
(2)
(3)
x x
(4)
x y
x y
证明(4)：
x x y y x y y x y x y
另一方面，
y x ( y x) x y x x x y x y y x
1 p p
n
1 p p 2 2
1
n
ibi1 i 1 其中实数
1 p 2
p 1
。
向量空间中常用的范数 例 1：设向量 x [ x1 , x2 , , xn ]T，对任意的数
n
p 1
称:
x
p
( x i ) 为向量 x 的 p 范数。
i 1
1 p p
，试证， x
1
是Cn上的一
个向量范数。 解答： 正定性显然成立。 对任意的常数k∈C，及任意的x∈Cn，有 该范数被称为1-范数。即向量的长
kx
1
kx1 kx2 ... kxn 度只是沿各坐标方向的直线度量。 k ( x1 x2 ... xn ) k x
1
对任意的x，y∈Cn，有
证明: 设Cn中的一组基为 T T T 1 1, 0, , 0 , 2 0,1, , 0 , , n 0, 0, ,1 则对任意的 x , y C n 可以表示成:
x x1 1 x 2 2 x n n y y1 1 y2 2 yn n
x ( x1 , x2 ,, xn )
于是有:
x 是关于其分量 x1 , x2 ,, xn 的实值函数,记
( y1 , y2 , , yn ) ( x1 , x2 , , xn ) y x y x
( y1 x1 ) 1 ( y2 x2 ) 2 ( yn xn ) n y1 x1 1 y2 x2 2 yn xn n
证明:只需验证(1)正定性,(2)齐次性,(3)三角不等式 设 x , y C ( R ), x x1 , x2 , xn , y y1 , y2 , yn
n n T T
(1) 正定性显然。 (2) 对任意的常数 k C ( R),由实值函数的定义:
所以 x
x2 n x
x y
1
x1 y1 x2 y2 ... xn yn ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) ... ( xn yn ) ( x1 x2 ... xn ) ( y1 y2 ... yn ) x
1
y
1
例5 设 x x1 , x2 , ..., xn T 是向量空间Cn上的任一向量，
2.5.1 向量范数的概念与性质
定义1 设V是数域F(R或C)上的线性空间，实值函 数 :V R 称为向量范数，是指对于任意
x 0 ，且 x 0 x，y∈V，满足下列性质： x 0 正定性
齐次性
kx k x
三角形不等式
x y x y
x 是V中向量
空间V称为赋范线性空间，
x y
x y
2
x y2 2
2
x
x1
x1 y1 2
22
2
2
y
x2
2
2 x
2
x 2 y2
2
2
2
x
1
y2
2y
... xn 2
y
2 ... yn
2
2 y
2
2 x n yn ...
2
2
而
x y
2 2
x y, x y
x 1 xi n max xi n x
i 1 n
x 1 max x i x
1 i n
所以 1 ,
2 2
等价
(2)
x 2 xi n max xi n x
2 2 i 1
n
x 2 max xi x