丢番图的《算术》(精)可编辑
丢番图方程整数解方法之欧阳德创编
求不定方程整数解的常用方法不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。
不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。
我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。
一般常用的求不定方程整数解的方法包括：(1)分离整数法此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.例1 求不定方程025=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为因为y 是整数，所以23+x 也是整数. 由此x+2=1，-1，3，-3，即x=-1，-3，1，-5，相应的.0,2,0,4=y所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).(2)辗转相除法此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式);第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;第三步，用辗转相除法解不定方程.例2 求不定方程25+yx的整数解.37=107解因为25,37107(=,所以原方程有整数解.)1用辗转相除法求特解:从最后一个式子向上逆推得到所以则特解为通解为或改写为(3)不等式估值法先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.例3 求方程1111=++zy x 适合z y x ≥≥的正整数解. 解 因为所以所以即所以所以.32==z z 或当2=z 时有所以所以所以42≤〈y所以;46,43或相应地或===x y y当3=z 时有所以所以所以.3;3,3==≤x y y 相应地所以).3,3,3(),2,4,4(),2,3,6(),,(=z y x(4)逐渐减小系数法此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为1±的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.例4 求不定方程2510737=+y x 的整数解.解 因为251)107,37(=，所以原方程有整数解.有10737〈，用y 来表示x ，得 则令由4<37,用m 来表示y ,得令.4,4t m Z t m =∈=得将上述结果一一带回，得原方程的通解为注解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.若有解,可先求c by ax =+的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止. 对于二元一次不定方程c by ax =+来说有整数解的充要条件是c b a ),(.(5)分离常数项的方法对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.例5 求不定方程14353=+y x 的整数解.解 原方程等价于因为所以所以原方程的通解为.,32851Z t t y t x ∈⎩⎨⎧+=-= (6)奇偶性分析法从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用n 2或)(12Z n n ∈+代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.例6 求方程32822=+y x 的正整数解.解 显然y x ≠,不妨设因为328是偶数，所以x 、y 的奇偶性相同，从而y x ±是偶数.令则1u 、.0,111〉〉∈v u Z v 且所以代入原方程得同理，令2211211(2,2u v v u u v u =-=+、)0,222〉〉∈v u Z v 且于是，有再令得此时，3u 、3v 必有一奇一偶，且取,5,4,3,2,13=v 得相应的所以，只能是.4,533==v u从而结合方程的对称性知方程有两组解()().18,2,2,18(7)换元法利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解的目的.例7 求方程7111=+y x 的正整数解. 解 显见，.7,7〉〉y x 为此，可设,7,7n y m x +=+=其中m 、n 为正整数. 所以原方程7111=+y x 可化为 整理得所以相应地所以方程正整数解为()()().56,8,14,14,8,56(8)构造法构造法是一种有效的解题方法，并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要的意义，成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种体现，也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映.构造体现的是一种转化策略，在处理不定方程问题时可根据题设的特点，构造出符合要求的特解或者构造一个求解的递推式等.例8 已知三整数a 、b 、c 之和为13且bc a b =，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 的值.解 由题意得⎩⎨⎧==++acb c b a 213，消去b 得()ac c a =--213 整理得到关于c 的一元二次方程因为因,0≠a若,916,014425,12===+-=c c c c a 或解得则有符合题意，此时 若17=a 时，则有,01692=+-c c 无实数解，故;17≠a 若16=a 时，则有,09102=+-c c 解得,91==c c 或符合题意，此时综上所述，a 的最大值和最小值分别为16和1，相应的b 与c 的值分别为.9316491214⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=c b c b c b c b 或和或 (9)配方法 把一个式子写成完全平方或完全平方之和的形式，这种方法叫做配方法.配方法是式子恒等变形的重要手段之一，是解决不少数学问题的一个重要方法.在初中阶段，我们已经学过用配方法解一元二次方程，用配方法推到一元二次方程的求根公式，用配方法把二次函数化为标准形式等等，是数学中很常用的方法.例9 若.,24522的值求x y y x y x y x ++=++ 解 由题意即所以 所以23211=+=+x y y x (10)韦达定理韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，广泛应用于初等代数、三角函数及解析几何中，应用此法解题时，先根据已知条件或结论，再通过恒等变形或换元等方法，构造出形如b a +、b a ⋅形式的式子，最后用韦达定理.例10 已知p 、q 都是质数，且使得关于x 的二次方程()051082=+--pq x q p x 至少有一个正整数根，求所有的质数对().,q p解 设方程的两根分别为1x 、(),212x x x ≤由根与系数关系得因为p 、q 都是质数，且方程的一根为正整数，可知方程的另一根也是正整数.所以所以.5,5,5,1521q p p q pq pq x x ++++=+①当1521+=+pq x x 时，即,10815q p pq -=+因为p 、q 均是质数，所以,1081015q p p pq -〉〉+故此时无解.②当5521+=+pq x x 时，即,1085q p pq -=+所以()(),85810-=-⋅+q p 因为p 、q 都是质数，且,810-〉+q p 所以解得符合条件的质数对为()().3,7,=q p③当p q x x +=+521时，即,1085q p p q -=+所以,157q p =满足条件的质数对.④当q p x x +=+521时，即,1085q p q p -=+所以,113q p =于是()()()().3,11,3,7,==q p q p 或综上所述，满足条件的质数对为()()()().3,11,3,7,==q p q p 或(11)整除性分析法用整除性解决问题，要求学生对数的整除性有比较到位的把握.例11 在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线k kx y x y +=-=或3的交点为整数时，k 的值可以取()A.2个B.4个C.6个D.8个解 当1=k 时，直线13+=-=x y x y 与平行，所以两直线没有交点;当0=k 时，直线()轴即与x y x y 03=-=交点为整数; 当1≠k 、0≠k 时，直线k kx y x y +=-=与3的交点为方程组⎩⎨⎧+=-=k kx y x y 3的解，解得 因为x 、y 均为整数,所以1-k 只能取4,2,1±±±解得综上，答案为C.(12)利用求根公式在解不定方程时，若因数分解法、约数分析均不能奏效，我们不妨将其中一个未知数看成参数，然后利用一元二次方程的求根公式去讨论.例12 已知k 为整数，若关于x 的二次方程()01322=+++x k kx 有有理根，求k 值.解 因为0≠k ，所以()01322=+++x k kx 的根为由原方程的根是有理根，所以()5222++k 必是完全平方式.可设(),52222m k =++则(),52222=+-k m 即因为m 、k 均是整数,所以⎩⎨⎧=--=++522122k m k m , ⎩⎨⎧=--=++122522k m k m ⎩⎨⎧-=---=++112522k m k m , ⎩⎨⎧-=---=++522122k m k m解得,02或-=k 因为,0≠k 所以k 的值是-2.(13)判别式法一元二次方程根的判别式是中学阶段重要的基础知识，也是一种广泛应用的数学解题方法.该法根据一元二次方程的判别式ac b 42-=∆的值来判定方程是否有实数根，再结合根与系数的关系判定根的正负.熟练掌握该法，不仅可以巩固基础知识，还可以提高解题能力和基础知识的综合运用能力.例13 求方程431112=++xy y x 的整数解. 解 已知方程可化为因为x 、y 均为整数，所以,06448162≥+-=∆x x 且为完全平方数.于是，令(),464481622n x x =+-其中n 为正整数 所以因为x 、n 均为整数所以(),04492≥--=∆n 且为完全平方数， 即有，742-n 为完全平方数.于是，再令,7422m n =-其中m 为正整数所以因为m n m n -+22与奇偶性相同，且m n m n -〉+22所以由上.2=n相应的,032=-x x 解得()303===x x x ，所以舍去或把3=x 代入已知方程中得(),522舍去或==y y 所以2=y 所以()()2,3,=y x(14)因式分解法因式分解也是中学阶段重要的基础知识之一.它应用广泛,在多项式简化、计算、方程求根等问题中都有涉及.因式分解比较复杂，再解题时，根据所给题目的特点，灵活运用，将方程分解成若干个方程组来求解.这种方法的目的是增加方程的个数，这样就有可能消去某些未知数，或确定未知数的质因数，进而求出其解.利用因式分解法求不定方程()0≠=+abc cxy by ax 整数解的基本思路:将()0≠=+abc cxy by ax 转化为()()ab b cy a x =--后,若ab 可分解为,11Z b a b a ab i i ∈=== 则解的一般形式为,⎪⎩⎪⎨⎧+=+=c b b y c a a x ii 再取舍得其整数解. 例14 方程a b a ,4132=-、b 都是正整数，求该方程的正整数解.解 已知方程可化为所以即因为a 、b 都是正整数所以这样所以4=b 或12或20或36或84相应地2=a 或4或5或6或7所以方程的正整数解为:()()()()().84,7,36,6,20,5,12,4,4,2 丢番图（Diophantus ）：古代希腊人，代数学的鼻祖，早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称整系数的不定方程为丢番图方程。
数学史话之代数奠基人丢番图
数学史话之代数奠基人丢番图古希腊数学自从阿基米德和阿波罗尼奥斯之后，由于亚历山大城进入罗马人统治时期，虽然古希腊的文化传统未被破坏，学者还可继续研究，然而已没有前期那种磅礴的气势，古希腊数学进入了它的没落期。
虽然还有几位优秀的数学家出现，但是整体上已经开始衰弱，并且逐渐处于停滞状态。
今天科普君要讲的就是其中的一位代数学之父--据说韦达也有这个称号--丢番图。
丢番图对于丢番图的生平事迹，人们知道的很少。
据推断和计算而知，丢番图是约公元246-300年古希腊亚历山大后期的重要学者和数学家。
在一本《希腊诗文选》中记载到亚历山大时期的丢番图对代数学的发展起到了极其重要的作用，对后来的数论学者有很深的影响。
丢番图被认为是代数学的创始人之一，对算术理论有深入研究，他完全脱离了几何形式，在希腊数学中独树一帜。
代数丢番图最著名的应该就是他的墓碑了，作为一位代数学的创始人，他的墓碑也并没有让人省心。
他的墓碑上的内容是这样的：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。
上帝给予他的童年占六分之一，又过了十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。
五年之后天赐贵子，可怜迟来的儿子，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。
悲伤只有用数论的研究去弥补，又过了四年，他也走完了人生的旅途。
终于告别数学，离开了人世。
你算出丢番图的年纪了吗？丢番图的主要著作是《算术》，在所有亚历山大后期的数学著作中，古典希腊几何传统最离经叛道的一本要属丢番图的《算术》，这部具有东方的色彩的著作，用纯分析的角度处理数论问题，可以看作是希腊算术与代数成就的最高标志。
算术《算术》是讲数的理论的，但大部分内容可以划入代数的范围。
它的特点是完全脱离了几何的形式，与欧几里得时代的经典大异其趣。
另一个特点是创用了一套缩写符号，如未知量、未知量的各次幂等都用特殊符号来表示。
在丢番图以前，所有的问题都是用文字来叙述。
丢番图创用的这些记号，虽然还只具缩写性质，却不失为代数符号的滥觞。
希腊数学家丢番图
希腊数学家丢番图
丢番图
丢番图是希腊数学家，他的13卷巨著《算术》在代数符号、数论、代数⽅程解法等⽅⾯均有重要贡献，其不定⽅程理论对后世产⽣了巨⼤影响，以⾄后⼈把整系数不定⽅程称为“丢番图⽅程”．
关于丢番图的⽣平，我们仅能从其墓志铭中略知梗概，这篇墓志铭本⾝就是⼀个有趣的数学问题，因为被4世纪数学家麦特劳德尔（Metrodorus ）收⼊⼀部数学问题集中，得以流传⾄今：
这是⼀座⽯墓，
⾥⾯安葬着丢番图．
请你告诉我，
丢番图寿数⼏何？
他⼀⽣的六分之⼀是幸福的童年，
⼗⼆分之⼀是⽆忧⽆虑的少年．
再过去七分之⼀的年程，
他建⽴了幸福的家庭．
五年之后⼉⼦出⽣，
不料⼉⼦竟先其⽗四年⽽终，
只活到⽗亲⼀半的年龄．
晚年丧⼦⽼⼈真可怜，
悲痛之中渡过风烛残年．
请你告诉我，
丢番图寿数⼏何？
答案：
（1）84217112161145=??
----÷+）（（岁）（2）还可以这样想：丢番图的年龄是7和12的公倍数，即是84的倍数．按常规，丢番图不可能活到84×2或者更⼤的岁数，所以他的年龄就是84岁．。
初中数学数学名师丢番图
丢番图丢番图(Diophantus of Alexandria) 公元250年前后活跃于亚历山大．教学．丢番图生存的年代，是根据下面的记载来确定的．在他的著作《多角数》(De polygonis numeris)中，引用了许普西克勒斯(Hypsicles of Alexandria，约公元前175年)关于多角数的定义，而赛翁(Theon of Alexandria)的书又引用丢番图的著作．这样界定的上、下限是公元前175年到公元390年．另外，M．C．普赛勒斯(Psellus，1018—约1078)写过一封信，提到阿纳托利厄斯(Anatolius，约公元280年)将他所著的关于埃及计算方法的小册子献给丢番图，因此两人应同时代或丢番图稍早．据此断定丢番图的活跃时期是公元250年前后．丢番图将他的杰作《算术》(Arithmetica)献给迪奥尼修斯(Dionysius)．历史上用这一个名字的有好几个，估计这一个是亚历山大的迪奥尼修斯，他是当地的主教．在任主教(公元247年)之前，曾在那里建立基督教学校(从公元231年起)．丢番图的《算术》可能就是为这些学校编写的教科书．这种推想是合情合理的，年代也和前面所说的一致．关于丢番图的生平，还有一则别开生面的记载．在一本《希腊诗文选》(The Greek anthology)中，收录了丢番图奇特的墓志铭：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．这相当于方程x=84．由此知他享年84岁．丢番图的著作确实知道他有两种著作，一是《算术》，大部分保存了下来；另一种是《多角数》，只有少部分留下来．还有两种书，一是《推论集》 (Porismata)它只是在《算术》中几次提到，可能是若干数论问题的汇编，独立成册，也可能是附属在《算术》中的失传部分．此外，伊安布利霍斯(lamblichus，约公元250—约330年)所著《尼科马霍斯〈算术〉评注》一书的注释者还提到丢番图另外一本书《分数算法》(Moriastica)，它记载了分数计算的法则，可惜已失传．丢番图的《算术》是一部划时代的著作，它在历史上影响之大可以和欧几里得《几何原本》(Elements)一比高下．这书的序中说，全书共分13卷．可是现在见到的希腊文本只有6卷．长期以来，大家都认为其余的7卷早在10世纪以前已经失传．5世纪时希帕提娅(Hypatia)注释这部书，只注了6卷，也许这正是其余部分被人忽视终致失传的原因．近年来，发现4卷阿拉伯文本，改变了传统的看法．1973年，G．图默(Toomer)获悉在马什哈德圣地(Mashhad Shrine)图书馆有一本阿拉伯文手抄本，经过研究，确认为《算术》的失传部分(但还不全)．这是由古斯塔伊本卢加(Qustā ibn Lūqā，活跃于860年前后)译成阿拉伯文的．后来J．塞夏诺(Sesiano)将它译成英文并加以详细注释(见[6])．经过反复推敲，塞夏诺指出这4卷在《算术》中原来的位置应该是紧接着希腊文本卷1，2，3的卷4，5，6，7，而希腊文的其余部分应是卷8，9，10．下面将按这新的顺序编排来介绍它的内容．原来的6卷希腊文本，最初是J．雷格蒙塔努斯(Regiomontanus，1436—1476)发现的．1464年2月15日，他写信给L．比安基(Bianchi)，提到他在威尼斯找到了丢番图的《算术》，从此西方学术界才知道有6卷希腊文手抄本流传下来．最早的拉丁文译本是G．克胥兰德(Xylander，1532—1576)的“Diophanti Alexandrini Rerum arithmeticarum libri sex，et de numeris multangulis liber unus”(《亚历山大的丢番图算术6卷，多角数1卷》)．以后又有C．－G．巴歇(Bachet de Méziriac，1581—1638)校订注释的希腊-拉丁文对照本“Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex，et de numeris multangulis liber unus”(《亚历山大的丢番图算术6卷，多角数1卷》)．关于这个译本，有一段饶有趣味的历史．1637年左右，P．de费马(Fermat，1601—1665)读到这译本第2卷第8题：“将一个平方数分为两个平方数”时，在书页的空白处写出了著名的“费马大定理”．1670年费马的儿子S．de费马(Fermat)将他父亲的全部批注插入正文，重新出版巴歇的希-拉对照本近代，不包括新发现4卷的“丢番图全集”，标准的版本是P．唐内里(Tannery，1843—1904，法国数学史家)编辑、校订的希-拉对照本“Diophanti Alexandrini opera omnia cum Graecis mentariis”(《亚历山大的丢番图全集，包括希腊文注释》)．最流行的英译本是T．L．希思(Heath，1861—1940)的“Diophantus of Alexan－dria，A Study in the history of Greek algebra(《亚历山大的丢番图，希腊代数学史研究》)．此外，还有德、法、英、俄及现代希腊语等多种译本．代数学的特征希腊时代“算术”(arithmetica)一词，主要指“数的理论”而言，大致相当于现在的“数论”．而数字的加、减、乘、除等运算则叫做“计算的技巧”(logistica)，和前者有明显的区别．这种分法从毕达哥拉斯时代开始，一直延续到近代，例如C．F．高斯(Gau－ss)的数论名著就叫做《算术研究》(Disquisitiones Arithmeticae，1801)．丢番图《算术》也是讲数论的，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程．现在对于具有整系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就叫做丢番图方程，它是数论的一个分支．不过丢番图并不要求解答是整数而只要求是正有理数．从另一个角度看，《算术》一书也可以归入代数学的范围．代数学区别于其他学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算，根据问题的条件列出方程，然后解方程求出未知数．算术也有未知数，这未知数一般就是问题的答案，一切运算只允许对已知数来施行．在代数中既然要对未知数加以运算，就需要用某种符号来表示它．就引入未知数，创设未知数符号以及建立方程的思想(虽然未有现代方程的形式)这几方面来看，丢番图《算术》完全可以算得上是代数．当时代数学没有专门的名称，algebra是9世纪花拉子米(al－Khowarizmi)以后才出现的名称，而且直到17世纪还没被欧洲人普遍接受．丢番图将这方面的成果冠以算术之名是很自然的．他被后人称为“代数学之父”也是有一定道理的．希腊数学自毕达哥拉斯学派以后，兴趣中心在几何，他们认为只有经过几何论证的命他才是可靠的．为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣，一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入僵硬的几何模式之中．直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊．例如，(a＋b)2=a2+2ab＋b2的关系在欧几里得《几何原本》中是一条重要的几何定理(卷Ⅱ命题4)，而在丢番图《算术》中只是简单代数运算法则的必然结果．下面通过一个例子来说明丢番图解决问题的手法．卷Ⅱ第20题：求两数，使得任一数的平方加上另一数等于一个平方数．([10]，p．101．)这相当于不定方程x2+y=m2y2+x=n2要求所有的未知数x，y，m，n都是正有理数．丢番图只设一个未知数，也只使用一个未知数的符号，这是他的特点之一，今暂记作x．其余的未知数根据问题的具体条件用含x的一个简单式子表示出来．本例的条件是x2加上另一个未知数等于一个平方数，故可设这个未知数是2x+1，因为x2+ 2x+1正好是一个完全平方．其次，还应该满足(2x+1)2+x=平方数．丢番图设右端是(2x-2)2，显然是想使展开后左右两端相同的4x2项-2是怎样来的？不妨先令右端是(2x+a)2=4x2+4ax+a2，原文很简单，没有说明这样设未知数的理由，更没有给出一般的法则．他虽然知道问题有多个答案，但常常得到一个答案就已满足．他认为代数方法(可理解为一种倒推法，先假设未知数存在，列出方程然后求解)比几何的演绎陈述更适宜于解决问题．解题的过程中显示出高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜．有的数学史家说，如果丢番图的著作不是用希腊文写的，人们就不会想到这是希腊人的成果，因为看不出有古典希腊数学的风格，从思想方法到整个科目结构都是全新的．如果没有丢番图的工作，也许人们以为希腊人完全不懂代数．有人甚至猜想他是希腊化了的巴比伦人．代数符号G．H．F．内塞尔曼(Nesselmann，1811—1881)根据符号使用的情况，将代数学分为三类(见[12]，pp．301—306)：(1)文词代数(rhetorische algebra)，完全用文字来叙述而不用符号；(2)简字代数(synkopierte algebra)；(3)符号代数(symbolischealgebra)，除了个别地方，一切全用符号来表示．按照这个分类，丢番图《算术》应该属于第二类．符号的使用，在数学史上是一件大事．一套优良的符号，绝不仅仅是起到加快速度、节省时间的作用，它能够准确、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系．一个较复杂的式子，如果不用符号而日常语言来表述，会十分冗长而含混不清．符号的发明在数学史上是一次飞跃，也是代数的特征之一，其作用是不容低估的．丢番图创设了一些符号，多半采自相应文字的字头，而问题的叙述主要仍然是用文字，和现代的符号代数相去甚远，只可算是较原始的简字代数．号来表示它．由于丢番图本人的原始手稿早已失传，后人传抄的手稿上这个符号又不很统一，故很难确知他用的是什么符号．不过几种手稿都记数法系统是用字母表数，如α，β，γ，δ，…分别表示1，2，3，4…；ι，κ，λ，μ，…分别表示10，20，30，40，…；ρ，σ，τ，υ，…分别表示100，200，300，400，…等等，24个字母值得注意的是，在一份大约写于2世纪的纸草书上，也出现和丢番图未知数相类似的符号，上面所列的三个算题，解题方法也具有丢番图的风格．可以想象，丢番图的工作不是孤立的，他受到强烈的外来影响．丢番图所处理的问题大部分是多元的，但他只设一个未知数的符号，相当于现在的x．而和x2，x3，…，x4相当的各次幂，都有专门的名称和符号：名称符号符号是名称的缩写，注意Δ，Υ，Κ是字母δ，υ，κ的大写．这些乘幂的倒数也有专名和符号，6次以上的幂不再创设符号．未知数的系数相乘的法则：“‘缺乏’乘以‘缺乏’得到‘存在’；‘缺乏’乘以‘存在’得到‘缺乏’”，即负乘负得正，负乘正得负，由于没有加号，书写时所有的负项都放在减号的后面，如x3-5x2+8x-1写成原意是“属于部分”，相当于“除以”或分数线/)，接着写分母．例如卷10(原希腊文本卷6)第19题，将(2x3＋3x2＋x)/(x2+2x+1)写成这已非常接近现代方程的形式．最后一个符号表示数字6，是希腊字母表以外的记号，读作digamma．丢番图创用符号是一大进步，美中不足的是只用符号表示一个未知数，遇到多个未知数时仍用同一符号，这使得计算过程越来越晦涩．为了避免混淆，不得不运用高度的技巧，但这常常使方法失去普遍性．8—9世纪以后，阿拉伯人吸取了许多希腊人的成果，然而却没有看到符号的优点，花拉子米等人完全回到文词代数上去，这是历史上的倒退．《算术》的典型问题和解答(一)一、二、三次方程《算术》没有系统地给出一、二次方程的解法．大概是一元一次方程太简单，没有必要单独论述，实际它已包含在axn=b类型的方程之中．经过移项、消去等手续，有些问题化为这类方程之后，立即得到解答．不管答案有几个，丢番图仅满足于一个答案．他完全排斥负数解答，例如卷9(原希腊文本卷5)第2题最后化为4=4x+20，他认为是荒谬的．无理数的解答也不取。
浅谈丢番图算术中的互反律定理
IT 大视野数码世界 P .42其流程如下所示（图3）：图3基于风险评估的定级流程3.结语当前信息技术发展迅猛，信息安全形势日益严峻，信息安全等级保护作为基础至关重要。
本文笔者提出的基于假想信息安全事件对客体侵害程度的定级方法以国家指导方法为蓝本，增加信息安全事件等级为评判依据，适合已建、待建等所有信息系统的定级工作；基于信息系统风险评估的定级方法适合已建信息系统的定级工作，通过结合反复进行的系统风险评估工作，将定级作为风险评估的一项成果，降低定级工作的时间、人力成本。
两种定级方法将有助于信息安全等级保护工作开展，为定级工作提供一定的参考作用。
参考文献[1]GB 17859-1999, 计算机信息系统 安全保护等级划分准则[S].[2]GB/T 22240-2008, 信息安全技术 信息系统安全等级保护定级指南[S].[3]GB/Z 20986-2007, 信息安全技术 信息安全事件分类分级指南[S].[4]周元德,董凤翔,胡波.基于等级保护的信息安全风险评估方法[J].铁道工程学报,2006(09):89-92.[5]张建军,等.信息安全风险评估探索与实践[M].北京:中国标准出版社, 2005.浅谈丢番图算术中的互反律定理苏沿帆 成都实验外国语学校（西区）摘要：求解丢番图方程是数论中的一个中心问题。
而互反律是数学家们在理解各式各样的丢番图算术问题中反复遇到的奇妙现象。
互反律现象的背后有着深刻的数学理论。
对其持续不断地研究也直接促进了近现代代数数论的迅速发展。
而这其中，高斯的二次互反律是最早发现并证明的一个互反律定理。
在这篇论文中，我们通过研究费马的著名的二平方和问题的古典证明，形象地揭示了互反律在求解丢番图方程的过程中所发挥的关键性作用。
1.导引I would like to stress how surprising this theorem (Gauss’ law of quadratic reciprocity) is to me. Why should the number of solutions to a congruence modulo p, have anything to do with which congruence class p lies in modulo something else? What have these twoquestions to do with each other? On the face of it, absolutely nothing.——Richard Taylor (The Institute for Advanced Study)数论的历史可以追溯到公元前1750年的古巴比伦王国时代。
丢番图和不定方程
丢番图和不定方程——兼谈中国人在这方面的工作丢番图的工作埃及尼罗河的出海口有一个大港叫亚历山大城，它是以希腊大帝亚历山大的名字命名。
在两千年前这里曾是地中海文化的一个中心。
亚历山大大帝在公元前330年建立这城市，在公元前323年他去世之后，托勒米（Ptalamy）成为埃及的统治者。
他选择这里为他的帝国的国都，并且模仿雅典的吕克昂学院在这里建立了一个博物院（Museum），世界各国的学者被邀请到这里来研究教导。
英国科学史家法灵顿（B．Farrington 1891—1974）在他的书《希腊人的科书》这么描写：“在埃及首都形成这个科学和艺术新中人的心里，存在一种美国式的豪华。
”编写著名的《几何原本》的欧几里得（Euclid）是博物院的第一个希腊数学教授。
在公元250年前后有一位希腊数学家丢番图（Dioplantos公元214－218年）住在亚历山大城里，他作为一个数学教员编写了一部叫《算术》（Arithmetica）的教科书。
这书总共有13卷，可惜在10世纪时只剩下6卷，其余7卷遗失了。
在15世纪这书的希腊文手抄本在意大利的威尼斯发现于是广被人注意，以后又有法国数学家巴歇的希腊—拉丁文对照本，以后还有英、德、俄等国的译本，这是一本如《几何原本》般在数学上影响很大的书。
这本书基本上是代数书，有人称他为“代数学之父”，他书中采用符号，研究了一次、二次、三次方程。
他是第一个引进符号入希腊数学的人。
如第一卷第27题：“两数之和是20，乘积是96，求这两数。
”第一卷第28题：“两数之和是20，平方和是208，求这两数。
”第六卷第27题：“求直角三角形的三边，已知它的面积加上斜边是一个平方数，而周长是一个立方数。
”写成现代的式子，令a，b，c是直角三角形的三边，则有：a2＋b2＝c2a＋ b＋ c＝N3这里就要考虑到三次方程了。
这书除了第一卷外，其余的问题几乎都是考虑未知数比方程数还多的问题，我们把这种问题叫不定方程。
【精品】数学丢番图问题
丢番图的年龄–初一学生如何学会用方程解决问题对于初一新生，从用数学的思维方式解决问题转到用方程的思维方式解决问题是很关键一步，成年人都知道方程的解题方法比数学简单，但对于孩子这种解题观念的转变却不容易。
下面用一个相对复杂的习题总结一下解题套路，习题选自北师大版《数学》七年级上册P196页8题：古代希腊数学家丢番图（公元3-4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的1/6是幸福的童年；再活了他生命的1/12，两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的1/7，他结婚了；再过5年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了。
”1、他结婚时的年龄是多少？2、他去世时的年龄是多少？首先，要扭转孩子一上来就用数学的方法去思考的习惯，就这个题来说，不需要去想5年相当于数学家生命的几分之几、4年相当于数学家生命的几分之几，这是数学的思考方式；而是不管那么多，先按照用方程解决问题的套路，确定一个合理的变量x：用方程解决问题的第一步：设未知量 x 。
对于初一数学而言，设那个量为 x 也一般不会绕弯：一般情况下，题中问什么，就设什么为 x 就好。
对于本题，则设数学家去世时的年龄为 x 。
接下来：用方程解决问题的第二步：找等量关系，列出含有未知量 x 的方程式。
这一步是解方程应用题的关键，对大多孩子而言也是难点，这里的技巧是：把题中给出的条件先用数学语言表示出来，再思考其中的等量关系。
这样一个过程可以帮助学生理清思路，降低难度。
比如本题，可让孩子将每一条件用数学语言翻译一遍：既然已经设了数学家的生命为 x ，那么，针对题中每句话的数学语言描述就是：题中的自然语言翻译成数学语言他生命的1/6是幸福的童年童年时代＝1/6x再活了他生命的1/12，两颊长起了细细的胡须活到长胡须＝童年+1/12x＝1/6x+1/12x又度过了一生的1/7，他结婚了同样道理，数学家活到结婚＝1/6x+1/12x+1/7x再过5年，他有了儿子同理，活到他有儿子＝1/6x+1/12x+1/7x+5可是儿子只活了他全部年龄的一半活到他儿子死＝1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x儿子死后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了活到他自己死＝1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4分析至此，一般孩子都能悟到实际上上式右边的1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4就是数学家从生到死的年龄，也就是我们设的那个未知量 x ，于是也就自然而然地找到了等量方程：1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4 = x那么剩下的事情就简单了：用方程解决问题的第三步：解方程。
丢番图
丢番图丢番图(Diophantus of Alexandria) 公元250年前后活跃于亚历山大．教学．丢番图生存的年代，是根据下面的记载来确定的．在他的著作《多角数》(De polygonis numeris)中，引用了许普西克勒斯(Hypsicles of Alexandria，约公元前175年)关于多角数的定义，而赛翁(Theon of Alexandria)的书又引用丢番图的著作．这样界定的上、下限是公元前175年到公元390年．另外，M．C．普赛勒斯(Psellus，1018—约1078)写过一封信，提到阿纳托利厄斯(Anatolius，约公元280年)将他所著的关于埃及计算方法的小册子献给丢番图，因此两人应同时代或丢番图稍早．据此断定丢番图的活跃时期是公元250年前后．丢番图将他的杰作《算术》(Arithmetica)献给迪奥尼修斯(Dionysius)．历史上用这一个名字的有好几个，估计这一个是亚历山大的迪奥尼修斯，他是当地的主教．在任主教(公元247年)之前，曾在那里建立基督教学校(从公元231年起)．丢番图的《算术》可能就是为这些学校编写的教科书．这种推想是合情合理的，年代也和前面所说的一致．关于丢番图的生平，还有一则别开生面的记载．在一本《希腊诗文选》(The Greek anthology)中，收录了丢番图奇特的墓志铭：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．这相当于方程x=84．由此知他享年84岁．丢番图的著作确实知道他有两种著作，一是《算术》，大部分保存了下来；另一种是《多角数》，只有少部分留下来．还有两种书，一是《推论集》 (Porismata)它只是在《算术》中几次提到，可能是若干数论问题的汇编，独立成册，也可能是附属在《算术》中的失传部分．此外，伊安布利霍斯(lamblichus，约公元250—约330年)所著《尼科马霍斯〈算术〉评注》一书的注释者还提到丢番图另外一本书《分数算法》(Moriastica)，它记载了分数计算的法则，可惜已失传．丢番图的《算术》是一部划时代的著作，它在历史上影响之大可以和欧几里得《几何原本》(Elements)一比高下．这书的序中说，全书共分13卷．可是现在见到的希腊文本只有6卷．长期以来，大家都认为其余的7卷早在10世纪以前已经失传．5世纪时希帕提娅(Hypatia)注释这部书，只注了6卷，也许这正是其余部分被人忽视终致失传的原因．近年来，发现4卷阿拉伯文本，改变了传统的看法．1973年，G．图默(Toomer)获悉在马什哈德圣地(Mashhad Shrine)图书馆有一本阿拉伯文手抄本，经过研究，确认为《算术》的失传部分(但还不全)．这是由古斯塔伊本卢加(Qustā ibn Lūqā，活跃于860年前后)译成阿拉伯文的．后来J．塞夏诺(Sesiano)将它译成英文并加以详细注释(见[6])．经过反复推敲，塞夏诺指出这4卷在《算术》中原来的位置应该是紧接着希腊文本卷1，2，3的卷4，5，6，7，而希腊文的其余部分应是卷8，9，10．下面将按这新的顺序编排来介绍它的内容．原来的6卷希腊文本，最初是J．雷格蒙塔努斯(Regiomontanus，1436—1476)发现的．1464年2月15日，他写信给L．比安基(Bianchi)，提到他在威尼斯找到了丢番图的《算术》，从此西方学术界才知道有6卷希腊文手抄本流传下来．最早的拉丁文译本是G．克胥兰德(Xylander，1532—1576)的“Diophanti Alexandrini Rerum arithmeticarum libri sex，et de numeris multangulis liber unus”(《亚历山大的丢番图算术6卷，多角数1卷》)．以后又有C．－G．巴歇(Bachet de Méziriac，1581—1638)校订注释的希腊-拉丁文对照本“Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex，et de numeris multangulis liber unus”(《亚历山大的丢番图算术6卷，多角数1卷》)．关于这个译本，有一段饶有趣味的历史．1637年左右，P．de费马(Fermat，1601—1665)读到这译本第2卷第8题：“将一个平方数分为两个平方数”时，在书页的空白处写出了著名的“费马大定理”．1670年费马的儿子S．de费马(Fermat)将他父亲的全部批注插入正文，重新出版巴歇的希-拉对照本近代，不包括新发现4卷的“丢番图全集”，标准的版本是P．唐内里(Tannery，1843—1904，法国数学史家)编辑、校订的希-拉对照本“Diophanti Alexandrini opera omnia cum Graecis commentariis”(《亚历山大的丢番图全集，包括希腊文注释》)．最流行的英译本是T．L．希思(Heath，1861—1940)的“Diophantus of Alexan－dria，A Study in the history of Greek algebra(《亚历山大的丢番图，希腊代数学史研究》)．此外，还有德、法、英、俄及现代希腊语等多种译本．代数学的特征希腊时代“算术”(arithmetica)一词，主要指“数的理论”而言，大致相当于现在的“数论”．而数字的加、减、乘、除等运算则叫做“计算的技巧”(logistica)，和前者有明显的区别．这种分法从毕达哥拉斯时代开始，一直延续到近代，例如C．F．高斯(Gau－ss)的数论名著就叫做《算术研究》(Disquisitiones Arithmeticae，1801)．丢番图《算术》也是讲数论的，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程．现在对于具有整系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就叫做丢番图方程，它是数论的一个分支．不过丢番图并不要求解答是整数而只要求是正有理数．从另一个角度看，《算术》一书也可以归入代数学的范围．代数学区别于其他学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算，根据问题的条件列出方程，然后解方程求出未知数．算术也有未知数，这未知数一般就是问题的答案，一切运算只允许对已知数来施行．在代数中既然要对未知数加以运算，就需要用某种符号来表示它．就引入未知数，创设未知数符号以及建立方程的思想(虽然未有现代方程的形式)这几方面来看，丢番图《算术》完全可以算得上是代数．当时代数学没有专门的名称，algebra是9世纪花拉子米(al－Khowarizmi)以后才出现的名称，而且直到17世纪还没被欧洲人普遍接受．丢番图将这方面的成果冠以算术之名是很自然的．他被后人称为“代数学之父”也是有一定道理的．希腊数学自毕达哥拉斯学派以后，兴趣中心在几何，他们认为只有经过几何论证的命他才是可靠的．为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣，一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入僵硬的几何模式之中．直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊．例如，(a＋b)2=a2+2ab＋b2的关系在欧几里得《几何原本》中是一条重要的几何定理(卷Ⅱ命题4)，而在丢番图《算术》中只是简单代数运算法则的必然结果．下面通过一个例子来说明丢番图解决问题的手法．卷Ⅱ第20题：求两数，使得任一数的平方加上另一数等于一个平方数．([10]，p．101．)这相当于不定方程x2+y=m2y2+x=n2要求所有的未知数x，y，m，n都是正有理数．丢番图只设一个未知数，也只使用一个未知数的符号，这是他的特点之一，今暂记作x．其余的未知数根据问题的具体条件用含x的一个简单式子表示出来．本例的条件是x2加上另一个未知数等于一个平方数，故可设这个未知数是2x+1，因为x2+ 2x+1正好是一个完全平方．其次，还应该满足(2x+1)2+x=平方数．丢番图设右端是(2x-2)2，显然是想使展开后左右两端相同的4x2项-2是怎样来的？不妨先令右端是(2x+a)2=4x2+4ax+a2，原文很简单，没有说明这样设未知数的理由，更没有给出一般的法则．他虽然知道问题有多个答案，但常常得到一个答案就已满足．他认为代数方法(可理解为一种倒推法，先假设未知数存在，列出方程然后求解)比几何的演绎陈述更适宜于解决问题．解题的过程中显示出高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜．有的数学史家说，如果丢番图的著作不是用希腊文写的，人们就不会想到这是希腊人的成果，因为看不出有古典希腊数学的风格，从思想方法到整个科目结构都是全新的．如果没有丢番图的工作，也许人们以为希腊人完全不懂代数．有人甚至猜想他是希腊化了的巴比伦人．代数符号G．H．F．内塞尔曼(Nesselmann，1811—1881)根据符号使用的情况，将代数学分为三类(见[12]，pp．301—306)：(1)文词代数(rhetorische algebra)，完全用文字来叙述而不用符号；(2)简字代数(synkopierte algebra)；(3)符号代数(symbolischealgebra)，除了个别地方，一切全用符号来表示．按照这个分类，丢番图《算术》应该属于第二类．符号的使用，在数学史上是一件大事．一套优良的符号，绝不仅仅是起到加快速度、节省时间的作用，它能够准确、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系．一个较复杂的式子，如果不用符号而日常语言来表述，会十分冗长而含混不清．符号的发明在数学史上是一次飞跃，也是代数的特征之一，其作用是不容低估的．丢番图创设了一些符号，多半采自相应文字的字头，而问题的叙述主要仍然是用文字，和现代的符号代数相去甚远，只可算是较原始的简字代数．号来表示它．由于丢番图本人的原始手稿早已失传，后人传抄的手稿上这个符号又不很统一，故很难确知他用的是什么符号．不过几种手稿都记数法系统是用字母表数，如α，β，γ，δ，…分别表示1，2，3，4…；ι，κ，λ，μ，…分别表示10，20，30，40，…；ρ，σ，τ，υ，…分别表示100，200，300，400，…等等，24个字母值得注意的是，在一份大约写于2世纪的纸草书上，也出现和丢番图未知数相类似的符号，上面所列的三个算题，解题方法也具有丢番图的风格．可以想象，丢番图的工作不是孤立的，他受到强烈的外来影响．丢番图所处理的问题大部分是多元的，但他只设一个未知数的符号，相当于现在的x．而和x2，x3，…，x4相当的各次幂，都有专门的名称和符号：名称符号符号是名称的缩写，注意Δ，Υ，Κ是字母δ，υ，κ的大写．这些乘幂的倒数也有专名和符号，6次以上的幂不再创设符号．未知数的系数相乘的法则：“‘缺乏’乘以‘缺乏’得到‘存在’；‘缺乏’乘以‘存在’得到‘缺乏’”，即负乘负得正，负乘正得负，由于没有加号，书写时所有的负项都放在减号的后面，如x3-5x2+8x-1写成原意是“属于部分”，相当于“除以”或分数线/)，接着写分母．例如卷10(原希腊文本卷6)第19题，将(2x3＋3x2＋x)/(x2+2x+1)写成这已非常接近现代方程的形式．最后一个符号表示数字6，是希腊字母表以外的记号，读作digamma．丢番图创用符号是一大进步，美中不足的是只用符号表示一个未知数，遇到多个未知数时仍用同一符号，这使得计算过程越来越晦涩．为了避免混淆，不得不运用高度的技巧，但这常常使方法失去普遍性．8—9世纪以后，阿拉伯人吸取了许多希腊人的成果，然而却没有看到符号的优点，花拉子米等人完全回到文词代数上去，这是历史上的倒退．《算术》的典型问题和解答(一)一、二、三次方程《算术》没有系统地给出一、二次方程的解法．大概是一元一次方程太简单，没有必要单独论述，实际它已包含在ax n=b类型的方程之中．经过移项、消去等手续，有些问题化为这类方程之后，立即得到解答．不管答案有几个，丢番图仅满足于一个答案．他完全排斥负数解答，例如卷9(原希腊文本卷5)第2题最后化为4=4x+20，他认为是荒谬的．无理数的解答也不取。
数学家丢番图-
丢番图﹝Diophantus of Alexandria 约公元250年前后﹞
对于丢番图的生平事迹，人们知道得很少。
从他的墓志铭中，我们知道丢番图享年84岁。
他是古希腊伟大的数学家。
丢番图对代数学的发展起了极其重要的作用，对后来的数论学者有很深的影响。
他有几种著作，最重要的是《算术》，还有一部《多角数》，另一些已遗失。
《算术》是一部划时代的著作，它在历史上影响之大，可和欧几里得的《几何原本》相媲美。
丢番图的《算术》是讲数论的，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程。
现在对于具有整数系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就叫做丢番图方程，它是数论的一个分支。
不过丢番图并不要求解答是整数，而只要求是正有理数。
从另一个角度看，《算术》一书也可以归入代数学的范围。
代数学区别于其它学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算。
就引入未知数，创设未知数的符号，以及建立方程的思想﹝虽然未有现代方程的形式﹞这几方面来看，丢番图的《算术》完全可以算得上是代数。
丢番图的《算术》
丢番图的《算术》
丢番图的《算术》
《算术》（Arithmetica）是古希腊后期数学家丢番图的一部名著，这部著作原有13卷，长期以来，大家都以为只有1464年在威尼斯发现的前6卷希腊文抄本，最近在马什哈德（伊朗东北部）又发现4卷阿拉伯文译本。
《算术》事实上是一部代数著作，其中包含有一元或多元一次方程的问题，二次不定方程问题以及数论方面的问题，现存6卷中共有189题，几乎一题一法，各不相同。
虽然后人将其归成五十多个类，但是仍无一般的方法可寻。
并且，这部著作中引用了许多缩写符号，如未知量及其各次幂用S、△r、K r、△r△、△K r、K r K等符号。
无论从内容与形式上讲，这种完全脱离几何的特征，与当时古希腊欧几里得几何盛行的时尚大异其趣。
因此，丢番图的《算术》虽然代表了古希腊代数学的最高水平，但是它远远超出了同时代人，而不为同时代人所接受，很快就被湮没，没有对当时数学的发展产生太大的影响。
直到15世纪《算术》被重新发掘，鼓舞了一大批数学家在此基础之上，把代数学大大向前推进了。
首先是法国数学家蓬贝利认识到《算术》的重大价值，他的同胞韦达正是在丢番图缩写代数的启示下才做出了符号代数的贡献，到17世纪，费马手持一本《算术》，并在其空白处写写画画，竟把数论引上了近代的轨道。
《算术》中的不定分析，对现代数学影响也很深远，在不同数域上，凡是涉及不定方程求解问题，现在都称之为“丢番图方程”或“丢番图分析”。
丢番图的《算术》(精)
丢番图的《算术》《算术》一书是古希腊亚历山大后期最伟大的数学家丢番图所作．关于他的生平，除了从他的墓志铭上了解到的以外，其余的一无所知．但是他给我们留下了丰厚的文化遗产，最著名的就是《算术》一书．丢番图一生写了三部数学书，《论多边形数》只保存下一个片断，《衍论》一书失传，不过许多数学家对《衍论》都作过注释，《算术》一书是他最重要的一本书，但是13卷中仅存6卷，就仅存的6卷内容来看，也足以表明作者在这个领域中是个天才．《算术》一书中讲述了一些深刻的数的定理，这些定理吸引着后来数学家韦达、费尔玛、欧拉、拉格朗日等，在他们的努力下，最终得到了满意的结果．《算术》主要是研究代数学的，特别是研究一次和二次方程，一元和二元二次或高次不定方程的．它的内容如下：第二卷的第28个问题是求两个平方数，使得它们的乘积加到任一个上给出一个平方数，丢番图的答案是：（43)2，(247)2． 第三卷的第7个问题是求成算术级数的三个数，使得其中任何两个数的和为平方数．丢番图也给出了答案，这三个数分别是12021、84021、156021． 第三卷的第13个问题是求三个数，使得其中任何两个数的乘积加上第三个数为平方数．这个问题在《算术》中虽然提了出来，但是丢番图并没有给出具体的求解方法．第四卷中的第10个问题也非常有趣，它是求两个数，使得它们的和等于它们的立方和，丢番图的答案是75，78． 第六卷中的问题涉及到了几何．第1个问题是这样的，求一组毕氏三数，使其斜边减去每一个直角边均为立方数，丢番图给出的答案是40，96，104．值得注意的是，这里的毕氏三数，就是我们现在所讲的一组勾股数，三个整数a ，b ，c 是毕氏三数，即它们能表示一个直角三角形的两个直角边和一个斜边，即满足勾股定理．第16个问题也是涉及到求勾股数的问题．它让求一组毕氏三数，使其一个锐角的平分线的长度为有理数．当然《算术》中的题目还很多，所有这些题目都表明了丢番图在代数方面的巨大成就，但是应该注意的是，它里面缺少一般问题的解法，而只是讲述了为每一个特殊问题的需要而设计的巧妙方法．并且它只承认正有理数解，而且在许多场合下，满足于对一个问题只求出一个解．丢番图除了方程上的贡献外，他还有另一个重大的发明，那就是简字代数．也就是说，代数是以其符号化来体现本质特征的，符号的创用是数学上的一件大事，它不仅能帮助人快速思维，而且能以其精炼的形式克服自然语言时常出现的歧义现象，代数的符号化过程大体经历了三个阶段，即文字代数、简字代数和符号代数．丢番图是简字代数的创始人，他的简字代数，奠定了欧洲数学符号化的基础．简字就是把代数中的核心词缩减而成的一种字母符号，常常采用词语的第一个字母来表示．丢番图首先引进了未知数符号，在他那里，未知数被称为“题中的数”．另外，他把未知数的平方、立方、四次方、五次方、六次方都用符号来代替．他已经熟悉正整数指数完成的运算的性质，给了特殊的名称．所有这一切，都对后来的代数学产生了巨大的影响．。
对代数学的发展起了重要作用的丢番图
费马感兴趣的公式
在《算术》第2卷的第8题是关于不定方程的：将一个已知的平方数分为两个平方数。例如将16分成两个平方数。设一个平方数是x2，那么另一个是16-x2，现要求16-x2是一平方数。即16-x2=M2不妨设M=mx-4，其中m是某一整数，而4是16的平方根。例如令m=2，于是16-x2=4x2-16x+16，立刻得到x=16/5 。
例如，(a＋b)2=a2+2ab＋b2的关系，在欧几里得《几何原本》中是一条重要的几何定理(卷Ⅱ命题4)，而在丢番图《算术》中只是简单代数运算法则的必然结果。
人们认为《算术》是希腊数学的划时代杰作。《算术》的核心内容是关于以代数手法解方程和不定方程的研究。这里的方法不依赖于几何证明。关于整系数方程的整数解的研究是当今数学的一个分支。这一分支被称之为丢番图方程。寻找毕达哥拉斯的三元组就是一个这样的例子。丢番图还使用了介于文体和完全的符号代数之间的一种过渡性的代数符号体系。阿拉伯数学家把《算术》翻译成了阿拉伯语并加以广泛研究。
便进入冰冷的墓。
悲伤只有用数论的研究去弥补，
又过四年，
他也走完了人生的旅途。
用这样的方式记载了他享年的秘密，即“丢番图的一生，童年生活占1/6 ，再过1/12 他开始长胡子，再过1/7 他结了婚，婚后 5 年生了一个儿子。他的儿子比他早 4 年辞世，享年是他的1/2 。”
这相当于一元一次方程： x=84。由此知他享年84岁。
前面已经提到，费马对这一命题很感兴趣，在旁边的空白处写下著名的“费马大定理”。大约是在 1637年左右，费马在看到这个题目：“将一个平方数分为两个平方数”时，在书页的空白处写出了著名的“费马大定理”。1670年费马的儿子将他父亲的全部批注插入正文，重新出版巴歇的希-拉对照本近代，不包括新发现4卷的“丢番图全集”，标准版本是唐内里（Tannery，1843—1904，法国数学史家）编辑、校订的希-拉对照本《亚历山大的丢番图全集，包括希腊文注释》。以后又有巴歇(Bachet de Méziriac，1581—1638)校订注释的希腊-拉丁文对照本《亚历山大的丢番图算术6卷，多角数1卷》。
(完整word版)《数学史》朱家生版+课后题目参考答案+第六章
1.解析几何产生的背景是什么?在那个时期哪些问题导致了人们对运用代数方法处理几何问题的兴趣?解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求．文艺复兴后的欧洲进入了一个生产迅速发展,思想普遍活跃的时代．机械的广泛使用，促使人们对机械性能进行研究，这需要运动学知识和相应的数学理论；建筑的兴盛、河道和堤坝的修建又提出了有关固体力学和流体力学的问题，这些问题的合理解决需要正确的数学计算；航海事业的发展向天文学，实际上也是向数学提出了如何精确测定经纬度、计算各种不同形状船体的面积、体积以及确定重心的方法，望远镜与显微镜的发明，提出了研究凹凸透镜的曲面形状问题．在数学上就需要研究求曲线的切线问题．所有这些都难以仅用初等几何或仅用初等代数在常量数学的范围内解决，于是，人们就试图创设变量数学．作为代数与几何相结合的产物――解析几何,也就在这种背景下问世了．2、笛卡尔研究解析几何的出发点是什么？他又是怎么得到解析几何思想的?答：笛卡儿对数学方法的深入研究，是他断定数学可以有效地应用到其他科学上去。
他分析了古代已有的几何学和当时已经定型的代数学的优缺点，批评希腊几何过于抽象，并且过多地依靠图形,而代数则使人受到某些规则和公式的约束.他提出“寻求另外一种包含这两门科学的好处而没有他们的缺点的方法。
”当他看到代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力，便着手把代数用到几何上去。
在《几何学》一书中,他仿造韦达的方法,用代数来解决几何作图的问题,比希腊人有了明显进展。
（在变量的理解和应用上。
希腊人无法处理三个以上变量的乘积.而笛卡儿是从纯数学方面考虑，所以可以处理三个以上的变量的乘积。
)笛卡儿之所以能创立解析几何,主要是他勇于探索，勤于思考.运用科学方法的必然结果。
3。
阐述费马的主要数学成就。
（1）对解析几何的贡献费马独立于勒奈·笛卡儿发现了解析几何的基本原理。
1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。
最新人教版七年级数学上册第三章“代数学的鼻祖”丢番图与方程
“代数学的鼻祖”丢番图与方程随着人类社会的不断前进，数学在不断向前发展着，方程同样在不断向前发展着.两千多年前古希腊有一个大数学家，他的名字叫丢番图，他对数学的发展作出过巨大的贡献.他开创了用缩写方法简化文字叙述运算，因此有人把他称为“代数学的鼻祖”.丢番图著《算术》一书，书中借助符号来代替文字叙述，这在代数发展史上是非常重要的一步.《算术》一书中有解一元一次方程的一般方法，他说：“如果方程两边遇到的未知数的幂相同，但是系数不同，那么应该由等量减去等量，直到得出含未知数的一项等于某个数为止.”丢番图的这段话相当于现在解方程中的移项，这样丢番图就给出一元一次方程的普遍解法，但他的解法在解算其他问题时也就不一定行了；往往是因题而异，一道题有一种特殊解法.正如19世纪德国史学家韩克尔所说：“近代数学家研究了丢番图100个题后，再去解101道题， 仍然感到十分困难.”丢番图生平不详，他的唯一的一个简历是从《希腊方集》中找到的，这是由麦特罗尔写的丢番国的“墓志铭”，“墓志铭”是用诗歌写成的，诗词大意是这样：“过路的人！这儿埋葬着丢番图，请计算下列数目，便可知他一生经过了多少寒暑.他的一生中的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年，再过去一生的七分之一，他建立了幸福的家庭，五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半，晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年，请你算一算，丢番图活到多大，才和死神见面？这是一道刻在墓碑上的方程，可以用一元一次方程来解这个问题，具体解法如下：没丢番图共活了x 岁，童年6x 岁，少年12x 岁，过去7x 年建立家庭，儿子活了2x 岁，按题目条件可列出方程：x x x x x =+++++4257126，解得84=x （岁），通过进一步解算可知丢番图33岁结婚，38岁得子，80岁丧子，本人活了84岁.到了公元10世纪至于14世纪，《希腊文集》特别流行，它是一本用诗写成的问题集，其中有一道关于毕达哥拉斯的问题就非常出名.。
丢番图的《算术》
丢番图的《算术》
杨宝珊
【期刊名称】《自然辩证法通讯》
【年(卷),期】2004(26)4
【摘要】本文系统考查了丢番图《算术》的历史演变过程,探讨了希腊文本和阿拉伯文本各卷在《算术》中原来的位置关系,并对两种文本现存形式上的差异进行了历史分析。
【总页数】5页(P74-78)
【关键词】丢番图;《算术》;希腊文本;阿拉伯文本;数学家
【作者】杨宝珊
【作者单位】西北大学数学与科学史研究中心
【正文语种】中文
【中图分类】O11
【相关文献】
1.算术数列中的素变数丢番图逼近 [J], 李伟平
2.一个算术数列中素变数丢番图逼近 [J], 李伟平;龚克
3.对丢番图《算术》中形如z2+kx2=(k+1)y2不定方程的研究 [J], 张雪;程小红
4.关于丢番图方程p^x-q^y^z=α和丢番图方程p1xp2^y-q1zq2^w=α [J], 曹玉书
5.丢番图方程x2+16=32 y17的整数解 [J], 常青;高丽;马江
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算术
算术
数学的一个基础分支
01 基本介绍
03 教育
目录
02 使用
算术是数学中最古老、最基础和最初等的部分，它研究数的性质及其运算。把数和数的性质、数和数之间的 四则运算在应用过程中的经验累积起来，并加以整理，就形成了最古老的一门数学——算术。在古代全部数学就 叫做算术，现代的代数学、数论等最初就是由算术发展起来的。后来，算学、数学的概念出现了，它代替了算术 的含义，包括了全部数学，算术就变成了其中的一个分支。
第三，在现代的小学数学里，还孕育着近代数学里的集合和函数等数学基础概念的思想。比如，和、差、积、 商的变化，数和数之间的对应关系，以及比和比例等。
另外，小学数学里，还包含有十六世纪才出现的十进小数和它们的四则运算。应当提出的是十进小数不是一 种新的数，而可以被看作是一种分母是10的方幂的分数的另一种写法。
减法既不满足交换律又不满足结合律。由于这个原因，把减法视为被减数和减数的相反数的加法通常是很有 帮助的，也就是说，a−b=a+ (−b)。当写成加法时，所有加法的性质都成立。
主条目：乘法
乘法本质上是一组相同数字的重复累加或总和。乘法运算可得出乘数与被乘数（有时被通称为因数）的乘积。
乘法运算（由于其本质是重复累加）具有交换性和结合性；进而，它对加法和减法运算具有分配性。乘法单 位为1，即，用1乘以任意数的结果仍为该数。并且，任意数字的乘法逆元素是其倒数，即，用一个数的倒数乘以 该数，其结果为乘法单位：1。
数学史（18）：亚历山大时期算术和代数的复兴
数学史（18）：亚历山大时期算术和代数的复兴哪里有数，哪里就有美。
——普罗克洛斯（Proclus）一、背景古典希腊人把计算技术叫logistica，而算术（arithmetica）则指数论。
古典数学家蔑视计算技术，因它只谈商业贸易的实际计算。
从泰勒斯到欧几里得的300年间，这门技术没什么进展。
古典希腊人的数字系统有几次演变。
初期他们用一些特殊的符号和记号来表示数，并用一种算盘的之类的东西进行计算。
大约公元前500年改用希腊数字系统。
毕达哥拉斯学派是用石子来计算的，因“calculus计算”这个词的原意是石子。
“abacus算盘”的希腊文原意是沙，这说明在引用算盘以前，他们是在沙地上画点记数的。
然后不知为什么改成了完全用字母记数的爱奥尼亚制。
这种记数制是亚历山大时期希腊数学里最通用的，可以在托勒密的《至大论》中看到。
古代叙利亚人和以色列人也用。
阿基米德的《数沙》给出了写大数的一套方案，其重点不在于方案本身，而是发表了可以把数写得大到不受限制的思想。
对于用上述方式写出的整数的算术运算，同今天一样用竖式加减进退位。
分数是用单位分数之和表示的，但中间没有加号。
亚历山大的希腊天文学家采用巴比伦人的60进制分数，托勒密的说法是为了避免用普通分数所引起的麻烦。
亚历山大数学家把分数本身当作数来看待，并且随意用来运算。
而古典时期数学家则只提到整数之比，不提整数的部分，而且只在比例中用到比。
古典希腊时期回避开平方的运算，而无理数根本没有地位。
亚历山大时期从海伦开始就用迭代法求平方根的近似值。
二、算术和代数作为一门独立学科的发展阿基米德、阿波罗尼奥斯和托勒密用算术来计算几何量，用几何代数法来保证数的运算的逻辑基础，迈出了算术和代数独立发展的第一步。
而海伦、尼科梅切斯和丢番图则把算术和代数问题本身作为问题来处理，既不依靠几何引出，也不用它来作逻辑依据。
这使算术和代数真正发展成了一门独立学科。
1.海伦的工作海伦用纯粹算术方法提出和解决代数问题。
“懒人”的算术代数学的产生(精品文档)
“懒人”的算术——代数学的产生 我们一～六年级学的数学内容，主要是算术，到七年级就学代数了。
算术和代数到底是怎么回事？你看了下面的短文就知道了。
算术是数学的始祖，古希腊时期的算术一词，专指数的理论，它与实用的计算技术有明显的不同。
这种区别一直保持到中世纪，印度——阿拉伯数学传入欧洲后，才把数的理论称为“数论”，把数的计算称为“算术”。
初等代数是算术的符号化，有了符号，便可以抛开具体的数字，抽象的定义运算，并研究运算律。
在此基础上，形成一个理论体系，回头用通性通法去解决算术问题。
代数把算术提高到一个新的水平，但却比算术容易，这就是符号化的功绩。
在把算术的符号化方面作过贡献的首先是丢番图。
丢番图在他的著作《算术》中首先使用字母表示未知数和一些运算规则，这是近代符号代数学的嚆矢。
丢番图将未知量称为“题中的数”，记为δ（相当于现在的未知数x），将未知数的平方、立方、四次方、五次方分别记作δγ、kγ、δγδ、δkγ，用sx表示，用“↑”表示“减号”，用“l”表示“等号”。
在此之前，代数学书中没有符号，推理也没有等式，只有大段的说理文章。
丢番图在代数学中引用了一大套代数符号，把代数学中的方程从冗繁的语言文字表示成简洁的符号，尽管丢番图的符号基本上是一些文字的缩写，而且也不完整，但是他使代数学的发展向符号代数迈出了重要的一步，因而数学史书中称丢番图是代数学的鼻祖。
代数学是数学中的一个重要的基础性的分支学科。
初等代数学是由古代的算术推广和发展而来的，抽象代数学则是在初等代数学的基础上于十九世纪发展形成的。
初等代数学亦称古典代数学，是实数和复数及以它们为系数的多项式的代数运算的理论和方法。
初等代数学的中心问题就是多项式方程（代数方程）和方程组的求解问题。
因此，初等代数学有时也称为方程论。
在以方程论为中心的古典代数学的发展中，阿拉伯数学家作出了独特的贡献，花拉子模就是代表。
花拉子模出版了一本以“代数”命名的重要著作，此书主要讨论了一元二次方程的解法。
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丢番图的《算术》
《算术》一书是古希腊亚历山大后期最伟大的数学家丢番图所作．关于他的生平，除了从他的墓志铭上了解到的以外，其余的一无所知．但是他给我们留下了丰厚的文化遗产，最著名的就是《算术》一书．
丢番图一生写了三部数学书，《论多边形数》只保存下一个片断，《衍论》一书失传，不过许多数学家对《衍论》都作过注释，《算术》一书是他最重要的一本书，但是13卷中仅存6卷，就仅存的6卷内容来看，也足以表明作者在这个领域中是个天才．
《算术》一书中讲述了一些深刻的数的定理，这些定理吸引着后来数学家韦达、费尔玛、欧拉、拉格朗日等，在他们的努力下，最终得到了满意的结果． 《算术》主要是研究代数学的，特别是研究一次和二次方程，一元和二元二次或高次不定方程的．它的内容如下：
第二卷的第28个问题是求两个平方数，使得它们的乘积加到任一个上给出一个平方数，丢番图的答案是：（43)2，(24
7)2． 第三卷的第7个问题是求成算术级数的三个数，使得其中任何两个数的和为平方数．丢番图也给出了答案，这三个数分别是120
21、84021、156021． 第三卷的第13个问题是求三个数，使得其中任何两个数的乘积加上第三个数为平方数．这个问题在《算术》中虽然提了出来，但是丢番图并没有给出具体的求解方法．
第四卷中的第10个问题也非常有趣，它是求两个数，使得它们的和等于它们的立方和，丢番图的答案是75，7
8． 第六卷中的问题涉及到了几何．第1个问题是这样的，求一组毕氏三数，使其斜边减去每一个直角边均为立方数，丢番图给出的答案是40，96，104．值得注意的是，这里的毕氏三数，就是我们现在所讲的一组勾股数，三个整数a ，b ，c 是毕氏三数，即它们能表示一个直角三角形的两个直角边和一个斜边，即满足勾股定理．
第16个问题也是涉及到求勾股数的问题．它让求一组毕氏三数，使其一个
锐角的平分线的长度为有理数．
当然《算术》中的题目还很多，所有这些题目都表明了丢番图在代数方面的巨大成就，但是应该注意的是，它里面缺少一般问题的解法，而只是讲述了为每一个特殊问题的需要而设计的巧妙方法．并且它只承认正有理数解，而且在许多场合下，满足于对一个问题只求出一个解．
丢番图除了方程上的贡献外，他还有另一个重大的发明，那就是简字代数．也就是说，代数是以其符号化来体现本质特征的，符号的创用是数学上的一件大事，它不仅能帮助人快速思维，而且能以其精炼的形式克服自然语言时常出现的歧义现象，代数的符号化过程大体经历了三个阶段，即文字代数、简字代数和符号代数．丢番图是简字代数的创始人，他的简字代数，奠定了欧洲数学符号化的基础．简字就是把代数中的核心词缩减而成的一种字母符号，常常采用词语的第一个字母来表示．丢番图首先引进了未知数符号，在他那里，未知数被称为“题中的数”．另外，他把未知数的平方、立方、四次方、五次方、六次方都用符号来代替．他已经熟悉正整数指数完成的运算的性质，给了特殊的名称．所有这一切，都对后来的代数学产生了巨大的影响．。