丢番图的《算术》(精)可编辑

丢番图的《算术》

《算术》一书是古希腊亚历山大后期最伟大的数学家丢番图所作．关于他的生平，除了从他的墓志铭上了解到的以外，其余的一无所知．但是他给我们留下了丰厚的文化遗产，最著名的就是《算术》一书．

丢番图一生写了三部数学书，《论多边形数》只保存下一个片断，《衍论》一书失传，不过许多数学家对《衍论》都作过注释，《算术》一书是他最重要的一本书，但是13卷中仅存6卷，就仅存的6卷内容来看，也足以表明作者在这个领域中是个天才．

《算术》一书中讲述了一些深刻的数的定理，这些定理吸引着后来数学家韦达、费尔玛、欧拉、拉格朗日等，在他们的努力下，最终得到了满意的结果． 《算术》主要是研究代数学的，特别是研究一次和二次方程，一元和二元二次或高次不定方程的．它的内容如下：

第二卷的第28个问题是求两个平方数，使得它们的乘积加到任一个上给出一个平方数，丢番图的答案是：（43)2，(24

7)2． 第三卷的第7个问题是求成算术级数的三个数，使得其中任何两个数的和为平方数．丢番图也给出了答案，这三个数分别是120

21、84021、156021． 第三卷的第13个问题是求三个数，使得其中任何两个数的乘积加上第三个数为平方数．这个问题在《算术》中虽然提了出来，但是丢番图并没有给出具体的求解方法．

第四卷中的第10个问题也非常有趣，它是求两个数，使得它们的和等于它们的立方和，丢番图的答案是75，7

8． 第六卷中的问题涉及到了几何．第1个问题是这样的，求一组毕氏三数，使其斜边减去每一个直角边均为立方数，丢番图给出的答案是40，96，104．值得注意的是，这里的毕氏三数，就是我们现在所讲的一组勾股数，三个整数a ，b ，c 是毕氏三数，即它们能表示一个直角三角形的两个直角边和一个斜边，即满足勾股定理．

第16个问题也是涉及到求勾股数的问题．它让求一组毕氏三数，使其一个

锐角的平分线的长度为有理数．

当然《算术》中的题目还很多，所有这些题目都表明了丢番图在代数方面的巨大成就，但是应该注意的是，它里面缺少一般问题的解法，而只是讲述了为每一个特殊问题的需要而设计的巧妙方法．并且它只承认正有理数解，而且在许多场合下，满足于对一个问题只求出一个解．

丢番图除了方程上的贡献外，他还有另一个重大的发明，那就是简字代数．也就是说，代数是以其符号化来体现本质特征的，符号的创用是数学上的一件大事，它不仅能帮助人快速思维，而且能以其精炼的形式克服自然语言时常出现的歧义现象，代数的符号化过程大体经历了三个阶段，即文字代数、简字代数和符号代数．丢番图是简字代数的创始人，他的简字代数，奠定了欧洲数学符号化的基础．简字就是把代数中的核心词缩减而成的一种字母符号，常常采用词语的第一个字母来表示．丢番图首先引进了未知数符号，在他那里，未知数被称为“题中的数”．另外，他把未知数的平方、立方、四次方、五次方、六次方都用符号来代替．他已经熟悉正整数指数完成的运算的性质，给了特殊的名称．所有这一切，都对后来的代数学产生了巨大的影响．