运筹学第一次作业

练习一

1. 某厂接到生产A 、B 两种产品的合同，产品A 需200件，产品B 需300件。这两种产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺阶段。在毛坯制造阶段，产品A 每件需要2小时，产品B 每件需要4小时。机械加工阶段又分粗加工和精加工两道工序，每件产品A 需粗加工4小时，精加工10小时；每件产品B 需粗加工7小时，精加工12小时。若毛坯生产阶段能力为1700小时，粗加工设备拥有能力为1000小时，精加工设备拥有能力为3000小时。又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时分别为每小时3元、3元、2元。此外在粗加工阶段允许设备可进行500小时的加班生产，但加班生产时间内每小时增加额外成本4.5元。试根据以上资料，为该厂制订一个成本最低的生产计划。

解：设正常生产A,B 产品数12,x x ，加班生产A,B 产品数34,x x

13241324341324min 3(22444477)7.5(47)2(10101212)

z x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++++++.s t 132412121

2

12200300241700471000

10123000

475000i x x x x x x x x x x x x x +≥⎧⎪

+≥⎪⎪+≤⎪

+≤⎨⎪+≤⎪+≤⎪⎪

≥⎩且为整数，i=1,2,3,4

2. 对某厂I ，Ⅱ，Ⅲ三种产品下一年各季度的合同预订数如下表所示。

工时为15000小时，生产I 、Ⅱ、Ⅲ产品每件分别需时2、4、3小时。因更换工艺装备，产品I 在2季度无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品I ，Ⅱ每件每迟交一个季度赔偿20元，产品Ⅲ赔偿10元；又生产出来产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5元。问：该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小(要求建立数学模型，不需求解)。

解：设x ij 为第j 季度产品i 的产量，s ij 为第j 季度末产品i 的库存量，d ij 为第j 季度

产品i 的需求量。

()3

3

3

1231

11

min 2020105j j j ij j i j z d d d s ====+++∑∑∑

.s t 123124

4

1

11

1243150000150

0j j j ij ij j j j

j ik ij ij ik

k k ij

x x x x x d x d s d x ====⎧⎪

++≤⎪⎪=⎪⎪

=+⎨⎪⎪+-=⎪⎪⎪≥⎩∑∑∑∑且为整数，i=1,2,3,j=1,2,3,4

3. 某公司有三项工作需分别招收技工和力工来完成。第一项工作可由一个技工单独完成，或由一个技工和两个力工组成的小组来完成。第二项工作可由一个技工或一个力工单独去完成。第三项工作可由五个力工组成的小组完成，或由一个技工领着三个力工来完成。已知技工和力工每周工资分别为100元和80元，他们每周都工作48小时，但他们每人实际的有效工作小时数分别为42和36。为完成这三项工作任务，该公司需要每周总有效工作小时数为：第一项工作10000小时。第二项工作20000小时，第三项工作30000小时。又能招收到的工人数为技工不超过400人，力工不超过800人。请确定招收技工和力工各多少人，使总的工资支出为最少。(建立数学模型，不需求解)

解：设x ij 为第i 项工作采用第j 种方式雇佣的单位数

()()1112213212312232min 480048*80253z x x x x x x x x =+++++++

.s t ()()4

111212421224

32

31321112213212223132

4236*21042362*10

4236533*10400253800

01,2,3,1,2

ij x x x x x x x x x x x x x x x x x i j ⎧++≥⎪+≥⎪⎪++≥⎪⎨+++≤⎪⎪+++≤⎪≥==⎪⎩且为整数，

4. 某录音机生产厂在安排来年的生产。D t 是预测第t 月的需求量，要求按月制定生产计划。工厂现有500工人。在现水平下，每月生产4000台录音机，平均每人每月生

产8台。由于设备条件，装配线每月最多生产7000台。工厂打算在忙季雇用临时工，不过每月最多能雇50人，在淡季则解雇一些临时工人，政策要求每月最多能解雇上月总人数10%工人。每台录音机成本(不包括工人工资)100元。仓库储存一台每月成本7元。工资每人每月100元。新雇一个工人要多花成本(福利、训练)300元。解雇一个工人则花成本500元。年初与年末库存均为零，如何安排每月生产使总成本最小? 解：设t d 为第t 个月解雇的工人数，t R 为第t 个月新雇的工人数，t P 为第t 个月

用于生产的工人数，t Q 为第t 个月月末的库存量

12

12

12

12

12

1

1

1

1

1

min 10087100300500t t t t t t t t t t z P Q P R d ======⨯++++∑∑∑∑∑

01101211

500

00..88700050

10%t

t t t t t t t t t t t P P P P d

Q Q s t Q Q P D P R d P ---=⎧⎪=+-⎪⎪=⎪

=⎪⎨=+-⎪⎪≤⎪

≤⎪⎪≤⨯⎩

5. 某公司和供货商A 、B 、C 签订了长期的供货合同，按月为位于不同地区的三个下属工厂供应某种原料，三个供货商提供的原料品质基本相同，但由于所处的地理位置、人工成本等导致其实际供货成本有所不通。由于一次生产事故，导致最大供货商A 下个月的供货量无法全部满足。下个月供货商的供应量、工厂的需求量和供货商与工厂之间的供货成本如表所示。

公司经紧急协商，在工厂1所在地筹措到100吨的货源，供应成本为23百元/吨；工厂2所在地货源充足，供货成本为25百元/吨，但由于运力紧张两处货源均无法运到外地。鉴于此种情况，公司决定要优先保证工厂1的全部需求，工 厂3的需求至少要满足500吨。该公司面临的问题是应如何协调各供货商和工厂之间的供货关系，才能使总的供货成本最小。（转化为供需平衡的运输问题）