第三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试(1992年)

第三届“希望杯”全国数学邀请赛

初二第2试

一、选择题：

1．2293287325-=（ ）

A ．47249；

B ．45829；

C ．43959；

D ．44969；

2．长方形如图43．已知2,1AB BC ==，则长方形的内接三角形的面积总比数( )小或相等（ ） A.47；B.1；C.23；D.13

；

3．当6,8x y ==时，66422422x y x y x y +++的值是（ ）

A ．1200000254000-；

B ．1020000250400-；

C ．1200000250400-；

D ．1020000254000-；

4．等腰三角形的周长为a ，一腰的中线将周长分成5:3，则三角形的底边长为（ ）

A.6a ；

B.35a ；

C. 6a 或85a ；

D.45

a ； 5.222222362310x xy y x xz y y z -++++++=的,,x y z 的值适合（ ）

A.230200x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩；

B.3260232x y z x y z x y z +-=-⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩

；

C.32620232x y z x y z x y z +-=-⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩；

D.00232x y z x y z x y

z -+

=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩

；

6.四边形如图44，31,302AB BC A B C =

=∠=∠=∠=︒，则D 点到AB 的距离是（ ） A.1；B.12；C.14；D.18

； 7．在式子|1||2||3||4|x x x x +++++++中，用不同的x 值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是（ ）

A ．1；

B ．2；

C ．3；

D ．4；

8．一个等腰三角形如图45，顶角为A ∠，作A ∠的三等三分线,AD AE （即123∠=∠=∠），若BD x =，DE y =，EC z =，则有（ ）

A ．x y z >>；

B ．x z y =>；

C ．x z y =<；

D ．x y z ==；

9．已知方程2

(1)(|2||10|)5a x a a x a +++--+=有两个不同的实根，则a 可以是（ ）

A ．5；

B ．9；

C ．10；

D ．11；

10.正方形如图46，1,AB BD =和AC 都是以1为半径的圆弧，则无阴影的两部分的面积的差是（ ） A.12π-；B.14π-；C.13π-；D.16

π-；

二、填空题：

1.

=的所有根的和的值是________；

2.已知a b a b +=

-=ab =________；

3．如图47，在ABC ∆中，60,75,ACB BAC AD BC ∠=∠=︒⊥于,D BE AC ⊥于,E AD 与BE 交于H ，则CHD ∠=∠________；

4.已知

x =323551424x x x +++的值是________； 5．如图48，已知边长为a 的正方形,ABCE E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，那么BPD ∆的面积的值是________；

6. 已知4,4x y xy +==-，那么33

33x y x y

+=-________；

7．在正ABC ∆中（如图49），D 为AC 上一点，E 为AB 上一点，,BD CE 相交于P ，若四边形ADPE 与BPC ∆的面积相等，那么BPE ∠=________；

8.已知方程2191500x x --=的一个正根为a

+┉

=________； 9．某校男生若干名住校，若每间宿舍住4名，则还剩20名未住下；若每间宿舍住8名，则一部分宿舍未住满，且无空房，该校共有住校男生________名．

10．n 是自然数，1914n +与103n +都是某个不等于1的自然数d 的倍数，则d =________；

三、解答题：

1.若,,,0a b c d >，证明：在方程 2102x ++=，2102

x ++=，

21202x a bx ab +++=，21202

x d ax bc +++=中，至少有两个方程有不相等的实数根；

2．（1）能否把1,2,3,,1992⋅⋅⋅这1992个数分成八组，使得第二组各数之和比第一组各数之和多10，第三组各数之和比第二组各数之和多10，…，最后第八组各数之和比第七组各数之和也多10？请加以说明；

（2）把上题中的“分成八组”改为“分成四组”，结论如何？请加以说明．如果能够，请给出一种分组法；

答案与提示

一、选择题

提示：

5．等式2x+x2+x2y2+2=-2xy 化简为(x+1)2+(xy+1)2=0．∴x+1=0，xy+1=0．解之得x=-1，y=1．则x+y=0．∴应选(B)．

6．由题设得：xy=1，x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993，得2(x+y)2+193xy=1993．将xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30．∴n=7．∴应选(A)．

7．由∠A=36°，AB=AC ，可得∠B=∠C=72°．∴∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°．∴AD=BD=BC ．由题意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD ．∴应选(B)．

8．原方程化为(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0．即|x-1|2-5|x-1|+6=0．∴|x-1|=2，或|x-1|=3．