第三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试(1992年)

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第二届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试(1991年)

第二届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试一、选择题：1．如图1，已知8,5,6AB AP OB ===，则OP 的长是（）A ．2；B ．3；C ．4；D ．5；2．方程2560x x -+=的两个根是（）A ．1,6；B ．2,3；C ．2,3--；D ．1,6--； 3．已知ABC ∆是等腰三角形，则（）A ．AB AC =；B ．AB BC =；C ．AB AC =或AB BC =；D ．AB AC =或AB BC =或AC BC =；4.344134a b c -===+，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c >>；B ．a b c ==；C ．a c b =>；D ．a b c =>；5.若a b ≠，则(b a -等于（）B.C.6．已知,x y 都是正整数，那么三边是,x y 和10的三角形有（）A ．3个；B ．4个；C ．5个；D ．无数多个；7．两条直线相交所成的各角中，（）A ．必有一个钝角；B ．必有一个锐角；C ．必有一个不是钝角；D ．必有两个锐角；8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角（）A ．一个是锐角另一个是钝角；B ．都是钝角；C ．都是直角；D ．必有一个角是直角；9．方程2||10x x ++=有（）个实数根．A ．4；B ．2；C ．1；D ．0；10．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去2-，仍得原数，这个两位数是（）A ．26；B ．28；C ．36；D ．38；11．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是（）A ．179；B ．181；C ．183；D ．185；12.1>+）A ．25x +；B ．25x -；C ．1；D ．1-；13．方程543222010210x x x x x +--++=有一个实数根是（）14．当1a <-时，方程322(1)(1)(1)0a x a x a +++-+=的根的情况是（）A ．两负根；B ．一正根、一负根且负根的绝对值大；C ．一正根、一负根且负根的绝对值小；D ．没有实数根；15．甲乙二人，从M 地同时出发去N 地，甲用一半时间以每小时a 公里的速度行走，另一半时间以每小时b 公里的速度行走；乙以每小时a 公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b 公里的速度行走吗，若a b ≠时，则（）到达N 地．A ．二人同时；B ．甲先；C ．乙先；D ．若a b >时，甲先到达，若a b <时，乙先；二、填空题：1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于________度；2.有理化分母=________；3.0x =的解是x =________；4．分解因式：322322x x y xy y +++=________；5．若方程22(9)20x k x k +-++=的两个实数根互为相反数，则k 的值是________；6．如果2231x x --与2(1)(1)a x b x c -+-+是同一个多项式的不同形式,那么a b c+=________； 7．方程221991x y -=有________个整数解；8．当m ________时，方程2(1)230m x mx m -++-=有两个实数根；9．如图2，在直角ABC ∆中，AD 平分A ∠，且:2:1BD DC =，则B ∠等于________度．C B AFFED C BA(2) (3) (4)10．如图3，在圆上有7个点，,,,,,A B C D E F 和G ，连结每两个点的线段共可作出________条；11．,D E 分别是等边△ABC 两边AB ，AC 上的点，且AD=CE ，BE 与CD 交于F ，则∠BFC 等于________度．12．如图4，ABC ∆中，9,120,AB AC BAC AD ===︒是ABC ∆的中线，AE 是ABD ∆的角平分线，//DF AB 交AE 延长线于F ，则DF 的长为________；13．在ABC ∆中，5,9AB AC ==，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是________；14．等腰三角形的一腰上的高为10cm ，这条高与底边的夹角为45︒，则这个三角形的面积是________；15．已知方程20x px q ++=有两个不相等的整数根，,p q 是自然数，且是质数，这个方程的根是________；答案与提示一、选择题提示：1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)．2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)．3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)．4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．6．∵x=y ＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)．7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)．8．设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°．故选(D)．9．∵不论x 为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)．即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的倍数．故取(A)．11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．则(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991．即 11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六个数是2×85+11=181．故选(B)．∴选(A)．13．原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0．即 x4-10x2+1=0．故取(C)．14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有∴t1＜t2，即甲先．另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)．二、填空题提示：1．设所求角为α，则有(180°-α)-(90°-α)=90°．4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)=(x+y)(x2+xy+y2)5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)．即k2-9=0．即k=±3．又，要有实数根，必须有△≥0．即 (k2-9)2-4(k+2)＞0．显然 k=3不适合上面的不等式，∴k=-3．6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有∠B=30°．10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，…，从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）．另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，11．如图28．∠F=∠1+∠A+∠2．又：△ADC≌△CEB．∴∠1=∠3．∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE=∠EAB=30°．又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF．而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2，AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7，有AD＞2．∴2＜AD＜7．14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是90°，高就是腰，其长为10cm．15．设两根为x1，x2．则x1+x2=-p① x1x2=q②由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的．若q为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2．∴方程的根是-1和-2．。

希望杯第三届(1992年)初中二年级第二试试题答案

希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试试题答案与提示一、选择题提示：5．等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化简为(x+1)2+(xy+1)2=0．∴x+1=0，xy+1=0．解之得x=-1，y=1．则x+y=0．∴应选(B)．6．由题设得：xy=1，x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993，得2(x+y)2+193xy=1993．将xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30．∴n=7．∴应选(A)．7．由∠A=36°，AB=AC，可得∠B=∠C=72°．∴∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°．∴AD=BD=BC．由题意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD．∴应选(B)．8．原方程化为(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0．即|x-1|2-5|x-1|+6=0．∴|x-1|=2，或|x-1|=3．∴x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4．则x1+x2+x3+x4=4．∴应选(D)．9．连结CB＇,∵AB=BB＇,∴S△BB＇C=S△ABC=1,又CC＇=2BC∴S△B＇CC＇=2S△BB＇C=2．∴S△BB＇C＇=3．同理可得S△A＇CC＇=8,S△A＇B＇A=6．∴S△A＇B＇C＇=3+8+6+1=17．∴应选(D)．10．原方程为|3x|=ax+1．(1)若a=3，则|3x|=3x+1．当x≥0时，3x=3x+1，不成立．(2)若a＞3．综上所述，a≥3时，原方程的根是负数．∴应选(B)．另解：（图象解法）设y1=|3x|，y2=ax+1。

分别画出它们的图象．从图87中看出，当a≥3时，y1=|3x|的图象直线y2=ax+1的交点在第二象限．二、填空题提示：1．∵49=7×7，∴所求两数的最大公约数为7，最小公倍数为42．设a=7m，b=7n，(m＜n)，其中(m，n)=1．由ab=(a，b)·[a，b]．∴7m·7n=7·42，故mn=6．又(m，n)=1，∴m=2，n=3，故a=14，b=21．经检验，142+212=637．∴这两个数为14，21．2．∴1993=1×1993=(-1)×(-1993)，(1993为质数)．而x1·x2=1993，且x1，x2为负整数根，∴x1=-1，x2=-1993．或x1=-1993，x2=-1．则4．设S△BOC=S，则S△AOB=6-S，S△COD=10-S，S△AOD=S-1．由于S·(S-1)=(6-S)(10-S)，解之得S=4．6．∵432=1849＜1900＜1936=442，又1936＜1993＜2025=452．其他都不合适．此时所求方程为14x2-53x+14=0．8．过E作EH⊥BC于H．∵AD⊥BC．∴EH∥AD．又∠ACE=∠BCE，EA⊥AC，EH⊥BC．∴EA=EH，∠AEC=∠HEC．∵EH∥AD，∴∠HEC=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE．∴AE=AF，∴EH=AF．即可推出△AGF≌△EHB．∴AG=EB=AB-AE=14-4=10．∴BG=AB-AG=14-10=4．10．设初一获奖人数为n+1人，初二获奖人数为m+1人(n≠m)．依题意有3+7n=4+9m，即7n=9m+1 ①由于50＜3+7n≤100，50＜4+9m≤100．得n=7，8，9，10，11，12，13．m=6，7，8，9，10．但满足①式的解为唯一解：n=13，m=10．∴n+1=14，m+1=11．获奖人数共有14+11=25（人）．三、解答题1．解：若不考虑顺序，所跑的路线有三条：OABCO（或OCBAO），OACBO（或OBCAO），OBACO（或OCABO）．其中OABCO的距离最短．记d(OABCO)，d(OACBO)，d(OBACO)分别为三条路线的距离．在AC上截取AB＇=AB，连结OB＇．则△ABO ≌△AB＇O．∴BO=B＇O．d(OABCO)-d(OACBO)=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO)=AB+CO-AC-BO=AB+CO-AB＇B＇CB＇O=CO-(B＇C+B＇O)＜0同理可得，d(OABCO)-d(OBACO)＜0．所以路线OABCO的距离最短．因此x与y是关于t的方程解二：由已知条件得两边加上a4+1，得显然0＜a＜1，0＜a2＜1．。

第8-21届希望杯全国数学邀请赛(初二)试题

第八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试第十届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第十届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试一、选择题：1．－20001999, －19991998, －999998, －1000999这四个数从小到大的排列顺序是（AA ）－20001999<－19991998<－1000999<－999998 （B ）－999998<－1000999<－19991998<－20001999（C ）－19991998<－20001999<－1000999<－999998 （D ）－1000999<－999998<－20001999<－199919982．一个三角形的三条边长分别是a , b , c (a , b , c 都是质数)，且a ＋b ＋c ＝16，则这个三角形的形状是（A ）直角三角形（B ）等腰三角形（C ）等边三角形（D ）直角三角形或等腰三角形 3．已知25x =2000, 80y =2000，则y1x 1+等于（A ）2 （B ）1 （C ）21（D ）23 4．设a ＋b ＋c =0, abc >0，则|c |ba |b |ac |a |c b +++++的值是（A ）－3 （B ）1 （C ）3或－1 （D ）－3或15．设实数a 、b 、c 满足a <b <c (ac <0)，且|c |<|b |<|a |，则|x －a |＋|x －b |＋|x ＋c |的最小值是（A ）3|c b a |++ （B ）|b | （C ）c －a （D ）―c ―a 6．若一个等腰三角形的三条边长均为整数，且周长为10，则底边的长为（A ）一切偶数（B ）2或4或6或8 （C ）2或4或6 （D ）2或4 7．三元方程x ＋y ＋z ＝1999的非负整数解的个数有（A ）20001999个（B ）19992000个（C ）2001000个（D ）2001999个 8．如图1，梯形ABCD 中，AB //CD ，且CD ＝3AB ，EF //CD ，EF 将梯形 ABCD 分成面积相等的两部分，则AE ：ED 等于（）。

希望杯”全国数学邀请赛初二试题hopec2-1-10

12 计算:
1 10 + 8 3 + 2 2 =_____. 2 3 − 2x 2 − 4x 13 已知: x = 3 − 1 ,那么 2 =_____. x + 2x − 1
14 计算:
1997 1999 + ( 1997 − 1999)( 1997 − 2001) ( 1999 − 2001)( 1999 − 1997)
+
2001 =_____. ( 2001 − 1997)( 2001 − 1999)
15 若x3+3x2-3x+k有一个因式是x+1 则k=_____ 16 给出四个自然数a,b,c,d 其中每三个数之和分别是180 197 208 222 那a,b,c,d中最大的数的值是_____ 那么这个三角形的形状是_____ , ABF=25 则 ACE=_____
1 3 B. [ , ] 4 4
1 2 C. [ , ] 6 3
1 7 D. [ , ] 6 8
直角或钝角三角形则这个四边形 [ ] 可能不是平行四边形 CD=BF 则 EDF = [ ]
在四边形ABCD中一定是正方形 ABC中 AB=AC
若两条对角线AC B 一定是菱形 D E C
一定是平行四边形 D AC AB上若BD=CE
25 某班男女同学分别参加植树劳动要求男女同学各种8行树男同学种的树比女同学种的树多如果每行都比预定的多种一棵树那么男女同学种树的数目都超过100棵如果每
行都比预定的少种一棵树那么男女同学植树的数目都达不到100棵这样原来预定男同学种树_____棵女同学种树_____棵
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第十届希望杯

小学四年级希望杯历年数学竞赛试题与答案1-14届(最新全套完整版)

第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）四年级第1试1．下边三个图中都有一些三角形，在图A中，有个；在图B中，有个；在图C中，有个。

2．写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立:0.6＋0.06＋0.006＋…＝2002÷。

3．观察1，2，3，6，12，23，44，x，164的规律，可知x ＝。

4．如图，将一个三角形(有阴影)的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的______倍。

5．如果规定a※b ＝13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是。

6．气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表：其中，温差最小的景区是，温差最大的景区是。

7．AOB是三角形的纸，OA＝OB，图中的虚线是折痕，至少折次就可以得到8个相同的三角形。

8．有的两位数，加48，就变成3位数；减48，就变成1位数，这样的两位数有，它们的和等于。

9．甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。

这时四个组的书一样多。

这说明甲组原来有书本。

10．幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分7个，少3个；每组分6个，则多4个，苹果有个，小朋友共组。

11．在 a＝20032003×2002和 b＝20022003×2003中，较大的数是，它比较小的数大。

12．小明的家离学校2千米，小光的家离学校3千米，小明和小光的家相距千米。

13．甲、乙、丙三人中只有1人会开汽车。

甲说：“我会开。

”乙说：“我不会开。

”丙说：“甲不会开。

”三人的话只有一句是真话。

会开车的是。

14．为了支援西部，1班班长小明和2班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完，小明要了26本书，小光要了18本书。

回校后，小明补给小光28元。

小明、小光各带了元，每本书价元。

历年希望杯初一竞赛试题精选及答案

1.1992年第三届希望杯初中一年级第二试试题及答案2.1995年第六届希望杯初中一年第二试试题及答案3.20XX年第二十届希望杯全国数学邀请赛初一第一试希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试题一、选择题（每题1分，共10分）1．若8.0473=521.077119823，则0.80473等于[ ]A．0.521077119823．B．52.1077119823．C．571077.119823．D．0.005210 77119823．2．若一个数的立方小于这个数的相反数，那么这个数是[ ]A．正数． B．负数．C．奇数．D．偶数．3．若a＞0，b＜0且a＜|b|，则下列关系式中正确的是 [ ]A．-b＞a＞-a＞b．B．b＞a＞-b＞-a．C．-b＞a＞b＞-a．D．a＞b＞-a＞-b．4．在1992个自然数：1，2，3，…，1991，1992的每一个数前面任意添上“+”号或“-”号，则其代数和一定是 [ ]A．奇数． B．偶数．C．负整数． D．非负整数．5．某同学求出1991个有理数的平均数后，粗心地把这个平均数和原来的1991个有理数混在一起，成为1992个有理数，而忘掉哪个是平均数了．如果这1992个有理数的平均数恰为1992．则原来的1991个有理数的平均数是 [ ]A．1991.5．B．1991．C．1992．D．1992.5．6．四个互不相等的正数a，b，c，d中，a最大,d最小,且,则a+d与b+c的大小关系是[ ]A．a+d＜b+c．B．a+d＞b+c．C．a+d=b+c．D．不确定的．7.已知p为偶数,q为奇数,方程组199219933x y px y q-=⎧⎨+=⎩的解是整数,那么[ ]A.x是奇数，y是偶数．B．x是偶数，y是奇数．C．x是偶数，y是偶数．D．x是奇数，y是奇数．8．若x-y=2，x2+y2=4，则x1992+y1992的值是 [ ]A．4． B．19922．C．21992．D．41992．9．如果x，y只能取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的数，并且3x-2y=1，那么代数式10x+y可以取到[ ]不同的值．A．1个．B．2个．C．3个．D．多于3个的．10．某中学科技楼窗户设计如图15所示．如果每个符号（窗户形状）代表一个阿拉伯数码，每横行三个符号自左至右看成一个三位数．这四层组成四个三位数，它们是837，571，206，439．则按照图15中所示的规律写出1992应是图16中的[ ]二、填空题（每题1分，共10分）1.a,b,c,d,e,f是六个有理数,关且11111,,,,,23456a b c d eb c d e f=====则fa=_____.2．若三个连续偶数的和等于1992．则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方差等于______．3．若x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，则(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=______．4．三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b,a的形式,又可表示为0,ba,b, 的形式,则a1992+b1993=________.5．海滩上有一堆核桃．第一天猴子吃掉了这堆核桃的个数的25,又扔掉4个到大海中去,第二天吃掉的核桃数再加上3个就是第一天所剩核桃数的58,那么这堆核桃至少剩下____个.6．已知不等式3x-a≤0的正整数解恰是1，2，3．那么a的取值范围是______．7．a，b，c是三个不同的自然数，两两互质．已知它们任意两个之和都能被第三个整除．则a3+b3+c3=______．8．若a=1990，b=1991，c=1992，则a2+b2+c2-ab-bc-ca=______．9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这个10个自然数填到图17中10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于p．则p的最大值是______．10．购买五种教学用具A1，A2，A3，A4，A5的件数和用钱总数列成下表：那么，购买每种教具各一件共需______元．三、解答题（每题5分，共10分）1．将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张正方形卡片排成一排，发现恰是一个能被11整除的最大的九位数．请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程．2．一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b．如果a恰是b的3倍，我们称a是一个“希望数”．(1)请你举例说明：“希望数”一定存在．(2)请你证明：如果a，b都是“希望数”，则ab一定是729的倍数．答案与提示一、选择题提示：所以将8.0473=512.077119823的小数点向前移三位得0.512077119823，即为0.80473的值，选A．2．设该数为a，由题意-a为a的相反数，且有a3＜-a，∴a3+a＜0，a(a2+1)＜0，因为a2+1＞0，所以a＜0,即该数一定是负数，选B．3．已知a＞0，b＜0，a＜|b|．在数轴上直观表示出来，b到原点的距离大于a到原点的距离，如图18所示．所以-b＞a＞-a＞b，选A．4．由于两个整数a，b前面任意添加“+”号或“-”号，其代数和的奇偶性不变．这个性质对n个整数也是正确的．因此，1，2，3…，1991，1992，的每一个数前面任意添上“+”号或“-”号，其代数和的奇偶性与(-1)+2-3+4-5+6-7+8-…-1991+1992=996的奇偶性相同，是偶数，所以选B．5．原来1991个数的平均数为m，则这个1991个数总和为m×1991．当m混入以后，那1992个数之和为m×1991+m,其平均数是1992，∴m=1992，选C．6．在四个互不相等的正数a，b，c，d中，a最大，d最小，因此有a＞b，a＞c，a＞d，b＞d，c＞d．所以a+b＞b+c，成立，选B．7．由方程组以及p为偶数，q为奇数，其解x，y又是整数．由①可知x为偶数，由②可知y是奇数，选B．8．由x-y=2 ①平方得x2-2xy+y2=4 ②又已知x2+y2=4 ③所以x，y中至少有一个为0，但x2+y2=4．因此，x，y中只能有一个为0，另一个为2或-2．无论哪种情况，都有x1992+y1992=01992+(±2)1992=21992，选C．9．设10x+y=a，又3x-2y=1，代入前式得由于x，y取0—9的整数，10x+y=a的a值取非负整数．由(*)式知，要a为非负整数，23x必为奇数，从而x必取奇数1，3，5，7，9．三个奇数值，y相应地取1，4，7这三个值．这时，a=10x+y可以取到三个不同的值11，34和57，选C．二、填空题提示：与666，所以最大的一个偶数与最小的一个偶数的平方差等于6662-6622=(666+662)(666-662)=1328×4=5312．3．由于x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，因此要把(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)分组、凑项表示为含x3+y3及x2y-xy2的形式，以便代入求值，为此有(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=x3+y3+2xy2-2x2y=(x3+y3)-2(x2y-xy2)=1000 -2(-496)=1992．4．由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，下，只能是b=1．于是a=-1．所以，a1992+b1993=(-1)1992+(1)1993=1+1=2．5．设这堆核桃共x个．依题意我们以m表示这堆核桃所剩的数目（正整数），即目标是求m的最小正整数值．可知，必须20|x即x=20，40，60，80，……m为正整数，可见这堆核桃至少剩下6个．由于x取整数解1、2、3，表明x不小于3，即9≤a＜12．可被第三个整除，应有b|a+c．∴b≥2，但b|2，只能是b=2．于是c=1，a=3．因此a3+b3+c3=33+23+13=27+8+1=36．8．因为a=1990，b=1991，c=1992，所以a2+b2+c2-ab-bc-ca9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11填入这10个格子中，按田字格4个数之和均等于p，其总和为3p，其中居中2个格子所填之数设为x与y，则x、y均被加了两次，所以这3个田字形所填数的总和为2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y于是得3p=65+x+y．要p最大，必须x，y最大，由于x+y≤10+11=21．所以3p=65+x+y≤65+21=86．所以p取最大整数值应为28．事实上，如图19所示可以填入这10个数使得p=28成立．所以p的最大值是28．10．设A1，A2，A3，A4，A5的单价分别为x1，x2，x3，x4，x5元．则依题意列得关系式如下：③×2-④式得x1+x2+x3+x4+x5=2×1992-2984=1000．所以购买每种教具各一件共需1000元．三、解答题1．解①（逻辑推理解）我们知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位数是987654321．但这个数不是11倍的数，所以应适当调整，寻求能被11整除的最大的由这九个数码组成的九位数．设奇位数字之和为x，偶位数字之和为y．则x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．由被11整除的判别法知x-y=0，11，22，33或44．但x+y与x-y奇偶性相同，而x+y=45是奇数，所以x-y也只能取奇数值11或33．于是有但所排九位数偶位数字和最小为1+2+3+4=10＞6．所以（Ⅱ）的解不合题意，应该排除，由此只能取x=28，y=17．987654321的奇位数字和为25，偶位数字和为20，所以必须调整数字，使奇位和增3，偶位和减3才行。

希望杯第十三届(2002年)初中二年级第二试试题

2002年度初二第二试“希望杯”全国数学邀请赛一、选择题:(每小题5分,共50分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内. 1.若a ≠,(A)都是有理数. (B)一个是有理数,另一个是无理数. (C)都是无理数. (D)是有理数还是无理数不能确定.2.已知a>b>c,M=a 2b+b 2c+c 2a,N=ab 2+bc 2+ca 2,则M 与N 的大小关系是( ). (A)M<N (B)M>N (C)M=N (D)不确定的3.上午九点钟的时候,时针与分针成直角,那么下一次时针与分针成直角的时间是( ).(A)9时30分 (B)10时5分; (C)10时5511分 (D)9时32811分 4.有理数a 、b 、c 满足下列条件:a+b+c=0且abc<0,那么111a b c++的值是( ).(A)是正数 (B)是零(C)是负数 (D)不能确定是正数、负数或05.已知a b c ===,其中m>0,那么a,b,c 的大小关系是( ). (A)a>b>c (B)c>a>b; (C)a>c>b (D)b>c>a6.已知△ABC 中,∠A=60°,BC=a,AC=b,AB=c,AP 是BC 边上的中线,则AP 的长是( ).7.(Figure 1) In the parallelogram ABCD,AD=2AB,a point M is mid- point of segment AD,CE ⊥AB,if ∠CEM=40°,then the value of ∠DME it( ). (A)150° (B)140° (C)135° (D)130°8.如图,在四边形ABCD 中,E 、F 分别是两组对边延长线的交点,EG 、FG 分别平分∠BEC 、∠DFC,若∠ADC=60°,∠ABC=80°,则∠EGF 的大小是( ). (A)140° (B)130° (C)120° (D)110°40︒EMDCBA80︒60︒GFEDCBA9.设a i =1989+i,当i 取1,2,3,…,100时,得到100个分式iia (如i=5,则i i a =55198951994=+),在这100个分式中,最简分式的个数是( ).(A)50 (B)58 (C)63 (D)6510.一个长方体的棱长都是正整数,体积是2002, 若对应棱长相等的长方体算作同一种长方体,那么这样的长方体( ) (A)有6种 (B)有12种 (C)有14种 (D)多于16种二、填空题:(每小题6分,共60分)11.某储蓄所每年工资支出10万元,其他固定支出每年17万元. 对于吸收的存款每年应付2.25%的利息,吸收来的存款全部存到上级银行,可得年利率4.05%的内部核算收入,那么该储蓄所为使内部核算没有亏损, 每年至少应吸收存款____________________________万元.12.化简35361015+--+,最后得_________.13.设x,y 都是有理数,且满足方程11402332x y πππ⎛⎫⎛⎫+++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,那么x-y 的值是________.14. 1516与3313的大小关系是1516________3313. (填“>”,“<”或“=”)15.If N is natural number,and 6(32)1N N <+<+,then the value of N is______.( natural number 自然数)16.如果1111a b a b+-=-+,那么(2+a)(2+b)+b 2=__________. 17.如图所示的八个点处各写一个数字,已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均数,则代数式:1()21()3a b c d e f g h a b c d e f g h +++-++++++-+++=_____.18.2001年某种进口轿车每辆标价40万元人民币,买此种车时还需另外交纳汽车标价的80%的关税,我国加入WTO 后,进口车的关税将逐渐下降.预计到2006年7月1日,关税降到25%,又因为科技的发展使成本降低,到2006年7月1日,该种车的标价降到2001年的65%,那么2006年7月1日后买一辆该种轿车将比2001 年少付人民币______万元.19.在△ABC 中,∠A=40°,H 是△ABC 的垂心,且H 不与B 、C 重合,则∠BHC 的大小等于_______. 20.如图,正九边形ABCDEFGHI 中,AE=1,那么AB+AC 的长是_______.三、解答题:(21题16分,22、23题各12分)要求:写出推算过程.21.如图,在锐角△ABC中,AD、CE分别是BC、AB边上的高,AD、CE相交于F, BF的中点为P,AC的中点为Q,连接PQ、DE.(1)求证:直线PQ是线段DE的垂直平分线;(2)如果△ABC是钝角三角形,∠BAC>90°,那么上述结论是否成立? 请按钝角三角形改写原题,画出相应的图形,并给予必要的说明.PQ FED C BA22.已知在等式ax bscx d+=+中,a,b,c,d都是有理数,x是无理数,解答:(1)当a,b,c,d满足什么条件时,s是有理数;(2)当a,b,c,d满足什么条件时,s是无理数.23.在线段AB上,先在A点标注0,在B点标注2002,这称为第一次操作; 然后在AB的中点C处标注020022+=1001,称为第二次操作;又分别在得到的线段AC、BC的中点D、E处标注对应线段两端所标注的数字和的一半,即010012+与100120022+,称为第三次操作;照此下去,那么经过11次操作之后,在线段AB上所有标注的数字的和是多少?2002年度初二第二试“希望杯”全国数学邀请赛答案：一、1.当两数不等时,两数的差为有理数,说明这两数都是有理数,,选(A).2.M-N=(a2b+b2c+c2a)-(ab2+bc2+ca2)= a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)∵ a>b>c ∴ b-c>0,c-a<0,a-b>0∵a2(b-c)≥0,b2(c-a)≤0,c2(a-b) ≥0∴a2(b-c)+c2(a-b)> b2(c-a)∴ M-N>0.选(B).3.把时针转动速度以“度/分钟”为单位,360112602=⨯(度/分钟)分针转动速度是36060=6(度/分钟)再成直角所用时间为18180(6)32211÷-=(分钟)所以下一次时针与分针成直角时间是83211分,选(D).4.由abc<0知a、b、c均不为0.∴(ab+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0ab+bc+ca=-12(a2+b2+c+2)<0∴111bc ac aba b c abc++++=>，选(A)5.∵1ab=<，∴a>b;1bc=<, ∴c>b1ac=>,∴a>c ∴ a>c>b.选(C).6.如图延长中线AP到E,使PE=AP,连接EB,可得△ABC≌△APC,∴∠E=∠PAC, BE=AC=b.∴∠PAB+∠E=∠CAB=60°∴∠ABE=120°;作EF⊥AB延长线于F,∴∠EBF=180°-120°=60°∴∠BEF=300∴BF=12BE=12b.在Rt△BEF中,根据勾股定理:EF2=b2+22324b b⎛⎫=⎪⎝⎭.PFECBA在Rt △AEF 中,根据勾股定理=.∴ PA=12AE=12选(B)7.如图,连接CM,作MN ⊥EC 于N.∵ AB ⊥CE ∴MN ∥AB,且MN ∥CD,从N 为梯形AECD 的中位数. 由MN ⊥CE,MN 是EC 边中线,∴△EMC 为等腰△,∴∠ECM=∠MEC=40° ∠EMC=180°-2×40°=100° ∵ ∠ECD=∠AEC=90°,∴∠MCD=90°-40°=50°, 又∵ DC=12AD=DM,∴∠MCD=∠DMC=50°,∴ ∠EMD=∠EMC+∠CMD=100°+50°=150°.选(A) 8. 2∠4=360°-(60°-∠E)-(180°-∠F) =220°+∠E+∠F∵ ∠4=110°+12∠E+12∠F,0011260,38022E F ∠=-∠∠=-∠, ∴∠C=3600-(∠4+∠2+∠3)=3600-1100-12∠E-12∠F-600+12∠E-800+12∠F=360°-110°-60°-80°=110°选(D).9.当i=3n(n ≤33);i=13n(n ≤7);i=17n(n ≤5)这些数时;iia 不是质数, 这样的数共有: 33+7+5=45(个)其中i=13×3=39,i=13×6=78与i=17×3=51时,与i=3n 中的39,78,51重复, 所以不是质数的数共有 45-3=42个.所以100个分式中最简分式的个数是100-42=58个. 选(B).10.∵ x 3=2002=1×2×7×11×13,把1、2、7、11、13组成三数的乘积. 有如下14种: 1×1×2002 1×2×1001 1×7×286 1×11×182 1×13×154 1×14×143 1×22×91 1×26×77 2×7×143 7×11×26 11×2×91 13×2×77 14×11×13 22×7×13 选(C). 二、11.设每年至少应吸收存款x 万元,4.05 2.251017100100x x =++ x=1500万元应填1500.432180︒60︒GFEDCBA12.原式=.13.1142332x x y yπππ+++=+,3223246x x y yπππ+++=+(32)(23)246x y x yππ+++=+∴3224236x yx y+=⎧⎨+=⎩,得126xy y=⎧⎨==-⎩∴x-y=18.14.1516-3313=316·516-313·1113=313(35·56-1113)=313(33·53·513-1113)=313(153·53-1113)显然,153·513-1113<0, ∴1516-3313<0, 填<.15.6233](5===53+3×52×+3×3×)2)3.取2.449时,原式=969.9,N=969.16.由原已知得 (1+a)(1+b)=(1-a)(1-b)∴ a+b=0原式=4+2a+2b+ab+b2=4+2（a+b）+ab+b2=4+ab+b2=4+b(a+b)=4.应填417. 因为,33d b c a c fa b++++==,,33b d g ac hc d++++==, ∴2()()3a b c d e f g ha b c+++++++++=,设a+b+c+d=m,e+f+g+h=n,∴a+b+c+d=23m n+,∴m=23m n+,∴m=n,即a+b+c+d=e+f+g+h∴11()2211()33a b c d e f g h m na b c d e f g h m n+++-+++-=+++-+++-=2323323234m n m mm n m m--⨯=⨯=--.18.根据题意,得 80652540140139.5100100100⎛⎫⎛⎫+-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭应填39.519.分锐角三角形和钝角三角形两种情况,如图:(1)αHCBAγβ(2)HCBA如图1.由∠A=40°,得∠ABH=50° ∴∠α=40°,∠BHC=180°-α=140°如图2.由∠A=40°,得∠β=50° ∴∠r=∠β=50 ∴ ∠BHC=90°-∠r=90°-50°=40° 应填140°或40°.20.正九边形内角和为(9-2)×1800=12600,每个内角为1400, ∠CAB=(1800-1400)÷2=20连接AH,作HM,GN 分别垂直AE 于M,N.∴ ∠HAM=140°-2 ×20°-40°=60°,∴∠AHM=30° 设AM=EN=x,MN=y四边形HGNM 是矩形,所以HG=y,即正九边形边长为y, 在Rt △AHM 中,∠AHM=∠30°∴ AH=2AM=2x ∴ AB+AC=y+2x而x+y+x=1 ∴ 2x+y=1 ∴ AB+AC=1, 应填1.三、解答题(按参考答案,酌情给分) 21.证明(1)连接PD 、PE 、QD 、QE. 因为 CE ⊥AB,P 是BF 的中点, 所以 △BEF 是直角三角形,且 PE 是Rt △BEF 斜边的中线, 所以 PE=12BF. 又因为 AD ⊥BC,所以 △BDF 是直角三角形,且PD 是Rt △BDF 斜边的中线, 所以 PD=12BF=PE, 所以点P 在线段DE 的垂直平分线上.同理可证,QD 、QE 分别是Rt △ADC 和Rt △AEC 斜边上的中线,所以 QD=12AC=QE,PQFEDCBA所以点Q 也在线段DE 的垂直平分线上. 所以直线PQ 垂直平分线段DE.(2)当△ABC 为钝角三角形时,(1)中的结论仍成立. 如右图,△ABC 是钝角三角形,∠BAC>90°.原题改写为:如右图,在钝角△ABC 中,AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高,DA 与CE 的延长线交于点F,BF 的中点为P,AC 的中点为Q,连接PQ 、DE. 求证:直线PQ 垂直且平分线段DE.证明连接PD,PE,QD,QE,则PD 、PE 分别是Rt △BDF 和Rt △BEF 的中线, 所以 PD=12BF, PE=12BF, 所以 PD=PE,点P 在线段DE 的垂直平分线上. 同理可证 QD=QE,所以点Q 在线段DE 的垂直平分线上. 所以直线PQ 垂直平分线段DE.22.(1)当a=c=0,d ≠0时, s=bd 是有理数. 当c ≠0时,s=()a ad ad cx d b b ax b a c c c cx d cx d c cx d ++--+==++++, 其中:a c 是有理数,cx+d 是无理数,adb c-是有理数.要使s 为有理数,只有adb c-=0,即 bc=ad.综上知,当a=c=0且d ≠0或c ≠0且ac=bd 时,s 是有理数. (2)当c=0,d ≠0,且a ≠0时,s 是无理数.当c ≠0时,s=()a ad ad cx d b b ax b a c c c cx d cx d c cx d ++--+==++++ 其中: a c 是有理数,cx+d 是无理数,adb c-是有理数.所以当adb c-≠0,即bc ≠ad,s 为无理数.综上知,当c=0,a ≠0,d ≠0或c ≠0,ac ≠bd 时,s 是无理数. 23.设第n 次操作后,线段AB 上所标注的数字和是a n ,那么第n+1次操作后,使得除A 、B 两点外,其他的数字都再加上一次(两边各加上一半),而A 、B 两点的数字, 则再加上它们的一半,即 102002(2002)21001(1)22n n n n a a a a n +=+-++=-≥ 又因为 a 1=2002+0=2002所以 a 2=2a 1-1001=3003所以 a 11=2a 10-1001=2(2a 9-1001)-1001=22·a 9-(2+1)·1001=…=210·a 1-(29+28+27+…+2+1)·1001 =1024.2002-(1024-1).1001=1026025.答:经过11次操作后,在线段AB上标注的所有数字的和为1026025.。

“希望杯”全国数学邀请赛简介

“希望杯”全国数学邀请赛简介这⼀邀请赛⾃1990年以来，已经连续举⾏了⼆⼗⼆届。

22年来，主办单位始终坚持⽐赛⾯向多数学校、多数学⽣，从命题、评奖到组织⼯作的每个环节，都围绕着⼀个宗旨：激发⼴⼤中学⽣学习的兴趣，培养他们的⾃信，不断提⾼他们的能⼒和素质。

这⼀活动只涉及初⼀、初⼆、⾼⼀、⾼⼆四个年级，不涉及初三、⾼三，不与奥赛重复，不与中考、⾼考挂钩，不增加师⽣负担，因此受到⼴⼤师⽣的欢迎。

该竞赛⼀直受到原国家教委的肯定，并被列⼊原国家教委批准的全国性竞赛活动的名单中，同时愈来愈多的数学家、数学教育家对邀请赛给予热情的关⼼和⽀持。

到第⼗届为⽌，参赛城市已超过500个，参赛学⽣累计598万。

“希望杯”全国数学邀请赛已经成为中学⽣中规模、影响最⼴的学科课外活动之⼀。

据介绍，该竞赛活动分两试进⾏。

第⼀试（每年三⽉进⾏）以各地（省、市、县、〔区〕、学校）为单位组织参赛学⽣，在全国各参赛学校同时进⾏，各测试点按命题委员会下发的评分标准进⾏阅卷、评分，从中按七分之⼀的⽐例按成绩择优选拔参加第⼆试的选⼿。

第⼆试（每年四⽉进⾏）由当地《数理天地》编委分会或地、市级教研室或教育学院、教科所、教师进修学校统⼀组织，测试结束后，各测试点将试卷密封，向组委会挂号寄出，由命题委员会阅卷，从中按⼋分之⼀的⽐例按成绩评定⼀、⼆、三等奖，分别授予⾦、银、铜奖牌及获奖证书。

对组织⼯作做得出⾊的地区或学校，组委会颁发“希望杯”数学邀请赛组织奖。

⽇本国算数奥林匹克委员会对此项赛事⾮常关注，该委员会事务局局长若杉荣⼆先⽣专程来华同邀请赛组委会洽谈参赛事宜，并从1996年开始，已连续三年组织⽇本部分中学⽣参加了竞赛活动，由此开创了我国社会团体举办同类竞赛⾛出国门的先例。

近年来，美国、德国的有关组织也与组委会联系合作事宜。

希望杯杯徽 ★圆形，表⽰⼴阔的天空。

★英⽂hope（希望）形如⼀只展翅飞翔的鸟。

喻义：“希望杯”全国数学邀请赛为⼴⼤的青少年在科学思维能⼒上的健康发展开辟了⼀个⼴阔的空间，任他们⾃由翱翔。

希望杯数学竞赛初二第二试试题(含答案)

第十七届“希望杯’’全国数学邀请赛初二第2试2006年4月16日上午8：30至lO：30 得分___________一、选择题(每小题4分,共40分．)以下每题地四个选项中,仅有一个是正确地,请将表示正确答案地英文字母填在每题后面地圆括号内．1．下列四组根式中,是同类二次根式地一组是( )2．要使代数式有意义,那么实数x地取值范围是( )3．以线段a=13,b=13,c=10,d=6为边作梯形,其中a,c为梯形地两底,这样地梯形( ) (A)能作一个． (B)能作两个． (C)能作无数个． (D)一个也不能作．(英汉词典：Fig．figure地缩写,图；quadrilateral四边形；diagonal对角线；value 数值；variable变量；to depend on取决于；position位置)(A)是完全平方数,还是奇数． (B)是完全平方数,还是偶数．(C)不是完全平方数,但是奇数． (D)不是完全平方数,但是偶数．6．将任意一张凸四边形地纸片对折,使它地两个不相邻地顶点重合,然后剪去纸片地不重合部分,展开纸片,再一次对折,使另外地两个顶点重合,再剪去不重合地部分后展开,此时纸片地形状是( )(A)正方形． (B)长方形． (C)菱形． (D)等腰梯形．7．若a,b,c都是大于l地自然数,且c a=252b,则n地最小值是( )(A)42． (B)24． (C)21 (D)15(英汉词典：two-placed number两位数；number数,个数；to satisfy满足；complete square 完全平方(数)；total总地,总数)9．下表是某电台本星期地流行歌曲排行榜,其中歌曲J 是新上榜地歌曲,箭头“↑”或“↓”分别表示该歌曲相对于上星期名次地变化情况,“↑”表示上升,“↓”表示下降,不标注地则表明名次没有变化,已知每首歌地名次变化都不超过两位,则上星期排在第1,5,7名地歌曲分别是( )(A)D,E,H ． (B)C,F,I ． (C)C,E,I ． (D)C,F,H ．10．设n(n ≥2)个正整数1a ,2a ,…,n a ,任意改变它们地顺序后,记作1b ,2b ,…,n b ,若P=(1a -1b )(2a -2b )(33b a -)…(n a 一n b ),则( )(A)P 一定是奇数． (B)P 一定是偶数．(C)当n 是奇数时,P 是偶数． (D)当”是偶数时,P 是奇数．二、填空题(每小题4分,共40分．)11．消防云梯地长度是34米,在一次执行任务时,它只能停在离大楼16米远地地方,则云梯能达到大楼地高度是______米．15．从凸n 边形地一个顶点引出地所有对角线把这个凸n 边形分成了m 个小三角形,若m 等于这个凸n 边形对角线条数地94,那么此n 边形地内角和为_____． 16．某种球形病毒,直径是0.01纳米,每一个病毒每过一分钟就能繁殖出9个与自己同样地病毒,假如这种病毒在人体中聚集到一定数量,按这样地数量排列成一串,长度达到1分米时,人就会感到不适,那么人从感染第一个病毒后,经过_______分钟,就会感到不适．(1米=109纳米)19．如图2,等腰△ABC 中,AB=AC,P 点在BC 边上地高AD 上,且21=PD AP ,BP 地延长线交AC于E,若ABC S ∆=10,则ABE S ∆=______,DEC S ∆=_______.20．一个圆周上依次放有1,2,3,…,20共20个号码牌,随意选定一个号码牌(如8),从它开始,先把它拿掉,然后每隔一个拿掉一个(如依次拿掉8,10,12,…),并一直循环下去,直到剩余两个号码牌时停止,则最后剩余地两个号码地差地绝对值是______或_______．三、解答题(本大题共3小题,共40分．) 要求：写出推算过程． 21．(本小题满分10分)如图3,正方形ABCD 地边长为a,点E 、F 、G 、H 分别在正方形地四条边上,已知EF ∥GH ．EF=GH ．(1)若AE=AH=a 31,求四边形EFGH 地周长和面积； (2)求四边形EFGH 地周长地最小值．22．(本小题满分15分)已知A 港在B 港地上游,小船于凌晨3:00从A 港出发开往B 港,到达后立即返回,来回穿梭于A 、B 港之间,若小船在静水中地速度为16千米／小时,水流速度为4千米／小时,在当晚23：OO 时,有人看见小船在距离A 港80千米处行驶．求A 、B 两个港口之间地距离.23．(本小题满分15分) 在2,3两个数之间,第一次写上5132=+,第二次在2,5之间和5,3之间分别写上27252=+和4235=+,如下所示：第k 次操作是在上一次操作地基础上,在每两个相邻地数之间写上这两个数地和地k1. (1)请写出第3次操作后所得到地9个数,并求出它们地和；(2)经过k 次操作后所有数地和记为k S ,第k+1次操作后所有数地和记为1+k S ,写出1+k S 与k S 之间地关系式；(3)求6S 地值.第十七届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案及评分标准(初中二年级第2试)一．选择题(每小题4分)二．填空题(每小题4分)三、解答题21．(1)如图1,连结HF ．由题知四边形EFGH 是平行四边形,所以又所以所以(3分)所以△AHE 和△DHG 都是等腰直角三角形,故∠EHG=090,四边形EFGH 是矩形．易求得所以四边形EFGH 地周长为2a 2,面积为294a ．(5分)(2)如图2,作点H 关于AB 边地对称点H ',连结H F ',交AB 于E ',连结E 'H ．显然,点E 选在E '处时．EH+EF 地值最小,最小值等于H F '. (7分) 仿(1)可知当AE≠AH 时,亦有(8分)所以2．因此,四边形EFGH周长地最小值为2a(10分)22．设A、B两个港口之间地距离为L,显然(1分)(1)若小船在23：00时正顺流而下,则小船由A港到达下游80千米处需用即19：00时小船在A港,那么在3：00到19：00地时间段内,小船顺流行驶地路程与逆流行驶地路程相同,而所用地时间与速度成反比,设小船顺流行驶用了t小时,则逆流行驶用了(16一t)小时,所以解得 t=6 (5分)即顺流行驶了由于所以A、B两个港口之间地距离是120千米．(7分)(2)若小船在23：00时正逆流而上,则小船到达A港需再用即小船在内顺流行驶地路程与逆流行驶地路程相同,而所用地时间与速度成反比,设小船顺流行驶用了t 小时,则逆流行驶用了小时,所以解得 (12分)即顺流行驶了由于所以A 、B 两个港口之间地距离可能是100千米或200千米． (14分)综上所述,A 、B 两港口之间地距离可能是100千米或120千米或200千米．（15分) 23．(1)第3次操作后所得到地9个数为它们地和为255(4分) (2)由题设知0S =5,则(10分)(3)因为所以(15分)。

历届“希望杯”(初二)第二试试题

第十二届“希望杯”（初二）第二试试题一、选择题（每小题5分，共50分）以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内。

1．化简代数式322322++-的结果是（） A. 3 B. 12+C. 22+D. 222．已知多项式ax bx cx d 32+++除以x -1时，所得的余数是1，除以x -2时所得的余数是3，那么多项式ax bx cx d 32+++除以()()x x --12时，所得的余式是（）A ．21x - B. 21x + C. x +1 D. x -1 3．已知a <1且||a b a ba -+=，那么（）A. ab <0B. ab >0C. ab ≤0D. a b +<0 4．若||||a c <，b a c b a =+<22，||||，S a b cS b c a12=-=-||||，，S a c b3=-||，则S S S 123、、的大小关系是（）A. S S S 123<<B. S S S 123>>C. S S S 132<<D. S S S 132>>5．若一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一条边，则此三角形肯定是（）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形6. 若∆ABC 的三边长是a 、b 、c ，且满足a b c b c 44422=+-，b c a a c 44422=+-，c a b a b 44422=+-，则∆ABC 是（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形7. 平面内有n 条直线（n ≥2），这n 条直线两两相交，最多可以得到a 个交点，最少可以得到b 个交点，则a b +的值是（） A. n n ()-1 B. n n 21-+ C.n n 22- D.n n 222-+8．In fig. 1, let ∆ABC be an equilateral triangle, D and E be points on edges AB and AC respectively, F be intersection of segments BE and CD, and∠=BFC 120, then the magnitude relation between Ad and CE is （）A. AD CE >B. AD CE <C. AD CE =D. indefinite（英汉词典：equilateral 等边的；intersection 交点；magnitude 大小，量；indefinite 不确定的）9. 已知两个不同的质数p ，q 满足下列关系：p p m q q m 222001020010-+=-+=，，m 是适当的整数，那么p q 22+的数值是（）A. 4004006B. 3996005C. 3996003D. 400400410．小张上周工作a 小时，每小时的工资为b 元，本周他的工作时间比上周减少10％，而每小时的工资数额增加10％，则他本周的工资总额与上周的工资总额相比（）A. 增加1%B. 减少1%C. 增加1.5%D. 减少1.5% 二、填空题：（每小题6分，共60分） 11. 化简：2532306243+--+的结果是_________。

1992年第3届“希望杯”全国数学邀请赛试卷(初二2试)

1992年第3届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初二2试）一、选择题（共10小题，每小题1分，满分10分） 1．（1分）2273287325-=（） A ．47249B ．45829C ．43959D ．449692．（1分）长方形如图．已知2AC =，1BC =，则长方形的面积是（）A ．2B ．1C 3D ．133．（1分）当6x =，8y =时，66422422x y x y x y +++的值是（） A ．1200000254000- B ．1020000250400-C ．1200000250400-D ．1020000254000-4．（1分）等腰三角形的周长为()a cm ．一腰的中线将周长分成5:3，则三角形的底边长为（） A ．6a B ．35a C ．6a或85a D ．45a5．（1222222362310x xy y x xz y y z -++++++=；的x 、y 、z 的值适合（）A ．230200x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩B ．3260232x y z x y z x y z +-=-⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩C ．32620232x y z x y z x y z +-=-⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩D ．00232x y z x y z x y z -+=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩6．（1分）四边形如图，32AB =，1BC =，30A B C ∠=∠=∠=︒，则D 点到AB 的距离是（）A ．1B ．12C ．14 D ．187．（1分）在式子|1||2||3||4|x x x x +++++++中，用不同的x 值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是（） A ．1B ．2C ．3D ．48．（1分）一个等腰三角形ABC ，顶角为A ∠，作A ∠的三等分线AD 、AE ，即123∠=∠=∠（如图），若BD x =，DE y =，CE z =，则有（）A ．x y z >>B ．x z y =>C ．x z y =<D ．x y z <=9．（1分）已知方程2(1)(|2||10|)5a x a a x a +++--+=有两个不同的实根，则a 可以是() A ．5B ．9C ．10D ．1110．（1分）如图，正方形ABCD 的边1AB =，BD 和AC 都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A ．12π- B ．14π-C ．13π- D ．16π-二、填空题（共10小题，每小题1分，满分10分） 11．（1分）方程3361x x=+的所有根的和的值是．12．（1分）已知19921991a b +=+，19921991a b -=-，那么ab = ．13．（1分）如图，在ABC ∆中，60ACB ∠=︒，75BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，BE AC ⊥于E ，AD 与BE 交于H ，则CHD ∠= ．14．（1分）已知121x =+，那么323551424x x x +++的值是．15．（1分）如图，已知边长为a 的正方形ABCD ，E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，那么BPD ∆的面积的值是．16．（1分）已知4x y +=，4xy =-，那么3333x yx y +=- ．17．（1分）在正ABC ∆中（如图），D 为AC 上一点，E 为AB 上一点，BD ，CE 相交于P ，若四边形ADPE 与BPC ∆的面积相等，那么BPE ∠= ．18．（1分）已知方程2191500x x --=的一个正根为a ，那么1122319992000a a a a a a a a =+++++++++++ ．19．（1分）已知x 、y 的值满足方程组45246731x y x y +=⎧⎨+=⎩，则x y += ．20．（1分）n 是自然数，1914n +与103n +都是某个不等于1的自然数d 的倍数，则d = ．三、解答题（共2小题，满分10分）21．（5分）解无理方程：23152x x ++．22．（5分）（1）能否把1，2，⋯，1992这1992个数分成八组，使得第二组各数之和比第一组各数之和多10，第三组各数之和比第二组各数之和多10，⋯，最后第八组各数之和比第七组各数之和也多10？请加以说明．（2）把上题中的“分成八组”改为“分成四组”，结论如何？请加以说明．如果能够，请给出一种分组法．。

第希望杯初二第2试试题及答案

第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第 2 试一、选择题（每题 4 分，共 40 分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后边圆括号内．1．计算21259，得数是（）A．9 位数B．10 位数C． 11 位数D．12 位数2．若xy 1 ，则代数式9xy18的值（）239x y18A．等于7B．等于5C．等于5或不存在D．等于7或不存在57753( x a) 2 ≥ 2(1 2x a)3． The integer solutions of the inequalities about x ：x b b x are 1，2，332then the number of integer pairs（a，b）is（）A． 32B．35C． 40D．48（英汉字典： integer整数）4．已知三角形三个内角的度数之比为x : y : z ，且 x y z ，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D ．等腰三角形5．如图 1 ，三个凸六边形的六个内角都是120 ，六条边的长分别为 a ，b ，c ，d ，e， f ，则以下等式中建立的是（）bacf de图1A．a b c d e f B．a c e b d fB ． a b d eC ． a c b d6．在三边互不相等的三角形中，最长边的长为 a ，最长的中线的长为 m ，最长的高线的长为 h ，则（）A ． a m hB ． a h mC ． m a hD ． h m a7．某次足球竞赛的计分规则是：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，某球队参赛 15场，积 33 分，若不考虑竞赛次序，则该队胜、平、负的状况可能有（）A ．15 种B ．11 种C ．5 种D ．3 种8．若 xy0 ，x y0 ，11与 x y 成反比，则 x y2与 x 2 y 2 （）x yA ．成正比B ．成反比C ．既不可正比，也不可反比D ．关系不确立9．如图 2，已知函数 y2 k ，点 A 在正 y 轴上，过点 A 作 BC ∥ x 轴，交两个函( x 0) ，y(x 0)xx数的图象于点 B 和 C ，若 AB : AC 1:3 ，则 k 的值是（）yCABO x图2A ． 6B ．3C ． 3D ． 610 ．10 个人围成一圈做游戏，游戏的规则是：每一个人内心都想一个数，并把自己想的数告诉与他相邻的两个人，而后每一个人将与他相邻的两个人告诉他的数的均匀数报出来，若报出来的数如图 3所示，则报出来的数是3 的人内心想的数是（）A ．2B ． 2C ．4D ． 4110 29384756图 3二、填空题（每题4 分，共 40 分）11 ．若 x 2 2 7 x 2 0 ，则 x 4 24x 2．12 ．如图 4 ，已知点 A( a ，b) ， O 是原点， OAOA 1 ，OA OA 1 ，则点 A 1 的坐标是．yA （ a ，b ）A 1O x图 413 ．已知 ab0 ，而且 a b 0 ，则ab1 1 b 22____________．（填“ ”、“ ”、“≥ ”或“ ≤ ”）aab14 ．若 a 2b 2a 2 b2 0 ，则代数式 a a b b a b的值是．15 ．将代数式 x 3 2a 1 x 2 a 2 2a 1 x a 2 1 分解因式，得16 ． A 、B 、C 三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时辰， A 在前， 10 分钟后， C 追上 B ；又过了 5 分钟， C 追上 A ．则再过．C 在后， B 在 A 、C 正中间，分钟， B 追上 A ．17 ．边长是整数，周长等于 20 的等腰三角形有种，此中面积最大的三角形底边的长是．18 ．如图 5 ，在 △ ABC 中， AC BD ，图中的数听说明 ABC ．A30°B40° CD 图519 ．如图 6，直线 y31 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、B ，以线段 AB 为直角边在第一象限内作x3等腰直角 △ ABC ， BAC90 ．在第二象限内有一点P a ， 1，且 △ABP 的面积与 △ ABC 的面积2相等，则 △ ABC 的面积是； a ___________________yCBPO Ax 图 620 ．Given the area of△ ABC is S 1 ，and the length of its three sides are311，9 3，101313respectively ． And the perimeter of △ABCis 18 ，its area is S 2 ．Then the relationship between S 1 and S 2 isS 1S 2 ．（ fill in the blank with“ ”，“= ”or “ ”）（英汉字典： area 面积； length长度； perimeter 周长）三、解答题每题都要写出计算过程．21 ．（此题满分 10 分）解方程：2 x34 4 x 3 ．42 x 334 x【分析】令2x 3a ，4xb ，43则a1 b 1 ，ab 整理得ab 10 ，aab所以 a b 或 ab1，即3x 34 x ， ①4 3或2 x3 4 x 1 ，②43由①得x7 ，10由②得 x0 或 x52经查验，知7 ，0，5都是原方程的解．10222．（此题满分15分）如图7，等腰直角△ABC 的斜边 AB 上有两点 M、N ，且知足MN 2BN 2AM 2，将△ABC绕着 C 点顺时针旋转90 后，点M、N的对应点分别为T、S ．⑴请画出旋转后的图形，并证明△MCN△MCS⑵求MCN 的度数．BBNN MC AM SC A r图 7【分析】⑴将△ ABC 绕着C点顺时针旋转90，如图．依据旋转前后的对应关系，可知BN AS ，CN CS ， NBC SAC45所以MAS MAC SAC90．由色股定理，得MS 2AM 2AS2AM 2BN 2MN2，所以M N．M S又因为CN CS ，CM 是公共边，所以△MCN △MCS ．⑵因为 CN 顺时针旋转 90后获得 CS ，所以NCS90，上边已证得△MCN △MCS ，故MCN MCS 145．NCS223 ．（此题满分 15 分）已知长方形的边长都是整数，将边长为 2 的正方形纸片放入长方形，要求正方形的边与长方形的边平行或重合，且随意两个正方形重叠部分的面积为0，放入的正方形越多越好．⑴假如长方形的长是4，宽是 3 ，那么最多能够放入多少个边长为 2 的正方形？长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是多少？⑵假如长方形的长是 n(n ≥ 4) ，宽是 n 2 ，那么最多能够放入多少个边长为2 的正方形？长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是多少？⑶关于随意知足条件的长方形，使长方形被覆盖的面积小于整个长方形面积的55% 求长方形边长的全部可能值．（已知0.55 0.74 ）【分析】 ⑴ 最多能够放入 2 个正方形，长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是2 22 2 ．4 366.7%3⑵当 n 是偶数时， n 2 也是偶数，最多能够放入1 个正方形，长方形被覆盖的面n( n 2)4 积占整个长方形面积的百分比是 100% ．当 n 是奇数时， n2 也是奇数，最多能够放入1 3) 个正方形，长方形被覆盖的(n 1)(n4面积占整个长方形面积的百分比是 n 1 n 3n n2100% ．⑶设长方形的宽与长分别是x ，y ．若 x ，y 都是偶数，则长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的100% ，不切合题意．若 x ，y 中一个是偶数 2a ，一个是奇数 2b 1 （ a ，b 是正整数），则4ab 4ab2b0.55 ．xy2a (2b 1) 2b 1解得 b 0.61．没有知足此结果的正整数b ，这类状况也不切合题意．所以， x ，y 都是奇数．x 2a 1 ，令 y 2b 1 ， a ≤ b ，a ，b 是正整数，则有4ab0.55 ．2a 1 2ba4ab4a4a2因为2a2a 1 2b a11，12a12a 12a22ba22a所以0. 55．2a 12a得0. 7 ，4a 1.，42a 1因为 a 是正整数，所以 a 1代入①式，得4b0. 55， 3 ( 2b1)解得 b 2.4 ，因为 b 是正整数，所以 b 1 或 2故有x 3 ，y3或 5．即长方形长为 5，宽为 3，或长与宽都是 3．第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛参照答案及评分标准初二第 2 试一、选择题（每题4 分．）题号1 21 3 4 5 6 7 8 9 10答案BDBCCADADB二、填空题（每题 4 分，第 17 、19 题，每空 2 分．）题号111213141516 17 1819 20答案 -4b ，a≥1x 1 x a 1 x a 115 4；6402；3421. 21259 23 109 8 109 ，∴得数是 10 位数．2.∵xy 1 ，∴ y 3 x 32 329x 33 189 x y 18 x21x42 7 x22将其代入代数式，得315x 30 5 x 29 x y 189x3 18x2当 x2 时，原式7；当 x 2 时，原式的值不存在．53x 3a 2 ≥ 4 x 2 2ax ≥ 1a113.原不等式7 b2 x 2b 3b 3x1 7a ≤ xx 5b5于是 01a ≤ 1 ， 31b≤ 4所以 a 有 7个不一样的取值， b 有 5 个不一样的取值，75于是整数对 a , b 共有7535个．4.∵x y z ，∴x y z 2 z ，即1802z，∴z90，三角形为钝角三角形．5.如图，补三个等边三角形，则 a b c c d e a f e ，于是a b d e．a b ca cdfee6.利用直角三角形中斜边大于直角边易得结论a m h ．7.设该球队胜、平、负的场数分别为x 、y、 15 x y ，则 3x y33 ．x ≥ 0y ≥ 0 x ，于是 0 ≤ y ≤ 6 ，又y能整除 3 ，于是 y 0 , 3 , 6 ．y ≤ 153x y 33对应的 x 11 , 10 , 9 ，共3种状况．8.∵11与 x y 成反比，∴x y11m ，此中 m 为非零常数．x y x y于是yx m 2 ，所以y为定值．x y x2y2而 x y22y y1， x2y2x2 1 ，联合y为定值xxx x x所以 x y2与x2y2成正比．9. B 与 C 的纵坐标相等，即k2，∴k2AC6AC AB AB10.假定报出来的数是 3 的人内心想的数是 x ，则报出来的 12345678910数4 x x8 x 4 x12 x内心想的数于是 4x 12x20 ，解得 x2 ．11. x 4 24x 22 7 x 224 2 7 x 228 x 28 7 x4 48 7x 4828x 2 56 7x 5222 8 2 x7 25 6x 752．412. 过 A 、 A 1 作 x 轴的垂线，利用弦图简单获得A 1 b , a ．aba 2ba 211a b13.a bba b∵b 2a 2b 2aba 2，ab11ba2222而a2b2 ≥ 2 a 2 b 22bab a∴ab a b ≥1 1a b ，即ab1 1 ．b 2a 2a bb 2 a 2 ≥ a b14. ∵a 2 b 2a 2 b 2a 2b21 ， b 1110 ，∴a于是 a a b b a b 12 10 1 ．15.x 3 2 a 1 x 2 a 2 2 a 1 x2a 1x 3 2ax 2 a 2 1 x x 2 2ax a 2 1x 1 x 22axa1 a 1x 1 x a 1 x a116. 设当 B 在 A 、C 正中间是 ABBC1，则 C 相对 B 的速度为1，C 相对 A 的速度为 2 ，1015所以 B 相对 A 的速度为1，故 B 追上 A 需要时间为 30 分钟．30于是再过 15 分钟， B 追上 A ．17. 设等腰三角形的腰长为x ，则底边长为 20 2x ，于是 0 20 2xxx ，有 5 x 10 ，∴x 的可能取值有 6 , 7 , 8 , 9，共 4 种．其面积为10 1022 x10 ，∴当 x7 时三角形面积最大，此时底边长为6 ．x18. 在 BC 上取一点 E ，使得 CE CA ，简单证明 △ AEB ≌△ ADC ，于是 ABC 40 ．19. ∵ A 3 , 0 ，B 0,1，∴ AB 2于是 S △ ABC 12AB22∵S△ ABP1 1 1 a1 3 11 3 a 12 ，解得 a3 4 ．2 2222220. △ ABC 的面积不小于三边长分别为 3 , 9 , 10 的三角形面积，于是S △ABC ≥ 11 11 3 11 9 11 10262 ；而 △A B C 的面积不大于周长为 18 的正三角形面积，于是3 2S 2 ≤18243 ．49 33∴S 1 S 2 ．。

希望杯数学八年级竞赛真题及答案(1-23届)

1、第一届希望杯初二第1试试题2、第一届希望杯初二第2试试题3、第二届希望杯初二第1试试题4、第二届希望杯初二第2试试题5、第三届希望杯初二第1试试题6、第三届希望杯初二第2试试题7、第四届希望杯初二第1试试题8、第四届希望杯初二第2试试题9、第五届希望杯初二第1试试题10、第五届希望杯初二第2试试题11、第六届希望杯初二第1试试题12、第六届希望杯初二第2试试题13、第七届希望杯初二第1试试题14、第七届希望杯初二第2试试题15、第八届希望杯初二第1试试题16、第八届希望杯初二第2试试题17、第九届希望杯初二第1试试题18、第九届希望杯初二第2试试题19、第十届希望杯初二第1试试题20、第十届希望杯初二第2试试题21、第十一届希望杯初二第1试试题22、第十一届希望杯初二第2试试题23、第十二届希望杯初二第1试试题24、第十二届希望杯初二第2试试题25、第十三届希望杯初二第1试试题26、第十三届希望杯初二第2试试题27、第十四届希望杯初二第1试试题28、第十四届希望杯初二第2试试题28、第十五届希望杯初二第1试试题30、第十五届希望杯初二第2试试题31、第十六届希望杯初二第1试试题32、第十六届希望杯初二第2试试题33、第十七届希望杯初二第1试试题34、第十七届希望杯初二第2试试题35、第十八届希望杯初二第1试试题36、第十八届希望杯初二第2试试题37、第十九届希望杯初二第1试试题38、第十九届希望杯初二第2试试题39、第二十届希望杯初二第1试试题40、第二十届希望杯初二第2试试题41、第二十一届希望杯初二第1试试题42、第二十一届希望杯初二第2试试题43、第二十二届希望杯初二第1试试题44、第二十二届希望杯初二第2试试题45、第二十三届希望杯初二第1试试题46、第二十三届希望杯初二第2试试题希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ] （A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+.7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。

1995年第6届“希望杯”全国数学邀请赛试卷(初二第2试)(解析版)

1995年第6届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初二第2试）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）设x0是方程的一个不为1的根，则（）A．x0＞2x0＞x20 B．x20＞x0＞2x0 C．x20＞2x0＞x0 D．2x0＞x20＞x02．（3分）设a是一个满足下列条件的最大的正整数，使得用a除64的余数是4；用a除155的余数是5；用a除187的余数是7．则a属于集合（）A．{3，4，6}B．{7，8，9}C．{10，15，20}D．{25，30，35}3．（3分）某位同学在代数变形中，得到下列四个式子：（1）；（2）当x=±2时，分式的值均为0；（3）分解因式：x n+1﹣3x n+2x n﹣1=x n•x﹣3x n+x n×=x n；（4）99972=（99972﹣32）+9=（9997+3）（9997﹣3）+9=99940009．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（3分）A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，当比赛进行到某一天时，统计出A，B，C，D，E五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，还没有与B队比赛的球队是（）A．C队 B．D队C．E队 D．F队5．（3分）如图，已知等边△ABC的周长为6，BD是AC边的中线，E为BC延长线上一点，CD=CE，那么△BDE的周长是（）A．5+2B．5+C．3+2D．3+6．（3分）如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（）A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n=b+c D．无法确定7．（3分）两个全等的直角三角形（不等腰）纸片，可以拼成n个不同形状的四边形，则n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．68．（3分）四边形ABCD的四边分别为a、b、c、d，其中a、c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形一定是（）A．两组角分别相等的四边形B．平行四边形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形9．（3分）已知a，b，c为三个连续奇数（a＜b＜c），且它们均为质数，那么符合条件的三数组（a，b，c）有（）A．0组 B．1组 C．2组 D．多于2组10．（3分）在边长为的正方形内有任意5个点（包括落在四条边上），将其中任意两点与正方形中心连接成三角形，则其中至少有一个三角形的面积S满足（）A．B．C．D．S≥1二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）11．（4分）计算：1995×19941994+1996×19951995﹣1994×19951995﹣1995×19961996=．12．（4分）直角三角形的周长为2+，斜边上的中线长为1，则这个直角三角形的面积为．13．（4分）若x+2是多项式x3+x2+ax+b的一个因式，且2a2+3ab+b2≠0，则分式的值是．14．（4分）设[x]表示不大于x的最大整数，如[π]=3，则=．15．（4分）如图在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF的大小为．16．（4分）若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4+b2c2﹣a2c2﹣b4=0，则△ABC的形状是．17．（4分）若不等式3x﹣a≤0的所有正整数解的和是15，则a的取值范围是．18．（4分）△ABC中，AB＞AC，AH⊥BC，M为AH上异于A的一点，比较AB ﹣AC与MB﹣MC的大小，则AB﹣AC MB﹣MC（填“＞”，“=”或“＜”=）．19．（4分）方程x2﹣y2=1995的正整数解共有组．20．（4分）设x，y是不大于10的自然数，x除以3的余数记为f（x），y除以4的余数记为g（y）．当f（x）+2g（y）=0时，x+2y的最大值是．三、解答题（共2小题，满分30分）21．（15分）（1）已知a1，a2，a3为三个整数，且a1≤a2≤a3，三个数中的每一数均为其它两数的乘积，求所有满足条件的三数组（a1，a2，a3）．（2）如果a1，a2，a3，a4，a5，a6为6个整数，且a1≤a2≤a3≤a4≤a5≤a6，六个数中任一个数均为其它五个数中某四个数的乘积，那么满足上述条件的数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）共有多少组？请说明理由．22．（15分）一个旅游区有7个不在一条直线上的编号为A，B，C，D，E，F，G 的风景点（如图）．现要开设一些公共汽车线路，满足以下条件：（a）由每个风景点可不换车到达其它任一风景点．（b）每条汽车线路只连接3个风景点．（c）任何两条汽车线路之间都只有一个共同的风景点．（1）该旅游区应开设几条公共汽车线路？（2）若风景点在一条线路上，则该公共汽车线路写成A﹣B﹣C．试写出该旅游区完整的公共汽车线路图．1995年第6届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初二第2试）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）设x0是方程的一个不为1的根，则（）A．x0＞2x0＞x20 B．x20＞x0＞2x0 C．x20＞2x0＞x0 D．2x0＞x20＞x0【解答】解：把方程变为，即：或，解得：x=1或x=，由题意x0是方程的一个不为1的根，故意x0=﹣，与是x02＞x0＞2x0．故选：B．2．（3分）设a是一个满足下列条件的最大的正整数，使得用a除64的余数是4；用a除155的余数是5；用a除187的余数是7．则a属于集合（）A．{3，4，6}B．{7，8，9}C．{10，15，20}D．{25，30，35}【解答】解：∵用a除64的余数是4；用a除155的余数是5；用a除187的余数是7∴a是（64﹣4）、（155﹣5）、（187﹣7）的最大公约数，即a是60，150，180的最大公约数，∴a=30；故选：D．3．（3分）某位同学在代数变形中，得到下列四个式子：（1）；（2）当x=±2时，分式的值均为0；（3）分解因式：x n+1﹣3x n+2x n﹣1=x n•x﹣3x n+x n×=x n；（4）99972=（99972﹣32）+9=（9997+3）（9997﹣3）+9=99940009．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：（1）=﹣（1﹣x）=x﹣1，故错误；（2）当x=﹣2时，分母为0，故错误；（3）当x=0时，③式不成立，故错误；（4）④式成立．故选：A．4．（3分）A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，当比赛进行到某一天时，统计出A，B，C，D，E五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，还没有与B队比赛的球队是（）A．C队 B．D队C．E队 D．F队【解答】解：由每个队分别与其它队比赛一场，最多赛5场，A队已经赛完5场，则每个队均与A队赛过，E队仅赛一场（即与A队赛过），所以E队还没有与B队赛过．故选：C．5．（3分）如图，已知等边△ABC的周长为6，BD是AC边的中线，E为BC延长线上一点，CD=CE，那么△BDE的周长是（）A．5+2B．5+C．3+2D．3+【解答】解：△ABC的周长为6，∴AB=BC=AC=2，DC=CE=1，又∵∠ACB=∠CDE+∠CED∴∠CED=30°，△BDE为等腰三角形，DE=BD=∴BD+DE+BE=2+2+1=3+2．故选：C．6．（3分）如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（）A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n=b+c D．无法确定【解答】解：在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，∵AD是∠A的外角平分线，∴∠CAD=∠EAD，在△ACP和△AEP中，，∴△ACP≌△AEP（SAS），∴PE=PC，在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，∵PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，∴m+n＞b+c．故选：A．7．（3分）两个全等的直角三角形（不等腰）纸片，可以拼成n个不同形状的四边形，则n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：可拼成如图所示的四种四边形．故选：B．8．（3分）四边形ABCD的四边分别为a、b、c、d，其中a、c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形一定是（）A．两组角分别相等的四边形B．平行四边形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形【解答】解：a2+b2+c2+d2=2ac+2bd可化简为（a﹣c）2+（b﹣d）2=0∴a=c，b=d∵a，b，c，d分别为四边形ABCD的四边∴a=c，b=d即两组对边分别相等，则可确定其为平行四边形．故选：B．9．（3分）已知a，b，c为三个连续奇数（a＜b＜c），且它们均为质数，那么符合条件的三数组（a，b，c）有（）A．0组 B．1组 C．2组 D．多于2组【解答】解：∵3，5，7是三个连续奇数，且均为质数，∴3，5，7为符合条件的三数组，若a＞3且a为质数，则a可分为被3除余1或2的两类．若a=3m+1，m为自然数，则b=a+2=3m+3为合数．若a=3m+2，m为自然数，则c=a+4=3m+6也是合数，故当a＞3时，没有符合条件的三数组．故选：B．10．（3分）在边长为的正方形内有任意5个点（包括落在四条边上），将其中任意两点与正方形中心连接成三角形，则其中至少有一个三角形的面积S满足（）A．B．C．D．S≥1【解答】解：∵正方形的边长为，∴正方形的面积为2，正方形可以分成4个面积为的三角形，将5个点放入4个三角形中，根据抽屉原则，则至少有一个三角形中有两个点．那么这两个点与正方形中心连成的三角形的面积必定满足S≤，故选：A．二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）11．（4分）计算：1995×19941994+1996×19951995﹣1994×19951995﹣1995×19961996=0．【解答】解：原式=1995×1994×10001+1996×1995×10001﹣1994×1995×10001﹣1995×1996×10001，=（1995×1994×10001﹣1994×1995×10001）+（1996×1995×10001﹣1995×1996×10001），=0．12．（4分）直角三角形的周长为2+，斜边上的中线长为1，则这个直角三角形的面积为．【解答】解：∵斜边上的中线长为1，∴斜边长为2，设两直角边为a，b，根据题意得a+b=2+﹣2=，a2+b2=4，∴ab=[（a+b）2﹣a2﹣b2]=1，因此这个直角三角形的面积为ab=．故答案为：．13．（4分）若x+2是多项式x3+x2+ax+b的一个因式，且2a2+3ab+b2≠0，则分式的值是4．【解答】解：∵x+2是多项式x3+x2+ax+b的一个因式，∴当x=﹣2时多项式等于0，解得b﹣2a=4，原式==b﹣2a=4．14．（4分）设[x]表示不大于x的最大整数，如[π]=3，则=625．【解答】解：∵[]=[]=[]=1，[]=[]=[]=[]=[]，[]=[]=[]=[]=[]=[]=[]…[]=[]=…=[]=9，[]=10，∴原式=1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×19+10=625．故答案为：625．15．（4分）如图在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF的大小为20°．【解答】解：连接AC，在菱形ABCD中，AB=CB，∵∠B=60°，∴∠BAC=60°，△ABC是等边三角形，∵∠EAF=60°，∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAF﹣∠EAC，即：∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE=AF，又∠EAF=∠D=60°，则△AEF是等边三角形，∴∠AFE=60°，又∠AEC=∠B+∠BAE=80°，则∠CEF=80°﹣60°=20°．故答案为：20°．16．（4分）若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4+b2c2﹣a2c2﹣b4=0，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．【解答】解：∵a4+b2c2﹣a2c2﹣b4=0∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）=0∴（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）=0∴a2﹣b2=0或a2+b2﹣c2=0∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．17．（4分）若不等式3x﹣a≤0的所有正整数解的和是15，则a的取值范围是15≤a＜18．【解答】解：不等式3x﹣a≤0，得x≤，又15=1+2+3+4+5，∴5≤＜6，即15≤a＜18．18．（4分）△ABC中，AB＞AC，AH⊥BC，M为AH上异于A的一点，比较AB ﹣AC与MB﹣MC的大小，则AB﹣AC＜MB﹣MC（填“＞”，“=”或“＜”=）．【解答】解：如图，∵AH⊥BC，有AB2=AH2+BH2，AC2=AH2+HC2，∴AB2﹣AC2=BH2﹣HC2，又MH⊥BC，同理有MB2﹣MC2=BH2﹣HC2，∴AB2﹣AC2=MB2﹣MC2，即（AB+AC）（AB﹣AC）=（MB+MC）（MB﹣MC），又M点在△ABC内，∴AB+AC＞MB+MC，则AB﹣AC＜MB﹣MC．故答案为：＜．19．（4分）方程x2﹣y2=1995的正整数解共有8组．【解答】解：∵x2﹣y2=1995，∴（x+y）（x﹣y）=1995，∴x+y，x﹣y分别为1995的两个约数，且x+y＞x﹣y，又∵1995=3×5×7×19，∴1995的正约数的个数有2×2×2×2=16个，共可分成8组，即：，，，，，，，共8组．故答案为：8．20．（4分）设x，y是不大于10的自然数，x除以3的余数记为f（x），y除以4的余数记为g（y）．当f（x）+2g（y）=0时，x+2y的最大值是25．【解答】解：x除以3的余数有三种，即余0，余1，余2．∴f（x）=y除以4的余数有四种，即余0，余1，余2，余3．∴g（y）=当f（x）+2g（y）=0时，只有f（x）=0且g（y）=0，∴x最大取9，y最大取8，x+2y的最大值是25．故答案为：25．三、解答题（共2小题，满分30分）21．（15分）（1）已知a1，a2，a3为三个整数，且a1≤a2≤a3，三个数中的每一数均为其它两数的乘积，求所有满足条件的三数组（a1，a2，a3）．（2）如果a1，a2，a3，a4，a5，a6为6个整数，且a1≤a2≤a3≤a4≤a5≤a6，六个数中任一个数均为其它五个数中某四个数的乘积，那么满足上述条件的数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）共有多少组？请说明理由．【解答】解：（1）由题意知a1=a2a3，a2=a1a3，a3=a1a2，三式相乘得a1a2a3=（a1a2a3）2，∴a1a2a3=0或a1a2a3=1，∴共有3个这样的三数组（0，0，0），（1，1，1），（﹣1，﹣1，1）．（2）取a1，a2，a3，a4，a5，a6的绝对值并按大小顺序排列，不妨设为0≤b1≤b2≤b3≤b4≤b5≤b6，则b1，b2，b3，b4，b5，b6也满足题意要求．①若b1=0，则b2，b3，b4，b5，b6中至少有一个为0，即b2=0．由于b1=b2=0，∴b3=b4=b5=b6=0，∴a1=a2=a3=a4=a5=a6=0②若b1≠0，则b1=b2b3b4b5或b1=b3b4b5b6≥b2b3b4b5∴b1≥b2b3b4b5又b6=b2b3b4b5或b6=b1b2b3b4≤b2b3b4b5∴b6≤b2b3b4b5，即b1≥b6⇒b1=b6．∴b1=b2=b3=b4=b5=b6，b1=b41，b1=1即a1，a2，a3，a4，a5，a6的绝对值均为1，它们只能是+1或 ﹣1．（i）a1=a2=a3=a4=a5=a6=1符合条件．（ii）若a1，a2，a3，a4，a5，a6中有﹣1，则最少有2个﹣1，最多有5个﹣1．即（﹣1，﹣1，1，1，1，1），（﹣1，﹣1，﹣1，1，1，1），（﹣1，﹣1，﹣1，﹣1，1，1），（﹣1，﹣1，﹣1，﹣1，﹣1，1）均符合条件．∴符合条件的数组共有6组．22．（15分）一个旅游区有7个不在一条直线上的编号为A，B，C，D，E，F，G 的风景点（如图）．现要开设一些公共汽车线路，满足以下条件：（a）由每个风景点可不换车到达其它任一风景点．（b）每条汽车线路只连接3个风景点．（c）任何两条汽车线路之间都只有一个共同的风景点．（1）该旅游区应开设几条公共汽车线路？（2）若风景点在一条线路上，则该公共汽车线路写成A﹣B﹣C．试写出该旅游区完整的公共汽车线路图．【解答】解：（1）应开设7条公共汽车线路．由A点至其它6个风景点，其中每条汽车线路只能连续除A点外的2个不同的风景点，所以经过：A点的公共汽车路线有3条，同样情况适合其它6个点．每条汽车线路仅连接3个点，所以总路线应有=7（条）．（2）7条公共汽车线路如下：A﹣B﹣C，A﹣E﹣G，A﹣D﹣F，B﹣D﹣E，B﹣F﹣G，C﹣D﹣G，C﹣F﹣E（注：答案不唯一）．从几何图形考虑（图），将A，B，C看作三角形的三个顶点，D，E，F分别为三角形三边的点，且AD，BE，CF相交于一点G，再作DEF的外接圆，这样7条线路也就连成了．A﹣G﹣D，A﹣F﹣B，A﹣E﹣C，B﹣D﹣C，B﹣G﹣E，C﹣G﹣F，D﹣E﹣F．。

历年初中希望杯数学竞赛试题大全

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希望杯第二十届() 初二第二试试题word

希望杯第二十届(2009年) 初二第二试试题一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.1．篆刻是中国独特的传统艺术,篆刻出来的艺术品叫印章．印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中镂空的）（）2．如果1-<<y x ，那么代数式x y x y -++11的值是（）（A ） 0 （B ）正数（C ）负数（D ）非负数3．将x 的整数部分记为[x ]，x 的小数部分记为{x }，易知=x [x ]+{x }（{}10<<x ）．若5353+--=x ，那么[x ]等于（）（A ） 2- （B ）1- （C ） 0 （D ）14．某种产品由甲、乙、丙三种元件构成．根据图2，为使生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是（）（A ）120°，180°，60°（B ）108°，144°，108°（C ）90°，180°，90° （D ） 72°，216°，72°5．面积是48的矩形的边长和对角线的长都是整数，则它的周长等于 ( )（A ）20 （B ） 28 （C ） 36 （D ）406．In the rectangular coordinates,abscissa and ordinate of the intersection point ofthe lines k x y -= and 2+=kx y are integers for imteger k ,then thenumber of the possible values of k is （）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（英汉小词典：abscissa 横坐标；ordinate 纵坐标；intersection point 交点；integer 整数）7．将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图3所示．用这四张小纸片一定可以拼成（）（A ）梯形（B ）矩形（C ）菱形（D ）平行四边形8．若不等式组⎩⎨⎧>++<+-m x x m x 1104的解集是4>x ，则（）（A ）29≤m （B ）5≤m （C ）29=m （D ）5=m 9．如图4，四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD 的长等于（）（A ） 134 （B ）38 （C ）12 （D ）31010．任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解q p n ⨯=（q p ≤）可称为正整数n 的最佳分解，并规定q p n F =)(．如：12=1×12=2×6=3×4，则43)12(=F ．则在以下结论 ①21)2(=F ②83)24(=F ③若n 是一个完全平方数，则1)(=n F④若n 是一个完全立方数，即3a n =（a 是正整数），则an F 1)(=．中，正确的结论有（）（A ） 4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个二、填空题（每小题4分，共40分）11．将一根钢筋锯成a 段,需要b 分钟,按此速度将同样的钢筋锯成c 段(a ，b ，c 都是大于1的自然数)，需要分钟．12．给机器人下一个指令[s ，A ]（0≥s ，1800<≤A ），它将完成下列动作： ①先在原地向左旋转角度A ；②再朝它面对的方向沿直线行走s 个单位长度的距离．现机器人站立的位置为坐标原点，取它面对的方向为x 轴的正方向，取它的左侧为y 轴的正方向，要想让机器人移动到点（5-，5）处，应下指令：． 13．已知实数x ，y ，z 满足3321z y x z z y y x x ++=+=+=+，则_________或=++z y x ． 14．已知实数x ，y 满足432=-y x ，并且0≥x ，1≤y ，则y x -的最大值是，最小值是．15．汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施：取消养路费，同时汽油消费税每升提高0.8元．若某车一年的养路费是1440元,百公里耗油8升,在“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的关系分别如图5中的1l 、2l 所示，则1l 与2l 的交点的横坐标=m .(不考虑除养路费和燃油费以外的其它费用)16．Given d cx bx ax x f +++=23)(,if when x takes the value of its inversenumber ，the corresponding value of )(x f is also the inverse number,and 0)2(=f ，then =++ba d c ．（英汉小词典：inverse number 相反数） 17．8人参加象棋循环赛,规定胜1局得2分.平1局得1分,败者不得分,比赛结果是第二名的得分与最后4名的得分之和相同,那么第二名得分．18．若正整数a ,b 使等式20092)1)((=-+++b a b a a 成立,则=a ,=b ． 19．如图6,长为2的三条线段'AA 、'BB 、'CC 交于O 点，并且OB C OA B ''∠=∠=∠=OC A '60°，则这三个三角形的面积的和21S S S ++．（填“<”、“=”、“>”）20．已知正整数x ，y 满足2492y x =+，则=x ，=y ．三、解答题（每题都要写出推算过程）21．（本题满分10分）在分母小于15的最简分数中，求不等于52但与52最接近的那个分数．22．（本题满分15分）如图7，一次函数33+-=x y 的函数图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt △ABC ，且使∠ABC=30°．（1）求△ABC 的面积；（2）如果在第二象限内有一点P （m ，23），试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当△APB 与△ABC 面积相等时m 的值；（3）是否存在使△QAB 是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q ？若存在，请写出点Q 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题满分15分）点A （4，0），B （0，3）与点C 构成边长分别为3，4，5的直角三角形，如果点C 在反比例函数xk y的图象上，求k 可能取的一切值．。

第一届希望杯数学邀请赛初二第二试试题及解答

第一届希望杯数学邀请赛初二第二试试题及解答
周春荔
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】1991(000)004
【总页数】2页(P38-39)
【作者】周春荔
【作者单位】北京师范学院
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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北师大整理八年级希望杯数学邀请赛培训题及参考答案

初初中中二二年年级级““希希望望杯杯””数数学学邀邀请请赛赛培培训训题题班级_______________学号_____________姓名____________________一、选择题（以下每个题的四个选择支中，仅有一个是正确的） 1．已知b －a ＞0且a ≥0，那么||222b a b ab a ＋－＋－（）（A ）化简为0 （B ）化简为－2b （C ）化简为－2a （D ）不能再化简2．已知a 是任意实数，有4个不等式：①2a ＞a ；②a 2＞a ；③a 2＋a ＞2；④a 2＋1＞a ，那么不等式关系一定成立的有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个3．已知关于x 的方程(m 2＋2m ＋3)x ＝3(x ＋2)＋m －2有唯一解，那么m 的值的情况是（）（A ）m ＝－2 （B ）m ＝0 （C ）m ≠－2或m ≠0 （D ）m ≠－2且m ≠04．已知关于x 的方程(a ＋1)x ＝2ax －a 2的解是负数，那么a 的值的情况是（）（A ）a ≠－1 （B ）a ＜1 （C ）a ＜1且a ≠0 （D ）a ＞15．已知寻于任意有理数a ，b ，关于x ，y 的二元一次方程(a －b )x －(a ＋b )y ＝a ＋b )都有一组公共解，则公共解为（）（A ）⎩⎨⎧00＝＝y x （B ）⎩⎨⎧10＝－＝y x （C ）⎩⎨⎧01＝＝－y x （D ）⎩⎨⎧11＝＝y x6．设M ＝2001200020002001，N ＝2002200120012002则M 与N 的关系是（）（A ）M ＝N （B ）M ＞N （C ）M ＜N （D ）MN ＝17．若a ，b 为有理数且满足22ba ＜3，那么22)()3(b a b a ＋＋与3的大小关系是（）（A ）3)()3(22＜＋＋b a b a（B ）3)()3(22＞＋＋b a b a （C ）3)()3(22＝＋＋b a b a （D ）无法确定的8．已知a 为正数，且a [a (a ＋b )＋b ]＋b ＝1，则a ＋b 的值是（）（A ）43 （B ）2 （C ）1 （D ）219．5个有理数中，若其中任意4个数的和都大于另一个数，那么这5个有理数中（）（A ）最多有4个是0 （B ）最多有2个是0 （C ）最多有3个是0 （D ）最多有1个是010．把自然数n 的各位数字之和记为S (n )，如n ＝38，S (n )＝3＋8＝11；n ＝247，S (n )＝2＋4＋7＝13，若对于某些自然数满足n －S (n )＝2007，则n 的最大值是（）（A ）2025 （B ）2023 （C ）2021 （D ）201911．已知四个方程①0232＝＋＋x ；②0234＝－x ；③03514＝－＋－x x ；④24＝＋－x x ，其中有实数解的方程的个数是（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个12．解分式方程0111＝＋－－＋－x xx k x x 有增根x ＝1则k 的值等于（）（A ）1 （B ）0 （C ）－1 （D ）－2 13．下列计算中，正确的是（）（A ）32211211－＝－－－－＝－＋x x x x x - （B ）7543)(m m m ＝÷（C ）b a b a b a －＝－－＋)2(2)(3（D ）32)23(6－＝－÷14．计算ba ab b b a a ＋－＋－1)(的结果是（）（A ）a －b （B ）ab （C ）a 2－b 2 （D ）a ＋b 15．如图，已知点M 是AB 的中点，点P 在AM 上，AP＝a ，BP ＝b 则MP 的长为（）（A ）a －b （B ）b a －21 （C ）2b a －（D ）2ba －16．已知平面中有n 个点A ，B ，C 三个点在一条直线上，A ，D ，F ，E 四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n 个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时n 等于（）（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）1217．已知一个直角∠AOB ，以O 为端点在∠AOB 的内部画10条射线，以OA ，OB 以及这些射线为边构成的锐角的个数是（）（A ）110个（B ）132个（C ）66个（D ）65个18．一张长方形的纸ABCD 如图，将C 角折起到E 处，作∠EFB 的平分线HF ，则∠HFG 的大小是（）（A ）锐角（B ）直角（C ）钝角（D ）无法确定19．如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90º，AB ＝AC ，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 交BC 于E ，若∠BDE ＝α，∠ADB 的大小是（）（A ）α （B ）90º－α （C ））90º－2a （D ）45º＋2a20．已知一个多边形的对角线条数正好等于它的边数的2倍，则这个多边形的边数是（）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）1021．如图，□ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∠EAF ＝45º，且AE ＋AF ＝22，则平行四边形ABCD 的周长是（）（A ）42 （B ）2(2＋2) （C ）2(2＋1) （D ）822．如图，平形四边形ABCD 中，BC ＝2AB ，DE ⊥AB ，M 是BC 的中点，∠BEM ＝50°，则∠B 的大小是（）（A ）100° （B ）110° （C ）120° （D ）135°（第19题图）（第21题图）（第22题图）（第23题图）（第24题图） 23．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 的中点，CE 恰好是平分∠BCD ，若AD ＝3，BC＝4，则CD 的长是（）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 24．如图△ABC 中，D 点在AC 上，AD ∶DC ＝1∶2，连BD ，E 是BD 的中点，延长AE 交BD 于F 则BF ∶FC 的比是（）（A ）41 （B ）31 （C ）52 （D ）8325．如图△ABC 中，∠C 为钝角，CF 为AB 上的中线，BE 为AC 上的高，若CF ＝BE ，则∠ACF的大小是（）（A ）45° （B ）60° （C ）30° （D ）不确定二、填空题26．已知：,10001＝m 那么1－m－－1111的值是________． 27．已知：1001＝a ，1011＝b ，则ab b a ab －－＋－1的值是________．28．计算：10001)1000(1)310001()100031(322－＋－＋的结果是________．29．计算：61999111999619996199951999232＋＋＋＋＋⋅⋅⋅的结果是__________．30．若｜a ＋b ｜＜｜a ｜＋｜b ｜，则b b a a||||－的值等于________或________． 31．设1199911999222111＋＋＝A ，1199911999333222＋＋＝B ，则A 与B 的大小关系是__________． 32．分解因式(x 2－1)(x 4＋x 2＋1)－(x 3＋1)2的结果是__________________________．33．设|7|)5(|3|2x x x S －＋－＋－＝，则S 的最小值是__________． 34．已知实数x 满足｜｜x ｜－4｜＞1，则x 的取值范围是__________． 35．若实数x 使代数式4|2|1－＋－x x 有意义，则x 的取值范围是__________．36．若实数x 使分式2559222－－－x x x 的值为零，则x 的值等于__________．37．方程0100032|2000|＝－＋＋－－y x y x 的一组解为⎩⎨⎧by ax ＝＝，则a ＋b 的值是__________． 38．若代数式x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＋p 恰好能分解为两个二次整式的乘积（其中二次项系数均为1且一次项系数相同），则p 的最大值是__________．39．已知：a ＜b ，且||b a a x ＋＝，||b a b y ＋＝，则||22223232y x xy a yx b y b x a p －－＋－＝的值等于__________．40．已知：a ＝7＋5，b ＝22＋2，c ＝3＋3，则a ，b ，c 的大小关系是__________．41．要使代数式1)2()1(112123322＋－－＋－＋－＋＋a a a a a a a a ⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡的值是正整数，那么整数a 的值应是__________． 42．已知多项式2x 2＋3xy －2y 2－x ＋8y －6的值恒等于两个因式(x ＋2y ＋A )(2x －y ＋B )乘积的值，那么A ＋B 等于__________．43．已知m ，n 是实数，且满足4m 2＋9m 2－4m ＋6n ＋2＝0，那么分式1444241822－＋＋＋m m n n 的值是__________．44．设p (x )是一个关于x 的二次多项式，且7x 3－5x 2＋6x －m －1＝(x －1)p (x )＋a ，其中m ，a是与x 无关的常数，则p (x )的表达式是__________．45．若a 为自然数，b 为整数，且满足(a ＋b 3)2＝7－43，则a ＝_______，b ＝________．46．若二元一次方程组⎩⎨⎧3)1(132＝－＋＝＋y n mx y x 的解中，x 与y 的值相等，那么m ＋n 的值等于_______．47．若a 是510510的一个质因数，且a －2仍为质数，那么满足上述条件的数共有_______个． 48．一个质数a 小于13，且它分别加上4或10之后仍然是质数，则质数a 等于_________． 49．已知实数x ，y 使得代数式22(x＋y )＋32(x－y )－2·2(x＋y ＋1)－54·3(x－y －1)＋7取得最小值，则x ＋y的值等于__________．50．如果最简二次根式b a b a 4114＋＋和b a b a 6214＋＋＋是同类二次根式，则a ＝_____，b ＝______． 51．已知3535＋－＝a ，3535－＋＝b ，则二次根式36733－＋b a 的值是__________．52．设23和4是两个五进制度，则这两个数的乘积的五进制表示法是__________．53．如图，AOE 是一条直线，∠AOC ＞∠COE ，则图中的钝角共有________个．54．不相等的两角α和β的两边分别平行，其中α角比β角的3倍少20°，则α的大小是__________．55．如图，四边形ABCD 中，O 点在AD 上，且OB 平分∠BCD ，若∠BCD ＝120°，则∠A ＋∠D 的大小是__________． 56．两个角α，β的补角互余，则这两个角的和α＋β的大小是_________．57．一个等腰三角形的周长是12，且三条边长都是整数，则三角形的腰长是__________． 58．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 为AC 边的三等分点，则BD ＋BE 与3AB 的大小关系是__________．59．已知a ，b ，c 为三角形的三条边长，满足条件ac 2＋b 2c －b 3＝abc ，若三角形的一个内角为100°，则三角形的另两个角的大小分别是__________．60．若三角形的周长为18cm ，且三条边中有两条边的长为两个连续奇数，则三角形的三条边长分别是__________．61．已知三角形的两条边长分别是a ＝5，b ＝4，它们的高分别为h a ，h b ，若a ＋h a ＝b ＋h b ，那么该三角形的面积是__________．62．如图，△ABC 中，∠B ＝45º，∠C ＝α（α＞45º），AD 是BC 边上的高，E 是AD 上一点且DE ＝DC ，延长BE 交AC 于F ，∠ABF 的大小是__________．（第62题）（第63题）（第64题）（第65题）（第66题）63．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90º，∠A ＝30º，D 是斜边AB 上一点，DE 垂直于AB 交AC 于E ，且△ADE 与△ABC 的面积之比为1：3，则AE ∶EC 等于__________．64．如图Rt △ABC 中，∠BAC ＝90º，AB ＝4，AC ＝3，AH ⊥BC ，H 为垂足，以AC 为对称轴，作H 对称点D ，连接CD ，过A 作AM ∥CD ，交BC 于M ，则BM 的长等于__________． 65．如图，已知等边△ABC 内有一点N ，ND ⊥BC ，NE ⊥AB ，NF ⊥AC ，D ，E ，F 都是垂足，M是△ABC 中异于N 的另一点，若p 1＝ND ＋NE ＋NF ，p 2＝MD ＋ME ＋MF ，那么p 1与p 2的大小关系是__________．66．如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90º，∠B ＝30º，AB ＝33，E 、F 为AB 上两点，AE ＝BF ，EG∥FH ∥AC ，则EG ＋FH 的值等于__________．67．四边形的四条边长分别为，a ，b ，c ，d 满足条件a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝ab ＋bc ＋cd ＋da ，则此四边形一定是__________．68．如图，平行四边形ABCD 中，∠A 是它的外角的51，延长CB 到E ，使CE ＝CD ，过E 作EF ⊥CD 于F ，若EF ＝1，则DF 的长等于__________．69．如图平行四边形ABCD 中，∠ABD ＝30º，AB ＝4，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，且，E ，F 恰好是BD 的三等分点，又M 、N 分别是AB ，CD 的中点，那么四边形MENF 的面积是__________． 70．平行四边形ABCD 中，∠ABC ＝60º，AE ⊥AD 交BD 于E ，若DE ＝2DC ，则∠DBC 的大小是__________．71．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是AD ，BC ，的中点，若∠B ＋∠C ＝90º，AD＝7，BC ＝15，则EF 的长是__________．72．如图，P 为经段AB 上一点，以AP 为边作一正方形APMN ，以BP 为底在另一侧作等腰△BPQ ，连接MQ ，若AB 的长为4，则△MPQ 的面积的最大值等于__________．（第69题）（第71题）（第72题）（第73题）73．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于O ，△DOC 的面积S 1＝4，△AOB 的面积S 2＝64，则四边形ABCD 的面积的最小值是__________．74．如图，设正方形ABCD 的边长为1，在各边上依次取A 1，B 1，C 1，D 1，使AA 1＝BB 1＝CC 1＝DD 1＝31AB ，顺次连接得正方形A 1B 1C 1D 1，用同样方法作得正方形A 2B 2C 2D 2，并重复作下去，使新的正方形的顶点在上一个正方形的边上，且使A 1A 2＝31A 1B 1，A 2A 3＝31A 2B 2，…，这样正方形A 5B 5C 5D 5的边长等于__________．75．已知a ，b 是互质的正整数，且a ＋b ，3a ，a ＋4b 恰为一直角三角形的三条边长，则a ＋b的值等于__________．三、解答题 76．计算：)2)(2())(()2)(2())(()2)(2())((z y x x z y z y z x x z y z y x y x y z z y x z y x x z y x ＋－－＋－－＋－＋－＋－－－＋＋－－－．77．设1212－－＋－＋＝a a a a m （1≤a ≤2），求m 10＋m 9＋m 8＋…＋m －47的值．78．某甲于上午9时15分钟由码头划船出游，计算最迟于12时返回原码头，已知河水的流速为1.4千米／小时，划船时，船在静水中的速度可达3千米／小时，如果甲每划30分钟就需要休息15分钟，并且船在划行中不改变方向，只能在某次休息之后往回划，问甲最多能划离码头多远．79．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90º，D ，E 是AB ，AC 上两点，DM ⊥BC ，EN ⊥BC ，且DM＝EN ＝2，若△BMD ，△CNE 的面积分别是△ABC 面积的41和51，求△ABC 的面积．80．如图，正方形ABCD 中，E 、F 为BC ，CD 的上点M 且∠EAF ＝45º，求证：EF ＝BE ＋DF ．答案与提示1．由.0〉-a b 且.0≥a 则,0≥〉a b 得0〉+b a ，又∵0〉-a b ，∴ 0〈-b a ∴ 原式＝||||b a b a +--＝.2)()(a b a b a -=+--- ∴ 选C2．①②③显然不成立，对于④， ∵.043)21(122〉+-=-+a a a∴对于一切实数④式成立，故选 A3．原方程整理成2)2(+=+m x m m 该方程有唯一解的条件是,0)2(≠+m m ∴0≠m 且,2-≠m 选D 4．原方程整理成2)1(a xa -=-，∵方程的解是负数，∴ 01〉-a 且,02≠a 即1〈a 且0≠a ，∴选C5．原方程整理成0)1()1(=---+--y x b y x a ，对于b a ,的每一组值，上述方程都有公共解，∴ ⎩⎨⎧=---=--0101y x y x 解得⎩⎨⎧-==10y x ∴选B6．设,20012000,20002001==b a 则,1000110001,++==b a N b a M1000110001++-=-b a b a N M .)10001()(10001)10001()10001()10001(+-=++-+=b b b a b b a b b a∵ ,b a 〈 ∴ ,,0N M N M 〈〈- 故选C7．由,322〈ba 得 ,322b a 〈 2222222)(363963)()3(b a b ab a b ab a b a b a +---++=-++ ＝,0)()3(2222〉+-b a a b ∴,3)()3(22〉++b a b a 选B8．∵[],1)(=+++b b b a a a ∴ ,0123=-+++b ab b a a∴ 0)()1(23=+++-b ab b a a ∴ 0)1)(1(2=+-++b a a a ∵a 为正数，∴,012〉++a a ∴,1,01=+=-+b a b a 故选 C9．若5个数中有4个为0，设它们是a ，0，0，0，0，其中0≠a ，则当0〈a 时，,00.00〈+++a 不合题意．当0〉a 时，0＋0＋0＋0a 〈，也不合题意．∴ 不可能有4个数为0．若5个数中有3个数为0，设它们分别是,0,0,0,,b a 其中,0,0≠≠b a 则当b a 〉时，,000a b 〈+++不合题意，当b a =时，,000a b =+++不合题意．当b a 〈时，,0.00b a 〈+++不合题意， ∴不可能有3个数为0．若5个数中有2个数为0，设这5个数为3，4，5，0，0，则符合要求．故选C ． 10．由题意知，n 是四位数，,369999)(=+++≤n S ∴n 的千位数字为2．设 ,1010020002c b a abc n +++=+ .2)(c b a n S +++=∵ ,2007)(=-n S n ∴ ,200729992000=-++b a ∴ ,9999=+b a 其中b a ,为0∽9的整数， ∴ ,1,0==b a ∴n 的百位数字为0，十位数字为1，个位数字为取0∽9中任一个数． ∴ 最大的,2019=n 选D11．方程①中得,232-=+x 无实数解，方程②中分子不为0，也没有实根，方程③中若两个根式的和为0，则应同时满足014=-x 和035=-x ，相互矛盾，所以也没有实根，只有方程④，有实根,5,021==x x 故选A12．解这个分式方程，把方程两边同乘以)1)(1(+-x x 得,0)1()1()1(=--+++x x x k x x 化简整理得.)2(k x k -=+当1=x 时代入得,1-=k 选C13．只有,)(7512543m m m m m =÷=÷其余3个运算都是错的，故选B ．14．,11)(b a ba b a b a b a a b b b a a +=+÷--=+÷-+- ∴ 选D 15．∵M 是AB 的中点， ∴ ,MB AM = ∴BM AP AM AP MP -=-=,MP BP AP --= ∴,2)(21ba BP AP MP -=-= ∴选C ． 16．由n 个点中每次选取两个点连直线，可以画出2)1(-n n 条直线，若C B A ,,三点不在一条直线上，可以画出3条直线，若F E D A ,,,四点不在一条直线上，可以画出6条直线，∴.382632)1(=+---n n 整理得 2n .0)90)(10(,090=+-=--n n n ∵ ,09〉+n ∴,10=n ∴选B ．17．在直角AOB ∠中，10条射线连同OB OA ,共有12条射线，每两条射线组成一个角，共形成,66)1112(21=⋅这66个角中，只有AOB ∠＝090，其余65个均为锐角，∴选D ． 18．将△CFG 折起到△,EFG ∴△CFG ≌△,EFG ∴.EFG CFG ∠=∠又∵ FH 平分,EFB ∠ ∴,900=∠HFG ∴选B19．如图，作，于交，于G BD AM M BC AM ⊥在△AGB 和△CEA 中，，＝＝045ECA GAB ∠∠，＝AC AB。