直线与圆培优讲义

培优讲义

一、概念理解：

1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向；

②平行：α=0°；

③范围：0°≤α＜180° 。

2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）；

②垂直：斜率k 不存在；

③范围： 斜率 k ∈ R 。

3、斜率与坐标：1

2122121tan x x y y x x y y k --=--==α ①构造直角三角形（数形结合）；

②斜率k 值于两点先后顺序无关；

③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）

特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即；

<2> 斜率都存在时：121-=•k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=；

<2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==；

二、方程与公式：

1、直线的五个方程：

①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211

21121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；

④截距式：

1=+b

y a x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可；

⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0

用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。

2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可

3、距离公式：

①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-=

②点到直线距离：2200B A C

By Ax d +++=

③平行直线间距离：222

1B A C C d +-=

4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A

①AB 中点),(00y x ：)2

,2(

2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)3

2,32(21

21y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )3

2,32(2121

y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。

三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。

5.直线的对称性问题

已知点关于已知直线的对称:设这个点为P （x 0，y 0）,对称后的点坐标为P ’（x ，

y ），则pp ’的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp ’的中点坐标在已知直线上。

三、解题指导与易错辨析：

1、解析法（坐标法）：

①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标；

②依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果；

2、动点P 到两个定点A 、B 的距离“最值问题”： ①PB PA + ②PB PA - ③22PB PA +的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。

3、直线必过点：① 含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3

令：x+2=0 => 必过点(-2,3)

②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 =>

m(3x+y)+n(2y-x-1)=0

令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 => 必过点(-1/7,3/7)

4、易错辨析：

① 讨论斜率的存在性：

解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：

<1>斜率不存在时，是否满足题意；

<2>斜率存在时，斜率会有怎样关系。

② 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解； （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）

③ 直线到两定点距离相等，有两种情况：

<1> 直线与两定点所在直线平行；

<2> 直线过两定点的中点。

圆的方程

1. 定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径.

2. 圆的方程表示方法：

第一种：圆的一般方程——022=++++F Ey Dx y x 其中圆心

⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=.

当0422 F E D -+时，方程表示一个圆，

当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝

⎛--

2,2E D . 当0422 F E D -+时，方程无图形.

第二种：圆的标准方程——222)()(r b y a x =-+-.其中点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆

第三种：圆的参数方程——圆的参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数） 注：圆的直径方程：已知0))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A

3. 点和圆的位置关系：给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.

①M 在圆C 内22020)()(r b y a x -+-⇔

②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔

（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x -+-⇔

4. 直线和圆的位置关系：

设圆圆C ：)0()()(222 r r b y a x =-+-； 直线l ：)0(022≠+=++B A C By Ax ； 圆心),(b a C 到直线l 的距离22B A C Bb Aa d +++=

.

①r d =时，l 与C 相切；