2014届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第20讲简单的三角恒等变换

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高考数学一轮复习第20讲简单的三角恒等变换课件理 (浙江专)

素材3
求证：sins2iαnα＋β－2cos(α＋β)＝ssiinnβα.
11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/182022/1/18
第20讲简单的三角恒等变换
一恒等变换下的化简求值
【例 1】已知 sin2x－2cos2x＝0，求 2cosco4πs＋2xx·sinx的值s2αcos2β－12cos2αcos2β 的值为
1 2
.
二恒等变换下的拆角求值
【例 2】(1)已知 tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，求 tan(π4＋α) 的值；
(2)scions77°°＋－csoisn1155°°·ssiinn88°°＝__________.
素材2
若 cos(π4＋x)＝35，1172π<x<74π，求sin21x－＋ta2nsxin2x的值．
三恒等变换下的三角证明
【例 3】证明：2－2sicnoαs4＋α－34πsicno4αsα＋π4＝11＋－ttaannαα.

(浙江专版)高考数学一轮复习专题4.3 简单的三角恒等变换(讲)

第03节简单的三角恒等变换【考纲解读】【知识清单】1.两角和与差的三角函数公式的应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β； S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β； T (α＋β)：tan(α＋β)＝1－tan αtan βtan α＋tan β； T (α－β)：tan(α－β)＝1＋tan αtan βtan α－tan β. 变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；.函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 2. 二倍角公式的运用公式的应用二倍角的正弦、余弦、正切公式： S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝1－tan2α2tan α. 变形公式：cos 2α＝21＋cos 2α，sin 2α＝21－cos 2α1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2【重点难点突破】考点1两角和与差的三角函数公式的应用【1-1】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆：，点，，记射线与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的坐标为__________．【答案】【解析】设射线OB与轴正半轴的夹角为，有已知有，所以，且，C点坐标为.【1-2】已知：，，且，则=_______.【答案】【1-3】【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ）, （Ⅱ）或【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.【领悟技法】1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．提醒：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋2π(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋2π(k∈Z)，可利用诱导公式化简．【触类旁通】【变式一】【2018江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】故选D.【变式二】已知均为锐角，且，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．∴．【变式三】已知函数的部分图像如图所示. （Ⅰ）求函数)的解析式，并写出的单调减区间；（Ⅱ）的内角分别是A,B,C.若,,求的值.【答案】（Ⅰ）的单调减区间为. （Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ）由图象最高点得A=1，由周期.当时，，可得，因为，所以．.由图象可得的单调减区间为.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，,，，....考点2 二倍角公式的运用公式的应用【2-1】【2018年新课标I卷文】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.详解：根据题的条件，可知三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B.【2-2】【2017浙江ZDB联盟一模】已知，，则__________，__________．【答案】【解析】因为，，所以因为，所以，因此 .【2-3】【江苏省淮安市五模】已知，且，则的值为．【答案】【解析】由得，而，则，所以，又，则，所以；【领悟技法】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．【触类旁通】【变式一】已知，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【变式二】已知，且，则的值为__________.【答案】【解析】因为，所以，，，又因为，所以.【变式三】已知，（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得（2）原式考点3 三角恒等式的证明【3-1】求证：2α＝41sin 2α. 【解析】∵左边＝2α＝2α＝2α＝2＝cos αsin 2αcos 2α＝21sin αcos α ＝41sin 2α＝右边． ∴原式成立．【3-2】求证：sin αsin β＝sin α2α＋β－2cos(α＋β). 【解析】证法一：右边＝sin αα＋βsin α＝sin αα＋βsin α ＝sin αα＋β－α]＝sin αsin β＝左边.证法二：sin α2α＋β－sin αsin β＝sin α2α＋β－sin β＝sin αα＋βsin α＝2cos(α＋β)，所以sin α2α＋β－2cos(α＋β)＝sin αsin β.【3-3】已知，，且，.证明：.【解析】，即，，，，又，，，，，.【领悟技法】1.三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法．（3）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． 2.变换技巧：(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；β＝2α＋β－2α－β；2α－β＝.（3）化简技巧：切化弦、“1”的代换等【触类旁通】【变式一】求证：.【解析】左边＝cos αsin α＋＝右边．故原式得证．【变式二】已知，证明：.考点4 三角函数公式的综合应用【4-1】【2018湖北省部分重点中学起点】设函数，其中θ∈，则导数f ′(1)的取值范围是________．【答案】[，2]【解析】由题【4-2】【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】已知，则__________；__________．【答案】或. .【解析】分析：先把两边平方得到，利用弦切互化所得方程可以化成关于的方程，解出后可求．详解：由可以得到，故，也就是，整理得到，故或．当时，；当时，．故填或，．【4-3】【2018届江苏省南京市三模】在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点,始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为．已知点的横坐标为，点的纵坐标为．（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.（2）因为点Q的纵坐标为，所以sinβ＝．又因为β为锐角，所以cosβ＝．因为cosα＝，且α为锐角，所以sinα＝，因此sin2α＝2sinαcosα＝，所以sin(2α－β) ＝．因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝．点睛：（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的三角关系，考查三角恒等变换,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力.(2)第2问易错，再求得sin(2α－β) 后，容易错误地得到2α－β＝或研究三角问题，一定要注意角的问题，所以先要求出－＜2α－β＜，再得出2α－β＝．【领悟技法】高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．【触类旁通】【变式一】【2018届山东省桓台第二中学4月月考】已知函数为奇函数，且，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的值．【答案】（1）（2）或【解析】试题分析：（1）由为奇函数得，解得的值；再根据，得（2）根据解析式化简得，再根据两角和正弦余弦公式以及二倍角公式化简得的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知因为所以又，所以或①由所以②由，得所以综上，或【变式二】【2017浙江温州二模】已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题解析：（1）∴函数的最小正周期是（2）∴，，∴，又.∴∴，∴.【易错试题常警惕】易错典例：若sin θ，cos θ是关于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．易错分析：不注意挖隐含条件，角的取值范围，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误．正确解析：由题意知：sin θ＋cos θ＝51，∴(sin θ＋cos θ)2＝251.∴sin 2θ＝－2524，即2sin θcos θ＝－2524＜0.则sin θ与cos θ异号．又sin θ＋cos θ＝51＞0，∴2π＜θ＜43π.∴π＜2θ＜23π.故cos 2θ＝－＝－257.温馨提醒：求解三角函数问题，应灵活运用公式，特别注意已知等式中角的取值范围，涉及开方求值问题，注意正负号的选取.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

(浙江专用)高考数学一轮复习讲练测专题4.3简单的三角恒等变换(讲)(含解析)

4.备考重点： (1) 掌握和差倍半的三角函数公式； (2) 掌握三角函数恒等变换的常用技巧.
知识点 1．两角和与差的三角函数公式的应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；
，则
故 tan2 故选：A
考点 1 两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用
【典例 3】（2019·北京高考模拟（文））如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角与角均以 Ox 为始边，
终边分别是射线
OA
和射线
OB．射线
OA，OC
与单位圆的交点分别为
A
3 5
,
4 5
，
C(1, 0)
.若
BOC
【典例 4】（2018 年全国卷 II 文）已知
【答案】 . 【解析】
，则
__________．
，
解方程得
.
【规律方法】
1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如 tan α＋tan
β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
【典例 5】（2016·全国高考真题（理））若
A． 7 25
【答案】D
【解析】
B． 1 5
C． 1 5
，则 sin 2 （） D． 7 25
，
且
，故选 D.
【总结提升】转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．注意三角函数公式逆用和变形用的 2 个问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．

简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)

思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信，行必果。 ——《论语》译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��

高考一轮数学文科：第20讲-简单的三角恒等变换ppt课件

α＝ α
1(_3＋_)_降c_2o_s幂_α_公_，式t：ans2α2in＝2 2_11_＝－＋___cc_oo__ss___2αα__．___，cos2 2 ＝
(4)tanα2 ＝_1_＋s_i_cno_s_α_α_＝_1－__sci_no_sα_α__．
2．常见的几种角的变换
(1)α＝(α＋β)－_____β___，α＝__(_α_－__β_) _＋β.
课堂考点探究
探究点二三角函数式的求值
考向1 给值求值
例 2 (1)[2016·辽宁丹东二模] 若 sin 2α＝23，则 tan
α＋ 1
tan
α＝(
)
A. 3 B. 2 C．3 D．2
(2)[2016·甘肃天水一中四模] 已知 cosα－π6 ＋sin α＝453，则 sinα＋76π的值是________．
都表示为 10°的三角函数，约分即得结果．
课堂考点探究
[答案] (1)12
(2)
3 2
[解析] (1)1＋sins2in501°0°＝2（1－1＋cossin11000°°）＝1－2c（os1（＋9s0i°n 1＋0°10）°）＝2（11＋＋ssiinn1100°°）＝12.
(2)原式＝4sin21c0o°s21c0o°s 10°－sin 10°csoins 55°°－csoins 55°°＝
(2)2α＝(α＋β)＋__(_α_－__β)__，2β＝__(α_＋__β_)__－
(α－β)．
(3)
α＋β
α2
＝
__α__－__β2_ _
－
α2 －β
，
α
＝
2
×
____2____．
3．常数的变换

高考数学一轮单元复习：简单的三角恒等变换PPT共36页

高考数学一轮单元复习：简单的三角恒等变换
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此贞秀姿，卓为霜下杰。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。 ——刘向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好的教师是幸福，不如说好的教师是不幸。 ——海贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦。——杰纳勒尔·乔治·S·巴顿
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
谢谢！

高考数学一轮复习 4.2三角恒等变换课件

5
5
∵α∈
,
2
,
0
∴sin α=- 3 ,∴tan α=3- ,
5
4
∴tan 2α= 2 =ta n α
2
=-
3
.4
24
1 tan 2α
1
3 4
2
7
精品
10
5.已知α∈
2
,,sin α=
,则3 tan
5
α=
4
.
答案
1 7
解析由已知得cos α=-4 ,∴tan α=3- ,
5
4.函数f(α)=acos α+bsin α(a,b∈R),可以化为f(α)=⑥ sain2 (αb+2φ1)
或f(α)=⑦ ac2osb(α2 -φ2) ,其中φ1、φ2可由a、b的值唯一确定. 5.在两角和的三角函数公式Sα+β,Cα+β,Tα+β中,当α=β时就得到二倍角的三角函数公式:sin 2α=⑧ 2sin αcos α ,cos 2α=⑨ cos2α-sin2α ,tan 2α=⑩
A.- 3
2
答案
B.- 1
C1 .
D3.
2
2
2
C 原式=sin 45°·cos 15°-cos 45°·sin 15°=sin 1230°=
,故选C.
精品
7
2.sin 15°+cos 15°的值为 ( )
A. 1
2
答案
B. 6
C. 6
D3. 2
4
2
2
C sin 15°+cos 15°=2 sin(15°+45°)2= sin 60°2 6=

高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 3三角恒等变换第1课时简单的三角恒等变换课件

1
4
1
4
即cos cos + sin sin = .故cos − = .
故选C.
D.−
)
7
8
【点拨】和、差、倍角公式的综合应用，关键在于把握式子的结构特点，灵活应用
整体思想求解，尤其是对于含两个不相关联角的问题.
变式3（1）（2023年新课标Ⅰ卷）已知sin − =
5
π
(0， )，tan
2
2 =
C.
5
3
cos
，则tan
2−sin
=(
D.
)
15
3
cos
sin 2
2sin cos
cos
π
解：因为tan 2 =
,所以tan 2 =
=
=
.因为 ∈ (0， )，
2−sin
cos 2
1−2sin2
2−sin
2
2sin
1
cos 45∘ =
2
，D不符合.故选AC.
2
【点拨】和、差、倍角公式对使公式有意义的任意角都成立，使用中要注意观察角之
间的和、差、倍、互补、互余等关系.
变式1 【多选题】下列化简正确的是(
√
tan 48 +tan 72
C.
√1−tan 48 tan 72
A.cos 82∘ sin 52∘ − sin 82∘ cos 52∘ = −
tan 48∘ +tan 72∘
对于C，
1−tan 48∘ tan 72∘
1
sin
2
∘
15 cos 15 =
1
sin
4

(新课标)高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第3节三角恒等变换第2课时简单的三角恒等变换课件

－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
即 3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα ＋cos(α＋β)sinα，
整理可得 sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)·sinα. 因为 α≠kπ＋π2 ，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)，所以 cos(α＋β)·cosα≠0，则有 tan(α＋β)＝2tanα.
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(2)∵α 为锐角，cosα＋π6 ＝45，∴sinα＋π6 ＝35， ∴sin2α＋π3 ＝2sinα＋π6 cosα＋π6 ＝2245， cos2α＋π3 ＝2cos2α＋π6 －1＝275， ∴sin2α＋π 12＝sin2α＋π3 －π4 ＝ 22sin2α＋π3 －cos2α＋π3 ＝1750 2.
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考向 1 给角求值
【例 2】 sin47°－cosisn1177°°cos30°＝(
)
A．－
3 2
B．－12
C.12
D.
3 2
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【解析】原式＝sin（30°＋17° cos）17－°sin17°cos30° ＝sin30°cos17°＋cos3c0o°s1s7i°n17°－sin17°cos30° ＝sin3c0o°s1c7o°s17° ＝sin30°＝12. 【答案】 C
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cos2α－π4 ＝cos2α－π4 ＋π4 ＝ 22cos2α－π4 －sin2α－π4 ＝－3510 2.
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解法 2：由 cosπ4 －α＝35，得 22(cosα＋sinα)＝35.① 两边平方，得 1＋2cosαsinα＝1285. sin2α＝2cosαsinα＝－275， (cosα－sinα)2＝1－－275＝3225. 根据 2cosαsinα＝－275<0 及－3π 2 <α<－π2 ，

2014届高三数学(理)一轮专题复习课件简单的三角恒等变换

2x tanx＋1－2sin 2＋lg lgcosx·
解析：原式＝lg(sinx＋cosx)＋lg(sinx＋cosx)－lg(1＋ sinx＋cosx2 1＋sin2x sin2x)＝lg ＝lg ＝0. 1＋sin2x 1＋sin2x
方法点睛
三角函数式的化简要遵循“三看”原则：①
函数f(x)单调递增，
π π 故所求区间为kπ－6，kπ＋3(k∈Z)．
(2)函数f(x)的图像向左平移m(m＞0)个单位后得g(x)＝
π 2sin 2x＋m－6 ，要使g(x)的图像关于y轴对称，
只需2m－
π π kπ π π ＝kπ＋ (k∈Z)，即m＝＋ (k∈Z)，∴m的最小值为 . 6 2 2 3 3
基础自测 α 1.已知π<α<2π，则cos 等于( 2 A．－ C．－ 1－cosα 2 1＋cosα 2 B. D. ) 1－cosα 2 1＋cosα 2
π α α 解析：∵π<α<2π，∴2<2<π.∴cos2<0. α ∴cos2＝－ 1＋cosα 2 .
答案：C
π 1 2π 2．已知sin6－α＝3，则cos 3 ＋2α的值是(
变式训练2 如图，以Ox为始边作角α与β(0＜β＜α＜ π)，它们终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标
3 4 为－5，5.
sin2α＋cos2α＋1 (1)求的值； 1＋tanα → → (2)若OP· ＝0，求sin(α＋β)． OQ
3 4 解析：(1)由三角函数定义得 cosα＝－5，sinα＝5. 2sinαcosα＋2cos2α ∴原式＝ sinα 1＋ cosα 2cosαsinα＋cosα ＝＝2cos2α sinα＋cosα cosα

学海导航新课标高考一轮复习(理数学) 浙江专版第20讲简单的三角恒等变换

3 证明．它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式
的证明．常用方法：从左推到右；从右推到左；左右互推θ 是(
)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【解析】因为 sinθ＝2sinθ2cosθ2＝2245>0， cosθ＝cos2θ2－sin2θ2＝－275<0，所以 θ 在第二象限．
(2)由 tan(π－α)＝43，得 tanα＝－43，又π2＜α＜π，所以 sinα＝45，cosα＝－35，所以 q＝sinα＋cosα＝15，所以 an＝(15)n－1，故 Sn＝1－ 1－1515n＝54－14×(15)n－1.
三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结构的转化，而转化的依据就是一系列的三角公式，因此对三角公式在实现这种转化中的应用应有足够的了解：
2. A，B，C 是△ABC 的三个内角，且 tanA，tanB 是方
程 3x2－5x＋1＝0 的两个实数根，则△ABC 是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【解析】tanA＋tanB＝53，① tanAtanB＝13，②
5 所以 tan(A＋B)＝1t－anAta＋nAttaannBB＝1－3 13＝52，
(2)原式＝scions1155°°－－88°°＋－csoins1155°°ssiinn88°° ＝scions185°°c·ocso1s58°°＝tan15°＝1－sinco3s03°0° ＝2－ 3.
【点评】进行三角变换的技巧是变角，即注意角的和、差、倍、半、互余、互补关系根据实际情况对角进行“拆”或 “添”变形，这样可大大减少运算量．基本的解题规律为：观察差异(或角、或函数、或运算)，寻找联系(借助熟知的公式、方法或技巧)，综合分析，实现转化．

三角恒等变换简单的三角恒等变换ppt

电磁学
在电磁学中，三角恒等变换可以用来描述电场和磁场的变化规律。
光学
在光学中，三角恒等变换可以用来描述光的干涉和衍射等现象。
05
总结与展望
总结
内容详尽
该PPT详细讲述了三角恒等变换的基本概念、公式和技巧，内容全面且易于理解。
实用性强
通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握三角恒等变换的运用，提高解题能力。
揭示函数性质
通过三角恒等变换，可以进一步揭示三角函数的性质和特点，为研究三角函数提供有力的工具。
三角恒等变换的应用
解析几何
在解析几何中，常常需要用到三角恒等变换来研究点、线、圆等几何对象的性质和位置关系。
微积分
在微积分中，三角恒等变换被广泛应用于解决与极坐标有关的问题，如计算面积、体积等。
等变换的应用。
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THANKS
总结词
利用泰勒级数展开式，将一个函数展开成幂级数形式。
详细描述
泰勒级数展开式是一种将一个函数展开成幂级数形式的方法。通过选择不同的幂级数展开式，我们可以得到不同的形式的结果。在三角恒等变换中，我们常常利用泰勒级数展开式来进行幂级数展开式的计算，从而得到我们需要的结论。
04
三角恒等变换在解题中的应用
在几何中的应用
证明三角形全等
利用三角恒等变换可以证明两个三角形全等，从而得出它们
的对应边和对应角相等。
计算角度和长度
通过三角恒等变换，可以计算出三角形中的角度和边的长度，以及三角形的高和中线等。
证明平行和垂直
利用三角恒等变换可以证明两条直线平行或垂直，从而得出线段之间的比例关系。
在代数中的应用
积化和差与和差化积公式可以将两个角度的积与和差表示为只含有一个角度的三角函数形式。积化和差与和差化积公式可以用于解决一些涉及两个不同角度的乘积或和差的问题，例如求两个角的积、证明恒等式等。

2014届高考数学(浙江专用)一轮复习学案第四章三角函数、解三角形4.5三角恒等变换Word版含解析

4.5三角恒等变换考纲要求1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换．1．2．3．4．形如a sin α＋b cos α的化简a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中cos φ＝__________，sin φ＝__________，即tan φ＝ba.1．(2012重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝()．A．－32B．－12C．12D．322．化简2＋cos 2－sin21的结果是()．A．－cos 1 B．cos 1 C．3cos 1 D．－3cos 1 3．若sin⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝a，则cos⎝⎛⎭⎫θ－π4等于()．A．－a B．a C．1－a D．1＋a4．函数f(x)＝2sin x－2cos x的值域是__________．5．若1＋tan α1－tan α＝2 013，则tan 2α＋1cos 2α＝__________.一、两角和与差的三角函数公式的应用【例1－1】在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )． A ．14 B ．13 C ．12 D ．53【例1－2】化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x .方法提炼1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．提醒：在T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋π2(k ∈Z )，可利用诱导公式化简．请做演练巩固提升2二、角的变换【例2－1】已知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－34，则sin 2x ＝__________. 【例2－2】已知0＜β＜π4＜α＜34π，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．方法提炼1．当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．常见的配角技巧：α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α. 注意：特殊的角也看成已知角，如α＝π4－⎝⎛⎭⎫π4－α. 请做演练巩固提升3三、三角函数式的化简、求值【例3－1】化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α(π＜α＜2π)．【例3－2】已知34π＜α＜π，tan α＋1tan α＝－103，求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝⎛⎭⎫α－π2的值．方法提炼1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则．(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．2．三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角．(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．(2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．(3)给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数的值，其次判断该角对应的区间，从而达到解题的目的．请做演练巩固提升5四、三角恒等式的证明【例4－1】求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α.【例4－2】已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，证明：α＋β＝π4.方法提炼1．证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简、左右归一或变更论证．2．三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法．请做演练巩固提升6不能挖掘隐含条件而增解【典例】若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．错解：由题意知：sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125.∴sin 2θ＝－2425.∵θ∈(0，π)，∴2θ∈(0,2π)．∴cos 2θ＝±1－2sin 22θ＝±725.正解：由题意知：sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125.∴sin 2θ＝－2425，即2sin θcos θ＝－2425＜0.则sin θ与cos θ异号．又sin θ＋cos θ＝15＞0，∴π2＜θ＜3π4.∴π＜2θ＜3π2. 故cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－725.答题指导：涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误．1．(2012辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( )．A ．－1B ．－22C ．22D ．12．如果cos 2α－cos 2β＝a ，则sin(α＋β)sin(α－β)等于( )．A ．－a 2B ．a2C ．－aD ．a3．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝37，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( )． A ．2941 B ．129 C ．141 D ．14．sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°·1－cos 20°＝__________.5．化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β.6．已知sin β＝m sin(2α＋β)(m ≠1)，求证：tan(α＋β)＝1＋m1－mtan α.参考答案基础梳理自测知识梳理1．sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β tan α±tan β1∓tan αtan β2．2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－11－2sin 2α 2tan α1－tan 2α3．2α α 1－2sin 2α2 2cos 2α2－1±1－cos α2 ±1＋cos α2 sin α1＋cos α 1－cos αsin α 4．a a 2＋b 2 b a 2＋b 2 基础自测1．C 解析：因为sin 47°＝sin(30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°，所以原式＝ sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°＝12，故选C.2．C 解析：2＋cos 2－sin 21＝1－sin 21＋1＋cos 2＝cos 21＋2cos 21＝3cos 1.3．B 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝a ＝22(sin θ＋cos θ)，又cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22(sin θ＋cos θ)， ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a . 4．[－22，22]解析：f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，又－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤1， ∴－22≤f (x )≤2 2.5．2 013 解析：tan 2α＋1cos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α ＝1＋tan α1－tan α＝2 013. 考点探究突破【例1－1】B 解析：由题意得 tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－3，又tan A ＋tan B ＝233，解得tan A tan B ＝13.故选B.【例1－2】解：原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝(2cos 2x －1)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x＝cos 22x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . 【例2－1】18解析：sin 2x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －1＝2×⎝⎛⎭⎫－342－1＝18.【例2－2】解：∵π4＜α＜3π4，∴－3π4＜－α＜－π4，－π2＜π4－α＜0.又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－45. ∵0＜β＜π4，∴3π4＜3π4＋β＜π.又∵sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝－1213， ∴sin(α＋β)＝－cos ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β)＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋β－⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋βcos ⎝⎛⎭⎫π4－α－sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋βsin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－⎝⎛⎭⎫－1213×35－513×⎝⎛⎭⎫－45＝3665＋2065＝5665. 【例3－1】解：原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22·2cos 2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2·(－cos α)⎪⎪⎪⎪cos α2.又∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π.∴cos α2＜0.∴原式＝cos α2·(－cos α)－cosα2＝cos α.【例3－2】解：∵tan α＋1tan α＝－103，∴3tan 2α＋10tan α＋3＝0，解得tan α＝－3或tan α＝－13.又∵3π4＜α＜π，∴tan α＝－13.∵5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝5·1－cos α2＋4sin α＋11·1＋cos α2－8－2cos α＝5－5cos α＋8sin α＋11＋11cos α－16－22cos α＝8sin α＋6cos α－22cos α＝8tan α＋6－22＝－526.【例4－1】证明：∵左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cosα2cos 2α2－sin 2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝cos αsin α2cos α2＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边． ∴原式成立．【例4－2】证明：∵3sin β＝sin(2α＋β)，即3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)， ∴3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， ∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α， ∴tan(α＋β)＝2tan α.又∵4tan α2＝1－tan 2α2，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝12.∴tan(α＋β)＝2tan α＝1.∵α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β＝π4. 演练巩固提升1．A 解析：将sin α－cos α＝2两端同时平方得，(sin α－cos α)2＝2，整理得1－2sin αcos α＝2，于是sin 2α＝2sin αcos α＝－1，故选A. 2．C 解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β ＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a . 3．D 解析：tan(α＋β)＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋⎝⎛⎭⎫π6＋β＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＋tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β1－tan ⎝⎛⎭⎫α－π6tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝29352935＝1，故选D. 4．2 解析：∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝2sin 40°cos 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1，cos 80°·1－cos 20°＝sin 10°·2sin 210°＝2sin 210°.∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2.5．解：解法一：原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12(2cos 2α－1)(2cos 2β－1)＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12(4cos 2αcos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12.解法二：原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12cos 2α·cos 2β＝12＋12cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝12.6．证明：由β＝(α＋β)－α，2α＋β＝(α＋β)＋α得sin[(α＋β)－α]＝m ·sin[(α＋β)＋α]，即sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝m [sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]，即(1－m )sin(α＋β)cos α＝(1＋m )cos(α＋β)sin α. 两边同除以(1－m )cos(α＋β)cos α，得tan(α＋β)＝1＋m1－mtan α(m ≠1)，即等式成立．。