(精编资料推荐)函数间断点分类及类型
函数的间断点
计算函数在间断点处的左右极限，理解该点处函数值不存在的原因。
对函数间断点的研究展望
深入研究间断点的性质
进一步探索间断点的性质和特 点，如研究间断点处函数值的 性质、左右极限的关系等。
探讨间断点在数学其他分 支中的应用
研究函数间断点在其他数学分 支中的应用，如微积分、实变 函数、复变函数等。
02
函数形态分析
03
求解极限问题
间断点可以作为函数形态分析的 依据，例如判断函数是否具有周 期性、对称性等。
在数学分析中，有时需要通过研 究函数的间断点来求解某些极限 问题。
在微积分中的应用
导数与间断点
函数的导数在间断点处可能不存在，因此研究函数的 间断点有助于理解函数的导数性质。
积分与间断点
在计算定积分时，需要考虑被积函数在积分区间内的 间断点，以确保积分的准确性。
利用极限存在定理判断
总结词
利用极限存在定理来判断函数的间断点，主要依据是函数在某点的极限存在当且仅当该点的左右极限存在且相等。
详细描述
如果函数在某点的左右极限存在且相等，则该点的极限也存在，即函数在该点连续；否则，该点是函数的间断点。
利用连续函数的性质判断
总结词
利用连续函数的性质来判断函数的间断点，主要是通过分析函数在某点的极限性质来确定。
开发新的研究方法
寻求新的研究方法，以更有效 地处理函数的间断点问题，如 利用数值计算、计算机模拟等 方法。
拓展应用领域
将函数间断点的理论应用于实 际问题中，如物理学、工程学 、经济学等领域的问题，以促 进数学与实际应用的结合。
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为什么要研究函数的间断点
数学理论完整性
1.6.4间断点及其分类
都存在， 若 f ( x0 0) 和 f ( x0 + 0) 都存在，则称 x0 是 f ( x ) 的 第一类间断点 第一类间断点. 类间断点
①若 f ( x0 0)≠ f ( x0 + 0) ，则称 x0 是 f ( x ) 的 跳跃间断点 跳跃间断点；
可去间断点. ②若 f ( x0 0)= f ( x0 + 0) ，则称 x0 是 f ( x ) 的 可去间断点.
如果不是闭区间而是开区间， 注：如果不是闭区间而是开区间，那么定理的结论 如果不是闭区间而是开区间 不一定成立. 不一定成立.
1 例如： 内无界. 例如： f ( x )= ∈C (0, 1) ，但 f ( x ) 在 (0, 1) 内无界. x
最大值最小值定理） 定理 5（最大值最小值定理） 设 f ( x )∈C [a , b] ，则
∵ f (0)= 1< 0 ， f (1)=1> 0 ，
∴ c∈(0, 1) ，使 f (c )= c 2c 1= 0 ，
内至少有一个实数根. 即方程 x 2 x 1 = 0 在 ( 0, 1) 内至少有一个实数根 .
必有实根. 例 4．证明：实系数方程 x 3 + ax 2 + bx + c = 0 必有实根 ．证明：
1.6.4 间断点及其分类 1.间断点的定义 1.间断点的定义
定义 3 不连续， 若函数 f ( x ) 在点 x0 不连续，则称 f ( x ) 在点 x0 间断点. 间断, 间断,点 x0 称为 f ( x ) 的间断点.
若 f ( x ) 有下列三种情况之一： 有下列三种情况之一： 没有定义； ① 在 点 x 0 没有定义； 不存在； ② 极限 lim f ( x ) 不存在；
间断点的分类及连续函数的性质
目 录
• 连续函数的基本性质 • 间断点的分类 • 连续函数的应用 • 连续函数与离散函数的关系 • 连续函数与极限的关系
01
CATALOGUE
连续函数的基本性质
定义与性质
定义
如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当|x'-x|<δ时，|f(x')-f(x)|<ε，则称函数f在点x处 连续。
连续函数的运算性质
线性性质
若函数f和g在某点连续，则f+g、f-g、fg和f/g（g≠0） 也在该点连续。
01
指数性质
若函数f在某点连续，则对于任意实数a ，函数f^a和e^f在在该点也连续。
02
03
幂性质
若函数f和g在某点连续，则f^g在在该 点也连续。
02
CATALOGUE
间断点的分类
第一类间断点（可去间断点和跳跃间断点）
VS
区别
离散函数和连续函数在定义域和值域上存 在本质的区别。离散函数的定义域和值域 都是离散的数集，而连续函数的定义域和 值域都是实数集。此外，离散函数和连续 函数的性质也存在较大的差异，如连续函 数具有可微性、可积性等性质，而离散函 数则没有这些性质。
离散函数在实际问题中的应用
• 离散函数在实际问题中有着广泛的应用， 如计算机科学、统计学、物理学等领域。 在计算机科学中，离散函数被广泛应用于 算法设计和数据结构中，如排序算法、图 算法等。在统计学中，离散函数被用来描 述概率分布和概率密度函数。在物理学中 ，离散函数被用来描述离散系统的状态和 行为，如量子力学中的波函数、分子动力 学中的粒子位置等。
可去间断点
在这一点，函数值存在，但导数不存 在。
2.3-2间断点及其分类闭区间上连续函数的性质
1三、函数的间断点及其分类如果f (x )在x 0 处不连续, 则称点x 0 为函数f (x )的间断点(或不连续点) . Next f (x ) 在x 0处连续的三要素：)(x f (1)在某邻域内有定义；)(0x N )(lim x f xx 0→(2)存在;(3)00lim ()().xxf x f x →=有一条不满足，x 0为f (x )间断点.xy 1sin=f (x )在x =0 附近无限震荡3间断点分类第一类间断点0()f x −及0()f x +均存在00()(),f x f x −+=00()(),f x f x −+≠第二类间断点0()f x −及0()f x +中至少一个不存在若其中有一个为振荡,若其中有一个为,∞称0x 为可去间断点;称0x 为跳跃间断点.称0x 为无穷间断点;称0x 为振荡间断点;⎧⎨⎩⎧⎨⎩……Previous Next4() , () , f x x x F x A x x ≠⎧=⎨=⎩所以，F (x ) 在x 0处连续.此时有lim ()lim ()x x x x F x f x →→=0()A F x ==Previous Next注如果是函数f (x )的可去间断点，构造0x13四、闭区间上连续函数的性质定义函数f (x ) 定义在区间I 上，有称f (x 0) 是函数f (x ) 在区间I 上的最大(小)值.定理(最值定理) 设 f (x ) 在[a , b ]上连续,即12,[,],a b ξξ∃∈都有1()min (),a x b f f x ξ≤≤=2()max ().a x bf f x ξ≤≤=则 f (x ) 在[a , b ] 上必能取到最大(小)值,12()()()f f x f ξξ≤≤Previous Next 00()()(()())f x f x f x f x ≤≥x I∀∈0,x I ∈若[,],x a b ∈对于一切即15定理(有界性定理)则f (x )在[ a , b ] 上有界.Previous Next 定理(介值定理)若f (x ) 在[ a , b ] 上连续, 至少存在一个使 [ , ]a b ξ∈().f ξμ=若f (x ) 在[ a ,b ]上连续,对任意x ∈[ a , b ] 有m ≤f (x ) ≤M .即,,m M ∃最大值M 和最小值m 之间的任何一个值.则它一定能取到即[,],m M μ∀∈18例证明：方程在( 1 , 2 )中有实根.3310x x −+=证设3()31,f x x x =−+则f (x ) 在[ 1, 2]上连续.又f (1) = -1 , f (2) = 3,根据零点定理, (1, 2),ξ∃∈使()0.f ξ=故方程在( 1 , 2 )中有实根.3310x x −+=Previous Next 即3310ξξ−+=19例如果f (x )在[ a , b ]上连续, 且f (a ) < a , f (b ) > b ,证明：在( a , b )内至少存在一点ξ, 使ξξ=)(f 证,)()(x x f x F −=令0,<由零点定理,使),,(b a ∈∃ξ()()0F f ξξξ=−=b b f b F −=)()(,0>.)(ξξ=f 即Previous Next 则F (x ) 在[ a , b ]上连续.()()F a f a a =−而(构造函数)20例如果f (x )在[ 0, 1 ]上连续, 且f (1) > 1,证明：在( 0, 1 )内至少存在一点ξ, 使2()f ξξ−=证2()()1,F x x f x =−令(0)1F 而=−,0<由零点定理,(0,1),ξ使∃∈2()()10,F f ξξξ=−=(1)(1)1F f =−,0>2().f ξξ即−=则F (x )在[ 0, 1 ]上连续,Previous (变形，构造函数)。
函数的间断点及其分类
第一章第八节函数的连续性定义1.10.)()(00内有定义的某邻域在点设x U x x f 1.函数在一点连续的定义存在；)(lim )1(0x f x x →若)()(lim )2(00x f x f x x =→则称函数.)(0处连续在点x x f 注1°函数在一点连续的等价定义之一设有函数y = f (x ). 当自变量x 从增量概念:0x 变到,0x x ∆+x ∆则称为自变量的增量(或改变量).若相应地函数y 从)(0x f ),(0x x f ∆+变到则称)()(00x f x x f y −∆+=∆为函数的增量(或改变量).定义1.9（函数在一点连续的增量定义）,00→∆→x x x 就是.0)()(0→∆→y x f x f 就是.0lim 0=→y x ∆∆.)()(00内有定义的某邻域在点设x U x x f ⇔处连续在点0)(x x f定理处连续点在函数0)(x x f 处既左连续又右连续点在0)(x x f ⇔).()()(000x f x f x f ==⇔+−例2解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<−=<≤=.21,2,1,2,10,)(2x x x x x x f 讨论函数在点x = 1处的连续性.由于=−→)(lim 1x f x 21lim x x −→,1==+→)(lim 1x f x )2(lim 1x x −+→,1=1)(lim 1=→x f x ,2)1(=f 所以f (x ) 在点x = 1 处不连续.≠在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上连续的函数, 或者说函数在该区间上连续.,),(内连续如果函数在开区间b a 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.3. 函数在区间上的连续性.],[)(b a C x f ∈记作, 处右连续端点并且在左a x =,处左连续在右端点b x =.],[)(上连续在闭区间则称函数b a x f如果上述三个条件中有一个不满足，则称f (x )在二、函数的间断点及其分类:)(00条件连续必须满足以下三个处在点函数的去心邻域内有定义的在点x x f x ;)()1(0有定义在点x x f ;)(lim )2(0存在x f x x →).()(lim )3(00x f x f x x =→内有定义，的某去心邻域在点设)()(00x U x x f o1. 定义(或间断点).点x 0 处不连续(或间断)，并称点x 0为f (x )的不连续点lim lim 1=+∞=>−∞→+∞→xx xx a a a 时，当lim lim 1=+∞=>−∞→+∞→xx xx a a a 时，当，x x cot ,tan x csc ,sec 结论：三角函数在其定义域内连续.利用极限的四则运算法则可以证明：推论(连续函数的线性运算法则))( )(x g x f 和α和β是常数,)()(x g x f βα+若函数此运算法则对有限个函数成立.在点0x 连续,则函数)( )(x g x f 和的线性组合在点0 x 连续.结论：反三角函数在其定义域内连续.结论：指数函数，对数函数在其定义域内皆连续.1. 函数记号f 与极限记号可以交换次序;意义:变量代换x=.2的理论依据uϕ(.))(特别地，若定理1.17是定理1.16 的特殊情形例9.),0()(内连续在为常数证明：+∞=µµxy 证xx y ln e µµ==内连续，在),0(ln )(+∞==x x u µϕQ 内连续在而),(e )(+∞−∞==uu f y .),0()(内连续在为常数+∞=∴µµx y 可以证明：µx y =对于μ取任何实数,均在其定义域内连续.结论：幂函数在其定义域内连续.结论：一切初等函数在其定义区间内连续.是指包含在定义域内的区间.）端点为单侧连续=])([x f ϕ1,2≤x x 1,2>−−x x.0,0,2,0,2)(连续性处的在讨论函数=⎩⎨⎧<−≥+=x x x x x x f 解)2(lim )(lim 0+=++→→x x f x x 2=)2(lim )(lim 0−=−−→→x x f x x 2−=.0)(处不连续在点故函数=x x f 备用题例2-1)0()0(+−≠f f =+)0(f =−)0(f ∵∴不存在)(lim 0x f x→例2-3解⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=,0,,0,)(x x a x e x f x 设函数应当怎样选择a,使得f (x ) 在x =0 处连续.=−)0(f xx e−→0lim ,1==+)0(f )(lim 0x a x ++→,a =,)0(a f =由连续的充要条件)0()0()0(f f f ==+−得a =1.所以当a =1时，f (x )在x =0处连续.。
函数的间断点及其类型
函数的间断点及其类型
函数的间断点是指在该点处函数的极限不存在或者左右极限
存在但不相等。
间断点可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点三种类型。
1. 可去间断点：在该点处函数的左右极限都存在且相等，但函数在该点处没有定义。
例如，函数 f(x) = x^2在 x=0 处没有定义，但左右极限都为 0，因此 0 是 f(x)的可去间断点。
2. 跳跃间断点：在该点处函数的左右极限都存在，但不相等。
例如，函数 f(x) = x在 x=0 处的左极限为-1，右极限为 1，因此
0 是 f(x)的跳跃间断点。
3. 无穷间断点：在该点处函数的左右极限至少有一个不存在，或者左右极限都存在但等于正无穷或负无穷。
例如，函数 f(x) = 1/x 在 x=0 处的右极限为正无穷，左极限为负无穷，因此 0 是
f(x)的无穷间断点。
判断一个函数的间断点类型，可以通过计算函数在该点处的左右极限来确定。
如果左右极限都存在且相等，则该间断点为可去间断点；如果左右极限不相等，则该间断点为跳跃间断点；如果至少有一个极限不存在，或者两个极限都存在但等于正无穷或负无穷，则该间断点为无穷间断点。
《间断点及其分类》课件
分类
第一类间断点
跳跃间断点。
第二类间断点
奇点。
第三类间断点
可去间断点。
跳跃间断点
定义
例子
函数在某一点的左右极限存在， 但不相等。
f(x) = { x, x < 1 x+ 1, x≥ 1 }
性质
在跳跃间断点处，函数图像的 曲线从一个点跳跃到另一个点， 导致函数值发生突变。
奇点
定义
函数在某一点的极限不存在。
《间断点及其分类》PPT 课件
在学习微积分时，遇到间断点是很常见的。本次课程将帮助你更好地学习间 断点及其分类。
什么是间断点？
定义
在函数图像中，不连续点称为 间断点。它们可以是跳跃间断 点或奇点。
跳跃间断点
奇点
函数在某一点的左右极限存在， 但不相等，导致函数值发生突 变。如：f(x) = |x|
函数在某一点的极限不存在。 如：f(x) = 1/x
例子
f(x) = 1/x
性质
在奇点处，函数图像无法被连数在某一点的极限存在，但 与函数在该点的值不相等。
例子
f(x) = (x-1)/(x²-1)
性质
在可去间断点处，函数图像在 该点的值可以通过修改函数的 定义来使之与该点的极限相等。
总结
1 定义
间断点是函数图像中不 连续的点。
2 分类
跳跃间断点和奇点为第 一类和第二类间断点。 可去间断点为第三类间 断点。
3 应用
在微积分学习中，间断 点是非常重要的概念， 应充分理解和掌握。
高数函数四类间断点
函数间断点知识笔记间断点的条件:设函数()f x 在点0x 的某去心邻域内有定义,在此前提下,如果函数()f x 有下列三种情形之一：(1) 在0x x 没有定义(2) 在0x x 有定义，但0lim ()x x f x 不存在 (3) 在0x x 有定义，0lim ()x x f x 存在,但00lim ()()x x f x f x 那么函数()f x 在点0x 不连续，而点0x 称为函数()f x 的不连续点或间断点无穷间断点：()tan()f x x()tan()f x x 在2x 无定义,且2lim tan()x x 震荡间断点：1()sin()f x x1()sin(f x x在点0x 没有定义,当0x 时，函数值在1 和-1之间变动无限多次 可去间断点：（图不是很好看）21()1x f x x 21()1x f x x 在点1x 没有定义，但在这里有2111lim =lim(1)21x x x x x 如果补充定义:令(1)2f 那么函数在点1x 成为连续，这种情况间断点为可去间断点 同例有函数:,1,()1, 1.2x x f x x ，这里就不论述了. 跳跃间断点：1,0,()0,0,1,0.x x f x x x x当0x 时,0000lim ()lim (1)1lim ()lim (1)1x x x x f x x f x x左右极限都存在但不相等,故0lim ()x f x 不存在,因图像在0x 处产生跳跃现象，该类间断点成为跳跃间断点第一类间断点：左极限0()f x 和0()f x 都存在的间断点（跳跃间断点和可去间断点）第二类间断点：非第一类间断点的所有间断点.(无穷间断点和震荡间断点)。
函数间断点分类及类型
19
再见
§1.5.3 函数的间断点及其类型
p17
复习
y
y
2
2
四个字概括连续函数图像的特点 1
1
是： “紧紧”跟随
o1
xo 1
x
① a-b=0 说明a与b相等的
ab
② a-b→0 说明a与b接近（几乎）相等
（a与b是紧紧挨着的） a b
极限概念当中的“无穷小”是可以描述“紧紧”跟
随函数
f
( x)在点 x0处连续
y
√ ①在某点没定义
√ ②极限不存在
③极限与函数值不相等
o
x0
x
f(x0)有吗？
lim f (x0 )有吗？
xx0
井水不犯河水
8
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
y
√ ①在某点没定义
√ ②极限不存在
ox
各自为政
③极限与函数值不相等
f(x0)有吗？
limf (x0)有
xx-0
limf (x0)=不存在
ox
12
第二类间断点 如 果 f ( x)在 点x0处 的 左 、 右 极 限
f ( x0 ), f ( x0 )至 少 有 一 个 不 存在, 则 称 点x0为 函 数 f ( x)的 第 二 类 间 断 点.
y
y
o
x0
x
ox
左、右极限都不存在
左极限存在，右极限 不存在
例1
判断函数
f
(x)
f
(x)
1,
x 1
2
1 x, x 1,
1
在x 1处的连续性 ，如果不连续说出它到类型 o
间断点的定义及分类
间断点的定义及分类
函数的间断点是指在该点处函数不连续的点，这些点通常是由于函数在该点处的极限不存在或存在无穷大而引起的。
间断点可以分为以下几类：
- 第一类间断点：在函数在该点处的左右极限都存在的间断点。
- 跳跃间断点：当函数在该点处的左右极限存在但不相等时。
- 可去间断点：当函数在该点处的左右极限相等但该点处的函数值不等于极限值时。
- 第二类间断点：在函数在该点处的左右极限至少有一个不存在的间断点。
- 无限间断点：当函数在该点处的左右极限至少有一个为无穷大时。
- 振荡间断点：当函数在该点处的左右极限存在但不相等且都不为无穷大时。
除了以上提到的两类间断点外，还有一些特殊类型的间断点，例如：垂直间断点、水平间断点和斜间断点等。
这些间断点的存在性和类型可以根据具体函数的性质和定义来判别。
在研究函数的间断点和类型时，通常需要利用极限的思想和方法来进行判断和证明。
函数间断点的相关知识
函数间断点的相关知识
在数学中，函数间断点指的是函数在某些点上不连续的情况。
间断点可以分为几种不同类型，其中一些主要的类型包括：
1.第一类间断点（第一类不可去间断点）：在这种情况下，函数在间断点处的极限值不存在。
这可能是由于函数在该点没有定义，或者在该点的左右极限值不相等。
2.第二类间断点（第一类可去间断点）：在这种情况下，函数在间断点处的极限值存在，但函数在该点的函数值未定义或与极限值不相等。
这种情况通常可以通过对函数进行修正或重新定义来解决。
3.跳跃间断点：函数在跳跃间断点处的左右极限值存在，但它们不相等。
这导致了函数值的突然“跳跃”。
4.可去间断点：这是指函数在某一点的函数值未定义，但可以通过对该点进行修正或重新定义，使得函数在该点变得连续。
5.无穷间断点：在这种情况下，函数在某点的极限值为正无穷或负无穷，导致函数在该点处不连续。
在分析函数间断点时，可以使用极限的概念来进一步理解函数在特定点的行为。
函数的间断点可能对于理解函数的性质、图形和应用有重要意义。
在实际问题中，了解函数的间断点有助于更好地理解函数的行为和性质。
高等数学：第三讲-函数的间断点
x1
x1
所以x =1是f (x)的第一类间断点, 且是可去间断点．
例题1 补充说明：
所谓可去间断点是指：可以通过 改变或补充 f(x0) 的定义，
使得
f
( x0 )
lim
x x0
f ( x),
从而使f (x) 在 x0
处连续.
例如：上例中改变定义, 令 f (1) =2, 则
x2 1
f (x)
x0 x
x0 x
所以 x =0 是 f (x) 的第二类间断点, 且是无穷间断点．
例题4：
函数 y sin 1 , 考察 x = 0 处. x
lim sin 1 , lim sin 1 都不存在 ,
x0
x x0
x
所以x = 0是 f (x) 的第二类间断点．
x 0 时, f (x)的值在-1
到1之间反复振荡,这时亦
x1
,
2,
x 1, x 1,
则 f (x)在x=1处就连续了.
y 2
O 1x -1
例题2：
函数
x1,
f
(
x)
x
1
,
x0, x0.
考察 x = 0 处.
y
1
o
x
1
所以 x =0 是 f (x) 的第一类间 断点,且是跳跃间断点．
函有数定在义x，=0且处f(是0)否=1有. 定义？
lixlmim0f (fx()x是) 否xl存im0在 (？x 1) 1
称x = 0是f(x)的振荡间断点．
y sin 1 x
小结
第一类间断点：
lim f ( x), lim f ( x)
x x0
间断点有哪几种类型
间断点有哪几种类型
1、间断点有哪几种类型？
【答案】间断点的类型如下：
第一类间断点，分为可去间断点和跳跃间断点；
第二类间断点，包括无穷间断点与振荡间断点。
【知识补充】也有分为无穷间断点和非无穷间断点。
在非无穷间断点中，分为可去间断点和跳跃间断点。
可去间断点
函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。
如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处。
跳跃间断点
函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。
如函数y=|x|/x 在点x=0处。
无穷间断点
函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。
如函数y=tanx在点x=π/2处。
振荡间断点
函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。
如函数y=sin(1/x)在x=0处。
§1.5.4间断点及其分类
y
M
y f ( x)
பைடு நூலகம்
使得 f (c) 。
m
o
a
c
b
x
y 定理 7 的几何意义是：连续曲线弧y f ( x) 与直线
至少有一个交点。
[a, b] 上为常数，结论成立。 证明：若m M ，则f ( x) 在
设m M ，由定理 5，存在 x, x[a, b] ，使得
3
2
例 8．设 f C[a, b] ，证明：若a x1 x2 xk b
1 k （ k 为某一正整数） ，则存在c[a, b] ，使 f (c) f ( xi ) 。 k i1
证明：∵ f C[a, b] ， [ x1, xk ] [ a, b] ，∴ f (x) C [ x1 , x k ] ，
y
y f ( x)
o
a
c
b
x
定理 6 的几何意义是： 若连续曲线弧 y f ( x) 的两个端点 位于 x 轴 的不同侧，则这段曲线弧与 x 轴 至少有一个交点。
定理 7（介值定理） 设 f C[a, b] ，且m min f ( x) ，
x[a,b]
M max f ( x) ，则对任意[m, M ] ，都存在c [a, b] ，
x 1, 1 x 0, 例如： f ( x) 0, x 0 x 1, 0 x 1,
y
1
-1
o
-1
1
在[1, 1] 上无最大值和最小值。
x
定理 6（零点定理） 设 f C[a, b] ，且f (a) f (b) 0 ， 则至少存在一点c(a, b) ，使得 f (c) 0 。
(精编资料推荐)函数间断点分类及类型
（精编资料推荐）函数间断点分类及类型
函数间断点（intermittent point）是指一个函数图像在某一点发生变化类型的点，
它可能出现在函数的任何一点，但却是某一特定的类型的变化点。
下面介绍函数间断点的
分类及类型。
1. 极大值和极小值断点
极大值断点指函数在该点的前后交替变换。
当函数的导数从正变为负，出现极大值断点，这种断点叫作极大值断点或山谷点；当函数的导数从负变为正，出现极小值断点，这
种断点叫作极小值断点或山峰点。
例如，函数f(x)=x^2-4x+4在（2，4）处有极小值断点。
2. 拐点
拐点指函数在此点处发生变换类型，也叫变换点或汽车变弯断点，它的关键特征是函
数的定义域发生变化，指函数级数的阶发生变化或者函数图像的弯曲发生变化。
例如，函
数f(x)=x^3-3x^2+x在（1，1）处有拐点。
3. 虚点
虚点是函数不可导的断点，也称它们为独立点，主要表现为函数导数定义域发生变化，但函数值的连续性不发生变化的点。
例如，函数f(x)=|x|在（0，0）处有虚点。
总之，函数间断点可以分为极大值和极小值断点、拐点、虚点和无穷值点。
它们差异
来自于函数临界点处函数定义域、导数在此点处取值情况以及函数等值线形状变化等特性。
函数的间断点的分类及应用
函数的间断点的分类及应用
1、一阶间断点：它是在函数定义域上存在一个取值范围，取到该值时函数值出现间断，但仍有连续性，这个范围中函数不可导，这种类型的间断点称为一阶间断点。
应用：
1).一阶间断点在求解动力学的问题来用来求解关节的转动方向及型变。
2).在实用工程上一阶间断点用来模拟聚脂环的行为。
2、二阶间断点：函数定义域上存在一个取值范围，取到该范围的值时，函数值函数曲线出现、折屈，此时函数连续，但且其一阶导数有间断，这种类型的间断点称为二阶间断点。
应用：
1).从另一角度上看，二阶间断点主要应用在圆弧凸性加工中。
当圆弧处于二阶间断点时，比如出现折线，可以用来处理材料重叠现象；
2).二阶间断点也广泛应用于软件系统上，比如用在数显表中可以提高数据的读取速度；
3)除此之外，二阶间断点还被广泛应用在测温仪系统中，特别是现代汽车上，二阶间断点技术可以更精确的测量内部汽车温度。
高数上第一章154间断点及其分类
利用连续函数的性质求解间断点问题
02
如在闭区间上连续的函数必定有界、介值定理等，可以通过这
些性质来求解间断点问题。
通过补充定义使函数连续
03
对于可去间断点，可以通过补充或修改函数在该点的定义，使
函数在该点连续，从而简化问题的求解过程。
05 间断点在实际问题中应用
物理学中间断点现象解释
01
经典物理中的间断点
复合函数间断点处理技巧
分解复合函数
将复合函数分解为若干个基本初等函 数，分别分析这些基本初等函数的间 断点。
注意定义域变化
在处理复合函数间断点时，要特别注 意各基本初等函数定义域的变化对复 合函数间断点的影响。
判断复合函数间断点
根据基本初等函数的间断点，结合复合函 数的运算性质（如加减、乘除、复合等） ，判断复合函数的间断点及其类型。
根据函数在间断点处的不同表现 ，间断点可分为第一类间断点和 第二类间断点。
第一类间断点（可去、跳跃）
可去间断点
函数在该点处无定义或左右极限不相 等，但极限存在。通过补充或修改函 数在该点的定义，可以使函数在该点 连续。
跳跃间断点
函数在该点处的左右极限都存在但不 相等，且函数在该点处无定义。
第二类间断点（无穷、震荡）
指数函数和对数函数间断点问题探讨
指数函数间断点
指数函数在其定义域内是连续的，因 此没有间断点。但在某些特定情况下 （如底数或指数趋于无穷大时），可 能会出现间断现象。
对数函数间断点
对数函数在其定义域内也是连续的，但 当对数函数的真数趋于零或负无穷大时 ，可能会出现间断现象。此时需要结合 对数函数的定义域和值域进行分析。
高数上第一章154间断点及其分类
函数间断点的分类及判断方法
函数间断点的分类及判断方法
函数间断点的分类及判断方法是，首先分类：可去间断点，跳跃间断点。
判断方法：先找出无定义的点，就是间断点。
在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo称为函数的不连续点。
用左右极限判断是第一类间断点还是第二类间断点，第一类间断点包括第一类可去间断点和第一类不可去间断点，如果该点左右极限都存在，则是第一类间断点，其中如果左右极限相等，则是第一类可去间断点，如果左右极限不相等，则是第一类不可去间断点，即第一类跳跃间断点。
如果左右极限中有一个不存在，则第二类间断点。
间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。
如果极限存在就是可去间断点，不存在就是跳跃间断点。
第十九讲 间断点及其分类
这样的点 x0 称为函数 f (x) 的不连续点，通常称为间断点。
间断点的分类：设 x0 为函数 f (x) 的间断点，
（I）若 f (x0 +) 及 f (x0 −) 均存在，我们称 x0 为函数 f (x) 的第一类间断点。进一 步地，
第一类间断点
（7） 对于黎曼（Riemann）函数
=y
R= ( x)
1 q
,
0,
x = p 为既约真分数，p, q为正整数
q
，
x = 0,1及[0,1]中的无理数
(0,1) 中的任意有理数点均为其可去间断点，其它点均为连续点。
证明：我们只需证明对任意 x0 ∈[0,1]，均有 limx→x0 R(x) = 0 即可。不妨假设 x0 ∈(0,1) ，在两个端点处仅须考虑相应的左右极限。对任意给定的ε > 0 ， 注意到 (0,1) 中只有有限个有理数，它的既约真分数表达式中，分母不超
x∈ x∈
\
仅在 x0 = a 处连续。任意点 x0 ≠ a
均为该函数的第二类间断点。
同理函数=y
f= ( x)
(x −(
− a1)(x x − a1)(
−
a2
)
(
x
x − a2 )(
− ak ), x − ak ),
x∈
x∈ \
，仅在点 x0 = ai
（1 ≤ i ≤ k ）处连续，其它点均为该函数的第二类间断点。
过
1 ε
，我们把这些有理数记为
a1
,
a2
,,
ak
。对于这
k
个有理数我们有
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§1.5.3函数的间断点及类型
刘毅 财经管理系
【课题】函数的间断点及类型（新授课） 【课时】1课时
【教材分析】本节内容选自经济科学出版社《经济数学基础》第一章第五节，p17。
本内容是之前函数连续性的自然延伸部分。
因本书的很多重要内容都是以连续函数作为论述前提的。
因此函数的间断点这部分内容往往得不到有效的重视。
其实，我们通过函数间断点的讨论和其类型的分辨，反过来这会我们对连续函数的性质的理解更加深刻也更加丰满，这就犹如通过正、反两个方向观察事物那样。
【学情分析】所教班级为13会计6班，虽然班级已经参加并顺利通过成考。
但实际上班级中大部分学生的数学能力还是很薄弱的。
还未养成良好的学习习惯，知识遗忘速度很快，学习比较被动。
这就决定了在授课时需要将内容的难度降低，合理安排、积极利用图像，缩减知识点。
【教学目标】知识目标：了解间断点的主要类型和分类 能力目标：能通过图形判断间断点的类型，
能对简单函数间断点的类型进行判断（复杂函数不涉及）
情感目标：通过对非连续函数间断点的研究讨论，使学生对连续性有了更全面
的认识和理解，体现了对立统一的数学思想
【教学重难点】
重点：函数间断点的类型 难点：间断点的类型判断
【教学思路】
①复习函数连续性相关知识（三个必备条件）
②给出几种常见的非连续函数的图像，分析他们不连续的原因。
给出分类及名称
③通过对上一节内容中已讨论过的非连续函数的再次分析，即加深了连续性的理解，也为学生演示了通过计算推理分辨间断点类型的方法。
这样也给学生的学习降低了难度。
④通过简单的图像展示，简单函数的间断点判断的练习。
让学生进一步明确间断点的分类，也进一步明确了连续性的三个必要条件。
【教学过程】 一、复习和引入
①函数连续性的特点:“紧紧跟随” ②两个数学式的含义 ③函数连续性的等价公式 二、新课讲解和探究 1、函数间断点的定义
00,()(),()().
f x x x f x 如果上述三个条件中只要有一个不满足则称函数在点处不连续或间断并称点为的不连续点或间断点①在某点没定义
②极限不存在
③极限与函数值不相等 2、间断点图像举例
3、间断点的类型：
第一间断点特点：左右极限都存在
第二间断点特点：左右极限至少一个不存在 三、例题讲解
例1、
解：略
例2、 例3、
练习：判断下列函数图像中间断点的类型
三、内容小结：
,0,
()01,0,x x f x x x x -≤⎧==⎨+>⎩判断函数 间断点
的类型
01,()x=111,1,1,x f x x x x ⎧≤<⎪==⎨⎪+>⎩
讨论函数在出的连续性，不连续的话判断类型1
,0,
()0.,0,
x f x x x x x ⎧>⎪==⎨
⎪≤⎩讨论函数在
处的连续性
四、课后作业复印资料
【教学反思】。