3-1独立性检验

解析
中国人 外国人 总计
有数字 80
20 100
无数字 40 总计 120
60 100 80 200
由表中数据，得χ2＝20012×0×808×0×601－002×0×104002≈ 33.333
∵χ2>3.841，∴有 95%的把握认为“国籍和邮箱名称里是否含 有数字有关”．
课堂小结
总结 解独立性检验问题的基本步骤
3.1 独立性检验
两种变量：
定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。
变量 分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、
宗教信仰、国籍等等。
在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系：
例如，吸烟是否与患肺癌有关系？ 性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。
研究两个变量的相关关系：
定量变量——回归分析（画散点图、相关系数r、
是否有关？ 解 根据题目所给的数据作出如下的列联表：
色盲 不色盲 合计
男 38 442
480
女 6 514
520
合计 44 956
1 000
根据列联表中所给的数据可得
n11＝38，n12＝442，n21＝6，n22＝514， n11＋n12＝480，n21＋n22＝520， n11＋n21＝44，n12＋n22＝956，n＝1 000，
“A 与 B 有关系”的可信程度越大，即 χ2 越小，“A 与 B
有关系”的可信程度越小．
答案：B
2.若由一个 2×2 列联表中的数据计算得χ2＝4.013，那么有__________的把 握认为两个变量之间有关系.
【解析】 查阅χ2表知有95%的把握认为两个变量之间有关系.
3.若两个分类变量 x 和 y 的列联表为： y y1 y2
x x1 5 15 x2 40 10
则认为 x 与 y 之间有关系的把握约为________.
【解析】 χ2＝5＋5＋151＋54400＋＋110055×＋1400－1450＋×11052≈18.822. ∵18.822>6.635， ∴x 与 y 之间有关系的把握约为 0.99.
4 有同学在用电子邮件时发现了一个有趣的现象，中国人的 邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字 的比较少．为了研究国籍与邮箱名称是否含有数字有关，于是 我们共收集了 200 个邮箱名称，其中中国人的 120 个，外国人 的 80 个，中国人的邮箱中有 80 个含数字，外国人的邮箱中有 20 个含数字．那么认为“国籍和邮箱名称里是否含有数字有 关”的把握性为________．(用百分数表示)
男性 女性 合计
晕机
24 8 32
不晕机
31 26 57
合计
55 34 89
解：这是一个2×2列联表的独立性检验问题，由公式
2 89(24 26 8 31)2 3.689
55 34 32 57
因为3.689<3.841，我们没有理由说晕机与否跟男女 性别有关。尽管这次航班中男性晕机的比例比女性晕 机的比例高，但我们不能认为在恶劣气候飞行中男性 比女性更任意晕机。
nn11n22－n12n212 它的表达式是 χ2=___n__1＋_n_2_＋_n_＋_1_n_＋_2_____.
用它的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设H0.如果算 出的χ2值较大，就拒绝H0，也就是拒绝“事件A与B无 关”，从而就认为它们是有关的了．
3．独立性检验的概念 利用随机变量χ2来确定在多大程度上可以认为“两个分类 变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验． 经过对χ2统计量分布的研究，已经得到了两个临界值： 3.841与6.635.为了处理问题比较方便，可记住以下几种情 况： (1)如果χ2>6.635，就有99%的把握认为A与B_有__关__； (2)如果χ2>3.841，就有95%的把握认为A与B_有__关__； (3)如果χ2≤3.841，就认为事件A与B是_无__关__的．
n nn
n nn
该很接近．
表中：n＋1＝n11＋n21，n＋2＝n12＋n22，n1＋＝n11＋n12， n2＋＝n21＋n22，n＝n11＋n21＋n12＋n22. 事件 A 与 B 独立，这时应该有 P(AB)＝P(A)P(B)成立．我
们用字母 H0 来表示上式，即 H0：P(AB)＝P(A)P(B)，称之 为统计假设．我们引入统计中一个非常有用的 χ2 统计量，
代入公式 χ2＝nnn111＋nn222＋－n＋n11n2n＋2212， 得 χ2＝1 00408×0×385×205×144－4×6×9546422≈27.139， 由于 χ2＝27.139>6.635， 所以我们有 99%的把握认为性别与患色盲有关系．
例2．在一次恶劣气候的飞行航程中调查男女乘客在机上晕机的 情况如下表所示，根据此资料你是否认为在恶劣气候飞行中男 性比女性更任意晕机？
变量
相关指数R2、残差分析）
分类变量—— 独立性检验
本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。
1．相互独立的含义 (1)定义：一般地，对于两个事件 A，B，如果有 P(AB)＝ _P_(_A_)_P_(_B_)_，就称事件 A 与 B 相互独立，简称 A 与 B 独立． (2)性质：当事件 A 与 B 独立时，事件－A 与 B，A 与－B ，－A 与－B 也独立． (3)定义的推广：如果有 P(A1A2…An)＝_P_(_A_1_)P__(A__2)_…__P_(_A_n_)， 则称事件 A1，A2，A3，…，An 相互独立．
1．对于事件 A 与 B 及统计量 χ2，下列说法正确的是
()
A．χ2 越大，“A 与 B 有关系”的可信程度越小
B．χ2 越小，“A 与 B 有关系”的可信程度越小
C．χ2 越接近于 0，“A 与 B 没有关系”的可信程度越小
D．χ2 越大，“A 与 B 没有关系”的可信程度越大
解析：χ2 越大，“A 与 B 没有关系”的可信程度越小，则
2
n
n11n22 n12n21
2
n1n 2n1n2
P(χ2≥x0) 事件A 0.05 有95%的把握认 0.01
x0 与B无关 3.841 为A与B有关 6.635
99%的把握认为
A与B有关
例 1 在调查的 480 名男士中有 38 名患有色盲，520 名女士中
有 6 名患有色盲，利用独立性检验的方法来判断色盲与性别
2.列联表源自文库
判断两个事件 A、B 是否有关，我们可以把 A 发生、A 不发生
( A )、B 发生、B 不发生( B )的数据列成以下表格
B
B
合计
A
n 11
n12
n 1＋
A
n21
n22
n 2＋
合计
n ＋1
n ＋2
n
这个表格称为 2×2 列联表．
如果 A，B 无关，那么n11与n1＋·n＋1应该很接近，n22与n2＋·n＋2应
没有找到矛盾，不 能对 A 下任何结 论，即反证法不成
立
通过χ2 与 6.635,3.841 的大小关系得出“两 个分类变量有关系”这一结论成立的可信
程度有多大
4．独立性检验的步骤 要推断“A与B是否有关”可按下面的步骤进行： (1)提出统计假设H0：A与B无关； (2)根据2×2列联表与χ2计算公式计算出χ2的值； (3)根据两个临界值，作出判断． 这一检验问题就称为2×2列联表的独立性检验．
独立性检验的基本思想与反证法的思想的相似之处
反证法
独立性检验
要证明结论 A
要确认“两个分类变量有关系”
在 A 不成立的前提 下进行推理
假设该结论不成立，即假设结论“两个分 类变量没有关系”成立，在该假设下计算
χ2
推出矛盾意味着结 由数据计算得到的χ2 的值很大，则在一定
论 A 成立
可信程度上说明假设不合理