3-1独立性检验
3.1独立性检验
在日常生活中，我们常常关心两个分类变量之间是否 有关系：
在统计学中，独立性检验就是检验两个分类变量是否 有关系的一种统计方法。
为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机 地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）： 吸烟与患肺癌列联表（列出两个分类变量的频数表）：
总计 a+b c+d a+b+c+d
假设H0：吸烟和患病之间没有关系 用A表示不吸烟，B表示不患病
应有 ad bc.
|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱； |ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强.
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于
上述分析，我们构造一个随机变量
7817 2148 9874 91
怎样判断K2的观测值k是大还是小呢？
值
这仅需要确定一个正数 k0 ，当 k k大。此时相应于 k 0 的判断规则为：
k0
时就认为K2的观测
k 如就果认为k“两k个0 ，分就类认变为量“之两间个没分有类关变系量”之。-间---有临关界系值”；否则 0
在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率： P(K 2 6.635) 0.01
即有99%的把握认为“秃顶患心脏病有关”。
独立性检验的基本思想（类似反证法）
(1)假设结论不成立,即 H0 :“两个分类变量没有关系”.
(2)在此假设下我们所构造的随机变量 K2 应该很小,如果由 观测数据计算得到K2的观测值k很大,则在一定可信程度上 说明 H0 不成立.即在一定可信没有发现
反对H0 的充分证据。
统计学中的独立性检验
统计学中的独立性检验统计学中的独立性检验（Test of Independence）是一种常用的统计方法，用于研究两个或多个分类变量之间是否存在相互独立的关系。
通过对随机抽样数据进行分析，可以判断不同变量之间是否有关联，并衡量关联的强度。
本文将介绍独立性检验的基本原理、常用的检验方法以及实际应用。
一、独立性检验的基本原理独立性检验的基本原理是基于统计学中的卡方检验（Chi-Square Test）。
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较观察值频数与期望频数之间的差异。
在独立性检验中，我们首先建立一个原假设，即所研究的两个或多个变量之间不存在关联，然后通过计算卡方统计量来判断观察值与期望值之间的差异是否显著。
二、常用的独立性检验方法1. 皮尔逊卡方检验（Pearson's Chi-Square Test）：这是最常见的独立性检验方法，适用于有两个以上分类变量的情况。
它基于观察频数和期望频数之间的差异，计算出一个卡方统计量，并根据卡方分布表给出显著性水平。
2. Fisher精确检验（Fisher's Exact Test）：当样本量较小或者某些期望频数很小的情况下，皮尔逊卡方检验可能存在一定的偏差。
在这种情况下，可以使用Fisher精确检验来代替皮尔逊卡方检验，得到更准确的结果。
3. McNemar检验：适用于配对数据比较的独立性检验，例如一个样本在两个时间点上的观察结果。
三、独立性检验的实际应用独立性检验在各个领域都有广泛的应用，以下是几个常见的实际应用场景：1. 医学研究：独立性检验可以用于研究某种药物治疗方法是否具有显著的疗效，或者判断不同年龄组和性别之间是否存在患病率的差异。
2. 教育领域：独立性检验可用于研究学生成绩与家庭背景、教育水平之间是否存在关联。
3. 市场调研：在市场调研中，可以通过独立性检验来分析不同年龄、性别、收入水平等因素对消费者购买习惯的影响。
4. 社会科学研究：独立性检验可以帮助社会科学研究人员探索个体特征与社会行为之间的关系，例如政治倾向与不同年龄群体之间的关联性等。
高中数学选修2-3 3.1独立性检验
§3.1 独立性检验 4月 日学习目标（1）通过对课本典型案例1的探究，了解独立性检验（只要求22⨯列联表）的基本思想、方法及初步应用；（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法，明确独立性检验的基本步骤．（3）通过合作探究，会对两个分类变量进行独立性检验，并能利用独立性检验的基本思想来解决实际问题。
自学指导：1、要解决“患慢性气管炎与吸烟习惯有无关系”这个问题，就是要解决一个怎样的概率问题？2、要解决这个概率问题，我们可以首先提出假设0H 是什么？需要知道那些事件的概率？哪个量可以最好的判断出0H 是否成立？3、χ2的计算公式是什么？χ2的两个临界值是什么？如何利用它们对两个分类变量进行独立性检验？ 自学检测： 1．右面是一个2×2列联表： 则表中a 、b 处的值分别为( ) A ．94、96 B ．52、50 C ．52、60 D ．54、52 2．下列说法正确的个数是( )①对事件A 与B 的检验无关时，即两个事件互不影响②事件A 与B 关系越密切，则2k 就越大③2k 的大小是判定事件A 与B 是否相关的唯一根据④若判定两个事件A 与B 有关，则A 发生B 一定发生A ．1B ．2C ．3D ．43．下列关于随机变量2k 的说法正确的是( )A ．2k 在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关B ．2k 的值越大，说明“两个变量有关系”成立的可能性越大C ．当2k 的值很小时可以推定两个分类变量不相关D ．2k 的观测值2k 的计算公式为2k =2121221122211)(++++-n n n n n n n n n 4．若由一个2×2列联表中的数据计算得有95%的把握认为两个变量有关系．那么2k 的取值范围为________．5.为了考察高中生学习语文与数学之间的关系，在某中学学生中随机地抽取了610由表中数据计算知2k的观测值2k≈4.326.有________的把握认为高中生的语文与数学成绩之间有关系．合作探究同时抛掷两颗均匀的骰子，请回答以下问题：（1）求两颗骰子都出现2的概率；（2）若同时抛掷两颗骰子180次，其中甲骰子出现20次2点，乙骰子出现30次2点，问两颗骰子出现2点是否相关？课堂小结：课堂检测：1、为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500(1)(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．。
3.1独立性检验
独立性检验
教学目标：
1、通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用
2、通过对数据的收集、整理和分析，增强学生的社会实践能力，培养学生分析问题、解决问题的能力。
教学重点：独立性检验的基本思想与方法 教学难点：独立性检验的初步应用 一、课前自主学习：
1、事件A 与B 独立，则P(AB)= ，=)(B A P =)(B A P ,=)(B A P
2、用2×2列联表进行独立性检验，2χ＝ 。
当2χ> 时，有 把握说事件A 与B 有关，当2
χ> 时，有 把握说事件A 与B 有关，当≤2χ 时，认为事件A 与B 是无关的。
有95﹪的把握说事件A 与B 有关，是指推断犯错误的可能性为
3、使用2
χ统计量作2×2列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据都要 思考：
1、 用卡方检验的步骤是什么？
2、独立性检验的基本思想是什么？
3、用2χ进行独立性检验作出的推断一定正确吗？
二、典例分析：
例1、为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的
试问：50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟有关吗？
例2、对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下
试根据上述数据比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别。
例3、某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革
对于人力资源部的研究项目，根据上述数据能得出什么结论？
三．巩固练习：P81 A
四、小结：（写出本节的所学所思）。
高二独立性检验知识点总结
高二独立性检验知识点总结独立性检验是统计学中的一种重要方法，用于确定两个或多个变量之间是否存在关联性。
在高二阶段的学习中，独立性检验是一个必不可少的统计学概念。
本文将对高二独立性检验的知识点进行总结，旨在帮助同学们更好地理解和应用该概念。
1. 独立性检验的概念独立性检验用于判断两个分类变量之间是否存在显著关联。
其中，第一个分类变量称为自变量或行变量，第二个分类变量称为因变量或列变量。
独立性检验的目标是确定两个分类变量之间的关联性程度。
2. 卡方检验卡方检验是一种常用的独立性检验方法。
它基于卡方统计量，通过比较实际观察频数与期望频数之间的差异，判断两个分类变量是否独立。
卡方检验可以应用于两个或多个分类变量的关联性检验。
3. 单样本卡方检验单样本卡方检验用于检验一个分类变量在整体上是否符合期望分布。
通过计算观察频数与期望频数之间的差异，判断观察结果是否与期望分布存在显著差异。
单样本卡方检验是独立性检验的基础，可以帮助我们理解和掌握更复杂的卡方检验方法。
4. 独立性卡方检验独立性卡方检验用于判断两个分类变量之间是否存在关联。
它的原假设为两个分类变量独立，备择假设为两个分类变量不独立。
通过计算卡方统计量和查阅卡方分布表，我们可以得出检验结果，确定两个分类变量之间的关联性。
5. 列联表和期望频数独立性检验的前提是我们需要有观察数据和期望数据。
观察数据是指我们实际获得的数据，期望数据是指两个分类变量独立时的理论分布情况。
为了进行独立性检验，我们通常会将观察数据整理成列联表形式，并计算期望频数，以便进行后续分析。
6. 自由度和显著性水平在独立性检验中，自由度是一个重要的概念。
自由度取决于列联表的行数和列数。
自由度的选择会影响卡方统计量的分布。
显著性水平是我们设定的接受或拒绝原假设的临界点。
通常情况下，我们使用0.05的显著性水平作为判断标准。
7. 应用案例独立性检验广泛应用于各个领域，如医学、社会科学、市场调研等。
独立性检验基本思想及应用
独立性检验基本思想及应用独立性检验是一种用于确定两个变量之间是否存在关联的统计方法。
其基本思想是通过比较观察到的数据与预期的数据之间的差异来推断这两个变量之间的关系。
独立性检验的应用非常广泛。
在社会科学中，独立性检验常被用于研究两个分类变量之间是否存在关联，例如性别和职业、教育水平和政治倾向等。
在医学研究中，独立性检验也可以用来检查某种治疗方法是否与疾病的发展有关，以及风险因素和某种疾病之间的关系。
此外，独立性检验还被广泛应用于市场调查、品牌定位以及质量控制等领域。
独立性检验的基本思想是建立一个零假设（H0）和一个备择假设（H1）。
零假设认为两个变量是独立的，即它们之间没有关联；备择假设则认为两个变量之间存在关联。
独立性检验的步骤可以分为以下几步：1. 收集数据：需要收集两个分类变量的数据，例如通过问卷调查或观察获得数据。
2. 建立列联表：将数据整理成列联表形式，列联表是一种用于描述两个或多个分类变量之间关系的矩阵。
表格的行表示一个变量的不同类别，列表示另一个变量的不同类别，表格中的每个单元格表示两个类别的交叉数量。
3. 计算期望频数：在独立性检验中，我们假设两个变量是独立的，因此可以基于各类别的边际总数以及样本总数来计算期望频数。
期望频数是在两个变量独立情况下，各个类别的交叉数量。
4. 计算卡方统计量：卡方统计量用于衡量观察到的数据与期望数据之间的差异程度。
计算公式为：χ2 = Σ（（观察频数- 期望频数）^2 / 期望频数）。
其中，Σ表示对所有单元格进行求和。
5. 设定显著性水平：显著性水平α为决策的临界点，用于决定是否拒绝零假设。
通常，α的常见选择为0.05或0.01。
6. 判断和解释结果：根据计算出的卡方统计量与临界值进行比较，如果计算出的卡方值大于临界值，拒绝零假设，认为两个变量之间存在关联；反之，接受零假设，认为两个变量是独立的。
独立性检验的结果常常以卡方统计量和p值的形式呈现。
p值是在零假设成立的条件下，观察到的数据与期望数据之间差异的概率。
3.1 独立性检验(2)
＝27.63，根据这一数据分析，我们有 99的把握认为打鼾与患心脏病
有关．
%
解析:χ2＝27.63>6.635，有99%的把握认为打鼾与患心脏病有关．
（1）如果P(χ2＞10.828)＝0.001表示有99.9%的把握认为“X与Y”有关系; （2）如果P(χ2＞7.879)＝0.005表示有99.5%的把握认为“X与Y”有关系; （3）如果P(χ2＞6.635)＝0.01表示有99%的把握认为“X与Y”有关系; （4）如果P(χ2＞5.024)＝0.025表示有97.5%的把握认为“X与Y”有关系; （5）如果P(χ2＞3.841)＝0.05表示有95%的把握认为“X与Y”有关系; （6）如果P(χ2＞2.706)＝0.10表示有90%的把握认为“X与Y”有关系; （7）如果P(χ2≤2.706)，就认为没有充分的证据显示“X与Y”有关系.
练习巩固
1.右边是一个2×2列联表： x1 x2
总计
y1 y2 a 21
2 25
b 46
总计 73 27
则表中a、b的值分别为( )C
A．94、96
B．52、如果有95%的把握说事件A和B有关系，那么具体计算出的数据A( )
A．χ2>3.841
B．χ2<3.841
数学应用
例1.在500人身上试验某种血清预防感冒作用，把他们一年中的感冒记 录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示。
问：该种血清能否起到预防感冒的作用？
未感冒 感冒 合计
使用血清
258
242 500
未使用血清
216
284 500
合计
474
526 1000
解:根据数据可求得，
3.1独立性检验(1)
4)若P( 2>5.024)= 0.025表示有97.5%的把握认为”Ⅰ与Ⅱ”有关系;
2 >3.841)= 0.05表示有95%的把握认为”Ⅰ与Ⅱ”有关系; 5)若P( 2 >2.706)= 0.10表示有90%的把握认为”Ⅰ与Ⅱ”有关系; 6)若P( 2 7)若P( ≤2.706),就认为没有充分的证据显示”Ⅰ与Ⅱ”有关系,
H 但也不能做出结论“ 0 成立”，即”Ⅰ与Ⅱ”没有关
分层训练:
P91：２，３
第三章:统计案例
某医疗机构为了了解呼吸道疾病与吸烟 是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了 515个成年人，其中吸烟者220人，不吸烟者 295人，调查结果是：吸烟的220 人中37人患 呼吸道疾病， 183人不患呼吸道疾病；不吸 烟的295人中21人患呼吸道疾病， 274人不患 呼吸道疾病。
根据这些数据能否断定：患呼吸道疾 病与吸烟有关？
医生对患者提出忠告：“你这气管炎是长期吸烟 的结果，为了减缓症状，请快戒烟吧！”
呼吸道疾病真的与吸烟有关吗？ 研究人员开发了一种新疫苗，怎样检验该疫苗 的有效性呢？
公安人员在勘测案发现场时，总是非常仔细地搜 查罪犯的脚印，理由之一是可以根据脚的大小来预测 罪犯的身高。这里，推理的依据是什么？
无论是一个家庭，还是一个企业，“量入为出”是 管理与经营的基本原则。支出与收入具有怎样的关系？
化简得
χ
2
n ad bc a c b d a b c d 其中n a b c d
2
1
根据表3-1-1中的数据，利用公式（1）计算 吸烟与呼吸道疾病列联表 患病 不患病 总计 吸烟 37 183 220
不吸烟 总计
2
数学选修2-3人教A：教案学案3.1 独立性检验(1)
§3.1 独立性检验（1）教学目标（1）通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求22⨯列联表）的基本思想、方法及初步应用；（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法．教学重点、难点：独立性检验的基本方法是重点．基本思想的领会及方法应用是难点． 教学过程 一．问题情境5月31日是世界无烟日。
有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手。
这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？我们看一下问题：1． 某医疗机构为了了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了515个成年人，其中吸烟者220人，不吸烟者295人．调查结果是：吸烟的220人中有37人患呼吸道疾病（简称患病），183人未患呼吸道疾病（简称未患病）；不吸烟的295人中有21人患病，274人未患病．问题：根据这些数据能否断定“患呼吸道疾病与吸烟有关”？ 二．学生活动为了研究这个问题，（1）引导学生将上述数据用下表来表示：（2）估计吸烟者与不吸烟者患病的可能性差异：在吸烟的人中，有3716.82%220≈的人患病，在不吸烟的人中，有217.12%295≈的人患病．问题：由上述结论能否得出患病与吸烟有关？把握有多大？ 三．建构数学 1．独立性检验：（1）假设0H ：患病与吸烟没有关系．（近似的判断方法：设n a b c d =+++，如果0H 成立，则在吸烟的人中患病的比例与 不吸烟的人中患病的比例应差不多，由此可得a ca b c d≈++，即()()0a c d c ab a d bc +≈+⇒-≈，因此，||ad bc -越小，患病与吸烟之间的关系越弱，否则，关系越强．）设n a b c d =+++，在假设0H 成立的条件下，可以通过求 “吸烟且患病”、“吸烟但未患病”、“不吸烟但患病”、“不吸烟且未患病”的概率（观测频率），将各种人群的估计人数用,,,,a b c d n 表示出来．例如：“吸烟且患病”的估计人数为()a b a cn P AB n n n ++⨯≈⨯⨯； “吸烟但未患病” 的估计人数为()a b b dn P AB n n n ++⨯≈⨯⨯； “不吸烟但患病”的估计人数为()c d a cn P AB n n n ++⨯≈⨯⨯； “不吸烟且未患病”的估计人数为()c d b dn P AB n n n++⨯≈⨯⨯． 如果实际观测值与假设求得的估计值相差不大，就可以认为所给数据（观测值）不能否定假设0H ．否则，应认为假设0H 不能接受，即可作出与假设0H 相反的结论． （2）卡方统计量：为了消除样本对上式的影响，通常用卡方统计量（χ22()-=∑观测值预期值预期值）来进行估计．卡方χ2统计量公式：χ222a b a c a b b d a n b n n n n n a b a c a b b d n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+++++⨯⨯⨯⨯22c d a c c d b d c n d n n n n n c d a c c d b d n n n n n n++++⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++++++⨯⨯⨯⨯()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++） 由此若0H 成立，即患病与吸烟没有关系，则χ2的值应该很小．把37,183,21,274a b c d ====代入计算得χ211.8634=，统计学中有明确的结论，在0H 成立的情况下，随机事件“26.635χ≥”发生的概率约为0.01，即2( 6.635)0.01P χ≥≈，也就是说，在0H 成立的情况下，对统计量χ2进行多次观测，观测值超过6.635的频率约为0.01．由此，我们有99%的把握认H不成立，即有99%的把握认为“患病与吸烟有关系”．为χ统计量研究吸烟与患呼吸道疾病是否有关等问题的方法称为独立性检象以上这种用2验．说明：（1）估计吸烟者与不吸烟者患病的可能性差异是用频率估计概率，利用χ2进行独立性检a b c d取值越大，效果越好．在实验，可以对推断的正确性的概率作出估计，观测数据,,,a b c d均不小于5，近似的效果才可接受．际应用中，当,,,（2）这里所说的“呼吸道疾病与吸烟有关系”是一种统计关系，这种关系是指“抽烟的人患呼吸道疾病的可能性（风险）更大”，而不是说“抽烟的人一定患呼吸道疾病”．H下统计量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到χ2的观测值很大，则在（3）在假设一定程度上说明假设不合理（即统计量χ2越大，“两个分类变量有关系”的可能性就越大）．2．独立性检验的一般步骤：一般地，对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值：类A和类B（如吸烟与不吸烟），推断“Ⅰ和Ⅱ有关系”的步骤为：H：两个分类变量Ⅰ和Ⅱ没有关系；第一步，提出假设第二步，根据2×2列联表和公式计算χ2统计量；第三步，查对课本中临界值表，作出判断．3．独立性检验与反证法：反证法原理：在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立；独立性检验（假设检验）原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立．四．数学运用1．例题：例1．在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示．问：该种血清能否起到预防感冒的作分析：在使用该种血清的人中，有24248.4%500=的人患过感冒；在没有使用该种血清的人中，有28456.8%500=的人患过感冒，使用过血清的人与没有使用过血清的人的患病率相差较大．从直观上来看，使用过血清的人与没有使用过血清的人的患感冒的可能性存在差异．解：提出假设0H ：感冒与是否使用该种血清没有关系．由列联表中的数据，求得221000(258284242216)7.075474526500500χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯∵当0H 成立时，26.635χ≥的概率约为0.01，∴我们有99%的把握认为：该种血清能起到预防感冒的作用．例2．为研究不同的给药方式（口服或注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如表所示．根据所选择的193个病人的数据，能否作出药的分析：在口服的病人中，有59%98≈的人有效；在注射的病人中，有67%95≈的人有效．从直观上来看，口服与注射的病人的用药效果的有效率有一定的差异，能否认为用药效果与用药方式一定有关呢？下面用独立性检验的方法加以说明．解：提出假设0H ：药的效果与给药方式没有关系．由列联表中的数据，求得22193(58314064) 1.3896 2.072122719895χ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯当0H 成立时，21.3896χ≥的概率大于15%，这个概率比较大，所以根据目前的调查数据，不能否定假设0H ，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论．说明：如果观测值22.706χ≤，那么就认为没有充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”，但也不能作出结论“0H 成立”，即Ⅰ与Ⅱ没有关系． 2．练习：课本第91页 练习第1、2、3题． 五．回顾小结：1．独立性检验的思想方法及一般步骤； 2．独立性检验与反证法的关系． 六．课外作业：课本第93页 习题3.1 第1、2、3题．。
人教B版高二数学选修 独立性检验(1)-3学习任务单
《独立性检验（1）》学习任务单原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！落红不是无情物，化作春泥更护花。
出自龚自珍的《己亥杂诗·其五》杭信一中何逸冬【学习目标】1.通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求22⨯列联表）的基本思想、方法及初步应用；χ来分析两分类变量是否有关系；2.利用统计量2【课上任务】1.什么是分类变量？2.如何根据概率关系表示两个事件独立？3.如何制作两个分类变量的22⨯列联表？4.研究两个分类变量之间是否有关系的直观解决策略有哪些？5.独立性检验的基本思想是什么？（提出假设检验，构造统计量，利用统计量的值判断假设检验是否成立?）6.22⨯列联表独立性检验的一般步骤是什么？7.根据本节课所学的知识能进行简单的应用吗？【课后作业】8.作业11.调查者通过询问72名男女大学生在购买食品时是否看营养说明，得到的数据如下表所示：问大学生的性别与是否看营养说明之间有没有关系？9.作业22.在研究某种新措施対猪白痢的防治效果问题时，得到以下数据：试问新措施对防治猪白痢是否有效？【课后作业参考答案】作业1解： 根据列联表知28=a ，8=b ，16=c ，20=d ，72=n计算统计量416.8))()()(()(22≈++++-=d b c a d c b a bc ad n χ 635.6416.8>，%99的把握说性别与看营养说明有关。
作2解: 根据列联表知114=a ，，132=c ，18=d ，300=n计算统计量317.7))()()(()(22≈++++-=d b c a d c b a bc ad n χ 635.6317.7>，%99的把握说新措施对防治猪白痢有效。
【素材积累】1、走近一看，我立刻被这美丽的荷花引住了，一片片绿油油的荷叶层层叠叠地挤摘水面上，是我不由得想起杨万里接莲叶无穷碧这一句诗。
荷叶上滚动着几颗水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望对您有帮助，谢谢 晶的。
独立性检验教学设计
独立性检验教学设计一、引言在统计学中，独立性检验是一种常用的统计方法，用来检验两个变量之间是否存在独立关系。
独立性检验的结果可以帮助我们判断两个变量是否相关，进而帮助我们做出科学的统计推断和决策。
本文将介绍一种针对独立性检验的教学设计，帮助学生理解独立性检验的原理和应用。
二、教学目标1. 了解独立性检验的定义和背景知识；2. 掌握独立性检验的基本步骤；3. 学会选择合适的独立性检验方法；4. 掌握独立性检验结果的解读；5. 培养学生的数据处理和统计推断能力。
三、教学内容及教学步骤1. 导入环节：通过简单生动的例子引入独立性检验的概念和意义。
例如：假设有两个班级，一班是男生班，二班是女生班。
我们想知道他们在参加体育活动时的喜好是否独立，即男生和女生对不同体育项目的喜好是否有关联。
2. 知识讲解：a) 独立性检验的定义和背景知识；b) 独立性检验的基本步骤，包括设定假设、选择适当的独立性检验方法、计算统计量、确定显著性水平、判断是否拒绝原假设；c) 常用的独立性检验方法，例如卡方检验、Fisher精确检验等；d) 独立性检验结果的解读，包括计算出的p值和决策准则。
3. 教学实例：通过真实的数据案例，具体演示如何进行独立性检验。
例如：使用两个班级的实际数据，计算男生和女生对不同体育项目的喜好是否独立。
4. 小组讨论：将学生分成小组，提供几个不同的数据案例，让学生在小组内进行独立性检验的实践。
教师可以提供指导，并回答学生在实践中遇到的问题。
5. 总结与归纳：教师对独立性检验的原理和应用进行总结与归纳，帮助学生理解和巩固所学知识。
四、教学评估1. 课堂练习：在课堂上布置短期练习题，检验学生对独立性检验的理解程度。
2. 作业设计：布置相关的作业题目，要求学生应用独立性检验方法解决实际问题。
3. 期末考核：在期末考试中设置与独立性检验相关的题目，评估学生对该知识的掌握程度。
五、教学时长及教学资源本节课预计为两个学时，使用的教学资源包括教师讲义、学生练习题、案例数据等。
选修2-3 第三章 3.1独立性检验
解析
由K2计算公式可知K2不可能为负值，A错误；由独立性检验的基本思想可知B正确； ∵独立性检验显示“患慢性支气管炎和吸烟习惯有关”，是指有一定的把握认为它 们相关，即也有一定的出错率，故C错误；2×2列联表中的4个数据是统计得到的 两个分类变量的频数，4个数据间有一定的关系，不能为任意实数，D错误．
20 10 30
不同意限 定区域停
车 5 15 20
合计
25 25 50
C．99.5%
D．99.9%
解析
3.1 独立性检验
刷易错
易错点1 不理解独立性检验的基本思想
12．为调查乘客晕机情况，在某一次恶劣气候飞行航程中，55名男乘客中有24名晕机，
34名女乘客中有8名晕机．在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，常采用的数据分析方
5.[湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019高二联考]假设有两个分类变量X和Y，其
2×2列联表如下：对于同一样本，以下数据能说明X和Y有关系的可能性最大的一组是( A )
A．a＝45，c＝15 C．a＝35，c＝25
解析
B．a＝40，c＝20 D．a＝30，c＝30
3.1 独立性检验
刷基础
解析 在等高条形图中仅能粗略地判断两个分类变量的关系，故A错，C对．在等高条形图中 仅能够找出频率，无法找出频数，故B错．
3.1 独立性检验
刷基础
题型1 等高条形图的理解
2.如图是调查某地区男女中学生是否喜欢理科的等高条形图，从图中可以看出该地区的中学生( C ) A．性别与是否喜欢理科无关 B．女生中喜欢理科的比例为80% C．男生比女生喜欢理科的可能性大 D．男生中喜欢理科的比例为80%
男 女 总计
a
3.1独立性检验
n
n
同理可得：吸烟但未患病人数：n P( AB) n a b b d
n
n
不吸烟但患病人数： n P( AB) n c d a c
n
n
不吸烟且未患病人数：nຫໍສະໝຸດ P( AB) n c d b d
n
n
实际观测值
如果实际观测值与预 期估计值差异不“大”， 那么我们就可以认为 这些差异是由随机误 差造成的，即假设 H 0 不能被所给数据否定。 否则，应认为假设 H0 不能接受
将以上数据代入公式得：
2 11.8634，
吸烟
这个值是大还是小呢？ 不吸烟
总计
患病 37 21 58
不患病 183 274 457
总计 220 295 515
统计学家估算出如下的概率: P( 2 6.635 ) 0.01
即在H0成立的情况下,2的值大于6.635的概率非常小,近似于0.01，即1%.
问题一：我们想要研究“吸烟与患呼吸道疾病的关系”时，需要研究 哪些量呢？
吸烟且患病的人数、不吸烟但患病的人数
为了研究这个问题，我们将是否吸烟与患病的数据用2×2列联表表示：
列联表：分类变量的汇总统计表（频数表）
一般地，假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的取值分别为
{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数表称为列联表 ，又称为 2×2 列联表，其形式为
(b n a b b d )2 (c n c d a c )2 (d n c d b d )2
n n
n n
nn
n a b bd
n cd a c
n cd bd
nn
nn
nn
化简得： 2 =
n(adb)c2
3.1独立性检验
合计
54
1579
1633
解：由公式
163330 1355 224 24 68.033.. 1379 254 54 1579
2 2
因为
2
6.635
所以有99％的把握说，每一晚都打鼾与患心脏病有关。
√
解析 独立性检验的结论是一个统计量，统计的结果只是说明
事件发生的可能性的大小，具体到一个个体，则不一定发生.
1 2 3 4 5
解析
答案
4. 某大学在研究性别与职称 ( 分正教授、副教授 ) 之间是否有关
系
，
你
认
为 女正教授人数、男正教授人数、女副 应 该 收 集 哪 些 数 据 ？
_________________________________________ 教授人数、男副教授人数 _____________.
解析
答案
跟踪训练2 已知列联表：药物效果与动物试验列联表
患病 服用药 未服药 总计 10 20 30 未患病 45 30 75 总计 55 50 105
6.109 则χ2≈________.( 结果保留3位小数)
2 105 × 10 × 30 － 20 × 45 解析 χ2＝ ≈6.109. 30×75×55×50
1%把握认为 A与B无关
99.9%把握认 为A与B有关
99%把握认 6.635 为A与B有关 90%把握认 10%把握认为 2 2.706 为A与B有关 A与B无关 没有充分的依据显示A与B有关， 2 2.706 但也不能显示A与B无关
3.1假设检验 独立性检验
500 500 1000
感冒与是否使用该血清没有关系. 解:设H0:感冒与是否使用该血清没有关系.
1000(258× 284 242× 216) 2 χ = ≈ 7.075 474×526×500×500 因当H 成立时, 的概率约为0.01,故有 因当 0成立时,χ2≥6.635的概率约为 的概率约为 ,故有99%的把握认 的把握认 为该血清能起到预防感冒的作用. 为该血清能起到预防感冒的作用.
0.54% 2.28%
通过图形直观判断
9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 不吸烟 吸烟 患肺癌 不患肺癌
二维条 形图
通过图形直观判断 患肺癌 比例
患肺癌 不患肺癌
100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 不吸烟 吸烟
χ 2的值; 根据2 (2)根据2× 2列表与公式计算 的值;
(3)查对临界值,作出判断. 查对临界值,作出判断. 由于抽样的随机性, 由于抽样的随机性,由样本得到的推断 2 有可能正确,也有可能错误. 有可能正确,也有可能错误.利用 χ 进 行独立性检验, 行独立性检验,可以对推断的正确性的概 率作出估计,样本量n越大,估计越准确. 率作出估计,样本量n越大,估计越准确.
表示不吸烟 用A表示不吸烟, 表示不吸烟, 用B表示不患肺癌, 表示不患肺癌, 表示不患肺癌
则"吸烟与患肺癌没有关系"等价于"吸烟与患肺癌独立", 吸烟与患肺癌没有关系"等价于"吸烟与患肺癌独立"
即假设H 即假设 0等价于 P(AB)=P(A)P(B).
不吸烟 吸烟 总计
不患肺癌 a c a+c
独立性检验的方法
独立性检验的方法
独立性检验是用来判断两个变量之间是否存在关联或者依赖关系的统计方法。
常见的独立性检验方法有以下几种：
1. 卡方检验（Chi-square test）：用于检验两个分类变量之间的独立性。
它将观察到的频数与期望频数进行比较，判断是否存在显著的差异。
2. Fisher精确检验（Fisher's exact test）：在小样本数据中使用的一种精确方法，用于检验两个分类变量之间的独立性。
该方法不依赖于样本的分布假设，适用于小样本和稀有事件的情况。
3. 独立样本t检验（Independent samples t-test）：用于检验两个组的均值是否存在显著差异。
这种方法适用于两个互不相关的样本。
4. 方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）：用于检验多个组之间均值的差异是否显著。
ANOVA分为单因素和多因素两种，前者适用于一个自变量，后者适用于多个自变量的情况。
5. 斯皮尔曼相关系数（Spearman's rank correlation coefficient）：用于衡量两个变量之间的非线性关系。
斯皮尔曼相关系数是一种非参数的方法，适用于顺序变量或非正态分布的变量。
以上是常见的几种独立性检验方法，不同的方法适用于不同的情况和变量类型。
在进行独立性检验时，需要根据实际情况选择合适的方法进行分析。
《独立性检验》教学设计说明
《独立性检验》教学设计说明教学设计说明：独立性检验一、教学目标通过本课的学习，学生应能够：1.理解独立性检验的概念和原理；2.掌握卡方检验的计算方法；3.判断两个变量之间是否存在独立性。
二、教学内容1.独立性检验的概念和原理；2.卡方检验的计算方法；3.实例分析。
三、教学方法本课程采用讲授法、实例分析法和讨论互动法相结合的授课方式。
四、教学步骤1.导入（10分钟）通过提问的方式，引导学生回忆前几节课所学内容，如假设检验的概念、原理等。
2.讲解独立性检验的概念和原理（15分钟）教师通过讲解Poisson分布、二项分布等相关概念，引出独立性检验的原理。
并介绍独立性检验的步骤。
3.讲解卡方检验的计算方法（30分钟）（1）讲解卡方检验的原理，引导学生理解交叉表的构成和计算方法；（2）通过具体案例演示卡方检验的计算过程；（3）讲解卡方检验的自由度的计算方法。
4.实例分析（30分钟）教师通过给出实际问题，引导学生进行独立性检验的计算和分析。
学生按照步骤完成计算，并分组讨论结果。
教师指导学生如何正确分析结果。
5.总结与讨论（15分钟）学生集体讨论本课的学习内容，共同总结独立性检验的原理和应用前提。
教师引导学生思考独立性检验的局限性和注意事项，并解答学生的问题。
六、教学资源1.教师课件；2.实例数据表格。
七、教学评价1.文字描述：要求学生通过书面形式，对本课所学内容进行总结；2.口头回答问题：教师将针对本课的重点和难点内容，提问学生，并评价其回答的准确性和深度；3.出题测试：教师设计相关的应用题，要求学生运用所学知识进行计算和分析。
八、教学反思1.教学设计中对学生进行了互动引导，但实际上学生的参与度不高。
下次课应采用更多的小组合作学习，鼓励学生通过分组合作解决问题。
2.知识点讲解有时可能过于枯燥，下次可以适量增加一些趣味性的例子，提高学生的兴趣。
3.讲解过程中应使用更多的图表、示意图等可视化工具，帮助学生更好地理解和记忆相关概念。
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是否有关？ 解 根据题目所给的数据作出如下的列联表：
色盲 不色盲 合计
男 38 442
480
女 6 514
520
合计 44 956
1 000
根据列联表中所给的数据可得
n1514， n11＋n12＝480，n21＋n22＝520， n11＋n21＝44，n12＋n22＝956，n＝1 000，
代入公式 χ2＝nnn111＋nn222＋－n＋n11n2n＋2212， 得 χ2＝1 00408×0×385×205×144－4×6×9546422≈27.139， 由于 χ2＝27.139>6.635， 所以我们有 99%的把握认为性别与患色盲有关系．
例2．在一次恶劣气候的飞行航程中调查男女乘客在机上晕机的 情况如下表所示，根据此资料你是否认为在恶劣气候飞行中男 性比女性更任意晕机？
2.列联表
判断两个事件 A、B 是否有关，我们可以把 A 发生、A 不发生
( A )、B 发生、B 不发生( B )的数据列成以下表格
B
B
合计
A
n 11
n12
n 1＋
A
n21
n22
n 2＋
合计
n ＋1
n ＋2
n
这个表格称为 2×2 列联表．
如果 A，B 无关，那么n11与n1＋·n＋1应该很接近，n22与n2＋·n＋2应
2
n
n11n22 n12n21
2
n1n 2n1n2
P(χ2≥x0) 事件A 0.05 有95%的把握认 0.01
x0 与B无关 3.841 为A与B有关 6.635
99%的把握认为
A与B有关
例 1 在调查的 480 名男士中有 38 名患有色盲，520 名女士中
有 6 名患有色盲，利用独立性检验的方法来判断色盲与性别
x x1 5 15 x2 40 10
则认为 x 与 y 之间有关系的把握约为________.
【解析】 χ2＝5＋5＋151＋54400＋＋110055×＋1400－1450＋×11052≈18.822. ∵18.822>6.635， ∴x 与 y 之间有关系的把握约为 0.99.
4 有同学在用电子邮件时发现了一个有趣的现象，中国人的 邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字 的比较少．为了研究国籍与邮箱名称是否含有数字有关，于是 我们共收集了 200 个邮箱名称，其中中国人的 120 个，外国人 的 80 个，中国人的邮箱中有 80 个含数字，外国人的邮箱中有 20 个含数字．那么认为“国籍和邮箱名称里是否含有数字有 关”的把握性为________．(用百分数表示)
变量
相关指数R2、残差分析）
分类变量—— 独立性检验
本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。
1．相互独立的含义 (1)定义：一般地，对于两个事件 A，B，如果有 P(AB)＝ _P_(_A_)_P_(_B_)_，就称事件 A 与 B 相互独立，简称 A 与 B 独立． (2)性质：当事件 A 与 B 独立时，事件－A 与 B，A 与－B ，－A 与－B 也独立． (3)定义的推广：如果有 P(A1A2…An)＝_P_(_A_1_)P__(A__2)_…__P_(_A_n_)， 则称事件 A1，A2，A3，…，An 相互独立．
n nn
n nn
该很接近．
表中：n＋1＝n11＋n21，n＋2＝n12＋n22，n1＋＝n11＋n12， n2＋＝n21＋n22，n＝n11＋n21＋n12＋n22. 事件 A 与 B 独立，这时应该有 P(AB)＝P(A)P(B)成立．我
们用字母 H0 来表示上式，即 H0：P(AB)＝P(A)P(B)，称之 为统计假设．我们引入统计中一个非常有用的 χ2 统计量，
独立性检验的基本思想与反证法的思想的相似之处
反证法
独立性检验
要证明结论 A
要确认“两个分类变量有关系”
在 A 不成立的前提 下进行推理
假设该结论不成立，即假设结论“两个分 类变量没有关系”成立，在该假设下计算
χ2
推出矛盾意味着结 由数据计算得到的χ2 的值很大，则在一定
论 A 成立
可信程度上说明假设不合理
解析
中国人 外国人 总计
有数字 80
20 100
无数字 40 总计 120
60 100 80 200
由表中数据，得χ2＝20012×0×808×0×601－002×0×104002≈ 33.333
∵χ2>3.841，∴有 95%的把握认为“国籍和邮箱名称里是否含 有数字有关”．
课堂小结
总结 解独立性检验问题的基本步骤
“A 与 B 有关系”的可信程度越大，即 χ2 越小，“A 与 B
有关系”的可信程度越小．
答案：B
2.若由一个 2×2 列联表中的数据计算得χ2＝4.013，那么有__________的把 握认为两个变量之间有关系.
【解析】 查阅χ2表知有95%的把握认为两个变量之间有关系.
3.若两个分类变量 x 和 y 的列联表为： y y1 y2
3.1 独立性检验
两种变量：
定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。
变量 分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、
宗教信仰、国籍等等。
在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系：
例如，吸烟是否与患肺癌有关系？ 性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。
研究两个变量的相关关系：
定量变量——回归分析（画散点图、相关系数r、
1．对于事件 A 与 B 及统计量 χ2，下列说法正确的是
()
A．χ2 越大，“A 与 B 有关系”的可信程度越小
B．χ2 越小，“A 与 B 有关系”的可信程度越小
C．χ2 越接近于 0，“A 与 B 没有关系”的可信程度越小
D．χ2 越大，“A 与 B 没有关系”的可信程度越大
解析：χ2 越大，“A 与 B 没有关系”的可信程度越小，则
nn11n22－n12n212 它的表达式是 χ2=___n__1＋_n_2_＋_n_＋_1_n_＋_2_____.
用它的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设H0.如果算 出的χ2值较大，就拒绝H0，也就是拒绝“事件A与B无 关”，从而就认为它们是有关的了．
3．独立性检验的概念 利用随机变量χ2来确定在多大程度上可以认为“两个分类 变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验． 经过对χ2统计量分布的研究，已经得到了两个临界值： 3.841与6.635.为了处理问题比较方便，可记住以下几种情 况： (1)如果χ2>6.635，就有99%的把握认为A与B_有__关__； (2)如果χ2>3.841，就有95%的把握认为A与B_有__关__； (3)如果χ2≤3.841，就认为事件A与B是_无__关__的．
男性 女性 合计
晕机
24 8 32
不晕机
31 26 57
合计
55 34 89
解：这是一个2×2列联表的独立性检验问题，由公式
2 89(24 26 8 31)2 3.689
55 34 32 57
因为3.689<3.841，我们没有理由说晕机与否跟男女 性别有关。尽管这次航班中男性晕机的比例比女性晕 机的比例高，但我们不能认为在恶劣气候飞行中男性 比女性更任意晕机。
没有找到矛盾，不 能对 A 下任何结 论，即反证法不成
立
通过χ2 与 6.635,3.841 的大小关系得出“两 个分类变量有关系”这一结论成立的可信
程度有多大
4．独立性检验的步骤 要推断“A与B是否有关”可按下面的步骤进行： (1)提出统计假设H0：A与B无关； (2)根据2×2列联表与χ2计算公式计算出χ2的值； (3)根据两个临界值，作出判断． 这一检验问题就称为2×2列联表的独立性检验．