行星轨道

化为一阶方程组
d r C1 dt
2
d C1 2 dt r
d 2 r C12 MG 3 2 2 dt r r
2 d r d 2 MG 代入 r( ) 2 2 dt dt r
还是二阶方程组， 再设 代入上式得
dr q dt
dq MG 2 dt r r
Newton第二定律
mMG i d2Z 2 e m 2 r dt
2 2 mMG i d r d d dr d i 2 2 e me ( 2 r ( ) ) i(r 2 2 ) dt dt dt r dt dt
比较虚实部导出
2 d dr d r dt 2 2 dt dt 0 d 2r d 2 MG r( ) 2 2 dt dt r
* 其中 xk 1 xk h f ( xk , tk )
练习
写出上面方程组的改进Euler迭代格式
hC1 1 1 k 1 k ( 2 * 2) 2 rk (rk 1 )
rk 1 rk hqk 代入上式即可
实验任务
1.水星距太阳最远处距离为0.6982×1011m, 此时水星绕太阳运行的线速度为3.886×104 m/s,
开普勒(1571－1630) 在第谷· 布拉赫(1546-1601)的基础上 行星运行三大规律 1. 行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆; 2. 从太阳指向某一行星的线段在单位时间内 扫过的面积相同; 3.行星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴的 立方之比值是不随行星而改变的常数.
牛顿发现万有引力定律 “自然哲学的数学原理” (1687) 天王星－乐师(Herschel)发现的行星 (1781) 海王星－笔尖上的行星 (Adams 1845, Leverrier 1846) 冥王星－离太阳最远、未知数最多的行星 太阳系内存在其他大行星？
Z (t ) re i
速度为
dZ dr i d i d i dr e ire e ( ir ) dt dt dt dt dt
2 2 2 d Z d r d d dr d i 2 加速度 e ( 2 r ( ) ) i(r 2 2 ) 2 dt dt dt dt dt dt
2 C1 3
Euler迭代格式
C1h k 1 k 2 rk
Hale Waihona Puke Baidu
rk 1 rk hqk
C12 MG qk 1 qk h( 3 2 ) rk rk
0 0 r0 r0 q0 0
计算到第n步 n 2π
n1 2π
周期
T nh
利用Mathematica
初始条件
t 0 r t 0 r0 d v0 dt t 0 r 0 dr t 0 0 dt

0
导出行星运 行第二定律
d 2 d 2 d (r )0 r C1 dt dt dt

t
t t
1 2 d C1t r dt 2 dt 2
不仅可以算出数
值,利用Plot的有关命 令而且可以画出图形. 在确定为椭圆 后，可取t = T/4 处 r 的值为近日点，也可 以求 r的最小值作为近日点 需要取比较小的步长h
改进Euler法
Euler法简单，但误差较大，与步长同阶(正 比). 改进Euler法使得误差与步长的平方同阶 以一阶方程为例
实际问题
地球距太阳最远处(远日点)距离为 1.521×1011 m,此时地球绕太阳运动(公转)的速 度为2.929×104 m/s,试求: 1) 地球距太阳的最近距离 2) 地球绕太阳运转的周期 3) 在从远日点开始的第100天结 束时,地球的位置与速度
数学模型
在运动学中常采用复坐标系 设太阳中心所在位置为复平面之原点,在时刻t, 行星位于以下复数代表的点
谢谢各位！ 再见！
画出水星绕太阳运行的轨道曲线,试求:
1) 水星绕太阳运行的周期 2) 水星到太阳的最近距离 3) 求从远日点开始的第50天(地球天) 结束时水星的位置
2. 冥王星在1989年10月处于近日点距 太阳44.4 ×1011m,此时其线速度为0.6122 ×104 m/s, 试求: 1) 它在什么时间到达远日点，此时它的 线速度为多少 ? 2) 远日点到太阳的距离； 3) 其椭圆轨道的偏心率并作图
数学实验
行星的轨道 和位置
上海交大数学系 乐经良
他以几乎神一般的思 维力,最先说明了行星的 运动和图象,慧星的轨道
和大海的潮汐.
─ Newton墓志铭
背景介绍
哥白尼(波兰，1473-1543) 日心说 地球－我们的家园 水星－距太阳最近的行星 金星－看起来最亮的行星 土星－最美丽的行星 木星－行星中的巨无霸 火星－离地球最近、人们最关注的 行星、离太阳最近的行星
xk 1 xk
tk h tk
dx f ( x, t ) dt
f ( x( ), )d
曲边梯形面积
xk 1 xk h f ( xk , tk )
矩形面积
改进Euler迭代格式
1 * xk 1 xk h[ f ( xk , tk ) f ( xk 1 , t k 1 )] 2