整式的乘法知识点及练习

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专题05整式的乘法(3个知识点6种题型3种中考考法)(原卷版)

专题05整式的乘法（3个知识点6种题型3种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：单项式与单项式相乘知识点2：单项式与多项式相乘知识点3：多项式与多项式相乘【方法二】实例探索法题型1：单项式与单项式相乘题型2：单项式与单项式相乘的综合应用题型3：单项式与多项式相乘题型4：单项式与多项式相乘的综合应用题型5：多项式与多项式相乘题型6：多项式与多项式相乘的综合应用【方法三】仿真实战法考法1：单项式与单项式相乘考法2：单项式与多项式相乘考法3：多项式与多项式相乘【方法四】成果评定法【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：()()()22224245234312xy x y x y x y x y⋅-=⋅-=-．要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.知识点2：单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.知识点3：多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.【方法二】实例探索法题型1：单项式与单项式相乘1．（2022秋•嘉定区期中）计算：﹣3ab •4b 2＝．2．（2022秋•杨浦区期中）计算：（﹣xy）2•x5＝．3．（2022秋•奉贤区期中）计算：ab2•（﹣4a2 b4）＝．题型2：单项式与单项式相乘的综合应用4．（2022秋•嘉定区期中）计算：（﹣2x3）•（﹣2x）3+（x3）2﹣x2•x4．5．（2022秋•黄浦区期中）计算：（﹣3a2b）3﹣（﹣2a3b）2•（﹣3b）．题型3：单项式与多项式相乘6．（2022秋•杨浦区期中）计算：6ab（2a﹣0.5b）﹣ab（﹣a+b）．7．（2022秋•嘉定区期中）计算：2x•（x2﹣x+3）．8．（2022秋•闵行区校级期中）计算：（﹣2xy）•（x2+xy﹣y2）．9．（2022秋•长宁区校级期中）若A＝3x﹣2，B＝1﹣2x，C＝﹣6x，则C•B+A•C＝．10．（2022秋•奉贤区期中）计算：（x2﹣3xy+y2）（﹣2x）2．题型5：多项式与多项式相乘11．（2022秋•黄浦区期中）计算：（3x﹣2）（x+2）＝．12．（2022秋•杨浦区期中）计算：（x+2y）（y﹣2）+（2y﹣4x）（y+1）．13．（2022秋•长宁区校级期中）2（x+2）（2x+3）﹣3（1﹣x）（x+6）．14．（2022秋•长宁区校级期中）计算：x（2x﹣3）+（3﹣x）（1﹣5x）．15．（2022秋•宝山区校级月考）计算：．16．（2022秋•闵行区期中）若多项式x﹣1与多项式x2+ax﹣b相乘，乘积不含一次项以及二次项，那么a，b的值分别是（）A．1，1B．1，﹣1C．﹣1，﹣1D．﹣1，117．（2022秋•浦东新区期中）已知（mx+n）（x2﹣3x+4）展开式中不含x2项，且x3的系数为2，则n m的值为．18．（2022秋•长宁区校级期中）如果（x﹣2）（x+m）＝x2+x+n，那么m＝，n＝．19．（2022秋•虹口区校级期中）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的矩形，则需要A类卡片张，B类卡片张，C类卡片张，请你在右下角的大矩形中画出一种拼法．（标上卡片名称）20．（2022秋•虹口区校级期中）已知多项式x2+ax+1与2x+b的乘积中含x2项的系数为4，含x项的系数为2，求a+b的值．21．（2022秋•浦东新区期中）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．求（a﹣b）（﹣2a ﹣b）的值．22．（2022秋•长宁区校级期中）若关于x 的多项式2x +a 与x 2﹣bx ﹣2的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求a 、b 的值．【方法三】仿真实战法考法1：单项式与单项式相乘1．（2020•上海）计算：2a •（3ab ）＝．考法2：单项式与多项式相乘2．（2023•吉林）计算：a （b +3）＝．考法3：多项式与多项式相乘3．（2019•南京）计算（x +y ）（x 2﹣xy +y 2）【方法四】成功评定法一、单选题1．（2021秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）下列计算正确的是（） A ．3x 2y +5yx 2＝8x 2y B ．2x •3x ＝6xC ．（3x 3）3＝9x 9D ．（﹣x ）3•（﹣3x ）＝﹣3x 42．（2021秋·上海黄浦·七年级统考期末）若x 2+px +q ＝（x ﹣3）（x +5），则p 的值为（） A ．﹣15B ．﹣2C ．2D ．83．（2022秋·上海普陀·七年级统考期末）如果2（5﹣a ）（6+a ）＝100，那么a 2+a +1的值为（） A ．19B ．﹣19C ．69D ．﹣694．（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）下列运算正确的是（） A ．325426x x x ⋅=B ．236326x x x ⋅=C ．()()25293212x x x -⋅-=-D ．()312319()x x x x -⋅--=-5．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）如果A 、B 都是关于x 的单项式，且A B ⋅是一个八次单项式，A B +是一个六次多项式，那么A B -的次数（） A ．一定是八次 B ．一定是六次 C ．一定是四次D ．无法确定6．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）如果()()253x m x x x k +-=-+，那么k 、m 的值分别是（）．A ．10k =，2m =B ．10k =，2m =-C ．10k =-，2m =D ．10k =-，2m =-二、填空题)213x y ⎛⎫- ⎝⎪⎭3⎫=⎪⎭．的结果是 )()32m n -三、解答题22241x y y y x y（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；根据以上规律，解答下列问题：（1）（a +b ）5展开式的系数和是；（a +b ）n 展开式的系数和是．（2）当a ＝2时，（a +b ）5展开式的系数和是；（a +b ）n 展开式的系数和是．24．（2022秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）7张如图1的长为a ，宽为b ()0b >的小长方形纸片，按如图2、3的方式不重叠地放在长方形ABCD 内；未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．(1)如图2，点E 、Q 、P 在同一直线上，点F 、Q 、G 在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分的面积的差为____________（用含,a b 的代数式表示），长方形ABCD 的面积为____________（用含,a b 的代数式表示）(2)如图3，点F 、H 、Q 、G 在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S ，CP x =. ①用含,,a b x 的代数式表示AE ；②当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，要使S 始终保持不变，那么,a b 必须满足什么条件?25．（2022秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）已知关于x 的一次二项式ax b +与231x x -+的积不含二次项，一次项的系数是4．求：(1)系数a 与b 的值；(2)二项式ax b +与231x x -+的积．26．（2022秋·上海闵行·七年级校考周测）阅读材料，回答下列问题．阅读材料，回答下列问题．多项式相乘的计算法则为用多项式中的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把结果加起来，例如()()()()a b c d a c d b c d ++=+++（乘法分配律）ac ad bc bd =+++()()()()()2x y x y x y x x y y x y +=++=+++22x xy yx y =+++（合并同类项） 222x xy y =++则ac ad bc bd +++叫做()()a b c d ++的展开式，222x xy y ++叫做()2x y +的展开式． (1)计算()21x +的展开式；(2)请指出()2x y +是几次几项式，并计算()3x y +的展开式（按照x 进行降幂排列），指出这个展开式是几次几项式，并推测()nx y +是几次几项式（用n 表示，其中n 为正整数）；(3)推测()nx y +的展开式中各项系数之和，并证明你的结论（用n 表示，其中n 为正整数）．27．（2022秋·上海·七年级专题练习）请阅读以下材料：[材料]若1234912346x =⨯，1234812347y =⨯，试比较x ，y 的大小．解：设12348a =，那么()()2122x a a a a =+-=--，()21y a a a a =-=-．因为()()22220x y a a a a -=----=-<，所以x y <．我们把这种方法叫做换元法．请仿照例题比较下列两数大小：997657997655x =⨯，997653997659y =⨯．28．（2021秋·上海·七年级统考期末）如图，已知正方形ABCD 与正方形CEFG ，点G 在边CD 上，已知正方形ABCD 的边长为a ，正方形CEFG 的边长为b ，且a b >．用a 、b 表示下列图形的面积．(1)DFG 的面积．(2)BEF △的面积．(3)BDF 的面积．。

整式的乘法知识点总结

八年级14.1整式的乘法知识点总结【知识点一】整式的混合运算例题一、计算：()()()2443][-a a a a -+-••例题二、计算：3222132213⎪⎭⎫ ⎝⎛-•⎪⎭⎫ ⎝⎛-+xy y y x例题三、计算：()()()()y x y x y x y x 4333223+--++【知识点二】利用幂的运算法则解决问题例题一、已知510=a ，610=b ，求b a 3210+的值。

例题二、解方程：486331222=-++x x例题三、已知0352=-+y x ，求y x 324•的值。

【知识点三】整式除法的运用例题一、已知()p n y mx y x y x 72323212--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷，求n,m,p 的值。

例题二、已知一个多项式与单项式457-y x 的积为()2234775272821y x y y x y x +-，求这个多项式【知识点四】整式化简求值例题一、先化简，再求值：()()()x x x x x x x x -+-----321589622，其中61-=x例题二、先化简，再求值：()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--++--+-y x x y x x y x y x 2563222，其中2,1=-=y x .【知识点五】开放探求题例题一、若多项式()()4322+-++xxnmxx展开后不含有3x项和2x项，试求m,n的值。

例题二、甲乙二人共同计算一道整式乘法：()()bxax++32，由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为101162-+xx；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为10922+-xx。

（1）你能知道式子中b a,的值各是多少吗？（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果。

例题三、若x是整数，求证121223+-+--x x xxx是整数。

【知识点六】整式乘除法在实际问题中的应用例题一、某中学扩建教学楼，测量地基时，量得地基长为2a m，宽为（2a-24）m，试用a表示地基的面积，并计算当a=25时地基的面积例题二、大庆市环保局欲将一个长为2×103dm，宽为4×102dm，高为8×10dm的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，（1）请你考虑一下，这些废水能否刚好装满一个正方体贮水池________.（请填“能”或“不能”）（2）若能，则该正方体贮水池的棱长_________dm；（3）若不能，你能说出理由吗？（不要求作答）π3R，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米？（π取3）。

整式的乘法的习题及答案

整式的乘法的习题及答案整式的乘法是数学中的一个重要概念，它在代数学习中起着至关重要的作用。

在这篇文章中，我们将探讨一些整式乘法的习题及其答案，帮助读者更好地理解和掌握这个概念。

一、单项式的乘法单项式是指只包含一个字母和一个常数的代数式，例如3x、4y²等。

单项式的乘法是指将两个单项式相乘的操作。

1. 习题：计算下列单项式的乘法：a) 5x × 2yb) -3a² × 4b³c) 7m²n × (-2mn³)2. 答案：a) 5x × 2y = 10xyb) -3a² × 4b³ = -12a²b³c) 7m²n × (-2mn³) = -14m³n⁴通过以上习题，我们可以看到单项式的乘法实际上就是将两个单项式的系数相乘，字母部分则按照字母指数相加的规则进行运算。

二、多项式的乘法多项式是指由多个单项式相加或相减而成的代数式，例如3x² + 4xy - 2y²。

多项式的乘法是指将两个多项式相乘的操作。

1. 习题：计算下列多项式的乘法：a) (3x + 2y)(4x - 5y)b) (2a - 3b)(a + b)c) (5m + 7n)(m - n)2. 答案：a) (3x + 2y)(4x - 5y) = 12x² - 15xy + 8xy - 10y² = 12x² - 7xy - 10y²b) (2a - 3b)(a + b) = 2a² + 2ab - 3ab - 3b² = 2a² - ab - 3b²c) (5m + 7n)(m - n) = 5m² - 5mn + 7mn - 7n² = 5m² + 2mn - 7n²通过以上习题，我们可以看到多项式的乘法实际上就是将两个多项式中的每一项进行乘法运算，然后将结果相加。

整式的乘除知识点及题型复习

举例说明：如单项式x^2除以多项式 2x-1，结果为 (x^2)/(2x1)=x+1
除法运算顺序：按照从左到右的顺序进行除法运算，注意先处理括号内的内容
除法法则：类似于多项式乘法，将除法转化为乘法，然后利用乘法法则进行计算
除法结果的化简：将除法结果化简到最简形式，注意约
分和合并同类项
除法运算的注意事项：注意处理符号和运算优先级的问
添加标题
解析：根据速度、时间和距离的关系，速度=距离/时间，所以时间=距离/速度。将已知数值代入公式，得到时间=100千米 /80千米/小时=1.25小时。
添加标题
题目：一架飞机以每小时800千米的速度从甲地飞往乙地，飞行了3小时后，发现方向有误，于是立即改变航向，并以每小时 1000千米的速度飞行了4小时，求飞机到达乙地所需的总时间。
项式。
整式除法的结果仍为一个多项式，其各项系数和次数与被除式相同。
整式除法的一般形式为：被除式=除式×商
式+余式。
在整式除法中，需要注意除数不能为0，且各项系数和次数必须符合数学
规则。
定义：将一个单项式除以另一个单项式的商称为单项式除以单项式。
运算法则：与单项式乘法类似，按照系数、字母因子的指数分别相除，对于只在被除式中出现的字母因子，连同其指数一起作为商的一个字母因子。
定义：两个多项式相乘，将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再将所得积相加。举例：$(x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2$
公式：$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$
注意事项：注意乘法分配律的应用，以及合并同类项时的符号问题。

整式乘法(学生版)知识点+经典例题+题型归纳

1 / 2整式的乘法基础知识22222()(,,)()()()():()()()2m n m n m n mn n n n a a a a a m n a b ab a b m a b ma mb m n a b ma mb na nb a b a b a b a b a ab b +⎧⎫⋅⎪⎪=⎨⎬⎪⎪=⋅⎩⎭⨯⎧⎪⨯+=+⨯++=+++⎨⎧+-=-⎪−−−→⎨±=±+⎪⎩特殊的=幂的运算法则为正整数，可为一个单项式或一个式项式单项式单项式单项式多项式:多项式多项式：整式的乘法平方差公式乘法公式完全平方公式：⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩互逆 22222()():2()a b a b a b a ab b a b ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎧-=+-⎨⎨⎪⎨⎪⎪±+=±⎪⎩⎩⎪⎪⎩因式分解的意义提公因式法因式分解因式分解的方法平方差公式:运用公式法完全平方公式因式分解的步骤一、幂的运算经典例题【例1】（正确处理运算中的“符号”）【例2】下列各式计算正确的是（） A 、()66322b a b a =- B 、()5252b a b a -=-C 、124341b a ab =⎪⎭⎫ ⎝⎛-D 、462239131b a b a =⎪⎭⎫⎝⎛-【例3】()()1333--⋅+-m m的值是（）A 、1B 、－1C 、0D 、()13+-m【例4】（1）m m 8812÷+；（2）252m÷(51)1-2m二、整式的乘法【例1】（1）()()25434x y xy -= 。

（2）()2004200324-⨯= 。

【例2】()()22323225x yx y z xy z -⨯+= 。

【例3】a 2 (a ＋b)(a －2) 。

【例4】()72=+b a ，()42=b a —，求22b a +和ab 的值．【例5】计算()()11a b a b +-++的值【例6】已知：15a a +=，则221a a+= 。

整式的乘法(复习)——单单、单多(多单)

整式的乘法（复习）——单×单、单×多（多×单）【知识点复习】【基础练习】1、计算——单×单：（1）)83(4322yz x xy （2）)312()(-733323c b a b a（3）322)-(125.02.3n m mn • （4）)53(32)21(322yz y x xyz -⋅⋅-（5）)2.1()25.2()31(522y x axy ax x ⋅-⋅⋅ （6）3322)2()5.0(52xy x xy y x ⋅---⋅（7）32222211(2)(2)()342x y xy x y xy x y z ⋅-+-⋅-⋅（8）)47(123)5(232y x y x xy -⋅-⋅-（9）23223)4()()6()3(5a ab ab ab b b a -⋅--⋅-+-⋅(10)()()()10102106.0102.132422⨯⨯-+⨯⨯⨯-（1）同底数幂相乘： =n m a a ； =+n m a （2）幂的乘方： =n m a )(； =mn a （3）积的乘方：幂的运算性质整式乘法（1）单×单：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别，其余的字母连同它的指数作为积的因式.（2）单×多（多×单）：=++)(z y x a（3）2、计算——单×多：（1）111()()(2)326a ab a b a b -++--- （2） 22(3)(21)x x x --+-=（3）2211(6)(6)23ab a b ab ab --⋅- （4) 2342)2-()31-1(6ab ab x +（5）3212[2()]43ab a a b b --+ (6)222(1)3(1)a bab ab ab -++-=（7）321(248)()2x x x ---⋅-=（8）223121(3)()232x y y xy +-⋅-(9)223263()(2)2(1)x x y x x y --⋅-+-=(10)32325431()(2)4(75)2a ab ab a b ab -⋅--⋅--(11)解方程：2(25)(2)6x x x x x --+=-(1)、化简求值：322b 71(-3.5a)b)53(-10a ab)21()(-b -)2-(4•++•a ab ，其中.2-,1==b a（2)、若12x =，1y =，求2222()()3()x x xy y y x xy y xy y x ++-+++-的值.（3）、先化简，再求值22(69)(815)2(3)x x x x x x x x -----+-，其中16x =-。

整式的乘法与因式分解所有知识点总结

整式的乘法与因式分解所有知识点总结一、整式的乘法1.乘法法则：(1)两个整系数多项式相乘，按照分配律逐项相乘再相加即可。

(2)对于整式的乘幂，将底数相乘，指数相加。

(3)进行乘法时，可以将同类项合并。

2.乘法的性质：(1)乘法交换律：a*b=b*a(2)乘法结合律：(a*b)*c=a*(b*c)(3)乘法的分配律：a*(b+c)=a*b+a*c3.乘法公式：(1) 平方公式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(2)平方差公式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2(3) 三项平方和公式：a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + ac + bc)4.乘法的运用：(1)计算多项式的立方和高次幂。

(2)将多项式与常数相乘。

(3)将多项式乘以一个多项式。

二、因式分解1.因式分解的定义：因式分解是指将一个多项式表示为几个乘积的形式，其中每个乘积称为因式。

2.因式分解的方法：(1)公因式提取法：将多项式的所有项提取出一个最高公因式，然后将剩余部分因式分解。

(2)公式法：利用数学公式，如平方公式、立方公式等进行因式分解。

(3)分组分解法：将多项式分成若干组，每组提取公因式后进行因式分解。

3.公式法的常见因式分解：(1)平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)(2) 完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2(3) 差平方公式：a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2(4) 立方和公式：a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)(5) 三项平方和公式：a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + ac + bc)4.分组分解法的常见因式分解：(1)将多项式分成两组，每组提取公因式后进行因式分解。

(2)将多项式分成三组，每组提取公因式后进行因式分解。

整式的乘法和因式分解知识点汇总

整式的乘法和因式分解知识点汇总1.一元整式的乘法：一元整式是只含有一个变量的整式，例如3x^2+2x+1、一元整式的乘法就是将两个一元整式相乘，可以使用分配律和合并同类项的方法。

例如：(3x+2)(2x-5)=3x*2x+3x*(-5)+2*2x+2*(-5)=6x^2-15x+4x-10=6x^2-11x-102.多项式的乘法：多项式是含有多个项的整式，例如(3x+2)(2x-5)。

多项式的乘法可以通过将每个项相乘，并使用分配律和合并同类项的方法进行简化。

例如：(3x+2)(2x-5)=3x*2x+3x*(-5)+2*2x+2*(-5)=6x^2-15x+4x-10=6x^2-11x-103.完全平方公式：完全平方公式是一种特殊的乘法形式，将一个一元二次多项式乘积进行简化。

完全平方公式为(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2例如：(x+3)(x+3)=x^2+2*x*3+3^2=x^2+6x+9因式分解知识点汇总：1.因式分解的基本思想：因式分解是将一个多项式表示为若干个乘积的形式，其中每个乘积称为一个因式。

通过因式分解，可以简化计算和解决问题。

2.因式分解的基本方法：2.1提取公因式：将多项式中的公因式提取出来，得到一个公因式和一个因式为公因式的多项式。

例如：2x^2+4x=2x(x+2)2.2公式法：使用已知的公式，例如完全平方公式、差平方公式等，将多项式进行因式分解。

例如：x^2-9=(x+3)(x-3)2.3分组分解法：将多项式中的各项进行分组，并找出可以进行因式分解的共同因式。

例如：ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)2.4平方差公式：将一个二次多项式表示为两个平方的差。

例如：x^2-4=(x+2)(x-2)2.5公因式平方差公式：将一个二次多项式表示为公因式的平方减去另一个平方。

例如：x^2-y^2=(x+y)(x-y)2.6公式的逆运算：将一个多项式进行展开，得到可以进行因式分解的形式。

整式的乘除知识点总结及针对练习题

-思维辅导整式的乘除知识点及练习根底知识：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数。

如：bc a 22-的系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升〔降〕幂排列：如：1223223--+-y xy y x x按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x知识点归纳：一、同底数幂的乘法法则：nm n m aa a +=•〔n m ,都是正整数〕同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

如：532)()()(b a b a b a +=+•+【根底过关】1．以下计算正确的选项是〔〕A ．y 3·y 5=y 15B ．y 2+y 3=y 5C ．y 2+y 2=2y 4D ．y 3·y 5=y 8 2．以下各式中，结果为〔a+b 〕3的是〔〕 A ．a 3+b 3 B ．〔a+b 〕〔a 2+b 2〕 C ．〔a+b 〕〔a+b 〕2 D ．a+b 〔a+b 〕2 3．以下各式中，不能用同底数幂的乘法法则化简的是〔〕 A ．〔a+b 〕〔a+b 〕2 B ．〔a+b 〕〔a －b 〕2 C ．－〔a －b 〕〔b －a 〕2 D ．〔a+b 〕〔a+b 〕3〔a+b 〕2 4．以下计算中，错误的选项是〔〕A ．2y 4+y 4=2y 8B ．〔－7〕5·〔－7〕3·74=712C ．〔－a 〕2·a 5·a 3=a 10D ．〔a －b 〕3〔b －a 〕2=〔a －b 〕5 【应用拓展】 5．计算：〔1〕64×〔－6〕5 〔2〕－a 4〔－a 〕4 〔3〕－*5·*3·〔－*〕4 〔4〕〔*－y 〕5·〔*－y 〕6·〔*－y 〕76．a *=2，a y =3，求a *+y 的值．7．4·2a ·2a+1=29，且2a+b=8，求a b 的值．知识点归纳：二、幂的乘方法则：mnnm aa =)(〔n m ,都是正整数〕幂的乘方，底数不变，指数相乘。

整式的乘除与因式分解知识点全面

整式的乘除与因式分解知识点全面一、整式的乘法与除法知识点：1.整式的乘法：整式的乘法是指两个或多个整式相乘的运算。

乘法的结果称为“积”。

-乘法的交换律：a×b=b×a-乘法的结合律：(a×b)×c=a×(b×c)-乘法的分配律：a×(b+c)=a×b+a×c2.整式的除法：整式的除法是指一个整式被另一个整式除的运算。

除法的结果称为“商”和“余数”。

-除法的除数不能为0，即被除式不能为0。

-除法的商和余数满足等式：被除式=除数×商+余数3.次数与次项：整式中的变量的幂次称为整式的次数。

次数为0的项称为常数项，次数最高的项称为最高次项。

4.整式的乘除法规则：-乘法规则：乘法运算时，将整式中的每一项依次相乘，然后将结果相加即可。

-除法规则：除法运算时，可以通过因式分解的方法进行计算。

5.乘法口诀：乘法口诀是指两个整数相乘时的计算规则。

-两个正整数相乘，结果为正数。

-两个负整数相乘，结果为正数。

-一个正整数与一个负整数相乘，结果为负数。

二、因式分解知识点：1.因式分解：因式分解是将一个整式表示为几个乘积的形式的运算。

可以通过提取公因式、配方法等方式进行因式分解。

2.提取公因式：提取公因式是指将整式中公共的因子提取出来，分解成公因式和余因式的乘积的过程。

3.配方法：配方法是指将整式中的一些项配对相加或相乘，通过变换形式，使得整个式子能够因式分解的过程。

4.差的平方公式：差的平方公式是指一个完全平方的差能够分解成两个因子相加的形式。

例如：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。

5. 完全平方公式：完全平方公式是指一个完全平方的和可以分解成一个因子的平方的和的形式。

例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^26.公式法：根据特定的公式，将整式进行因式分解。

7.分组法：将整式中的项分为两组，分别提取公因式，然后进行配方法或其他操作，将整式进行因式分解。

【精品讲义】人教版八年级数学(上) 专题14.1 整式的乘法(知识点+例题+练习题)含答案

第十四章整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法一、同底数幂的乘法一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，a m ·a n =()m aa a a ⋅⋅⋅个·()n aa a a ⋅⋅⋅个=()m n aa a a +⋅⋅⋅个=m n a +．语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数__________．【拓展】1．同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用．m n p a a a ⋅⋅⋅=m n pa +++（m ，n ，…，p 都是正整数）．2．同底数幂的乘法法则的逆用：a m +n =a m ·a n （m ，n 都是正整数）．二、幂的乘方1．幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a 5）3是三个a 5相乘，读作a 的五次幂的三次方，（a m ）n 是n 个a m 相乘，读作a 的m 次幂的n 次方． 2．幂的乘方法则：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，()=mn mm n m m m m m mmn n a a a a a a a +++=⋅⋅⋅=个个．语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数__________．【拓展】1．幂的乘方的法则可推广为[()]m n p mnpa a =（m ，n ，p 都是正整数）．2．幂的乘方法则的逆用：()()mn m n n m a a a ==（m ，n 都是正整数）．三、积的乘方1．积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab ）3，（ab ）n 等．3()()()()ab ab ab ab =⋅⋅（积的乘方的意义）=（a ·a ·a ）·（b ·b ·b ）（乘法交换律、结合律）=a 3b 3．2．积的乘方法则：一般地，对于任意底数a ，b 与任意正整数n ，()()()()=n n nn an bn ab ab ab ab ab a a a b b b a b =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个个．因此，我们有()nn nab a b =．语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别__________，再把所得的幂相乘．四、单项式与单项式相乘法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别__________，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．1．只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏． 2．单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用． 3．单项式乘单项式的结果仍然是单项式．【注意】1．积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值． 2．相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算．五、单项式与多项式相乘法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积__________．用式子表示：m （a +b +c ）=ma +mb +mc （m ，a ，b ，c 都是单项式）．【注意】1．单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．2．计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． 3．对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果．六、多项式与多项式相乘1．法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积__________．2．多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m +n ）（a +b +c ），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m （a +b +c ）与n （a +b +c ），再用单项式乘多项式的法则展开，即（m +n ）（a +b +c ）=m （a +b +c ）+n （a +b +c ）=ma +mb +mc +na +nb +nc ．【注意】1．运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．2．多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．七、同底数幂的除法同底数幂的除法法则：一般地，我们有m n m n a a a -÷=（a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m >n ）．语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数__________．【拓展】1．同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如：m n p m n p a a a a --÷÷=（a ≠0，m ，n ，p 都是正整数，并且m >n +p ）． 2．同底数幂的除法法则的逆用：m n m n a a a -=÷（a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m >n ）．八、零指数幂的性质零指数幂的性质：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如a m ÷a m ，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有a m ÷a m =a m -m =a 0．于是规定：a 0=1（a ≠0）．语言叙述：任何不等于0的数的0次幂都等于__________．【注意】1．底数a 不等于0，若a =0，则零的零次幂没有意义． 2．底数a 可以是不为零的单顶式或多项式，如50=1，（x 2+y 2+1）0=1等． 3．a 0=1中，a ≠0是极易忽略的问题，也易误认为a 0=0．九、单项式除以单项式单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别__________作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式．【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式．【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性．十、多项式除以单项式多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商__________．【注意】1．多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号．2．多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项． 3．多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．一、相加二、相乘三、乘方四、相乘五、相加六、相加七、相减八、1九、相除十、相加1．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用．（2）单个字母或数字可以看成指数为1的幂．（3）底数不一定只是一个数或一个字母，也可以是单项式或多项式．计算m 2·m 6的结果是A ．m 12B ．2m 8C ．2m 12D ．m 8【答案】D【解析】m 2·m 6=m 2+6=m 8，故选D ．计算-（a -b ）3（b -a ）2的结果为A ．-（b -a ）5B ．-（b ＋a ）5C ．（a -b ）5D ．（b -a）5【答案】D【解析】-（a-b ）3（b -a ）2=（b -a ）3（b -a ）2=（b -a ）5，故选D ．2．幂的乘方与积的乘方（1）每个因式都要乘方，不能漏掉任何一个因式．（2）要注意系数应连同它的符号一起乘方，尤其是当系数是-1时，不可忽略．计算24()a 的结果是A ．28aB ．4aC ．6aD ．8a【答案】D【解析】24()a =248a a ⨯=，故选D ．下列等式错误的是A ．（2mn ）2=4m 2n 2B ．（-2mn ）2=4m 2n 2C ．（2m 2n 2）3=8m 6n 6D ．（-2m 2n 2）3=-8m 5n 5【答案】D【解析】A ．（2mn ）2=4m 2n 2，该选项正确； B ．（-2mn ）2=4m 2n 2，该选项正确； C ．（2m 2n 2）3=8m 6n 6，该选项正确；D ．（-2m 2n 2）3=-8m 6n 6，该选项错误．故选D ．3．整式的乘法（1）单顶式与单顶式相乘，系数是带分数的一定要化成假分数，还应注意混合运算的运算顺序：先乘方，再乘法，最后加减．有同类顶的一定要合并同类顶．（2）单顶式与多顶式相乘的计算方法，实质是利用分配律将其转化为单项式乘单项式．计算：3x 2·5x 3的结果为A ．3x 6B ．15x 6C ．5x 5D ．15x 5【答案】D【解析】直接利用单项式乘以单项式运算法则，得3x 2·5x 3=15x 5．故选D ．下列各式计算正确的是A ．2x （3x -2）=5x 2-4xB ．（2y +3x ）（3x -2y ）=9x 2-4y 2C ．（x +2）2=x 2+2x +4D ．（x +2）（2x -1）=2x 2+5x -2【答案】B【解析】A 、2x （3x -2）=6x 2-4x ，故本选项错误； B 、（2y +3x ）（3x -2y ）=9x 2-4y 2，故本选项正确； C 、（x +2）2=x 2+4x +4，故本选项错误；D 、（x +2）（2x -1）=2x 2+3x -2，故本选项错误．故选B ．4．同底数幂的除法多顶式除以单项式可转化为单项式除以单顶式的和，计算时应注意逐项相除，不要漏项，并且要注意符号的变化，最后的结果通常要按某一字母升幂或降幂的顺序排列．计算2x 2÷x 3的结果是 A ．xB ．2xC ．x -1D ．2x -1【答案】D【解析】因为2x 2÷x 3=2x -1，故选D ．计算：4333a b a b ÷的结果是 A ．aB ．3aC ．abD ．2a b【答案】A【解析】因为43334333a b a b a b a --÷==．故选A ．计算：22(1510)(5)x y xy xy --÷-的结果是A ．32x y -+B ．32x y +C ．32x -+D ．32x --【答案】B【解析】因为2221111121(1510)(5)3232x y xy xy xyx y x y ------÷-=+=+．故选B ．5．整式的化简求值（1）化简求值题一般先按整式的运算法则进行化简，然后再代入求值．（2）在求整式的值时，代入负数时应用括号括起来，作为底数的分数也应用括号括起来．先化简，再求值：2[()(4)8]2x y y x y x x -+--÷，其中8x =，2018y =．【解析】原式222(248)2x xy y xy y x x =-++--÷2(28)2x xy x x =+-÷142x y =+-．当8x =，2018y =时，原式182018420182=⨯+-=．1．计算3(2)a -的结果是 A ．38a -B ．36a -C ．36aD ．38a2．下列计算正确的是 A ．77x x x ÷=B ．224(3)9x x -=-C ．3362x x x ⋅=D ．326()x x =3．如果2(2)(6)x x x px q +-=++，则p 、q 的值为 A ．4p =-，12q =- B ．4p =，12q =- C ．8p =-，12q =-D ．8p =，12q =4．已知30x y +-=，则22y x ⋅的值是 A ．6B ．6-C ．18D ．85．计算3n ·（-9）·3n ＋2的结果是 A ．-33n -2B ．-3n ＋4C ．-32n ＋4D ．-3n ＋66．计算223(2)(3)m m m m -⋅-⋅+的结果是 A ．8m 5B ．–8m 5C ．8m 6D ．–4m 4+12m 57．若32144m nx y x y x ÷=，则m ，n 的值是 A ．6m =，1n = B ．5m =，1n = C ．5m =，0n =D ．6m =，0n =8．计算（-x ）2x 3的结果等于__________． 9．（23a a a ⋅⋅）³=__________．10．3119(1.210)(2.510)(410)⨯⨯⨯=__________． 11．计算：（a 2b 3-a 2b 2）÷（ab ）2=__________．12．若1221253()()m n n m a b a b a b ++-= ，则m +n 的值为__________． 13．计算：（1）21(2)()3(1)3x y xy x -⋅-+⋅-；（2）23(293)4(21)a a a a a -+--．（3）（21x 4y 3–35x 3y 2+7x 2y 2）÷（–7x 2y ）．14．先化简，再求值：（1）x （x -1）+2x （x +1）-（3x -1）（2x -5），其中x =2；（2）243()()m m m -⋅-⋅-，其中m =2-．15．“三角”表示3xyz ，“方框”表示-4a b d c ．求×的值．16．下列运算正确的是A ．326a a a ⨯=B ．842a a a ÷=C ．3(1)33a a --=-D ．32911()39a a =17．计算5642333312(3)2a b c a b c a b c ÷-÷，其结果正确的是A ．2-B ．0C ．1D ．218．计算：(7)(6)(2)(1)x x x x +---+=__________． 19．如果1()()5x q x ++展开式中不含x 项，则q =__________． 20．已知：2x =3，2y =6，2z =12，试确定x ，y ，z 之间的关系．21．在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x +a ）（3x +b ），由于甲抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为6x 2+11x -10；由于乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为2x 2-9x +10．（1）试求出式子中a ，b 的值；（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果．22．（2019•镇江）下列计算正确的是A ．236a a a ⋅=B ．734a a a ÷=C ．358()a a =D ．22()ab ab =23．（2019•泸州）计算233a a ⋅的结果是A ．54aB ．64aC ．53aD ．63a24．（2019•柳州）计算：2(1)x x -=A ．31x -B ．3x x -C ．3x x +D ．2x x -25．（2019•天津）计算5x x ⋅的结果等于__________． 26．（2019•绥化）计算：324()m m -÷=__________． 27．（2019•乐山）若392m n ==，则23m n +=__________． 28．（2019•武汉）计算：2324(2)x x x -⋅． 29．（2019•南京）计算：22()()x y x xy y +-+．1．【答案】A【解析】33(2)8a a -=-，故选A ． 2．【答案】D【解析】A 、76x x x ÷=，故此选项错误； B 、224(3)9x x =-，故此选项错误； C 、336x x x ⋅=，故此选项错误； D 、326()x x =，故此选项正确，故选D ． 3．【答案】A【解析】已知等式整理得：x 2-4x -12=x 2+px +q ，可得p =-4，q =-12，故选A ．4．【答案】D【解析】∵x +y -3=0，∴x +y =3，∴2y ·2x =2x +y =23=8．故选D ．5．【答案】C【解析】3n ·（-9）·3n ＋2=-3n ·32·3n ＋2=-32n +4，故选C ．6．【答案】A【解析】原式=4m 2·2m 3=8m 5，故选A ．7．【答案】B 【解析】因为33121444m n m n x y x y x y x --÷==，所以32m -=，10n -=，5m =，1n =，故选B ． 8．【答案】x 5【解析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法法则可得：（-x ）2x 3=x 2·x 3=x 5．故答案为：x 5． 9．【答案】a 18【解析】（23a a a ⋅⋅）³=（6a ）³=a 18．故答案为：a 18． 10．【答案】241.210⨯【解析】原式=1.2×103×（2.5×1011）×（4×109）=12×1023=1.2×1024．故答案为：1.2×1024． 11．【答案】1b -【解析】（a 2b 3-a 2b 2）÷（ab ）2=（a 2b 3-a 2b 2）÷a 2b 2=a 2b 3÷a 2b 2-a 2b 2÷a 2b 2=1b -．故答案为：1b -． 12．【答案】2【解析】（a m +1b n +2）（a 2n –1b 2m ）=a m +1+2n –1·b n +2+2m =a m +2n ·b n +2m +2=a 5b 3， ∴25223m n n m +=++=⎧⎨⎩，两式相加，得3m +3n =6，解得m +n =2，故答案为：2．13．【解析】（1）原式=2x 2y +3xy -x 2y=x 2y +3xy ．（2）原式=6a 3-27a 2+9a -8a 2+4a=6a 3-35a 2+13a ．（3）原式=21x 4y 3÷（–7x 2y ）–35x 3y ÷（–7x 2y ）+7x 2y 2÷（–7x 2y ）=–3x 2y 2+5xy –y ．14．【解析】（1）原式=x 2-x +2x 2+2x -6x 2+17x -5=（x 2+2x 2-6x 2）+（-x +2x +17x ）-5=-3x 2+18x -5．当x =2时，原式=19．（2）原式=-m 2·m 4·（-m 3）=m 2·m 4·m 3=m 9．当m =-2时，则原式=（-2）9=-512．15．【解析】由题意得×=（3mn ·3）×（–4n 2m 5） =[]526333(4)()()36m m n n m n ⨯⨯-⋅⋅⋅=-．16．【答案】C【解析】A 、2326a a a ⨯=，故本选项错误；B 、844a a a ÷=，故本选项错误；C 、()3133a a --=-，正确；D 、32611()39a a =，故本选项错误，故选C ．17．【答案】A【解析】因为5642333352363341312(3)222a b c a b c a b c ab c ------÷-÷=-=-，故选A ． 18．【答案】2x -40【解析】原式=（x 2+x -42）-（x 2-x -2）=2x -40．故答案为：2x -40．19．【答案】15- 【解析】1()()5x q x ++=211()55x q x q +++，由于展开式中不含x 的项，∴105q +=，∴15q =-．故答案为：15-．20．【解析】因为2x =3，所以2y =6=2×3=2×2x =2x ＋1， 2z =12=2×6=2×2y =2y ＋1．所以y =x +1，z =y +1．两式相减，得y -z =x -y ，所以x +z =2y ．21．【解析】（1）由题意得：（2x -a ）（3x +b ）=6x 2+（2b -3a ）x -ab ，（2x +a ）（x +b ）=2x 2+（a +2b ）x +ab ，所以2b -3a =11①，a +2b =-9②，由②得2b =-9-a ，代入①得-9-a -3a =11，所以a =-5，2b =-4，b =-2．（2）由（1）得（2x +a ）（3x +b ）=（2x -5）（3x -2）=6x 2-19x +10．22．【答案】B【解析】A 、a 2·a 3=a 5，故此选项错误；B 、a 7÷a 3=a 4，正确；C 、（a 3）5=a 15，故此选项错误；D 、（ab ）2=a 2b 2，故此选项错误，故选B ．23．【答案】C【解析】23533a a a ⋅=，故选C ．24．【答案】B【解析】23(1)x x x x -=-，故选B ．25．【答案】6x【解析】56⋅=x x x ，故答案为：6x ．26．【答案】2m【解析】原式64642m m m m ÷－＝＝＝，故答案为：m 2．27．【答案】4【解析】∵23=9=32=m n n ，∴2233339224+=⨯=⨯=⨯=m n m n m n ，故答案为：4．28．【解析】2324(2)x x x -⋅=668x x -67x =．29．【解析】22()()x y x xy y +-+322223x x y xy x y xy y =-++-+ 33x y =+．。

整式的乘法知识点汇总

整式的乘法知识点汇总&练习1. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

a n.a m =a m+n (m,n 是正整数).底数可以是数字或字母，可以是单项式，也可以是多项式，若是多项式，应该把多项式看做一个整体。

幂之间是乘法关系，指数之间是相加关系。

2. 幂的乘方，底数不变，指数相乘。

(a n )m =a mn (m,n 是正整数)。

注意负数的奇数次幂为负，负数的偶数次幂为正。

3. 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

(ab)n =a n b n (n 是正整数)。

底数必须是积的形式，当底数中有多个因式时，切勿漏掉系数因式的乘方。

当底数中有“-”时，应将视为-1，作为系数因式进行乘方。

4. 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘。

积的系数等于各单项式系数的积，应先确定积的符号，在计算积的绝对值。

相同字母的指数相加。

有乘方的先算乘方，再算乘法。

5. 单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

a （m+n ）=am+an 。

单项式乘以多项式的每一项，注意符号变化，能合并同类项的要合并同类项。

6. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn 。

7. 平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

（a+b ）（a -b ）=a 2-b 2有一组符号相同，有一组符号相反，用相同数的平方减去相反数的平方。

每一组数的绝对值都相同。

8. 完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。

（a+b ）2=a 2+2ab+b 2,（a -b ）2=a 2-2ab+b 2首平方，尾平方，积的两倍在中央。

9. 公式的灵活变形：（a+b ）2+（a -b ）2=2a 2+2b 2，（a+b ）2-（a -b ）2=4ab ，a 2+b 2=（a+b ）2-2ab ，a 2+b 2=（a -b ）2+2ab ，（a+b ）2=（a -b ）2+4ab,（a -b ）2=（a+b ）2-4ab=====-=-=+-+-=--+-=+•=-•=++=+=-+=++=÷===••-+n m n m n m a a a a a a x y y x x y y x b a a bc a ab x x y x b a b a a a b b b a a a a a ,,8,2)()2())(())((2)2(3)4)(5()3()2)(2()2)(32()2()(85222584233253求已知）（因式分解知识点&练习1.把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解。

整式的乘除知识点及题型复习

整式运算考点1、幂的有关运算①=⋅nm a a （m 、n 都是正整数）②=n m a )( （m 、n 都是正整数）③=n ab )( （n 是正整数） ④=÷nm a a （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m>n ） ⑤=0a （a ≠0）⑥=-p a （a ≠0，p 是正整数）幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

例：在下列运算中，计算正确的是（）（A ）326a a a ⋅= （B ）235()a a =（C ）824a a a ÷=（D ）2224()ab a b =练习：1、()()103x x -⨯-=________.2、()()()32101036a a a a -÷-÷-÷ = 。

3、23132--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭= 。

4、322(3)---⨯- = 。

5、下列运算中正确的是（）A ．336x y x =；B ．235()m m =；C ．22122x x-=； D ．633()()a a a -÷-=- 6、计算()8pm n a aa ⋅÷的结果是（）A 、8mnp a - B 、()8m n p a ++ C 、8mp np a+- D 、8mn p a+-7、下列计算中，正确的有（）①325a a a ⋅= ②()()()4222ab ab ab ab ÷= ③()322a a a a ÷÷= ④()752a a a -÷=。

A 、①②B 、①③C 、②③D 、②④ 8、在①5x x ⋅ ②7x y xy ÷ ③()32x - ④()233x y y ÷中结果为6x 的有（）A 、①B 、①②C 、①②③④D 、①②④ 提高点1：巧妙变化幂的底数、指数例：已知：23a =，326b =，求3102a b+的值；1、已知2a x =，3bx =，求23a bx-的值。

初中数学整式的乘法(含答案)

第一讲整式乘除1.1 整式的乘法◆赛点归纳整式的乘法包括单项式以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等内容．◆解题指导例1（2001，全国竞赛）若a，b是正数，且满足12345=（111+a）（111－b），则a 与b•之间的大小关系是（）．A．a>b B．a=b C．a<b D．不能确定【思路探究】由题设易得乘积式111（a－b），若能说明111（a－b）>0，即可比较a•与b的大小．这可利用多项式乘法推得．例2求在展开（5a3－3a2b+7ab2－2b3）（3a2+2ab－3b2）中，a3b2和a2b3的系数．【思路探究】若根据多项式乘以多项式法则直接运算，计算量就比较大；若用竖式计算，就很方便．【思维误区】有位同学这样解答例2，你认为对吗？【解】5 -3 7 -1×) 3 2 -3________________________________________________-15 +9 -21 +6+10 -6 +14 -4+) +15 -9 +21 -6___________________________________________________+15 +1 0 +17 -25 +6∴原式=15a5+a4b+17a2b3－25ab4+6b5．因为展开后的多项式没有a3b2项，所以a3b2系数不存在，a2b3的系数为17．例3 （2001，武汉市竞赛）若3x3－x=1，则9x4+12x3－3x2－7x+2001的值等于（）．A．1999 B．2001 C．2003 D．2005【思路探究】显然是无法直接代入求值的，必须将要求的代数式经过变形，使之含有3x3－x－1的乘积的代数和的形式，再求其值就不难了．例4 （2002，黄冈市竞赛）已知m、n互为相反数，a、b互为负倒数，x•的绝对值等于3，则x3－（1+m+n+ab）x2+（m+n）·x2001+（－ab）2002的值等于________．【思路探究】要求此多项式的值，显然不能直接运用多项式乘法展开它，由题设可知，多项式（1+m+n+ab）、（m+n）与（－ab）都等于特殊值．例5 （2000，“希望杯”，初二）已知多项式2x2+3xy－2y2－x+8y－6•可以分解为（•x+2y+m）（2x－y+n）的形式，那么3211mn+-的值是______．【思路探究】由题设可知，两个一次三项式的积等于2x2+3xy－2y2－x+8y－6．•根据多项式恒等的条件可列出关于m、n的二元一次方程组，进而不难求出m、n的值．【拓展题】按下面规则扩充新数：已知a和b两数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c•三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，……，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数1和4．（1）求按上述规则操作三次得到的最大新数；（2）能否通过上述规则扩充得到1999，并说明理由．◆探索研讨在求解整式乘法比较复杂的相关问题时，运用整式乘法法则进行计算或求解相关问题，一般不宜直接运用整式乘法法则，请结合本节例题，总结自己的发现．◆能力训练1．已知m2+m－1=0，那么代数式m3+2m2－1997的值是（）．A．1997 B．－1997 C．1996 D．－19962．若19a+98b=0，则ab是（）．A．正数B．非正数C．负数D．非负数3．（2002，“希望杯”，初二）已知a>b>c，M=a2b+b2c+c2a，N=ab2+bc2+ca2，则M与N的大小关系是（）．A ．M<NB ．M>NC ．M=ND ．不能确定4．（2001，山东省竞赛）某商店经销一批衬衣，进价为每件m•元，•零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，•那么调价后每件衬衣的零售价是（）．A ．m （1+a%）（1－b%）元B ．ma%（1－b%）元C ．m （1+a%）b%元D ．m （1+a%b%）元5．若a=199519951996199619971997,,199619961997199719981998b c ==，则（）． A ．a<b<c B ．b<c<a C ．c<b<a D ．a<c<b6．若n 是奇自然数，a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相同的负整数，则（）．A ．（a 1+1）（a 2+2）…（a n +n ）是正整数B ．（a 1－1）（a 2－2）…（a n －n ）是正整数C ．（11a +1）（21a +2） (1)a +n ）是正数 D ．（1－11a ）（2－21a ）…（n －1n a ）是正数 7．（x ，y ）称为数对，其中x ，y 都是任意实数，定义数对的加法，乘法运算如下：（x 1，y 1）+（x 2，y 2）=（x 1+x 2，y 1+y 2），（x 1，y 1）·（x 2，y 2）=（x 1x 2－y 1y 2，x 1y 2+y 1x 2）．则不成立的运算规律是（）．A ．乘法交换律：（x 1，y 1）·（x 2，y 2）=（x 2，y 2）·（x 1，y 1）B ．乘法结合律：（x 1，y 1）（x 2，y 2）·（x 3，y 3）=（x 1，y 1）（（x 2，y 2）·（x 3，y 3））C ．乘法对加法的分配律：（x ，y ）·（（x 1，y 1）+（x 2，y 2））=（（x ，y ）·（x 1，y 1））+（（x ，y ）·（x 2，y 2））D ．加法对乘法的分配律：（x ，y ）+（（x 1，y 1）·（x 2，y 2））=（（x ，y ）+（x 1，y 1））·（（x ，y ）+（x 2，y 2））8．计算：（3x+9）（2x－5）=________．9．若m=－1998，则│m2+11m－999│－│m2+22m+999│+20=______．10．若x3+x2+x+1=0，则y=x97+x98+…+x103的值是_____．11．如果（1－3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么│a1│+│a2│+│a3│+│a4│+│a5│的值为_________．12．已知a，b，c，d是四个不同的有理数，且（a+c）（a+d）=1，（b+c）（b+d）=1，则（a+c）（b+c）的值为________．13．已知A，B，C，D为一直线上的顺次四点，且AC=10，BD=8，求AB·CD+BC·AD的值．14．计算：（12+13+…+12002）（1+12+…+12001）－（1－12+…+12002）（12+13+…+12001）．15．在（x2－ax+b）（ax2+x－b）的展开式中，x2的系数是1，x的系数是9，求整数a和b 的值．16．已知3n+11m能被10整除，试证：3n+4+11m+2也能被10整除．答案:解题指导例1 A [提示：∵12345=（111+a ）（111－b ）=1112+111（a －b ）－ab ，∴111（a －b ）=12345－1112+ab=24+ab ．∵a>0，b>0，∴ab>0．∴24+ab>0，即a －b>0，∴a>b ．]例2 a 3b 2的系数为0，a 2b 3的系数为17．例3 D [提示：由已知有3x 3－x －1=0，9x 4+12x 3－3x 2－7x+2001=3x （3x 3－x －1）+4（3x 3－x －1）+2005=2005．若将3x 3－x=1代入，如何求？]例4 28或－26． [提示：∵m 、n 互为相反数，∴m+n=0．∵a 、b 互为负倒数，∴ab=－1．∴x 3－（1+m+n+ab ）x 2+（m+n ）x 2001+（－ab ）2002=x 3－（1+0－1）x 2+0+[－（－1）] 2002=x 3+1=±│x│3+1=28(3),26(3).x x =⎧⎨-=-⎩] 例5 －78． [提示：由题意知（x+2y+m ）（2x －y+n ）=2x 2+3xy －2y 2－x+8y －6．又（x+2y+m ）（2x －y+n ）=2x 2+3xy －2y 2+（2m+n ）x+（2n －m ）y+nm ，根据多项式恒等的条件，得3221,2,1728, 3.186.m n m m n m n n mn +=-⎧=-⎧+⎪-==-⎨⎨=-⎩⎪=-⎩解得故．] 【拓展题】（1）第一次只能得到1×4+4+1=9．若要求最大新数，第二次应取4和9，得到4×9+4+9=49．同理，第三次取9和49，得9×49+9+49=499．则499就是扩充三次的最大数．（2）∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）－1，∴c+1=（a+1）（b+1）．取数a和c可得新数d=（a+1）（c+1）－1，∴d+1=（a+1）（c+1）=（a+1）（a+1）（b+1）=（a+1）2（b+1）．取数b和c可得新数e=（b+1）（c+1）－1，k∴e+1=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）（b+1）=（b+1）2（a+1）．设扩充后的新数为x，则总存在x+1=（a+1）m·（b+1）n（m、n为正整数）．当a=1，b=4时，x+1=2m×5n，又1999+1=2000=24×53，∴1999可以通过上述规则扩充得到．能力训练1．D [提示：由m2+m－1=0，知m2+m=1，∴m3+2m2－1997=m（m2+m）+m2－1997=m+m2－1997=－1996．]2．B [提示：由19a+98b=0，得a=－9819b，ab=9819－b2≤0．]3．B [提示：证明M－N>0．]4．C [提示：由题意知，每件衬衣进价为m元，零售价比进价高a%，•那么零售价是m+ma%元，后又调整为原来零售价的b%出售，那么调整后每件衬衣的零售价为m（1+a%）×b%]5．A [提示：设A=19951995，B=19961996，C=19971997，D=•19981998，•则有B=•A+10001，C=B+10001，D=C+10001．∴（B+10001）（B －10001）=B 2－100012，即C·A=B 2－100012． ∴C·A<B 2．由于B 、C 均为正数，所以1995199519961996,1996199619971997A B B C <<即．同理，可以得到1996199619971997,1997199719981998B C C D <<即．] 6．D [提示：a 1，a 2，…a n 是n 个互不相同的负整数，其中n 是奇自然数，若a 1=－1，a 1+1=0，则（a 1+1）（a 2+2）…（a n +n ）=0，排除A ；若a 1=－1，a 2=－2，a 3=－3，…，a n =－n ，则（a 1－1）（a 2－2）…（a n －n ）=（－2）（－4）（－6）…（－2n ）=（－1）n 2×4×6×…×（2n ）<0．因为n 是奇数，故排除B ；若a 1=－1，+1=0，则（11a +1）.（21a +2） (1)a +n ）=0，又排除C ．如果运用直接证法，如何证明？]7．D [提示：易见乘法交换律成立．由（（x 1，y 1）·（x 2，y 2））·（x 3，y 3）=（x 1x 2－y 1y 2，x 1y 2+y 1x 2）·（x 3，y 3）=（x 1x 2x 3－y 1y 2x 3－x 1y 2y 3－y 1x 2y 3，x 1x 2y 3－y 1y 2y 3+x 1y 2x 3+y 1x 2x 3=（x 1，y 1）·（x 2x 3－y 2y 3，x 2y 3+y 2x 3）=（x 1，y 1）·（（x 2，y 2）·（x 3，y 3）），知乘法结合律成立．由（x ，y ）·（（x 1，y 1）+（x 2，y 2））=（x ，y ）·（x 1+x 2，y 1+y 2）=（x （x 1+x 2）－y （y 1+y 2），x （y 1+y 2）+y （x 1+x 2））=（xx 1－yy 1，xy 1+yx 1）+（xx 2－yy 2，xy 2+yx 2）=（（x ，y ）·（x 1，y 1））+（（x ，y ）·（x 2，y 2））．知乘法对加法的分配律成立．由（1，0）+（1，0）·（1，0）=（1，0）+（1，0）=（2，0）≠（2，0）·（2，0）=（（1，0）+（1，0））·（（1，0）+（1，0）），知加法对乘法的分配律不成立．]8．6x2+3x－45．9．20000．[提示：∵m=－1998，∴m+11=－1987，m+22=－1976．∴m2+11m=m（m+11）=1998×1987．∴m2+11m－999>0．∵m2+22m=m（m+22）=1998×1976，∴m2+22m+999>0．∴│m2+11m－999│－│m2+22m+999│+20=（m2+11m－999）－（m2+22m+999）+20=11m－999－22m－999+20=－11m－1998+20=（－1998）（－11）－1998+20=20000．]10．－1．[提示：由已知，得x4=1．∴y=x97+x98+…+x103=x97（1+x+x2+x3）+x101（1+x+x2+x3）－x104=－（x4）26=－1．]11．1023．[提示：易知a1，a3，a5均小于0，a2，a4均大于0，取x=－1时，a0－a1+a2－a3+a4－a5=45，∴－a1+a2－a3+a4－a5=1023．]12．－1．[提示：设a+b+c+d=m，a+c=x，b+c=y，则a+d=m－y，b+d=m－x，由已知得x（m－y）=y（m－x），即mx－my=0，∴m（x－y）=0，又a，b，c，d互不相同，①②∴a+c≠b+c ，即x≠y ． ∴m=0．又x （m －y ）=1， ∴－xy=1．故（a+c ）（b+c ）=xy=－1．]13．设BC=x ，则AB=10－x ，CD=8－x ，AD=18－x ．∴AB·CD+BC·AD=（10－x ）（8－x ）+x （18－x ）=80．14．设12+13+…+12001=a ，则原式=（a+12002）（1+a ）－（1+a+12002）a=12002． 15．由条件知1,9.ab b a ab b --=⎧⎨+=⎩ 由①得（a －1）（b －1）=2，因为a 、b 是整数，于是 11,12,11,12,1211121 1.a a a a b b b b -=-=-=--=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-=-=-=--=-⎩⎩⎩⎩或或或由②检验知a=2，b=3．16．3n+4+11 m+2=3 4×3 n +11 2×11 m =81×3 n +121×11 m =80×3 n +120×11 m +（3 n +11 m ）．∵10│80×3 n ，10│120×11 m ，10│3 n +11 m ，∴10│（80×3 n +120×11 m +（3 n +11 m ）），即10│（3 n+4 +11 m+2）．。

第一章第05讲整式的乘法(10类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版7年级下册

第05讲整式的乘法(10类热点题型讲练)1．复习幂的运算性质，探究并掌握单项式乘以单项式的运算法则；2．能够熟练运用单项式乘以单项式的运算法则进行计算并解决实际问题；3．能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则探究单项式与多项式相乘的法则；4．理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算；5．掌握单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则的应用．知识点01单项式与单项式相乘单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式.单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.知识点02单项式与多项式相乘单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即（a+b+c)m=am+bm+cm单项式与多项式相乘时要注意以下几点：①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；③在混合运算时，要注意运算顺序.知识点03多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn多项式与多项式相乘时要注意以下几点：①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；②多项式相乘的结果应注意合并同类项；③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到.题型01计算单项式乘单项式题型02利用单项式乘法求字母或代数式的值题型03计算单项式乘多项式及求值【例题】（2023上·福建龙岩·八年级校考期中）（1）计算：()2232xy xy xy⋅－（2）先化简，再求值：(2)(22)(2)x x x x -+--，其中2x =-．【答案】（1）232246x y x y -；（2）24x -；0【分析】本题考查整式的乘法，化简求解．（1）根据单项式乘多项式的法则计算即可；（2）根据整式的乘法，合并同类项进行计算，再代入求值．【详解】（1）()2232223246xy xy xy x y x y =-⋅－；（2）(2)(22)(2)x x x x -+--()()222242x x x x =----222242x x x x =---+24x =-，当2x =-时，原式()224240x =-=--=．【变式训练】题型04计算多项式乘多项式【例题】（2023上·八年级课时练习）计算：(1)()()342x y x y -+；(2)()()211x x x -++．【答案】(1)22328x xy y +-(2)31x -【分析】（1）根据多项式与多项式的乘法法则计算；（2）根据多项式与多项式的乘法法则计算．【详解】（1）()()342x y x y -+223648x xy xy y =+--22328x xy y =+-（2）()()211x x x -++3221x x x x x =++---31x =-【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【变式训练】1．（2023上·八年级课时练习）计算：题型05(x+p)(x+q)型多项式乘法题型06已知多项式乘积不含某项求字母的值题型07多项式乘多项式——化简求值1．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）化简求值：题型08单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积【例题】（2023上·重庆巴南·七年级校联考期中）三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙．已知正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c．(1)用代数式表示图1中阴影部分的面积，并计算当5a =，3b =，1c =时阴影部分的面积．(2)记图1中阴影部分周长为m ，图2阴影部分周长之和为n ，判断m n -的值是否与正方形A 、B 、C 的边长有关，若有关请说明理由，若无关，求出m n -的值．【答案】(1)13(2)m n -的值与三个小正方形的边长无关，值为0【分析】本题考查了多项式乘以多项式，整式的加减，解题的关键是掌握运算法则．（1）用长方形的面积减去3个正方形的面积即可；（2）分别求出m ，n 的值相减即可．【详解】（1）由题意知：长方形的长为()a b +，宽为()a c +∴长方形的面积()()a b a c =++∴所以图1中阴影部分的面积222()()S a b a c a b c =++---当5a =，3b =，1c =时，阴影部分的面积222(53)(51)531S =+⨯+---13=（2）图1中阴影部分的周长2()2()242m a b a b c a c =++-+=+图2中阴影部分的周长2()22()42n a c b c a c b a c=-++++-=+0m n ∴-=即m n -的值与三个小正方形的边长无关，值为0．【变式训练】1．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为()32m a b +，宽为()2m a b +；另一块长为()m a b +，宽为()m a b -．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为()m a b -的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪．(1)求计划种植草坪的面积；(2)已知30a =，10b =，若种植草坪的价格为30元/2m ，求种植草坪应投入的资金是多少元？【答案】(1)计划种植草坪的面积为()2269ma ab +(2)种植草坪应投入的资金是243000元【分析】本题考查了列代数式，多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清楚题意是解答本题的关键．（1）计划种植草坪的面积等于2个矩形的面积减去阴影部分的面积，利用多项式乘多项式法则，平方差公式和完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果即可；（2）将a 与b 的值代入（1）中求得的栽花面积和草坪面积，再根据总价=单价×数量计算即可求解．【详解】（1）解：（1）两块空地总面积：()()()()322a b a b a b a b ⨯+++⨯-＋，2222672a ab b a b =-＋＋＋2277a ab b =＋＋，栽花面积：()2222a b a ab b --＝＋，草坪面积：()2222277269a ab b a ab b a ab ++--+=＋．（2）30a =，10b =，草坪价格为30元/2m ，应投入的资金()()2269306309301030243000a ab =+⨯=⨯+⨯⨯⨯=元．2．（2023上·江西上饶·七年级统考期中）如图，一个长方形运动场被分隔成A ，B ，A ，B ，C ，C 共6个区，A 区是边长为m a 的正方形，B 区是边长为m b 的正方形．(1)列式表示每个C 区长方形场地的周长，并将式子化简；（用含a 、b 的代数式表示）(2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；（用含a 、b 的代数式表示）(3)如果30a =，10b =，求整个长方形运动场的面积．【答案】(1)右上方C 区长方形场地的周长为：()42m a b +，左下角C 区长方形场地的周长为：()42m a b +(2)整个长方形运动场的周长为：()4m a b +(3)整个长方形运动场的面积为4000m【分析】本题主要考查整式的混合运算与图形周长、面积的计算，掌握整式的混合运算，代入求值是解题的关键．（1）A 区是边长为m a 的正方形，B 区是边长为m b 的正方形，图形结合即可求解；（2）根据长方形的周长的计算方法，整式的加减运算进行化简即可求解；（3）根据长方形的面积的计算方法列式，代入30a =，10b =计算即可．【详解】（1）解：A 区是边长为m a 的正方形，B 区是边长为m b 的正方形，∴C 区长方形场地的长为：()2m a b +，宽为：()m a b -，∴右上方C 区长方形场地的周长为：()()()2242m a b a b a b ++-⨯=+⎡⎤⎣⎦，左下角C 区长方形场地的周长为：()()()2242m a b a b a b ++-⨯=+⎡⎤⎣⎦．（2）解：由（1）可知，C 区长方形场地的长为：()2m a b +，宽为()m a b -，∴整个长方形运动场的长为：()()222m a b a a b ++=+，宽为：()()2m a b a a b -+=-，∴整个长方形运动场的周长为：()()222282m a b a b a b ++-⨯=+．（3）解：整个长方形运动场的长为：()22m a b +，宽为：()2m a b -，∴整个长方形运动场的面积为：()()22222422a b a b a ab b +⨯-=+-，当30a =，10b =时，原式()22430230102104000m =⨯+⨯⨯-⨯=，∴整个长方形运动场的面积为4000m ．题型09多项式乘法中的规律性问题1．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），下图揭示了()na b +（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律：杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，例如：()1a b +=，它只有一项，系数为1()1a b a b +=+，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；()2222a b a ab b +=++，它有三项，中间项系数2等于上方数字1加1，系数分别为1，2，1，系数和为4；()3322333a b a a b ab b +=+++，它有四项，中间项系数3等于上方数字1加2，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；……(1)写出()4a b +的展开式______请利用整式的乘法验证你的结果．(2)()5a b +的展开式的系数分别为______，系数和为______．(3)()na b +展开式共有______项，系数和为______，请说明你是怎样得到这个结果的？【详解】（1）解：如图，根据杨辉三角可知，()4432234464a b a a b a b ab b +=++++；用整式乘法验证：()4a b +()22a b ⎡⎤=+⎣⎦()2222a ab b =++()()222222a ab b aab b =++++43223223223422422a a b a b a b a b ab a b ab b =++++++++432234464a a b a b ab b =++++；故答案为：++++432234a 4a b 6a b 4ab b ．（2）解：如图，根据杨辉三角可知，()543225345510105a a b a b a a a b b b b =++++++，∴()5a b +的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1，∴系数和为：515101051322+++++==；故答案为：1，5，10，10，5，1；52．（3）解：()1a b a b +=+，共有2项，系数分别为1，1，()2222a b a ab b +=++，共有3项，系数分别为1，2，1，()3322333a b a a b ab b +=+++，共有4项，系数分别为1，3，3，1，()4432234464a b a a b a b ab b +=++++，共有5项，系数分别为1，4，6，4，1，…∴()na b +展开式中共有1n +项，令()na b +中1a =，1b =，则()na b +的展开式中的每一项正好是每一项的系数，∴()na b +的展开式中各项的系数和为()112nn +=．故答案为：1n +；2n ．题型10整式乘法混合运算1．（2023下·湖南岳阳·七年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）计算：一、单选题1．（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）计算22()a a ⋅-的结果是（）A ．32aB ．32-aC ．22a -D ．22a 【答案】B【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，在解题时要注意单项式的乘法法则的灵活应用是本题的关键．【详解】解：232()2a a a ⋅-=-，故选B ．2．（2023上·四川宜宾·八年级统考期中）若()()2428x x x mx ++=++，则m 的值是（）A ．6B ．6-C ．8D ．8-【答案】A【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，再比较各项的系数即可得到答案；熟记多项式乘以多项式的运算法则是解本题的关键．【详解】解：∵()()2242688x x x x x mx ++=++=++，则m 的值为6．故选：A ．3．（2023上·河北石家庄·八年级统考期末）下列正确的是（）A ．23263236a b a b a b ⋅=B ．40.000767.610=⨯C ．()2222a a b a ab-+=-+D ．()()2212232x x x x +-=--【答案】D【分析】根据单项式乘单项式，科学记数法，单项式乘以多项式，，多项式乘以多项式的计算法则计算即可．【详解】解：A 、53232236a b a b a b ⋅=，故选项A 错误，不符合题意；B 、40.000767.610-=⨯，故选项B 错误，不符合题意；C 、()2222a a b a ab -+=--，故选项C 错误，不符合题意；D 、()()2212232x x x x +-=--，故选项D 正确，符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，科学记数法，单项式乘以多项式，，多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则计算即可．4．（2023上·河南洛阳·八年级校考期中）22(3)(3)x nx x x m ++-+的乘积中不含2x 和3x 项，则m n 、的值为（）A ． 3m = 6n =B ． 3m =5n =C ．6m =3n =D ．6m =4n =【答案】C【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘以多项式的法则先把要求的式子进行整理，再根据多项式展开后不含2x 和3x 的项，得出30,330n m n -=-+=，求出m n 、的值即可．【详解】解：22(3)(3)x nx x x m ++-+43232233393x x mx nx nx mnx x x m=-++-++-+()()()43233393x n x m n x mn x m=+-+-++-+∴30,330n m n -=-+=，解得：3,6n m ==故选：C ．5．（2023上·山东临沂·八年级校考阶段练习）通过计算比较图中图①，图②中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（）A ．()a b x ab a -=-B ．()b a x ab bx -=-C ．()()a x b x ab ax bx --=--D ．()()2a xb x ab ax bx x --=--+【答案】D【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、单项式乘多项式、整式运算等知识点，先根据图1和图2，分别用两种方法表示出阴影部分面积，然后列出等式即可；掌握数形结合思想成为解题的关键．【详解】解：图1中的阴影部分的面积为()()a x b x --，图2中的阴影部分的面积为2ab ax bx x --+，∴()()2a xb x ab ax bx x --=--+．故选：D ．二、填空题∵2230m m --=，∴223m m =+，223m m -=，∴()()3227323732432232339m m m m m m m m m -+=+-+=-+=-+=⨯+=，故答案为：9．三、解答题11．（2023上·重庆渝北·八年级校联考期中）计算：(1)()223321a b ab ⋅-+；(2)()()22a b a ab b -++．【答案】(1)352263a b a b -+(2)33a b -【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握单项式乘单项式法则和多项式乘多项式法则．（1）根据单项式乘单项式法则，让单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加即可；（2）根据多项式乘多项式法则进行计算即可；【详解】（1）解：原式()223223231a b ab a b =⋅-+⋅352263a b a b =-+；（2）原式()()()2222a a a ab a b b a b ab b b=⋅+⋅+⋅+-⋅+-⋅+-⋅32222333a a b ab a b ab b a b =++---=-．12．（2023下·陕西西安·七年级交大附中分校校考期末）计算：(1)()()3227x y xy ⋅-；(2)()()()()21233a a a a +--+-．【答案】(1)757x y -(2)237a a -+【分析】（1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可；（2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项即可．【详解】（1）原式()3267x y xy ⋅-=757x y =-；（2）原式222429a a a a =-+--+【分析】（1）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，然后根据题意得出关于m n 、的方程，解之即可求解；（2）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，再代入m n 、值计算即可；本题考查了多项式乘多项式不含某项问题、多项式乘多项式化简求值，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：原式32222x x mx mx nx n =-+--+，()()3222x m x m n x n =+--++，∵()22(1)x mx n x +--展开的结果中，不含2x 和x 项，∴20m -=，0m n +=，∴2m =，2n =-；（2）解：()()22m n m mn n -++322223m m n mn m n mn n =++---，33m n =-，把2m =，2n =-代入得，原式()3322=--，()88=--，16=．16．（2023上·陕西安康·八年级校联考阶段练习）如图，在一个长方形空地中，沿它的两个角用栅栏围成两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T ”型的图形（阴影部分）．(1)用含x ，y 的式子表示“T ”型图形的面积并化简；(2)若30y =米，20x =米，计划在“T ”型区域铺上价格为每平方米25元的草坪，请计算草坪的造价．（不考虑其他费用）【答案】(1)225x xy+(2)95000元【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积．(1)小李同学拼成一个宽为()a b +，长为(2)a b +的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式：（答案直接填写到横线上）；(2)如果用这三种纸片拼出一个面积为(2)(3)a b a b ++的大长方形，求需要A ，(3)利用上述方法，画出面积为22252a ab b ++的长方形，并求出此长方形的周长【答案】(1)22()(2)32a b a b a ab b ++=++这个长方形的周长为：2[(2⨯答：此长方形的周长为6a 18．（2023上·福建龙岩·八年级校考阶段练习）做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．例1：如图1，可得等式：(1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a b c ++的正方形，从中你发现的结论用等式表示为；(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知75a x =-，42b x =-+，c =-ab bc ac ++的值；(3)如图4，拼成AMGN 为大长方形，记长方形ABCD 的面积与长方形EFGH 的面积差为（1）正方形的面积为()2a b c ++，各小块面积总和为：222222a b c ab bc ac +++++，再由面积相等，即可得出答案；（2）由题意可得1a b c ++=，由（1）可得：()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++，结合22237a b c ++=可得2137222ab bc ac =+++，进行计算即可得出答案；（3）由图可得：2BC a =，3DE a =，EH CF b ==，从而得出3EF x b a =+-，根据ABCD EFGH S S S =-长方形长方形，表示出()223S a b x b ab =--+，最后由S 的值与CD 无关，可得20a b -=，即可得出答案．【详解】（1）解：由图可得：正方形的面积为()2a b c ++，各小块面积总和为：222222a b c ab bc ac +++++，面积相等，()2222222a b c a b c ab bc ac ∴++=+++++，故答案为：()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（2）解： 75a x =-，42b x =-+，34c x =-+，()()7542347542341a b c x x x x x x ∴++=-+-++-+=--+-+=，由（1）可得：()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++， 22237a b c ++=，2137222ab bc ac ∴=+++，()236ab bc ac ∴++=-，18ab bc ac ∴++=-；（3）解：由图可得：2BC a =，3DE a =，EH CF b ==，DC x = ，3EF CD CF DE x b a ∴=+-=+-，ABCD EFGH S S S =- 长方形长方形，S CD BC EF EH∴=⋅-⋅()23x a x b a b=⋅-+-⋅223ax bx b ab=--+()223a b x b ab =--+，S 的值与CD 无关，20a b ∴-=，2a b ∴=．。

整式的乘法与因式分解知识点

整式乘除与因式分解一．知识点（重点） 1．幂的运算性质： a m·a n＝a m ＋n（m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．例：(－2a )2(－3a 2)32．＝ a mn（m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．例：(－a 5)53．（n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．例：(－a 2b )3练习：（1）y x x 2325⋅ （2）)4(32b ab -⋅- （3）a ab 23⋅（4）222z y yz ⋅ （5）)4()2(232xy y x -⋅ （6）22253)(631ac c b a b a -⋅⋅4．＝ am －n（a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）同底数幂相除，底数不变，指数相减．例：（1）x 8÷x 2（2）a 4÷a （3）（a b ）5÷（a b ）2（4）（-a ）7÷（-a ）5 （5） (-b ) 5÷(-b )25．零指数幂的概念：a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．例：若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件6．负指数幂的概念：a －p＝（a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数．也可表示为：（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 7．单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：（1）223123abc abc b a ⋅⋅ （2）4233)2()21(n m n m -⋅- 8．单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．例：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 21)232(2⋅- （3）)32()5(-22n m n n m -+⋅ （4）xyz z xy z y x ⋅++)(23229．多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．例：（1）)6.0(1x x --）（（2）))(2(y x y x -+ （3）2)2n m +-（练习：1．计算2x 3·(－2xy)(－12xy) 3的结果是 2．(3×10 8)×(－4×10 4)＝3．若n 为正整数，且x 2n＝3，则(3x 3n) 2的值为 4．如果(a nb ·ab m) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是5．－[－a 2(2a 3－a)]＝6．(－4x 2＋6x －8)·(－12x 2)＝ 7．2n(－1＋3mn 2)＝ 8．若k(2k －5)＋2k(1－k)＝32，则k ＝9．(－3x 2)＋(2x －3y)(2x －5y)－3y(4x －5y)＝ 10．在(ax 2＋bx －3)(x 2－12x ＋8)的结果中不含x 3和x 项，则a ＝，b ＝11．一个长方体的长为(a ＋4)cm ，宽为(a －3)cm ，高为(a ＋5)cm ，则它的表面积为，体积为。

整式的乘法知识点及练习

3 3
a
6.若
1 1 3 a2 2 a a ,则
7.如果多项式 x 2 m x 9 是一个完全平方式，则 m 的值
4
经典习题 1. ( x y)
2 n1
( x y) 2 n
___ 2. ( x 1)(x 2) ( x 3)(x 3) __________
( x 1)(x 2) ( x 3)(x 3)
(3x＋2y)(2x＋3y)－(x－3y)(3x＋4y)
2 2 26.已知 a b 3, ab 12 ，求下列各式的值．（1） a ab b
（2） (a b) ．
2
27.化简与求值：
2 1 （1）（a＋b）（a－b）＋（a＋b）－a(2a＋b)，其中 a= 3 ，b＝－１ 2
3( x 2 ) 2 ( x 2 ) 4 ( x 5 ) 2 ( x 2 ) 2 __________ _________
（7）若 x 3 ，则 x
n 3n

3.积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。用字母表示为 (ab) =a .b (n 为正整数) 练习： 2 4 3 3 n 5 1－n 5 2 3 4 2 4 －(2x y ) (－a) ·(a ) ·(a ) ［(10 ) ］［(a+b) ］ 5 2 a b c ［－(－x) ］ (x ·x ) 4.整式的乘法（1）单项式的乘法单项式与单项式相乘，把它们的、分别相乘，对于只在一个单项式里含的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。3x2 )( x2 2x 1)
1 (2 x 4 x 3 8) ( x 2 ) 2
(3x 2

分式、因式分解整式乘除综合知识点及练习

整式的乘除法。

因式分解和分式复习基本概念一．整式的除乘法 1。

同底数幂的乘法：mn m n a a a +=,（m,n 都是正整数),即同底数幂相乘,底数不变，指数相加。

2。

幂的乘方：()m nmna a=,(m ，n 都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：()n n nab a b =，（n 为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。

4。

整式的乘法：(1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律,用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．可用下式表示:m （a +b +c )=ma +mb +mc (a 、b 、c 都表示单项式）（3)多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．5.乘法公式：（1）平方差公式：平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差"，即用字母表示为：（a +b )(a －b )=a 2－b 2;其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.（2）完全平方公式:完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差)的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：（a +b )2=a 2+2ab +b 2;（a －b )2=a 2－2ab +b 2;其结构特征是:左边是“两个数的和或差”的平方,右边是三项，首末两项是平方项,且符号相同，中间项是2ab ，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a 、 b 都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式（3）添括号时,如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。

整式的乘法知识点及练习

专题05整式的乘法(3个知识点6种题型3种中考考法)(原卷版)

整式的乘法知识点总结

整式的乘法的习题及答案

整式的乘除知识点及题型复习

整式乘法(学生版)知识点+经典例题+题型归纳

整式的乘法(复习)——单单、单多(多单)

整式的乘法与因式分解所有知识点总结

整式的乘法和因式分解知识点汇总

整式的乘除知识点总结及针对练习题

整式的乘除与因式分解知识点全面

【精品讲义】人教版 八年级数学(上) 专题14.1 整式的乘法(知识点+例题+练习题)含答案

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整式的乘除知识点及题型复习

初中数学整式的乘法(含答案)

第一章第05讲 整式的乘法(10类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版7年级下册

整式的乘法与因式分解知识点

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