弹塑性力学

y h /2
y h /2
q1
边界 x l ，其应力边界条件：
x正面，方向余弦：
(l 1, m 0)
x xl 0, xy xl 0
一般边界面上的应力边界条件： 是指曲面或斜截面边界 o
如图，已知边界S上任一
fx , f y 点的面力分量
S
x
xy
归纳与总结
弹 性 力 学 问 题 中 的 基 本 内 容
归纳与总结
弹性力学问题中的基本物理量应同时满足基本方程 和边界条件，其解答才是唯一的、精确的。
面力
应力 边界 条件
外力 静力平衡
体力
平衡 微分 方程
域内的 位移 边界上 的位移 位移
几何 方程
几何协调
位移 边界 条件
边界上 应力 域内的 物理方程 应力 的应力
y
fx n
则其应力边界条件为：
l x S m xy f x
S
x
l ( xy ) S m( y ) S f y
y
fy
其中：l、m为边界面外法线的方向余弦。
注意边界面的数学表达 注意面力分量和应力分量的正负号规定 注意边界面外法线方向余弦的正确表达
平面问题的基本方程
平衡微分方程
x xy f x 0, x y xy x y y fy 0
几 何 方 程
u v u v x , y , xy x y y x
1 2 x (σ x σy ) E 1
注： 基本 未知 量都 是位 置坐 标的 函数
3个独立的应变分量 x , y , xy
2个位移分量 u, v
可见，8个基本方程，8个基本未知量，由于基 本方程是偏微分方程，故不能求解，还必须考虑弹 性体的边界条件，才能求解。 事实上，基本方程是共性，边界条件是个性。
第二章 平面问题的基本理论
物 理 方 程
1 ( x y ) E 1 y ( y x ) E 2(1 ) xy xy E
x
或
1 2 y (σ y σx ) E 1 2(1 ) xy xy E
平面问题的基本物理量
3个独立的应力分量 x y xy
§2-2 边界条件
表示在弹性体的边界面上，给定的面力与 边界上的应力值、给定的约束与边界上的 位移值之间的关系。
应力边界条件 位移边界条件
混合边界条件
o
a
x
y
(u ) x a 0 ( xy ) x a 0
混合边界条件
设在位移边界 su 上，已知给定的位移分量
u ( s) 和 v ( s) ,则有:
o
v x l 0,
dv dx
0
x l
u (l , y ) 0 v(l , y ) 0
u(l ,0) 0, v(l ,0) 0 v 0 x x l , y 0
(2) 当 l=4h 时，固定 端 x=l 的位移边界条 件又是什么？
表示在弹性体的边界面上，给定的面力与边界上 的应力之间的关系。 o
弹性力学
讲课教师：刘章军 Tel: 15337416801 2013-09
前一节讲授的主要内容：
1、平面应力问题与平面应变问题
2、平衡微分方程
3、几何方程 刚体位移
4、物理方程
平面应力问题与平面应变问题
平面应力问题 名称 未知量 位移 应变
u,v
平面应变问题 未知量
u,v
已知量
w0
已知量
w0
x xa
fx ,

yx
xy x a
fy
o
在y=b的负面上，应力边界条件：

y
y b
fy ,

y b
fx
x
fx
xy
yx
y
fy
x
fx
xy
x
fx
可以简单地将面力视为应 力，并按照两者符号一致 为正，符号不一致为负。
fy
y
yx
u u , v v （在 su 上)
位移边界条件是物体在边界上保持连续性 的条件，或位移保持连续性的条件。
学习边界条件，重点和难点是如何正确直接 写出具体问题的边界条件。
例：图中所示的位移边界条件
(1) 当 l>>h 时，固定 端 x=l 的位移边界条 件是什么？ h/2 h/2 l
y x
什么是基本方程？
是指弹性体区域内任一微 元的平衡微分方程、几何 方程和物理方程。所有弹 性体的基本方程都相同。 （共性）
什么是边界条件？
是指弹性体边界面上给定 面力与应力边界值、给定 约束与位移边界值之间的 关系式。不同弹性体的边 界条件不同。（个性）
对于任一给定的弹性力学问题，只有在给定的边界条件 下求解基本方程，才能得到唯一的正确解答。
o
su
x
yx xyC
x
y
x
B
fx
y
A
f
y
f
y
S
f
o l cos (n , x) m cos (n , y)
yx xyC
x
ywk.baidu.com
A fy
y
B

x
应力边界条件的实质是 边界上的平衡条件。
fx

n f
o
根据三角形微分体的平衡条件：
0 根据， Fx ：：
z zx zy 0
x , y , xy
体力和面力平行于板面 （ oxy 体力和面力平行于 oxy 平面， 平面） ，且沿板厚不变 且沿 z 轴无变化
z 向尺寸远小于板面（ oxy 平 z 向尺寸远大于 oxy 平面内的 面）尺寸（等厚度薄板） 尺寸（等截面长柱体）
仅存在 3 个平面应力分量 仅 存 在 3 个 平 面 应 变 分 量 x , y , xy ，且均是 x, y 函数 x , y , xy ，且均是 x, y 的函数。
x , y , xy
xz yz 0 z ( x y )
E
x , y , xy
z zx zy 0
xz yz 0 z ( x y )
应力 外力 形状 本质
x , y , xy
l x m xy f x
x
yx xyC
y
B

x
fx
应力边界条件：
y

A fy
n
l x m xy f x l xy m y f y
0 同理， Fy ：：
l xy m y f y
(在S 上)
用矩阵形式表达：
x xy l fx (在S 上) xy y m fy
(u)S u , (v) S v
y负面，方向余弦：
(l 0, m 1)

y
y h /2
x q , yx 0 y h /2 l
0, yx
边界 y h/2 ：，其应力边界条件：
y正面，方向余弦：
(l 0, m 1)

y
0 根据， M C ：：
xy yx
l cos (n , x) 其中：l、m为边界点外法线的方向余弦。m cos (n , y)
特殊边界面上的应力边界条件：
是指边界面为坐标面，即边界面的外法线方向与 坐标轴垂直或平行。 如图在x=a的正面上，应力边界条件：
例：斜截面上的应力边界条件
对于一般边界面，写应力边界条件的四部曲：
y x tan
l sin m cos
f x cos f y sin
y


x
n
cos sin σ x y x tan cos xy y x tan sin sin xy y x tan cos y y x tan
域内的 应变
给定的 位移值
弹性力学问题中的基本关系式
思考与作业
q
o

A
q
x
o
C
n1
A



B
y
n
B
x
y q
n2
(a)
(b)
题1、在斜边界面上，作用有分布面力q ， 其作用方向如图(a)所示，大小为常 数，试列出应力边界条件。 题2、如图(b)所示薄板，证明在凸角A点 处，其应力分量均为零。 题1：在斜边界面上，直接应用应力边界 条件公式，注意边界、面力、外法 线方向余弦的正确表达。 题2、在斜边界AC和AB上分别应用应力 边界条件公式，联合求解即可。
y
fx
fy
fy
例：坐标面上的应力边界条件
σy
q
yx
o
h/2 h/2
σy
x
xy yx
σx
q1
y
l
解 答：
说 明：
边界 x 0 ，其位移边界条件：
位移边界
u x0 u 0, y 0, v x0 v 0, y 0
/2 ，其应力边界条件： 边界 y h：
归纳与总结
应力边界条件
l x S m xy

l xy m y
S
S S
fx fy
位移边界条件
u S
u
u,
v S
u
v
注意：面力和应力在不同边界面上的正负号规 定不同。 记住：面力始终沿坐标正向为正，沿坐标负向 为负；应力正面正向为正，负面负向为 正，与之相反。
归纳与总结 1. 对于应力边界条件，无论是特殊边界面还是 一般边界面，均可以利用应力边界条件公式来 写边界条件。
2. 在写应力边界条件时，关键在于正确写出边 界、面力分量以及边界面外法线的方向余弦。 3. 在边界面上，若作用有集中力、弯矩或扭矩 时，不能应用应力边界条件公式精确表达，在 下节课中将应用圣维南原理进行近似表达。