必修一函数的单调性专题讲解(经典)

(2)第一章函数的基本性质之单调性

一、基本知识

1 .定义：对于函数y f (x)，对于定义域内的自变量的任意两个值x「X2，当捲x2时，都有f(x i) f (X2)(或f (x i) f(X2))，那么就说函数y f (x)在这个区间上是增(或减)函数。

重点2 .证明方法和步骤：

(1) 取值: 设X i,X2是给定区间上任意两个值，且X i X2 ；

(2) 作差: f(xj f(X2)；

(3) 变形: (如因式分解、配方等)；

(4) 宀口

定

号：

即f (x i) f(x2) 0或f (x i) f(x2) 0 ；

(5) 根据定义下结论。

3•常见函数的单调性

⑴ 心) 也+乩k o|时，回在R上是增函数；k

0), (0 , + g)上是增函数,

(k<0时)，匚匚1在(一g, 0), (0, + g)上是减函数，

2

(3)二次函数的单调性：对函数f(x) ax bx c (a 0),

b

当a 0时函数f (x)在对称轴x ——的左侧单调减小，右侧单调增加；

a

K

当a 0时函数f (x)在对称轴x ——的左侧单调增加，右侧单调减小；

a

4 .复合函数的单调性：复合函数y f(g(x))在区间(a,b)具有单调性的规律见下表:

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减” 在函数f(x)、g(x)公共定义域内，增函数f (x)增函数g(x)是增函数；减函数f(x)减函数g (x)是减函数;

5.函数的单调性的应用：

判断函数y f(x)的单调性；比较大小；解不等式；求最值(值域) 例题分析

T

2

例1 :证明函数f(x)=区_1在(0， + 上是减函数。

例2 :证明F@) = / + 3|在定义域上是增函数。

例3 :证明函数f(x)=x 3的单调性。

例4 :讨论函数y =一； 1 — x2在［—1,1］上的单调性.

3

例5 :讨论函数f(x) =W 的单调性.

例6 :讨论函数f(x) x -(x 0)的单调性

x

例7:求函数"Q d + 4—3的单调区间。习题：求函数¥ = 斗龙_5的单调区间。例8 :设f(x)在定义域内是减函数，且 f(x) >0,在其定义域内判断函数y = [f(x)] 2.的单调性

(x —1)2 x >0

例9 :若f(x)= ，则f(x)的单调增区间是________ ,单调减区间是 _________

x + 1 x v 0

例10 :对于任意x>0,不等式x2 +2x-a >0恒成立，求实数a的取值范围。

例ii:若函数F(x)= -皿兀+ 5 -皿|在十°°)上是增函数，在1 _卩一可上是减函数，则实数

m的值为

例12 :若定义在R上的单调减函数f(x)满足i I」 I九 I ,求a的取值范围。

习题：若定义在丘回上的单调减函数f(x)满足『魚+ -3a)|,求a的取值范围。

针对性训练

2

习题：若函数仏)-& 叫十―叫在| - 2, + °°)|上是增函数，则实数m的范围为；

a 的取值范围．

一、 选择题(每小题5分，共20分) 1 •函数y = — x

3 4 5 6 7 8

的单调减区间为( )

A • ( — 8, 0]

B . [0，+m

) C • ( — 8, 0) D • (— m,+m)

2 .若函数y = kx + b 是R 上的减函数，那么( )

A. k<0 B . k>0 C . k 工 0 D •无法确定 3 .下列函数在指定区间上为单调函数的是

( )

2

A . y =—, x € ( —8, op,u*8)

x

8 .定义在(—1,1)上的函数f(x)是减函数，且满足 f(1 — a) v f(a)，求实数a 的取值范围.

9 . (10分)函数f(x) = x 2

— 2ax — 3在区间［1,2］上单调，求

3

B. y =

, x € (1 ,+8)

x — 1

C. y = x 2 , x €R D . y = |x|, x €R

5 .已知函数f(x) = x 2 + bx + c 的图象的对称轴为直线 x = 1，则( )

A . f( — 1)

B . f(1)

C . f(2)

D . f(1)

二、 填空题(每小题5分，共10分)

6 .若f(x)是R 上的增函数，且f(X 1)>f(X 2)，则X 1与X 2的大小关系是 ______________

7 .设函数f(x)是(—8,+8

)上的减函数，则h 2 + 1)与f(a)的大小是 _________ .

三、 解答题(每小题10分，共20分)

x + 2

8 .求函数f(x)= 的单调区间，并证明 f(x)在其单调区间上的单调性.

x + 1