质点动力学简
§3.3 质点系的动力学方程(YBY
m1a1 F1 f12 ,
f12 f21
m2a2 F2 f21
m1a1 m2a2 F1 F2
推广到质点组 （1） m a F F ii i （1）称为质点组的动力学方程。 2、质点系质心动力学方程
（5）
质点系的质心运动定理在直角坐标系中投影式为
Fx Fix maCx , Fy Fiy maCy , Fz Fiz maCz （6）
质心运动定理给出质心加速度，描述了质点系整体运动的重要 特征．并未对质点系运动作全面描述，更全面描述质点系的运 动，还应进—步研究各质点相对质心的运动．
d 2 ri F Fi mi ai mi 2 dt
2 2
d d mi ri 2 mi ri m 2 dt dt m
（2）
m r ii m
具有长度的量纲，描述与质点系相关的某一空间点的位置 m r ii （3） 引入质心的概念 rC m 在直角坐标系
m1r1 m2 r2 rc (t ) m1 m2 r2 (t ) r1 (t ) r (t )
m2 r1 (t ) rc (t ) m m r (t ) 1 2 m1 r r (t ) 2 (t ) rc (t ) m1 m2
m x ,
i i
xc
m
yc
m y ,
i i
m
大学物理第二章质点动力学PPT课件
•若物体与流体的相对速度接近空气中的声速时，阻 力将按 f v3 迅速增大。
•常见的正压力、支持力、拉力、张力、弹簧的恢复 力、摩擦力、流体阻力等，从最基本的层次来看， 都属于电磁相互作用。
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五、牛顿定律的应用
•应用牛顿运动定律解题时，通常要用分量式：
如在直角坐标系中：
在自然坐标系中：
Fn
man
mv2
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6
三、牛顿第三定律
物体间的作用是相互的。两个物体之间的作用
力和反作用力，沿同一直线，大小相等，方向相反，
分别作用在两个物体上。
F21F12
第三定律主要表明以下几点：
（1）物体间的作用力具有相互作用的本质：即力总 是成对出现，作用力和反作用力同时存在，同时消 失，在同一条直线上，大小相等而方向相反。
（4）由于力、加速度都是矢量，第二定律的表示式 是矢量式。在解题时常常用其分量式，如在平面直 角坐标系X、Y轴上的分量式为 ：
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Fx mxamddxvtmdd22xt Fy myamddyvtmd d22yt
在处理曲线运动问题时，还常用到沿切线方向 和法线方向上的分量式，即：
Ft
mat
mdv dt
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1983年第17届国际计量大会定义长度单位用真空中 的光速规定：
c = 299792458 m/s
因而米是光在真空中1299,792,458秒的时间间 隔内所经路程的长度。
❖其它所有物理量均为导出量，其单位为导出单位
如：速度 V=S/ t， 单位：米/秒（m/s）
加速度a=△V/t，单位：米/秒2（m/s2）
•摩擦力：两个相互接触的物体在 沿接触面相对运动时,或者有相对 运动趋势时,在接触面之间产生的
理论力学第10章 质点动力学
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
《大学物理》第2章 质点动力学
TM
Tm
2Mm M m
g
a
ar
M M
m m
g
a
FM
TM
ar
F m
Tm m
a
M PM
ar
Pm
注：牛顿第二 定律中的加速 度是相对于惯 性系而言的 。
例2 在倾角 θ 30 的固定光滑斜面上放一质量为
M的楔形滑块，其上表面与水平面平行，在其上 放一质量为m的小球， M 和m间无摩擦，
且 M 2m 。
解：以弹簧原长处为坐标原点 。
Fx kx
F Bm A
元功：
O xB x
xA x
dW Fx dx kxdx
dx
弹力做功：W
xB xA
kxdx
1 2
kxA2
1 2
kxB2
2.3.4 势能 Ep
W保 Ep Ep0 Ep
Ep重 mgh
牛顿 Issac Newton（1643－1727） 杰出的英国物理学家,经 典物理学的奠基人.他的 不朽巨著《自然哲学的数 学原理》总结了前人和自 己关于力学以及微积分学 方面的研究成果. 他在光 学、热学和天文学等学科 都有重大发现.
第2章 质点动力学
2.1 牛顿运动定律 2.1.1 牛顿运动定律
1 牛顿第一定律（惯性定律） • 内容：一切物体总保持静止状态或匀速直线运动 状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。 • 内涵： 任何物体都有保持静止或匀速直线运动状态的趋势。 给出了力的定义 。 定义了一种参照系------惯性参照系。
非惯性参照系：相对于已知的惯性系作变速运动 的参照系。
惯性定律在非惯性系 中不成立。
2．2 动量定理 动量守恒定律
《理论力学》第九章质点动力学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中非常重要的一个分支，它研究的是质点在力的作用下的运动规律。
在质点动力学中，我们通常假设质点的大小可以忽略不计，只考虑它的位置和速度，这样我们就可以用简单的数学模型描述质点的运动。
在本文中，我们将系统地总结质点动力学的一些基本知识点，包括质点的运动方程、牛顿运动定律、动量和能量等。
希望本文可以帮助读者更好地理解质点动力学的基本概念和原理。
一、质点的运动方程质点的运动可以用位置矢量 r(t) 来描述，它随时间 t 的变化可以用速度矢量 v(t) 来表示。
根据牛顿第二定律 F=ma，质点的运动方程可以写成：m*a = F，其中 m 是质点的质量，a 是质点的加速度，F 是作用在质点上的力。
根据牛顿运动定律，我们可以利用力学原理得到质点在外力作用下的运动规律。
二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点动力学的基础，它包括三条定律：1. 第一定律：物体静止或匀速直线运动时，外力平衡。
这是牛顿运动定律中最基本的一条定律，也是质点动力学的基础。
2. 第二定律：力的大小与加速度成正比，方向与加速度的方向相同。
这条定律描述了质点在外力作用下的加速度与力的关系，是质点动力学的重要定律之一。
3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且作用在不同物体上。
这条定律描述了两个物体之间的相互作用，也是质点动力学中不可或缺的定律之一。
三、动量动量是质点运动的另一个重要物理量，它定义为质点的质量 m 乘以它的速度 v，即 p=m*v。
根据牛顿第二定律 F=dp/dt，我们可以推导出动量的变化率与外力的关系，从而得到动量守恒定律。
动量守恒定律是质点动力学中非常重要的一个定律，它描述了在没有外力作用下，质点的动量将保持不变。
根据动量守恒定律，我们可以在实际问题中很方便地利用动量守恒来解决问题。
四、能量能量是质点动力学中另一个重要的物理量，它定义为质点的动能和势能的总和。
动能是质点由于速度而具有的能量，它和质点的质量和速度有关；势能是质点由于位置而具有的能量，它和质点的位置和作用力有关。
工程力学动力学知识点梳理
工程力学动力学知识点梳理工程力学中的动力学是研究物体机械运动与作用力之间关系的学科分支。
它对于理解和解决各种实际工程问题具有重要意义。
下面让我们一起来梳理一下工程力学动力学中的关键知识点。
一、质点动力学的基本概念首先要了解的是质点的概念。
质点是指在研究物体的运动时，如果物体的大小和形状对研究结果的影响可以忽略不计，就可以把物体看作一个只有质量而没有大小和形状的点。
力是使物体运动状态发生改变的原因。
力的三要素包括大小、方向和作用点。
在动力学中，常见的力有重力、弹力、摩擦力等。
加速度是描述物体速度变化快慢的物理量。
加速度与力之间存在着直接的关系，这就是牛顿第二定律：物体所受的合力等于物体的质量乘以加速度，即＄F ＝ ma$。
二、动量定理动量是物体质量与速度的乘积，用＄p ＝ mv$ 表示。
动量定理指出，合外力的冲量等于物体动量的增量。
冲量则是力在时间上的累积，用＄I ＝ F ＼Delta t$ 表示。
通过动量定理，可以方便地分析和解决一些碰撞、冲击等问题。
例如，在两个物体的碰撞过程中，通过计算动量的变化，可以了解碰撞前后物体速度的变化情况。
三、动量守恒定律如果一个系统所受的合外力为零，那么这个系统的总动量保持不变，这就是动量守恒定律。
在实际应用中，动量守恒定律常用于分析爆炸、反冲等问题。
比如火箭发射，燃料燃烧产生的气体向后喷出，从而使火箭向前运动，整个过程中动量守恒。
四、动能定理动能是物体由于运动而具有的能量，用＄E_k ＝＼frac{1}｛2}mv^2$ 表示。
动能定理表明，合外力对物体所做的功等于物体动能的增量。
利用动能定理，可以简便地计算物体在不同力作用下速度的变化，或者求出力所做的功。
五、机械能守恒定律在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变，这就是机械能守恒定律。
例如，物体在自由落体运动中，重力势能不断减少，动能不断增加，但机械能始终守恒。
六、刚体的定轴转动刚体是指在运动过程中形状和大小都不发生变化的物体。
质点动力学的基本方程最新课件.ppt
则x 求:
l 1
0,
2
4
r
cos t cos 2
4
时杆AB受力F
t
?
r l
1
2
解:研究滑块
max F cos
其中 ax x r2cos t cos2 t
当 0时, ax r21 ,且 0,
得 F mr21
当
l2 r2 l
伽利略通过实验得到了“摆的小摆动周期与摆长的平方根成 正比”的结论，从理论上为钟表的核心装置——摆奠定了基础。 伽利略对自由落体和摆的研究也标志着人类对动力学研究的开始。
1657年，惠更斯完成了摆钟的设计。他还发表了一系列关 于单摆与动力学的重要研究结果，如向心力和向心加速度的概念。
1676年，英国学者胡克发表了胡克定律，使人们对弹簧出现 了两项改进；弹簧发条储能器的改进；弹簧摆轮（或游丝）的发 明。基于这两项改进，便于携带的钟表、怀表、手表开始出现。
例9-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速
度 转动,OA=r,AB=l,当 r / l 比较小时,以O 为坐
标原点,滑块B 的运动方程可近似写为
x
l
1
2
4
r
cos
t
4
cos
2
t
如滑块的质量为m, 忽 略摩擦及连杆AB的质量,试
求当 t 0和 时 ,
连杆AB所受的力. 2
已知: 常量, OA r, AB l, m。 设
0
mk 0
得质点运动方程
x v0t,
y
eA mk2
coskt 1
(c)
轨迹方程
y
eA mk2
cos
k v0
工程力学(动力学、静力学、运动学)
r LO
=
r MO
(mivri
)
=
rri × mivri
LOz = J zω
二、动力学普遍定理
1、物理量
（4）转动惯量 ① 定义
∑ J zz = rii22mii
ii
Jz
=
mρ
2 z
回转半径
z
ri
vi
mi
ω
mO
y
x
二、动力学普遍定理
1、物理量
② 简单形体的转动惯量
● 均质细圆环 JCC = mr 22
[例 题]
两重物的质量均为m，分别系在两软绳上。此两绳又分别绕在半 径各为r与2r并固结一起的两圆轮上。两圆轮构成之鼓轮的的质量亦
为m，对轴O的回转半径为ρ0。两重物中一铅垂悬挂，一置于光滑平 面上。当系统在左重物重力作用下运动时，鼓轮的角加速度α为：
（A）
α
=
5r
2
2
g+rρ02（B）
α = 2gr 3r 2 + ρ02
置作用于物块的约束力FN大小的关系为：
y
（A）FN1 = FN0 = FN2 = W （B） FN1 > FN0 = W > FN2 （C） FN1 < FN0 = W < FN2
A
a1
0 a
2
（D） FN1 = FN2 < FN0 = W
答案：C
一、质点动力学
[例 题]
r F
已知：以上抛的小球质量为m，受空气阻力
牛顿第二定律（力与加速度之间的关系定律）
∑ m ar =
r Fii
ii
牛顿第三定律（作用与反作用定律）
理论力学 质点动力学
第8章质点动力学
[例8-1]桥式起重机跑车吊挂一质量为m的重物，沿水平横梁作
ν
匀速运动，速度为，重物中心至悬挂点距离为l。
突然刹车，
重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
解：1）以重物为研究对象2）受力分析mg
F T
a n a t 3）运动分析4）牛顿第二定律
ϕ
sin mg ma t −=ϕ
cos mg F ma T n −=∑=t
t F ma ∑=n
n F ma 5）补充方程
ϕsin mg dt
dv
m −=ϕcos 2
mg F l
v
m T −=
mg
F T
a n a t ϕsin mg dt
dv
m −=ϕcos 2
mg F l
v
m T −=0<dt
dv 重物减速
=ϕ0
max v v =max
T T , 0F F ==时ϕ)
1(20
max
T gl
v
mg F +=
a n
F N
a t
a n
ma
mg
F N
a t a n
mg
O
解释非惯性系一些物理现象
飞机急速爬高时
飞行员的黑晕现象
爬升时：a > 5g
惯性参考系——地球
非惯性参考系——飞机
动点——血流质点
牵连惯性力向下，从心脏流向头部的血流受阻，造成大脑缺血，形成黑晕现象。
飞行员的黑晕与红视现象
在北半球的弹道偏右;在南半球的弹道偏左
a
C
F
IC。
大学物理-质点动力学学(2024版)
在同一直线上。
(2) 分别作用于两个物体上，不能抵消。
F F
(3) 属于同一种性质的力。 (4) 物体静止或运动均适用。
四、牛顿定律的应用 例2-1. 质量为m的物体被竖直上抛，初
解题步骤： (1) 确定研究对象。隔离
速度为v0，物体受到的空气阻力数值与 其速率成正比，即f = kv，k为常数，求
曲线下面的面积表示。
F
A F dx
O xa
xb x
力 位移曲线下的面积表示力F 所作的功的大小。
一、功
元功
dA F dr
dA F dr
Fxdx Fydy Fzdz
例2-1、一质点做圆周运动 ，有一力 F F0 xi yj
作用于质点，在 质点由原点至P(0， 2R)点过程中，F 力做的功为多少？
惯性质量:物体惯性大小的量度。 引力质量: 物体间相互作用的“能 力”大小的量度。 思考：什么情况下惯性质量与引 力质量相等？
2. 牛顿第一定律(惯性定律)
任何物体都保持静止
或匀速直线运动态，直至
其它物体所作用的力迫使
它改变这种状态为止。
3. 力的数学描述： 大小、方向、作用
点—矢量
二、牛顿第二定律
L2
路 径 绕 行 一 周 ， 这 些
力所做的功恒为零，
a 若 A
F dr 0,
具有这种特性的力统
L
称为保守力。
若
A
F dr 0,
没有这种特性的力，
L
F 为保守力。 F 为非保守力。
统称为非保守力 或耗
保守力：重力、弹性力、万有引力、
散力。
静电力。
非保守力：摩擦力、爆炸力
五、势能
大学物理第2章_质点动力学_知识框架图和解题指导和习题
第2章 质点动力学一、基本要求1．理解冲量、动量，功和能等基本概念；2．会用微积分方法计算变力做功，理解保守力作功的特点；3．掌握运用动量守恒定律和机械能守恒定律分析简单系统在平面内运动的力学问题的思想和方法。
二、基本内容（一）本章重点和难点：重点：动量守恒定律和能量守恒定律的条件审核、综合性力学问题的分析求解。
难点：微积分方法求解变力做功。
（二）知识网络结构图：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧公式只有保守内力做功条件能量守恒定律公式合外力为条件动量守恒定律守恒定律动能定理动量定理基本定理能功冲量动量基本物理量)()0(（三）容易混淆的概念： 1.动量和冲量动量是质点的质量与速度的乘积；冲量是合外力随时间的累积效应，合外力的冲量等于动量增量。
2.保守力和非保守力保守力是做功只与始末位置有关而与具体路径无关的力，沿闭合路径运动一周保守力做功为0；非保守力是做功与具体路径有关的力。
(四)主要内容： 1．动量、冲量动量：p mv =u r r冲量：⎰⋅=21t t dt F I ϖϖ2．动量定理：质点动量定理：⎰∆=-=⋅=2112t t v m P P dt F I ϖϖϖϖϖ 质点系动量定理：dtPd F ϖϖ=3．动量守恒定律：当系统所受合外力为零时，即0=ex F ϖ时，或in ex F F u r u r ? 系统的总动量保持不变，即：∑===n i i i C v m P 1ϖϖ4．变力做功：dr F r d F W BAB A⎰⎰=⋅=θcos ϖϖ（θ为)之间夹角与r d F ϖϖ直角坐标系中：)d d d ( z F y F x F W z y BAx ++=⎰5．动能定理：（1）质点动能定理：k1k221222121E E mv mv W -=-=（质点所受合外力做功等于质点动能增量。
）（2）质点系动能定理:∑∑==-=+ni ni E E W W1kio1ki inex（质点系所受外力做功和内力做功之和等于质点系动能增量。
质点在柱坐标系中的动力学方程
质点在柱坐标系中的动力学方程在经典力学中，质点在柱坐标系中的动力学方程是研究力学系统最基础的问题，它可以描述物体在各种物理情形和力学条件下的运动规律及其相互作用。
本文将重点介绍质点在柱坐标系中的动力学方程，包括其定义、数学模型以及相关求解方法。
首先，质点在柱坐标系中的动力学方程是指在柱坐标系内，描述物体运动的一组基本方程，它包括牛顿二阶定律和牛顿三阶定律。
牛顿二阶定律是指，给定一个点定义的柱坐标系，一个质点施加的外力和惯性力的总和等于这个质点的动量的变化（即质点的质量乘以它的加速度）。
这个定律可以用如下形式表示：F_{ext} + F_{iner} = m vec a其中，F_{ext}外力，F_{iner}惯性力，m是质量，a是加速度。
牛顿三阶定律是指，在某一点定义的柱坐标系下，一个质点施加外力和惯性力总和等于这个质点的惯性力（即质量乘以加速度的二阶导数）。
这个定律可以用如下形式表示：F_{ext} + F_{iner} = m ddot {vec x}其中，F_{ext}外力，F_{iner}惯性力，m是质量，x是加速度的二阶导数。
质点在柱坐标系中的动力学方程可以用以下数学模型来表示：begin{equation} dot{vec P} = vec F_{ext} + vec F_{iner} end{equation}begin{equation} dot{vec P} = m vec a end{equation}begin{equation} dot{vec P} = m ddot {vec x} end{equation} 其中，P为质点的动量，F_{ext}和F_{iner}分别为外力和惯性力，m为质量，a为加速度，x为加速度的二阶导数。
各项量的具体定义可以参见经典力学书。
质点在柱坐标系中的动力学方程可以经由不同的方法来求解，其中，最常用的方法有齐次线性方法、拉普拉斯变换和拉格朗日四次求积分等。
质点动力学-动量及动量定理 (2)
柔绳对桌面的冲力F＝－F’ 即：
M 2 2 Fv v 而 v 2 g x FM 2 g x / L L
2
而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L 所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
fi 0
i
'
f
质点系
结论：质点系的内力之和为零
F
外力: 系统外部对质点系内部质点的作用力 约定：系统内任一质点受力之和写成 外力之和
F i fi
内力之和
二、质点系的动量定理
•两个质点的系统
m
1
f
F1
F2
d P1 F1 f dt
m
2
f
d P P 1 d 2 F f F f 1 2 d t d t
解：以链条为系统，向上为X正向，地面为原点建立 坐标系。 t时刻，系统总动量 P X v xv a d x d v dP d(xv) v x x d t d t dt dt
v ax
2
O
变质量问题
系统动量对时间的变化率为：
d P 2 3 ax v ax 2 ax ax d t t时刻，系统受合外 Iy Iz
t2 t1 t2 t1 t2 t1
F x dt F y dt F z dt
+
0 t1 t2 t
（注意可取 + -号）
冲量的几何意义：冲量
I x 在数值上等于
Fx ~ t 图线与坐标轴所围的面积。
3、质点的动量定理
d v d P F m a m d t d t
大学物理 质点动力学
a物惯 a物A a A惯
解方程
3.列方程
大学 物理学
例2.1 一细绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬 有质量为m1 和 m2的物体( m1 ＜ m2 )，如图2.2所示.设滑轮和 绳的质量可忽略不计，绳不能伸长，试求物体的加速度以 及悬挂滑轮的绳中张力.
m2 定滑轮为研究 解 分别以 m1 ， 对象，其隔离体受力如图所示.
T1 T2 T， a1 a2 a
m2 m1 a g， m1 +m2
解①和②两式得
2m1m 2 T g. m1 +m2
由牛顿第三定律知：T1' T1 T， T2' T2 T ，又考虑到定滑轮质量不 计，所以有
容易证明
4m1m2 T 2T g m1 +m2
1 7.3 10 rad s
5
1
由于地球的自转， 地球上的物体有法向 加速度。
大学 物理学
大量的事实和实验表明：
地球不是一个严格的惯性系。
傅科摆 河岸冲刷 赤道附近的信风 强热带风暴漩涡 落体偏东
地球自转：科里奥利加速度
Rse
Rse 1.5 108 km 1Au
a自转 3 6 g , a公转 g 1000 10000
明朝1644年灭亡，康熙皇帝：1654-1722
大学 物理学
动力学：研究作用于物体上的力和
物体机械运动状态变化之间的关系。
• 本章主要内容： • §2.1 牛顿运动定律 • §2.2 动量 动量守恒定律 • §2.2 功 动能 势能 机械能守 恒定律 • §2.2 角动量 角动量守恒定律
大学 物理学
对 m1，它在绳子拉力 T1 及重力 m1 g 的作用下以加速度 a1向上运动，取 向上为正向，则有
大学物理 第二章 质点动力学
A Fs cos
A F s
（2-27）
式中为力F与位移 s之间的夹角。 根据矢量标积的定义，上式可以写成：
（2-28） 注意：如果力为变力，或质点作曲线运动，力作的功就不 能用上式来计算,而应该应用微积分的方法来计算力作的功。
设质点在变力 F 的作用下，沿曲线从A点运动到B点。将A 到B 的路径分成许多小段，任取一小段位移，用 d r 来表示。由 于 d r 非常微小，可以认为质点在这段位移元上所受的力为恒 力，则力对质点作的元功为：
A
在直角坐标系中:
A Fx dx Fy dy Fz dz Fx dx Fy dy Fz dz
二、质点的动能定理：
dr vB B 1 2 1 2 dv A m dr m dv mvdv mvB mvA A A vA dt dt 2 2 即：合力对质点所作的功等于质点始、末两状态的动能 的增量。 所以说：功是动能变化的量度。
F dv 解： 6t m dt
dx v 3t dt
2
dx 3t 2dt
A
x
0
3 36 t F 3 t d t Fdx dt 144J
2 0
t
2
0
2 P F v 12t 3t 288W
补充例题
例4 已知用力 F从竖直方向缓慢拉质量为m 的小球，且 F 保持方向不变。 求 = 0 时，F 作的功。 L θ 解： F T sin θ 0 T cosθ mg 0 T
B
课后思考及作业
阅读：P60-68 作业：习题2-25、习题2-26
2 2 2 4 2 2
由点(2，0) 到点（2，4）由于x=2为常量，dx=0，所以:
动力学中的质点与刚体的区别
动力学中的质点与刚体的区别在动力学中，质点和刚体是两个重要的概念，它们在运动学和力学中起着不同的作用和描述方式。
本文将就质点和刚体在动力学中的区别进行详细阐述。
1. 质点的定义与特点质点是动力学中最简单的模型，将物体看作一个质点可以忽略物体的大小和形状，只关注其质量和位置。
质点有以下特点：1.1 忽略大小和形状：质点是一个理想化的模型，不考虑物体的实际形态和尺寸，将其简化为一个点。
1.2 只关注质量和位置：质点的描述主要关注物体的质量，即物体所具有的质量大小；以及物体的位置，即物体所处的空间位置。
1.3 运动轨迹确定：质点的运动轨迹可以用一个点表示，因为质点不具有形状和大小，只有位置的改变。
2. 刚体的定义与特点刚体与质点相比，是一个更复杂的模型。
刚体可以看作是由无数个质点组成的物体，具有一定的形状和大小，刚体有以下特点：2.1 有形状和大小：刚体在运动过程中保持其形状和大小不变，即使受到外力的作用也不会发生形变。
2.2 有自由度：刚体在运动时可以有三个平移自由度和三个旋转自由度，可以沿三个坐标轴做平移运动，同时也可以绕三个坐标轴做旋转运动。
2.3 有转动惯量：刚体的转动惯量是描述其旋转运动惯性的物理量，与刚体的质量以及形状分布有关。
3. 质点和刚体的运动描述质点和刚体的运动描述方式不同：3.1 质点的描述：质点在运动学中可以用坐标系表示其位置，如笛卡尔坐标系或极坐标系，动力学中可以用位矢和速度矢量表示其位置和速度。
3.2 刚体的描述：刚体的运动需要考虑其平移和旋转运动，可以用位矢和角度表示其位置和姿态，以及线速度和角速度表示其运动状态。
4. 质点和刚体的运动方程质点和刚体的运动方程也不同：4.1 质点的运动方程：质点在动力学中的运动方程可以用牛顿第二定律来描述，即F=ma，其中F表示作用在质点上的合力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
4.2 刚体的运动方程：刚体的运动方程分为平移和旋转两部分，平移运动由牛顿第二定律描述，旋转运动由牛顿第二定律的角动量形式来描述。
理论力学质点动力学
˙ 、和时 质点的加速度¨ r 和作用力F 成正比。一般情况下，力可以是坐标r、速度r 间t 的函数。这里m 为惯性质量。
1.2 动量、角动量和能量
(1) 动量与冲量 动量的定义：p = mv；冲量：Fdt； 动量定理： ˙ = F(r, r ˙ , t), p dp = Fdt；动量对时间的变化率等于力。 冲量定理：p2 − p1 = p1 ，意味着动量守恒。 (2) 角动量与力矩 角动量的定义：J = r × p. 力矩：M = r × F.
Contents
1 质点动力学 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 牛顿动力学方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 动量、角动量和能量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 各种坐标系下的牛顿方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 4
r
F · dr = V (r) − V (0)
0 r
=
0 r
dV ∂V ∂V ∂V dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∇V · dr.
0
=
0 r
=
r
(F − ∇V ) · dr = 0.
0 r
(1.6)
因为路径是任意的，故F = ∇V ，可以看出V (r) = V (0) + 0 F · dr，只要知 道保守力的表达式，即可由此得到势能的表达式。注意，这里如果假定无穷远 处为能量零点，即可得F = −∇V 。 (iii) 机械能 机械能：势能和动能之和 T + V 。 对于保守力，我们有 dT = F • dr = −∇V (r) • dr = −dV 。 于是，d(T + V ) = 0，即机械能守恒。
列车单质点动力学模型
列车单质点动力学模型
列车单质点动力学模型是一种简化的列车运动描述方法，它将整列火车视为一个单一的质点，从而简化了复杂的列车动力学问题。
这一模型虽然在某些精细分析方面可能存在局限，但在许多工程实践中却极具实用性，能够为列车控制和运行优化提供基础支持。
单质点动力学模型基于牛顿第二定律，即F=ma，其中F是作用在列车上的合力，m是列车的质量，a是列车的加速度。
在这个模型中，列车被视为一个集中质量的点，所有外部作用力（如牵引力、制动力、空气阻力、坡道阻力等）都被集中在这个点上。
这样，列车的运动就可以通过一个简单的动力学方程来描述。
在列车单质点动力学模型中，通常会考虑列车的运动阻力，包括基本阻力（与列车速度成正比）和附加阻力（如坡道阻力和曲线阻力）。
这些阻力与列车速度、列车质量以及运行环境等因素密切相关。
通过测量和计算这些阻力，可以更准确地预测列车的运动状态。
此外，列车单质点动力学模型还可以用于分析列车的制动性能和牵引性能。
通过调整模型中的参数，可以模拟不同制动和牵引条件下的列车运动情况，从而为列车制动和牵引系统的设计和优化提供依据。
然而，值得注意的是，由于列车单质点动力学模型忽略了列车的内部结构和动力学特性，因此在一些需要更高精度分析的场合（如列车稳定性分析、车辆间动力学耦合等），这一模型可能不再适用。
在这些情况下，需要采用更为复杂的列车多质点动力学模型或有限元模型来进行研究。
综上所述，列车单质点动力学模型是一种简单而实用的列车运动描述方法，它能够在许多工程实践中提供有效的支持和指导。
虽然这一模型在某些方面可能存在局限，但其简洁性和实用性使其仍具有广泛的应用价值。
《大学物理》第二章《质点动力学》课件
相对论中的质点动力学
相对论简介
01
相对论是由爱因斯坦提出的理论，包括特殊相对论和广义相对
论，对经典力学和电动力学进行了修正和发展。
质点动力学
02
在相对论中，质点的运动遵循质点动力学规律，需要考虑相对
论效应。
实际应用
03
相对论中的质点动力学在粒子物理、宇宙学和天文学等领域具
有重要意义，如解释宇宙射线、黑洞和宇宙膨胀等现象。
牛顿运动定律的应用
通过牛顿第二定律分析质点在各种力作用下的运动规律。
弹性碰撞和非弹性碰撞
碰撞的定义
两个物体在极短时间内相互作用的过 程。
弹性碰撞
两个物体碰撞后，动能没有损失，只 发生形状和速度方向的改变。
非弹性碰撞
两个物体碰撞后，动能有一定损失， 不仅发生形状和速度方向的改变，还 可能有物质交换。
01
运动分析
火箭发射过程中，需要分析火箭的加速 度、速度和位移等运动参数，以确定最 佳发射时间和条件。
02
03
实际应用
火箭发射的运动分析对于航天工程、 军事和商业发射等领域具有重要意义。Fra bibliotek球自转的角动量守恒
1 2
地球自转
地球绕自身轴线旋转，具有角动量。
角动量守恒
在没有外力矩作用的情况下，地球自转的角动量 保持不变。
相对论和量子力学
随着科学技术的不断发展，相对论和量子力学逐 渐兴起，对质点动力学产生了深远的影响。相对 论提出了新的时空观念和质能关系，而量子力学 则揭示了微观世界的奇特性质。
牛顿时代
牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出了三大运 动定律和万有引力定律，奠定了经典力学的基础 。
现代
现代物理学在继承经典理论的基础上，不断探索 新的理论框架和实验手段，推动质点动力学的发 展和完善。
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表述一：物体受到外力作用时，所获 得的加速度的大小与合外力成正比，
ar F m
与物体的质量成反比，加速度的方向 特定单位制(SI)下，
与合外力的方向相同。
r F
mar
表述二：动量为
pv
的物体，在合外力
v F
(牛顿运动方程)
的作用下，其
动量随时间Fr 的 变ddprt化率应等于[注作] 用但其于更实物具此有表体一述的般是合性后外。提力出。的，
牛顿运动定律指出了物体运动状态变化的原因——力 的作用，并给出了定量关系和规律。 牛顿运动定律是在多人的实验基础上总结出来的；针 对质点的运动提出，也可应用于质点系和刚体。
牛顿运动定律只适用于惯性参考系（在非惯性系下， 还需引入惯性力——等效于一种引力）。 牛顿运动定律只适用于低速（远小于光速）运动的宏 观（非量子）体系；不过它的某些基本思想在Euler、 Lagrange和Hamilton的一般推广形式下，可借鉴应用 于微观量子系统。
(2) 作用在不同的物体上；
[作用力和反作用力不是一对平衡力!]
(3) 作用性质相同，但作用效果不同。[“打”与“被打”]
(4) 仅适用于惯性系、质点
牛顿定律的应用（略；附后，不讲解）
§2.2 惯性系与非惯性系 （略；不作要求）
§2.3 物理量的单位与量纲 （建议了解）
[在经典力学中，人们认为物体质量始终保持不变。]
r F
dpr
d (mvr )
m dvr
mar
dt dt
dt
注：
(1) 牛顿第二定律建立起了物体受力与物体运动之间 的定量关系；
(2) 确立了物体惯性的量度方法——质量； [物体质量越大, 惯性越大, 越不易改变运动状态]
定义了惯性质量(inertial mass): 牛顿第二定律中
1、牛顿第一定律 (Newton’s First Law)
任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到其
他物体对F它v 作0用(的不力受迫力使)时它，改变vr这种恒运矢动量状态为止。
[注]：
(1) 表明任何物体都有保持其运动状态不变的性质—— 惯性(inertia)；故又称“惯性定律”。
［惯性的表征：质量。(质量的来源仍在研究)］
Friedrich Engels：“牛顿由于发现了万有引力定律 而创立了天文学，由于进行光的分解而创立了科学的光 学，由于创立了二项式定理和无限理论而创立了科学的 数学，由于认识了力学的本性而创立了科学的力学。”
Newton：“如果说我比别人看得更远些，那是因为我站 在了巨人的肩上。” 牛顿力学不只是牛顿一人的贡献，还包括这些“巨人” ：
(6) 牛顿第二定律只适用于惯性参考系。
3、牛顿第三定律 (Newton’s Third Law)
作用力和反作用力总是沿同一条直线，大小相等、
方向相反，分别作用在两个物体上。 r r
注：
F12 F21
(1) 作用力总是成对出现；
力的作用是相互的；“同时存在，同时消失”。 ［王注：在微观量子场理论中，力的概念将被淡化，且相 互作用的传递需要时间，不是超距、瞬间完成的。］
牛顿
Issac Newton （1643.1.4－ 1727.3.20） 英国物理学家, 经典力学奠基 人、集大成者.
在Galileo辞世当年，遗腹子I.N. 出生于英 格兰农耕家庭，少时并不起眼，爱动手。18 岁进剑桥大学，1668年获硕士学位，次年任 教授。1672年为皇家学会会员，1703年成终 身会长。1699年任造币局长，两年后辞剑桥 大学工作，1705年被封爵士。在力学领域贡 献最大，其代表作《自然哲学的数学原理》 (1687) 是力学的经典著作；对数学 (微积分, 无穷级数, 二项式定理)、光学(色谱, 几何光学, 干涉与衍射现象, 粒子说)、热学(冷却定律)、 声学、天文学等都有贡献。他的科研方法论 在物理学乃至整个自然科学领域对后世影响 深远；其哲学思想也导致了机械观盛行。 勤奋；理论与实验兼修。与Leibnitz关于微积 分首创权之争是其为人瑕疵。
Galileo Galilei (1564~1642)：力学、天文学、哲学; Johannes Kepler (1571~1630)：天文学; RenéDescartes (1596~1650)：哲学、数学、物理学; Leonardo da ห้องสมุดไป่ตู้inci (1452~1519)：美术、物理学、数
学、天文、建筑、 生物、生理、地质、气象； Christiaan Huygens (1629~1695)：力学、光学； Gottfried W. Leibnitz (1646~1716): 数学, 力学, 哲学...
对比于引力质量(gravitational mass): 万有引力定律中
［实验上：二者相等，故常不区分；Einstein广义相
对论引力理论中，则把这当成了基本原理。］
r
(3) 其中 F 是物体所受的合外力；
(4)
F
ma
是矢量关系；
r
r
F Fi
i
(5)
F
ma
是瞬时性关系；一般，力因时空而变。
(2) 指出了力是改变物体运动状态的原因。
［力的起源：物体间的相互作用］
(3) 定义了惯性系 (inertial reference frame)。
［王：如果在某参考系中，一个不受力作用 (或所 受合外力为0)的物体能保持其静止或匀速直线运动 状态, 则该参考系为惯性参考系］
2、牛顿第二定律 (Newton’s Second Law) r
发展：Leonhard Euler (1707~1783), J.R. d‘Alembert (1717~1783),
J.-L. Lagrange (1735~1813), Sir W. R. Hamilton (1805~1865), ……
质点动力学 概要
一、牛顿三定律的基本内涵及其适用条件；
惯性系、量纲概念。
二、力的时间积累效应：动量定理、动量守恒律；
冲量；碰撞问题。
三、力的空间积累效应：动能定理、功能原理、机 械能守恒定律；功、保守力、势能。
该部分的内容以自学为主，课上只作归纳总结。 作业：自学2-4章；练习3。
牛顿定律 （ §2.1，从简）
运动学：物体运动状态的描述——怎么运动 动力学：物体运动状态改变的原因、条件、规律性