《艺考生一轮复习》2021新高考数学 2.3 - 基本不等式 - 教师版

2.3 基本不等式

1．基本不等式：ab ≤

a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a ﹥0，b ﹥0. (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号．

(3)其中a ＋b

2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．

注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误．

2．几个重要不等式：

(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)．

(2)b a ＋a

b ≥ (a ，b 同号)．

(3)ab 2

2⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+b a (a ，b ∈R)．

(4)a 2＋b 2

2 22⎪⎭

⎫ ⎝⎛+b a (a ，b ∈R)．

(5)则b

a

11

2

+

≤ab ≤a ＋b

2≤

2

22b a +(a ﹥0,b ﹥0)其中当且仅当a =b 时取等号（调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数） 3．利用基本不等式求最值问题 已知x ﹥0，y ﹥0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 时，x ＋y 有最 (简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当 时，xy 有 (简记：和定积最大)． 自查自纠 1．(2)a ＝b

2．(2)2 (3)≤ (4) ≥ 3．(1)x ＝y 小值是2p (2)x ＝y 最大值是s 24

1．下列说法正确的是 ( )

A ．a ≥0，b ≥0，则a 2＋b 2≥2ab

B ．函数y ＝x ＋1

x

的最小值是2

C ．函数f (x )＝cos x ＋

4cos x ，x ∈⎪⎭

⎫

⎝⎛2,0π的最小值等于4 D ．“x >0且y >0”是“x y ＋y

x ≥2”的充分不必要条件

答案：D.

解析：选项A 中，a ＝b ＝0.1时不成立；选项B 中，当x ＝－1时y ＝－2；选项C 中，x ∈⎪⎭

⎫

⎝⎛2,0π时，0

4cos x 无最小值；选项D 中，当x y ＋y x ≥2时，需x

y

>0即xy >0，故“x >0且y >0”为充分不必要条件．故选D.

2．(2020.烟台统考)在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )

A ．x

x y 1

+= B ．)0(2sin 4sin π<<-+=x x x y ；

C ．4

522++=x x y D ．24

-+

=x

x

e e y ； 答案：D

3．(2019·玉溪一中月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡3,21上的最小值为 ( )

A ．12

B ．4

3 C ．－1 D ．0

答案：D.

解析：因为x ∈⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡3,21，所以f (x )＝x 2

－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1

时取等号．又1∈⎥⎦⎤

⎢⎣⎡3,21，所以f (x )在⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡3,2

1上的最小值为0.故选D.

4．(2019·北京高二期末)当且仅当x ＝________时，函数y ＝4x ＋1

x (x >0)取得最小值．

答案：12

.

解析：由于x >0，由基本不等式可得y ＝4x ＋1

x ≥2

4x ·1x ＝4，当且仅当4x ＝1

x

(x >0)，即当x ＝12时，等号成立．故填12

. 5．(2019·河南高考模拟)若实数x ，y 满足2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 答案：－2.

解析：由题得2x ＋2y ≥22x ·2y ＝2

2x ＋y (当且仅当x ＝y ＝－1时取等号)，

所以1≥2

2x ＋y ，所以1

4

≥2x ＋y ，所以2－2≥2x ＋y ，所以x ＋y ≤－2.

所以x ＋y 的最大值为－2.故填－2.

题型一 利用基本不等式求最值

1．已知a >0，b >0，且4a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________． 答案：1

16

解析：解法一：因为a >0，b >0，4a ＋b ＝1，所以1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ，当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18，b ＝12时，等号成立．所以ab ≤14，ab ≤116，则ab 的最大值为116

.

解法二：因为4a ＋b ＝1，所以ab ＝14·4a ·b ≤14⎪⎭⎫ ⎝⎛+24b a 2＝116，当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18， b ＝12时等号成立，所以ab 的最大值为116.故填116.

2．已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．

答案：1

解析：因为x <5

4，所以5－4x >0，

则f (x )＝4x －2＋

14x －5＝－⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-+-x x 45145＋3≤－2（5－4x ）·1

5－4x

＋3＝－2＋3＝1.

当且仅当5－4x ＝1

5－4x

，即x ＝1时，等号成立．故填1.

3．(2020届山东滨州高三9月期初考试)已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab ，则2a ＋b 的最小值为________． 答案：8

解析：因为a ＞0，b ＞0，由2a ＋b ＝ab ⇒2b ＋1a ＝1，故2a ＋b ＝(2a ＋b )⎪⎭⎫

⎝⎛+a b 12＝4＋4a b ＋b a ≥

4＋4＝8.当且仅当4a b ＝b

a

，即b ＝2a ＝4时等号成立．

另解：因为a ＞0，b ＞0，所以ab ＝2a ＋b ≥22ab ，解得a ≥8，当且仅当2a ＝b 时等号成立．故填8. [听课笔记]

利用基本不等式解决最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：①对条