函数与不等式问题的解题技巧专题练习解读

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高一数学不等式解题技巧精析及针对练习题(含答案)

1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

三角函数不等式练习题及解答

三角函数不等式练习题及解答一、简介三角函数是数学中的一类特殊函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

在解三角函数不等式时，我们需要运用这些函数的性质和相关的数学知识。

本文将为大家提供一些三角函数不等式的练习题及解答，帮助大家更好地掌握这一内容。

二、练习题与解答1. 解不等式sin(x) > 0的解集。

解析：根据正弦函数的性质可知，当角度x在区间(0, π)和(2π, 3π)等以π为周期的区间时，sin(x) > 0。

因此，该不等式的解集为S = {x | x∈ (0, π) ∪ (2π, 3π)}。

2. 解不等式cos(2x) ≥ 0的解集。

解析：将不等式转化为等价形式，cos(2x) = 0。

则有2x = π/2 + kπ (k 为整数) 或2x = 3π/2 + kπ (k为整数)。

化简得x = π/4 + kπ/2 或x = 3π/4+ kπ/2。

因此，该不等式的解集为S = {x | x ∈ [π/4 + kπ/2, 3π/4 + kπ/2]，k为整数}。

3. 解不等式tan(x) < 2的解集。

解析：tan(x) < 2可转化为tan(x) - 2 < 0。

根据正切函数的性质可知，tan(x) - 2 < 0的解集为角度x在区间(-π/4, arctan(2))和(arctan(2) + kπ, π/4+ kπ)，其中k为整数。

因此，该不等式的解集为S = {x | x ∈ (-π/4, arctan(2)) ∪ (arctan(2) + kπ, π/4 + kπ)，k为整数}。

4. 解不等式sin(3x) ≤ cos(2x)的解集。

解析：将不等式转化为等价形式得sin(3x) - cos(2x) ≤ 0。

对于这种类型的不等式，我们可以使用图像法和代数法来求解。

图像法解析：将sin(3x)和cos(2x)的图像绘制在同一坐标系中，找到它们的交点，即满足sin(3x) - cos(2x) ≤ 0的解集。

高考数学热点问题专题练习—— 利用函数性质与图像解不等式知识归纳及典型例题分析

利用函数性质与图像解不等式一、基础知识：（一）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、假设()f x 在[],a b 上连续且单调递增，()()00,,0x a b f x ∃∈=，则()0,x a x ∈时，()0f x <;()0,x x b ∈时，()0f x > (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x f x g x f x g x =+（2）()()()()()()()'''2f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。

所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。

在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。

两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。

在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图像只是辅助手段。

所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点。

那么问题便易于解决了。

（二）利用函数性质与图像解不等式：1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系。

通常可作草图帮助观察。

例如：()f x 的对称轴为1x =，且在()1,+∞但增。

则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合()f x ，不会影响结论），得到：距离1x =越近，点的函数值越小。

从而得到函数值与自变量的等价关系2、图像与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如()()f x g x <，其中()(),f x g x 的图像均可作出。

数学不等式与函数题解题技巧和思路分享

数学不等式与函数题解题技巧和思路分享数学是一门既抽象又具体的学科，其中不等式与函数是数学中的重要内容。

解题技巧和思路在数学学习中起到至关重要的作用。

本文将分享一些解决数学不等式与函数题的技巧和思路，帮助读者更好地应对这类题目。

一、不等式题解题技巧不等式题是数学中常见的题型，解题时需要注意以下几个技巧：1. 观察不等式的形式：不等式可以分为一元不等式和多元不等式。

对于一元不等式，我们可以通过图像、区间、符号等方式进行分析；对于多元不等式，需要考虑各个变量之间的关系。

2. 利用性质进行转化：有时候，我们可以通过一些性质将不等式转化为更简单的形式。

例如，对于二次不等式，可以利用平方差公式将其转化为完全平方差形式，从而更方便进行求解。

3. 运用数学方法：在解决不等式问题时，可以借助数学方法进行推导和证明。

例如，可以利用数列的性质、平均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等进行推导，从而得到更加准确的结果。

4. 注意特殊情况：在解决不等式问题时，需要注意特殊情况的存在。

例如，当不等式中的变量为负数或零时，不等式的符号可能会发生变化，需要进行特殊处理。

二、函数题解题技巧函数题是数学中的重要内容，解题时需要注意以下几个技巧：1. 理解函数的定义与性质：在解决函数题时，首先需要理解函数的定义与性质。

例如，对于一元函数，需要了解其定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，从而更好地进行分析和推导。

2. 利用函数的图像进行分析：函数的图像可以直观地反映函数的性质。

通过观察函数的图像，可以获得一些关于函数的信息，从而更好地解决函数题。

3. 运用函数的性质进行推导：在解决函数题时，可以利用函数的性质进行推导和证明。

例如，可以利用导数的定义和性质进行函数的最值求解，利用函数的连续性进行函数的极限计算等。

4. 注意函数的特殊情况：在解决函数题时，需要注意函数的特殊情况。

例如，当函数的定义域存在间断点时，需要进行特殊处理；当函数存在极值点时，需要进行极值点的求解。

函数不等式真题及解析答案

函数不等式真题及解析答案是数学中一个重要的概念，在许多数学问题的解答中都起到关键作用。

本文将通过分析和解析一些真题，帮助读者更好地理解和应用。

首先，让我们来看一个经典的例题：已知函数f(x)=x^2-4x+3，求不等式f(x)>0的解集。

为了求解这个不等式，我们需要先找到函数f(x)的零点。

即f(x)=0。

通过解一元二次方程，我们可以得到f(x)的两个根为x=1和x=3。

然后，我们将这些根代入原不等式f(x)>0中，得到以下两个不等式：(x-1)(x-3)>0和(x-1)(x-3)<0。

现在让我们来分析这两个不等式。

首先，我们可以将函数f(x)转化为一个因式的形式：f(x)=(x-1)(x-3)。

这样，我们就可以发现，当x>3时，f(x)的值大于0；当1<x<3时，f(x)的值小于0。

因此，我们得出不等式(x-1)(x-3)>0的解集为x<1和x>3。

同理，我们可以得出(x-1)(x-3)<0的解集为1<x<3。

接下来，我们来看另一个的例题：已知函数f(x)=2^x-8x，求不等式f(x)<0的解集。

为了求解这个不等式，我们需要先找到函数f(x)的零点。

即f(x)=0。

这里，我们可以通过数值法来逼近根的位置。

通过尝试，我们可以发现f(x)在x=3附近的值为负数，而在x=4附近的值为正数。

因此，我们可以推测跟随着函数形式的变化，f(x)的根应该在3和4之间。

然后，我们可以采用二分法来进一步逼近根的位置。

通过将x的范围二分，我们可以发现，在3.5附近，f(x)的值为负数。

因此，我们可以认为f(x)的一个根约等于3.5。

然后，我们可以将这个根代入原不等式f(x)<0中，得到新的不等式2^x-8x<0。

接下来，我们需要采用数值法来进一步逼近不等式的解集。

通过尝试，我们可以发现x约等于1.2时，不等式成立。

因此，我们得出不等式f(x)<0的解集为0<x<1.2。

高考数学专题《二次函数与一元二次方程、不等式》习题含答案解析

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1．（浙江高考真题）已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（） A ．a >0，4a ＋b ＝0 B ．a <0，4a ＋b ＝0 C ．a >0，2a ＋b ＝0 D ．a <0，2a ＋b ＝0【答案】A 【解析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项. 【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0，故选：A.2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数42()f x x x =-，则错误的是（）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．方程()0f x =的解的个数为2C ．()f x 在(1,)+∞上单调递增D ．()f x 的最小值为14-【答案】B 【解析】结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断A ，令()0f x =，求出方程的解的个数，判断B ，令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，从而判断C ，D 即可．【详解】42()f x x x =-定义域为R ，显然关于原点对称，又()()4242()f x x x x x -=---=-()f x =，所以()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选项A 正确. 令()0f x =即2(1)(1)0x x x +-=，解得：0x =，1，1-，函数()f x 有3个零点，故B 错误；练基础令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，1x >时，函数2t x =，2()g t t t =-都为递增函数，故()f x 在(1,)+∞递增，故C 正确；由12t =时，()g t 取得最小值14-，故()f x 的最小值是14-，故D 正确．故选：B ．3．（2021·北京高三其他模拟）设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系. 【详解】2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件. 故选：A.4．（2021·全国高三月考）已知函数2()f x x bx c =-++，则“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据二次函数的图象与性质，求得(())02bf f >，反之若()0f t =有两个正根12t t <，当12max ()t t f x <<，得到方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由2()f x x bx c =-++表示开口向下的抛物线，对称轴的方程为2b x =，要使得方程()0f x =有两个不同实数，只需()02bf >，要使得方程(())0f f x =恰有两个不同实数解，设两解分别为12,x x ，且12x x <，则满足1max 2()x f x x <<，因为12(,)x x x ∈时，()0f x >，所以(())02b f f >，所以必要性成立；反之，设()02b t f =>，即()0f t >，当()0f t =有两个正根，且满足12t t <，若12max ()t t f x <<，此时方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，所以充分性不成立.所以“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的必要不充分条件. 故选：C.5．（2021·全国高三专题练习）若当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象始终在函数y =log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1<a ≤2. 【解析】在同一个坐标系中画出两个函数的图象，结合图形，列出不等式组，求得结果. 【详解】如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y =(x -1)2和y =log a x 的图象.由于当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象恒在函数y =log a x 的图象的下方，则1log 21aa >⎧⎨⎩，解得1<a ≤2.故答案为：1<a ≤2.6.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是_________.【答案】(,1)-∞- 【解析】∵不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立， ∴函数22y ax x a =++的图象始终在x 轴下方，∴2440a a <⎧⎨∆=-<⎩，解得1a <-，故答案为：(,1)-∞-．7.（2021·全国高三专题练习）已知当()0,x ∈+∞时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(,2-∞+ 【解析】先换元3x ＝t ，()1,t ∈+∞，使f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，再利用二次函数图象特征列限定条件，计算求得结果即可. 【详解】令3x ＝t ，当()0,x ∈+∞时，()1,t ∈+∞，则f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，即函数在()1,t ∈+∞的图象在x 轴的上方，而判别式()()224144m m m m ∆=--+=--，故2440m m ∆=--<或()0121110m f m m ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩，解得2m <+故答案为：(,2-∞+.8．（2021·浙江高一期末）已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[)1,+∞ 【解析】本题首先可令12x x >，将()()12121f x f x x x ->-转化为()()1122f x x f x x ->-，然后令()()g x f x x =-，通过函数单调性的定义得出函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果. 【详解】因为任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，所以令12x x >，()()12121f x f x x x ->-即()()1212f x f x x x ->-，()()1122f x x f x x ->-，令()()221g x f x x ax x =-=-+，则函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，若0a =，则()21g x x =-+，显然不成立；若0a ≠，则0212a a>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得1a ≥，综合所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故答案为：[)1,+∞.9.（2021·四川成都市·高三三模（理））已知函数21,0()2,0x x f x x x x --≤⎧=⎨-+>⎩，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则12x x -的最大值为________．【答案】134【解析】由()()12f x f x =得，212221x x x =--，把12x x -转化为212212231x x x x x x -=-=-++，利用二次函数求最值. 【详解】()y f x =的图像如图示：不妨令12x x <，由图像可知，10x ≤，20x >由()()22121221221221f x f x x x x x x x =⇒--=-+⇒=--，由212212231x x x x x x -=-=-++ 当232x =时，12max134x x -=．故答案为：134. 10．（2021·浙江高一期末）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1(,]4-∞；（Ⅱ）1[,)2+∞ 【解析】（Ⅰ）由题意讨论0k =，0k >与0k <三种情况，求出函数的对称轴，结合区间，列不等式求解；（Ⅱ）利用参变分离法得24k x x≥+在[2,4]上恒成立，令4()f x x x =+，根据单调性，求解出最值，即可得k 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x=+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞1．（2020·山东省高三二模）已知函数()()21f x x m x m =+--，若()()0f f x 恒成立，则实数m 的范围是（）A ．3,3⎡--+⎣B ．1,3⎡--+⎣C ．[]3,1- D ．3⎡⎤-+⎣⎦【答案】A 【解析】()()()()211f x x m x m x m x =+--=-+，（1）1m >-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≥或()1f x ≤-恒成立，即()()21f x x m x m m =+--≥或()()211f x x m x m =+--≤-（不合题意，舍去）恒成立；即01m ∆≤⎧⎨>-⎩，解得(1,3m ∈--+，（2）1m =-恒成立，符合题意；（3）1m <-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≤（不合题意，舍去）或()1f x ≥-恒成立，等价于1m ∆≤⎧⎨<-⎩，解得[)3,1m ∈--. 综上所述，3,3m ⎡∈--+⎣，故选：A.2．（2021·浙江高三二模）已知()22f x x x =-，对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程练提升()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，则m 的取值范围是（）A ．[]0,3B ．[]0,4C ．{}3D ．{}4【答案】D 【解析】对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，不妨取取()11f x =-，()23f x =，方程有解m 只能取4，则排除其他答案.【详解】2()(1)1f x x =--，[0,3]x ∈，则min ()1f x =-，max ()3f x =.要对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上都有解, 取()11f x =-，()23f x =，此时，任意[0,3]x ∈，都有()()()()124m f x f x f x f x =-+-=，其他m 的取值，方程均无解，则m 的取值范围是{}4. 故选：D.3.（2020·浙江省高三二模）已知函数()321,020a x x f x x ax x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2a <或3a >. 【解析】当0x ≤时，3()||11f x a x =-≤-，此时函数图象经过第三象限，当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，此时函数图象恒经过第一象限，当2[(1)]40a =--->且10a +>，即3a >时，函数图像经过第一、四象限，当2x ≥时，2()(1)2f x x a x =---，此时函数图象恒经过第一象限，当(2)0f <，即2a >时，函数图像经过第一、四象限，综上所述：2a <或3a >.4．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））记{},max ,,,m m nm n n m n ≥⎧=⎨<⎩函数{}22()max 44(1),ln (1)f x x ax a x a =-+--<有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_________.【答案】12a < 【解析】令()()2244(1)0g x x ax a x =-+-->，因为1a <，则()2(1)651(5)0ln1g a a a a =-+-=---<=，所以(1)ln10f ==，即1是函数()f x 的零点，因为函数()g x 的对称轴为122a x =<，所以根据题意，若函数()f x 有且只有一个零点，则二次函数()g x 没有零点，22(4)16(1)0a a ∆=--<，解得12a <. 故答案为：12a <5．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，若[1,1]x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是___________. 【答案】12- 【解析】根据函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，分1a >，1a <-和11a -≤≤三种情况讨论，分别求得其最大值，即可求解. 【详解】由题意，函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，当1a >时，()211,[1,1]22f x x x a b x =-++∈-，因为() 1f x ≤，可得(1)11()14f f -≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，所以1122115216a b a b ⎧+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，所以15111622a b -≤+≤-；当1a <-时，()211,[1,1]22f x x x a b x =+-+∈-，因为()1f x ≤，可得()max 11(1)1122f x f a b ==+-+≤，所以1122b a ≤-，所以113222a b a +=-≤-；当11a -≤≤时，()21,[1,1]2f x x x a b x =+-+∈-，由()1f x ≤知，()max (1)1112f f x a b =+--+=，因为11a -≤≤，所以10a --≤，所以()max (1)1112f f x a b =+--+=，所以1122a b +≤-，综上可得，12a b +的最大值是12-.故答案为：12-6.（2021·浙江高三期末）已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则+a b 的最大值是___________.【答案】1- 【解析】首先讨论1a ≥、1a ≤-时()f x 的最值情况，由不等式恒成立求+a b 的范围，再讨论11a -<<并结合()f x 的单调情况求+a b 的范围，最后取它们的并集即可知+a b 的最大值. 【详解】当sin a x ≥时，211()(sin )4216a b f x x +=-+-，当sin a x <时，211()(sin )4216b a f x x -=++-，令sin [1,1]t x =∈-，则()()2211,4216{11(),()4216a b t a t g t b a t a t +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭=-++-<∴当1a ≥时，14t =有min 1()216a b g t +=-；1t =-有max 3()22a b g t +=+；由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622a b a b ++-≤-<+≤，故1518a b -≤+≤-；当1a ≤-时，14t =-有min 1()216b a g t -=-；1t =有max 3()22b a g t -=+；由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622b a b a ---≤-<+≤，故1518b a -≤-≤-，即3a b +≤-；当11a -<<时，()2211(),(1)4216{11,(1)4216a b t t a g t b a t a t +-+--<<=-⎛⎫++-≤< ⎪⎝⎭， ∴1(1,)4a ∈--：()g t 在(1,)a -上递减，1[,)4a -上递减，1[,1]4-上递增； 11[,]44a ∈-：()g t 在(1,)a -上递减，[,1)a 上递增；1(,1)4a ∈：()g t 在1(1,]4-上递减，1[,)4a 上递增，[,1)a 上递增；∴综上，()g t 在(1,1)-上先减后增，则(1)1(1)1g g ≤⎧⎨-≤⎩，可得1a b +≤-∴1a b +≤-恒成立，即+a b 的最大值是-1. 故答案为：1-.7．（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）已知函数2()3(,)f x ax bx a b R =++∈，且()0f x ≤的解集为[1,3]．（1）求()f x 的解析式；（2）设()()41xh x f x x =+-，在定义域范围内若对于任意的12x x ，，使得()()12h x h x M -≤恒成立，求M 的最小值．【答案】（1）2()43f x x x =-+；（2）2．【解析】（1）代入方程的根，求得参数值.（2）使不等式恒成立，根据函数单调性求得函数的最值，从而求得参数的值. 【详解】解：（1）由题意(1)30(3)9330f a b f a b =++=⎧⎨=++=⎩解得14a b =⎧⎨=-⎩2()43f x x x ∴=-+（2）由题意max ()()min M h x h x -2(),2xh x x R x =∈+ 当0()0x h x ==当10()2x h x x x≠=+，令2()g x x x=+，当0,()22x g x>，当x =当0,()x g x <≤-x =()(,)g x ∴∈-∞-⋃+∞(),00,(0)44h x x ⎡⎫⎛∈-⋃≠⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦综上，()44h x ⎡∈-⎢⎣⎦2442M⎛∴--= ⎝⎭min 2M ∴=8．（2021·浙江高一期末）设函数()()2,f x x ax b a b R =-+∈．（1）若()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，求a 的取值范围；（2）若()f x 在区间[]1,2上有零点，求2244a b b +-的最小值．【答案】（1）[)1,+∞；（2）45. 【解析】（1）对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间[]0,1上的单调性，求得()max f x ，再由()max f x b =可求得实数a 的取值范围；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理化简()22222221222222241414144a x x x x x x b b x +-=+⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭，设()22224124g x x =⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由[]21,2x ∈结合不等式的基本性质求出()2g x 的最小值，即为所求. 【详解】（1）二次函数()2f x x ax b =-+的图象开口向上，对称轴为直线2a x =. ①当02a≤时，即当0a ≤时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，则()()max 11f x f a b ==-+； ②当012a <<时，即当02a <<时，函数()f x 在0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ()0f b =，()11f a b =-+，所以，(){}max 1,01max ,1,12a b a f x b a b b a -+<<⎧=-+=⎨≤<⎩；③当12a≥时，即当2a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则()()max 0f x f b ==.综上所述，()max 1,1,1a b a f x b a -+<⎧=⎨≥⎩.所以，当()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，实数a 的取值范围是[)1,+∞；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理可得1212x x ax x b+=⎧⎨=⎩，所以，()()22222222222212121211221212122444424142a b b x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=++-=-++=+-+()222222222212222222241414141x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-+-≥- ⎪+++⎝⎭，设()242222222222422222444144141124x x g x x x x x x x =-===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭，由212x ≤≤可得221114x ≤≤，所以，()2222445124g x x =≥⎛⎫+- ⎪⎝⎭.此时，21x =，由212241x x x =+可得115x =. 所以，当115x =，21x =时，2244a b b +-取最小值45. 9．（2020·全国高一单元测试）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．【答案】（Ⅰ）g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）m ≤﹣52或m ≥52．【解析】（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，得到f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2，分类讨论即可求出，（Ⅱ）先求出g （a ）min =g （32）=﹣54，再根据题意可得﹣m 2+tm ≤﹣54，利用函数的单调性即可求出．【详解】解：（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，则f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2．当32a≤2，即a ≤43时，g （a ）=h （u ）min =h （3）=a 2﹣9a +9；当322a>，即a ＞43时，g （a ）=h （u ）min =h （1）=a 2﹣3a +1；故g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）当a≤43时，g （a ）=a 2﹣9a +9，g （a ）min =g （43）=﹣119；当a 43>时，g （a ）=a 2﹣3a +1，g （a ）min =g （32）=﹣54；因此g （a ）min =g （32）=﹣54；对于任意任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立等价于﹣m 2+tm ≤﹣54．令h （t ）=mt ﹣m 2，由于h （t ）是关于t 的一次函数，故对于任意t ∈[﹣2，2]都有h （t ）≤﹣54等价于5(2)45(2)4h h ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，即2248504850m m m m ⎧+-≥⎨--≥⎩，解得m ≤﹣52或m ≥52． 10．（2021·全国高一课时练习）已知函数()22(0)f x ax ax b a =-+>，在区间[]0,3上有最大值16，最小值0.设()()f xg x x=．（1）求()g x 的解析式；（2）若不等式()22log log 0g x k x -⋅≥在[]4,16上恒成立，求实数k 的取值范围；【答案】（1）()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）(,1]-∞．【解析】（1）由二次函数的性质知()f x 在0,1上为减函数，在()1,3上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求,a b ，即可写出()g x 解析式；（2）由题设得222184()4log log k x x≤-+在[]4,16x ∈上恒成立，即k 只需小于等于右边函数式的最小值即可. 【详解】（1）∵()2(1)f x a x b a =-+-(0a >)，即()f x 在0,1上为减函数，在()1,3上为增函数．又在[]0,3上有最大值16，最小值0，∴(1)0f b a =-=，(3)316f a b =+=，解得4a b ==， ∴()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）∵()22log log 0g x k x -≥∴22214log 8log log x k x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，由[]4,16x ∈，则[]2log 2,4x ∈， ∴222221814()44(1)log log log k x x x ≤-+=-，设21log t x =，11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴()24(1)h t t =-在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，当12t =时，()h t 最小值为1，∴1k ≤，即(,1]k ∈-∞.1．（浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关练真题【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞) 【解析】由题意得{x ≥2x −4<0 或{x <2x 2−4x +3<0 ，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当λ>4时，f(x)=x −4>0，此时f(x)=x 2−4x +3=0,x =1,3，即在(−∞,λ)上有两个零点；当λ≤4时，f(x)=x −4=0,x =4，由f(x)=x 2−4x +3在(−∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).3.（北京高考真题）已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.【答案】1[,1]2【解析】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x =时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.4.（2018·天津高考真题（理））已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【答案】(48)，【解析】分析：由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果. 详解：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=，整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=，整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-，令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩，其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++-- 原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象，同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件，结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.5.（2020·江苏省高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；【答案】（1）()2h x x =；【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立. 令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =. 故()2h x x =.6．（浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式；（2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】（1）当214a b时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-. 当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b 的取值范围是[3,9--.。

重难点2-3 利用函数性质解不等式5大题型(解析版)

重难点2-3 利用函数性质解不等式5大题型高中数学解不等式主要分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等）；另一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算。

利用函数性质解不等式一般情况以选择题形式出现，考查的角度较多，除了基础的函数性质，有时候还需要构造函数结合导数知识，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大。

利用单调性、奇偶性解不等式原理 1、解()()f m f n <型不等式（1）利用函数的单调性，去掉函数符号“f ”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解；（2）若不等式一边没有函数符号“f ”，而是常数（如()<f m a ），那么我们应该将常数转化带有函数符号“f ”的函数值再解。

2、()f x 为奇函数，形如()()0f m f n +<的不等式的解法第一步：将()f n 移到不等式的右边，得到()()>-f m f n ；第二步：根据()f x 为奇函数，得到()()>-f m f n ；第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“f ”，列出不等式求解。

二、构造函数解不等式的技巧1、此类问题往往条件较零散，不易寻找入手点，所以处理这类问题要将条件与结论结合分析，在草稿上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么，两者对接通常可以确定入手点；2、在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能具备乘除关系的函数，在构造时多进行试验与项的调整；3、此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性和图象知识辅助手段，所以要能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点，那么问题便易于解决了。

三、利用函数性质解不等式的要点1、构函数：根据所解不等式的结构特征和已知条件构造相应的函数，把不等式看作一个函数的两个函数值大小比较问题；2、析性质：分析所构造函数的相关性质，主要包括函数定义域、单调性、奇偶性、周期性等；3、巧转化：根据函数的单调性，把函数值大小比较转化为某个单调区间内自变量大小比较；4、写解集：解关于自变量的不等式，写出解集。

函数不等式求解问题高中数学解题方法含详解

函数不等式求解问题高中数学解题方法一、单选题1．不等式240x ax ++<的解集为空集，则a 的取值范围是（）A ．[]44-，B ．()4,4-C ．()[],44-∞-⋃+∞，D ．()(),44-∞-+∞，2．不等式265x x+≤的解集是（）A ．[]2,3B ．(][),16,-∞-⋃+∞C ．()[],02,3-∞ D ．()()0,23,+∞3．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ≥0在1≤x ≤4内有解，则实数a 的取值范围是（） A ．a ≤－4 B ．a ≥－4 C ．a ≥－12D ．a ≤－124．若集合()2{|ln 21}A y y x x ==-++，{}ln 1|B y y =<，则AB =（）A ．[]0,eB ．(]0,eC ．(]0,ln2D ．()0,e5．设集合{}26A x x =∈<<N ，{}2log (1)2B x x =-<，则A B =（）A ．{2,3,4,5}B ．{25}x x <<∣C ．{3,4}D ．{3,4,5}6．设集合(){}2log 11A x x =-≤，2122x B x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则A B =（） A ．(],2-∞B ．[]1,2C ．(]1,2D ．(]1,3 7．定义在R 上的函数()f x ，对任意的12,x x ∈R （12x x ≠），都有()()12120f x f x x x ->-，且()32f =，则不等式()12f x -≤的解集为（） A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．[4,)+∞8．已知函数()f x 在R 上为增函数，若不等式()2()43f x a f x ≥-+--对(]0,3x ∀∈恒成立，则a 的取值范围为（） A ．[)1,-+∞ B ．()3,+∞ C ．[)0,+∞ D ．[)1,+∞9．设()()()2(),xf x ea g x ln x a a R =-=+∈，若不等式()()()()0f g x g f x ->恒成立，则a 的取值范围为（） A ．[]0,1B ．()1,+∞C ．[]1,1-D ．(],1-∞10．已知函数2()441,(1,1),()0f x ax x x f x ∀=+-∈-<恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．34a ≤-B ．1a <-C ．314a -<≤D ．1a ≤-11．若“R x ∃∈，22390x ax -+<”，则实数a 的取值范围是（）A．(),22,⎡-∞-+∞⎣B．(-C．((),-∞-⋃+∞D．-⎡⎣12．已知函数()21f x x =-，()()sin 206g x m x m m π⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x ≥成立，则m 的取值范围是（） A ．(]0,1B ．[)1,4C ．[)1,+∞D ．()0,413．若命题“存在0x R ∈，使2104x mx ++<”是假命题，则非零实数m 的取值范围是（） A ．(][),11,-∞-+∞B ．()1,1-C ．[)(]1,00,1-D ．[]1,1-14．用有机溶剂萃取水溶液中的溶质是化学中进行物质分离与提纯的一种重要方法.根据能斯特分配定律，一次萃取后，溶质在有机溶剂和水中的物质的量浓度(单位：mol/L )之比为常数K ，并称K 为该溶质在水和有机溶剂中的分配常数.现用一定体积的有机溶剂进行n 次萃取，每次萃取后溶质在水溶液中的残留量为原物质的量的1010K+倍，溶质在水溶液中原始的物质的量浓度为 1.0mol/L ，该溶质在水和有机溶剂中的分配常数为20，则至少经过几次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于5 1.010mol/L -⨯？（）(假设萃取过程中水溶液的体积不变.参考数据：ln 3 1.099≈，ln10 2.303≈.)A ．9次B ．10次C ．11次D ．12次15．已知函数(4),1,()log , 1.aa x a x f x x x --<⎧=⎨⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．(0,1)B ．(1,2]C ．[2,4)D ．(1,4)16．已知()21x f x =+，()21g x x =-，则不等式][[]()()f g x g f x >的解集是（） A ．{}|2x x < B ．{}|02x x <<C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<17．集合1284x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，(){}2log 1B x x a =->，若A B =∅，则a 的取值范围为（） A ．[)1,-+∞B ．()1,-+∞C ．[)1,+∞D ．1,18．若函数22(41)y mx mx m =--+，且[1,1]m ∀∈-，5(1)y m <+恒成立，则实数x 的取值范围是（） A ．42x -<<-或35x << B ．42x -<<- C ．35x <<D ．45x -<<19．已知函数2()42,()34f x x x g x ax a =-+=+-，若对任意113x ≤≤，总存在213x ≤≤，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（）A ．543a ≤≤ B ．53a ≤或4a ≥ C ．453a ≤≤ D ．43a ≤或5a ≥ 20．已知向量a ，b 满足||3,||2a b ==，且对任意的实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，设a ，b 的夹角为θ，则tan θ的值为（） AB．C．D 21．已知函数()()14,12ln 1,1xx f x x x ⎧⎛⎫-≤-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+>-⎩，若()0f f x <⎡⎤⎣⎦，则x 的取值范围为（） A ．()2,0-B ．21,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．212,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()212,11,0e ⎛⎫--⋃-⎪⎝⎭22．设0.3log 0.5a =，4log 0.5b =，则下列结论错误的是（） A ．0ab <B ．0a b +>C ．2(1)ab a +<D ．22116a b+> 23．已知()f x '是定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的奇函数()f x 的导函数，当02x π<<时，都有()()cos f x x f x '+sin 0x >，4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭则不等式()1sin f x x >的解集为（）A ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,0,244πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x x =+，则不等式()()ln 1f x f <-的解集为（）A ．()0,eB ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭25．已知函数()2xxf x e ex -=--，若不等式()()2120f ax f ax +-≥对x R ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(]0,eB ．[]0,eC ．(]0,1D ．[]0,126．函数()211ln 21f x x x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪+⎝⎭，则使得()()21f x f x <-成立的x 的取值范围是（）A ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1113,,,4422⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．1111,,443⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭27．已知奇函数()f x 在R 上的导函数为()'f x ，且当(],0x ∈-∞时，()'1f x ＜，则不等式()()2101110102021f x f x x --+≥-的解集为（） A ．()2021,+∞ B ．[)2021,+∞C ．(],2021-∞D ．(),2021-∞第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题28．已知关于x 的不等式220x x a ++>恒成立，则实数a 的取值范围是_________. 29．已知f (x )是定义在(,0]-∞上的单调递增函数，且(2)3f -=，则满足(23)3f x -<的x 的取值范围是_______.30．设函数()()2log 1,0x x f x x ⎧+≥⎪=<，则满足()2f x <的x 的取值范围_____.31．已知函数3()2f x x x =+为增函数，则不等式(21)()0f a f a -+>的解集为_________．32．已知关于x 的不等式22101kx kx x x -+≤++的解集为∅，则实数k 的取值范围是__________．33．已知函数()223f x x x =-+，()2log g x x m =+，对任意的1x ，[]21,4x ∈有()()12f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是______．34．已知定义域为R 的()f x 为减函数，若不等式2(1)(2)f ax f x ->+对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是______________35．当14x ≤≤时，若关于x 的不等式22840x x a --->有解，则实数a 的取值范围是______.36．已知当()0,x ∈+∞时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．37．设()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若不等式()()22f x f x k -≥对于任意的[]1,1x ∈-恒成立，则实数k 的取值范围是________________38．已知,0a b ∈>R ，若存在实数[0,1)x ∈，使得2||bx a b ax --成立，则ab的取值范围是________.39．已知偶函数()f x ，对任意的x 都有()()2'6f x xf x +>，且()12f =，则不等式()2231x f x x >-的解集为_________．三、解答题40．已知函数)(f x 满足)()(11433x xf x f x +-+-=-．（1）求)(0f 的值；（2）求)(f x 的解析式；（3）若)(27xf x m ->⋅对)3log 2,x ⎡∈+∞⎣恒成立，求m 的取值范围．41．已知函数2y x bx c =++的零点为122,3x x == （1）求二次函数的解析式；（2）若对于任意的33x -≤≤，不等式21y t -+≤恒成立，求t 的取值范围．（3）若对于任意的33t -≤≤，不等式212y t +≤恒成立，求x 的取值范围．42．已知()122243log 1,()log 4log ()⎛⎫⎡⎤-≤≤-=⋅⋅∈ ⎪⎣⎦⎝⎭mx f x x m R x ．（1）求函数()f x 的最大值()g m 的解析式；（2）若()2≥++g m t m 对任意[4,0]m ∈-恒成立，求实数t 的取值范围． 43．设函数()log (01)a f x x a a =>≠，．（1）解不等式()()265f a f a +≤；（2）若1a >时，是否存在实数k ，使得对任意的[]10x ∈-，，不等式()()14240x x x f f k ++-->恒成立，若存在，求出k 的范围；若不存在，请说明理由．44．已知函数()()223f x ax ax a R =--∈.（1）若0a >，且()0f x ≥在[)3,+∞上恒成立，求a 的取值范围；（2）若关于x 的方程()0f x =有两个不相等的正实数根1x ，2x ，求2212x x +的取值范围.45．函数()211x x f x x -+=-，[)2,x ∈+∞，()23g x x ax =++，x M ∈．（1）求函数()f x 的单调性：（2）若[]2,2M =-，求使()g x a ≥恒成立时a 的取值范围；（3）若3a >-，[)2,M =+∞，[)12,x ∀∈+∞，2x M ∃∈，使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围．46．已知函数()()2240f x ax x a a =++-≠，且对任意的x ∈R ，()2f x x ≥恒成立．（1）若()()f xg x x=，0x >，求函数()g x 的最小值；（2）若对任意的[]1,1x ∈-，不等式()2x f x t f ⎛⎫+<⎪⎝⎭恒成立，求实数t 的取值范围． 47．已知函数()22(0)f x ax ax b a =-+>，在区间[]0,3上有最大值16，最小值0.设()()f xg x x=．（1）求()g x 的解析式；（2）若不等式()22log log 0g x k x -⋅≥在[]4,16上恒成立，求实数k 的取值范围； 48．已知幂函数()()2351m f x m m x+=-+，其中m R ∈，且()f x 为奇函数.（1）求m 的值；（2）若不等式()()212230x f t f t +-+>对任意的x ∈R 恒成立，求t 的取值范围.（3）求函数()()2212log log 2y f x f x =-⎡⎤⎣⎦，1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦的最值，并求出取得最值时的x 的值（其中()()()2222log log f x f x =. 49．已知定义域为R 的函数()()2()2h x nf x h x +=--是奇函数，其中()h x 为指数函数且()h x 的图象过点(2,4)．（1）求()f x 的表达式；（2）若对任意的[1,1]t ∈-．不等式()22(1)0f t a f at -+-≥恒成立，求实数a 的取值范围；50．已知函数2()24f x x x k =+-，2()2g x x x =-.（1）若存在[]2,4x ∈，使()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围；（2）若对任意[]13,3x ∈-，存在[]23,3x ∈-，都有()()12f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围.51．设函数2()(3)3f x mx m x =+--（1）若对任意[]1,3x ∈，不等式()0f x >恒成立，求实数m 的取值范围（2）若存在[]1,3x ∈，不等式()0f x >成立，求实数m 的取值范围 52．已知函数22()24,()2f x x x k g x x x =+-=-（1）若对任意x ∈[-3，3]，都有f (x )≤g (x )成立，求实数k 的取值范围；（2）若存在12,[3,3],x x ∈-使12()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围.53．曾在北京召开的国际数学家大会会标如图，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形.已知大正方形的面积是1，小正方形的面积是125.记直角三角形中的一个锐角为θ.（1）根据本题题意写出sin θ与cos θ之间的等量关系，并求tan θ的值；（2）解关于x 的不等式()2tan log 10x θ-≥.参考答案1．A 【分析】由不等式240x ax ++<的解集为空集，利用判别式0∆≤求解即可. 【详解】∵不等式240x ax ++<的解集为空集， ∴216044a a ∆=-≤⇒-≤≤．故选：A ．【点睛】本题主要考查了利用不等式恒成立求解参数的问题.属于容易题. 2．C 【分析】分别讨论当0x >时，当0x <时，结合二次不等式的解法求解即可. 【详解】解：当0x >时，不等式265x x +≤可化为2560x x -+≤，解得23x ≤≤；当0x <时，不等式265x x+≤可化为2560x x -+≥，此时，解得0x <.所以原不等式的解集为(,0)[2,3]-∞.故选：C. 【点睛】本题考查了分式不等式的解法，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题. 3．A 【分析】将不等式分离参数转化为2284a x x ≤--在[1,4]内有解，然后构造函数转化为最大值即可解决. 【详解】因为关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ≥0在1≤x ≤4内有解，所以2284a x x ≤--在[1,4]内有解，令2()284([1,4])f x x x x =--∈，则max ()a f x ≤，因为2()2(2)12f x x =--的对称轴2x =142+<，其图像是开口向上的抛物线，所以4x =时，()f x 取得最大值为4-，所以4a ≤-，故选：A 【点睛】本题考查了不等式有解问题，解题关键是分离参数，转化为最大值来解决，属于基础题. 4．C 【分析】先化简集合A B ，，再求A B 得解.【详解】()222ln 21=ln[(21)]ln[(1)2]ln 2y x x x x x =-++---=--+≤，所以()(]2{|ln 21,ln 2A y y x x ==-++=-∞，{}()|ln 10,B y y e =<=，所以(]0,ln2A B ⋂=. 故选：C 5．C 【分析】先求出集合A 、B ，再求A B .【详解】{}{}26=3,4,5A x x =∈<<N ，{}{}2log (1)215B x x x x =-<=<<∴{}3,4AB =.故选：C 6．D【分析】求出两个集合后可求它们的交集. 【详解】{}(]0121,3A x x =<-≤=，{}(]21,3B x x =-≥-=-∞，故AB =(]1,3，故选：D. 7．C 【分析】判断()f x 的单调性，由此求得不等式()12f x -≤的解集. 【详解】因为对任意的12,x x ∈R （12x x ≠），都有()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在R 上单调递增．因为()32f =，所以()2f x ≤的解集为(,3]-∞，则()12f x -≤的解集为(,4]-∞．故选：C 8．D 【分析】根据函数为单调递增可得243x a x -+≥--，分离参数，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】因为函数()f x 在R 上为增函数，则不等式()2()43f x a f x ≥-+--对(]0,3x ∀∈恒成立，即243x a x -+≥--对(]0,3x ∀∈恒成立，所以243a x x ≥-+-对(]0,3x ∀∈恒成立，令()()224321g x x x x =-+-=--+，当(]0,3x ∈，则()()(]2213,1g x x =--+∈-，所以1a ≥，故a 的取值范围为[)1,+∞. 故选：D9．B 【分析】令新的函数()()()()()y f g x g f x x a =->-，将不等式()()()()0f g x g f x ->恒成立，转化为min 0y >成立，再利用二次函数的性质求解函数最小值. 【详解】令()()()()()y f g x g f x x a =->-，根据题意得()()()22ln 2222220+=--=+--=+-+->x a x y e a lne x a a x x a x a a 恒成立，即min 0y >成立，因为函数()()2222y x a x a a x a =+-+->-的对称轴为1x a a =->-，所以函数的最小值()()()2min 2122110-+--+-=-=>a a a a a a y ，解得1a >.故选：B . 10．B 【分析】将不等式化简，参变分离，利用换元法构造新函数并求出值域，可得实数a 的取值范围．【详解】2()4410f x ax x =+-<，即2441ax x <-+当0x =时，不等式恒成立，a R ∈；当0x ≠时，20x >，则2min414a x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭令()()1,11,t x=∈-∞-⋃+∞，则()[)224244,y t t t =-+=--∈-+∞ 即44a <-，解得1a <- 故选：B 11．C 【分析】由特称命题为真，并结合二次函数2239y x ax =-+的性质，可求出a 的范围. 【详解】因为R x ∃∈，22390x ax -+<，所以()234290a ∆=--⨯⨯>，解得a >a <-故选：C. 12．C 【分析】分别求出()f x 与()g x 在区间[]0,1上的值域，根据题意只需()()max min f x g x ≥，解不等式即可求解. 【详解】存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x ≥成立，就是()()max min f x g x ≥. 因为01x ≤≤，所以066x ππ≤≤，10sin 62m x m π⎛⎫≤≤⎪⎝⎭. 于是1()2,22g x m m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦. 当01x ≤≤时，()[]210,1f x x =-∈.因此()()max min f x g x ≥，就是12m ≥-，解得m 1≥. 故选：C 【点睛】本题考查了不等式能成立问题、求三角函数的值域、二次函数的值域，属于基础题. 13．C 【分析】根据命题真假列出不等式,解得结果. 【详解】因为命题“存在0x R ∈，使2104x mx ++<”是假命题, 所以214104m ∆=-⨯⨯≤,解得:11m -≤≤,因为0m ≠. 故选:C . 【点睛】本题考查命题真假求参数,注意已知条件非零实数m 是正确解答本题的关键,考查学生分析求解能力,难度较易.14．C 【分析】审题确定常数，分配常数20K =，根据每次萃取后溶质在水溶液中的残留量为原物质的量的1010K+倍，建立函数模型与不等关系，利用参考数据求解即可.【详解】由题意知，20K =，则101103K =+，设经过n 次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于5 1.010mol/L -⨯，则51()103n -<，解得513log 10n ->，由换底公式得5513ln105ln105 2.303log 1010.481ln 3 1.099ln3--⨯===≈. 则至少经过11次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于5 1.010mol/L -⨯.故选：C. 【点睛】解决实际应用问题的一般步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义. 15．C 【分析】由于()f x 在R 上单调递增，所以此分段函数每一段上为增函数，且log 14a a a ≥--，从而可求出实数a 的取值范围【详解】解：因为函数(4),1,()log , 1.aa x a x f x x x --<⎧=⎨⎩在R 上单调递增，所以401log 14aa a a a ->⎧⎪>⎨⎪≥--⎩，解得24a ≤<，故选：C 16．C 【分析】不等式][[]()()f g x g f x >可化为21212(21)1x x -+>+-，整理可得2(2)420x x -⋅>，即解关于2x 的一元二次不等式，再根据指数函数的单调性即可求解.【详解】解：因为()21x f x =+，()21g x x =-，所以不等式][[]()()f g x g f x >可化为21212(21)1x x -+>+-，整理可得2(2)420x x -⋅>，解得24x >，即2x >，故选：C ． 17．C 【分析】根据指数函数，对数函数的单调性分别解不等式，化简集合A 与B ，再根据A B =∅，确定a 的取值范围. 【详解】{}128234x A x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，(){}{}2log 12B x x a x x a =->=>+，又AB =∅，所以23a +≥，即1a ≥，故选：C. 18．A 【分析】将不等式恒成立问题转化为关于m 的一次函数恒成立问题可得不等式组，解不等式组即可得答案；【详解】()2()82y f m x x m==--⋅-，∴()25(1)1370y m x x m<+⇔--⋅-<对[1,1]m∀∈-恒成立，∴2232(13)(1)704245(13)170x xx xxxx x⎧><-⎧--⨯--<⎪⇒⇒-<<-⎨⎨-<<--⨯-<⎪⎩⎩或或35x<<，故选：A.19．A【分析】若对任意113x≤≤，总存在213x≤≤，使得()()12f xg x=成立，只需函数()f x的值域为函数()g x值域的子集，求出()f x在[]1,3上的值域，讨论a的值，确定()g x在[]1,3上的值域，根据包含关系确定实数a的取值范围.【详解】若对任意113x≤≤，总存在213x≤≤，使得()()12f xg x=成立，只需函数()f x的值域为函数()g x值域的子集函数()f x的对称轴为2x=，(1)(3)1,(2)4822f f f==-=-+=-则函数()f x的值域为[2,1]--，记[2,1]A=--当0a=时，()3g x=为常数，不符合题意当0a>时，()[33,3]g x a a∈--，记[33,3]B a a=--A B⊆33231aaa-≤-⎧⎪∴-≥-⎨⎪>⎩，解得543a≤≤当0a<时，()[3,33]g x a a∈--，记[3,33]C a a=--A C⊆323310a a a -≤-⎧⎪∴-≥-⎨⎪<⎩，无解综上，543a ≤≤ 故选：A 【点睛】本题主要考查了求函数的值域以及根据集合间的包含关系求参数的范围，属于中档题. 20．B 【分析】因为对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，所以242240x a bx a b +⋅-⋅-≥对任意实数x 恒成立，则0∆≤，即()2216(24)0a ba b ⋅+⋅+≤，结合已知可得cos θ的值，进而可求出sin θ的值，从而可求出答案. 【详解】由题意，a xb a b +≥⇔+22a xb a b +≥⇔+222220x b a bx a b b +⋅-⋅-≥，对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，且||3,||2a b ==，∴242240x a bx a b +⋅-⋅-≥对任意实数x 恒成立， ∴0∆≤，即()2216(24)0a ba b ⋅+⋅+≤，又cos 6cos a b a b θθ⋅==，∴2144cos 16(12cos 4)0θθ++≤，即29cos 12cos 40θθ++≤，∴2(3cos 2)0θ+≤，则2(3cos 2)0θ+=，解得2cos3θ=-，又0πθ≤≤，∴sin θ=， ∴sin 3tan 2cos 3θθθ===-故选：B .【点睛】本题主要考查了求三角函数值，考查向量数量积的运算，考查一元二次不等式的解与判别式的关系，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 21．D 【分析】先由()0f f x <⎡⎤⎣⎦可得出()20f x -<<，然后再分1x ≤-、1x >-两种情况解不等式()20f x -<<，即可得解.【详解】若()1f x ≤-，则()()1402f x f f x ⎛⎫=-<⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，解得()2f x >-，此时，()21f x -<≤-；若()1f x >-，则()()ln 10f f x f x =+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，可得()011f x <+<，解得()10f x -<<.综上，()20f x -<<.若1x ≤-，由()20f x -<<可得12402x ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得1242x⎛⎫<< ⎪⎝⎭，解得21x -<<-，此时21x -<<-；若1x >-，由()20f x -<<可得()2ln 10x -<+<，可得2111x e <+<，解得2110x e -<<，此时，2110x e-<<. 综上，满足()0f f x <⎡⎤⎣⎦的x 的取值范围为()212,11,0e ⎛⎫--⋃- ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】思路点睛：涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量的取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量的取值确定但分段函数中含有参数时，只需根据自变量的情况直接代入相应解析式求解. 22．C 【分析】本题首先可根据0.3log 0.5log >2142log 0.5log 2-=得出12a >、12b =-，A 、B 正确，然后通过1a <得出2(1)ab a +>，C 错误，最后通过基本不等式即可得出D 正确. 【详解】0.31log 0.5log 2a =>=，21421log 0.5log 22b -===-，则0ab <，0a b +>，A 、B 正确，因为2(1)2ab a +=-+，0.30.3log 0.5log 0.31a =<=，所以21a -+>，2(1)1ab +>，2(1)ab a +>，C 错误，因为0.3log 0.5a =，所以0.51log 0.30a=>，因为0.5log 0.32≠，所以()220.50.52211log 0.3222log 0.3a b+=+>⨯⨯ 612223104log 4log log 26103==>=，即22116a b +>，D 正确，故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查对数的相关性质的应用，考查通过对数函数的单调性判断对数的取值范围，考查通过基本不等式求最值，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题. 23．D 【分析】依题意可构造函数()()sin h x f x x =，由条件可知，()h x 是偶函数，且()h x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭是减函数，再根据144h h ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可由单调性解出不等式．【详解】因为()f x 是奇函数，所以()sin f x x 是偶函数．设()()sin h x f x x =，∴当02x π<<时，()()()cos sin 0h x f x x f x x ''=+>，∴()h x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，∴()h x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭是减函数，∵sin 14444h h f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．当02x π-<<时，不等式()1sin f x x >等价于()14sin h f x x π⎛-<=⎫⎪⎝⎭，当02x π<<时，不等式()1sin f x x >等价于()14sin h f x x π⎛>=⎫ ⎪⎝⎭， ∴原不等式的解集为,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：D ． 24．C 【分析】根据奇偶性求分段函数的解析式，然后作出函数图象，根据单调性解不等式即可. 【详解】因为当0x >时，()2f x x x =+，且函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以0x <时，()()()()22f x f x x x x x ⎡⎤=--=--+-=-+⎣⎦，所以()22,0,0x x x f x x x x ⎧-+<=⎨+>⎩，作出函数图象：所以函数()f x 是()+-∞∞，上的单调递增，又因为不等式()()ln 1f x f <-，所以ln 10x x <-⎧⎨>⎩，即10x e <<，故选：C. 25．D 【分析】先根据函数解析式判断函数的奇偶性和单调性，再根据函数的奇偶性和单调性即可将不等式转化为2210ax ax -+≥对x R ∀∈恒成立，根据恒成立问题求解即可. 【详解】解：()2x x f x e e x -=--的定义域为R 关于原点对称，且()()2xx f x e e x f x --=-+=-，()f x ∴为R 上的奇函数，又()12x xf x e e '=+-，而12x x e e +≥=，当且仅当1xx e e =，即0x =时等号成立，故()120xx f x e e'=+-≥恒成立，故()f x 为R 上的增函数，不等式()()2120f ax f ax +-≥对x R ∀∈恒成立，即()()212f ax f ax ≥--对x R ∀∈恒成立，即()()221f ax f ax ≥-对x R ∀∈恒成立，即221ax ax ≥-对x R ∀∈恒成立，即2210ax ax -+≥对x R ∀∈恒成立，当0a =时，不等式恒成立，当0a ≠时，则()20240a a a >⎧⎪⎨∆=--≤⎪⎩ ，解得：01a <≤，综上所述：[]0,1a ∈. 故选：D. 26．D 【分析】由函数定义域的求解方法可求得()f x 定义域，由奇偶性定义可知()f x 为偶函数，由单调性性质和复合函数单调性的判断方法可确定当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()f x 单调递增，由偶函数性质知其在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，由此可得自变量的大小关系，结合函数定义域可构造不等式组求得结果. 【详解】由1200x x ⎧->⎪⎨⎪≠⎩得：12x <-或12x >，()f x ∴定义域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()()()221111ln 2ln 211f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++-⎝⎭⎝⎭，()f x ∴为偶函数；当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()211ln 21f x x x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭，又12y x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，1ln 2y x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又211y x =+在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()f x 为偶函数，()f x ∴在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减；由()()21f x f x <-得：21x x <-，解得：113x -<<；又112,,22x ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，111,,22x ⎛⎫⎛⎫-∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，114x ∴-<<-或1143x <<，即使得()()21f x f x <-成立的x 的取值范围为1111,,443⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D . 【点睛】易错点点睛：本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，解题关键是能够通过对函数单调性的判断，将函数值大小关系转化为自变量的大小关系；易错点是忽略函数定义域的要求，造成取值范围求解错误. 27．C 【分析】利用()'1f x ＜构造函数g (x )，即可得到函数g (x )的单调性，再将所解不等式转化为用g (x )表达的抽象函数不等式而得解. 【详解】因()'1f x ＜，即()10f x '-<，令()()g x f x x =-，则()0g x '<，()g x 在(,0]-∞上递减，又()f x 是R 上的奇函数，则()g x 也是R 上的奇函数，从而有()g x 在R 上单调递减，显然()()f x g x x =+，则有()()2101110102021f x f x x --+≥-(21011)(21011)[(1010)(1010)]2021g x x g x x x ⇔-+--+++≥- (21011)21011(1010)10102021g x x g x x x ⇔-+--+--≥- (21011)(1010)g x g x ⇔-≥+由()g x 在R 上单调递减得2101110102021x x x -≤+⇔≤，所以所求不等式的解集为(],2021-∞. 故选：C 【点睛】关键点睛：解给定导数值特征的抽象函数不等式，根据导数值特征构造对应函数是解题的关键. 28．()1,+∞ 【分析】由关于x 的不等式220x x a ++>恒成立，则2240a ∆=-<，再求解即可. 【详解】解：由关于x 的不等式220x x a ++>恒成立，则2240a ∆=-<，即1a >，即实数a 的取值范围是()1,+∞，故答案为：()1,+∞. 【点睛】本题考查了二次不等式恒成立问题，属基础题. 29．x ＜12【分析】将不等式化为(23)(2)f x f -<-，再根据函数的单调性可解得结果. 【详解】因为(2)3f -=，所以(23)3f x -<和化为(23)(2)f x f -<-，又因为f (x )是定义在(,0]-∞上的单调递增函数，所以232x -<-，解得12x <. 故答案为：12x <. 30．()4,3- 【分析】根据分段函数的性质，结合函数不等式列不等式组，求解集即可. 【详解】由题设，得：2log (1)20x x +<⎧⎨≥⎩或2x <<⎪⎩，∴03x ≤<或40x -<<，即43x -<<. 故答案为：()4,3-. 31．1(,)3+∞ 【分析】函数3()2f x x x =+为奇函数，又函数为增函数，故将不等式转化为21a a ->-，解不等式. 【详解】3()2f x x x =+，33()()2()2()f x x x x x f x ∴-=-+⨯-=--=-，故函数3()2f x x x =+为奇函数，且单调递增，又(21)()0f a f a -+>，即(21)()()f a f a f a ->-=-，21a a ->-，解得13a >，故答案为：1(,)3+∞ 【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． 32．04k < 【分析】问题转化为210kx kx -+解集为∅，分类讨论结合二次函数的性质可得．【详解】解：22131()024x x x ++=++>，∴不等式22101kx kx x x -+++等价于210kx kx -+，当0k =时，210kx kx -+可化为10，解集为∅，当0k ≠时，可得2()40k k k >⎧⎨=--<⎩，解得04k <<，综合可得k 的取值范围为04k < 故答案为：04k <． 33．,0【分析】由题设不等式恒成立，只需在[]1,4x ∈上()()min max f x g x >成立即可，进而求m 范围. 【详解】()()222312f x x x x =-+=-+，当[]1,4x ∈时，()()min 12f x f ==，()()max 42g x g m ==+， ∴()()min max f x g x >，即22m >+，解得0m <， ∴实数m 的取值范围是,0．故答案为：,0.34．(2,2)- 【分析】由()f x 单调减，不等式在x ∈R 恒成立，知：210x ax ++>对任意的x ∈R 恒成立，根据判别式即可求a 的取值范围. 【详解】由()f x 在R 上为减函数，且2(1)(2)f ax f x ->+对任意的x ∈R 恒成立，∴212ax x -<+对任意的x ∈R 恒成立，整理可得210x ax ++>对任意的x ∈R 恒成立， ∴240a ∆=-<，即22a -<<. 故答案为：(2,2)-. 35．4a【分析】题设中的不等式有解可以转化为()2max284x x a -->，从而可得实数a 的取值范围.【详解】因为关于x 的不等式22840x x a --->有解在[]1,4上有解，故()2max284x x a -->，又()222842212y x x x =--=--，而14x ≤≤，故()2max 242124y =--=-，故4a ，故答案为：4a .【点睛】本题考查一元二次不等式在给定的范围上有解，此类问题可以转化为函数的最值来处理，本题属于基础题.36．(,2-∞+ 【分析】先换元3x ＝t ，()1,t ∈+∞，使f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，再利用二次函数图象特征列限定条件，计算求得结果即可. 【详解】令3x ＝t ，当()0,x ∈+∞时，()1,t ∈+∞，则f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，即函数在()1,t ∈+∞的图象在x 轴的上方，而判别式()()224144m m m m ∆=--+=--，故2440m m ∆=--<或()0121110m f m m ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩，解得2m <+故答案为：(,2-∞+. 【点睛】思路点睛：含有指数或对数函数的二次型不等式恒成立问题，通常将指数或对数函数进行等价换元，转化成二次函数图象性质来解决即可. 37．(],1-∞- 【分析】本题可设12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()22f x t =，然后根据[]1,1x ∈-得出1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，最后根据题意得出不等式()211t k --≥对于任意的1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，即可得出结果. 【详解】设12x t ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()22211222xx f x t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为[]1,1x ∈-，所以1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()22f x f x k -≥即22t t k -≥，()211t k --≥，因为1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2111t --≥-，因为不等式()()22f x f x k -≥对于任意的[]1,1x ∈-恒成立，即不等式()211t k --≥对于任意的1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以1k ≤-，实数k 的取值范围是(],1-∞-，故答案为：(],1-∞-.38．12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】不等式两边同除以b ，先将题意转化为2x t tx -≤-在[0,1)x ∈上有解，即22111111x t x x t x x +⎧≤⎪⎪+⎨--⎪≥=⎪-+⎩在[0,1)x ∈上有解，设1()1f x x -=+，21()1x g x x +=+，[0,1)x ∈，即min ()t f x ≥且max ()t g x ≤，再求出函数对应最值即得结果.【详解】解：因为0b >，故不等式两边同除以b ，得21a a x x b b -≤-，令at b=∈R ，即不等式21x t tx -≤-在[0,1)x ∈上有解.去绝对值即得2211tx x t tx -≤-≤-，即2211tx x t x t tx ⎧-≤-⎨-≤-⎩ 即22111111x t x x t x x +⎧≤⎪⎪+⎨--⎪≥=⎪-+⎩在[0,1)x ∈上有解，设1()1f x x -=+，21()1x g x x +=+，[0,1)x ∈，即min ()t f x ≥且max ()t g x ≤即可，由1()1f x x -=+在[0,1)x ∈上，1[1,2)x +∈，11,112x ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦，即()11,2f x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，故min ()1t f x ≥=-；由()()()22111()211221121x x g x x x x x x ++===+++-+++-+，利用基本不等式()211x x ++≥+211x x +=+即,)11[0x ∈=时等号成立，故1()2g x ≤=，即max 1()2g x =，故12t ≤，综上：t 的取值范围是112t -≤≤，即a b 的取值范围是112b a -≤≤.故答案为：11,2+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数（或范围）时的常用方法：（1）对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，求出函数的最值，进而可求出结果；（2）根据不等式，直接构成函数，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果. 39．{1x x <-，或0x =，或}1x > 【分析】由已知条件构造函数22()()31g x x f x x =-+，求导后可判断出()g x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，由()12f =，可得(1)(1)0g g -==，由()f x 为偶函数，可判断出()g x 为偶函数，而不等式()2231x f x x >-转化为()0>g x ，偶函数的性质可得1x >，从而可求出x 的范围，再由(0)10g =>可得0x =，进而可求出不等式的解集【详解】解：令22()()31g x x f x x =-+，则'2''()2()()6[2()()6]g x xf x x f x x x f x xf x =+-=+-，因为对任意的x 都有()()2'60f x xf x -+>，所以当0x >，'()0g x >，当0x <，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，因为()12f =，所以(1)(1)0g g -==，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，所以2222()()()3()1()31()g x x f x x x f x x g x -=----+=-+=，所以()g x 为偶函数，所以由()0>g x ，所以()(1)g x g >，所以1x >，解得1x <-或1x >，因为(0)10g =>，所以0x =，综上，1x <-，或1x >，或0x =，所以不等式的解集为{1x x <-，或0x =，或}1x >. 故答案为：{1x x <-，或0x =，或}1x >40．（1）0；（2）)(33x xf x -=-；（3）)(,12-∞.【分析】（1）令0x =，计算即可求得)(0f 的值；（2）由)()(11433x x f x f x +-+-=-可得)()(11433x x f x f x -+-+=-，解方程组即可求得结果；（3）由（2）知)(27xf x m ->⋅等价于)(22233xx m <-．令)(234xt t =≥，设函数)(2g t t t =-，只需)(min m g t <即可.【详解】解：（1）令0x =，得)()(40033f f +=-，解得)(00f =．（2）因为)()(11433x xf x f x +-+-=-，① 所以)()(11433x xf x f x -+-+=-，②①4⨯-②得)(11155353x x f x +-=⨯-⨯，即)(33x xf x -=-．（3）由（2）知)(27xf x m ->⋅等价于)(22233xx m <-．令)(234x t t =≥，设函数)(2g t t t =-，易知)(g t 在)4,⎡+∞⎣上单调递增，从而)()(min 412g t g ==．则12m <，即m 的取值范围为)(,12-∞． 41．（1）256y x x =-+；（2）5t ≤-或6t ≥；（3）[]1,6-．【分析】（1）利用韦达定理求出b 、c 的值即可；（2）利用二次函数的知识求出当33x -≤≤时256y x x =-+的最大值即可；（3）易得212t +的最小值为12，然后解出不等式2560x x --≤即可. 【详解】（1）由题知2和3是方程20x bx c ++=的两个根．由根与系数的关系得2323b c -=+⎧⎨=⨯⎩即56b c =-⎧⎨=⎩，所以256y x x =-+．（2）不等式2y t t -+≤对于任意33x -≤≤恒成立，由于256y x x =-+的对称轴是52x =，由二次函数的知识可得，当3x =-时二次函数取最大值max 30y =，所以只需230t t -≥，即2300t t --≥，解得5t ≤-或6t ≥．（3）当0t =时，212t +取得最小值为12，故12y ≤，即2560x x --≤ 解得16x -≤≤，即x 的取值范围为[]1,6-42．（1）()212,021,2032,2m m g m m m m m m +>⎧⎪=++-≤≤⎨⎪--<-⎩；（2）54t ≤-【分析】（1）利用对数的运算以及换元法可得()()()()222224f x y m t t t m t m ==+-=-+-+，讨论二次函数的对称轴，利用二次函数的性质即可求解.（2）将不等式转化为()2t g m m ≤--对任意[4,0]m ∈-恒成立，只需求出()2g m m --在[4,0]m ∈-最小值即可. 【详解】（1）由123log 1x -≤≤-，解得21log 3x ≤≤， ()()()2222224()log 4log log 4log log 4log mmf x x x x x ⎛⎫⎡⎤=⋅⋅=+- ⎪⎣⎦⎝⎭()()22log l g 2o 2x x m =+-，令[]2log 1,3x t =∈，()()()()222224f x y m t t t m t m ==+-=-+-+，对称轴1t m =-，当11m -<时，即0m >，此时max 122412y m m m =-+-+=+，当113m ≤-≤时，即20m -≤≤时，此时()()()22max 1221421y m m m m m m =--+--+=++，当13m ->时，即2m <-，此时max 966432y m m m =-+-+=--，综上所述，函数()f x 的最大值()212,021,2032,2m m g m m m m m m +>⎧⎪=++-≤≤⎨⎪--<-⎩，（2）()2≥++g m t m 对任意[4,0]m ∈-恒成立，即()2t g m m ≤--对任意[4,0]m ∈-恒成立， ①当[)4,2m ∈--时，()353251t m ≤--<-⨯--=，所以1t ≤，②当[]2,0m ∈-时，2215124t m m m ⎛⎫≤+-=+- ⎪⎝⎭，由21524m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的最小值为54-，所以54t ≤-，综上所述，54t ≤-. 43．（1）()[)0,12,+∞；（2）存在，312k << 【分析】（1）讨论01a <<或1a >，利用对数函数的单调性即可求解.（2）根据对数函数的单调性，将不等式转化为1424x x x k ++>-，分离参数可得()22222x x k <⋅+⋅，求出()22222x x ⋅+⋅的最小值，结合函数的定义域即可求解.【详解】（1）()log (01)a f x x a a =>≠，，当01a <<时，函数()f x 单调递减，若()()265f a f a +≤，则265a a +≥，解得2a ≤，此时，01a <<，当1a >时，函数()f x 单调递增，若()()265f a f a +≤，则265a a +≤，解得2a ≥，此时，2a ≥，综上所述，不等式的解集为()[)0,12,+∞.（2）若1a >时，函数()f x 单调递增，对任意的[]10x ∈-，，不等式()()14240x x x f f k ++-->恒成立，即对任意的[]10x ∈-，，1424x x x k ++>-恒成立，即()22222xx k <⋅+⋅恒成立，令12,12xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，可得()()22211222222g t t t t t t ⎛⎫=+=+=+- ⎪⎝⎭，由于()g t 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()min 1322g t g ⎛⎫==⎪⎝⎭，可得32k <，又因为40x k ->恒成立，只需()max41xk >=，所以1k >，综上所述，312k <<44．（1）1a ≥；（2）()2,4. 【分析】（1）根据二次函数的性质，由题中条件，得到()30f ≥，即可求解；（2）根据方程有两不同正根，结合判别式与韦达定理，求出3a <-，再由()2221212122x x x x x x +=+-，即可求出结果.【详解】（1）当0a >时，二次函数()223f x ax ax =--开口向上，对称轴为1x =，所以()f x 在[)3,+∞上单调递增，要使()0f x ≥在[3)+∞，上恒成立，只需()39630a a f =--≥，所以a 的取值范围是1a ≥；（2）因为()0f x =有两个不相等的正实数根1x ，2x ，所以21212041202030a a a x x x x a ≠⎧⎪∆=+>⎪⎪+=>⎨⎪⎪=->⎪⎩，解得3a <-，因为()222121212624x x x x x x a+=+-=+，所以2212x x +的取值范围是()2,4.45．（1）()f x 在[)2,x ∈+∞时单调递增；（2）72a -≤≤；（3）32a -<≤-. 【分析】（1）将函数化为()11f x x x =+-，再利用函数的单调性定义即可求解. （2）根据题意，只需()min g x a ≥，由二次函数的解析式讨论二次函数的对称轴所在的区间，求出()min g x ，解不等式即可求解.（3）根据题意可知()f x 的值域含于()g x 的值域，求出()[)3,f x ∈+∞，()[)72,g x a ∈++∞，从而可得723a +≤，解不等式即可求解.【详解】（1）()()()()22111111111111x x x x f x x x x x x x -+-+-+===-++=+----当[)2,x ∈+∞时，任取[)12,2,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()()()()21121212121212121111111111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤--=+--=-+=--⎢⎥---⋅--⋅-⎣⎦因为12x x <，所以120x x -<，又因为[)12,2,x x ∈+∞，所以111x -≥，211x ->，。

高中数学求不等式解题技巧及题型练习(含答案解析)

高中数学求不等式解题技巧及题型练习（含答案解析）
放缩法证明不等式
干货全汇总
数列型不等式是高中数学绝对难点，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；
其放缩技巧主要有以下几种：
放缩法证明不等式的常见题型与基本策略1、添加或舍弃一些正项（或负项）
2、先放缩再求和（或先求和再放缩）
3、逐项放大或缩小
4、固定一部分项，放缩另外的项
5、函数放缩
6、裂项放缩
7、均值不等式放缩
8、二项放缩
常见题型练习与总结。

如何利用函数图象解答不等式_组_

如何利用函数图象解答不等式(组)贵阳市第七中学邹书生在近几年中考试题中,出现由函数图象获取信息的试题很多,尤其是用函数图象直接解答不等式(组)的试题正成为考试热点之一。

下面就这类题目的解答方法谈点感受。

图1一、利用一次函数、反比例函数、二次函数的图象解答不等式例1 已知一次函数y =kx +b 的图象如图1,所示,求不等式kx +b >0的解集。

分析:由图象可知一次函数y =kx +b与x 轴的交点坐标为(-4,0),当x <-4时,其图象在x 轴上方对应的函数值y >0,即kx +b >0.由此得不等式kx +b >0的解集是x <-4的实数。

图2解:根据函数图象:不等式kx +b >0的解集是x <-4例2 已知反比例函数y =6x 的图象如图2所示,由图象写出不等式6x 3的解集。

分析:此题要求由函数图象直接写出6x3的解集,因此不能够用其它方法解答不等式的解集。

由题意要写出不等式6x3的解集,即当x 取何值时,y 3 因为当x =2时,y =3 由图象可知在直线y =3的下方的函数图象对应的y 值都小于3,对应的x 值的范围为:x !2或x <0图3解:由函数图象可知:不等式6x 3的解集是:x !2或x <0例3 已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ∀0)的图象如图3所示,根据图象写出不等式ax 2+bx +c >0和ax 2+bx +c <0的解集。

分析:题目要写出不等式ax 2+bx +c >0和ax 2+bc +c <0的解集。

即写出函数值y >0和y <0对应的x 的取值范围。

根据函数图象可知:在x 轴上方部分的函数图象对应的函数值y >0,与x 值对应的取值范围是-1<x <3;在x 轴下方部分的函数图象对应的函数值y <0,与x 值对应的范围是x <-1或x >3解:根据函数图象可知:不等式ax 2+bx +c >0的解集是-1<x <3;不等式ax 2+bx +c <0的解集是x <-1或x >3二、利用一次函数图象和反比例函数图象、二次函数图象解答不等式(组)例4 已知一次函数y =x +m 与反比例函数y =m +1x的图象在第一象限内的交点为P (1,3)。

与二次函数有关不等式的问题

与二次函数有关的不等式问题例析解证与二次函数有关的不等式问题，可以从二次函数的两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及与二次函数有关的一些不等式证明的综合问题.1。

二次函数的一般式c bx ax y ++=2)0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.例1已知f x ax bx ()=+2，满足1≤-≤f ()12且214≤≤f ()，求f ()-2的取值范围.分析：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1≤-≤f ()12和4)1(2≤≤f 当成两个独立条件，先用()1-f 和()1f 来表示b a ,.解：由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得：))1()1((21)),1()1((21--=-+=f f b f f a （*）将以上二式代入f x ax bx ()=+2，并整理得()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2)1(2122x x f x x f x f ,∴ ()()()1312-+=f f f .又∵214≤≤f ()，2)1(1≤-≤f , ∴ ()1025≤≤f .例2 设()()f x ax bx c a =++≠20，若()f 01≤，()f 11≤，()f －11≤, 试证明：对于任意-≤≤11x ，有()f x ≤54. 分析：同上题，可以用()()()1,1,0-f f f 来表示c b a ,,. 解：∵ ()()()c f c b a f c b a f =++=+-=-0,1,1,∴ ()()()()0)),1()1((21),0211(21f c f f b f f f a =--=--+=, ∴ ()()()()()222102121x f x x f x x f x f -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. ∴ 当01≤≤-x 时，()()()().4545)21(1)1(2212210212122222222222≤++-=+--=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-++≤-⋅+-⋅-++⋅≤x x x x x x x x x xx x x x f xx f x x f x f当10-≤≤x 时，()()()()222102121x f xx f x x f x f -⋅+-⋅-++⋅≤222122x xx x x -+-++≤)1(22222x x x x x -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= .4545)21(122≤+--=++-=x x x综上，问题获证.2。

2.函数与不等式问题的解题技巧

第三讲函数与不等式问题的解题技巧【例题解析】 1.函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题. 例1．已知函数()f x 的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M∩N=（A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）∅ 命题意图: 本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法. 解：函数()f x 的定义域M={}1,x x < g(x)=ln(1)x +的定义域N={}1,x x >-∴M∩N={|11}x x -<<．故选C例2函数y =( )（A ）(3,+∞) （B ）[3, +∞) （C ）(4, +∞) （D ）[4, +∞) 命题意图: 本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法.解：由20 4.log 20x x x >⎧⇒>⎨->⎩，故选D.2.求函数的反函数求函数的反函数,有助与培养人的逆向思维能力和深化对函数的定义域、值域,以及函数概念的理解.例3．函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反函数是（）（A）,020xx y x ⎧≥⎪=< （B）2,00x x y x ≥⎧=< （C）,020xx y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩（D）2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ 命题意图: 本题主要考查有关分段函数的反函数的求法.()121:2,.(),(0);22,0,()0.,020.yxy x x f x x y x y f x x xx y x --=∴=∴=≥=-<∴=<⎧≥⎪∴=⎨⎪<⎩解又故选C.例4．已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；b = ．命题意图: 本题主要考查反函数的求法及待定系数法等知识.解：()()11112,,.2222y x a x y a y x a x a =-∴=+∴=+=+与3y bx =+比较得a =6，1.2b =故填162；3.复合函数问题复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域.例5．（2007年北京卷文）对于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（）Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②Ｄ．③命题意图: 本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力.解：22()(2),(2)f x x f x x =-∴+=是偶函数，又函数2()(2)f x x =-开口向上且在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数．故能使命题甲、乙均为真的函数仅有2()(2)f x x =-．故选Ｃ例6．函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________.命题意图: 本题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的能力. 解：由()()12f x f x +=,得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+.4.函数的单调性、奇偶性和周期性函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.例7．已知函数()1,1xf x a z =-+，若()f x 为奇函数，则a =________.命题意图: 本题主要考查函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用. 常规解法：由f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,即,0121121=+-++--x xa a .2112212112112121=++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∴-x x x x a 应填21. 巧妙解法：因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,即.21,01210=∴=+-a a 应填21. 点评：巧妙解法巧在利用了f(x)为奇函数,所以f(0)=0,这一重要结论.例8． ()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（） A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件命题意图: 本题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件和必要条件的相关知识.解先证充分性：因为()f x ，()g x 均为偶函数，所以()(),f x f x -=()()g x g x -=，有()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=-+-=+=，所以 ()h x 为偶函数．反过来，若()h x 为偶函数，()f x ()g x 不一定是偶函数．如2()h x x =，(),f x x =2()g x x x =-，故选B.方法二：可以选取两个特殊函数进行验证．故选B点评：对充要条件的论证，一定既要证充分性，又要证必要性，二着缺一不可．同时，对于抽象函数，有时候可以选取特殊函数进行验证． 5.函数的图象与性质函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.例9．(2006年山东卷)函数y=1+a x (0<a <1)的反函数的图象大致是 ( )（A ）（B ）（C ）（D ）命题意图: 本题主要考查对数函数的图象，互为反函数图象间关系及对数的运算性质等知识.解：∵y=1+a x (0<a <1),∴()()1log (1),01a f x x a -=-<<.此函数图象是由函数()()log ,01a f x x a =<<向右平移一个单位得到的.故选A. 6. 函数综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样. 这里主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养读者的思维和创新能力. 例10．已知.|1|)(22kx x x x f ++-= （Ⅰ）若k = 2，求方程0)(=x f 的解；（Ⅱ）若关于x 的方程0)(=x f 在（0，2）上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明.41121<+x x命题意图：本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。

函数与不等式综合题

函数与不等式综合题摘要：1.函数与不等式的概念2.函数与不等式综合题的解题方法3.函数与不等式综合题的实例解析4.总结与展望正文：一、函数与不等式的概念函数是数学中描述一种特定关系的方法，通常表示为一个数的集合（自变量）与另一个数的集合（因变量）之间的对应关系。

不等式是数学中表示大小关系的一种符号，如大于、小于、大于等于、小于等于等。

在数学问题中，函数与不等式常常结合在一起，形成函数与不等式综合题。

二、函数与不等式综合题的解题方法解决函数与不等式综合题，通常需要运用函数的性质（如单调性、奇偶性、周期性等）和不等式的解法（如解不等式、判断不等式的解集等）。

具体解题步骤如下：1.分析题目，明确题目所求，如求函数的值域、定义域，或求解不等式等。

2.根据题目所给条件，建立函数关系式。

3.利用函数的性质，进行函数的变换或求解不等式，得到函数的值域、定义域等信息。

4.根据题目要求，得出最终答案。

三、函数与不等式综合题的实例解析例题：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1，求解不等式f(x) > 0 的解集。

解：首先，根据题目要求，我们需要解不等式f(x) > 0。

其次，对函数f(x) 求导，得到f"(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x - 1)(x + 2)。

然后，分析函数的单调性，得知f(x) 在(-∞, -2) 和(1, +∞) 上单调递增，在(-2, 1) 上单调递减。

最后，求出f(x) 的极值点，即x = -2, 1，代入原函数，得到f(-2) = -15, f(1) = -12，因此，不等式的解集为(-∞, -2)∪(1, +∞)。

四、总结与展望函数与不等式综合题是数学中常见的题型，解决这类问题需要掌握函数与不等式的基本概念和解法。

通过实例解析，我们可以发现，解决函数与不等式综合题的关键在于灵活运用函数的性质和不等式的解法。

利用函数性质与图像解不等式典例精讲

利用函数性质与图像解不等式典例精讲1.定义在0,+∞ 上的可导函数f x 满足：xf x <f x ，f 1 =0，则f x x <0的解集为()A . 0,1B . 0,1 ∪1,+∞C . 1,+∞D . ∅思路：本题并没有f x 的解析式，所以只能考虑利用函数的单调性来解不等式。

由条件xf x <f x 可得xf x -f x <0，进而联想到有可能是通过导数的乘除运算法则所得，再结合所解不等式f x x <0，发现f x x =xf x -f x x 2，刚好与条件联系起来，故设F x =f x x ，则F x =f x x=xf x -f x x 2<0⇒F x 在0,+∞ 上单调递减。

F 1 =f 1 1=0，所以f x x<0的解集为1,+∞ 答案：C 2.f (x )的定义域为R ，f (−1)=2，对任意的x ∈R ，有f (x )>2，则f (x )>2x +4的解集是；思路：所解不等式化为f (x )-2x +4>0，令g x =f x -2x +4，则g x =f x -2由f (x )>2可得g x >0(这也是为何构造g x 的原因)，g x 在R 上单调递增。

考虑g 1 =f 1 -2×1+4=0，∴g x >0⇒x ∈1,+∞答案：1,+∞3.设定义在-1,1 上的函数f x 的导函数为f x =5+cos x ，且f 0 =0，则不等式f x -1 +f 1-x 2 <0的解集为思路：由f x =5+cos x 可得原函数f x =5x +sin x +C (注意由导函数反求原函数时要带个常数C )，再由f 0 =0可得C =0，∴f x =5x +sin x (看到函数解析式的反应：定义域？奇偶性？)显然f x 是奇函数，且在-1,1 单调递增。

进而不等式可利用单调性解出x 的范围。

专题07 函数、方程与不等式实际应用(原卷版)

专题07 函数、方程与不等式实际应用目录热点题型归纳 (1)题型01 一次方程（函数）与不等式的实际应用（最值） (1)题型02 一次方程（函数）与不等式的实际应用（方案） (3)题型03 二元一次方程（组）与不等式的实际应用（最值） (6)题型04 二元一次方程（组）与不等式的实际应用（方案） (8)题型05 分式方程的实际应用 (9)题型06 二次函数的实际应用（最值） (9)题型07 反比例函数的实际应用 (13)中考练场 (16)题型01 一次方程（函数）与不等式的实际应用（最值）【解题策略】一次函数的最值问题，关键是要根据题意列出函数关系式，其中求自变量取值范围是关键；一般答题思路：①根据题意列方程；②根据题意求自变量的取值范围；③根据一次函数的增减性和自变量取值范围，求出最值问题即可。

【典例分析】例.（2023·江苏南通·中考真题）某经销商在生产厂家订购了两种畅销的粽子，两种粽子的进货价和销售价如下表：类别价格A种B种进货价(元/盒)2530销售价(元/盒)3240(1)若经销商用1500元购进A，B两种粽子，其中A种的数量是B种数量的2倍少4盒，求A，B两种粽子各购进了多少盒；(2)若经销商计划购进A种“粽子”的数量不少于B种“粽子”数量的2倍，且计划购进两种“粽子”共60盒，经销商该如何设计进货方案，才能使销售完后获得最大利润？最大利润为多少？【变式演练】1．（2023·贵州贵阳·二模）丹寨县的苗族蜡染入选贵州省第一批非物质文化遗产名录，某店选中A，B两款苗绣蜡染装饰品，其进货价和销售价如表：类别A款B款价格进货价（元/个）7068销售价（元/个）8075，B两款苗绣蜡染装饰品共22个，求这两款装饰品分别购进的数量；(2)第二次该店进货时，计划购进两款苗绣蜡染装饰品共36个，且A款进货数量不超过B款进货数量的一半．应如何设计进货方案才能获得最大利润，并求出最大利润．2．（2024·河南·一模）春节期间，A、B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：A 超市B 超市优惠方案所有商品按八折出售购物金额每满100元返30元超市（填“120元时，选择超市（填“A ”或“B ”）更省钱；(2)若购物金额为()100200x x ≤<元时，请分别写出A 、B 两超市的实付金额y （元）与购物金额x （元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？(3)对于A 超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为20%．若在B 超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明．3．（2023·河南周口·二模）某社区开展关爱“空巢”老人的活动，现从厂家购进“九连环”与“鲁班锁”两种益智玩具用来丰富晚年生活，已知购进2副“九连环”和3副“鲁班锁”共需320元；购进6副“九连环”和4副“鲁班锁”共需560元．(1)分别求这两种玩具的单价；(2)该社区计划购进“九连环”的数量比“鲁班锁”数量的2倍还多10副，且两种益智玩具的总数量不少于70副，社区应如何安排购买才能使费用最少？最少费用为多少？题型02 一次方程（函数）与不等式的实际应用（方案）【解题策略】根据题意列方程和不等式，根据未知数的取值范围列出几种方案。

专题07 利用函数性质解函数不等式的方法-备战高考数学之学会解题必备方法技巧规律(全国通用)

【分析】首先将转化为或，根据函数单调性解和，进而可以求出结果.
【详解】因为，
所以或，
因为在上单调递增，且，
所以，
因为在上为奇函数，
所以在上单调递增，且，
因此，
综上：不等式的解集为 .
故选：C.
【2021届高三5月卫冕联考】
4.已知函数的定义域为，，是偶函数，任意满足，则不等式的解集为（）
所以f(x)＞f（0）＝0，故x＞sinx，
因为，
所以，所以g（α）＜g（2β），
令g(x)＝3x+x，显然g(x)单调递增，所以α＜2β．
故选：D．
【2021安徽省池州市第一中学临门一脚】
3.若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
所以，两边平方得，
解得，
所以实数m的取值范围是（﹣∞， ]，
故选：D
【百校联盟2021届高三5月教育质检】
6.设函数是奇函数的导函数， .当时，，则使得成立的的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，由已知条件可得，所以在上单调递增，由和为奇函数，可得为奇函数，且，从而由的单调性可得答案
解：因为，，所以，所以偶函数.因为当时，，所以在上单调递增.又因为是偶函数，所以在上单调递减.所以，即，所以，即，解得或 .故答案为： .
方法】偶函数+单调性
最新模拟精选与提高
精选练习
【2021福建省宁德市三模】
1.已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（）

专题1 利用奇偶性、单调性解函数不等式问题(解析版)

专题1 利用奇偶性、单调性解函数不等式问题1．设函数2()(1||)f x ln x x =++，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( )A ．1(,1)3B ．1(,)(1,)3-∞+∞ C ．11(,)33-D ．11(,)(,)33-∞-+∞ 【解析】解：函数2()(1||)f x ln x x =++，那么22()(1||)()(1||)()f x ln x x ln x x f x -=+-+-=++= 可知()f x 是偶函数，当0x >，()f x 是递增函数，()(21)f x f x ∴>-成立，等价于|||21|x x >-，解得：113x <<，故选：A ． 2．设函数21()||2019f x x x=-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( ) A ．1(3，1)B ．(-∞，1)(13⋃，)+∞C ．1(3-，1)3D ．(-∞，11)(33-⋃，)+∞【解析】解：()f x 是R 上的偶函数，0x 时，21()2019f x x x =-+，()f x ∴在[0，)+∞上是增函数，∴由()(21)f x f x >-得，(||)(|21|)f x f x >-，|||21|x x ∴>-，22441x x x ∴>-+，解得113x <<，x ∴的取值范围是1(,1)3．故选：A ．3．函数21||21()log (1)12x f x x =+--，则使得()(21)f x f x -成立的x 取值范围是( ) A ．(-∞，1]B ．111[,)(,1]322⋃C ．1[,1]3D ．1(,][1,)3-∞+∞【解析】解：()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减；∴由()(21)f x f x -得，(||)(|21|)f x f x -；|||21|x x ∴-，且0x ≠，210x -≠；22(21)x x ∴-，且0x ≠，12x ≠；解得113x ，且12x ≠；x ∴的取值范围是：111[,)(,1]322⋃．故选：B ．4．已知函数312()423x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底，若2(1)(2)0f a f a -+，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，1]-B ．1[,)2+∞C ．1(1,)2-D ．1[1,]2-【解析】由222()4224240x x x x f x x e e x e e x --'=-++-+=，知()f x 在R 上单调递增，且31()422()3x x f x x x e e f x --=-++-=-，即函数()f x 为奇函数，故2222(1)(2)0(1)(2)12210f a f a f a f a a a a a -+⇔--⇔--⇔+-，解得112a-．故选：D ．5．已知函数31()sin x xf x x x e e=-+-，其中e 是自然数对数的底数，若2(1)(2)0f a f a -+，则实数a 的取值范围是( )A ．1[,1]2-B ．1[1,]2-C ．1(,1][,)2-∞-+∞D ．1(,][1,)2-∞-+∞【解析】解：由于3()sin x x f x x x e e -=-+-，则3()sin ()x x f x x x e e f x --=-++-=-，故函数()f x 为奇函数．故原不等式2(1)(2)0f a f a -+，可转化为2(2)(1)(1)f a f a f a --=-，即2(2)(1)f a f a -；又2()3cos x x f x x x e e -'=-++，由于2x x e e -+，故2()3cos 1x x f x x x e e -'=-++恒成立，故函数()f x 单调递增，则由2(2)(1)f a f a -可得， 221a a -，即2210a a +-，解得112a-，故选：B ．6．已知函数2020()2020log )20202x x f x x -=+-+，则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为()A ．1(4-，)+∞B ．1(,)4-∞-C ．(0,)+∞D ．(,0)-∞【解析】解：设2020()()22020log )2020x x g x f x x -=-=+-，2020()2020log )2020()x x g x x g x -∴-=+-=-，即()g x 为奇函数且单调递增，由(31)()4f x f x ++>可得(31)()0g x g x ++>即(31)()()g x g x g x +>-=-，所以31x x +>-，解得，14x >-．故选：A ．7．已知函数())2x x f x e e ln x -=-++，则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为( )A ．1(,)4-+∞B ．1(,)4-∞-C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞【解析】解：根据题意，函数())2x x f x e e ln x -=-++，其定义域为R ；设()()2)x x g x f x e e ln x -=-=-+，有())[)]()x x x x g x e e ln x e e ln x g x ---=-+=--+=-，即函数()g x 为奇函数，又由函数x x y e e -=-和)y ln x =都是R 上的增函数，故()g x 为R 上的增函数；(31)()4(31)22()(31)2[()2](31)()(31)()f x f x f x f x f x f x g x g x g x g x ++>⇒+->-⇒+->--⇒+>-⇒+>-，则有31x x +>-，解可得14x >-；即x 的取值范围为1(4-，)+∞；故选：A ．8．已知函数2018()20182018log )2x x f x x -=-++，则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为()A ．1(,)4-+∞B ．1(,)4-∞-C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞【解析】解：2018()20182018log )2x x f x x -=-++，令()()2g x f x =-，2018()20182018log )()x x g x x g x -∴-=-++=-，(31)()4f x f x ++>， (31)2()24g x g x ∴++++>， (31)()0g x g x ∴++>， (31)()()g x g x g x ∴+>-=-，2018()20182018log )x x g x x -=-+单调递增，31x x ∴+>-，解可得，14x >-．故选：A ．9．偶函数()y f x =满足下列条件①0x 时，3()f x x =；②对任意[x t ∈，1]t +，不等式()8()f x t f x +恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．(-∞，3]4-B ．3[,0]4-C ．[2-，3]4D ．4[,1]3-【解析】解：根据条件得：(||)8(||)f x t f x +；33(||)8(||)x t x ∴+； 33(||)(2||)x t x ∴+；||2||x t x ∴+；22()4x t x ∴+；整理得，22320x tx t --在[t ，1]t +上恒成立；设22()32g x x tx t =--，()0g t =；22(1)3(1)2(1)0g t t t t t ∴+=+-+-；解得34t -； ∴实数t 的取值范围为(-∞，3]4-．故选：A ．10．已知函数()2020)20201x x f x ln x -=+-+，则关于x 的不等式(21)(2)2f x f x -+<的解集为()A ．1(,)4-∞B ．1(,)2-∞C ．1(,)4+∞D ．1(,)2+∞【解析】解：()()2020)202012020)20201x x x x f x f x ln x ln x --+-=+-+++-+))2ln x ln x =++)2ln x x =+22(1)2ln x x =+-+122ln =+=，则()()2f x f x -+=，则不等式(21)(2)2f x f x -+<，等价于(21)(2)(2)(2)f x f x f x f x -+<-+，即(21)(2)f x f x -<-， ()f x 在R 上是增函数，212x x ∴-<-得41x <，得14x <，即不等式的解集为1(,)4-∞．故选：A ．11．设函数2111()()21||x f x x +=++，则使得(21)(12)2()f x f x f x -+-<成立的x 的取值范围是( )A ．1(,1)3B ．1(,)(1,)3-∞+∞ C ．11(,)33-D ．11(,)(,)33-∞-+∞ 【解析】解：函数2111()()21||x f x x +=++，由解析式可知，()f x 为偶函数且在[0，)+∞上单调递减，则(21)(12)2(21)f x f x f x -+-=-， (21)(12)2()f x f x f x ∴-+-< 2(21)2()f x f x ⇔-< (21)()f x f x ⇔-< (|21|)(||)f x f x ⇔-<⇔22221|21||||21|||(21)3x x x x x x x ->⇔->⇔->⇔<或1x >，故选：B ．12．已知定义域为R 的函数()f x 在[2，)+∞上单调递增，若(2)f x +是奇函数，则满足(3)f x f ++ (21)0x -<的x 范围为( )A ．2(,)3-∞-B ．2(3-，)+∞C ．2(,)3-∞D ．2(3，)+∞【解析】解：(2)f x +是奇函数；()f x ∴关于点(2,0)对称；又()f x 在[2，)+∞上单调递增； ()f x ∴在R 上单调递增；∴由(3)(21)0f x f x ++-<得，(3)(21)f x f x +<--；(3)((23)2)f x f x ∴+<--+； (3)(25)f x f x ∴+<-+；325x x ∴+<-+；解得23x <； x ∴的范围为2(,)3-∞．故选：C ．13．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2()f x x =．若对任意的[x a ∈，2]a +，不等式()(2)f x a f x +恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．0aB ．2aC ．2aD ．0a【解析】解：（排除法）当0a =时，则[0x ∈，2]，由()(2)f x a f x +得()(2)f x f x ，即22220x x x ⇒在[0x ∈，2]时恒成立，显然不成立，排除A 、C 、D ，故选：B ．14．已知a 是方程4x lgx +=的根，b 是方程104x x +=的根，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2()(4)f x x a b x =++-，若对任意[x t ∈，2]t +，不等式()2()f x t f x +恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．)+∞B ．[2，)+∞C ．(0，2]D ．[1][2-，3]【解析】解：由程4x lgx +=得4lgx x =-，由104x x +=得104x x =-，记()f x lgx =，则其反函数1()10x f x -=，它们的图象关于直线y x=轴对称，根据题意，a ，b 为()f x ，1()f x -的图象与直线4y x =-交点A ，B 的横坐标，由于两交A ，B 点关于直线y x =对称，所以，B 点的横坐标β就是A 点的纵坐标，即(,)A a b ，将(,)A a b 代入直线4y x =-得，4a b +=，则当0x 时，22()(4)f x x a b x x =++-=，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴若0x <，则0x ->，则2()()f x x f x -==-，即2()f x x =-，0x <，则22,0(),x x f x x x ⎧=⎨-<⎩，则函数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数，若对任意[x t ∈，2]t +，不等式()2()f x t f x +恒成立，即若对任意[x t ∈，2]t +，不等式()(2)f x t f x +恒成立，则2x tx +恒成立，则(21)t x -，则1)21xt =-，[x t ∈，2]t +， 2(21)t t ∴++，即22t 则22t=故选：A ．15．设函数|1|21()(1)x f x e x -=--，则不等式()(21)f x f x >+的解集为( )A ．(1,0)-B ．(,1)-∞-C ．1(1,3⎫-⎪⎭D ．1(1,0)(0,3⎫-⎪⎭⋃【解析】解：根据题意，函数|1|21()(1)x f x e x -=--，设||21()x g x e x =-，其定义域为{|1}x x ≠，又由||21()()x g x e g x x -=-=，即函数()g x 为偶函数，当(0,)x ∈+∞时，21()x g x e x =-，有32()xg x e x '=+，为增函数， ()g x 的图象向右平移1个单位得到()f x 的图象，所以函数()f x 关于1x =对称，在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．由()(21)f x f x >+，可得1211|1||(21)1|x x x x ≠⎧⎪+≠⎨⎪->+-⎩，解可得：113x -<<且0x ≠，即x 的取值范围为1(1,0)(0,3⎫-⎪⎭⋃；故选：D ．16．已知()f x 是定义在[2-，2]b 上的偶函数，且在[2b -，0]上为增函数，则不等式(21)f x f +（1）的解集为( ) A ．(1,0)- B ．31[,1][0,]22--C ．(-∞，1][0-，)+∞D ．31[,]22-【解析】解：()f x 是定义在[2-，2]b 上的偶函数，220b ∴-+=，1b ∴=，函数()f x 在[2b -，0]上为增函数，∴函数()f x 在[2-，0]上为增函数，故函数()f x 在[0，2]上为减函数，则由(21)f x f +（1），可得|21|1x +，且2212x -+，解得312x --或102x，故不等式(21)f x f +（1）的解集为31[,1][0,]22--．故选：B ．17．已知定义在R 上的函数1131122()(1)22x x x x f x x -----=--+，则不等式(23)(2)0f x f x ++-的解集为( ) A ．(-∞，1]3B ．(0，2]3C ．(-∞，3]D ．(0，3]【解析】解：令1t x =-，则322(1)22t t t tf t t ---+=-+，则(1)f t +是奇函数，则当0t 时，2333332221214(14)2212212141414t t t t t t t t t t ty t t t t t ------++=-=-=-=-=--+++++，为减函数， ∴当1x 时，()f x 为减函数，即()(1)g x f x =+是奇函数，则(23)(2)0f x f x ++-等价为(221)(31)0f x f x +++-+，即(22)(3)0g x g x ++-，则(22)(3)(3)g x g x g x +--=-，则223x x +-，得31x ，13x ，即原不等式的解集为(-∞，1]3，故选：A ．18．函数()f x 是R 上的奇函数，f （1）2=，且对任意12x x >，有1212()()0f x f x x x ->-，则不等式2(1)2f x --的解集为( ) A ．[0，2]B ．[0，1]C ．[1-，1]D ．[1-，0]【解析】解：对任意12x x >，有1212()()0f x f x x x ->-，()f x ∴在R 上单调递增，又()f x 是R 上的奇函数，f （1）2=，所以(1)2f -=-，则由不等式2(1)2f x --可得(1)(1)f f x f --（1），所以111x --，解可得，02x ．故选：A ．19．已知()f x 是定义在(2,1)b b -+上的偶函数，且在(2b -，0]上为增函数，则(1)(2)f x f x -的解集为()A ．2[1,]3-B ．1(1,]3-C ．1[1,]3-D ．1[,1]3【解析】解：根据题意，由于函数()y f x =是定义在(2,1)b b -+上的偶函数，则定义域关于原点对称，则有(2)10b b -++=，解可得1b =，所以，函数()y f x =的定义域为(2,2)-，由于函数()y f x =在区间(2-，0]上单调递增，则该函数在区间[0，2)上单调递减，由于函数()y f x =为偶函数，则()(||)f x f x =，由(1)(2)f x f x -，可得(|1|)(|2|)f x f x -，则|1|2||212222x x x x -⎧⎪-<-<⎨⎪-<<⎩，解可得：113x-<．因此，不等式(1)(2)f x f x -的解集为1(1,]3-，故选：B ．20．设函数1()(2)3x f x x lgx --=++，则不等式3(21)()2f x f --的解集是( ) A ．131(0,][,)482B ．131(1,][,)482-C ．13(,][,)44-∞+∞D ．31(1,][,0)44---【解析】解：由题意知，函数()f x 可由1()1x g x x lg x -=-+而函数()g x 是定义域为(1,1)-的偶函数，函数()m x x =和函数12()(1)11x n x lglg x x +==---在(0,1)上递增，且()0m x >，()0n x >， ∴1()()1x y x lg m x n x x-==-+在(0,1)上递减， ()g x ∴在(0,1)上递减，()f x ∴的定义域为(3,1)--，关于2x =-对称，并且在(2,1)--上递减，∴不等式3(21)()2f x f --等价于32113|212|22x x -<-<-⎧⎪⎨-+-+⎪⎩，解得314x -<-或104x -<．故选：D ．21．已知函数23211()1x x x x e x e xe x f x ln e x+---=-+，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+，则实数a 的取值范围是 1(0,]2．【解析】解：由已知得：23211()1x x x x e x e xe x f x ln e x+---=-+的定义域为(1,1)-， 2332112()()x x x x x xx xe x e xe x e xe ef x f x e e -----------===-， 311()21x x x f x e x x ln e x -=+---+，故函数是奇函数，且增函数，2(1)(2)0f a f a -+，2221211(2)(1)1110212a f a f a a a a a ⎧-<<⎪∴<-⇒-<-<⇒<⎨⎪-⎩，故答案为：1(0,]222．已知函数||2()(x f x e x e =+为自然对数的底数），且(32)(1)f a f a ->-，则实数a 的取值范围为13(,)(,)24-∞+∞ ．【解析】解：函数||2()(x f x e x e =+为自然对数的底数）， ()()(||)f x f x f x ∴-==，且在(0,)+∞单调递增，(32)(1)f a f a ->-，|32||1|a a ∴->-，即281030a a -+>，实数a 的取值范围为12a <或34a >，故答案为：(-∞，13)(24⋃，)+∞ 23．()f x 是定义在R 上函数，满足()()f x f x =-且0x 时，3()f x x =，若对任意的[21x t ∈+，23]t +，不等式(2)8()f x t f x -恒成立，则实数t 的取值范围是 4[7-，0] ．【解析】解：由x R ∈，()()f x f x =-，可得()f x 为R 上偶函数，3()f x x =在0x 上为单调增函数，则(2)8()(2)f x t f x f x -=，即为|2||2|x t x -，即22(2)(2)x t x -，化简可得240t xt -，①（1）当0t >时，①的解为：4t x ，对任意[21x t ∈+，23]t +，①式恒成立，则需234t t +，解得t ∈∅；（2）当0t <时，①的解为4t x ，对任意[21x t ∈+，23]t +，①式恒成立，则需214t t +，解得407t -<；（3）当0t =时，①式恒成立；综上所述，407t -．故答案为：4[7-，0]． 24．已知()||f x x x =，若对任意[2x a ∈-，2]a +，()2()f x a f x +<恒成立，则实数a 的取值范围是a <【解析】解：22,0()||,0x x f x x x x x ⎧==⎨-<⎩，可得()f x 在[0，)+∞递增，在(-∞，0]递增，且(0)0f =，则()f x 在R 上递增，由()2()f x a f x +<可得()())f x a f f x f +<=，则x a +<在[2x a ∈-，2]a +恒成立，即有1)a x <在[2x a ∈-，2]a +的最小值，可得1)(2)a a <-，解得a <故答案为：a <25．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2()f x x =，则2())f x f -= 0 ；若对任意的[x a ∈，1]a +，不等式()2()f x a f x +恒成立，则实数a 的取值范围是．【解析】解：()f x 是奇函数，0x 时，2()f x x =， ∴当0x <时，2()f x x =-．∴当0x 时，222())220f x f x x -=-=，当0x <时，222())2(2)0f x f x x -=---=．2())0f x f ∴-=．2())f x f =，()2()f x a f x ∴+恒成立()(2)f x a f x ⇔+恒成立． ()f x 是增函数，2x a x ∴+在[a ，1]a +上恒成立．(21)a x ∴-，[x a ∈，1]a +．令()1)g x x =，则()g x 在[a ，1]a +上是增函数．()(1)1max g x g a a ∴=+=-+．21a a a ∴-+，解得2a ．故答案为：0，，)+∞．26．已知函数||221()()x f x x e ππ-=+-则，则不等式(1)(21)f x f x -<-的解集是 2(0,)3 ．【解析】解：根据题意，函数||221()()x f x x e ππ-=+-，其定义域为R ，且||221()()()x f x x e f x ππ--=+-=，则()f x 为偶函数，在[0，)+∞上，||222211()()1()xxf x x e e x ππππ-=+-=-+，在[0，)+∞上为减函数，不等式(1)(21)(|1|)(|21|)|1||21|f x f x f x f x x x -<-⇒-<-⇒->-，解可得203x <<，即不等式的解集为2(0,)3，故答案为：2(0,)3．。

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函数与不等式问题的解题技巧专题练习1.函数的定义域及其求法－函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.例1．（2007年广东卷理）已知函数()f x 的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=（A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）∅命题意图: 本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法. 例2. ( 2006年湖南卷）函数y ( )（A ）(3,+∞) （B ）[3, +∞) （C ）(4, +∞) （D ）[4, +∞) 命题意图: 本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法.2.求函数的反函数－求函数的反函数,有助与培养人的逆向思维能力和深化对函数的定义域、值域,以及函数概念的理解.例3．（2006年安徽卷）函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反函数是（）（A）,020x x y x ⎧≥⎪=< （B）2,00x x y x ≥⎧=< （C）,020x x y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩ （D）2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ 命题意图: 本题主要考查有关分段函数的反函数的求法. 例4．（2007年湖北卷理）已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；b = ．命题意图: 本题主要考查反函数的求法及待定系数法等知识.3.复合函数问题－复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域.例5．（2007年北京卷文）对于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()c o s (2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（）Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②Ｄ．③命题意图: 本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力. 例6．（2006年安徽卷）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________.命题意图: 本题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的能力.4.函数的单调性、奇偶性和周期性－函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.例7．（2006年全国卷）已知函数()1,1xf x a z =-+，若()f x 为奇函数，则a =________.命题意图: 本题主要考查函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用. 例8．（2007年全国卷理I ）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件命题意图: 本题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件和必要条件的相关知识.5.函数的图象与性质－函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.例9．(2006年山东卷)函数y=1+a x (0<a <1)的反函数的图象大致是 ( )（A ）（B ）（C ）（D ）命题意图: 本题主要考查对数函数的图象，互为反函数图象间关系及对数的运算性质等知识.6. 函数综合问题－函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样. 这里主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养读者的思维和创新能力. 例10．（2007年浙江卷文）已知.|1|)(22kx x x x f ++-=（Ⅰ）若k = 2，求方程0)(=x f 的解；（Ⅱ）若关于x 的方程0)(=x f 在（0，2）上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明.41121<+x x 7.以集合为背景的不等式以集合为背景的不等式,以考查不等式的解法和集合的有关概念与运算为目的,解题时应注意将不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合,准确解题. 例11. （2007年北京卷文）记关于x 的不等式01x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ．（I ）若3a =，求P ；（II ）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围．命题意图：本题主要考查集合的有关概念和运算及分式不等式和含绝对值的不等式的解法.8.以线性规划形式出现的不等式以线性规划形式出现的不等式,重在考查数形结合的解题能力.这种题目解题时要注意根据已知不等式组作出图形,分析求解. 例12.（2006 年辽宁卷）双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（A ）0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩（B ）0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩（C ） 0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩（D ）0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩命题意图：本题主要考查利用双曲线的图象性质和线性规划的知识，体现数形结合能力.9..以简易逻辑为背景的不等式－以简易逻辑为背景的不等式,解题时往往以不等式为工具,来确定命题,用简易逻辑知识解决问题.例13.（2006 年山东卷）设221:200,:0||2x p x x q x ---><-，则p 是q 的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件命题意图：本题主要考查利用不等式和简易逻辑知识解决问题的能力. 10..与函数知识结合的不等式与函数知识结合的不等式,解题时往往以不等式为工具, 结合函数知识,通过推理来解决问题.例14.（2006 年山东卷）设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为，（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3命题意图：本题主要考查利用不等式和函数知识解决问题的能力. 12..与平面向量知识结合的不等式与平面向量知识结合的不等式,解题时往往以不等式为工具, 结合平面向量知识和坐标运算,通过和坐标运算和推理来解决问题.例15.（2006 年辽宁卷）设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=,若OP AB PA PB ⋅≥⋅,则实数λ的取值范围是（A）112λ≤≤（B）11λ≤≤（C）112λ≤≤ （D）11λ≤≤命题意图：本题主要考查利用不等式和平面向量知识解决问题的能力. 13..与函数的导数知识结合的不等式与函数的导数知识结合的不等式,解题时往往以不等式和函数的导数为工具, 结合函数知识,通过推理来解决问题. 例16. （2006 年江西卷）已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值.(1) 求a 、b 的值及函数()f x 的单调区间;(2)若对[]1,2x ∈-,不等式2()f x c <恒成立,求c 的取值范围.命题意图：本小题考查函数的导数，函数，函数极值的判定，给定区间上二次函数的最值等基础知识的综合运用，考查就数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力.14..与数列知识结合的不等式－与数列知识结合的不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具, 结合函数知识,通过计算和推理来解决问题. 例17.（2006 年湖北卷）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点*,()n S n n N n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭均在函数32y x =-的图像上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设13nn n b a a +=，nT 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有*n N ∈都成立的最小正整数m .命题意图：本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力.15..不等式的实际应用－不等式的实际应用题,解题时往往以不等式为工具, 结合函数知识和函数的导数的应用,通过建立不等式模型,利用计算和推理来解决问题.例18．（2007年重庆卷文）（本小题满分12分）用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？命题意图：本小题主要考查利用函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用不等式知识解决实际问题的能力．【专题训练与高考预测】一.选择题1.y =322-+x x 的单调递减区间为（）A.(－∞，－3)B.(－∞，－1)C.［1，+∞］D.［－3，－1］ 2.下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是（） A.y =－x B.y =11-x C.y =3－2x D.y =－x 2+2x +1 3.设f (x )是定义在A 上的减函数，且f (x )＞0，则下列函数：y =3－2f (x ),y =1+)(2x f ,y =f 2(x ),y =1－)(x f ，其中增函数的个数为（）A.1B.2C.3D.44．关于x 的方程9x +(a+4)·3x+4=0有解，则实数a 的取值范围是（） A ．（-∞，-8]∪[0，+∞）B 、（-∞，-4） [-8，4） D 、（-∞，-8] 5．若a>0，b>0，且2a+b=1，则S=2ab -4a 2-b 2的最大值是（） A ．212- B 、12- C 、212+ D 、12+6．已知不等式m 2＋(cos 2θ－5)m ＋4sin 2θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.0≤m ≤4B.1≤m ≤4 C ．m ≥4或x ≤0 D.m ≥1或m ≤0 二.填空题7.设f (x )=x 2－1(x ≤－2),则f －1(4)=__________.8.已知f (x )=3x －2,则f －1(3x －2)=__________.9.已知f （x ）是奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）＝lg 11x+，那么当x ∈（－1，0）时， f （x ）的表达式是_．10. 记S=1212211212111101010-++++++ ，则S 与1的大小关系是 .11.当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,函数21cos28sin sin2x x y x ++=的最小值是_________.12.实数,x y 满足xx y =-,则x 的取值范围是__________. 三.解答题13. 设函数f （x ）=log 2（x +1），当点（x ，y ）在y=f （x ）的反函数图象上运动时，对应的点（3,2y x ）在y=g （x ）的图象上.(1)求g （x ）的表达式; (2)当g （x ）—f —1（x ）≤0时，求u （x ）=g（x ）—f —1（x ）的最小值.14. 在某产品的制造过程中，次品率p 依赖于日产量x ，已知 =p 1,101x ⎧≤⎪-⎨⎪>⎩当0<x 100时;1,当x 100时. 其中x 为正整数，又该厂每生产一正品可赢利A 元，但每生产出一件次品就要损失3A 元.(1) 将该厂的日赢利额T （元）表示为日产量x （个）的函数，并指出这个函数的定义域;(2)为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少？15．已知).1(1)(-≠+=x x x x f)()1(x f 求的单调区间；（2）若.43)()(:,)(1,0>+-=>>c f a f b b a c b a 求证16．某人上午7时乘摩托艇以匀速V 千米/小时（4≤V ≤20）从A 港出发前往50千米处的B 港，然后乘汽车以匀速W 千米/小时（30≤W ≤100）自B 港向300千米处的C 市驶去，在同一天的16时至21时到达C 市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x 小时、y 小时，若所需经费)8(2)5(3100y x p -+-+=元，那么V 、W 分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.【参考答案】一.1.A 提示：2230,13x x x x +-≥≥≤-则或,又()()2223141x x x x +-=+-,∈-∞,-,.可知当时函数递减.2.D 提示：函数y =－x 2+2x +1的图象开口向下,对称轴x =1.3.C 提示：由于f (x )是定义在A 上的减函数，且f (x )＞0，所以其－2f (x ), )(2x f ,和－)(x f 都是增函数. 4.D 5.A 6.C 二.7.－5 .8.x.9. 提示：当x ∈（－1，0）时，－x ∈（0，1），∴f （x ）＝－f （－x ）＝－lg 11x +＝lg （1－x ）． 10. <1s11. 4 ; 12. ()[),04,-∞⋃+∞三.13. (1)易求12)(1-=-x x f .)14(31)(-=x x g .(2)由g （x ）—f —1（x ）≤0得：[]2,12∈x .121)232(31)(2--=x x u .故x2[].121)(,2,123-≥∈=x u 即121)(,23log min 2-==x u x .14. （1）易知()4(1)[1],0,100,33(101)A T Ax p xp Ax x x N x *=-+=-∈∈-.（2）求T 的最大值是个难点.须变换：]})101(3404)101[(34101{]34)101(3404[])101(34[x x A x x A x x x A T -+--+=+--=--=易知当且仅当≈-=3404101x 89.4时，T 最大.但是x N *∈，)90(),89(f f 两者的最大值一定是T 的最大值吗？这是本题的第二个难点.因此，必须证明函数 )(x T 在（0，3404101-）上是增函数，而在（3404101-，100）上是减函数.15. 解：（1）对已知函数进行降次分项变形 , 得 111)(+-=x x f ,.),1()1,()(上分别单调递增和在区间+∞---∞∴x f（2）首先证明任意).()()(,0y f x f y x f y x +<+>>有事实上,)(1111)()(y x xy f y x xy y x xy y x xy y x xy xy y y x xy f x f ++=+++++>++++++=+++=+. 而 ()),()1(,y x f y x xy f y x y x xy +>+++>++知由 )()()(y x f y f x f +>+∴,04)2(1)(122>=+-≥-=a b b a b b a c .34222≥++≥+∴aa a c a 43)3()()()(=≥+>+∴f c a f c f a f16.解：题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解. 由于103,5.125.2,100450≤≤≤≤∴≤≤=x y V Vy 同理及又149≤+≤y x.23),23(131)8(2)5(3100y x z y x y x P +=+-=-+-+=令则z 最大时P 最小.作出可行域，可知过点（10，4）时, z有最大值38，∴P有最小值93，这时V=12.5，W=30.视y=这是整体思维的具体体现, 当中的换元法是数学解题的常用方法3+xz2。