《平方差公式解方程》PPT课件(黑龙江县级优课)
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《平方差公式》课件(共24张PPT)【推荐】
例2 运用平方差公式计算.
（1）1998×2002； （2）20202-2017×2023. 分析 应用平方差公式可使运算简便. （1）中，1998×2002＝（2000-2）×（2000＋2）； （2）中，20202-2017×2023＝20202-（2020-3）× （2020＋3）. 解析（1）1998×2002＝（2000-2）×（2000＋2） ＝20002-4＝4000000-4＝3999996. （2）20202-2017×2023＝20202-（2020-3）× （2020＋3）＝20202-（20202-9）＝9.
3 3 9 9 9
81
（2）（2x＋1）（4x2＋1）（2x-1）（16x4＋1）
＝（2x＋1）（2x-1）（4x2＋1）（16x4＋1）
＝（4x2-1）（4x2＋1）（16x4＋1）
＝（16x4-1）（16x4＋1）
＝256x8-1
解析 （1） . x 乘除
6 平方差公式
知识点一 平方差公式
平方差 公式
内容
字母表示
知识 详解
知识点一 平方差公式
内容
字母表示
平方差 两个数的和与这两个数的差的积，等于 （a＋b）（a-b）＝a2-
公式
它们的平方差
b2
知识 详解
（1）平方差公式的特点:（i）等号左边是两个二项式相乘，并且 这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数. （ii）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方.（2）对于形 如两数和与这两数差相乘的多项式乘法，都可以用平方差公式计 算. （3）公式中的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式. （4）探究平方差公式的几何意义:如图①，边长为a的大正方形中 有一个边长为b的小正方形，阴影部分的面积为a2-b2； 如图②，将图①中的阴影部分剪拼成一个长方形，面积为（a＋b ）（a-b），所以有（a＋b）（a-b）＝a2-b2
《平方差公式》PPT课件
= y2 - 22 - (y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = -4y+1
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20
1、 口答随：堂练习
(1)(a+3)(a−3)； (2)(2a +3b)(2a−3b) ;
(3)(1+2c)(1−2c) ; (4)(−1+5m)(−1−5m)
(5)(−2x+3y)(2x+3y) ; (6)(a−2b)(a−2b) .
第二数b
平方
=25− 36x2 ;
(2) (x+22yy) (x−22yy)
= x2− ( 2y )2
= x2 −4y2 ;
(3) (−m+nn)(−−mm−n )n = ( −m )2 − n2 = m2 −n2 .
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注意 当“第
一(二)数”是一分数 或是数与字母的乘积 要时用, 括号把这个数整 个括起来，再平方;
(3)(a+b)(a-c) 否 (4)(2+a)(a-2) 是
（5）(1x2y) (1x2y)
4
4
是
（6） (1-x)(-x-1) 是
（7 ）(-4k3+3y2)(-4k3-3y2) 是
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10
【例1】运用平方差公式计算：
(1) (3x+2)(3x-2) (2) (b+2a)(2a-b) (3) (-x+2y)(-x-2y) (4) (a-b+c)(a-b-c)
猜想:(a+b)(a-b)= a2-b2 ?
(a+b)(a-b) = a2-ab+ab-b2
=a -b 2 2完整版ppt
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1、 口答随：堂练习
(1)(a+3)(a−3)； (2)(2a +3b)(2a−3b) ;
(3)(1+2c)(1−2c) ; (4)(−1+5m)(−1−5m)
(5)(−2x+3y)(2x+3y) ; (6)(a−2b)(a−2b) .
第二数b
平方
=25− 36x2 ;
(2) (x+22yy) (x−22yy)
= x2− ( 2y )2
= x2 −4y2 ;
(3) (−m+nn)(−−mm−n )n = ( −m )2 − n2 = m2 −n2 .
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注意 当“第
一(二)数”是一分数 或是数与字母的乘积 要时用, 括号把这个数整 个括起来，再平方;
(3)(a+b)(a-c) 否 (4)(2+a)(a-2) 是
（5）(1x2y) (1x2y)
4
4
是
（6） (1-x)(-x-1) 是
（7 ）(-4k3+3y2)(-4k3-3y2) 是
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【例1】运用平方差公式计算：
(1) (3x+2)(3x-2) (2) (b+2a)(2a-b) (3) (-x+2y)(-x-2y) (4) (a-b+c)(a-b-c)
猜想:(a+b)(a-b)= a2-b2 ?
(a+b)(a-b) = a2-ab+ab-b2
=a -b 2 2完整版ppt
平方差公式课件PPT
$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab - 2bc$
$(a-b+c)^2 = a^2 - b^2 + c^2 + 2(ab)c$
平方差公式的其他变种形式
$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ $(a-b)^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
平方差公式课件
目录
CONTENTS
• 平方差公式的基本概念 • 平方差公式的推导过程 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的应用举例 • 平方差公式的变种 • 总结与回顾
01 平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
总结词
平方差公式是数学中一个重要的恒等 式，用于表示两个数的平方差与这两 个数之间的关系。
$(a+b+c)^3 = (a+b+c)(a^2 - ab + b^2 - ac + bc - c^2)$
06 总结与回顾
本节课的重点回顾
01
02
03
04
平方差公式的形式和结 构
平方差公式的推导过程
平方差公式的应用范围 和条件
平方差公式的代数表示 和几何意义
本节课的难点解析
01
02
03
04
如何理解和记忆平方差公式的 形式和结构
目标
证明该公式成立
证明的步骤
01
02
03
步骤1
展开左侧，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2 + ab - ab$
步骤2
合并同类项，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2$
《平方差公式》PPT课件 (共18张PPT)
•
1、实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。
•
2、世界会向那些有目标和远见的人让路。
•
3、为了不让生活留下遗憾和后悔，我们应该尽可能抓住一切改变生活的机会。 4、无论你觉得自己多么的不幸，永远有人比你更加不幸。
•
5、无论你觉得自己多么的了不起，也永远有人比你更强。
•
6、打击与挫败是成功的踏脚石，而不是绊脚石。
2、利用平方差公式填表。
(a-b)(a+b)
a b a2-b2
(1+x)(1-x)
1x
12-x2
(-3+a)(-3-a) -3 a (-3)2-a2
(1+a)(-1+a)
a1
a2-12
(0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x 1 ( 0.3x)2-12
3、判断下列式子是否可用平方差公式。
（1)（-a+b)(a+b)
随堂练习
1、a 3ba 3b
2、3 2a 3 2a
3、51 49
4、3x 43x 4 2x 33x 2
拓展应用
1、 利用平方差公式计算：
2 12 122 124 128 1
2 (1 1) (1 1) (1 1) (1 1 ) (1 1 )
2
2
4
16
256
小结：
通过本节课的学习你有什么收获？
•
4、斗争是掌握本领的学校，挫折是通向真理的桥梁。——歌德
•
激励自己的座右铭
•
1、 请记得，好朋友的定义是：你混的好，她打心眼里为你开心；你混的不好，她由衷的为你着急。
•
2、 要有梦想，即使遥远。
•
《平方差公式》PPT课件
平方差公式
-.
动脑筋 计算下列各式，你能发现怎样的规律？
(-a +1)(-a - 1)= a2 + a - a - 12 = a2 - 1 (-a + 2)(-a - 2)= a2 + 2a - 2a - 22 = a2 - 4
(-a + 3)(-a - 3)= a2 + 3a - 3a - 32 = a2 - 9 (-a + 4)(-a - 4)= a2 + 4a - 4a - 42 = a2 - 16
例2 利用平方差公式计算本章“情境导航” 中提出的问题.
解：803×797=(800+3)(800-3) =8002-32 =640000-9=639991
(a)
(b)
如图 (a)，将边长为 a 的大正方形剪去一个边长为
b 的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两
个长方形，再将这两个长方形拼成如图(b). 你能用
B. -(-x)3·(-x)5= -x8
C. (-2x2y)3·4x-3=-24x3y3
D.
1
-
3
y
-
1
+
3
y
=
1
2
2
4
x2 -9 y2
解析 A 中同类项为x5，合并后应为2x5，A错.
B 中是同底数幂的乘法，应为
-(-x)3+5=-(-x)8=-x8，B正确
C 中应为(-2)3·(x2)3 ·y3 ·4x-3=-32x3y3，C
错；D 中是多项式乘以多项式，且不适用
平方差 公式.应为
1 2
-
3
y
-
1 2
+3
-.
动脑筋 计算下列各式，你能发现怎样的规律？
(-a +1)(-a - 1)= a2 + a - a - 12 = a2 - 1 (-a + 2)(-a - 2)= a2 + 2a - 2a - 22 = a2 - 4
(-a + 3)(-a - 3)= a2 + 3a - 3a - 32 = a2 - 9 (-a + 4)(-a - 4)= a2 + 4a - 4a - 42 = a2 - 16
例2 利用平方差公式计算本章“情境导航” 中提出的问题.
解：803×797=(800+3)(800-3) =8002-32 =640000-9=639991
(a)
(b)
如图 (a)，将边长为 a 的大正方形剪去一个边长为
b 的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两
个长方形，再将这两个长方形拼成如图(b). 你能用
B. -(-x)3·(-x)5= -x8
C. (-2x2y)3·4x-3=-24x3y3
D.
1
-
3
y
-
1
+
3
y
=
1
2
2
4
x2 -9 y2
解析 A 中同类项为x5，合并后应为2x5，A错.
B 中是同底数幂的乘法，应为
-(-x)3+5=-(-x)8=-x8，B正确
C 中应为(-2)3·(x2)3 ·y3 ·4x-3=-32x3y3，C
错；D 中是多项式乘以多项式，且不适用
平方差 公式.应为
1 2
-
3
y
-
1 2
+3
《平方差公式》优质课件
分享
每个小组选派代表分享他们的讨论成果，这样可以让学 生互相学习、互相借鉴。
思考题布置
思考题
在课堂结束时，布置一些具有挑战性的思考题，比如 “如何证明平方差公式？”、“如何应用平方差公式 解决一些复杂的问题？”等，以提升学生的思维能力 。
辅导
对于学生在思考题方面遇到的问题，教师应该及时给 予辅导和帮助，同时鼓励学生积极思考、勇于探索。
03
平方差公式的证明
证明思路介绍
引入平方差公式
首先，通过实例和问题，引导 学生思考并猜测平方差公式的 内容，然后通过几何和代数方
法进行证明。
几何证明方法
通过拼接两个完全相同的直角三角 形，形成一个正方形，然后利用正 方形面积相等进行证明。
代数证明方法
通过多项式乘法，利用分配律和完 全平方公式进行证明。
平方差公式的性质
总结词：简洁明了
详细描述：平方差公式具有简洁明了的特性，它仅涉及两个数的平方和与差的运算，易于理解和记忆。同时，这个公式也具 有很强的通用性，可以用于解决各种与平方差相关的问题。
公式应用举例
总结词：广泛实用
详细描述：平方差公式在数学中有着广泛的应用，它可以用于解决各种与平方差相关的问题，如求解 代数方程、计算图形的面积等。通过应用这个公式，可以简化计算过程，提高解题效率。
《平方差公式》优质课件
2023-11-08
目录
• 知识点导入 • 平方差公式的定义与性质 • 平方差公式的证明 • 经典例题解析 • 课堂互动与思考 • 知识点回顾与总结
01
知识点导入
复习相关知识
平方差公式的定义 平方差公式在数学中的地位和作用
平方差公式的历史背景和起源
引入新的知识点
平方差公式公开课优质课课件.pptx
通过本课时的学习，需要我们掌握： 平方差公式:
(a+b)(a－b)=a2－b2. 即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个 数的平方差.
平方差公式的逆用： a2－b2 = (a+b)(a－b)
=10 000-0.25 =9 999.75.
1．（眉山·中考）下列运算中正确的是（ ）
A．3a + 2a = 5a 2
B．(2a + b)(2a − b) = 4a2 − b2
C．2a 2 a3 = 2a 6
D．(2a + b)2 = 4a2 + b2
【解析】选B. 在A中3a＋2a＝5a；C中2a2 a3 = 2a2+；3 = 2a5
5.化简：(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16).
【解析】原式=（x2y2 )( x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x8-y8)(x8+y8)(x16+y16) =(x16-y16)(x16+y16) = x32-y32.
a2－b2 = (a+b)(a－b)
(4)(0.5 − x)(x + 0.5)(x2 + 0.25).
【解析】原式=(0.5-x)(0.5+x)(x2 +0.25) =( 0.25－x2)( 0.25+x2) =0.062 5－x4.
（5）100.5×99.5. 【解析】原式=(100+0.5)(100-0.5)
《平方差公式》PPT优质课件
= 9x2–16–6x2–5x+6 = 3x2–5x–10.
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
14.2.1《平方差公式》ppt课件(共28张PPT)
14.2.1《平方差公式》ppt课件（共28张PPT）
5.化简：(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16).
【解析】原式=（x2y2 )( x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x8-y8)(x8+y8)(x16+y16) =(x16-y16)(x16+y16) = x32-y32.
个边长为b的小正方形，如图1，拼成
如图2的长方形，你能根据图中的面
图1
积说明平方差公式吗？
(a+b)(a－b)=a2－b2
图2
【例题】
【例1】运用平方差公式计算：
只有符合(a+b) (a－ b)的
形式才能用平方差公式
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) .(2) (b+2a)(2a－b).
【解析】 (1) (3x＋2)(3x－2) (2)(b+2a)(2a－b)
=(3x)2－22
=(2a+b)(2a－b)
=9x2－4.
=(2a)2－b2
=4a2－b2.
【例2】计算
(1) 102×98. (2)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5).
【解析】
（1） 102×98
(2)原式
=(100+2)(100-2)
=(y2－22)-(y2+5y-y-5)
=1002－22
= y2－22－y2-5y+y+5
=10 000－4
5.化简：(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16).
【解析】原式=（x2y2 )( x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x8-y8)(x8+y8)(x16+y16) =(x16-y16)(x16+y16) = x32-y32.
个边长为b的小正方形，如图1，拼成
如图2的长方形，你能根据图中的面
图1
积说明平方差公式吗？
(a+b)(a－b)=a2－b2
图2
【例题】
【例1】运用平方差公式计算：
只有符合(a+b) (a－ b)的
形式才能用平方差公式
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) .(2) (b+2a)(2a－b).
【解析】 (1) (3x＋2)(3x－2) (2)(b+2a)(2a－b)
=(3x)2－22
=(2a+b)(2a－b)
=9x2－4.
=(2a)2－b2
=4a2－b2.
【例2】计算
(1) 102×98. (2)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5).
【解析】
（1） 102×98
(2)原式
=(100+2)(100-2)
=(y2－22)-(y2+5y-y-5)
=1002－22
= y2－22－y2-5y+y+5
=10 000－4
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= x2− ( 2y )2
= x2 −4y2 ;
(3) (−m+nn)(−−mm−n )n = ( −m )2 − n2 = n2 −n2 .
阅读
p59例2.
注意 当“第
一(二)数”是一分数 或是数与字母乘积时, 要用括号把这个数整 个括起来，再平方;
最终结果又 要去掉括号。
第7页
随堂练习
随堂练习
(a+b+c)(a—b—c)。
第13页
本题是公式变式训练，以加 深对公式本质特征了解．
(4a−1)(4a−1)
利用加法交换律， =( −14a−−41a ) ( 4−a1 −+14a )
法一 变成公式标准形式。 =(1)2 −(4a)2 = 1−16a2。
提取两“−”号中“−”号 法二，
变成公式标准形式。
(4a−1)(4a−1) =−(4a+1)(4a−1) = [ (4a)2 −1]
这两个数平方差．
第5页
初识平方差公式
(a+b)(a−b)=a2−b2
特征 结构
(1) 公式左边两个二项式必须是 相同两数和与差相乘； 且左边两括号内第一项相等、 第二项符号相反[互为相反数(式)];
(2) 公式右边是这两个数平方差； 即右边是左边括号内第一项平方 减去第二项平方.
(3) 公式中 a和b 能够代表数， 也能够是代数式．
假如 (x+a)(x+b)中a、b再有某种特殊关系， 又将得到什么特殊结果呢? 这就是从本课起要学习内容．
第2页
a
试一试
a
a-b 将图中纸片只剪一刀，
再拼成一个长方形．
b
a-b b
平方差公式ppt课件
解：(4)
例 在括号中填入适当的整式
(1)(b+a(a -b)=a²-b²; (2)(m-n(-n -m)=n²-m²;
(3)(=1-3x)(=1
+3x)=1-9x²;(4)(a²+b²)(a²-b²)=a⁴-b4
分析：观察此题的结果，是两数的平方差，再对比左侧已知的 因式，分析出谁是相同项，谁是相反项.
=9996
例 计算：
(3)(x"+4)(x"-4);
分析：(3)xn 可以看成公式中的a,4 可以看成公式中的b, 根据平方差公式，结果为(xn)²-42.
解：
(3) (x”+4)(xn-4)
=(x”)²-4²
=x²n-16.
例 计算： (3)(x”+4)(x”-4);
分析：(4)需要先把前两项利用平方差公式计算出来，然 后利用结果二次利用平方差公式，从而得到最终结果.
平方差公式
阅读小故事，并回答问题：
小明和小兰分别负责两块区域的值日工作.小明负责一块边长为a 米 的正方形空地，小兰则负责一块长方形空地，长为正方形空地边长加5 米，宽度是正方形空地边长减5米.有一天，小明对小兰说：“咱们换 一下值日的区域吧，反正这两块地大小都一样. ”你觉得小明说的对吗? 为什么?
符号语言： (a+b)(a-b)=a²-b²
atb(a-b)=a²-b²→ 平方差公式
代数推导：(a+b)(a-b)=a²-ab+ab-b²
=a²-b².
文字描述：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的 平方差.
结构特点：左边：a 符号相同，b 符号相反. 右边：符号相同项a的平方减去符号相反项b的平方.
例 在括号中填入适当的整式
(1)(b+a(a -b)=a²-b²; (2)(m-n(-n -m)=n²-m²;
(3)(=1-3x)(=1
+3x)=1-9x²;(4)(a²+b²)(a²-b²)=a⁴-b4
分析：观察此题的结果，是两数的平方差，再对比左侧已知的 因式，分析出谁是相同项，谁是相反项.
=9996
例 计算：
(3)(x"+4)(x"-4);
分析：(3)xn 可以看成公式中的a,4 可以看成公式中的b, 根据平方差公式，结果为(xn)²-42.
解：
(3) (x”+4)(xn-4)
=(x”)²-4²
=x²n-16.
例 计算： (3)(x”+4)(x”-4);
分析：(4)需要先把前两项利用平方差公式计算出来，然 后利用结果二次利用平方差公式，从而得到最终结果.
平方差公式
阅读小故事，并回答问题：
小明和小兰分别负责两块区域的值日工作.小明负责一块边长为a 米 的正方形空地，小兰则负责一块长方形空地，长为正方形空地边长加5 米，宽度是正方形空地边长减5米.有一天，小明对小兰说：“咱们换 一下值日的区域吧，反正这两块地大小都一样. ”你觉得小明说的对吗? 为什么?
符号语言： (a+b)(a-b)=a²-b²
atb(a-b)=a²-b²→ 平方差公式
代数推导：(a+b)(a-b)=a²-ab+ab-b²
=a²-b².
文字描述：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的 平方差.
结构特点：左边：a 符号相同，b 符号相反. 右边：符号相同项a的平方减去符号相反项b的平方.
《平方差公式》课件
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《平方差公式》PPT课件
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汇报人：PPT
目 录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 引 言 03 平 方 差 公 式 的 推 导 04 平 方 差 公 式 的 应 用 05 总 结 与 回 顾 06 作 业 与 思 考
回顾本节课的重点和难点
难点：掌握平方差公式的推 导过程和证明方法
重点：理解平方差公式的含 义和应用
重点：掌握平方差公式的变 形和应用
难点：理解平方差公式在解 决实际问题中的应用
06
作业与思考
布置相关作业
完成平方差公式的推导过程 运用平方差公式解决实际问题 比较平方差公式与其他公式的异同 思考平方差公式在实际生活中的应用
01
添加章节标题
02
引言
介绍平方差公式的背景和重要性
背景：平方差公式是数学中的一个基本公式，广泛应用于各种数学问题中 重要性：平方差公式是解决数学问题的重要工具，可以帮助我们理解和解决许多实际问题 应用：平方差公式在物理、化学、生物等学科中也有广泛应用 学习意义：掌握平方差公式对于提高数学素养和思维能力具有重要意义
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THANK YOU
汇报人：PPT
解决工程问题， 如计算压力、力 矩等
05
总结与回顾
总结平方差公式的推导和应用方法
推导过程：通过两个数的平方差公式，推导出两个数的平方和公式
应用方法：在计算两个数的平方和时，可以使用平方差公式进行简化计算
注意事项：在使用平方差公式时，需要注意公式的适用范围和条件 总结：平方差公式是数学中的一个重要公式，掌握其推导和应用方法对于 解决实际问题具有重要意义。
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01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 引 言 03 平 方 差 公 式 的 推 导 04 平 方 差 公 式 的 应 用 05 总 结 与 回 顾 06 作 业 与 思 考
回顾本节课的重点和难点
难点：掌握平方差公式的推 导过程和证明方法
重点：理解平方差公式的含 义和应用
重点：掌握平方差公式的变 形和应用
难点：理解平方差公式在解 决实际问题中的应用
06
作业与思考
布置相关作业
完成平方差公式的推导过程 运用平方差公式解决实际问题 比较平方差公式与其他公式的异同 思考平方差公式在实际生活中的应用
01
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引言
介绍平方差公式的背景和重要性
背景：平方差公式是数学中的一个基本公式，广泛应用于各种数学问题中 重要性：平方差公式是解决数学问题的重要工具，可以帮助我们理解和解决许多实际问题 应用：平方差公式在物理、化学、生物等学科中也有广泛应用 学习意义：掌握平方差公式对于提高数学素养和思维能力具有重要意义
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解决工程问题， 如计算压力、力 矩等
05
总结与回顾
总结平方差公式的推导和应用方法
推导过程：通过两个数的平方差公式，推导出两个数的平方和公式
应用方法：在计算两个数的平方和时，可以使用平方差公式进行简化计算
注意事项：在使用平方差公式时，需要注意公式的适用范围和条件 总结：平方差公式是数学中的一个重要公式，掌握其推导和应用方法对于 解决实际问题具有重要意义。
《平方差公式解方程》PPT课件(黑龙江省级优课)
简记歌诀：
右化零 左分解 两因式 各求解
解方程:
(1)5x2=4x (2)x-2=x(x-2) (3)x2+6x-7=0
解下列方程
1.4x 1(5x 7) 0;
2.3xx 1 2 2x;
3.(2x 3)2 4(2x 3);
4.2(x 3)2 x2 9;
解下列方程
5.5(x2 x) 3(x2 x);
解下列方程:
(1)x(x-2)+x-2=0;
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3 ,
4
4
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1、方程左边不为零,右边化为零。 2、将方程左边分解成两个一次因式的乘积。 3、至少有一个一次因式为零，得到两个一 元一次方程。 4、两个一元一次方程的解就是原方程的解。
6.( x 2)2 2x 32;
7.(x 2)x 3 12;
8. 0;
2.2(x 3)2 x x 3;
3.(x 1)2 3x 1 2 0;
4.x 2 12x 27 0;
5.2(x 3)2 x 2 9.
分解因式的方法:
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2. （3）十字相乘法:
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 a 1 b
先因式分解使方程化为两个一次因式
的乘积等于0的形式，再使这两个一次式 分别等于0，从而实现降次，这种解一元 二次方程的方法叫做因式分解法。
右化零 左分解 两因式 各求解
解方程:
(1)5x2=4x (2)x-2=x(x-2) (3)x2+6x-7=0
解下列方程
1.4x 1(5x 7) 0;
2.3xx 1 2 2x;
3.(2x 3)2 4(2x 3);
4.2(x 3)2 x2 9;
解下列方程
5.5(x2 x) 3(x2 x);
解下列方程:
(1)x(x-2)+x-2=0;
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3 ,
4
4
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1、方程左边不为零,右边化为零。 2、将方程左边分解成两个一次因式的乘积。 3、至少有一个一次因式为零，得到两个一 元一次方程。 4、两个一元一次方程的解就是原方程的解。
6.( x 2)2 2x 32;
7.(x 2)x 3 12;
8. 0;
2.2(x 3)2 x x 3;
3.(x 1)2 3x 1 2 0;
4.x 2 12x 27 0;
5.2(x 3)2 x 2 9.
分解因式的方法:
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2. （3）十字相乘法:
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 a 1 b
先因式分解使方程化为两个一次因式
的乘积等于0的形式，再使这两个一次式 分别等于0，从而实现降次，这种解一元 二次方程的方法叫做因式分解法。
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回顾与复习 2
分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法: am+bm+cm=__m_(_a_+_b_+_c_）__
（2）公式法: a2-b2=__(a_+_b_)_(_a_-b_)__ a2±2ab+b2=_(_a_±__b_)2__
（3）十字相乘法:
x2+(p+q)x+pq=_(_x_+_p_)(_x_+_q_)_.
有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0， x1=x2=1.
有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0，
2
1
x1 3 , x2 2 .
解下列方程：
（1）4x2 121 0;
解： 因式分解，得
练习三
(2) (x 4)2 (5 2x)2.
解：变形得
( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0. 有 2x+11 = 0 或 2x－11= 0，
10 10
2 4.9
x1
100 ， 49
x2 0
探究 你有更简单的方法吗？
10x 4.9x2 0
如果a ·b = 0，
因式分解
x 10 4.9x 0
那么 a = 0或 b = 0。
两个一次因式乘积为 0，使每个因式为0
化为两个一次方程，从而降次
x 0 或 10 4.9x 0
解两个一次方程，得出原方程的根
例3.解下列方程 :
(1)x(x 2) x 2 0;
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
1.将方程右边等于0;
2. 将方程左边因式分解为A×B;
3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程.
4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增 加了3倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为rm 根据题意 ( r + 5 )2×π=4r2π.
因式分解，得
(r 5 2r)(r 5 2r) 0
于是得 (r 5 2r) 0或(r 5 2r) 0
5 r1 5, r2 3
x1=2，x2=－1.
2x＋1=0或2x－1=0,
x1
1 2
,
x2
1 2
.
解下列方程：
练习一
（1）x2 x 0;
(2) x2 2 3x 0
解： 因式分解，得
解：因式分解，得
x ( x+1 ) = 0.
x x 2 3 0.
得 x = 0 或 x + 1 =0， 得 x 0 或 x 2 3 0,
以上解方程①的方法是如何使二次方程降为一次的?
可以发现,上述解法中,由①到②的过程,不是用 开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次 式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于 0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.
提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边 等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“ab=0,则a=0或b=0 ”
义务教育阶段人教版九年级上册
回顾与复习 1
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
直接开平方法
x2=p (p≥0)
配方法
(x+m)2=p (p≥0)
公式法
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
49
x2
100 49
x
50 49
2
0
50 49
2
a = 4.9，b =－10，c = 0
x
50 49
2
50 49
2
b2－4ac = (－10)2－4×4.9×0=100
x 50 50 49 49
x 50 50 49 49
x1
100 49
，
x2 0
x b
b2 4ac 2a
x1=0 , x2=－1.
x1 0, x2 2 3.
解下列方程：
(1) 3x2 6x 3
练习二
(2) 3x(2x 1) 4x 2
解：化为一般式为 x2－2x+1 = 0.
因式分解，得
解：化为一般式为 6x2 － x －2 = 0. 因式分解，得
( x－1 )( x－1 ) = 0.
( 3x － 2 )( 2x + 1 ) = 0.
x1 0,
100 x2 49 2.04
这种解法是不是 很简单？
以上解方程 x10 4.9 x 0
的方法是如何使二次方程降为一次的？
x10 4.9x 0
①
x 0 或 1 0 4.9x 0, ②
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开 方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘 积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而 实现降次，这种解法叫做因式分解法．
学习目标
1、掌握用因式分解法解一元二次方程.
2、通过复习用配方法、公式法解一元二次方 程,体会和探寻用更简单的方法──因式分解法 解一元二次方程,并应用因式分解法解决一些具 体问题.
实际问题
根据物理学规律，如果把一 个物体从地面 以10 m/s 的速度 竖直上抛，那么经过 x s 物体离 地面的高度（单位：m）为
10x 4.9x2
根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？ （精确到 0.01 s）
提示
设物体经过 x s 落回地面，这时它 离地面的高度为 0 ，即
10x 4.9x2 0
配方法
公式法
10x 4.9x2 0
10x 4.9x2 0
解：x2 100 x 0
解：4.9x2 10x 0
答：小圆形场地的半径是5 m
小结
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
例3 解下列方程：
1 x x 2 x 2 0;
2 5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：（1）因式分解，得 (2)移项、合并同类项，得
(x－2)(x＋1)=0.
4x2 1 0.
于是得
因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
x－2＝0或x＋1=0,
于是得
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
因式分解，得
( x－4－5+2x )( x－4 +5－2x ) = 0.
x1
11, 2
x2
11. 2
( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0. 有 3x － 9 = 0 或 1 － x = 0，
x1 = 3 , x2 = 1.
2020/12/16