高中数学必修一 函数的基本性质(一)
高一数学人教A版必修1课件1321函数的奇偶性
总结：(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
【归纳提升】 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称，如 果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也 不是偶函数．
(6)显然函数 f(x)的定义域关于原点对称． 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数.
2 利用函数的奇偶性求解析式
学法指导：利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的 关系式 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪 个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化 为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导， 求得所求区间上的解析式．
[例 2] 已知函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x＋3.试求 f(x)在 R 上的表达式，并画出它的图 象，根据图象写出它的单调区间．
[分析] 由函数图象关于原点对称可知 y＝f(x)是奇函 数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数 f(x)的图象关于原点对称． ∴f(x)为奇函数，则 f(0)＝0， 设 x＜0，则－x＞0，∵x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 于是有：
函数的单调性课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
学运算素养．
新课引入
问题1：观察下面函数图象，从中你发现了图象的哪些特征？
= 2
=
= >0
升降变化、对称性，最高点或最低点等
今天，我们重点研究图象从左到右升降变化的规律。
随的增大而增大（或减小）——
函数的单调性
= 2
1
y
0
那么就称函数 在
区间D上时减函数
y
1
1 2 x
2
0
1 2
x
特别地，只有当函数 在它的定义域上单调递增（递减）时，
我们才称它是增（减）函数。
合作探究
思考1：−1 < 2时，有 −1 < 2 ，
说函数在区间 −1，2 上单增对吗？并说出你的理由。
不对，如图，虽−1 < 2时，有 −1 < 2 ,
函数值随自变量的增大（或减小）的性质叫做函数的单调性.
图形语言：在 轴右侧,从左到右图象是上升的；
也就是说，在区间 ， +∞ 上，随的增大而增大
；
你能类比说出函数在y轴右侧的符号表示及单调性吗？
符号语言：
∀ , ∈ ， +∞ ， = , =
当 < 时，有 < 成立.
结论 这时， f (x)=kx +b是减函数。
结论：一次函数 = + ≠ 的单调性由的正负确定。
> 在R上单调递增； < 在R上单调递减.
k
(k为正常数)告诉我们，
例3、 物理学中的玻意耳定律 p =
高中数学必修一指数函数对数函数知识点
高中数学必修一指数函数对数函数知识点高中数学必修一中，指数函数和对数函数是重要的知识点。
指数函数是一种以指数为自变量的函数，形式为y = a^x，其中a为底数，x为指数。
而对数函数是指数函数的逆运算，形式为y = loga(x)，其中a为底数，x为真数。
以下是关于指数函数和对数函数的具体知识点。
一、指数函数的图像和性质1.指数函数的基本形式：-y=a^x，其中a>0且a≠12.指数函数的基本性质：-当0<a<1时，指数函数呈现递减的图像；-当a>1时，指数函数呈现递增的图像；-当a=1时，指数函数为常数函数y=1二、对数函数的图像和性质1.对数函数的基本形式：- y = loga(x)，其中a > 0且a≠12.对数函数的基本性质：- 对数函数与指数函数互为反函数，即loga(a^x) = x，a^loga(x) = x；-对数函数的图像关于直线y=x对称；-对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
三、指数函数和对数函数的运算性质1.指数函数的运算性质：-a^x*a^y=a^(x+y)；- (a^x)^y = a^(xy)；- (ab)^x = a^x * b^x；-a^0=1，其中a≠0。
2.对数函数的运算性质：- loga(xy) = loga(x) + loga(y)；- loga(x^y) = y * loga(x)；- loga(x/y) = loga(x) - loga(y)；- loga(1) = 0，其中a≠0。
四、指数函数和对数函数的应用1.指数函数在生活中的应用：-经济增长模型中的应用；-指数衰减与物质的半衰期计算；-大自然中的指数增长现象。
2.对数函数在生活中的应用：-pH值的计算；-放大器的功率增益计算；-数字音乐的音量计算。
综上所述，指数函数和对数函数是高中数学必修一中的重要知识点。
掌握了指数函数和对数函数的基本形式、性质以及运算规律，能够理解其图像特征和在实际问题中的应用。
人教A版高中数学必修第一册《函数的基本性质》课件
x1, x2 D ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，那么就说
f (x) 在区间 D 上是减函数.
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册《修函第数一册 的 基《本函性数 质的基》本课 性件质》 第1课 时课件 （共11 张ppt）
因此， f (x) x 2 在 2, 上是增函数． x
人教A版高中数学必修第一册《函数的 基本性 质》课 件
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册《修函第数一册 的 基《本函性数 质的基》本课 性件质》 第1课 时课件 （共11 张ppt）
课堂小结
函数的单调性
x1, x2 D ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，那么就说
人教A版高中数学必修第一册《函数的 基本性 质》课 件
人教A（2019版）高一上
3.2.1 单调性与最大（小）值（第1课时）
人教A版高中数学必修第一册《函数的 基本性 质》课 件
人教A版高中数学必修第一册《函数的 基本性 质》课 件
学习目标
1.了解函数的单调区间、单调性等概念. 2.会划分函数的单调区间，判断单调性. 3.会用定义证明函数的单调性．
人教A版高中数学必修第一册《函数的 基本性 质的 基本性 质》课 件
例题讲解
例
2.证明函数
f
(x)
1 x
在
0
,
上是减函数．
证明： x1, x2 0, ，且 x1 x2 .
则 x1 x2 0 ，且 x1x2 0 ．
所以
f (x1 )
f (x2 )
人教A版高中数学必修第一册《函数的 基本性 质》课 件
高中数学必修1函数的基本性质
高中数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
高一数学必修一函数的基本性质(单调性)精品PPT课件
观察图像变化规律
图像在对称轴左边呈下降， 在对称轴后边呈下降趋势。
x
y
O
x
y
O
x
y
O
自变量递增，函数递减
x
y
O
x
y
O
x
y
O
自变量递增，函数递增
增函数、减函数的概念：
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数.
2．两种方法：
判断函数单调性的方法 有图象法、定义法． 下一课时我们会重点练习
课堂小结
1．阅读教材P.27 -P.30； 2．教材课后练习：1、2、3.
课后作业
谢谢欣赏
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
增函数、减函数的概念：
函数最大值→图像最高点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最大值 .
函数最小值→图像最低点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最小值 .
-2
3
2
1
-1
y
-3
-4
4
O
x
2
-2
3
1
-3
-1
3.2函数的基本性质(单调性、最值、奇偶性)(新课改2019新版人教A版高中数学必修第一册)
6
3.2函数的基本性质
• 2.单调性
• (3)判断单调性：借助图形；定义.
• (4)证明单调性：定义法.
(5)步骤：
若 若① ② ③fff计(((xxxx算1111,)))xf2(xfff1((()Dxxx,222
且)f与(xx012比)，较x2将；：其分解为若干可以直接确定符号的式子； ) 0，则f (x)在D上单调递增； ) 0，则f (x)在D上单调递减.
当k 0时, f ( 所以函数y
x1 ) kx
bf在(xR2 )上单0即调f递(x1增) ，f即(x函2 ).数y
kx
b是增函数.
当k 0时, f ( 所以函数y
x1 ) kx
bf在(xR2 )上单0即调f递(x1减) ，f即(x函2 ).数y
kx
b是减函数.
9
3.2函数的基本性质
• 2.单调性
11
3.2函数的基本性质
函数的最值与单调性密切相联.
• 3.最值
• (1)定义 一般地，设函数y f (x)的定义域为I，
若存在实数M 满足： 则①称xM是I，y 都 有f (fx)(的x)最 M大；值②. x0 I，使得f (x) M .
y
y=x²
O
x
若存在实数M 满足：
y
①x I，都有f (x) M；②x0 I，使得f (x) M . 则称M 是y f (x)的最小值. 函数y f (x)在闭区间[a,b]上单调递增或递减，
x
2取1 得最大值，在x
6处取得最小值.
O
由f (2) 2 2, f (6) 2 0.4. 所以该函2数1的最大值为26，最1 小值为0.4.
x
1.3 函数的基本性质(人教版高中数学必修1 第1章集合与函数概念)
必修3 选修2-1 数学全集
必修4 选修2-2
必修5 选修2-3
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f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x) 当 x=0 时，有 f(0) = -f(0)，因此有f(0)=0
函数的奇偶性
2. f(x)为奇函数 f(-x)=-f(x)
f(x)为偶函数 f(-x)=f(x)
定义域
x≠0
3. f(x)为奇函数，且f(x)在 x=0 处有定义 f(0)=0
f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x) 当 x=0 时，有 f(0) = -f(0)，因此有f(0)=0
函数的奇偶性
5. 根据函数奇偶性的特征，可以简化函数图象的画法.
偶函数图象关于 y轴 对称. 奇函数图象关于 原点 对称.
例3、已知函数 y=f(x) 是偶函数，它在 y 轴右边的图象如下 图，画出在 y 轴左边的图象.
y
相等
0
x
例3、已知函数 y=f(x) 是奇函数，它在 y 轴右边的图象如下 图，画出在 y 轴左边的图象.
即f ( x 1 ) < f ( x 2 ) 所以，函数 f ( x ) = 3x+2 在 R上是单调增函数。
练习1 证明：函数 f ( x ) = x2+3 在 （0,+∞）上是单调增函数.
练习2 证明函数 y 1 在 （0,+∞）上是单调性. x
证明：设x1, x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1<x2，则
若函数在此区间上是增函数，则区间为单调递增区间
高一数学必修1-函数的概念及基本性质
§1·函数的概念（一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ，x ∈A ， y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f （二）已学函数的定义域和值域1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 2．反比例函xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2（三）函数的值：关于函数值 )(a f例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数（四）函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)( 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数（五）区间的概念和记号：在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.设a,b ∈R ,且a<b.我们规定：①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；③满足不等式a ≤x<b 或a<x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b) ,(a ，b]. 这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点.这样实数集R 也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x ≥a ，x>a ，x ≤b ，x<b 的实数x 的集合分别表示为[a ，+∞)，（a ，+∞）,(- ∞,b ],(- ∞,b). 【例题解析】例1 判断下列各式，哪个能确定y 是x 的函数？为什么？(1)x 2＋y ＝1 (2)x ＋y 2＝1 (3)1x x 1y --= (4)y=x -1x +-例2 求下列函数的定义域： （1）()f x = (2)xx x x f -+=0)1()(例3 已知函数)(x f =32x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).例4 已知⎪⎩⎪⎨⎧+=10)(x x f π )0()0()0(>=<x x x ，求)1(f ，)1(-f ，)0(f ，)]}1([{-f f f讨论：函数y=x 、y=(x )2、y=23xx 、y=44x 、y=2x 有何关系？例5 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ⑵111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y练习：下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ① ()f x = 0(1)x -；()g x = 1.② ()f x = x ； ()g x ③ ()f x = x 2；()g x = 2(1)x +.④ ()f x = | x | ；()g x 例6 已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].复合函数：设 f (x )=2x -3，g (x )=x 2+2，则称 f [g (x )] =2(x 2+2)-3=2x 2+1（或g [f (x )] =(2x -3)2+2=4x 2-12x +11）为复合函数例7求下列函数的值域（用区间表示）：（1）y ＝x 2－3x ＋4； （2）()f x =（3）y ＝53x -+； （4）2()3x f x x -=+.例8 ※ 动手试试1. 若2(1)21f x x +=+，求()f x .2. 一次函数()f x 满足[()]12f f x x =+，求()f x .练习 已知二次函数f (x )=ax 2+bx （a ，b 为常数，且a ≠0）满足条件f (x －1)=f (3－x )且方程f (x )=2x 有等根，求f (x )的解析式.函数的概念习题：1．如下图可作为函数)(x f =的图像的是( )（D ）2.对于函数()y f x =，以下说法正确的有 （ ）①y 是x 的函数；②对于不同的,x y 的值也不同；③()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量；④()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来。
(完整word版)人教版_数学_必修1函数的基本性质_教案
31-ξ函数的基本性质1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）,能应用函数的基本性质解决一些问题。
（2)从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．（3）了解奇偶性的概念，回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。
（1）判断或证明函数的单调性；（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。
一、 函数的单调性 1．单调函数的定义(1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I :如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ，当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。
（2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ，当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。
（3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。
那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。
2、单调性的判定方法 （1）定义法：判断下列函数的单调区间：21xy =（2）图像法：从左往右,图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。
（3）复合函数的单调性的判断： 设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈,],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在],[b a 上也是单调函数.①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。
②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数,则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同. 即复合函数的单调性:当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。
高中数学必修一——函数基本性质
高中数学必修一——函数基本性质引言：函数是高中数学中的重要知识点之一，它不仅在高考中占有一定比重，而且在大学数学、物理等学科中也应用广泛。
因此，学好函数是中学数学的重要任务之一。
本文将介绍函数的基本性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，同时提供20道以上的练习题，供读者参考。
一、函数的定义函数是一种特殊的映射关系，它把一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用符号f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数可以表示为f:A\rightarrow B，其中A是定义域，B是值域。
二、函数的基本性质1.定义域：函数的定义域是指所有可以输入函数的自变量的值的集合。
函数的定义域可以是实数集、有理数集、整数集等。
在定义函数时，需要指定函数的定义域。
2.值域：函数的值域是指所有函数可能的输出值的集合。
它是由定义域和函数的性质决定的。
3.单调性：函数的单调性指函数在定义域上的单调变化性质，包括单调递增和单调递减。
如果函数的自变量增大，函数值也增大，则称函数在这个区间内是单调递增的；如果函数的自变量增大，函数值减小，则称函数在这个区间内是单调递减的。
4.奇偶性：函数的奇偶性指函数的性质，可以分为偶函数和奇函数。
如果函数在定义域内满足f(-x)=f(x)，则称函数为偶函数；如果函数在定义域内满足f(-x)=-f(x)，则称函数为奇函数。
5.周期性：函数的周期性指函数在定义域上存在一个最小正周期T，即f(x+T)=f(x)，其中T是正实数。
三、练习题1.设函数f(x)=ax+b，其中a,b是实数，且f(2)=3,f(3)=4，求a,b。
2.求函数f(x)=2x^2-3x+1的定义域和值域。
3.若函数f(x)在区间[a,b]上是单调递增的，且f(a)=f(b)=0，证明f(x)=0在区间[a,b]上有且只有一个实根。
4.设函数f(x)=\sin(x+\alpha)，其中0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}，证明f(x)是奇函数。
高中数学必修一(人教版)《3.2.1 第一课时 函数的单调性》课件
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]且为增函数，若f(m)＞f(n)，则m，n满足什么
关系？
a≤m≤b， 提示：a≤n≤b，
m＞n
⇔f(m)＞f(n)．
(2)影响二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性的因素有哪些？ 提示：a 的正负及－2ba的大小．
【学透用活】 [典例3] (1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3. ①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________； ②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________． (2) 若 函数 f(x) ＝ x2 ＋ ax ＋ b 在 区间 [1,2] 上不 单 调 ， 则 实 数 a 的取 值 范 围为 ________．
答案：(－∞，1)，(1，＋∞)
2．将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？ 解：函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示．
由图象可知其单调递增区间为[－1,1]，[3，＋∞)；单调递减区间为 (－∞，－1)，(1,3)．
题型三 函数单调性的应用
[探究发现]
(3)若f(x)是R上的减函数，则f(－3)>f(2)．
()
(4)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1,3)上也单
调递增．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是 A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 解析：由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选C. 答案：C
[方法技巧] 1．图象法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图象． (2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间． 2．常见函数的单调区间 (1)y＝ax＋b，a>0 时，单调递增区间为(－∞，＋∞)；a<0 时，单调递减区 间为(－∞，＋∞)． (2)y＝ax，a>0 时，单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；a<0 时，单调递 增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． (3)y＝a(x－m)2＋n，a>0 时，单调递减区间为(－∞，m]，单调递增区间为 (m，＋∞)；a<0 时，单调递增区间为(－∞，m]，单调递减区间为(m，＋∞)．
高中数学人教A版必修1课件：1.3函数的基本性质
(2)函数单调性的刻画： ①图形刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)， 它的图象若从左向右连续上升(下降)，则称函 数在该区间上是单调递增(减)的； ②定性刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)， 若函数值随自变量的增大而增大(减小)，则称 函数在该区间上是单调递增(减)的．
间应是定义域的子集．
2.画出函数 f(x)＝－x2＋2|x|＋3 的 图象，并指出函数的单调区间．
解析： y＝－x2＋2|x|＋3 －x2＋2x＋3＝－x－12＋4
＝－x2－2x＋3＝－x＋12＋4 函数图象如图所示：
x≥0 x＜0 .
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]， 单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
[0,1]
4．求证：函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单 调减函数．
证明： 设 1＜x1＜x2，
y1－y2＝x1－1 1－x2－1 1 ＝x1－x21－xx21－1 ∵1＜x1＜x2 ∴x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0 ∴x1－x21－xx21－1＞0. 即 y1＞y2，
∴函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单调减函数.
解析： ∵f(x)在R上递减，且3<5，
∴f(3)>f(5)．故选C.
答案： C
3．如图所示，函数y＝ f(x)的单调递增区间有 ________，递减区间有 ________．
3.2函数的基本性质习题课课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
∵f(1)＝3，f(－1)＝－1，－f(1)＝－3，
∴f(－1)≠f(1)，∴y＝2x＋1 不是偶函数，
又 f(－1)≠－f(1)，∴y＝2x＋1 不是奇函数，
∴y＝2x＋1 既不是奇函数，又不是偶函数．
(6)函数 f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，
故函数 f(x)不具有奇偶性．
1.设函数 y＝f(x)的图象如图所示； (1)写出该函数的定义域与值域； (2)写出该函数的最大值与最小值； (3)写出该函数的单调区间.
【解析】(1) 定义域为 x∈[-3，3]， 值域为 y∈[-1
1
2
-3 -2 -1 O 1 -1
-2
3x
(2) 当 x = -1 时，最大值为 2； 当 x = 2 时最小值为-1 .
y y=3-x,
ox
y
ox
y=x2+1,
y O f (x) x2
x
考点1: 函数的单调性
例 3．函数 y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间是 ( C )
A．－12，＋∞
B．[－1，＋∞)
C．－∞，－12 D．(－∞，＋∞)
y
【解析】 y＝x2＋x＋1＝x＋122＋43，
对称轴为: x＝－12，在对称轴左侧单调递减， ∴当 x≤－21时单调递减．
25
对点练清：3 1. 下列函数是偶函数的是 ( A．y＝2x2－3 B．y＝x3
A)
C．y＝x2，x∈[0,1]
D．y＝x
【解析】对于 A：f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，所以 f(x)是偶函数，
B，D 都为奇函数，C 中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性．
人教A版高中数学必修第一册函数的基本性质——奇偶性课件
2.偶函数的表达式满足： f x f x ．
人教A版高中数学必修第一册函数的基 本性质 ——奇 偶性课 件
人教A版高中数学必修第一册函数的基 本性质 ——奇 偶性课 件
例题讲解 例 1.在你所了解的函数中，举一个函数是偶函数的例子，并说明理由.
解：如 f x 3x2 1. 1. f x 3x2 1的定义域为 R. 2. f x 3x2 1 3x2 1 f x . 所以 f x 3x2 1为偶函数.
答案：函数 f x 的图象关于原点中心对称，则其函数的表达式满足： f x f x．
人教A版高中数学必修第一册函数的基 本性质 ——奇 偶性课 件
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学习新知——奇函数
奇函数：一般地，设函数 f x 的定义域为 I，如果 xI ，都有 x I ，且 f x f x ，那么函数 f x 就叫做奇函数（odd function）．
问题：既为奇函数，也为偶函数的函数有多少个? 答案：无数个.
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册修函第数一的册基 函本数性的质 基—本—性奇 质偶第性课3 课件时— —奇偶 性课件 （共12 张ppt）
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课堂小结Βιβλιοθήκη 函数的奇偶性与判断方法奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶 性应先明确它的定义域是否关于原点对称.
再判断是否有 f x f x 0 或 f x f x 0 .
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函数的基本性质(单元教学设计)高中数学人教A版2019必修第一册
《函数的基本性质》单元教学设计一、内容和及其解析（一）内容函数的单调性；函数的最大值、最小值；函数的奇偶性.（二）内容解析1. 内容本质变化中的不变性是性质，变化中的规律性也是性质．函数是刻画客观世界中运动变化的重要数学模型，因此，我们可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物变化的规律．高中阶段研究的函数性质有：单调性、最大（小）值、奇偶性、周期性、函数的零点、增减的快慢等.本节研究函数的单调性、最大（小）值、奇偶性．单调性是函数最重要的性质，刻画了函数值y随自变量x增大而增大或减小的变化趋势，绝大多数函数都具有单调性.函数的最大（小）值与函数的单调性有着密切的联系．通常，知道了函数的单调性，就能较方便地确定函数的最大（小）值，因此，求解函数的最大（小）值一般需要先判断函数的单调性.函数的奇偶性是一种特殊的对称性．如果函数具有奇偶性就能将研究函数的“工作量”减半．函数的单调性是函数的局部性质，函数的奇偶性和最大（小）值都是函数的整体性质．函数的单调性、最大（小）值、奇偶性的定义，都是在分析函数图象特征的基础上，利用代数运算对其进行定量刻画，进而用严格的数学符号语言精确刻画函数的性质．2.蕴含的思想方法在函数性质概念形成的过程中，从图象特征到形式化定义，从形到数，蕴含着数形结合的思想．从几个特殊函数出发，归纳出共同特征，再概括形成函数的一般性质，这是特殊到一般的研究方法．利用定义证明具体函数性质的过程，最后形成标准化的求解步骤，蕴含着算法思想．3.知识的上下位关系函数的“集合——对应说”，并用抽象符号f（x）表示函数，为用严格的数学符号语言精确刻画函数的性质奠定了基础．函数的概念与性质这部分内容，先从一般性角度研究函数概念及其性质，使学生在宏观上了解函数的内容和方法，起到先行组织者的作用．为后续研究基本初等函数、数列、导数及其应用、概率的基本性质、随机变量等内容提供了依据．4. 育人价值在函数性质概念形成的过程中，从特殊到一般，从直观到抽象，有利于发展学生的数学抽象、直观想象的核心素养；在利用定义判断或证明具体函数性质的过程中，有利于发展学生逻辑推理、数学运算的核心素养．5.教学重点用符号语言表示函数的单调性、奇偶性，用定义法证明函数的单调性、用定义法判断函数的奇偶性.二、目标及其解析（一）目标1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义.2.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.（二）目标解析达成上述目标的标志是：1.在从图象直观到自然文字语言描述再到符号语言表达函数单调性的过程中，能感悟引入符号表示“12,x x D ∀∈”的作用和力量，把一个含有“无限”的问题转化为一种“有限”的方式进行表达.2.会用符号语言正确表达函数的单调性、最大（小）值，并能说出“任意”“都有”“存在”等关键词的含义，知道函数单调性和最大（小）值的现实意义.能说出判断函数单调性的基本步骤，会用函数单调性的定义证明函数的单调性.能说出求函数最大、最小值的基本步骤，会用函数最大值、最小值的定义求最值，能说明最值与单调性之间的关系.3.能类比单调性的定义的学习过程，用符号语言表达函数的奇偶性，并说明偶（奇）函数的定义与函数图象关于y 轴（原点）对称之间是等价的.知道判断函数奇偶性的基本步骤，会用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.三、教学问题诊断分析1.问题诊断及破解方法（1）函数单调性的符号语言描述的构建.学生在初中学习一次函数、反比例函数、二次函数时已经会从图象的角度观察“从左到右图象上升”“从左到右图象下将”的变化趋势，并且会用文字语言“y 随x 的增大而增大或减小”描述这种变化规律，而本单元需要将自然语言转化为符号语言：12,x x D ∀∈，当12x x <，都有()()12f x f x <（或()()12f x f x >），则称函数()f x 在区间D 上的单调递增（或递减），这样的语言学习是学生第一次接触，对学生而言是一个很大的难点.破解方法：从某种意义上来讲，这也属于语言的学习，可以遵循“示范—模仿—熟练运用”的学习规律．在教学中，以初中学习过的具体函数为载体，老师示范如何完成图形语言——自然语言——符号语言的转化，进而用符号语言完整表达函数的单调性，再让学生模仿．在具体函数中熟练掌握符号语言的表达方式的基础上，再给出函数单调性严格的定义．最后，在用定义证明具体函数单调性的过程中，进一步让学生理解符号语言.（2）利用定义证明函数的单调性.学生刚开始证明函数单调性时，会出现不作差，直接写出函数值大小关系或者变形不充分就做判断的情况，这是因为学生对证明的每一步依据的“大前提”模糊导致的，经常出现依据函数单调性证明函数单调性的状况．破解方法：教学中先利用简单的具体函数的单调性证明问题，帮助学生理解代数变形的必要性，然后进一步梳理证明的步骤，总结变形的基本方法，逐步学会函数单调性的代数证明.（3）最大（小）值概念的理解．对于最大（小）值的概念，学生往往对条件“0x I ∃∈，使得()0f x M =”的必要性的理解会存在一些困难.破解方法：在教学中，可以给出丰富而典型的数学情境，给出正例和反例，让学生归纳最值的本质特征，体会“∀”和“∃”这两方面的条件缺一不可.也可以结合基本不等式求最值的问题进行解释．2.教学难点用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值；利用定义证明函数的单调性.四、教学支持条件函数的性质指的是在变化过程中的不变性和规律性，所以要借助信息技术绘制函数图象，将静态的图象进行动态演示，展示函数值随自变量变化而变化的情况.五、课时分配本单元分3课时.第1课时，函数的单调性；第2课，函数的最大值、最小值；第3课时，函数的奇偶性.。
高一数学人教版必修一第一单元知识点：函数的基本性质
高一数学人教版必修一第一单元知识点：函数的基本性质1．高中数学必修一函数的基本性质——函数的概念：设A、B是非空的数集，如果依照某个肯定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有肯定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范畴A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子成心义的实数的集合; 函数的定义域、值域要写成集合或区间的情势.定义域补充能使函数式成心义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要根据是：(1) 分式的分母不等于零;(2) 偶次方根的被开方数不小于零;(3) 对数式的真数必须大于零;(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.(5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各部分都成心义的 x 的值组成的集合 .(6)指数为零底不可以等于零构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判定方法：①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具有)值域补充( 1 )、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先推敲其定义域 . ( 2 ) . 应熟悉掌控一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础 . ( 3 ) . 求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等 .3. 高中数学必修一函数的基本性质——函数图象知识归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x ∈A)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点P(x ， y) 的集合 C ，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象.C 上每一点的坐标 (x ， y) 均满足函数关系 y=f(x) ，反过来，以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对 x 、 y 为坐标的点 (x ， y) ，均在 C 上 .即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x ∈A }图象 C 一样的是一条光滑的连续曲线 ( 或直线 ), 也多是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成 .(2) 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以 (x,y) 为坐标在座标系内描出相应的点 P(x, y) ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 .B、图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3) 作用：1 、直观的看出函数的性质;2 、利用数形结合的方法分析解题的思路。
高一数学必修一函数的基本性质
目录第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示1.1.2 集合间的基本关系1.1.3 集合的基本运算1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念1.2.2 函数的表示法1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值1.3.2 奇偶性章末整合提升第二章基本初等函数（I）2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算2.1.2 指数函数及其性质2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算2.2.2 对数函数及其性质2.3 幂函数章末整合提升第三章函数的应用3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点3.1.2 用二分法求方程的近似解3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型3.2.2 函数模型的应用实例章末整合提升1.3函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值【基础知识解读】知识点一 增函数、减函数、单调性、单调区间的概念 1.增函数、减函数定义一般地，设函数y=f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数．一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是减函数． 注意：①.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②.增（减）函数定义中的x 1，x 2必须满足三个特性：一是任意性，即“任意取x 1，x 2”；二是有序性，通常规定x 1<x 2；三是同区间性，即x 1，x 2必须同属于一个单调区间，三者缺一不可.（这也是利用单调性求解不等式这类题的解题思路）.2.函数的单调性定义如果函数y =f (x )在某个区间M 上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间M 上具有（严格的）单调性，区间M 叫做y =f (x )的单调区间.（如果函数在某个区间M 上有增有减就叫不具有单调性）.知识点二 函数单调性的证明（判断）方法①.利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ②.任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；③.作差f (x 1)－f (x 2)；④.变形（通常是因式分解和配方）； ⑤.定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）． 例：求证：函数12+=x x f )(在R 上是增函数.知识点三 复合函数的单调性复合函数))((x g f y =的单调性：若)(x g u =在区 间[]b a ,上的单调性与)(u f y =在[])(),(b g a g （或 者[])(),(a g b g ）上的单调性相同，则复合函数))((x g f y =在[]b a ,上单调递增，否则单调递减，可简记为“同增异减”，如右表： 例.判断函数12-=x x f )(在定义域上的单调性.【应用能力提升】应用点一 函数单调性的判定及证明例1.证明函数x x f -=)(在定义域上是减函数.例2.判定函数)()(0>+=p xpx x f 的单调性.（注意讨论情况）应用点二 复合函数的单调性 例3.讨论函数2012--=x x x f )(的单调性. 例3.函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f （a+b ）=f （a ）+f （b ）－1，并且当x > 0时，f （x ）>1.求证：f （x ）是R 上的增函数.应用点三 函数的单调性的应用1.利用函数的单调性比较大小与解不等式例4.已知函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)()(t f t f -=+22，试比较)(),(),(421f f f 的大小.例5.已知f (x )是),(+∞0上的增函数，且12=-=)(),()()(f y f x f y x f ，解不等式231≤--)()(x f x f .2.利用函数的单调性求函数的值域或最值例6.求函数122--=ax x x f )(在区间[0,2 ]上的最大值和最小值.补充：①求函数最大（小）值得常用方法：配方法、判别式法、换元法、数形结合法、利用函数的单调性等；②对于求含参数的函数的最大（小）值时应注意两种情况：动轴定区间，定轴动区间.3.利用函数的单调性求参数的取值范围例7.（1）.已知函数2122+--=x a x x f )()(在区间（—∞,4 ]上是减函数，求实数a 的取值范围； （2）. 已知ax x x f +-=3)(在（0,1）上是增函数，求实数a 的取值范围.例8.已知函数[)+∞∈++=,,)(122x x ax x x f .（1）当21=a 时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意[)01>+∞∈)(,,x f x 恒成立，试求实数a 的取值范围.结论：))()((x f a x f a <>恒成立等价于))(()(min max x f a x f a <>.1.3函数的基本性质1.3.2 奇偶性【基础知识解读】知识点一 函数奇偶性的概念注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质，只有对其定义域内的每一个x ，都有f (－x )=f (x )（或f (－x )=－f (x )），才能说f (x )是偶（或奇）函数.②判断函数y =f (x )的奇偶性的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称，换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性. ③若奇函数在原点处有定义，则必有f (0)=0.④若f (－x )=－f (x )，且f (－x )=f (x )，则f (x )既是奇函数又是偶函数，这类函数有且只有一类，即f (x )=0，x ∈D ，D 是关于原点对称的非空实数集.例.已知函数835-++=x ax x x f )(，且102=-)(f ，则=)(2f ————.知识点二 函数奇偶性的判定判断函数f (x )的奇偶性主要分为三步进行：（1）判断函数f (x )的定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，则进行下一步； （2）化简函数f (x )的解析式（注意定义域）；（3）求出f (－x )，根据f (－x )与f (x )之间的关系，判断函数f (x )的奇偶性： ①由0=+-)()(x f x f 或))(()()(01≠-=-x f x f x f 得)()(x f x f -=-，则f (x )是奇函数； ②由0=--)()(x f x f 或))(()()(01≠=-x f x f x f 得)()(x f x f =-，则f (x )是偶函数． 拓展：若)()(x f x f ±≠-，则f (x )既不是奇函数，也不是偶函数；而定义域关于原点对称的非零常数函数f (x ) = c （c ≠0）是偶函数.例.判断下列函数的奇偶性：（1）242x x x f +=)(； （2）xx x f 13+=)(； （3）2211x x x f -+-=)(；（4）x x f -=2)(； （5）x x f =)(； （6）23x x x f +=)(.【应用能力提升】应用点一 函数奇偶性的判定及证明 1.分段函数奇偶性的判断例1.判断下列函数的奇偶性：（1）.⎩⎨⎧<≤---≤<--+=6145164522x x x x x f ,)(,,)()(；（2）.⎪⎩⎪⎨⎧<---=>+-=0320003222x x x x x x x x f ,,,,)(.分析：分段函数的奇偶性应分段证明f (－x )与f (x )的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时才能判断其奇偶性.2.抽象函数奇偶性的判断例2（1）.若对于任意实数a ，b ，函数f (x )，x ∈R 都有)()()(b f a f b a f +=+，求证：f (x )为奇函数； （2）.若对于任意实数x 1，x 2，函数f (x )，x ∈R 都有)()()()(212121x f x f x x f x x f ⋅=-++，求证：f (x )为偶函数.应用点二 函数奇偶性应用 1.利用奇偶性求函数的解析式例3.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，13++=x x x f )(，求f (x )的解析式.例4.已知f (x )是定义在[]66,-上的奇函数，且f (x )在[]30,上是关于x 的一次函数，在[]63,上是关于x 的二次函数，且当63≤≤x 时，2635==≤)(,)()(f f x f ，求f (x )的解析式.应用点三 函数单调性与奇偶性的综合应用例5.已知奇函数即y =f (x )，x ∈（—1,1）在（—1,1）上是减函数，解不等式0311<-+-)()(x f x f .例6.函数21x b ax x f ++=)(是定义在（—1,1）上的奇函数，且5221=)(f .（1）求函数f (x )的解析式；（2）用定义证明：f (x )在（—1,1）上是增函数；（3）解不等式01<+-)()(t f t f .。
函数的基本性质高一数学人教版(必修1)
第一章 集合与函数概念1.3 函数的基本性质一、函数的单调性 1．函数单调性的定义一般地，设函数f （x ）的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有___________，那么就说函数f （x ）在区间D 上是增函数；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有___________，那么就说函数f （x ）在区间D 上是减函数．对函数单调性的理解（1）定义中的x 1，x 2有三个特征：①任意性，即不能用特殊值代替；②属于同一个区间；③有大小，一般令x 1<x 2．学科网（2）增、减函数的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化：若()f x 是增函数，则()()1212f x f x x x ⇔<<；若()f x 是减函数，则()()1212f x f x x x ⇔<>．2．函数的单调区间如果函数y =f （x ）在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y =f （x ）在这一区间具有（严格的）___________，区间D 叫做y =f （x ）的___________．对函数单调区间的理解（1）一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．（2）函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集．（3）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性．（4）并非所有的函数都具有单调性．如函数()1,0,x x f x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数就不具有单调性．常见函数的单调性函数类型单调性一次函数()0y kx b k =+≠0k > 在R 上单调递增 0k <在R 上单调递减反比例函数(0)ky k x=≠0k >单调减区间是(,0)-∞和(0,)+∞ 0k <单调增区间是(,0)-∞和(0,)+∞二次函数2()0y ax bx c a +≠+=0a > 单调减区间是(,)2b a -∞-，单调增区间是[,)2ba-+∞ 0a < 单调减区间是[,)2b a -+∞，单调增区间是(,)2b a-∞-二、函数的最大（小）值 1．最大值一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有___________； （2）存在0x I ∈，使得___________． 那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值． 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标． 2．最小值一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有___________； （2）存在0x I ∈，使得___________． 那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值．函数的最小值对应图象最低点的纵坐标．函数的最值与单调性的关系如果函数()y f x =在区间(],a b 上是增函数，在区间[),b c 上是减函数，则函数()y f x =，,()x a c ∈在x b =处有最大值()f b ．如果函数()y f x =在区间(],a b 上是减函数，在区间[),b c 上是增函数，则函数()y f x =，,()x a c ∈在x b =处有最小值()f b ．如果函数()y f x =在区间[],a b 上是增（减）函数，则在区间[],a b 的左、右端点处分别取得最小（大）值和最大（小）值． 三、函数的奇偶性一般地，如果对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有___________，那么函数f （x ）就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有___________，那么函数f （x ）就叫做奇函数．函数具有奇偶性的条件（1）①首先考虑定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数； ②在定义域关于原点对称的前提下，进一步判定()f x -是否等于()f x ±．（2）分段函数的奇偶性应分段说明()f x -与()f x 的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性．（3）若奇函数的定义域包括0，则()00f =．四、奇函数、偶函数的图象特征如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以___________为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以___________为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以___________为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于___________对称，则这个函数是偶函数．奇、偶函数的单调性根据奇、偶函数的图象特征，可以得到：（1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”．（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．性质法判断函数的奇偶性()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：()f x()g x()()f x g x +()()f x g x -()()f x g x(())f g x偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数K 知识参考答案：一、1．()()12f x f x < ()()12f x f x > 2．单调性 单调区间二、1．（1）()f x M ≤ （2）0()f x M = 2．（1）()f x m ≥ （2）0()f x m = 三、()()f x f x -= ()()f x f x -=- 四、坐标原点 坐标原点 y 轴 y 轴K—重点1．函数的单调性及其几何意义，函数的最大（小）值及其几何意义；2．函数的奇偶性及其判断方法；3．奇函数、偶函数的图象特征；K—难点1．利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值；2．函数奇偶性的判断方法；K—易错1．写函数的单调区间或利用单调区间求解时，首先要关注函数的定义域，否则容易出错；2．需注意单调区间与在区间上单调的区别；3．在判断函数的奇偶性时，不仅要关注定义域是否关于原点对称，而且要注意函数的奇偶性是针对定义域的任意一个x而言的.另外，不要忽略奇函数若在原点处有定义，则(0)0f ．1．函数单调性的判断或证明（1）判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作．利用定义法判断（或运用）函数的单调性的步骤为：（2）若判断复合函数的单调性，则需将函数解析式分解为一些简单的函数，然后判断外层函数和内层函数的单调性，外层函数和内层函数的单调性相同时，则复合函数单调递增；外层函数和内层函数的单调性相反时，则复合函数单调递减．可简记为“同增异减”，需要注意内层函数的值域在外层函数的定义域内．（3）函数单调性的常用结论：①若()(),f x g x 均为区间A 上的增（减）函数，则()()f x g x +也是区间A 上的增（减）函数； ②若0k >，则()kf x 与()f x 的单调性相同；若0k <，则()kf x 与()f x 的单调性相反； ③函数()()()0y f x f x =>在公共定义域内与()y f x =-，1()y f x =的单调性相反； ④函数()()()0y f x f x =≥在公共定义域内与()y f x =的单调性相同．【例1】证明：函数21()f x x x=-在区间（0，＋∞）上是增函数． 【答案】证明详见解析．【名师点睛】函数单调性判断的等价变形：()f x 是增函数⇔对任意12x x <，都有12()()f x f x <，或1212()()0f x f x x x ->-，或1212(()())()0f x f x x x -->；()f x 是减函数⇔对任意12x x <，都有12()()f x f x >，或1212()()0f x f x x x -<-，或1212(()())()0f x f x x x --<．2．单调性的应用函数单调性的应用主要有：（1）由12,x x 的大小关系可以判断()1f x 与()2f x 的大小关系，也可以由()1f x 与()2f x 的大小关系判断出12,x x 的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较．（2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值．（3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点．（4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”号，转化为具体的不等式（组），此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内．【例2】若函数()223()1f x ax a x a -+=-在[1，＋∞）上是增函数，求实数a 的取值范围． 【答案】0≤a ≤1【名师点睛】本题中()223()1f x ax a x a -+=-不一定是二次函数，所以要对a 进行讨论．另外，需熟练掌握一次函数、反比例函数和二次函数的单调性，并能灵活应用． 3．求函数的最大（小）值求函数最大（小）值的常用方法有：（1）配方法，对于“二次函数类”的函数，一般通过配方法求最值； （2）图象法，对于图象较为容易画出来的函数，可借助图象直观求出最值；（3）单调性法，对于较复杂的函数，分析单调性（需给出证明）后，可依据单调性确定函数最值； （4）若函数存在最值，则最值一定是值域两端处的值，所以求函数的最大（小）值可利用求值域的方法． 注意：（1）无论用哪种方法求最值，都要考查“等号”是否成立．（2）函数的值域是一个集合，函数的最值是一个函数值，它是值域的一个元素，函数的值域一定存在，但函数并不一定有最大（小）值．【例3】已知函数()223f x x x =--，若x ∈[t ，t ＋2]，求函数f （x ）的最值． 【答案】答案详见解析．【解析】易知函数()223f x x x =--的图象的对称轴为直线x ＝1，（1）当1≥t ＋2，即t ≤－1时，f （x ）max ＝f （t ）＝t 2－2t －3，f （x ）min ＝f （t ＋2）＝t 2＋2t －3． （2）当22t t ++≤1<t ＋2，即－1<t ≤0时，f （x ）max ＝f （t ）＝t 2－2t －3，f （x ）min ＝f （1）＝－4． （3）当t ≤1<22t t ++，即0<t ≤1时，f （x ）max ＝f （t ＋2）＝t 2＋2t －3，f （x ）min ＝f （1）＝－4． （4）当1<t ，即t >1时，f （x ）max ＝f （t ＋2）＝t 2＋2t －3，f （x ）min ＝f （t ）＝t 2－2t －3．设函数f （x ）的最大值为g （t ），最小值为φ（t ），则有2223,0()23,0t t t g t t t t ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩ ，2223,1()4,1123,1t t t t t t t t ϕ⎧+-≤-⎪=--<≤⎨⎪-->⎩． 【名师点睛】求二次函数的最大（小）值有两种类型：一是函数定义域为实数集R ，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大（小）值； 二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大（小）值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧）来决定，若含有参数，则要根据对称轴与x 轴的交点与区间的位置关系对参数进行分类讨论，解题时要注意数形结合． 4．判断函数的奇偶性 判断函数奇偶性的方法： （1）定义法：（2）图象法：（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断． 判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论： 如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数； 如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数． 【例4】下列判断正确的是A ．函数22)(2--=x xx x f 是奇函数B ．函数2()1f x x x =-C ．函数2211,02()11,02x x f x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩是偶函数D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 【答案】B【解析】对于A ，22)(2--=x xx x f 的定义域为2x ≠，不关于原点对称，不是奇函数．对于B ，2()1f x x x =-2()1f x x x -=--对于C ，函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称．当0x >时，2211()()1(1)()22f x x x f x -=---=-+=-；当0x <时，2211()()11()22f x x x f x -=-+=+=-．综上可知，函数()f x 是奇函数．对于D ，1)(=x f 的图象为平行于x 轴的直线，不关于原点对称，不是奇函数．【名师点睛】对于C ，判断分段函数的奇偶性时，应分段说明()f x -与()f x 的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．若D 项中的函数是()0f x =，且定义域关于原点对称，则函数既是奇函数又是偶函数． 5．奇偶函数图象对称性的应用奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，因此可以借助函数一部分的图象得出函数另一部分的图象，进而研究函数的性质．【例5】设奇函数()f x 的定义域为[5,5]-．若当[0,5]x ∈时，()f x 的图象如图所示，则不等式()0f x <的解集是A ．(2,0)(2,5)-B ．(5,2)(2,5)--C ．[2,0](2,5]-D ．(2,0)(2,5]-【答案】D【名师点睛】利用数形结合思想解题时，要准确画出草图，并注意特殊点的位置，且求解时不要忽略定义域的限制．6．函数奇偶性的应用（1）利用奇偶性的定义求函数的值或参数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数）具有奇偶性的条件求解．（2）利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．（3）利用奇偶性比较大小，通过奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上比较大小．【例6】设偶函数()f x 的定义域为R ，当x [0,)∈+∞时()f x 是增函数，则(2)f -，(π)f ，(3)f -的大小关系是A ．(π)f >(3)f ->(2)f -B ．(π)f >(2)f ->(3)f -C ．(π)f <(3)f -<(2)f -D ．(π)f <(2)f -<(3)f -【答案】A【解析】由函数为偶函数得()()()()22,33f f f f -=-=，当x [0,)∈+∞时()f x 是增函数，所以(π)f >()()32f f >，从而(π)f >(3)f ->(2)f -．【名师点睛】由于偶函数在y 轴两侧的单调性相反，故不可直接由π>23->-得出(π)(2)(3)f f f >->-．7．对单调区间和在区间上单调两个概念的理解【例7】已知二次函数2()2(1)6f x x a x =--+在区间(,5]-∞上单调递减，求实数a 的取值范围． 【错解】易知函数2()2(1)6f x x a x =--+的图象的对称轴为直线1x a =-，由题意知()f x 在区间(,5]-∞上单调递减，所以15a -=，解得6a =．【错因分析】错解中把在区间上单调误认为是单调区间，若把本题改为二次函数2()2(1)6f x x a x =--+的单调递减区间是(,5]-∞，则错解中的解法是正确的．【正解】易知函数2()2(1)6f x x a x =--+的图象的对称轴为直线1x a =-，由题意知()f x 在区间(,5]-∞上单调递减，所以15a -≥，解得6a ≥．【名师点睛】单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I ．而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间，一定要区分开． 8．判断函数奇偶性时，注意定义域【例8】判断函数42()3,(2,2]f x x x x =+∈-的奇偶性．【错解】因为4242()()3()3()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()3,(2,2]f x x x x =+∈-是偶函数． 【错因分析】判断函数的奇偶性时，需先判断函数的定义域是否关于原点对称．【正解】函数42()3,(2,2]f x x x x =+∈-的定义域为(2,2]-，不关于原点对称，故函数42()3,(2,2]f x x x x =+∈-既不是奇函数又不是偶函数．【名师点睛】由函数奇偶性的定义可知，具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称的．1．集合{x |x ≥2}表示成区间是A ．（2，+∞）B ．[2，+∞）C ．（–∞，2）D ．（–∞，2]2．集合{x |x >0且x ≠2}用区间表示出来A ．（0，2）B ．（0，+∞）C ．（0，2）∪（2，+∞）D ．（2，+∞）3．函数f （x ）=（x –1）2的单调递增区间是A ．[0，+∞）B ．[1，+∞）C ．（–∞，0]D ．（–∞，1]4．已知函数f （x ）=–1+11x -（x ≠1），则f （x ） A ．在（–1，+∞）上是增函数 B ．在（1，+∞）上是增函数 C ．在（–1，+∞）上是减函数D ．在（1，+∞）上是减函数5．函数y =f （x ），x ∈[–4，4]的图象如图所示，则函数f （x ）的所有单调递减区间为A ．[–4，–2]B ．[1，4]C ．[–4，–2]和[1，4]D ．[–4，–2]∪[1，4]6．函数g （x ）=|x |的单调递增区间是A ．[0，+∞）B ．（–∞，0]C ．（–∞，–2]D ．[–2，+∞）7．已知f （x ）是定义在[0，+∞）上单调递增的函数，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是A ．1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．23⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．23⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，8．函数f （x ）=–|x –2|的单调递减区间为A ．（–∞，2]B ．[2，+∞）C ．[0，2]D ．[0，+∞）9．函数254y x x =-+的单调递增区间是A ．52⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．542⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．[4，+∞）D ．[)5142⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，，，10．已知函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，且f （1）=–2，那么f （–1）+f （0）=A ．–2B ．0C ．1D ．211．函数f （x ）=1x–x 的图象关于 A ．坐标原点对称 B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．直线y =x 对称12．函数f （x ）=x 3+x 的图象关于A ．y 轴对称B ．直线y =–x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y =x 对称13．用区间表示数集{x |2<x ≤4}=___________．14．奇函数f （x ）的图象关于点（1，0）对称，f （3）=2，则f （1）=___________． 15．y =f （x ）为奇函数，当x >0时f （x ）=x （1–x ），则当x <0时，f （x ）=___________．16．函数f（x）=x+2x（x>0）的单调减区间是A．（2，+∞）B．（0，2）C+∞）D．（017．函数f（x）=x+bx（b>0）的单调减区间为A．（）B．（–∞，，+∞）C．（–∞，）D．（，0），（0）18．函数f（x）=x+3|x–1|的单调递增区间是A．（–∞，+∞）B．（1，+∞）C．（–∞，1）D．（0，+∞）19．函数y=21xx-+，x∈（m，n]最小值为0，则m的取值范围是A．（1，2）B．（–1，2）.C．[1，2）D．[–1，2）20．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是A．13-B．13C．12-D．1221．已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2–2x，则当x<0时，f（x）的解析式是A．f（x）=–x（x+2）B．f（x）=x（x–2）C．f（x）=–x（x–2）D．f（x）=x（x+2）22．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数，若f（a）≥f（–2），则a的取值范围是A．a≤–2 B．a≥2C．a≤–2或a≥2D．–2≤a≤223．已知一个奇函数的定义域为{–1，2，a，b}，则a+b=A．–1 B．1 C．0 D．224．已知函数f（x）=–x|x|+2x，则下列结论正确的是A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（–∞，–1）C ．f （x ）是奇函数，递增区间是（–∞，–1）D ．f （x ）是奇函数，递增区间是（–1，1） 25．奇函数y =f （x ）的局部图象如图所示，则A ．f （2）>0>f （4）B ．f （2）<0<f （4）C ．f （2）>f （4）>0D ．f （2）<f （4）<026．已知函数f （x ）=x 3–3x ，求函数f （x ）在[–3，32]上的最大值和最小值．27．（2017•浙江）若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关28．（2017•新课标全国Ⅰ）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]29．（2017•新课标Ⅱ）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ∈（–∞，0）时，f （x ）=2x 3+x 2，则f（2）=__________． 30．（2016•北京）函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为_________．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C B D C A C B C D A C 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 27 28 DDBDBADADABD1．【答案】B【解析】集合{x |x ≥2}表示成区间是[2，+∞），故选B ． 2．【答案】C【解析】集合{x |x >0且x ≠2}用区间表示为：（0，2）∪（2，+∞）．故选C ．5．【答案】C【解析】由如图可得，f （x ）在[–4，–2]递减，在[–2，1]递增，在[1，4]递减，可得f （x ）的减区间为 [–4，–2]，[1，4]．故选C ．6．【答案】A【解析】x ≥0，时，g （x ）=x ，x <0时，g （x ）=–x ，故函数在[0，+∞）递增，故选A ． 7．【答案】C【解析】∵f （x ）是定义在[0，+∞）上单调递增的函数，∴不等式()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭等价为0≤2x –1<13，即12≤x <23，即不等式的解集为1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，故选C ． 8．【答案】B【解析】∵y =|x –2|=2222x x x x -≥⎧⎨-+<⎩，，，∴函数y =|x –2|的单调递减区间是（–∞，2]，∴f （x ）=–|x –2|的单调递减区间是[2，+∞），故选B．11．【答案】A【解析】函数f（x）=1x–x，定义域为{x|x≠0}关于原点对称，f（–x）=–1x+x=–f（x），则f（x）为奇函数，图象关于原点对称．故选A．12．【答案】C【解析】∵f（–x）=–x3–x=–f（x），∴函数f（x）=x3+x为奇函数，∵奇函数的图象关于原点对称，故选C．13．【答案】（2，4]【解析】数集{x|2<x≤4}=（2，4]，故答案为：（2，4]．14．【答案】2【解析】奇函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，f（3）=2，所以f（–1）=–2，所以f（1）=–f（–1）=2，故答案为：2．15．【答案】x2+x【解析】∵f（x）为奇函数，x>0时，f（x）=x（1–x），∴当x<0时，–x>0，f（x）=–f（–x）=–（–x （1+x））=x（1+x），即x<0时，f（x）=x（1+x），故答案为：x2+x．16．【答案】D【解析】函数f（x）=x+2x（x>0），根据对勾函数图象及性质可知，函数f（x）=x+2x（x>02，+∞）单调递增，函数f（x）在（02）单调递减．故选D．17．【答案】D【解析】函数f（x）=x+bx（b>0），的导数为f′（x）=1–2bx，由f′（x）<0，即为x2<b，解得b<x<0或0<x b，则f（x）的单调减区间为（b，0），（0b）．故选D．18．【答案】B【解析】函数f（x）=x+3|x–1|，当x≥1时，f（x）=x+3x–3=4x–3，可得f（x）在（1，+∞）递增；当x<1时，f（x）=x+3–3x=3–2x，可得f（x）在（–∞，1）递减．故选B．19．【答案】D【解析】函数y=2313111x xx x x---==+++–1，且在x∈（–1，+∞）时，函数y是单调递减函数，在x=2时，y取得最小值0；根据题意x∈（m，n]时y的最小值为0，∴m的取值范围是–1≤m<2．故选D．22．【答案】D【解析】由题意可得|a|≤2，∴–2≤a≤2，故选D．23．【答案】A【解析】因为一个奇函数的定义域为{–1，2，a，b}，根据奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b 有一个等于1，一个等于–2，所以a+b=1+–2=–1．故选A．24．【答案】D【解析】由题意可得函数定义域为R，∵函数f（x）=–x|x|+2x，∴f（–x）=x|–x|–2x=–f（x），∴f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）=–x2+2x=–（x–1）2+1，由二次函数可知，函数在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减；由奇函数的性质可得函数在（–1，0）单调递增，在（–∞，–1）单调递减；综合可得函数的递增区间为（–1，1），故选D．25．【答案】A【解析】∵函数f（x）为奇函数，∴其图象关于原点对称．由题图可知，f（–4）>0>f（–2），即–f（4）>0> –f（2），∴f（2）>0>f（4）．故选A．26．【答案】最大值是2，最小值是–18【解析】f′（x）=3x2–3=3（x+1）（x–1），令f′（x）>0，解得：x>1或x<–1，令f′（x）<0，解得：–1<x<1，故f （x ）在[–3，–1）递增，在（–1，1）递减，在（1，32]递增， 而f （–3）=–27+9=–18，f （–1）=2，f （1）=–2，f （32）=–98，故函数的最大值是2，最小值是–18． 27．【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值． 28．【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数且在(,)-∞+∞单调递减，要使1()1f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围为[1,3]，选D. 29．【答案】12【解析】∵当x ∈（–∞，0）时，f （x ）=2x 3+x 2，∴f （–2）=–12，又∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴f （2）=12，故答案为：12． 30．【答案】2【解析】1()11121f x x =+≤+=-，即最大值为2．。
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函数的基本性质(一)基础知识：函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》. 例题：1. 已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2)，那么g(x)( )A.在区间(－2，0)上单调递增B.在(0，2)上单调递增C.在(－1，0)上单调递增D.在(0，1)上单调递增提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C 2. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤23时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1B.0C.1D.2003解：f(x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－f(x ＋3)＝f(x) ∴ f(x)的周期为6f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1 选A3. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B.2303C.152D.2305提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x ＝23 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.即有一个根就是23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝23对称 利用中点坐标公式，这100个根的和等于23×100＝150 所有101个根的和为23×101＝2303.选B 4. 实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5y ＝______________.解：如果x 、y 不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解 注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法 (x －sin(xy))2＋cos 2(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy)＝±1 ∴ siny＝1 xsin(xy)＝1 原式＝75. 已知x ＝9919+是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________.解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？) 由已知变形得x －9919= ∴ x 2－219x ＋19＝99 即 x 2－80＝219x再平方得x 4－160x 2＋6400＝76x 2即 x 4－236x 2＋6400＝0 ∴ b＝－236，c ＝6400 b ＋c ＝61646. 已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根，求证：a ＞4.证法一：由已知条件可得△＝b 2－4ac≥0 ① f⑴＝a ＋b ＋c ＞1 ②f(0)＝c ＞1 ③ 0＜－a2b＜1 ④ b 2≥4ac b ＞1－a －c c ＞1b ＜0(∵ a＞0) 于是－b≥2ac所以a ＋c －1＞－b≥2ac ∴ (c a -)2＞1 ∴ c a -＞1 于是c a >＋1＞2 ∴ a＞4证法二：设f(x)的两个根为x 1，x 2， 则f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2) f⑴＝a(1－x 1)(1－x 2)＞1 f(0)＝ax 1x 2＞1 由基本不等式 x 1(1－x 1)x 2(1－x 2)≤[41(x 1＋(1－x 1)＋x 2＋(1－x 2))]4＝(41)2 ∴ 16a 2≥a 2x 1(1－x 1)x 2(1－x 2)＞1∴ a 2＞16 ∴ a＞47. 已知f(x)＝x 2＋ax ＋b(－1≤x≤1)，若|f(x)|的最大值为M ，求证：M≥21. 解：M ＝|f(x)|max ＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－2a)|}⑴若|－2a|≥1 (对称轴不在定义域内部) 则M ＝max{|f⑴|，|f(－1)|} 而f⑴＝1＋a ＋b f(－1)＝1－a ＋b|f⑴|＋|f(－1)|≥|f⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4 则|f⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于2 ∴ M≥2＞21 ⑵|－2a|＜1 M ＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－2a)|} ＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－4a 2＋b|}＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－4a 2＋b|，|－4a 2＋b|}≥41(|1＋a ＋b|＋|1－a ＋b|＋|－4a 2＋b|＋|－4a 2＋b|)≥41[(1＋a ＋b)＋(1－a ＋b)－(－4a 2＋b)－(－4a 2＋b)]＝)2a 2(412≥21 综上所述，原命题正确. 8. ⑴解方程:(x ＋8)2001＋x2001＋2x ＋8＝0⑵解方程：2)1x (222221)1x (1x 1x 4x 2-=++++++⑴解：原方程化为(x ＋8)2001＋(x ＋8)＋x2001＋x ＝0即(x ＋8)2001＋(x ＋8)＝(－x)2001＋(－x)构造函数f(x)＝x 2001＋x原方程等价于f(x ＋8)＝f(－x)而由函数的单调性可知f(x)是R 上的单调递增函数 于是有x ＋8＝－x x ＝－4为原方程的解 ⑵两边取以2为底的对数得x)1x x (log )x (f )1x ()1)1x (1x (log x 2)1x 4x 2(log 1x 2x )1)1x (1x (log )1x 4x 2(log )1x (1)1x (1x 1x 4x 2log 2222222222222222222222+++=++++++=++++-=++++-++-=++++++构造函数即即 于是f(2x)＝f(x 2＋1)易证：f(x)世纪函数，且是R 上的增函数， 所以：2x ＝x 2＋1 解得：x ＝19. 设f(x)＝x 4＋ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，f⑴＝1，f⑵＝2，f⑶＝3，求41[f⑷＋f(0)]的值. 解：由已知，方程f(x)＝x 已知有三个解，设第四个解为m ， 记 F(x)＝f(x)－x ＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －m) ∴ f(x)＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －m)＋x f⑷＝6(4－m)＋4 f(0)＝6m∴41[f⑷＋f(0)]＝7 10. 设f(x)＝x 4－4x 3＋213x 2－5x ＋2，当x∈R 时，求证：|f(x)|≥21 证明：配方得： f(x)＝x 2(x －2)2＋25(x －1)2－21 ＝x 2(x －2)2＋25(x －1)2－1＋21 ＝(x 2－2x)2＋25(x －1)2－1＋21 ＝[(x －1)2－1]2＋25(x －1)2－1＋21 ＝(x －1)4－2(x －1)2＋1＋25(x －1)2－1＋21 ＝(x －1)4＋21(x －1)2＋21 ≥21练习：1. 已知f(x)＝ax 5＋bsin 5x ＋1，且f⑴＝5，则f(－1)＝( )A.3B.－3C.5D.－5解：∵ f⑴＝a ＋bsin 51＋1＝5设f(－1)＝－a ＋bsin 5(－1)＋1＝k 相加：f⑴＋f(－1)＝2＝5＋k ∴ f(－1)＝k ＝2－5＝－3 选B 2. 已知(3x ＋y)2001＋x2001＋4x ＋y ＝0，求4x ＋y 的值.解：构造函数f(x)＝x2001＋x ，则f(3x ＋y)＋f(x)＝0逐一到f(x)的奇函数且为R 上的增函数， 所以3x ＋y ＝－x 4x ＋y ＝03. 解方程：ln(1x 2+＋x)＋ln(1x 42+＋2x)＋3x ＝0解：构造函数f(x)＝ln(1x 2+＋x)＋x 则由已知得：f(x)＋f(2x)＝0不难知，f(x)为奇函数，且在R 上是增函数(证明略) 所以f(x)＝－f(2x)＝f(－2x) 由函数的单调性，得x ＝－2x 所以原方程的解为x ＝04. 若函数y ＝log 3(x 2＋ax －a)的值域为R ，则实数a 的取值范围是______________.解：函数值域为R ，表示函数值能取遍所有实数，则其真数函数g(x)＝x 2＋ax －a 的函数值应该能够取遍所有正数 所以函数y ＝g(x)的图象应该与x 轴相交 即△≥0 ∴ a 2＋4a≥0 a≤－4或a≥0解法二：将原函数变形为x 2＋ax －a －3y＝0 △＝a 2＋4a ＋4·3y≥0对一切y∈R 恒成立 则必须a 2＋4a≥0成立 ∴ a≤－4或a≥05. 函数y ＝8x 4x 5x 4x 22+-+++的最小值是______________.提示：利用两点间距离公式处理y ＝2222)20()2x ()10()2x (-+-++++表示动点P(x ，0)到两定点A(－2，－1)和B(2，2)的距离之和 当且仅当P 、A 、B 三点共线时取的最小值，为|AB|＝56. 已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，f(x)＝x 的两根为x 1，x 2，a ＞0，x 1－x 2＞a1，若0＜t ＜x 1，试比较f(t)与x 1的大小.解法一：设F(x)＝f(x)－x ＝ax 2＋(b －1)x ＋c ， ＝a(x －x 1)(x －x 2) ∴ f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)＋x作差：f(t)－x 1＝a(t －x 1)(t －x 2)＋t －x 1 ＝(t －x 1)[a(t －x 2)＋1] ＝a(t －x 1)(t －x 2＋a1) 又t －x 2＋a1＜t －(x 2－x 1)－x 1＝t －x 1＜0 ∴ f(t)－x 1＞0 ∴ f(t)＞x 1解法二：同解法一得f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)＋x 令g(x)＝a(x －x 2)∵ a＞0，g(x)是增函数，且t ＜x 1 ⇒ g(t)＜g(x 1)＝a(x 1－x 2)＜－1 另一方面：f(t)＝g(t)(t －x 1)＋t ∴1x t t)t (f --＝a(t －x 2)＝g(t)＜－1 ∴ f(t)－t ＞x 1－t ∴ f(t)＞x 17. f(x)，g(x)都是定义在R 上的函数，当0≤x≤1，0≤y≤1时.求证：存在实数x ，y ，使得 |xy －f(x)－g(y)|≥41 证明：(正面下手不容易，可用反证法) 若对任意的实数x ，y ，都有|xy －f(x)－g(y)|＜41记|S(x ，y)|＝|xy －f(x)－g(y)| 则|S(0，0)|＜41，|S(0，1)|＜41，|S(1，0)|＜41，|S(1，1)|＜41 而S(0，0)＝－f(0)－g(0) S(0，1)＝－f(0)－g(1) S(1，0)＝－f(1)－g(0) S(1，1)＝1－f(1)－g(1)∴ |S(0，0)|＋|S(0，1)|＋|S(1，0)|＋|S(1，1)| ≥|S(0，0)－S(0，1)－S(1，0)＋S(1，1)| ＝1 矛盾！ 故原命题得证！8. 设a ，b ，c∈R，|x|≤1，f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，如果|f(x)|≤1，求证：|2ax ＋b|≤4.解：(本题为1914年匈牙利竞赛试题) f⑴＝a ＋b ＋c f(－1)＝a －b ＋c f(0)＝c ∴ a＝21[f⑴＋f(－1)－2f(0)] b ＝21[f⑴－f(－1)] c ＝f(0)|2ax ＋b|＝|[f⑴＋f(－1)－2f(0)]x ＋21[f⑴－f(－1)]| ＝|(x ＋21)f⑴＋(x －21)f(－1)－2xf(0)| ≤|x＋21||f⑴|＋|x －21||f(－1)|＋2|x||f(0)|≤|x＋21|＋|x －21|＋2|x| 接下来按x 分别在区间[－1，－21]，(－21，0)，[0，21)，[21，1]讨论即可 9. 已知函数f(x)＝x 3－x ＋c 定义在[0，1]上，x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2.⑴求证：|f(x 1)－f(x 2)|＜2|x 1－x 2|； ⑵求证：|f(x 1)－f(x 2)|＜1.证明：⑴|f(x 1)－f(x 2)|＝|x 13－x 1＋x 23－x 2| ＝|x 1－x 2||x 12＋x 1x 2＋x 22－1|需证明|x 12＋x 1x 2＋x 22－1|＜2 ………………① x 12＋x 1x 2＋x 22＝(x 1＋4x 32x 22222 )≥0∴ －1＜x 12＋x 1x 2＋x 22－1＜1＋1＋1－1＝2 ∴ ①式成立 于是原不等式成立 ⑵不妨设x 2＞x 1由⑴ |f(x 1)－f(x 2)|＜2|x 1－x 2| ①若 x 2－x 1∈(0，21] 则立即有|f(x 1)－f(x 2)|＜1成立. ②若1＞x 2－x 1＞21，则－1＜－(x 2－x 1)＜－21 ∴ 0＜1－(x 2－x 1)＜21(右边变为正数) 下面我们证明|f(x 1)－f(x 2)|＜2(1－x 2＋x 1) 注意到：f(0)＝f⑴＝f(－1)＝c|f(x 1)－f(x 2)|＝|f(x 1)－f⑴＋f(0)－f(x 2)| ≤|f(x 1)－f ⑴|＋|f(0)－f(x 2)|＜2(1－x 2)＋2(x 2－0) (由⑴) ＝2(1－x 2＋x 1)＜1综合⑴⑵，原命题得证.10. 已知f(x)＝ax 2＋x －a(－1≤x≤1) ⑴若|a|≤1，求证：|f(x)|≤45 ⑵若f(x)max ＝817，求a 的值. 解：分析：首先设法去掉字母a ，于是将a 集中 ⑴若a ＝0，则f(x)＝x ，当x∈[－1，1]时，|f(x)|≤1＜45成立 若a≠0，f(x)＝a(x 2－1)＋x∴ |f(x)|＝|a(x 2－1)＋x|≤|a||x 2－1|＋|x|≤|x 2－1|＋|x| (∵ |a|≤1) ≤1－|x 2|＋|x|＝45－(|x|－21)2 ≤45 ⑵a＝0时，f(x)＝x≤1≠817 ∴ a≠0∵ f(x)max ＝max{f⑴，f(－1)，f(－a21)}又f(±1)＝±1≠817 ∴ f(x)max ＝f(－a 21)＝817 a(－a 21)2＋(－a 21)－a ＝817 a ＝－2或a ＝－81 但此时要求顶点在区间[－1，1]内，应舍去－81 答案为－2相关网址： ，。