函数极限的十种求法

函数极限的十种求法
设 f （x ）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，试求： 当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处的极限存在？ 当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处连续？ 注：f （x ）=xsin 1/x +a, x< 0 b+1, x=0 X^2-1, x>0 解：f(0)＝b+1
左极限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a ＝a 左极限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1
f(x)在x ＝0处连续，则lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)， 所以a ＝-1＝b+1， 所以a ＝-1，b ＝-2
7.利用等价无穷小量代换求极限
例 8 求极限30tan sin lim sin x x x
x
→-． 解 由于()s i n t a n
s i n 1
c o
s c o s x
x x x x
-=-，而 ()sin ~0x x x →，()2
1cos ~02
x x x -→，()33sin ~0x x x →
故有
23300tan sin 112lim lim sin cos 2
x x x x x x x x x →→⋅
-=⋅=． 注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有()t a n ~0x x x →
，()s i n ~0
x x x →，而推出 3300tan sin lim
lim 0sin sin x x x x x x
x x
→→--==， 则得到的式错误的结果．
附 常见等价无穷小量
()sin ~0x x x →，()tan ~0x x x →，()2
1cos ~02
x x x -→，
()arcsin ~0x x x →，()arctan ~0x x x →，()1~0x e x x -→， ()()ln 1~0x x x +→，()()11~0x x x α
α+-⋅→． 8 利用洛比达法则求极限
洛比达法则一般被用来求0
0型不定式极限及∞∞
型不定式极限．用此种方法求极限要求在
点0x 的空心领域()0
0U x 内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零．
例1 求极限21cos lim
tan x x
x
π→+．
解 由于()2
l i m 1c o s l i m t a n 0x x x x π
π
→→+=
=，且有
()1cos 'sin x x +=-，()22tan '2tan sec 0x x x =≠，
由洛比达法则可得
21cos lim tan x x
x
π→+
2s i n
l i m 2t a n s e c
x x x x π→-=
3cos lim 2x x π
→⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
12
=． 8.利用定义求极限
1．()()()
000'lim
x x f x f x f x x x →-=-，
2．()()()
0000
'lim
h f x h f x f x h
→+-=．
其中h 是无穷小，可以是()0x x x x ∆∆=-，x ∆的函数或其他表达式．
例1 求极限222
2
x x p p x q q
→+-+-()0,0p q >>．
分析 此题是0x →时0
0型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是消去分母
中的零因子，针对本题的特征，对分母分子同时进行有理化便可求解．但在学习了导数的定义式之后，我们也可直接运用导数的定义式来求解．
解 令()f x =()g x =
则
x → ()()()()
000lim
00
x f x f x g x g x →--=--
()()
'0'0f g =
p q
=
．
9. 利用归结原则求极限
归结原则设f 在()00;'U x δ内有定义，()0
lim x x f x →存在的充要条件是：
对任何含于()00;'U x δ且以0x 为极限的数列{}n x ，极限()lim n n f x →∞
都存在且相等．
例1
求极限211lim 1n
n n n →∞
⎛⎫++ ⎪⎝⎭
．
分析 利用复合函数求极限，令()2
1
211x x x u x x ++⎛⎫
=+ ⎪
⎝⎭，()1
x v x x
+=
求解． 解 令()21
211x x x u x x ++⎛⎫
=+ ⎪
⎝
⎭，()1
x v x x
+=
则有 ()lim n u x e →+∞
=；()lim 1n v x →+∞
=，
由幂指函数求极限公式得
()()211lim 1lim x
v x x x u x e x x →+∞
→+∞
⎛⎫
++== ⎪⎝⎭， 故由归结原则得
221111lim 1lim 1n x
n x e n n x x →∞
→+∞⎛⎫⎛⎫
++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 注 1 归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于0x x +→，0x x -
→，
x →+∞和x →-∞这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式．
注 2 若可找到一个以0x 为极限的数列{}n x ，使()lim n n f x →∞
不存在，或找到两个都以0x 为
极限的数列{}'
n x 与{}''n x ，使()'lim n n f x →∞
与()"lim n n f x →∞
都存在而不相等，则()0
lim x x f x →不存在
10.利用泰勒公式求极限
在此种求极限的方法中，用得较多的是泰勒公式在00x =时的特殊形式，即麦 克劳林公式．也可称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式
()()()()()()()2"000'02!!n n
n f f f x f f x x x x n ο=+++⋯⋯++．
例1 求极限2
2
4
0cos lim
x x x e x -→-．
解 由于极限式的分母为4x ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取4
n =：
()24
5cos 1224x x x x ο=-++，
()2
24
52
128
x x x e
x ο-=-++，
()2
4
52
cos 12
x x x e
x ο--=-+．
因而求得
()2
4
52
4
400cos 112lim
lim 12
x x x x x x e
x x ο-→→-+-==-．
利用此种方法求极限时，必须先求函数的麦克劳林公式，选取恰当的n ． 2.10用导数的定义求极限
常用的导数定义式,设函数()y f x =在点0x 处可导，则下列式子成立： 1．()()()
00
'lim
x x f x f x f x x x →-=-，
2．()()()
0000'lim
h f x h f x f x h
→+-=．
其中h 是无穷小，可以是()0x x x x ∆∆=-，x ∆的函数或其他表达式．
例１
证明()()
211
lim 2
12x x x x →-=--．
分析 当1x ≠时，10x -≠，故()()211
122x x x x x
-+=
---，于是有 ()()
231
11332212222x x x x x x x x x --+--=-==
-----， 取112δ=，当101x δ<-<时1322x <<，故有122x ->，从而有()()
21
212x x x ----
61x <-，取26
ε
δ=
即可．
证明 对于0ε∀>，取1m i n ,26εδ⎧⎫
=⎨
⎬⎩⎭
，于是当01x δ<-<时，有 ()()
21
26112x x x x ε--<-<--，
由定义知()()
211
lim 212x x x x →-=--成立．
注 函数()f x 在点0x 处是否有极限，与函数()f x 在点0x 处是否有定义无关．。