向量的线性运算真题汇编及答案

向量的线性运算真题汇编及答案

一、选择题

1．下列命题正确的是（）

A．如果|a|＝|b|，那么a＝b

B．如果a、b都是单位向量，那么a＝b

C．如果a＝k b（k≠0），那么a∥b

D．如果m＝0或a＝0，那么m a＝0

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量的定义和要素即可进行判断．

【详解】

解：A．向量是既有大小又有方向，|a|＝|b|表示有向线段的长度，a＝b表示长度相等，方向相同，所以A选项不正确；

B．长度等于1的向量是单位向量，所以B选项不正确；

C. a＝k b（k≠0）⇔a∥b，所以C选项正确；

D．如果m＝0或a＝0，那么m a＝0，不正确．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键.

2．下列命题中，真命题的个数为( )

①方向相同②方向相反

③有相等的模④方向相同

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案.

【详解】

解：对于①，若，则方向相同，①正确；

对于②，若，则方向相反，②正确；

对于③，若，则方向相反，但的模不一定，③错误；对于④，若，则能推出的方向相同，但的方向相同，得到④错误.

所以正确命题的个数是2个，故选:C.

【点睛】

本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.

3．在矩形ABCD 中，如果AB

BC 模长为1，则向量（AB +BC +AC ） 的长度为（ ） A ．2 B ．4

C

1

D

1

【答案】B 【解析】 【分析】

先求出AC AB BC =+，然后2AB BC AC AC ++=，利用勾股定理即可计算出向量（AB +BC +AC ）的长度为 【详解】

22||3,||1||(3)122|||2|224

AB BC AC AC AB BC AB BC AC AC

AB BC AC AC ==∴=+==+∴++=++==⨯=∴

故选：B. 【点睛】

考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.

4．如果向量a 与单位向量e 方向相反，且长度为1

2

，那么向量a 用单位向量e 表示为（ ）

A ．12

a e =

B ．2a e =

C ．12

a e =-

D ．2a e =-

【答案】C 【解析】

由向量a 与单位向量e 方向相反，且长度为

1

2

，根据向量的定义，即可求得答案． 解：∵向量a 与单位向量e 方向相反，且长度为

12

， ∴12

a e =-

． 故选C ．

5．已知233m a b =-

，11

24

n b a =+，那么4m n -等于（ ）

A ．823

a b - B ．443

a b -

C ．423

a b -

D ．843

a b -

【答案】A 【解析】

根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心． 解：∵233m a b =-，11

24

n b a =+， ∴4m n -=2112834()32232433

a b b a a b b a a b --+=---=-． 故选A ．

6．已知a 、b 为非零向量，下列说法中，不正确的是( ) A ．()

a a

b b --= B ．0a 0=

C ．如果1

a b 2

=，那么a //b D ．如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-

【答案】C 【解析】 【分析】

根据非零向量的性质，一一判断即可； 【详解】

解：A 、()

a a

b b --=，正确； B 、0a 0⋅=，正确； C 、如果1

a b 2

=

，那么a //b ，错误，可能共线； D 、如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-，正确； 故选C ． 【点睛】

本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

7．已知3a →

=，2b =，而且b 和a 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．32a b →

→

= B ．23a b →→

=

C ．32a b →→

=-

D ．23a b →→

=-

【答案】D 【解析】 【分析】

根据3,2a b ==，而且12,x x R ∈和a 的方向相反，可得两者的关系，即可求解.

【详解】

∵3,2a b ==，而且12,x x R ∈和a 的方向相反

∴32

a b =- 故选D. 【点睛】

本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.

8．下列式子中错误的是（ ）．

A ．2a a a +=

B ．()0a a +-=

C ．()

a b a b -+=-- D ．a b b a -=-

【答案】D 【解析】 【分析】

根据向量的定义是既有大小又有方向的量，及向量的运算法则即可分析求解． 【详解】

A. a 与a 大小、方向都相同，∴2a a a +=，故本选项正确；

B. a 与a -大小相同，方向相反，∴()

0a a +-=，故本选项正确； C.根据实数对于向量的分配律，可知()a b a b -+=--，故本选项正确；

D.根据向量的交换律，可知a b b a -=-+，故本选项错误. 故选D. 【点睛】

本题考查向量的运算，掌握运算法则及运算律是解题的关键.

9．若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( ) A ．｜2｜＞｜-2｜ B ．｜2｜＜｜-2｜ C ．｜2｜＞｜2-｜ D ．｜2｜＜｜2-｜

【答案】A 【解析】 【分析】

对非零向量、共线与否分类讨论，当两向量共线，则有，即可确定A 、C 满足；

当两向量不共线，构造三角形，从而排除C ，进而解答本题. 【详解】

解：若两向量共线，则由于是非零向量，且

，则必有

；代入可知

只有A 、C 满足；

若两向量不共线，注意到向量模的几何意义， 故可以构造三角形，使其满足OB=AB=BC ；