中值定理及泰勒公式
中值定理和泰勒公式
中值定理和泰勒公式一、中值定理中值定理，也称为拉格朗日中值定理，是微分学的基本定理之一、它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。
中值定理有三种形式：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
这些定理之间存在递进和包含关系，其中拉格朗日中值定理是最常用的。
1.罗尔中值定理罗尔中值定理适用于满足以下三个条件的函数f(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导；3）f(a)=f(b)。
罗尔中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得f'(c)=0。
简单来说，罗尔中值定理说明，如果一个函数在两个端点具有相同的函数值，并且在中间一些地方导数为零，那么在这个导数为零的点附近，函数的变化是很小的。
2.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理适用于满足以下两个条件的函数f(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导。
拉格朗日中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
简单来说，拉格朗日中值定理说明，如果一个函数在一个闭区间上连续且可导，那么在这个区间内至少存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点连线斜率的平均值。
3.柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，适用于满足以下两个条件的函数f(x)和g(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导，并且g(x)不为零。
柯西中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a))]=f'(c)/g'(c)。
简单来说，柯西中值定理说明，如果两个函数在一个闭区间上连续且可导，并且其中一个函数在这个区间两个端点的导数不为零，那么在这个区间内至少存在一个点，它的导数的比值等于两个函数在这个区间两个端点连线斜率的比值。
泰勒公式泰勒中值定理ppt课件
证:
+
内容小结
1. 泰勒公式
其中余项
当
时为麦克劳林公式 .
2. 常用函数的麦克劳林公式
3. 泰勒公式的应用
(1) 近似计算
(3) 其他应用
求极限 , 证明不等式 等.
(2) 利用多项式逼近函数
泰勒多项式逼近
6
4
2
2
4
6
4
2
2
4
O
泰勒多项式逼近
6
4
2
2
4
6
O
4
2
2
4
思考与练习
误差
称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .
则有
在泰勒公式中若取
则有误差估计式
若在公式成立的区间上
由此得近似公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式
其中
麦克劳林公式
其中
麦克劳林公式
麦克劳林公式
类似可得
其中
其中
麦克劳林公式
已知
其中
因此可得
麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
计算
解:
原式
泰勒 (1685 – 1731)
英国数学家,
他早期是牛顿学派最
优秀的715)
《线性透视论》(1719)
他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 .
他是有限差分理论的奠基人 .
麦克劳林 (1698 – 1746)
英国数学家,
著作有:
《流数论》(1742)
《有机几何学》(1720)
《代数论》(1742)
在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的
泰勒中值定理
2.取 2.取x0 = 0, 0 ξ 在 与x之间,令 = θx (0 < θ < 1) ξ
f (n+1) (θx) n+1 x 则 项 Rn ( x) = 余 (n + 1)!
四、麦克劳林(Maclaurin)公式
f ′′(0) 2 f (n) (0) n f ( x) = f (0) + f ′(0)x + x + L+ x 2! n! f (n+1) (θx) n+1 x (0 < θ < 1) + (n + 1)!
′ Pn′( x0 ) = f ′′( x0P ( x0 ) = f
(k ) n
1
(k )
( x0 ) k = 1,2,L, n
0
a0 = f ( x0 ),
n
1⋅ a = f ′( x ),
( n) 0
2!⋅a2 = f ′′( x0 )
L L, n!⋅a = f ( x ) 1 (k ) (k = 0,1,2,L, n) 得 ak = f ( x0 ) k!
x2
1 例4 求 f ( x, y) = 1+ x 麦克劳林展式
解
1 f ( x) = 1+ x
f ( k ) (0) ( −1) k k ! ak = = = ( −1) k k! k!
( −1) n +1 ( n + 1)! ( n + 1) f ( x) = n+ 2 (1 + x )
(0) = ( −1) n! 1 2 3 n n L ∴ = 1− x + x − x +L +(−1) x + Rn(x) 1+ x f
5 泰勒中值定理
泰勒中值定理拉格朗日中值定理：误差一次多项式微分的定义：+0000()()()()()f x f x f x x x o x x '=+--000()()()()f x f x f x x x '≈+-的一次多项式1()()p x x ==介于与之间000()()()().f x f x f x x x x ξξ'+-’‘010010()()()()f x P x f x P x ==x )(x f y =oxy1()y P x =在点附近，用次多项式逼近函数，使得0()()n n P x f x x ，()()00()()(0).k k n fx P x k n =≤≤问题：2()y P x =函数值相同一阶导相同在点处，0x 二阶导也相同！自然的想法：然后用待定系数法确定系数.令=2012(),nn n P x a a x a x a x ++++ 在点附近，用次多项式逼近函数，使得0()()n n P x f x x ，()()00()()(0).k k n fx P x k n =≤≤问题：换一种想法：令=2010200()(-)(-)(-).nn n P x a a x x a x x a x x ++++ 在点附近，用次多项式逼近函数，使得0()()n n P x f x x ，()()00()()(0).k k n fx P x k n =≤≤问题：令=2010200()(-)(-)(-).nn n P x a a x x a x x a x x ++++ 则=11200'()2(-)(-),n n n P x a a x x na x x -+++ =220"()2!(1)(-),n n n P x a n n a x x -++- =()()!.n n n P x n a =()0()!(1)(1)(-),k n kn k n P x k a n n n k a x x -++--+则=====000102()0()0(),'(),"()2!,()!,()!.n n n k n k n n n P x a P x a P x a P x k a P x n a=====000102()0()0(),'(),"()2!,()!,()!.k k n n f x a f x a f x a f x k a fx n a=====001002()0()0(),'(),"(),2!(),!().!k k n n a f x a f x f x a fx a k fx a n ，()()00()()(0).k k n fx P x k n =≤≤泰勒（ Taylor ）多项式=2010200()(-)(-)(-),nn n P x a a x x a x x a x x ++++ 在点附近，用次多项式逼近函数，使得0()()n n P x f x x ，()()00()()(0).k k n fx P x k n =≤≤问题：其中=()0().!n n fx a n 称为在处的阶多项式0()().n P x f x x n Taylor=2010200()(-)(-)(-),nn n P x a a x x a x x a x x ++++ 在点附近，用次多项式逼近函数，使得0()()n n P x f x x ，()()00()()(0).k k n fx P x k n =≤≤问题：其中=()0().!n n fx a n 仍需解决的问题：如何估计误差 ?称为在处的阶多项式0()().n P x f x x n Taylor在点附近，用次多项式=逼近函数的误差估计()1000()()(-)!().k nkn k fx n P x x x k f x x =∑问题：称为的阶余项()()()().n n R x f x P x f x n =-易得,0()n R x 0()n R x '=()0()0.n n R x === ，()()00()()(0).k k n fx P x k n =≤≤在与之间0()n x ξξ10()()n n R x x x +=- ()0()(1)2()n nn n R n x ξξ=+- 10()()n n R x x x +-110()(1)()n n R n x ξξ'=+- 110()(1)()n n R n x ξξ'=+-2120()(1)()nn R n n x ξξ-''=+-=(1)()(1)!n n R n ξ+=+0()n R x -0-0()n R x '-0-()0()n nR x -0-x 在与之间10()x x ξ在与之间201()x ξξ0()n R x 0()n R x '=()0()0.n n R x === 若在以与为端点的区间内具有直到阶导数0()1f x x x n +泰勒（ Taylor ）中值定理的阶泰勒公式.()f x n 定理若在包含的某开区间内具有直到0()(,)1f x x a b n +阶的导数 ,则当时有(,),x a b ∈在与之间(1)100()()().()(1)!n n n f R x x x x x n ξξ++=-+泰勒 目录 上页 下页 返回 结束200000()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x '''=+-+-+()00()()(),!n n n f x x x R x n +-+的阶泰勒公式的拉格朗日余项.()f x n在与之间(1)010()()()()(1)!n n nn R x R x x x x n ξξ++=-+()()()n n R x f x P x =-(1)()0,n nPx += (1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+(1)(1)()()n n nRx f x ++∴=当在的某邻域内时(1)0()n x f x M +≤在与之间0()x x ξ1()(1)!n n M R x x x n +≤-+00()(())().nn R x o x x x x ∴=-→泰勒（ Taylor ）中值定理定理若在包含的某开区间内具有直到0()(,)1f x x a b n +阶的导数 ,泰勒 目录 上页 下页 返回 结束200000()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x '''=+-+-+()0000()()[()].()!n n n f x x x o x x x x n +-+-→的阶泰勒公式的佩亚诺余项.()f x n 有时在则且界(1)()(,,),(,)n f x a b x a b +∈的带余项的阶泰勒公式诺.佩亚()f x n特例:拉格朗日中值定理()f x ≈0()f x 00()()f x x x '+-00()()()()f x f x f x x ξ'=+-在与之间0()x x ξ20000()()()()()()2!f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-在与之间0)(x x ξ当时,泰勒公式变为：(1)0n =当时,泰勒公式变为：(2)1n =210()()()2!f R x x x ξ''=-误差在与之间0)(x x ξ在泰勒公式中若取麦克劳林 (Maclaurin) 公式()2(0)(0)()(0)(0)(),2!!n nn f f f x f f x x x R x n '''=+++++ (1)1()()(1)!n n n f R x x n ξ++=+若在包含点的某开区间内具有直到()0(,)1f x a b n +阶的导数 ,则当时有(,),x a b ∈在与之间(0)x ξ且在有界(1)()(,),n fx a b +()no x =(0)x →=(1)1()(1)!n n f x x n θ+++(01)(,)θ∈例1、解求 的 阶麦克劳林公式 .()ln(1)f x x n =+ ()()()1(1)!()(1)1n n nn f x n N x --=-∈+ , ()1(0)(1)(1)!(0)0n n fn f -∴=--=故 231ln(1)(1)()23n n n x x x x x R x n-+=-+-+-+ 其中 , , ()11(1)1()011(1)n n n n xR x n x θθ++-=<<++(1)x >-例2、将 在点 处展开为带拉格朗日余项的 阶泰勒公式.0()ln 3f x x x n == 3()ln ln[3(3)]ln 3ln(1)3x f x x x -==+-=++记 则由 3,3x u -=11ln(1)(1)()k n k n k x u R x k -=+=-+∑得 11()ln 3ln(1)ln 3(1)()k nk n k u f x u R u k -==++=+-+∑ 11111(3)ln 3(1)(3)(1)3(1)n nk k n k n k x x k n ξ+-+=-=+--+-⋅+∑ 其中 介于 3 和 之间 )(x ξ解泰勒中值定理可用以：近似计算；求极限 ；证明不等式 ；……泰勒中值定理是利用多项式局部逼近函数的理论基础:给出了多项式的表达式; 进行了误差分析.。
中值定理和泰勒公式
中值定理和泰勒公式中值定理是微积分中的一个基本定理，它主要有三种形式：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这些定理都用于描述函数的平均变化率和瞬时变化率之间的关系。
拉格朗日中值定理是最基本的中值定理，它表述如下：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)中存在一点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
换句话说，函数在开区间内的平均变化率等于其中一点的瞬时变化率。
柯西中值定理是对拉格朗日中值定理的推广，它表述如下：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且g'(x)不等于零，那么在(a,b)内存在一点c，使得[f'(c)/g'(c)]=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]。
柯西中值定理可以看作是拉格朗日中值定理在多元函数中的扩展，它给出了函数f(x)和g(x)在区间内的变化率之间的关系。
罗尔中值定理是对拉格朗日中值定理的另一种形式，它表述如下：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，那么在(a,b)中存在一点c，使得f'(c)=0。
简单来说，罗尔中值定理说明了如果在区间的两个端点处函数取相同的值，并且函数在区间内可导，那么在区间内存在一个点，该点处的导数为零。
泰勒公式是微积分中的另一个重要公式，它可以将一个函数表示为无穷级数的形式，从而方便地进行近似计算。
泰勒公式的基本形式如下：设函数f(x)在点a处具有n+1阶连续导数，那么对于a附近的任意x，函数f(x)可以表示为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!+R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)，其中R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)是剩余项，是一个无穷小量。
第四章 微分中值定理与泰勒公式1-4
3. 拉格朗日中值定理的三个重要推论 (1)推论1 设f (x)在区间[a,b]上可导，且f (x)=0, x [a,b].则f (x)=C, x [a,b]. (C为常数)
证：x1,x2 [a,b], 不妨令x1<x2, 则f (x)在[x1, x2] 上满足拉格朗日中值定理条件，故有
(0 1)
f ( x x) f ( x) f ' ( x x)x, 0 1
或 或
y f ' ( x x)x, 0 1
y f ' ( )x, ,
在x与x x之间.
21
f (b) f (a) f ' ( )(b a)
当f ( ) m时，f ' ( 0) 0, f ' ( 0) 0, 故f ' ( ) 0.
注:(费马定理) 当最大(小)值点在(a,b)内达到时,其导数为零。
6
例1. 设f (x)=(x a)(xb)(xc)(xd) ，a<b<c<d为实 数. 证明方程 f (x)=0，有且仅有三个实根，并指
又 F(a) = F(b) = 0,
故由Rolle定理，至少存在一点(a, b)，使得 F ( )=0
16
f (b) f (a) F ( x) f ( x) f (a ) ( x a) ba f (b) f (a) F ' ( x) f ' ( x) . ba
x ( +)，
f ( x) 即要证 x 1, x ( , ), e
令
f ( x) ( x) x , x ( , ). e
而 F ' ( ) 0,
高等数学 多元函数的微分中值定理和泰勒公式
一元函数 f ( x) 的泰勒公式:
f ( x0 ) 2 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 )h h 2!
f ( n ) ( x0 ) n h n!
推广 多元函数泰勒公式
(0 1)
记号 (设下面涉及的偏导数连续): • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 h f x ( x0 , y0 ) k f y ( x0 , y0 ) x y 2 • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y
1 (h 2! x 1 (h n! x 2 k y) n k y)
f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) Rn
①
1 ( h k ) n 1 f ( x h, y k ) ② 其中 Rn ( n 0 0 1)! x y
m
( m) (0) (h x k y ) m f ( x0 , y0 )
由 (t ) 的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
说明: 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, (1) 余项估计式. 在某闭
邻域其绝对值必有上界 M , M Rn ( h k ) n 1 (n 1) ! 则有
例1. 求函数 f ( x, y ) ln(1 x y ) 在点 (0,0) 的三阶泰
勒公式. 解:
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) 1 x y f x x ( x, y ) f x y ( x, y ) f y y ( x, y )
3 f x y 4 f x y
第四章 微积分中值定理与泰勒公式
第四章 微积分中值定理与证明4.1 微分中值定理与证明一 基本结论 1．连续性定理：定理1（零点定理） 若()f x 在[,]a b 连续，()()0f a f b ⋅<，则(,)a b ξ∃∈，使得 ()0f ξ=。
定理2（最值定理） 若()f x 在[,]a b 连续，则存在12,x x 使得12(),()f x m f x M ==． 其中,m M 分别是()f x 在[,]a b 的最小值和最大值．定理3（介值定理）若()f x 在[,]a b 上连续，则存在最小值和最大值分别是,m M ，对 于任意的[,]C m M ∀∈，都存在[,]a b ξ∃∈使得()f C ξ=．更一般的结论：若()f x 在[,]a b 上连续，对1x ∀，2[,]x a b ∈，（假设12()()f x f x <），则12[(),()]C f x f x ∀∈，都存在12(,)x x ξ∈，使得()f C ξ=。
2．微分中值定理：定理1（费玛定理）如果0x 是极值点，且()f x 在0x 可导， 则0()0f x '=．定理2 （罗尔定理） 若()f x 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，()()f a f b =，则(,)a b ξ∃∈， 使得()0f ξ'=．定理3（拉格朗日定理）若()f x 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，则(,)a b ξ∃∈，使得()()()()f b f a b a f ξ'-=-．定理4（柯西定理） 若()f x ，()g x 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，且()0g x '≠，则 (,)a b ξ∃∈使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-．定理5（泰勒公式和麦克劳林公式）（数三不要求）泰勒公式：设()f x 在0x 的某个邻域内0()U x 具有1n +阶导数，则0()x U x ∀∈，有 ()(1)1000000()()()()()()...()()!(1)!n n nn fx ff x f x f x x x x x x x n n ξ++'=+-++-+-+，其中ξ在x 和0x 之间，常常把ξ表示为00()x x x θ+-，01θ<<．麦克劳林公式：设()f x 在0的某个邻域内(0)U 具有1n +阶导数，则(0)x U ∀∈，有()(1)1(0)()()(0)(0)...!(1)!n n nn fff x f f x x xn n ξ++'=+++++，其中ξ在0和x 之间．3．连续定理和微分中值定理特点：（1）证明存在性，使函数在一点的函数值满足某个等式，常应用连续性定理：零点定 理、最值定理、介值定理，其中最常用的是零点定理．（2）证明存在性，使函数在一点的导函数值满足某个等式，常应用微分中值定理：费玛定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒公式，其中最常用的是罗尔定理．（3）费玛定理、罗尔定理、拉格朗日定理仅仅涉及一个函数，而柯西中值定理涉及到两个函数；（4）若题设涉及到高阶导数，常应用到泰勒公式和麦克劳林公式；二 基本方法题型1 方程的根的讨论（函数的零点）1．方程根（函数的零点）的存在性：主要应用零点定理．2．方程根（函数的零点）的个数的讨论：求出单调区间，对每个单调区间应用零点定理来判断是否有零点，即是否有根，从而得到函数在给定的区间上根的个数以及根所处的位置（范围）．例1 证明：当230a b -<时，实系数方程320x ax bx c +++=只有唯一实根．证明 令32()f x x ax bx c =+++，则2()32f x x ax b '=++，由于230a b -<，于是2()320f x x ax b '=++>，即()f x 单调递增的．由于lim ()x f x →+∞=+∞，lim ()x f x →-∞=-∞所以()y f x =与x 轴有且仅有一个交点．即方程320x ax bx c +++=只有唯一实根．例2 证明：方程1ln 0ex x +=只有一个实根．证明 设1()ln e f x x x =+，则()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，解得1ex =．显然在10,e⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，于是()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭单调减少；在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，于是()f x 在1,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调增加，而10e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以方程1ln 0e x x +=只有一个实根．例3 讨论方程33x x c -=中的常数c ，在什么情况仅有一个根，两个根，三个根？解 令3()3f x x x c =--，则2()33f x x '=-，令()0f x '=，解得1x =±．于是在(,1)-∞-上，()f x 单调增加，在(1,1)-上，()f x 单调减少；在(1,)∞上，()f x 单调增加。
四微分中值定理与泰勒公式
四微分中值定理与泰勒公式一、四微分中值定理若函数f(x)在区间[a,b]内连续，在开区间(a,b)内可微，并且在a 和b处的导数存在，则存在一点c∈(a,b)，使得[f(b)-f(a)]=f'(a)(b-a)+(1/2)f''(a)(b-a)^2+(1/6)f'''(a)(b-a)^3+(1/24)f''''(a)(b-a)^4其中，f'(a)、f''(a)、f'''(a)和f''''(a)分别是a处的一至四阶导数。
四微分中值定理是一个推广的中值定理，它表示函数在其中一区间上的增量可以用函数及其导数的其中一种组合表示。
这个定理的一个重要应用是近似计算函数的值，特别是当函数的导数容易求出时，可以通过多次求导来逼近函数的值。
二、泰勒公式泰勒公式是函数在其中一点附近的展开近似。
对于函数f(x)在点a 处具有n+1阶连续导数的情况，泰勒公式表述如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x-a)^2+⋯+(1/n!)f^n(a)(x-a)^n+R_n(x)其中，R_n(x)是带有拉格朗日余项的公式，形式为R_n(x)=(1/(n+1)!)[f^(n+1)(c)(x-a)^(n+1)]其中，c是a和x之间的其中一点。
泰勒公式表示了函数在其中一点附近的多项式展开式，其中的余项由高阶导数决定。
当x足够接近a时，高阶导数的贡献逐渐变小，此时可以截断展开式，用有限项的多项式来近似计算函数的值。
泰勒公式的应用非常广泛，可以用于各种函数近似计算和数值分析问题。
特别地，当取n=0时，泰勒公式变为函数的一阶线性近似，即线性逼近。
总结起来，四微分中值定理和泰勒公式都是微积分中的重要定理，用于近似计算函数的值和研究函数的性质。
中值定理和泰勒公式
p 4 p 4 p 3 p 3
2! (1 x y ) 3! (1 x y )
4 3
( p 0 ,1, 2 , 3 )
( p 0 ,1, 2 , 3 , 4)
因此, (h x k y ) f (0, 0) h f x (0, 0) k f y (0, 0) h k
例1. 求函数 勒公式. 解:
f ( x, y ) ln(1 x y ) 在点 (0,0) 的三阶泰
1 1 x y
1 (1 x y )
2
f x ( x, y ) f y ( x, y )
f x x ( x, y ) f x y ( x, y ) f y y ( x, y )
说明: (1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭
邻域其绝对值必有上界 M ,
Rn M ( n 1) ! M ( n 1) ! (h k )
n 1
则有
h cos k sin
n 1
n 1
( cos sin )
f ( x0 h , y0 k ) f ( x0 , y0 ) (h x k y ) f ( x0 , y0 )
1 (h 2! x 1 (h n! x
k k
2 ) y n ) y
f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) Rn
(t ) h 2 f x x ( x0 ht , y0 k t )
2h k f x y ( x0 ht , y0 k t )
k f y y ( x0 ht , y0 k t )
高中数学(人教版)第6章微分中值定理及其应用泰勒公式课件
Pn( n ) ( x0 ) an . n! 上式表明 Pn(x) 的各项系数是由其在点 x0 的各阶
导数所确定的.
设 f (x) 在 x0 处 n 阶可导. 如果
f ( x ) Pn ( x ) o(( x x0 )n ),
即
f ( x ) Pn ( x ) lim 0, n x x0 ( x x0 )
( 3 ) 式称为 f ( x )在点 x0 处的带有佩亚诺型余项的 n
阶泰勒公式. 注1 即使 f ( x ) 在点 x0 附近满足
f ( x ) Pn ( x ) o(( x x0 )n )
( 4)
也不能说明 Pn ( x ) 一定是 f (x) 的n 阶泰勒多项式.
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有佩亚诺型余项685-1731, 英国 ) 麦克劳林( Maclaurin,C. 1698-1746, 苏格兰 )
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
例1 验证下列公式
2 n x x x 1. e x 1 o( x n ); 1! 2! n!
即 f ( x 0 ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 1! 2! f ( n ) ( x0 ) ( 3) ( x x0 )n o(( x x0 )n ). n! n 证 设 Rn ( x ) f ( x ) Tn ( x ) , Qn ( x ) ( x x0 ) , 故只需证
x
的麦克劳林 由定理 6.8 的注 2, 可知上式就是 e 公式, 由泰勒系数公式可知 x 98和x 99的系数为 1 ( 98) ( 1)49 1 ( 99) f 49 , f ( 0) 0 , 98! 2 49! 99!
BBD2_6中值定理及泰勒公式
证明： 不妨设 a b, 作 f ( x) arctan x,
对f ( x)在[a, b]上用拉格朗日中值定理
arctan b arctan a f ( )(b a)
a b
1 arctan b arctan a (b a) b a 2 1
其中 R2 m ( x)
sin( x 2m1 ) 2 m1 2 (0 1) x (2m 1) ! (1) m cos( x) 2 m 1
(2m 1) !
x
23
类似可得
x2 x4 x 2m cos x 1 (1) m R2m1 ( x) 2! 4! ( 2 m) !
x ln(1 x) x ( x 0) . 例4. 证明不等式 1 x 证: 设 f (t ) ln(1 t ) ,
中值定理条件, 因此应有
即 因为 故
1 ln(1 x) ln1 1 1 x x0
15
三、柯西(Cauchy)中值定理 及 满足 :
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导 (3)在开区间 ( a , b ) 内 至少存在一点 使
④ 式成立
20
在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有 f (0) 2 f ( n ) (0) n x x f (0) f (0) x 2! n!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
f (0) 2 f ( n ) (0) n f (x) f (0) f (0) x x x f ( x0 ) 2 n)! x 2! f (x) f ( x0 ) f ( x0 )( x 10 ) ( x x0 (n ) 若在公式成立的区间上 f ( x) 2 ! , 则有误差估计式 M f ( n ) ( x0 ) f ( n1) ( ) n 1 ( x x0 ) n M n 1 ( x x0 ) n ! Rn ( x) (n x ) ! 1 ( 在 x0 与 x 之间) (n 1) !
GS6.7 多元函数的微分中值定理与泰勒公式
再将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.证毕
定理2在多元函数的计算上有重要价值.其中拉格朗日余项
1 Rn = d n +1 f ( x 0 + θ ∆ x , y 0 + θ ∆ y ) ( n + 1)!
1 ∂ ∂ = ∆x + ∆y ( n + 1)! ∂x ∂y
n +1
∂f ∂f + ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y )∆x + ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y )∆y. ∂x ∂y
或写成
f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) = f ( x0 , y0 ) + df ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y ).
记
f ( Pt ) = f ( x0 + t ∆x, y0 + t ∆y ), 则上式又可写成为
f ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y ),
可用偏导数来估计. 假定其 n + 1 阶偏导数有界,即有常数 M , 使
∂ n +1 f ≤ M, l n +1−l ∂x ∂y
则
l = 0,1,⋯ , n + 1;
M Rn ≤ ( ∆x + ∆y ( n + 1) !
)
n +1
,
令 ρ = ∆x 2 + ∆y 2 ,
1 ∂ ∂ = ∆x + ∆y ( n + 1)! ∂x ∂y
n +1
f ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y ), (0 < θ < 1)
泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用
泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用泰勒公式和拉格朗日中值定理是微积分中常用的重要工具，它们在证明不等式中有很多简单应用。
下面将分别介绍泰勒公式和拉格朗日中值定理，并给出一些简单的不等式应用例子。
一、泰勒公式泰勒公式是描述函数在一些点附近的近似表达式。
对于一个函数f(x)，如果它在一些点a处具有n+1阶可导，那么根据泰勒公式，我们可以得到以下的展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)其中，R_n(x)是拉格朗日余项，并且满足以下形式：R_n(x)=f^(n+1)(c)(x-a)^(n+1)/(n+1)!泰勒公式的一个直接应用就是可以用它来证明不等式，我们可以通过展开函数，对比系数，再将恒等式转化为不等式，来获取我们想要的结论。
例如，我们想要证明在[0,1]区间上，e^x>=1+x+x^2/2，可以使用泰勒公式展开e^x，然后对比系数：e^x=1+x+x^2/2!+...+x^n/n!+R_n(x)，(n≥2)对于n=2，展开式为：e^x=1+x+x^2/2+R_2(x)我们知道e^x是递增的函数，所以对于x∈[0,1]，e^x的取值在[1,e]之间。
而对于1+x+x^2/2，将x替换为1，可以得到2.5、所以我们只需要证明对于[0,1]区间内的x，有2.5>=e^x即可。
假设在[0,1]区间内存在一些点c，使得R_2(c)=e^c-(1+c+c^2/2)>0，即e^c>1+c+c^2/2、由于R_2(c)的形式具有e^c的余项特征，我们可以使用拉格朗日中值定理来讨论。
根据拉格朗日中值定理，存在一个点d∈(0,c)，使得R_2(d)=R_2(c)-R_2(0)=e^c-(1+c+c^2/2)-2<=0。
实变函数三大基本定理
实变函数三大基本定理实变函数是数学中的重要概念，它的研究过程中涉及到多个定理和概念。
今天，让我们来一起了解实变函数的三大基本定理。
一、极限定理实变函数的极限定理是指，如果一个函数在某个点处存在极限，那么这个点就称为这个函数的极限点，而且极限点的值必须是函数在这个点处的唯一极限。
这一基本定理的具体表达式有很多，其中最常见的是柯西准则和斯特朗定理。
柯西准则是指，如果在函数f(x)的定义域内，对于任意ε > 0，总存在一个小于ε的δ > 0，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε，则称函数f(x)在x = a处的极限是L。
斯特朗定理是指，如果一个函数在区间[a,b]上连续，且在[a,b]上的任意一个点x0的导数存在，则函数在[a,b]上满足柯西准则。
二、中值定理中值定理是指，如果一个函数在某个区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么它在[a,b]上至少存在一个点c，使得f'(c) = (f(b) -f(a)) / (b - a)。
有了中值定理，我们可以更好地了解函数的变化规律，为后面的研究打下基础。
三、泰勒公式泰勒公式是一种常见的数值分析方法，它用一系列导数来逼近一个函数的值。
具体地讲，如果一个函数在某个闭区间上多次可导，那么这个函数可以被一组多项式所逼近。
这个多项式是以函数在某个点的导数为系数的多项式。
泰勒公式的概念非常重要，它在实际工程应用中发挥了重要的作用。
综上所述，实变函数的三大基本定理——极限定理、中值定理和泰勒公式——在实际的数学运算中都起到了至关重要的作用，是我们系统学习实变函数的重要组成部分。
如果你正在研究实变函数，这三个基本定理是你必须掌握的关键知识点。
泰勒公式与泰勒中值定理的系统理论与使用技巧
泰勒公式与泰勒中值定理的系统理论与使用技巧泰勒公式（Taylor's theorem）和泰勒中值定理（Taylor's theorem with remainder）是微积分中重要的定理，用于用已知函数的其中一点的信息推导出该函数在附近任意点的近似值。
下面将对这两个定理的系统理论和使用技巧进行详细阐述。
1. 泰勒公式（Taylor's theorem）：泰勒公式是一个逼近函数的公式，其形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f(x)是要逼近的函数，a是近似点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)等是函数在点a的各阶导数。
公式可以继续扩展至更高阶导数。
泰勒公式的推导涉及到多项式的展开，通过使用导数的定义进行求解，存在其中一种程度的复杂性。
然而，在实际应用中，我们通常使用该公式的前几项进行近似计算，而不需要考虑无穷多项的求和。
在使用泰勒公式时，需要满足以下条件：-要求函数f(x)在开区间(a,b)上具有至少n+1阶连续导数；-近似点a必须在开区间(a,b)内；-近似点a必须在函数f(x)在(a,b)范围内的一些点，即a∈(a,b)。
2. 泰勒中值定理（Taylor's theorem with remainder）：泰勒中值定理是泰勒公式的一个推广，它包含了一个误差项。
泰勒中值定理的形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)其中，R_n(x)是余项，它表示在使用泰勒公式展开的前n项进行近似时产生的误差。
余项的具体形式为：R_n(x)=(x-a)^n/(n!)*(f^(n+1)(c))其中，c是a和x之间的一些点。
高等数学《中值定理-泰勒》课件
3x 4 2
1
3 4
x
2
1
1 2
(
3 4
x)
21!
1 2
(
1 2
1)
(
3 4
x)2
o(
x2
)
2
3 4
x
1 4
9 16
x2
o( x2 )
4 3x
2
3 4
x
1 4
196
x2
o( x2 )
原式
lim
x0
1 2
9 16
x2
o(
x2
)
x2
9 32
例7 证明
证明
1
1 x (1 x)2
1 x 1 1 (1 1)x2 2 2! 2 2
使其精确到0.005,试确定 x 的适用范围.
解 近似公式的误差
R3(x)
x4 cos( x)
4!
x4 24
令
x 4 0.005
24
解得 x 0.588
即当 x 0.588 时,由给定的近似公式计算的结果
能准确到 0.005 .
例6 求
用洛必塔法则
解 用泰勒公式将分子展到 x2 项,由于 不方便 !
由f（x）、Pn（x）的性质知，Rn（x）在（a ，b）内
有直至（n+1）阶的导数，且有
Rn(n1) (x) f (n1) (x)
而 Rn (x0) Rn(x0) Rn(n) (x0) 0
对于函数Rn（x）与（x－x0）n+1在以 x0、x 为端 点的区间上，应用柯西中值定理，则有
பைடு நூலகம்(x
x
x0
n1
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证： f 0 0 f x0 0 又 f x 在 0, x0 内可导。 由罗尔定理可知在 在 0, x0 内至少存在一个 ，使 f 4a0 3 3a1 2 2a2 a3 0
f (2) x1
(x2 2 x1 x2 , 0 1 x1)
x1 f ( )(2 1) 0 (1 2)
f (x1 x2) f (x1) f (x2)
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三、柯西(Cauchy)中值定理 及 满足 :
证： f x cos x f 0 f 2 0 f x sin x 在 [0, 2 ] 上满足罗尔定理的三个条件
且使 f x cos x 0 的点在 [0, 2 ] 是
x x 3
2
2
则有
1
2
2
3
2
使得 f 0
x ln(1 x) x (x 0). 1 x
证: 设 f (t) ln(1 t) ,
中值定理条件, 因此应有
即 因为 故
1 ln(1 x) ln1 1
1 x
x0
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例5. 证明不等式
x
tan
x
x cos2
x
证: 设 f (t) tan t
第六节
第二章
微分中值定理及泰勒公式
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 四、泰勒 ( Taylor )公式
一、罗尔( Rolle )定理
费马(fermat)引理
且
(或 )
证: 设 则
0 0
存在
y
o x0 x
证毕
费马 目录 上页 下页 返回 结束
证明： 不妨设 b a, 作 f (x) arctan x,
对f (x)在[b,a]上用拉格朗日中值定理
arctan a arctan b f ( )(a b) b a
arctan
a
arctan
b
1
1
2
(a
b)
a
b
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只要证 e f ( ) e f ( ) 0
亦即
[ ex f (x ) ] x 0
作辅助函数 F (x) ex f (x ) , 验证 F (x )在 [ x1 , x2 ]上满足
罗尔定理条件.
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二、拉格朗日中值定理
y
y f (x)
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内
至少存在一点
使
思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?
f (b) f (a) f ( ) . F (b) F (a) F( )
f (b) f (a) f ( )(b a), (a, b) 两个 不 F(b) F(a) F( )(b a), (a, b) 一定相同
罗尔（ Rolle ）定理 满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导
y
y f (x)
o a
bx
(3) f ( a ) = f ( b )
在( a , b ) 内至少存在一点 使 f ( ) 0.
证: M 和最小值 m .
若M=m,则 因此
故在[ a , b ]上取得最大值
例6. 设 f (x) 0 , f (0) 0 证明对任意 x1 0, x2 0
有 f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
证：不妨设 0 x1 x2 f (x1 x2) f (x2) f (x1)
f (x1 x2) f (x2) f (x1) f (0)
上面两式相比即得结论. 错!
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柯西定理的几何意义:
弦的斜率 切线斜率
注意:
x F (t)
d y f (t) d x F(t)
y
f (b)
f (a)
o F(a)F( )
F (b) x
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例1 设 f x 在[a,b] 可导，求证在 (a,b)内至少存在
验证 F (x ) 在 [0, ] 上满足罗尔定理条件.
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例8. 若 f (x )可导, 试证在其两个零点间一定有 f (x ) f (x ) 的零点.
提示: 设 f (x1) f (x2 ) 0, x1 x2 ,
欲证: ( x1 , x2), 使 f ( ) f ( ) 0
2) 唯一性 .
假设另有
f (x)在以
x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
但
矛盾, 故假设不真!
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例3 不求f (x) x(x 3)(x 5)(x 7)的导数，
说明 f (x) 0有几个实根。
ba
显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且
(a) b f (a) a f (b) (b), 由罗尔定理知至少存在一点
思路: 利用逆b 向a 思维找即出定一理个结满论足成罗立尔定. 证理毕条件的函数
拉氏 目录 上页 下页 返回 结束
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
令
则
y f (x0 x)x (0 1)
推论: 若函数 在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
0
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
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例1. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
即
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例7. 设 f (x) C[0, ], 且在 (0, )内可导, 证明 至少存在一点 (0, ), 使 f ( ) f ( )cot .
提示: 由结论可知, 只需证
即
f (x )sin x x 0
设
F(x) f (x)sin x
1
2
0a b
有
f
b
b
f a
a
f
1
等式成立。
2
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使 F 0 即 f f 0 .
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例6 设 f (x) 在[0,1] 连续，(0,1) 可导，且 f (1) 0 ,
求证存在 (0,1),使 证：设辅助函数 (x) x2 f (x) 显然 (x) 在 [0,1] 上满足罗尔定理条件, 因此至少存在 (0,1) , 使得 ( ) n 21 f ( ) 2 f ( ) 0
又
故所证等式在定义域
上成立.
经验: 欲证 x I 时 f (x) C0, 只需证在 I 上 f (x) 0,
且 x0 I , 使 f (x0 ) C0.
自证: arctan x arccot x , x (, )
2
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例2 证明 arctan a arctan b a b
f x x f x x f x
f f [ x f x] x 0 证：设 Fx x f x 由题意知 Fx x f x 在[0,1] 上连续, 在（0,1 )内可导， F1 0 F0 0
由罗尔定理可知 在（0，1）内至少存在一点 ,
在 ( a , b ) 内可导, 且
lim f (x) lim f (x)
xa
xb
在( a , b ) 内至少存在一点 使
证明提示: 设
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
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例1 求证罗尔定理对于函数 f x sin x 在区间
[0, 2 ] 上的正确性。
解 f (0) f (3) f (5) f (7) 0
对f (x)分别在[0,3]、[3,5]、[5,7]上应用罗尔定理，
至少存在x1 (0,3)、x2 (3,5)、x3 (5,7)使得
f (x1) f (x2 ) f (x3) 0,
再对f (x)分别在[x1, x2]、[x2, x3]上应用罗尔定理，
符合罗尔定理的结论。
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例2. 证明方程 小于1 的正实根 .
有且仅有一个
证: 1) 存在性 .
设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且
由介值定理知存在 x0 (0,1), 使
f (x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
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若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得 f ( ) 0.
注意:
1) 定理条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,