中值定理及泰勒公式

有一个正根 x x0 证明方程 4a0x3 3a1x2 2a2x a3 0 有一个小于 x0 的正根。
证： f 0 0 f x0 0 又 f x 在 0, x0 内可导。 由罗尔定理可知在 在 0, x0 内至少存在一个 ，使 f 4a0 3 3a1 2 2a2 a3 0
f (2) x1
(x2 2 x1 x2 , 0 1 x1)
x1 f ( )(2 1) 0 (1 2)
f (x1 x2) f (x1) f (x2)
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三、柯西(Cauchy)中值定理 及 满足 :
证： f x cos x f 0 f 2 0 f x sin x 在 [0, 2 ] 上满足罗尔定理的三个条件
且使 f x cos x 0 的点在 [0, 2 ] 是
x x 3
2
2
则有
1


2
2

3
2
使得 f 0
x ln(1 x) x (x 0). 1 x
证: 设 f (t) ln(1 t) ,
中值定理条件, 因此应有
即 因为 故
1 ln(1 x) ln1 1
1 x
x0
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例5. 证明不等式
x

tan
x

x cos2
x
证: 设 f (t) tan t
第六节
第二章
微分中值定理及泰勒公式
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 四、泰勒 ( Taylor )公式
一、罗尔( Rolle )定理
费马(fermat)引理
且
(或 )
证: 设 则
0 0
存在
y
o x0 x
证毕
费马 目录 上页 下页 返回 结束
证明： 不妨设 b a, 作 f (x) arctan x,
对f (x)在[b,a]上用拉格朗日中值定理
arctan a arctan b f ( )(a b) b a

arctan
a

arctan
b

1
1
2
(a

b)

a

b
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只要证 e f ( ) e f ( ) 0
亦即
[ ex f (x ) ] x 0
作辅助函数 F (x) ex f (x ) , 验证 F (x )在 [ x1 , x2 ]上满足
罗尔定理条件.
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二、拉格朗日中值定理
y
y f (x)
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内
至少存在一点
使
思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?
f (b) f (a) f ( ) . F (b) F (a) F( )
f (b) f (a) f ( )(b a), (a, b) 两个 不 F(b) F(a) F( )(b a), (a, b) 一定相同
罗尔（ Rolle ）定理 满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导
y
y f (x)
o a
bx
(3) f ( a ) = f ( b )
在( a , b ) 内至少存在一点 使 f ( ) 0.
证: M 和最小值 m .
若M=m,则 因此
故在[ a , b ]上取得最大值
例6. 设 f (x) 0 , f (0) 0 证明对任意 x1 0, x2 0
有 f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
证：不妨设 0 x1 x2 f (x1 x2) f (x2) f (x1)
f (x1 x2) f (x2) f (x1) f (0)
上面两式相比即得结论. 错!
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柯西定理的几何意义:
弦的斜率 切线斜率
注意:
x F (t)
d y f (t) d x F(t)
y
f (b)
f (a)
o F(a)F( )
F (b) x
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例1 设 f x 在[a,b] 可导，求证在 (a,b)内至少存在
验证 F (x ) 在 [0, ] 上满足罗尔定理条件.
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例8. 若 f (x )可导, 试证在其两个零点间一定有 f (x ) f (x ) 的零点.
提示: 设 f (x1) f (x2 ) 0, x1 x2 ,
欲证: ( x1 , x2), 使 f ( ) f ( ) 0
2) 唯一性 .
假设另有
f (x)在以
x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
但
矛盾, 故假设不真!
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例3 不求f (x) x(x 3)(x 5)(x 7)的导数，
说明 f (x) 0有几个实根。
ba
显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且
(a) b f (a) a f (b) (b), 由罗尔定理知至少存在一点
思路: 利用逆b 向a 思维找即出定一理个结满论足成罗立尔定. 证理毕条件的函数
拉氏 目录 上页 下页 返回 结束
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
令
则
y f (x0 x)x (0 1)
推论: 若函数 在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
0
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
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例1. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
即
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例7. 设 f (x) C[0, ], 且在 (0, )内可导, 证明 至少存在一点 (0, ), 使 f ( ) f ( )cot .
提示: 由结论可知, 只需证
即
f (x )sin x x 0
设
F(x) f (x)sin x

1
2
0a b
有
f
b
b
f a
a
f

1
等式成立。
2
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使 F 0 即 f f 0 .
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例6 设 f (x) 在[0,1] 连续，(0,1) 可导，且 f (1) 0 ,
求证存在 (0,1),使 证：设辅助函数 (x) x2 f (x) 显然 (x) 在 [0,1] 上满足罗尔定理条件, 因此至少存在 (0,1) , 使得 ( ) n 21 f ( ) 2 f ( ) 0
又
故所证等式在定义域
上成立.
经验: 欲证 x I 时 f (x) C0, 只需证在 I 上 f (x) 0,
且 x0 I , 使 f (x0 ) C0.
自证: arctan x arccot x , x (, )
2
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例2 证明 arctan a arctan b a b
f x x f x x f x
f f [ x f x] x 0 证：设 Fx x f x 由题意知 Fx x f x 在[0,1] 上连续, 在（0,1 )内可导， F1 0 F0 0
由罗尔定理可知 在（0，1）内至少存在一点 ,
在 ( a , b ) 内可导, 且
lim f (x) lim f (x)
xa
xb
在( a , b ) 内至少存在一点 使
证明提示: 设
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
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例1 求证罗尔定理对于函数 f x sin x 在区间
[0, 2 ] 上的正确性。
解 f (0) f (3) f (5) f (7) 0
对f (x)分别在[0,3]、[3,5]、[5,7]上应用罗尔定理，
至少存在x1 (0,3)、x2 (3,5)、x3 (5,7)使得
f (x1) f (x2 ) f (x3) 0,
再对f (x)分别在[x1, x2]、[x2, x3]上应用罗尔定理，
符合罗尔定理的结论。
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例2. 证明方程 小于1 的正实根 .
有且仅有一个
证: 1) 存在性 .
设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且
由介值定理知存在 x0 (0,1), 使
f (x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
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若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得 f ( ) 0.
注意:
1) 定理条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
y
o 1x
y
y
1 o 1 x
o 1x
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2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为
中值定理条件, (0 x ) 因此应有
2
即
0 x .
2
cos x 在 (0, )内单调减少。 0 cos x cos 1
2
1 cos2
x

1 cos2

1
x cos2
x

x cos2


x
故
x

tan
x

x cos2
x
0 x .
2
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一点 ，使得当0 a b 时，有
f b f a 2 f ( b a) 成立。
解： 原式变形为
f b
b
f a
a
f
1
2
令 Fx x 由题意和基本初等函数可知，
f x, Fx 在[a,b] 满足柯西中值定理条件。
Fx x
满足:
(1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导
o a
bx
至少存在一点
使 f ( ) f (b) f (a).
证: 问题转化为证
f ( ) f (b) f (a) 0
b a
ba
作辅助函数 (x) f((x)) f (b) f (a) x
故 4a0x3 3a1x2 2a2x a3 0
在 0, x0 内存在一个正根 x .
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例5 设函数 f x 在[0,1] 上连续, 在（0,1 )内可导， f 1 0 证明在 (0,1) 内至少存在一点 , 使 f f 0 . 分析 f f 0 . 可得 f x x f x x 0 .
至少存在1 (x1, x2 )、2 (x2, x3)使得
f (1) f (2) 0, 又因为f (x)为二次多项式，最多有 两个实根，
f (x) 0只有两个实根。
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例4 如果方程 f x a0x4 a1x3 a2x2 a3x 0
例3：求证 ex 1 x x 0
证： 设 f t et 此函数在 t [0, x]
满足拉格朗日定理的条件，则有
ex e0 e x0
ex 1 xe
0 x 而 e e0 1
ex 1 x x0
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例4. 证明不等式