1-7线面垂直的判定与证明

专题7 线面垂直的判定与证明

秒杀秘籍：第一讲 在被垂直平面找垂直（鳖臑法则）

定理：若一条直线l 垂直于一个平面，如果在被垂直的平面内找到相互垂直的两条线1l ⊥2l （1l 与l 相交），则与l 异面的直线2l 垂直于l 和1l 构成的平面．鳖臑是最典型的例子．

当出现重垂线P A 时，就需要在水平面ACB 内找到两条垂直相交的直线BC AC ⊥，由于AC 与重垂线P A 相交，故能得到PAC BC 面⊥，同理，P AC 作为被垂直的平面，在平面内找到PC AD ⊥，BC 与PC 相交，故可以得到PBC AD 面⊥，PBC 作为被垂直的平面，需要在这个面内找到垂直的两条直线，当PB DE ⊥时（或PB AE ⊥），能得到ADE PB 面⊥． 具体书写格式：

PAC BC A AC PA AC BC CB PA ACB BC ACB PA 面面面⊥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥ ，同理PBC AD C

BC PC PC AD BC AD PAC AD PAC BC 面面面⊥⇒⎪⎪⎪⎭⎪

⎪

⎪

⎬⎫=⊥⊥⇒⎭⎬⎫

⊂⊥

()

()ADE PB A AD AE D AD DE PB AE PB DE PB

AD PBC PB PBC AD 面或或面面⊥⇒⎪⎪⎪

⎭⎪

⎪⎪⎬⎫

==⊥⊥⊥⇒⎭

⎬⎫

⊂⊥

【例1】已知ABC △中︒=∠90ACB ，⊥SA 面ABC ，SC AD ⊥，求证：⊥AD 面SBC ． 【例2】已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点． （1）求证：DE ⊥平面PAE ；

（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．

【小结】按照推导式写的证明步骤比传统方式更简洁明了．

【例3】如图，在四棱锥ABCD P -中，平面⊥PAD 平面ABCD ，AD AB =，︒=∠60BAD ，E ，F 分别是AP ，

AD 的中点．求证：

（1）直线EF ∥平面PCD ；

（2）平面

BEF ⊥平面PAD ． 【例4】如图，已知AB ⊥平面

BCE ，CD ∥AB ，△BCE 是正三角形，AB ＝BC ＝2CD ．

（1）在线段BE 上是否存在一点F ，使CF ∥平面ADE ？ （2）求证：平面ADE ⊥平面ABE ．

秒杀秘籍：第二讲 等腰三角形三线合一构造法

在没有特殊的重垂线和水平面，证一些线面垂直则需要一些特殊的几何性质,由有着共底边的两个等腰三角形构成的立体图形，则两个顶点的连线一定垂直于底边．

【例5】如图，已知空间四边形ABCD 中，AC BC =，BD AD =，E 是AB 的中点． 求证：（1）⊥AB 平面CDE ；

（2）平面⊥CDE 平面ABC ．

【例6】如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是︒=∠60DAB 且边长为a 的菱形，侧面P AD 是等边三角形，且平面P AD 垂直于底面ABCD ．

（1）若G 为AD 的中点，求证：⊥BG 平面P AD ； （2）求证：PB AD ⊥．

PA

BC PAD BC D PD AD BC AD CD BD AC AB BC PD CD BD PC PB ⊥⇒⊥⇒⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎪

⎪⎪

⎪

⎬⎫=⊥⇒⎭⎬⎫==⊥⇒⎭⎬⎫

==面

1．（2018•江苏）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111AB B C ⊥．求证：平面11ABB A ⊥平面1A BC ．

2．（2018•新课标Ⅲ）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．求证：平面AMD ⊥平面BMC ．

3．（2018•北京）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，

PA PD =，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．

（1）求证：PE BC ⊥；

（2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ．

4．（2018•新课标Ⅰ）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将ACM ∆折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；

（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，

且2

3

BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．

5．（2017•新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠=︒． （1）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；

（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为8

3

，求该四棱锥的侧面积．

6．（2017•山东）由四棱柱1111ABCD A B C D -截去三棱锥111C B CD -后得到的

几何体如图所示，四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，1A E ⊥平面ABCD ，设M 是OD 的中点，求证：平面1A EM ⊥平面11B CD ．

7．（2016•江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证：平面1B DE ⊥平面11A C F ．

8．（2016•四川）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA CD ⊥，//AD BC ，90ADC PAB ∠=∠=︒，1

2

BC CD AD ==

． 求证：平面PAB ⊥平面PBD ．

9．（2015•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD ． （1）求证：平面AEC ⊥平面BED ；

（2）若120ABC ∠=︒，AE EC ⊥，三棱锥E ACD -的体积为6

3

，求该三棱锥的侧面积．