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第三讲勾股定理及其应用培优辅导

一、

点击一：勾股定理

勾股定理：．

则 c2=, a2=, b 2 =．

勾股数：＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、特殊勾股数：连续的勾股数只有 3 ，4，5 连续的偶数勾股数只有 6， 8， 10 勾

股定理的逆定理：．

点击二：学会用拼图法验证勾股定理

如，利用四个如图 1 所示的直角三角形，拼出如图 2 所示的三个图形并证明．

b c

a

（图 1）

图 3

图 2

证明图 2或3．

点击三：在数轴上表示无理数

例在数轴上作出表示10 的点．

点击四：直角三角形边与面积的关系及应用

例已知一直角三角形的斜边长是2，周长是 2+ 6，求这个三角形的面积．

点击五：勾股定理的应用

（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；

（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；

（3）用于推导线段平方关系的问题

等．二、【精典题型】

考点一、已知两边求第三边

1．在直角三角形中, 若两直角边的长分别为6， 8，则斜边长为__________ ，斜边的高为

__________．

2．已知直角三角形的两边长为3、 2，则另一条边长是________________ ．

3．已知，如图在ABC中， AB=BC=CA=2cm， AD是边 BC上的高．则① AD的长 _____；

②Δ ABC的面积 _________．

考点二、利用列方程求线段的长

如图，某学校（ A 点）与公路（直线L）的距离为300 米，又与公路车站（ D 点）的距离为500 米，现要在公路上建一个小商店（ C 点），使之与该校A 及车站 D 的距离相等，求商店与

车站之间的距离．

考点三、判别一个三角形是否是直角三角形

1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（ 1）3、4、5（ 2）5、12、13（ 3）8、15、17（4）4、 5、 6，其中能够成直角三角形的有_________________.

2.若三角形的三边是 a2+b2,2ab,a 2-b 2(a>b>0), 则这个三角形是 _________________. 3、

如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即

从相距 13 海里的 A、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达 C 地将其拦截。已知甲巡逻艇

每小时航行120 海里，乙巡逻艇每小时航行50 海里，航向为北偏西400. 那么甲巡逻艇的航

向是怎样的？

1 BC ．你能说明∠AFE 4、如图，正方形 ABCD中， F 为 DC的中点， E为 BC上一点，且CE

4

是直角吗？

三、【思想方法】本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分

类的思想；

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

例 1（噪音问题）如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且∠QPN＝30°，点 A 处有一所中学， AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请

说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多

少秒？

例 2（用勾股定理求最短路径问题）

．．．．．．．．．．．．．．．．

【例】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为 4cm，ＢＣ是上底面的直径．一．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

为．

．．

变式：

．．．

、有一个长宽高分别为，，的长方体，有一只小蚂蚁想从点爬到．．1 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2cm2cm8cm

．A．．．

点 B 处，则它爬行的最短路程为 ________cm. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

2、如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径” ，在花

园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了 __________步路（假设 2 步为 1m），却

踩伤了花草。

（二）方程的思想方法

如图将长方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使 C 点落在 F 处,BF 交 AD 于点 E,AD=8，

AB=4，求△ BDE 的面积是多少？

F

A E

D

B

C

（三）分类讨论思想方法

例：若 VABC 中，AB 13cm, AC 15cm ，高AD=12,则BC的长为（）A： 14 B ：4 C ：14或 4D ：以上都不对

变式： 1、在 Rt△ABC中，有两边的长分别为 3 和 4，则第三边的长（）

A、 5

B、7

C、5或7

D、5 或11

2 2 2 ）

．．．

2、如果△ABC的三边 a、、bc 满足 (a - b)(a +b - c )=0 ，那么△ABC一定是（．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

A. 等腰直角三角形

B. 等腰三角形

．．．．．．．．．．．．．．．．

C. 直角三角形

D. 等腰三角形或直角三角形

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

培优学力训练

【例 1】 (达州 )如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有

的三角形都是直角三角形 .若正方形 A、 B、C、D 的边长分别是 3，5，2，3，则

最大正方形 E 的面积是 ( )

A．13 B．26 C．47 D．94 【变式题组】

01．(安徽 )如图，直线 l 过正方形 ABCD 的顶点 B，点 A，C 到直线 l 的距离分别

是 1 和 2，则正方形的边长是 ___________.

D

A

C

1 2

l

B

第1题图

02．(浙江省温州 )在直线l 上的依次摆放着七个正方形 (如图所示 )，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3， S4，则 S1＋S2＋ S3＋S4＝______.

A

C

l

B

第2题图

第 3 题图

l l

03．(浙江省丽江 )如图，已知△ ABC 中，∠ ABC＝90°， AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且 l1、l2之间的距离为 2，l2、l3之间的距离为 3，则 AC 的长是 ()

A．2 17B．2 5C．4 2D．7