甘肃省会宁一中2018届高三3月份测试文科数学卷

甘肃省会宁一中2018届高三3月份测试文科数学卷
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会宁一中2018届高三3月份测试卷
高三文科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．函数3cos sin y x x x =+的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知复数z 满足(34i)34i z +=-，z 为z 的共轭复数，则z =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．如图，当输出4y =时，输入的x 可以是（ ）
A ．2018
B ．2017
C ．2016
D ．2014
4．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
过点，且实轴的两个端点与虚轴的一
个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是（ ）
A ．2
2112
x y -=
B ．22
193x y -
= C ．2
2
13
y x -= D ．22
12332
x y -=
5．要得到函数2sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2cos 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象（ ）
A ．向左平移4π
个单位
B ．向右平移
4π
个单位 C ．向左平移8
π
个单位
D ．向右平移8
π
个单位
6．已知实数x ，y 满足12103x x y x y ⎧⎪
-+⎨⎪+⎩
≥≤≤，则3z x y =+的最大值是（ ）
A ．4
B ．7
C ．8
D ．
173
7．如图，把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为10的正方形托盘
ABCD 内，已知硬币平放在托盘上且没有任何部分在托盘外，则该硬币完全落在托盘内部1111A B C D 内的概率为（ ）
此
卷
只
装
订
不
密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
A ．18
B ．916
C ．4
π
D ．1516
8．已知集合{}2
320A x x x =+-≤，(){}
2log 210B x x =-≤，则A B =（ ）
A ．213x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤
B ．213x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
≤≤
C ．{}11x x -≤≤
D ．122
3x x ⎧⎫
<⎨⎬⎩⎭≤
9．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（
）
A
．B
．C ．8
D ．9
10．已知函数2017()2017log x f x =
+)20173x x --+，则关于x 的不等式
(12)()6f x f x -+>的解集为（ ） A ．(,1)-∞
B ．(1,)+∞
C ．(1,2)
D ．(1,4)
11．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C
的对边，已知a =
22(3)tan b c A +-=，22cos 2
A B
+1)cosC =，则ABC △的面积为（ ）
A
．
34
+ B
．
4
C
．
4
D
．
32
12．已知点(4,0)M -，椭圆22
21(02)4x y b b
+=<<的左焦点为F ，过F 作直线l （l 的斜率
存在）交椭圆于A ，B 两点，若直线MF 恰好平分AMB ∠，则椭圆的离心率为（ ）
A ．14
B
．
2 C ．12
D
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知0,2απ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，tan 3α=，则2sin 2sin cos ααα+=________．
14．已知(3,4)a =，2b =
，且2a b +=，则a 与b 的夹角为________．
15．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()32ln f x xf x '=+，则()1f '的值等于________．
16．如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，已知2AC =
，PB =则当PA AB +最大时，三棱锥P ABC
-的体积为________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知数列{}n a 是公差为1的等差数列，且4a ，6a ，9a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设(2)(1)n a n n n b a =-+-，求数列{}n b 的前2n 项和．
18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点M 为11A C 的中点，点N 为1AB 上一动点．
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（1）是否存在一点N ，使得线段MN ∥平面11BB C C ？若存在，指出点N 的位置，若不存在，请说明理由．
（2）若点N 为1AB 的中点且CM MN ⊥，求三棱锥M NAC -的体积．
19．某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表：
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下车的可能性是相同的．
（1）若甲、乙两人共付费2元，则甲、乙下车方案共有多少种？ （2）若甲、乙两人共付费4元，求甲比乙先到达目的地的概率．
20．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B （B 位于第一象限）两点．
（1）若直线AB 的斜率为3
4
，过点A ，B 分别作直线6y =的垂线，垂足分别为P ，Q ，
求四边形ABQP 的面积；
（2）若4BF AF =，求直线l 的方程．
21．已知函数()e
x x f x =
． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）证明：12ln e e x x x
>-．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
：1232
x t y t ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 3ρθπ⎛
⎫=+
⎪⎝⎭
． （1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点M 的极坐标为3,2π⎛⎫
⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA MB +的值．
23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()1f x x x m =-+-．
（1）当3m =时，求不等式()5f x ≥的解集；
（2）若不等式()21f x m -≥对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．
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高三文科数学答案
一、选择题 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】D 9．【答案】D 10．【答案】A 11．【答案】A 12．【答案】C 二、填空题
13．【答案】32
14．【答案】23π
15．【答案】1
4
16．【答案】4 三、解答题
17．【解析】（1）因为4a ，6a ，9a 成等比数列，所以2649a a a =⋅，
又因为数列{}n a 是公差为1的等差数列，615a a =+，413a a =+，918a a =+， 所以2111(5)(3)(8)a a a +=++，解得11a =，所以1(1)n a a n d n =+-=．
（2）由（1）可知n a n =，因为(2)(1)n a n n n b a =-+-，所以(2)(1)n n n b n =-+-． 所以
2
222(2)(2)
n
n S =-+-+⋅⋅⋅+-(123452)n +-+-+-+⋅⋅⋅+222212n n -+⋅=++2122
3
n n +-=+．
18．【解析】（1）存在点N ，且N 为1AB 的中点．
证明如下：如图，连接1A B ，1BC ，点M ，N 分别为11A C ，1A B 的中点， 所以MN 为11A BC △的一条中位线，MN BC ∥，
MN ⊄平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，所以MN ∥平面11BB C C ．
（2）如图，设点D ，E 分别为AB ，1AA 的中点，连接CD ，DN ，NE ，并设1AA a =，则221CM a =+，
22
414a MN +=+284a +=，22
54a CN =+2204
a +=，
由CM N ⊥M ，得222CM MN CN +=
，解得a = 又易得NE ⊥平面11AAC C ，1NE =，
M NAC N AMC V V --=111
332AMC S NE =⋅=⨯
△21⨯=
所以三棱锥M NAC -
的体积为
3
．
19．【解析】（1）由题意知甲、乙乘坐地铁均不超过3站，前3站设为1A ，1B ，1C ，甲、乙两人共有11(,)A A ，11(,)A B ，11(,)A C ，11(,)B A ，11(,)B B ，11(,)B C ，11(,)C A ，11(,)C B ，
11(,)C C 9种下车方案．
（2）设9站分别为1A ，1B ，1C ，2A ，2B ，2C ，3A ，3B ，3C ，因为甲、乙两人共付费
4元，共有甲付1元，乙付3元；甲付3元，乙付1元；甲付2元，乙付2元三类情况． 由（1）可知每类情况中有9种方案，所以甲、乙两人共付费4元共有27种方案． 而甲比乙先到达目的地的方案有13(,)A A ，13(,)A B ，13(,)A C ，13(,)B A ，13(,)B B ，13(,)B C ，
13(,)C A ，13(,)C B ，13(,)C C ，22(,)A B ，22(,)A C ，22(,)B C ，共12种，
故所求概率为
124
279
=． 所以甲比乙先到达目的地的概率为4
9
．
20．【解析】（1）由题意可得(0,1)F ，又直线AB 的斜率为3
4
，
所以直线AB 的方程为3
14
y x =+．
与抛物线方程联立得2340x x --=，解之得11x =-，24x =．
所以点A ，B 的坐标分别为11,4⎛
⎫- ⎪⎝⎭，(4,4)．
所以4(1)5PQ =--=，123
644
AP =-
=，642BQ =-=， 所以四边形ABQP 的面积为12315525248S ⎛⎫
=+⨯= ⎪⎝⎭．
（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l ：1y kx =+．设11(,)A x y ，
22(,)B x y ，
由21,
4,
y kx x y =+⎧⎨=⎩化简可得2440x kx --=， 所以124x x k +=，124x x =-． 因为4BF AF =，所以2
1
4x x -
=， 所以
21212()x x x x +12
212x x x x =++22(4)9444k k ==-=--， 所以2944k =
，即2916k =，解得34
k =±． 因为点B 位于第一象限，所以0k >，则3
4
k =． 所以l 的方程为3
14
y x =
+． 21．【解析】（1）由题意可得1()e x
x
f x -'=
，令'()0f x =，得1x =． 当(,1)x ∈-∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．
所以()f x 的单调递增区间为(,1)-∞，()f x 的单调递减区间为(1,)+∞． （2）要证12ln e e x x x >
-成立，只需证2
ln e e
x x x x >-成立．
令()ln g x x x =，则()1ln g x x '=+，令()1ln 0g x x '=+=，则1e x =，当10,e x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，
()0g x '<，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上
单调递增，所以11()e e g x g ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
≥，
又由（1）可得在(0,)+∞上max 1()(1)e f x f ==，所以max 21e
e e x x ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭，所以命题得证．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．【解析】（1）把4sin 3ρθπ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
展开得2sin ρθθ=+，
两边同乘ρ
得22sin cos ρρθθ=+①．
将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入①即得曲线C
的直角坐标方程为
2220x y y +--=②．
（2
）将1,23x t y ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩
代入②式，得230t ++=，
易知点M 的直角坐标为(0,3)．
设这个方程的两个实数根分别为1t ，2t ，
∴12t t +=-123t t =，
则由参数t
的几何意义即得12MA MB t t +=+=
23．【解析】（1）当3m =时，原不等式可化为135x x -+-≥．
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若1x ≤，则135x x -+-≥，即425x -≥，解得12
x -≤； 若13x <<，则原不等式等价于25≥，不成立；
若3x ≥，则135x x -+-≥，解得92
x ≥．
综上所述，原不等式的解集为：19|22x x x ⎧
⎫-⎨⎬⎩⎭≤或≥．
（2）由不等式的性质可知()1f x x x m =-+-1m -≥， 所以要使不等式()21f x m -≥恒成立，则121m m --≥，
所以112m m --≤或121m m --≥，解得2
3
m ≤，
所以实数m 的取值范围是23m m ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭≤．。