高数A试卷A - 360文档中心

大一第一学期高数1试题A及答案

2009—2010学年第一学期《高等数学I(一)》课程考试试卷(A 卷)参考答案及评分标准注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟3、姓名、学号必须写在指定地方阅卷负责人签名：一、填空题（共5个小题，每小题2分，共10分）.1.设，则 .()lim 1tt x f x t →+∞⎛⎫=+⎪⎝⎭()0x ≠=)3(ln f 2.设是的一个原函数，则= ．x e xsin +()f x ()f 'x 3.曲线的拐点坐标是 .16623-+=x x y 4.若，则．2121A dx x -∞=+⎰A =5． .21lim(2)cos2x x x →-=-二、单项选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）.将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中.1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）.()f x []12,-()()()22F x f x f x =++A ．；B ．；C ．；D ．.[]30,-[]31,-112,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦102,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．是函数的（）.3x =1()arctan 3f x x=-A ．连续点；B ．可去间断点；C ．跳跃间断点；D ．第二类间断点.3．当时，与等价，则（）.0→x 1ax e -x 2sin a = A ．1 ；B ．2 ；C ．；D ．.2-214．函数在处（）.()21sin,00,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩0=x A ．有定义但不连续； B ．连续但不可导； C ．连续且可导；D ．不连续且不可导.5.下列等式中正确的是（）．A ．； B .；()()ba d f x dx f x dx =⎰()()()x ad f x dx f x f a dx=-⎰C ．；D . .()()df x dx f x dx=⎰()()f x dx f x '=⎰6．函数（）.()21xf x x =+ A ．在内单调增加；B ．在内单调减少；(),-∞+∞(),-∞+∞C ．在内单调增加；D ．在内单调减少.()11,-()11,-7．若可导，且，则（）.()f u ()x y f e = A ．；B ．；()x dy f e dx '=()x x dy f e e dx '= C ．；D ．.()xxdy f e e dx =()xxdy f e e dx '⎡⎤=⎣⎦8．（）.20|1|x dx -=⎰A ．0 ；B ．2 ；C ．1 ；D ．.1-9．方程的通解是( ).sin y x '''=A .； B .；21231cos 2y x C x C x C =+++21231sin 2y x C x C x C =+++C .； D ..1cos y x C =+2sin 2y x =10.曲线与该曲线过原点的切线及轴围成的图形的面积为（）．xe y =y A ．；B ．；10()xe ex dx -⎰1(ln ln )ey y y dy -⎰C ．； D ．．1()ex x e xe dx -⎰10(ln ln )y y y dy -⎰题号一二三四五六七八总分得分阅卷人得分阅卷人得分三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名………………….………….……答题不要超过密封线………….………………………………三、解下列各题（每小题6分，共12分）.1．计算.)lim x xx →+∞-2．计算．xx x x 1022lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+→四、解下列各题（每小题6分，共12分).1.已知，求．076333=--++y xy x y 2=x dxdy2. 设函数由参数方程所确定，求和.)(x y y =⎩⎨⎧+==tt t y t x sin cos sin ln dx dy22dx y d五、解下列各题（每小题6分，共18分).1. 计算．⎰++dx xx x 221)(arctan 2．计算.204ln(1)limx x t dt x→-⎰3. 计算.220cos x e xdx π⎰阅卷人阅卷人阅卷人得分阅卷人得分三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名………………….………….……答题不要超过密封线………….………………………………六、（本题10分）.设曲线上任意一点处的切线斜率为,且该曲线经过点，)(x f y =),(y x 2x x y +11,2⎛⎫⎪⎝⎭（1）求函数；)(x f y =（2）求曲线，,所围成的图形绕轴旋转所形成的旋转体的体积．)(x f y =0y =1x =x七、(本题10分).由半径为的圆上，割去一个扇形，把剩下的部分围成一个圆锥，试求割去扇形的中R 心角，使圆锥的容积为最大.S阅卷人得分三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名……………….………….……答题不要超过密封线………….………………………………参考答案一、填空题1.3；2.sin x e x -3.()2,0-4.1π5. 0二、单项选择题题号12345678910答案DCBCCCBCAA三、解下列各题1. 解：)lim x xx →+∞3分limx =. 6分12=2．．解：3分xx x x 1022lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+→()222202lim 12x xx x x x x x -⋅-→⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭.6分()02lim2x xx x e→-=1e e ==四、解下列各题1. 解：两边分别对求导，得x ，3分22333360dy dy dyy x y x dx dx dx+++-= 当时，，代入上式，得2x =1y =-. 6分23x dy dx==- 2..解： 3分dx dy dydt dx dt=sin sin cos cos sin t t t tt t-++=sin t t = . 6分22dxy d dy dtdx dt'=sin cos cos sin t t t t t +=2sin sin cos cos t t t tt+=五、解下列各题1.．解：⎰++dx x x x 221)(arctan ()222arctan 11x xdx dx x x =+++⎰⎰ 3分()()()22211arctan arctan 21d x x d x x +=++⎰⎰. 6分()()3211ln 1arctan 23x x C =+++2．.解： 3分204ln(1)limx x t dtx→-⎰()232ln 1lim4x x x x→-= .6分220lim 2x x x →-=12=-3..解：2分220cos xe xdx π⎰()22sin xe d x π=⎰222200sin 2sin xx e x e xdx ππ⎡⎤=-⎣⎦⎰()2202cos xe e d x ππ=+⎰2222002cos 4cos xx e e x e xdx πππ⎡⎤=+-⎣⎦⎰5分22024cos x e e xdx ππ=--⎰.6分∴22cos xe xdx π⎰()125e π=-三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名………………….………….……答题不要超过密封线………….………………………………六、解：(1)，即，且当时，， 2分2y y x x '=+2y y x x '-=1x =12y =与之对应的齐次线性微分方程的通解为，y Cx = 令，将其代入非齐次线性方程得，所以，()y u x x =u x '=212u x C =+所以非齐次线性微分方程的通解为，代入初始条件得，312y Cx x =+0C =故所求函数为. 6分312y x =(2) .10分23102x V dx π⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰28π=七、解：设留下的扇形的中心角为，圆锥的高为，底面半径为，则其容积为ϕh r V ，又，213V r h π=2rR πϕ=h =故 4分V =()02ϕπ<<6分3224RV π'=令得，0V '=ϕ=当时，时，，0ϕ<<0V '>2ϕπ<<0V'<因此为极大值点，又驻点唯一，从而也是最大值点. 8分ϕ=ϕ=即当割去扇形的中心角为时，圆锥的容积最大，2π. 10分3R 八、证明：方程在区间内有唯一实根.4013101xx dt t --=+⎰)1,0( 证明：令，()401311x f x x dt t =--+⎰则，()010f =-< ，()1401121f dt t =-+⎰0>由零点定理知，至少存在一点，使. 4分()0,1ξ∈()0f ξ=由，，()41301f x x'=->+()0,1x ∈知在内单调增加，()f x )1,0(所以方程在区间内有唯一实根. 8分4013101xx dt t --=+⎰)1,0(。

高数a大一期末考试题简单及答案

高数a大一期末考试题简单及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 极限的定义中，如果对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，则称函数f(x)当x趋近于a时的极限为L。

以下哪个选项不是极限的定义？A. 函数f(x)在某点a处的极限B. 函数f(x)在某点a的左极限C. 函数f(x)在某点a的右极限D. 函数f(x)在某点a处的连续性答案：D2. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = |x|答案：B3. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = x^4D. f(x) = |x|答案：B4. 以下哪个函数在x=0处不可导？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^4答案：B5. 以下哪个选项是正确的不定积分？A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫x^2 dx = x^3 + CC. ∫1/x dx = ln|x| + CD. ∫e^x dx = e^x + C答案：C6. 以下哪个选项是正确的定积分？A. ∫[0,1] x dx = 1/2B. ∫[0,1] x^2 dx = 1/3C. ∫[0,1] x^3 dx = 1/4D. ∫[0,1] x^4 dx = 1/5答案：B7. 以下哪个选项是正确的微分方程的通解？A. y' = 2y => y = Ce^(2x)B. y' = 3y => y = Ce^(3x)C. y' = 4y => y = Ce^(4x)D. y' = 5y => y = Ce^(5x)答案：A8. 以下哪个选项是正确的二阶导数？A. y = x^3, y'' = 6xB. y = x^2, y'' = 2C. y = x^4, y'' = 12x^2D. y = x^5, y'' = 20x^3答案：B9. 以下哪个选项是正确的洛必达法则的应用？A. ∫0/0 型不定式，分子分母同时乘以分母的导数B. ∫∞/∞ 型不定式，分子分母同时乘以分子的导数C. ∫0/0 型不定式，分子分母同时除以分子的导数D. ∫∞/∞ 型不定式，分子分母同时除以分母的导数答案：D10. 以下哪个选项是正确的泰勒级数展开？A. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...C. cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...D. ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是________。

《高等数学》期末考试A卷(附答案)

《高等数学》期末考试A卷（附答案）【编号】ZSWD2023B0089一、填空题（每小题2分，共20分）1．设是正整数，为非零实数，若20001lim ()x x x x，则 _________________，______________________。

【答案】120012001,2．设)(x f 的定义域是]1,0[，且102a ，则()()f x a f x a 的定义域是____________________________ .【答案】1[,]a a3．2211sin()lim x x x x ______________________。

【答案】04．设1111010,(),x x x x e e x f x e e x，0 x 是)(x f 的___________间断点. 【答案】跳跃5．设24cos y x ，则dy ________________________. 【答案】3448sin cos x x x dx6．203sin limxx t dt x _________________________________.【答案】137．函数2412()()x f x x的渐近线有______________________________.【答案】20,x y8．函数()x f x x e 的单调递增区间为____________________________.【答案】(,0)9．若 C x dx xx f sin )(ln '，则 )(x f .【答案】C e x )sin( 10.[()()]aaf x f x dx ______________________________________.【答案】0二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．若下列极限存在，则成立的是( ) .A. 0()()lim '()x f a x f a f a x B. 0000()()lim '() x f x f x x f x xC. 0(12)(1)lim '(1)t f t f f tD. 4(8)(4)lim '(4)4x f x f f x【答案】B2．当0 x 时，与x 等价的无穷小量是( )A. x x 1sinsin B. xx sin C. x x 22 D. )1ln(x【答案】D3．当0x x 时，0'()f x ，当0x x 时，0'()f x ，则0x 必定是函数()f x 的（）A. 驻点B. 最大值点C.极小值点D. 以上都不对【答案】D4．设'()f x 存在且连续，则()'df x （）A. ()f xB. '()f xC. '()f x cD. ()f x c 【答案】B 5．设4()2xx f t dt，则40 f dx （）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】A三、计算下列各题（每小题5分，共35分）1. 求极限)sin 11(cot lim 0xx x x解: )sin 11(cot lim 0x x x x xx x xx x tan sin sin lim 030sin lim x xx x （0 x 时x sin ～x ，x tan ～x ）2031cos lim x x x 616sin lim 0 x x x2. 设3sin 2,0()9arctan 2(1),0xx ae x f x x b x x ，确定,a b 的值，使函数在0 x 处可导。

21-22(上)高数A(一)试卷A

试卷第 1 页共 2 页XX 学院期末考试试卷（A ）卷2021 ——2022 学年第一学期课程名称：高等数学A(一) 适用年级/专业： 2021级/新工科试卷类别开卷（）闭卷（√）学历层次本科考试用时 120分钟《考生注意：答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一、填空题（每小题3分，共15分）1、12lim 121n n n +→∞⎛⎫+= ⎪+⎝⎭ ．2、设21sin ,0(),0x x f x xa x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(),-∞+∞内连续，则a =________ ． 3、设)(x f y =在x a =处连续，且()lim 1x a f x x a→=-，则()f a '=________ ． 4、设x y xe =，则()n y = ．5、设函数()()()()()1234f x x x x x =----，则方程()0f x '=在[1,4]上有个实根．二、选择题（每小题3分，共15分）1. 当0x → 时，无穷小21x e -是x 的无穷小．A 、高阶B 、低阶C 、等价D 、同阶但不等价2、设21()cos f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则0x =是)(x f 的。

A 、可去间断点 B 、跳跃间断点 C 、第二类间断点 D 、连续点3、设函数()f x 可导，则当x 在2x =处有微小增量x ∆时，函数的增量约为．A 、()2f 'B 、2lim ()x f x →C 、(2)f x +∆D 、(2)f x '∆4、设函数()y y x =由参数方程()22,ln 1x t t y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩确定，则曲线()y y x =在3x =处的法线与x 轴第 2 页共 2 页交点的横坐标是（）．A 、 1ln 238+B 、 1ln 238-+ C 、 8ln 23-+ D 、8ln 23+ 5、已知()()112ln f x x x '=+，且()11f =，则()f x 等于( )． A 、()ln 12ln 1x ++B 、()1ln 12ln 12x ++C 、()11ln 12ln 22x ++ D 、()2ln 12ln 1x ++三、计算题（每小题8分，共48分）1.求下列极限：（1）()011lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪ ⎪+⎝⎭；（2）sin 0lim x x x +→.2.设()f x 可导，求函数22(sin )(cos )y f xf x =+的导数dy dx . 3.求曲线22331x y +=在点⎝⎭处的切线方程. 4.求函数()cos x f x e x =在区间[]0,2π上的极值.5.求不定积分x .6.求不定积分d 1cos 2x x x+⎰. 四、应用题（14分）如右图，铁路上 AB 段的距离为100km , 工厂C 距 A 处20km ,AC ⊥ AB ,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条公路, 已知铁路与公路每公里货运价之比货物从B 运到工厂C 的运费最省,问D 点应如何选五、证明题（8分）求证：当02x <<π时，有2sin x x x <<π.。

高等数学a试卷及答案

高等数学a试卷及答案【篇一：《高等数学a(上)》试题答案(b卷)2013】class=txt>科目：《高等数学a（上）》试题(b卷)学院：专业班级：姓名：学号：阅卷教师： 2013年月日考试说明：本课程为闭卷考试，可携带。

一、选择题（每题3分，共15分）（选择正确答案的编号，填在各题前的括号内）1.设f(x)?xsinx，则f(x)在(??,??)内为（ b）． a．周期函数 b．偶函数 c．单调函数 d．有界函数 2、下列正确的是（d ）a．极大值一定大于极小值b. 拐点是函数单调性转变的点 c. 最值一定是极值 d. 拐点是凹凸性的转变的点 3、下列各式中，正确的是（ d ）1xa.lim(1?)?e x?0?xb.lim(1?x?01x)xec.lim(1?)x??ex??1x1d.lim(1?)x?e?1 x??x4、关于函数连续的说法中，哪一个正确d a．函数f(x)在点x?x0处有定义，则在该点连续； b．若limf(x)存在，则函数f(x)在x0处连续；x?x0c．若f(x)在x?x0处有定义，且limf(x)存在，则函数在x0处连续； x?x0d．若f(x0?0)?f(x0?0)?f(x0)，则函数在x0处连续。

5、若?f(x)dx?f(x)?c，则?f(sinx)cosxdx=（ a ） a . f(sinx)?cb. ?f(sinx)?cc. xf(sinx)?cd. f(sinx)sinx?c二、填空题（每题3分，共15分）1. 设曲线方程为y?x2?sinx，该曲线在点(0,0)处的切线方程__y=-x_________1sinxdx=___0______ 2．??11?x2sinx____0___ 3． limx??xx4. 函数f(x)?x?2的斜渐近线方程为___ y=x ___ x?15．函数xy?1在点（1,1）处的曲率为___ 2_____.三、计算题（每题8分，共56分）1求极限：lim(x?0x?1?1sinxx?1?11)lim1x?0x2xx(x?1?1)22.设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?100),求f?(0).limx?0f(x)?f(0)x(x?1（)x?2)?(x?100)lim100! x0x0x1x3. 已知y?x,求dy.dy?d(x)?d(e1xlnxx)?elnxx1lnx1?lnx?d()?xx?dx 2xx4.5.112tdtdt?2?2arctant?c?c 22?1?tt1?tx0cos2xdx 111x120cos2xdx0xsecxdxxtanx00tanxdxtan1lncosx0tan1lncos1.6. 求由曲线y?x2与y?2x围成的平面图形的面积。

数学分析A试卷参考答案(高数)

数学分析考试题学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共七道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！一、单项选择题（每小题2分，满分10分） 1．当0x →时，函数211sin x x是（ D ）．（A ）无穷小（B ）无穷大（C ）有界但不是无穷小 D ）无界的，但不是无穷大 2．设()f x 在x a =的某个邻域内有定义，则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是（D ）（A ）1lim [()()]h h f a f a h →+∞+-存在；（B ）0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在；（C ）0()()lim 2h f a h f a h h →+--存在；（D ）0()()lim h f a f a h h→--存在；3．下列说法中与lim n n x a →∞=定义等价的说法是（A ）．（A ）(0,1),,,100;n N n N x a εε∀∈∃∀≥-< （B ）1,,,;n N n N x a εε∀>∃∀>-< （C ）,0,,;n N n N x a εε∀∃>∀>-< （D ）,0,,;n N n N x a εε∃∀>∀>-<cos sin 22()(1)()222()(1)()22( D )x t t t y t tA y xB y xC y xD y xπππππππ=⎧=⎨=⎩=+=+=-=-4.曲线在处的切线方程为．．．．答 5．设数列,n n x y 满足lim 0n n n x y →∞=，下列结论正确的是（D ）．（A ）若n x 收敛，则n y 必发散；. （B ）若n x 无界，则n y 必有界；（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小；（D ）若1nx 为无穷小，则n y 必为无穷小；二、填空题（每小题2分，满分10分）6．设1(0)2f '=，则332lim (0)n n ff n →∞⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1 ． 7．设(1)(2)()()(1)(2)()x x x n f x x x x n ---=+++，则(1)f '= 11(1)(1)n n n --+.8．极坐标方程(1cos )a ρθ=+在(,)2a π点处的切线的直角坐标方程为y x a =+.9．若212lim 1,11x ax x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭则a 4 ． 10．设(),0,,0x xe e xf x xk x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续,则k 2 .三、求下列极限（每小题5分，满分25分）11.求)lim .x xx →-∞解:)1lim limlim.2x x x xx →-∞→-∞===-12.求1402sin lim 1x x xe x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭解: 14144002sin (2)sin lim lim 01111x x xx x x x e x e e x x x e e ++-→→-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭； 1402sin lim 2111x x x e x x e -→⎛⎫+ ⎪+=-= ⎪- ⎪+⎝⎭，所以1402sin lim 1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭=1. 13.求tan sin x x x →解:3sin tan sin tan sin 3300011tan sin 2lim lim 244xx xxxx x x x x e e x xx x -→→→→--====。

上海理工大学高数试卷_A1_1

五. （6 分）计算 I n 六. （8 分）设
0 x n e x dx .

xeห้องสมุดไป่ตู้ x , f x 1 , 4 x2
2
x0 2 x0
, 计算1 f x 3dx .
4
七. （8 分）求由抛物线 y 2 x , y x 围成的平面图形的面积，以及此图形绕 x 轴旋转而成
2 2
的立体体积. 八. （6 分）若 f x 在 a, b 上连续，在 a, b 内可导，且 f a f b 0 ，求证：存在一点 x0 a, b ，使 f x0 f x0 0 .
2
8. 设
f x x a x , x 在x a 处连续，求f a .
x0
,
f x x 二. （8 分）设 f x 在 , 有连续的二阶导数， f 0 0, g x f 0
上海理工大学
第一学期《高等数学 A》试卷-1
编号一二三四五六七八
姓名
得分阅卷人一. 计算下列各题.（48 分） 1. lim (csc x ).
x0
学号
班级
任课教师
装订线外不要答题，装订线内不要写姓名、学号、班级、任课老师，违者试卷按
0
1 x
2. .
y ln( x 1 x 2 ) ,求 y 和 y .
y 1 xe y ，求
dy . dx
3.
4.
2
1
x
1 3 x dx .

2

高等数学a试卷及答案

高等数学a试卷及答案【篇一：《高等数学a(上)》试题答案(b卷)2013】class=txt>科目：《高等数学a（上）》试题(b卷)学院：专业班级：姓名：学号：阅卷教师： 2013年月日考试说明：本课程为闭卷考试，可携带。

一、选择题（每题3分，共15分）（选择正确答案的编号，填在各题前的括号内）1.设f(x)?xsinx，则f(x)在(??,??)内为（ b）． a．周期函数 b．偶函数 c．单调函数 d．有界函数 2、下列正确的是（d ）a．极大值一定大于极小值b. 拐点是函数单调性转变的点 c. 最值一定是极值 d. 拐点是凹凸性的转变的点 3、下列各式中，正确的是（ d ）1xa.lim(1?)?e x?0?xb.lim(1?x?01x)xec.lim(1?)x??ex??1x1d.lim(1?)x?e?1 x??x4、关于函数连续的说法中，哪一个正确d a．函数f(x)在点x?x0处有定义，则在该点连续； b．若limf(x)存在，则函数f(x)在x0处连续；x?x0c．若f(x)在x?x0处有定义，且limf(x)存在，则函数在x0处连续； x?x0d．若f(x0?0)?f(x0?0)?f(x0)，则函数在x0处连续。

5、若?f(x)dx?f(x)?c，则?f(sinx)cosxdx=（ a ） a . f(sinx)?cb. ?f(sinx)?cc. xf(sinx)?cd. f(sinx)sinx?c二、填空题（每题3分，共15分）1. 设曲线方程为y?x2?sinx，该曲线在点(0,0)处的切线方程__y=-x_________1sinxdx=___0______ 2．??11?x2sinx____0___ 3． limx??xx4. 函数f(x)?x?2的斜渐近线方程为___ y=x ___ x?15．函数xy?1在点（1,1）处的曲率为___ 2_____.三、计算题（每题8分，共56分）1求极限：lim(x?0x?1?1sinxx?1?11)lim1x?0x2xx(x?1?1)22.设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?100),求f?(0).limx?0f(x)?f(0)x(x?1（)x?2)?(x?100)lim100! x0x0x1x3. 已知y?x,求dy.dy?d(x)?d(e1xlnxx)?elnxx1lnx1?lnx?d()?xx?dx 2xx4.5.112tdtdt?2?2arctant?c?c 22?1?tt1?tx0cos2xdx 111x120cos2xdx0xsecxdxxtanx00tanxdxtan1lncosx0tan1lncos1.6. 求由曲线y?x2与y?2x围成的平面图形的面积。

南林高数a2期末试题及答案

南林高数a2期末试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x) = x^2 + 3x + 2，则f'(x)等于（）。

A. 2x + 3B. 2x + 6C. x^2 + 3D. x^2 + 3x答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为（）。

A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 设函数f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则f(g(x))等于（）。

A. e^(ln(x))B. ln(e^x)C. xD. e^x * ln(x)答案：A4. 曲线y = x^3 - 3x + 2在点(1, 0)处的切线斜率为（）。

A. 0B. 3C. -2D. 1答案：B5. 已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 = 2an + 1，求a3的值。

A. 5B. 9C. 17D. 33答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，则f'(x) = ________。

答案：3x^2 - 12x + 117. 设函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x) = ________。

答案：cos(x) - sin(x)8. 若数列{an}是等比数列，且a1 = 2，q = 3，则a5 = ________。

答案：4869. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x) = ________。

答案：1/x10. 曲线y = x^2 + 4x + 4在x = 2处的切线方程为y = ________。

答案：8x三、解答题（每题10分，共60分）11. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1的极值点。

答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，令f'(x) = 0，解得x =1/3 或 x = 2。

检查二阶导数f''(x) = 6x - 6，当x = 1/3时，f''(x) < 0，此时为极大值点；当x = 2时，f''(x) > 0，此时为极小值点。

高数下册期末a卷考试题及答案

高数下册期末a卷考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数是（）。

A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^3-3D. x^3+3x答案：A2. 曲线y=x^2+2x+1在点(1,4)处的切线斜率是（）。

A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B3. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。

A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B4. 函数f(x)=e^x的不定积分是（）。

A. e^x + CB. e^(-x) + CC. ln(e^x) + CD. x^e + C答案：A5. 微分方程dy/dx = y/x的通解是（）。

A. y = CxB. y = Cx^2C. y = C/xD. y = Cx^(-1)答案：C6. 函数f(x)=ln(x)的二阶导数是（）。

A. 1/x^2B. -1/x^2C. 1/xD. -1/x答案：A7. 函数f(x)=x^2-4x+4的极值点是（）。

A. x=2B. x=-2C. x=0D. x=4答案：A8. 函数f(x)=x^3-3x+1的拐点是（）。

A. x=1B. x=-1C. x=0D. x=2答案：A9. 函数f(x)=x^2+2x+1的最小值是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B10. 函数f(x)=x^3的泰勒展开式在x=0处的前三项是（）。

A. 1+3x+3x^2B. 1+x+x^2C. 1+3x+3x^3D. 1+x+x^3答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^4-4x^2+4的极小值点是x=______。

答案：±√22. 函数f(x)=x^2-6x+8的零点是x=______。

答案：2和43. 函数f(x)=e^x的不定积分是______。

答案：e^x + C4. 函数f(x)=x^3的二阶导数是______。

答案：6x5. 函数f(x)=ln(x)的不定积分是______。

高数考试A卷题目及答案

2013级光学、电信、电信实验班、电气、计算机、网络工程、物联网、核电《高等数学A 》期末考试试卷（A 卷、闭卷）一、判断题（每小题2分，共10分）1、0xy =是指数函数. ( ) 2、左右导数处处存在的函数, 一定处处可导. ( ) 3、闭区间上的连续函数一定存在最大值与最小值. ( )4、1211d 0x x -=⎰. ( )5、函数x y ln =在其定义域内是凸函数. ( ) 二、填空（每小题2分，共20分）1、已知函数xxx f +=12)(,则复合函数[()]f f x = ; 2、极限01limln(1)sin()x x x→+⋅= ;3、函数()f x 在点0x 可导是函数()f x 在点0x 可微的条件，函数()f x 在点0x 连续是函数()f x 在点0x 可导的条件;4、设()y y x =是由方程0)ln(sin =+-y x xy 所确定的隐函数，则=dxdy;5、函数y 的拐点是 ;6、d(sec )x ⎰= ; 7、12[()()]bak f x k g x dx +=⎰;8、递推公式(1)n Γ+= ; 9、曲线sin xy x=的渐近线方程为 ; 10、1122sin d x x ππ-⎰= .三、选择题（每小题2分，共10分）1.下列命题正确的是( )（A ）因为数列}{a n 有界，所以数列}{a n 有极限；（B ）因为数列}{a n 单增，所以数列}{a n 无极限（C ）因为数列}{a n 单减，所以数列}{a n 有极限（D ）因为数列}{a n 单增有上界，所以数列}{a n 有极限 2.设函数x e y -=,则=)(n y ( )（A ）xe （B ）x n e --)1( （C ）x n e ---1)1( （D ）xe-3.函数x x y +=2在区间]1,0[上应用拉格朗日中值定理，则中值定理中的=ξ( )（A ）21 （B ）25（C ）1 （D ）2 4.设⎰+=,)()(C x F dx x f 则⎰=+dx b ax f )(( )（A ）C b ax F ++)( （B ）C b ax F a++)(1（C ）C x aF +)( （D ）C b ax aF ++)( 5.⎰='xadt t f )2(( )（A ）)]2()2([2a f x f - （B ）)2()2(a f x f -（C ）)]2()2([21a f x f - （D ）)]()([2a f x f - 四、计算题（共50分） 1、求下列极限：（每小题4分，共16分）（1）30tan sin lim arcsin x x x x →- （2）1lim 1xx x x →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭（3）332132lim 1x x x x x x →-+--+ （4）()22220limxt x x t e dt e dt→∞⎰⎰2. 计算下列导数或微分：（每小题4分，共12分）（1）ye xy e +=，求(0)y ' （2）设()()()xf t y tf t f t '=⎧⎨'=-⎩，且()0f t ''≠,求22d ydx（3）22cos()xy x y =，求dy 3. 计算下列积分：（每小题4分，共16分）（1）3cos xdx ⎰ （2）221(1)(1)x dx x x ++-⎰（3）1⎰（4）32031(1)dx x -⎰4、求曲线22y x =和4y x =-所围成的图形的面积。

《高等数学》考试试卷A卷及答案解析

《高等数学》考试试卷A 卷及答案解析一．填空题（共24分，每小题3分）1．设函数x y z =，则__________________________=dz .2．方程333z e xyz e -=确定()y x z z ,=，则__________________=∂∂x z. 3. 曲线t t x sin -=，t y cos 1-=，2sin 2tz =在π=t 处切线方程为_________________________________________.4. 函数2u x y z =+在点(2,1,0)M 处最大的方向导数为__________________.5. 交换二次积分222(,)y y I dy f x y dx =⎰⎰的积分次序，得__________________=I .6.设平面曲线)10(:2≤≤=x x y L ，则曲线积分__________________=⎰ds x L.7. 幂级数∑∞=12n n n x n的收敛域是 ________________________.8. 微分方程022=+'-''y y y 的通解为___________________________.二、选择题（共12分，每小题3分）1. 设曲面2232y x z +=在点)5 , 1 , 1(M 处的切平面方程为064=+-+λz y x ，则λ=（）.(A) 15- (B) 0 (C) 5- (D) 52. 函数),(y x f 在点),(y x 处可微是函数),(y x f 在该点处存在偏导数的（）. (A) 必要条件 (B) 充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件3. 设曲线L 是单位圆周122=+y x 按逆时针方向，则下列曲线积分不等于零的是（）.(A) ds y L⎰ (B) ds x L⎰ (C) dx y xdy L⎰+ (D) ⎰+-L y x ydxxdy 224. 下列级数中收敛的是（）.(A) ∑∞=122n n n (B) ∑∞=+12n n n(C) ∑∞=+1)2121(n n n (D) ∑∞=133n n n三、解答题：(共59分)1.（7分）求二元函数()3132,23---=y x xy y x f 的极值. 2. （7分）设函数2,x z f x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中()v u f ,具有二阶连续偏导数，求yx zx z ∂∂∂∂∂2 , .3．（7分）计算二重积分dxdy xy D⎰⎰2，其中D 是由圆周422=+y x 与y 轴所围成的右半区域.4．（7分）将函数())1ln(x x f +=展成1-x 的幂级数，并写出可展区间5．（7分）计算曲面积分(2)I xy x y z dS ∑=+++⎰⎰，其中∑为平面1x y z ++=在第一卦限中的部分.6. （8分）求微分方程x xe y y y 223=+'-''的通解.7．（8分）计算曲线积分()()y d y xy dx yx x I L⎰+-+-=2322其中L 为曲线22x x y -=从)0,2(A 到)0,0(O 的弧段.8．（8分）利用高斯公式计算曲面积分()()d xdy x z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-+++=33332,其中∑为由上半球面224y x z --=与锥面22y x z +=围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.四．（5分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数, 且()()f x f x α'<, 其中01α<<. 任取实数0a , 定义1ln (),1,2,3n n a f a n -==.证明：级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.《高等数学》考试试卷A 卷答案一、填空题（共24分，每小题3分） 1. dy xy ydx y dz x x 1ln -+= 2. 3z z yzx e xy ∂=∂- 3.2022-=-=-z y x π4.5. 2(,)xI dx f x y dy =⎰⎰6.()11127. )21, 21[- 8. )sin cos (21x c x c e y x +=二、选择题（共12分，每小题3分） 1. C 2. B 3. D 4. D 三、解答题（共64分） 1. （7分）解：令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=022022y x f x y f yx 得驻点⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==22y x 2 分 x f xx 2-=，2=xy f ，2-=yy f 4 分在（0，0）处， 2 , 2 , 0-===C B A04 2<-=-B AC ， ∴（0，0）为非极值点. 5 分在（2，2）处 2 , 2 , 04-==<-=C B A04 2>=-B AC ∴ 1)2 , 2(=f 为函数),(y x f 的极大值. 7 分2.（7分）解：2121f xy f yx z '+'=∂∂ 3分)21(212f xy f yy y x z '+'∂∂=∂∂∂ ])([ 22])([11222212221221112x f yx f xy f x x f y x f y f y ''+-''+'+''+-''+'-= 223122113212221f y x f y x f yx f x f y ''+''-''-'+'-= 7 分3. （7分）解：⎰⎰⎰⎰--=224 0222y Dxdx dy y dxdy xy3分⎰--=2 2 22)4(21dy y y 5 分 1564)4(2 0 42=-=⎰dy y y 7 分4. （7分）解：1(1)ln(1)1n n n x x n ∞+=-+=+∑ 11≤<-x 1 分)211ln(2ln )]1(2ln[)1ln(-++=⋅-+=+x x x 3分10)21(1)1(2ln +∞=∑-+-+=n n n x n∑∞=++-+-+=011)1(2)1()1(2ln n n n nx n 6分 1211≤-<-x ⇒ 31≤<-x 7分5.（7分）解：:1z x y ∑=--dS ∴== 2分(2DI xy ∴=+⎰⎰4分1102xDdx xydy dxdy -=+⎰5分()13202xx x dx =-++6分12=7分6.（8分）解（1）先求微分方程023=+'-''y y y 的通解Y特征方程 0232=+-r r 即 0)1)(2(=--r r ，21=r ，12=rx x e c e c Y 221+= 3 分（2）求原方程的一个特解*y 2 =λ 是特征方程的根，故设 x x e bx ax e b ax x y 222)()(+=+=*5分令bx ax x Q +=2)(，则b ax x Q +='2)(，a x Q 2)(=''将)(x Q '，)(x Q ''代入方程x x Q p x Q ='++'')()2()(λ 得 x b ax a =++22则 ⎩⎨⎧=+=1212b a a ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧==021b a ， x xe y 221=*7 分所求通解 x x x xe e c e c y 222121++= 8 分7.（8分）解：⎰++-+-OAL dy y xy dx yx x )2()(322dxdy x y dxdy y Px Q DD)()(22⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂= 3 分 ⎰⎰⋅=θd ρd cos 2 0220 ρρθπ5 分⎰==20 443cos 4ππθθd 6 分dy y xy dx yx x I OA ⎰+-+--=)2()(43322π 7 分2434320-=-=⎰ππxdx 8 分8. （8分）解：由高斯公式dV z y x I )333(222⎰⎰⎰Ω++= 3 分2244 03 sin d d r dr ππθφφ=⎰⎰⎰ 6 分192(152π=- 8 分9.（5分）解：对任意设2n ≥,由拉格朗日中值定理，有111212121'()ln ()ln (),()n n n n n n n n n n f a a f a f a a a a a f ξαξ----------=-=-<-2 分其中1n ξ-介于1n a -与2n a -之间. 于是有11101,2,.n n n a a a a n α---<-=3分又级数1101n n a a α∞-=-∑收敛, 由比较审敛法知级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.5分。

(完整版)大一下学期高等数学期末考试试题及答案

高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】院（系）别班级学号姓名成绩大题一二三四五六七小题12345得分一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量、满足，，，则．a b0a b += 2a = 2b = a b ⋅= 2、设，则．ln()z x xy =32zx y ∂=∂∂3、曲面在点处的切平面方程为．229x y z ++=(1,2,4)4、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则的傅里叶级数()f x 2π[,)ππ-()f x x =()f x 在处收敛于，在处收敛于．3x =x π=5、设为连接与两点的直线段，则．L (1,0)(0,1)()Lx y ds +=⎰※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线在点处的切线及法平面方程．2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩0M (1,1,2)-2、求由曲面及所围成的立体体积．2222z x y =+226z x y =--3、判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？11(1)lnn n n n∞=+-∑4、设，其中具有二阶连续偏导数，求．(,sin x z f xy y y =+f 2,z zx x y∂∂∂∂∂5、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部．,dSz ∑⎰⎰∑2222x y z a ++=(0)z h h a =<<三、（本题满分9分）抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小22z x y =+1x y z ++=值．四、（本题满分10分）计算曲线积分，(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰其中为常数，为由点至原点的上半圆周．m L (,0)A a (0,0)O 22(0)x y ax a +=>五、（本题满分10分）求幂级数的收敛域及和函数．13nn n x n∞=⋅∑六、（本题满分10分）计算曲面积分，332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰其中为曲面的上侧．∑221(0)z x y z =--≥七、（本题满分6分）设为连续函数，，，其中是由曲面()f x (0)f a =222()[()]tF t z f xy z dv Ω=+++⎰⎰⎰t Ω与所围成的闭区域，求．z =z =30()lim t F t t+→-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；→→不得带走试卷。

中国矿业大学高数A1试题A卷参考答案

中国矿业大学2018-2019学年第 1学期《高等数学A （1）》试卷（A ）卷答案供参考一、填空题（每题4分，共20分）1．21lim →∞⎛⎫++=+n n 2 ．2．123lim 21x x x x +→∞+⎛⎫ ⎪+⎝⎭e ．3．设0(),0≠=⎨⎪=⎩x f x a x 在0x =处连续，则=a 12．4．设21sin ,0(),0⎧<⎪=⎨⎪≥⎩x x f x xx x ，则(0)-'f 0 ．5．设2sin =y x ，则d y 2s i n x s i n x ．二、单项选择题(每题只有一个正确答案。

每题4分，共20分)1．设0>a ，则当0→x 是x 的（ C ）无穷小．A.等价；B.2阶；C.3阶；D.4阶2．2设 ()f x 在0x 的某个邻域有定义，且在点0x 处间断，则在点0x 必间断的函数是（ D）．A. ()f x ；B. 2()f x ；C. ()sinf x x ； D. ()sin +f x x3．设21,0()0,0x f x x x ≠=⎪=⎩，则()f x 在点0x =处（ C ）．A. 极限不存在；B. 极限存在不连续;C. 连续但不可导；D. 可导.4．函数()f x 在1x =处可导的充分条件是（ B ）．A. 0(cos )(1)lim cos 1x f x f x →-- 存在； B. 0(1sin )(1)lim x f x f x →-- 存在；C. 220(1)(1)lim x f x f x →+- 存在；D. (1)f -' 与 +(1)f '存在．5．设 ,0()sin 2,0⎧<=⎨+≥⎩a x e x f xb x x 在0=x 处可导，则（ A ）．A. 2,1==a b ；B. 1,2==a b ；C. 2,1=-=a b ；D. 2,1==-a b ．三、计算题（每题9分，共54分）1．(9分) 计算极限0(1cos 2)lim tan sin →--x x x x x．解：0(1cos 2)lim tan sin →--x x x x x 201(2)2lim tan (1cos )→=-x x x x x 3022lim 12→=⋅x x x x 4= 2．(9分) 设函数1122()22x x f x +=-，指出其间断点并判断类型．解：()f x 的间断点为0,1==x x .因为 11022lim 122-→+=--xx x11110022122lim lim 122122++-→→-++⋅==--⋅x x x x x x 所以0=x 是()f x 的第一类间断点(跳跃间断点)；而 11122lim 22→+=∞-x x x故1=x 是()f x 的第二类间断点(无穷间断点).3．(9分) 设21arctan ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y f x ，其中()f x 可导，求'y ．解： 2211112arctanarctan 11⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=⋅⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+y f f x x x x 2211arctan arctan 1⎛⎫⎛⎫'=-⋅⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭f f x x x 4．(9分) 求曲线2cos cos ,sin x t t y t⎧=+⎨=⎩在对应于4t π=点处的法线方程.解：d cos d d d d d sin 2cos sin ==--y t y x t t x t t t当4t π=时，12'=+===x y y 法线斜率为111=-=k ，那么该点处的法线方程为11)()22-=-y x . 5．(8分)arctan 5yx e=，求d d x y. 解：方程两边取对数，有 221ln()ln 5arctan 2+=+y x y x，方程两边对y 求导，得2222d d 1d d 1⋅+-⋅=⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x x y x y y y x y x y x ，整理得d d -=+x x y y x y6．(8分) 设函数2156y x x =-+，求其n 阶导数()n y ．解：21115632==--+--y x x x x 那么()11(1)!(1)!(3)(2)++--=---n n n n n n n y x x 四、证明题（8分）设()f x 在[0,3]连续，且(0)(3)=f f ，证明：存在[0,2]ξ∈，使得()(1)ξξ=+f f ．证明：令 ()()(1),[0,2]=-+∈F x f x f x x显然 ()F x 在区间[0,2]上连续. 另外(0)(0)(1)=-F f f ，(1)(1)(2)=-F f f ，(2)(2)(3)=-F f f ，上面三式相加，有(0)(1)(2)(0)(3)0++=-=F F F f f ，由介值定理可知，存在[0,2]ξ∈，使得(0)(1)(2)()03ξ++==F F F F ，也就是 ()(1)ξξ=+f f ，[0,2]ξ∈。

高数下册期末a卷考试题及答案

高数下册期末a卷考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个函数不是周期函数？A. $ \sin(x) $B. $ \cos(x) $C. $ e^x $D. $ \tan(x) $答案：C2. 函数 $ f(x) = x^2 $ 在 $ x=1 $ 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C3. 以下哪个选项是 $ \int_0^1 x^2 dx $ 的正确计算结果？A. $ \frac{1}{3} $B. $ \frac{1}{2} $C. $ 1 $D. $ 2 $答案：A4. 以下哪个选项是 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ 的值？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B5. 以下哪个选项是 $ \int \frac{1}{x} dx $ 的原函数？A. $ \ln|x| + C $B. $ x + C $C. $ e^x + C $D. $ \sin x + C $答案：A6. 以下哪个选项是 $ \int e^x \cos x \, dx $ 的正确积分结果？A. $ \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C $B. $ \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) + C $C. $ \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) - C $D. $ \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) - C $答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 $ f(x) = \ln(x) $ 的定义域是 $ ______ $。

答案：$ (0, +\infty) $2. 函数 $ f(x) = \sqrt{x} $ 的导数是 $ ______ $。

高数(A卷)+答案+评分标准

武夷学院期末考试试卷（ 2012 级建设专业2012～2013 学年第一学期）课程名称高等数学 A 卷考试形式闭卷考核类型考试本试卷共四大题，卷面满分100分，答题时间120分钟。

一、选择题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分。

）(注:请将选项填在下面表格里。

）1、dx x)11(⎰-=A ．21x C x -+ B ．21x C x++ C ．ln ||x x C -+ D ．ln ||x x C ++ 2、以下函数奇偶性不同于其他三项的是（）A ．33)(x x x f +=；B ． )1)(1()(+-=x x x x f ；C ．35)(x x x f -=；D ． x x e e x f -+=)(。

3、若'F (x)=f(x),则⎰=)(x dF ( )A ．f(x)；B ．F(x)； C. f(x)+C ；D ．F(x)+C 。

4、3232lim x x x +∞→= ( )A ．∞；B ．0；C ．31； D ．-1。

5、设函数)(x f 在),(+∞-∞内二阶可导，且)()(x f x f -=如果当0>x 时，,0)('>x f 且,0)(">x f 则当0<x 时，曲线)(x f y =（）。

A ．递减，凸的； B.递减，凹的；C. 递增，凹的；D. 递增，凸的。

6、下列命题正确的是（）A. 驻点一定是极值点；B.驻点不是极值点；C. 驻点不一定是极值点；D. 驻点是函数的零点。

7、设22z x y xy =+，则zx ∂=∂A ．22xy y +B ．22x xy +C ．4xyD ．22x y +8、下面函数相同的一组是（） A.x y x y 2cos 1,sin -==； B. 2ln ,ln 2x y x y ==； C.x y x y lg 4,lg 4==； D.x x y y 23,3==。

海南大学高数A下试卷及答案

海南大学高数A下试卷及答案试卷题目一：函数的极限1.计算下列极限：(a)$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\sin x}{x}$(b)$\\lim_{x\\to\\infty}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^x$(c)$\\lim_{x\\to\\infty} \\frac{x+2}{x+3}$2.求函数$f(x)=\\frac{x^2+x-2}{x-1}$的极限，并说明极限存在的条件。

题目二：导数与微分1.求函数$f(x)=\\sqrt{x+1}$的导数。

2.求曲线y=y y在y=0处的切线方程。

题目三：积分1.计算定积分$\\int_{0}^{1}(3x^2-2x+1)dx$。

2.求曲线y=y2与y轴所围成的面积。

题目四：级数1.讨论级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{n^2}$的敛散性。

2.求级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n}$的和。

答案题目一：函数的极限(a)使用夹逼定理可知，$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\sin x}{x}=1$(b)根据自然对数的性质，$\\lim_{x\\to\\infty}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^x=e$(c)当$x\\to\\infty$时，$\\frac{x+2}{x+3}\\to1$1.当y yy1时，根据因式分解，$f(x)=\\frac{x^2+x-2}{x-1}=(x+2)$。

当y=1时，y(1)不存在。

所以存在极限的条件是y yy1。

题目二：导数与微分1.根据求导法则，$f'(x)=\\frac{1}{2\\sqrt{x+1}}$2.在y=0处，y=y y的斜率为1，所以切线方程为$y=1\\cdot x= x$题目三：积分1.根据积分的基本公式，$\\int_{0}^{1}(3x^2-2x+1)dx=\\left[x^3-x^2+x\\right]_{0}^{1}=1$2.曲线y=y2与y轴所围成的面积为$\\int_{0}^{1}x^2dx=\\left[\\frac{x^3}{3}\\right]_{0}^{1} =\\frac{1}{3}$题目四：级数1.根据比较判别法，级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{n^2}$收敛，因为$\\frac{1}{n^2}$与y-级数$\\frac{1}{n^p}$（其中y>1）同阶，且y=2>1。