三角函数恒等变换

三角函数恒等变换

一、三角函数的诱导公式

1、下列各角的终边与角α的终边的关系

2、六组诱导公式

注：诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式。记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限。其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。

二、两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式

2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 .

sin α=

2

2tan

21tan 2

α

α

+, cos α=

22

1tan 21tan 2

αα

-+ 3、形如asin α+bcos α的化简

asin α+bcos α22a b +α+β).其中cos β2

2

a b

+,sin β2

2

a b

+

三、简单的三角恒等变换 1、用cos α表示sin

2

2α,cos 22α,tan 22

α sin

22α

=

1cos 2α

-; cos 22α=1cos 2α+;

tan 22

α=1cos 1cos αα

-+ 注：上述三组公式从左到右起到一个扩角降幂的作用；从右到左起到一个缩角升幂的作用。

2、用cos α表示sin

2α,cos 2α,tan 2

α

sin

2α=1cos 2α

-± cos

2α=1cos 2

α+±

tan

2α= 3、用sin α,cos α表示tan

2

α

tan 2α=sin 1cos 1cos sin αααα

-=

+ 四、常用数据: 30456090、

、、的三角函数值

6sin15cos 754

-

==

,4

2615cos 75sin +==

3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +==

注: ⑴以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβ+-=+

2

21cos 1cos cos

,sin 2

222

α

ααα

+-=

=

等. 从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式.

⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备. ⑶三角函数恒等变形的基本策略。

①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2

θ=tanx ·cotx=tan45°等。 ②项的分拆与角的配凑。如分拆项：222222sin 2cos (sin cos )cos 1cos x x x x x x +=++=+; 配凑角(常用角变换):2()()ααβαβ=++-、2()()βαβαβ=+--、

2

2

αβ

αβ

α+-=

+

、2

2

αβ

αβ

β+-=

-

、()ααββ=+-等.

③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。

④化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

⑤引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=a

b

确定。 1、三角函数式的化简

※相关※

（1）2()k k Z απ+∈，α-，πα±，

2

πα±的三角函数值是化简的主要工具。使用

诱导公式前，要正确分析角的结构特点，然后确定使用的诱导公式；

（2）不能直接使用诱导公式的角通过适当的角的变换化为能使用诱导公式的角，如：

52()22

π

παπα+=++等。 注：若k πα+出现时，要分k 为奇数和偶数讨论。

（3）诱导公式的应用原则是：负化正，大化小，化到锐角为终了。特殊角能求值则求值；

（4）化简是一种不能指定答案的恒等变形，化简结果要尽可能使项数少、函数的种类少、次数低、能求出值的要求出值、无根式、无分式等。 ※例题解析※ 〖例〗化简：

sin()cos[(1)]

()sin[(1)]cos()

k k k Z k k παπαπαπα---∈+++

思路分析：化简时注意观察题设中的角出现了k π，需讨论k 是奇数还是偶数。

2、三角函数的求值 ※相关※

（1）六个诱导公式和同角三角函数的关系是求值的基础；

（2）已知一个角的三角函数值，求其他角三角函数值时，要注意对角化简，一般是把已知和所求同时化简，化为同一个角的三角函数，然后求值。 ※例题解析※

〖例〗已知cos()2sin()22ππ

αα+=-，求3sin ()cos()

575cos()3sin()22

πααπππαα-++-+-的值。

思路解析：化简已知条件→化简所求三角函数式，用已知表示→代入已知求解

3、诱导公式在三角形中的应用

〖例1〗在ΔABC 中，若sin(2π-A)=sin(π-β)cos(π-β)求ΔABC 的三角。

思路分析：本题首先利用诱导公式把所给两个等式化简，然后利用，求出cosA 的值，再利用A+B+C=π进行计算。

注：在ΔABC 中常用的变形结论有：

∵A+B+C=π，2A+2B+2C=2π，

2222

A B C π++=， ∴sin(A+B)=sin(π-C)=sinC; cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC; tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC; sin(2A+2B)=sin(2π-2C)=-sin2C; cos(2A+2B)= cos(2π-2C)=cos2C; tan(2A+2B)=tan(2π-2C)=-tan2C;

sin(

22A B +)=sin(22C π-)=cos 2C ; cos(22A B +)=cos(22C π-)=sin 2

C .

以上结论应在熟练应用的基础上加强记忆。

〖例2〗是否存在α∈（2π-

，2π），β∈（0，π），使等式sin(3π-αcos(2

π

-β),