第一节 集合的概念与运算-教师版

集合与常用逻辑用语

第一节集合的概念与运算

考纲

1．集合的含义与表示

(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．

(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．

2．集合间的基本关系

(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．

3．集合的基本运算

(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．

(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

(3)能使用Venn图表示集合的关系及运算．,

整知识

1．集合与元素

(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

(1)集合关系图解

真子集

集合相等

A＝B

(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集

合的真子集．

3．集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

悟方法

1．集合的运算性质

并集的性质：

交集的性质：

补集的性质：

2．判断集合关系的三种方法

(1)一一列举观察；

(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合关系；

(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．

3．数形结合思想

数轴和V enn图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题．

测基础

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)．()

(2)．()

(3)在集合中，可用符号表示为．()

(4)N⊆N A AA⊆Z.()

(5)若，则A＝B＝C．()

答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×

2．已知集合，则( )

解析： 解

答案： B

3．(2015·山东卷)已知集合

，则＝( )

解析： 由已知可得集合A ＝{x |1

4．(2015·湖南卷)已知集合则

＝________.

解析：

答案：

5．已知集合若

，则

＝________.

解析： 由

知 log2n ＝m n ＝1，或log2n ＝1，n ＝m ， ∴n ＝1m ＝0，或n ＝2.m ＝2， 答案： -1或0

考向

1. 集合的基本概念

1．设集合A ＝{-1,0,2}，集合B ＝{-x |x ∈A 且2-x ∉A }，则B ＝( ) A ．{1} B ．{-2} C ．{-1，-2} D ．{-1,0}

解析： 当x ＝-1时，2-x ＝3∉A ，此时-x ＝1∈B ， 当x ＝0时，2-0＝2∈A ， 当x ＝2时，2-2＝0∈A ， 所以B ＝{1}，故选A ． 答案： A

2．已知集合M ＝{1，m +2，m 2+4}，且5∈M ，则m 的值为( ) A ．1或-1 B ．1或3 C ．-1或3 D ．1，-1或3

解析： ∵5∈{1，m +2，m 2+4}，

∴m +2＝5或m 2+4＝5， 即m ＝3或m ＝±1.

当m ＝3时，M ＝{1,5,13}；当m ＝1时，M ＝{1,3,5}； ∴m 的值为3或1. 答案： B 3．已知集合，若A ＝ϕ，则实数a 的取值范围为________．

解析： ∵A ＝ϕ，

∴方程ax 2-3x +2＝0无实根， 当a ＝0时，x ＝32

不合题意， 当a ≠0时，Δ＝9-8a <0，∴a >89

. 答案： ，＋∞9

[归纳升华] 解决集合问题的一般思路

(1)研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．

(2)对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．

2. 集合间的基本关系

(1)已知集合A ＝{x |y ＝，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( )

(2)已知集合，若

，则实数m 的取值

范围为________． 解析

：

(1)

由

题

意

知

(2) ∴①若

，则

此时

②若B ≠ϕ，则2m －1≤5.m ＋1≥－2，

解得2≤m ≤3.

由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 答案： (1)B (2)(-∞，3] [跟踪训练]

1．已知M ＝{a ||a |≥2}，A ＝{a |(a -2)(a 2-3)＝0，a ∈M }，则集合A 的子集共有( )

A ．1个

B ．2个

C ．4个

D ．8个

解析： |a |≥2⇒a ≥2或a ≤-2.又a ∈M ，(a -2)(a 2-3)＝0⇒a ＝2或a ＝±(舍)，即A 中只有一个元素2，故A 的子集只有2个，选B ． 答案： B

2．设a ，b ∈R ，集合{1，a +b ，a }＝，b b

，则b -a ＝( ) A ．1 B ．-1 C ．2

D ．-2

解析： 因为{1，a +b ，a }＝，b b ，a ≠0，所以a +b ＝0，则a b

＝-1，所以a ＝-1，b ＝1.所以b -a ＝2.

答案： C

3. 集合的基本运算

(1)(2015·天津卷)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩∁U B ＝( )

A ．{2,5}

B ．{3,6}

C ．{2,5,6}

D ．{2,3,5,6,8}

(2)(2015·浙江卷)已知集合P ＝{x |x 2-2x ≥0}，Q ＝{x |1

解析： (1)由题意得∁U B ＝{2,5,8}， ∴A ∩∁U B ＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．

(2)由x 2-2x ≥0，得x ≤0或x ≥2，即P ＝{x |x ≤0或x ≥2}，所以∁R P ＝{x |0

1．(2015·安徽合肥模拟)已知全集U ＝R ，A ＝{x |x >1}，B ＝{x |x 2-2x >0}，则∁U (A ∪B )＝( ) A ．{x |x ≤2} B ．{x |x ≥1}

C ．{x |0≤x ≤1}

D ．{x |0≤x ≤2} 解析： 由x 2-2x >0得x >2或x <0， 即B ＝{x |x <0，或x >2}， ∴A ∪B ＝{x |x <0，或x >1}，