板壳理论 课件 chapter1 弹性薄板弯曲的基本理论汇总
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如果设 a ，则椭圆板就成为跨度为2b的平面 应变情形下的固支梁；如果设a=b，就可以得到 周边固支圆板的准确解答[习题] 。
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
▪ 求解步骤
（1）薄板的微分方程 （2）边界条件 （3）取满足边界条件挠度函数
M y
h 2 2w w yxzd2z
h 2
0
D(
xy2w2 0)
2w
x 2
➢
边界M 处xy 有M外yx 加h 弯2 xy矩zdzM D(1
w
0,
Mh x
2
M
(
x
0)
)
2w xy
w 0,
2w x 2
M D
( x 0)
(1.3.1) (1.3.2) (1.3.3)
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
如 图 1.4 所 示 ， 在 x=0 的边缘为简支边；y=0边 为 固 支 边 ； x=a 和 y=b 两 边为自由边。
图1.4 板的边界条件
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
▪ 简支边界
➢ 边界处没有外加弯矩
w Mx 0 ( x 0)
M x
h2
x zdz
h 2
D
2w x 2
2w
y 2
▪ 固支边界
w w 0 ( y 0) y
(1.3.4)
▪ 自由边界
➢ 边界上没有外载荷作用
M y M yx Qy 0 ( y b)
(1.3.5)
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
在薄板弯曲的近似理论中，可以将(1.3.5)中的 后两个条件合并为一个。
图1.5 边界上的扭矩
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
▪ 薄板弯曲理论的求解方法（位移解法）
几何方程
物理方程
平衡微分方程 （运动方程）
弹性薄板的 基本微分方程 （运动方程）
边界条件 （初始条件）
问题的解--板内各点位移
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
§1.3 边界条件
板的计算问题归结为寻求一个函数，这个函 数必须满足基本微分方程，此外在板的周边还应 该满足某些静力条件或运动条件，这就是所谓的 边界条件。
▪ 考虑任一边界（不一定是自由边界）上所受的扭矩Myx。 ▪ 在微段CD上：
内力Myxdx
▪ 在微段DE上：
内力
M
yx
M yx x
dx
dx
在C处有一集中力Myx
在D处有一反向集中力Myx
在D处有一集中力
M
yx
M yx x
在E处有一反向集中力M yx
dx
M yx x
dx
在D处作用由扭矩折算的横剪力
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
解：（1）薄板的微分方程
D 2 2 w
4w
D
x
4
2
4w x 2y 2
4w
y4
q
（2）边界条件 w w 0
n
（3）取满足边界条件挠度函数
其边界方程可以表示为
x2 a2
y2 b2
1
(1.4.1)
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
试取挠度函数的表达式为
w
m
x2 a2
边界条件 （初始条件）
问题的解--板内各点位移
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
§1.4 简单例题
薄板问题的求解就是寻求满足基本微分方程和相 应边界条件的挠曲函数。本节通过几个简单的例子 来展示薄板问题的求解过程。
例1 均布载荷作用 下周边固支的椭圆 板。如图1.6所示.
a
x
b
y
图1.6 周边固支的椭圆板
y2 b2
2
1
(1.4.2)
显然，上式满足在边界上w = 0的边界条件。
在边界上有 考虑到
w x
4mx a2
x2 a2
y2 b2
1
0
w y
4my b2
x2 a2
y2 b2
1
0
w w x w y n x n y n
(1.4.3) (1.4.4)
可见挠曲函数同样满足了在边界上 w 0的条件。
M yx
M yx x
dx
M yx
M yx x
dx
单位长度的横剪力 M yx
x
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
因此，可以认为在边界上任意一点处作用有一折算
剪力
Vy
wenku.baidu.com
Qy
M yx x
(1.3.6)
同时可以看到，此时在边界的两端有未被抵消的集
中剪力R
RAB
M yx
,
A
RBA M yx B
(1.3.7)
n
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
（4）确定挠度函数 将式(1.4.2)代入薄板的微分方程中，得
D
24m a4
16m a2b2
24m b4
q
(1.4.5)
由上式解得m后不难得到
w
q
x2 a2
y2 b2
2 1
8D
3 a4
2 a2b2
3 b4
(1.4.6)
上式即为本问题的精确解，这是因为式(1.4.6)满足
了基本微分方程和全部的边界条件。
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
（5）求解内力及应力分量
将(1.4.6)式代入(1.2.4)和(1.2.10)式，就可以得到 板的内力分量Mx，My，Mxy，Qx和Qy。
将内力分量代入(1.2.14)式，即可求得薄板的全 部应力分量及应变分量。[练习]
『注意』全部非零的应力分量为9个（x，y， z，xy＝yx，xz＝zx，yz＝zy），应变分量为3 个（ ex，ey，gxy)。
于是自由边上的边界条件可以表示为在y=b处：
M y 0,
Vy
Qy
M yx x
0
( y b)
(1.3.8)
后一边界条件表示总的分布剪力等于零，它将原有
的两个边界条件合而为一。
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
注意到(1.2.4)和(1.2.10)式，(1.3.8)可以改写为
2w y 2
2w x 2
0,
3w y 3
(2
)
3w x 2y
0
( y b)
(1.3.9)
在两条自由边的交点上，例如图1.4的B点处，有总 的集中反力
RB RBA RBC
M yx
B
M xy
B 2 Mxy
B
根据(1.2.4)式，上式又可写为
RB
2D1
2w xy
B
(1.3.10) (1.3.11)
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
➢ 固支边界 w w 0 y
( y 0)
➢ 简支边界
2w w x2 0 ( x 0)
➢ 自由边界
2w y 2
2w x 2
0,
3w y 3
(2
)
3w x 2y
0
( y b)
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
▪ 薄板弯曲理论的求解方法（位移解法）
几何方程
物理方程
平衡微分方程 （运动方程）
弹性薄板的 基本微分方程 （运动方程）
因此，如果B点没有支承对板施加此集中力，板
微分方程的解还需要满足角点条件,即在x=a, y=b
处 2w 0 xy
(1.3.12)
如果在B点处有支座可以对薄板施加反力，则有
下述角点条件,即在x=a, y=b处
w0
(1.3.13)
此时反力大小由(1.3.11)式给出。
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
▪ 边界条件
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
▪ 求解步骤
（1）薄板的微分方程 （2）边界条件 （3）取满足边界条件挠度函数
M y
h 2 2w w yxzd2z
h 2
0
D(
xy2w2 0)
2w
x 2
➢
边界M 处xy 有M外yx 加h 弯2 xy矩zdzM D(1
w
0,
Mh x
2
M
(
x
0)
)
2w xy
w 0,
2w x 2
M D
( x 0)
(1.3.1) (1.3.2) (1.3.3)
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
如 图 1.4 所 示 ， 在 x=0 的边缘为简支边；y=0边 为 固 支 边 ； x=a 和 y=b 两 边为自由边。
图1.4 板的边界条件
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
▪ 简支边界
➢ 边界处没有外加弯矩
w Mx 0 ( x 0)
M x
h2
x zdz
h 2
D
2w x 2
2w
y 2
▪ 固支边界
w w 0 ( y 0) y
(1.3.4)
▪ 自由边界
➢ 边界上没有外载荷作用
M y M yx Qy 0 ( y b)
(1.3.5)
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
在薄板弯曲的近似理论中，可以将(1.3.5)中的 后两个条件合并为一个。
图1.5 边界上的扭矩
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
▪ 薄板弯曲理论的求解方法（位移解法）
几何方程
物理方程
平衡微分方程 （运动方程）
弹性薄板的 基本微分方程 （运动方程）
边界条件 （初始条件）
问题的解--板内各点位移
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
§1.3 边界条件
板的计算问题归结为寻求一个函数，这个函 数必须满足基本微分方程，此外在板的周边还应 该满足某些静力条件或运动条件，这就是所谓的 边界条件。
▪ 考虑任一边界（不一定是自由边界）上所受的扭矩Myx。 ▪ 在微段CD上：
内力Myxdx
▪ 在微段DE上：
内力
M
yx
M yx x
dx
dx
在C处有一集中力Myx
在D处有一反向集中力Myx
在D处有一集中力
M
yx
M yx x
在E处有一反向集中力M yx
dx
M yx x
dx
在D处作用由扭矩折算的横剪力
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
解：（1）薄板的微分方程
D 2 2 w
4w
D
x
4
2
4w x 2y 2
4w
y4
q
（2）边界条件 w w 0
n
（3）取满足边界条件挠度函数
其边界方程可以表示为
x2 a2
y2 b2
1
(1.4.1)
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
试取挠度函数的表达式为
w
m
x2 a2
边界条件 （初始条件）
问题的解--板内各点位移
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
§1.4 简单例题
薄板问题的求解就是寻求满足基本微分方程和相 应边界条件的挠曲函数。本节通过几个简单的例子 来展示薄板问题的求解过程。
例1 均布载荷作用 下周边固支的椭圆 板。如图1.6所示.
a
x
b
y
图1.6 周边固支的椭圆板
y2 b2
2
1
(1.4.2)
显然，上式满足在边界上w = 0的边界条件。
在边界上有 考虑到
w x
4mx a2
x2 a2
y2 b2
1
0
w y
4my b2
x2 a2
y2 b2
1
0
w w x w y n x n y n
(1.4.3) (1.4.4)
可见挠曲函数同样满足了在边界上 w 0的条件。
M yx
M yx x
dx
M yx
M yx x
dx
单位长度的横剪力 M yx
x
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
因此，可以认为在边界上任意一点处作用有一折算
剪力
Vy
wenku.baidu.com
Qy
M yx x
(1.3.6)
同时可以看到，此时在边界的两端有未被抵消的集
中剪力R
RAB
M yx
,
A
RBA M yx B
(1.3.7)
n
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
（4）确定挠度函数 将式(1.4.2)代入薄板的微分方程中，得
D
24m a4
16m a2b2
24m b4
q
(1.4.5)
由上式解得m后不难得到
w
q
x2 a2
y2 b2
2 1
8D
3 a4
2 a2b2
3 b4
(1.4.6)
上式即为本问题的精确解，这是因为式(1.4.6)满足
了基本微分方程和全部的边界条件。
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
（5）求解内力及应力分量
将(1.4.6)式代入(1.2.4)和(1.2.10)式，就可以得到 板的内力分量Mx，My，Mxy，Qx和Qy。
将内力分量代入(1.2.14)式，即可求得薄板的全 部应力分量及应变分量。[练习]
『注意』全部非零的应力分量为9个（x，y， z，xy＝yx，xz＝zx，yz＝zy），应变分量为3 个（ ex，ey，gxy)。
于是自由边上的边界条件可以表示为在y=b处：
M y 0,
Vy
Qy
M yx x
0
( y b)
(1.3.8)
后一边界条件表示总的分布剪力等于零，它将原有
的两个边界条件合而为一。
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
注意到(1.2.4)和(1.2.10)式，(1.3.8)可以改写为
2w y 2
2w x 2
0,
3w y 3
(2
)
3w x 2y
0
( y b)
(1.3.9)
在两条自由边的交点上，例如图1.4的B点处，有总 的集中反力
RB RBA RBC
M yx
B
M xy
B 2 Mxy
B
根据(1.2.4)式，上式又可写为
RB
2D1
2w xy
B
(1.3.10) (1.3.11)
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
➢ 固支边界 w w 0 y
( y 0)
➢ 简支边界
2w w x2 0 ( x 0)
➢ 自由边界
2w y 2
2w x 2
0,
3w y 3
(2
)
3w x 2y
0
( y b)
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
▪ 薄板弯曲理论的求解方法（位移解法）
几何方程
物理方程
平衡微分方程 （运动方程）
弹性薄板的 基本微分方程 （运动方程）
因此，如果B点没有支承对板施加此集中力，板
微分方程的解还需要满足角点条件,即在x=a, y=b
处 2w 0 xy
(1.3.12)
如果在B点处有支座可以对薄板施加反力，则有
下述角点条件,即在x=a, y=b处
w0
(1.3.13)
此时反力大小由(1.3.11)式给出。
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
▪ 边界条件