线段树及其应用
线段树及其应用场景
线段树及其应用场景一、引言线段树（Segment Tree）是一种基于树状数组（Binary Indexed Tree）的数据结构，用于高效地处理区间查询问题。
它在许多算法和数据结构问题中都有广泛应用，如区间最值查询、区间修改和区间统计等。
二、线段树的定义和构建线段树是一种二叉树结构，每个节点代表一个区间。
叶子节点表示原始数据的单个元素，而非叶子节点则表示区间的合并结果。
线段树的构建过程可以通过递归或迭代的方式完成。
3、线段树的应用场景3.1 区间最值查询线段树的一个常见应用是区间最值查询。
给定一个数组，我们希望能够快速找到指定区间内的最大或最小值。
线段树能够在O(log n)的时间复杂度内完成单次查询，并且支持O(log n)的时间复杂度的区间修改操作。
3.2 区间修改线段树还可以用于区间修改问题。
例如，给定一个数组，我们需要对指定区间内的元素进行加法或乘法操作。
线段树可以在O(log n)的时间复杂度内完成单次修改，并且支持O(log n)的时间复杂度的区间查询操作。
3.3 区间统计线段树还可以用于区间统计问题。
例如，给定一个数组，我们需要统计指定区间内满足某种条件的元素个数。
线段树可以在O(log n)的时间复杂度内完成单次统计，并且支持O(log n)的时间复杂度的区间修改操作。
4、线段树的实现和优化4.1 线段树的存储结构线段树可以使用数组或链表来实现。
数组实现简单高效，但需要额外的空间；链表实现节省空间，但查询和修改操作的时间复杂度会增加。
4.2 线段树的查询和修改算法线段树的查询和修改算法可以通过递归或迭代的方式来实现。
递归实现简洁直观，但可能会导致函数调用过多；迭代实现效率较高，但代码复杂度较高。
4.3 线段树的优化技巧线段树的性能可以通过一些优化技巧来提升。
例如，使用延迟标记（Lazy T ag）来延迟区间修改操作的执行，减少递归或迭代次数；使用预处理技巧来提前计算一些中间结果，减少查询或修改的时间复杂度。
『zkw线段树及其简单运用』
『zkw 线段树及其简单运⽤』<更新提⽰><第⼀次更新>阅读本⽂前，请确保已经阅读并理解了如下两篇⽂章：<正⽂>引⼊这是⼀种由THU −zkw ⼤佬发明的数据结构，本质上是经典的线段树区间划分思想，采⽤了⾃底向上的⽅式传递区间信息，避免的递归结构，其代码相对经典线段树更简单，常数更⼩，易于实现。
统计的⼒量-源⾃。
基础⾮递归接下来，我们将讲解zkw 线段树的第⼀种实现形式，⽤于单点修改 区间查询，我们以查询区间最⼤值为例来讲解。
建树普通线段树需要建树，zkw 线段树当然也需要建树。
考虑线段树的⼀个性质，其树上的叶节点代表的往往都是形如[x ,x ]的元区间，⽽且除最后⼀层外，线段树是⼀颗满⼆叉树，所以我们要把这颗线段树的数组⼤⼩先申请好了。
⼀棵满⼆叉树有x 个节点时，它有x +12个叶⼦节点，⽽我们需要⾄少n 个叶⼦节点的线段树，即使x +12≥n ，那么我们设x =1，在x +12<n 时不断执⾏x ∗=2，就能得到⾜够⼤⼩的线段树下标base ，由于线段树的叶⼦节点可能分布在两层，所以保险起见，我们还需再将x 扩⼤⼀倍，即在x +1<n 时不断执⾏x ∗=2就可以了。
得到合适的下标位置后，将1−n 下标位置的原数据直接存⼊线段树的叶⼦节点即可。
其实，我们还需将下标再扩⼤两个位置，即需要保证x >n ，才停⽌执⾏x ∗=2。
其原因是这样的：在执⾏区间查询操作时，我们需要将查询区间[l ,r ]更改为(l ,r )(关于原因，我们之后再分析)，才便于zkw 线段树的查询，那么在询问[1,n ]时，可能为调⽤到[0,n +1]的原下标，所以还需再扩⼤两个位置。
得到了合适的下标base 并将1−n 的数据存⼊对应位置后，当然我们还要对1到base −1的线段树位置进⾏区间更新，这个普通的更新就可以了。
Code :单点修改直接在叶节点上修改对应的值，然后更新其每⼀个⽗节点即可。
线段树
对于线段树中的每个结点， 其表示一个区间，我们可以记录和这个区间相关 的一些信息（如最大值、最小值、和等） ，但要满足可二分性，即能直接由其子
结点的相关信息得到。 对于询问区间信息和修改区间信息的操作，线段树一般在能 O(log n) 的时间 内完成，而且常数相对较小（和后面的伸展树比较） ，算是一种高效实用的数据 结构。 （2）线段树的基本操作——查询区间信息 使用线段树的目的就是能高效地查找和修改区间信息， 下面先介绍第一个操 作——查询操作。 对于当前要查询的区间 a, b ，我们从线段树的根结点开始，如果当前结点 表示的区间被查询区间完全包含，那么更新结果，否则分别考察左右子结点，如 果查询区间与某个子结点有交集（也可能两个都有） ，那么就递归考察这个子结 点。代码框架如下1：
对于任意一个区间，会被划分成很多在线段树上存在的区间，可以证明，划 分出来的区间在线段树的每层最多有两个，又因为线段树的深度为 O(log n) ，因 此查询操作的时间复杂度为 O(log n) 。
（3）线段树的基本操作——修改区间信息 相对于查询区间信息，修改区间信息显得稍微复杂一些。
1
本文中的代码均使用 C++语言描述
（4）线段树特点总结 利用线段树， 我们可以高效地询问和修改一个数列中某个区间的信息，并且 代码也不算特别复杂。 但是线段树也是有一定的局限性的， 其中最明显的就是数列中数的个数必须 固定，即不能添加或删除数列中的数。对于这个问题，下面介绍的伸展树就可以 完美的解决。
(7,10]
(0,1] (1,2] (2,3] (3,5] (5,6]
(6,7] (7,8]
(8,10]
(3,4]
线段树ppt课件
•
else Count := 0; 连接处颜色相同并且
非底色，则总数减1
统计算法
最左边的颜色
• end • else if r – l > 1 then
最右边的颜色
• begin
最左颜色=最右颜色=本身
•
result := Count(p * 2, l,非(底l +色则r)统d计iv数加2,1 lc, tl) +
•
else if a >= m then Insert(p * 2 + 1, m, r, a, b, c)
•
else begin
•
Insert(p * 2, l, m, a, m, c);
•
Insert(p * 2 + 1, m, r, m, b, c);
•
end;
•
end;
• end;
• end;
示例
• 初始情况 0 0 0 0 0
• [1，2]
10000
• [3，5]
10110
• [4，6]
10111
• [5，6]
10111
4个1
缺点
• 此方法的时间复杂度决定于下标范围的平 方。
• 当下标范围很大时（[0,10000]），此方法 效率太低。
离散化的做法
• 基本思想：先把所有端点坐标从小到大排 序，将坐标值与其序号一一对应。这样便 可以将原先的坐标值转化为序号后，对其 应用前一种算法，再将最后结果转化回来 得解。
Wall
分析
• 这道题目是一个经典的模型。在这里，我 们略去某些处理的步骤，直接分析重点问 题，可以把题目抽象地描述如下：x轴上有 若干条线段，求线段覆盖的总长度。
线段树 区间最大值 模板
线段树区间最大值模板线段树是一种二叉树的数据结构，它被广泛应用于解决与区间相关的问题。
其中，区间最大值是线段树的一个常见应用。
在本文中，我将详细介绍线段树的概念和实现，并提供一个用于解决区间最大值问题的模板。
1. 线段树的概念线段树是一种将区间划分为多个子区间并以二叉树形式表示的数据结构。
每个节点代表一个区间，并保存该区间的一些属性，例如区间的最大值、最小值、总和等。
通过将区间逐层划分为子区间，线段树可以高效地处理区间操作。
2. 线段树的实现线段树的实现可以使用数组或链表。
在这里，我将使用数组来实现线段树。
2.1 初始化线段树首先，我们需要定义一个数组来表示线段树。
对于给定的区间，我们可以使用递归的方式将其划分为左右子区间，直到区间的长度为1。
然后，我们将每个区间的最大值保存在线段树的相应节点中。
2.2 更新线段树当某个区间的值发生改变时，我们需要更新线段树中相应的节点。
首先，我们找到包含要更新的值的叶子节点，并更新该节点的值。
然后，我们通过递归地向上更新父节点的值，直到根节点。
2.3 查询线段树查询线段树的最大值需要考虑两种情况。
如果查询的区间与当前节点的区间完全重叠，那么我们可以直接返回该节点保存的最大值。
否则，我们需要继续向下递归查询左右子节点，并返回两者中的最大值。
3. 线段树区间最大值的模板下面是一个用于解决区间最大值问题的线段树模板：```#include <iostream>#include <vector>#include <climits>using namespace std;// 定义线段树节点的数据结构struct SegmentTreeNode {int start;int end;int max_value;SegmentTreeNode* left;SegmentTreeNode* right;SegmentTreeNode(int s, int e) : start(s), end(e), max_value(INT_MIN),left(nullptr), right(nullptr) {}};// 构建线段树SegmentTreeNode* buildSegmentTree(vector<int>& nums, int start, int end) { if (start > end) return nullptr;SegmentTreeNode* root = new SegmentTreeNode(start, end);if (start == end) {root->max_value = nums[start];} else {int mid = start + (end - start) / 2;root->left = buildSegmentTree(nums, start, mid);root->right = buildSegmentTree(nums, mid + 1, end);root->max_value = max(root->left->max_value, root->right->max_value); }return root;}// 更新线段树中的值void updateSegmentTree(SegmentTreeNode* root, int index, int value) {if (!root) return;if (root->start == root->end) {root->max_value = value;} else {int mid = root->start + (root->end - root->start) / 2;if (index <= mid) {updateSegmentTree(root->left, index, value);} else {updateSegmentTree(root->right, index, value);}root->max_value = max(root->left->max_value, root->right->max_value);}}// 查询线段树中的最大值int querySegmentTree(SegmentTreeNode* root, int start, int end) {if (!root) return INT_MIN;if (root->start == start && root->end == end) {return root->max_value;} else {int mid = root->start + (root->end - root->start) / 2;if (end <= mid) {return querySegmentTree(root->left, start, end);} else if (start > mid) {return querySegmentTree(root->right, start, end);} else {return max(querySegmentTree(root->left, start, mid), querySegmentTree(root->right, mid + 1, end));}}}int main() {vector<int> nums = {1, 3, 5, 7, 9, 11};int n = nums.size();SegmentTreeNode* root = buildSegmentTree(nums, 0, n - 1);updateSegmentTree(root, 2, 10);int max_value = querySegmentTree(root, 1, 4);cout << "Max value in range [1, 4]: " << max_value << endl;return 0;}```这是一个完整的线段树模板，可以根据具体的问题进行修改和扩展。
线段树详解及例题
线段树详解及例题一、线段树的概念线段树（Segment Tree）是一种用于解决区间查询问题的数据结构，常用于静态区间查询和动态区间查询，也被称为区间树。
二、线段树的构建线段树是一棵二叉树，其每个节点都代表一个区间。
首先，我们将待处理的区间按照二叉树的方式进行划分，生成一棵满二叉树。
这里我们以求一段区间内元素的和为例：（1）首先，将整个区间 $[1,n]$ 分为两个部分，设左边区间为$[1,mid]$，右边区间为 $[mid+1,n]$。
这里的 $mid$ 是 $(1+n)/2$ 的值。
（2）然后，将左区间和右区间再分别划分成两个子区间并进行相加，直到区间大小为 1，构建出一棵完整的线段树。
三、线段树的维护构建好线段树之后，我们需要对其进行维护，以便能够快速地查询给定区间的值。
设线段树中某个节点代表区间 $[l,r]$，那么这个节点的值等于 $[l,r]$ 区间中所有元素的和。
如果需要对线段树进行更新，我们可以利用递归的方式向下更新每个节点的值。
当需要将 $[l,r]$ 区间中的某个元素修改为 $x$ 时，我们可以将其视为将线段树上区间 $[l,r]$ 的值都减去原来元素的值再加上 $x$。
四、线段树的查询线段树的查询包括单点查询和区间查询两种方式：（1）单点查询：即查询线段树中某个节点所代表的区间的值。
（2）区间查询：即查询线段树中 $[l,r]$ 区间内所有元素的和。
五、应用实例下面通过几道例题来说明线段树的应用。
问题一：给定一个序列，更新其中某个元素的值，并求出其区间和。
样例输入：8 1 3 -4 2 8 10 9 62 5 2样例输出：17问题二：对一个序列进行 $m$ 次操作，每次操作为在 $L$ 到 $R$ 的区间内加上 $c$，并输出最终改变后的序列。
样例输入：5 31 3 23 5 32 4 1样例输出：2 5 4 0 2以上就是关于线段树的详细介绍和几个应用示例，希望可以对读者有所帮助。
线段树的概念与应用
线段树的概念与应用线段树（Segment Tree）是一种用于解决区间查询问题的数据结构。
它可以高效地支持以下两种操作：区间修改和区间查询。
线段树的应用非常广泛，在离线查询、区间统计、区间更新等问题中有着重要的作用。
一、概念线段树是一颗二叉树，其中每个节点代表了一个区间。
根节点表示整个待查询区间，而叶子节点表示的是单个元素。
每个内部节点包含了其子节点所代表区间的并集。
二、构建线段树线段树的构建过程是自底向上的。
将待查询数组划分成一颗满二叉树，并将每个区间的和存储在相应的节点中。
对于叶子节点，直接存储对应元素的值。
而非叶子节点的值可以通过其子节点的值计算得到。
三、线段树的查询对于区间查询操作，可以通过递归方式实现。
从根节点开始，判断查询区间和当前节点所代表的区间是否有交集。
若没有交集，则返回当前节点的默认值。
若查询区间包含当前节点所代表的区间，则返回当前节点存储的值。
否则，将查询区间分割成左右两部分继续递归查询。
四、线段树的更新对于区间更新操作，也可以通过递归方式实现。
与查询操作类似，首先判断查询区间和当前节点所代表的区间的关系。
若没有交集，则无需更新。
若查询区间包含当前节点所代表的区间，则直接更新当前节点的值。
否则，将更新操作分割成左右两部分继续递归更新。
五、应用案例：区间最值查询一个常见的线段树应用是求解某个区间的最值。
以查询区间最小值为例，可以通过线段树来高效地解决。
首先构建线段树，然后进行区间查询时，分为以下几种情况处理：若当前节点所代表的区间完全包含于查询区间，则直接返回该节点的值；若当前节点所代表的区间与查询区间没有交集，则返回默认值；否则，将查询区间分割成左右两部分继续递归查询，最后返回两个子区间查询结果的较小值。
六、总结线段树是一种非常有用的数据结构，能够高效地解决区间查询问题。
通过合理的构建和操作，线段树可以应用于多种场景，如区间最值查询、离线查询等。
熟练掌握线段树的概念和应用方法，对解决问题具有重要意义。
文档：线段树及其应用
线段树及其应用常州市教育教研室、常州市第一中学林厚从2009-4-13一、为什么要用线段树例1.有一列数，初始值全部为0。
每次可以进行以下三种操作中的一种：（1）给指定区间的每个数加上一个特定值；（2）将指定区间的所有数置成一个统一的值；（3）询问一个区间上的最小值、最大值、所有数的和。
[问题分析]在最朴素的模拟算法中，通常用线性表存储整个数列，然后在执行这三种操作的过程中，对每个在处理区间或是询问区间中的元素逐一进行处理。
假设这个数列的长度为n，总操作数为m，那么这个算法每次维护的时间复杂度为O(n)，整体的时间复杂度为O(mn)。
当m与n比较小的时候，这无疑是一个不错的策略。
但是如果m与n的值比较大，那么这个算法显然就太低效了。
这个算法低效的一个重要原因就是：所有的维护都是针对元素的，而题目中所有的维护都是针对区间的。
所以，我们的优化也就应该从这里着手。
假如我们设计一种数据结构，能够直接维护所需处理的区间，那么就能更加有效地解决这个问题了。
线段树就是这样一种数据结构。
它能够将我们需要处理的区间不相交的分成若干个小区间，每次维护都可以在这样一些分解后的区间上进行，并且查询的时候，我们也能够根据这些被分解了的区间上的信息合并出整个询问区间上的查询结构。
二、线段树的结构定义1：长度为1的线段称为元线段。
定义2：一棵树被称为线段树，当且仅当这棵树满足如下条件：（1）该树是一棵二叉树；（2）树中的每一个结点都对应一条线段[a,b]；（3）树中的结点是叶子结点，当且仅当它所代表的线段是元线段；（4）树中非叶子结点都有左右两棵子树，左子树树根对应线段[a ,(a+b)/2]，右子树树根对应线段[(a+b)/2,b]。
通俗地说，线段树是一棵二叉树，树中的每一个结点表示了一个区间[a,b]。
每一个叶子结点上a+1=b,这表示了一个初等区间。
对于每一个内部结点b-a>1，设根为[a,b]的线段树为T(a,b),则进一步将此线段树分为左子树T(a,(a+b)/2),以及右子树T((a+b)/2,b),直到分裂为一个初等区间为止。
线段树应用PPT课件
线段树与数组的比较
总结词
线段树在处理复杂查询时优 于数组
详细描述
数组虽然便于随机访问，但 在处理复杂查询如区间最大 值、最小值等问题时，线段 树能够提供更快的查询速度
。
总结词
线段树在处理动态数据集时更具优势
详细描述
当数据集频繁变动时，线段树能够快速地 更新和维护数据，而数组可能需要重新构 建或采取其他复杂的操作。
空间效率
线段树通过节点间的关系，将大 问题分解为小问题，所需空间相 对较小。
线段树的缺点
01
02
03
节点分裂与合并
在线段树进行插入、删除 等操作时，可能会导致节 点分裂或合并，使得树的 平衡性难以维护。
构造与重建
线段树在处理大规模数据 时，可能需要多次重建， 导致时间复杂度较高。
适用场景限制
线段树适用于区间查询问 题，对于其他类型的问题 可能需要其他数据结构或 算法。
线段树应用ppt课件
目录
• 引言 • 线段树的原理 • 线段树的应用实例 • 线段树与其他数据结构的比较 • 线段树的优缺点分析 • 总结与展望
01 引言
什么是线段树
定义
线段树是一种用于处理区间查询问题 的数据结构，它可以在线段上高效地 执行查询、更新和删除操作。
结构
线段树通常由一个根节点和若干个子 节点组成，每个节点包含一个区间的 信息，并且每个节点与其子节点之间 存在一一对应关系。
总结词
数组在随机访问和存储空间方面更具优势
详细描述
数组能够提供快速的随机访问，并且在相 同的数据量下，数组所需的存储空间可能 比线段树更少。
05 线段树的优缺点分析
线段树的优点
高效区间查询
线段树及其应用..
线段树的基本操作及实现
线段树的构造
procedure build(cur:Node;l,r:integer); begin cur^.Left:=l; cur^.Right:=r; if l=r then begin cur^.LeftChild:=nil; cur^.RightChild:=nil; end else begin new(cur^.LeftChild); new(cur^.RightChild); build(cur^.LeftChild,l,(l+r) div 2); build(cur^.RightChild,(l+r) div 2+1,r); end; end;
当m、n的值比较大时，这个算法就太低效了。 其低效的原因主要是我们在每一次操作中都是针对 每个元素进行维护的，而这里我们进行的操作都是 针对一个区间进行操作的。 假如设计一种数据结构，能够直接维护所需处 理的区间，那么就能更加有效地解决这个问题。
线段树（区间树）
线段树的结构
定义1：长度为1的线段称为元线段。 定义2：一棵树被称为线段树，当且仅当这棵树满 足如下条件： （1）该树是一棵二叉树； （2）树中的每一个结点都对应一条线段[a,b]； （3）树中的结点是叶子结点，当且仅当它所代 表的线段是元线段； （4）树中非叶子结点都有左右两棵子树，左子 树树根对应线段[a,(a+b)/2]，右子树树根对应线段 [(a+b)/2,b]。
为什么要用线段树？
一般的模拟算法： 用一张线性表表示整个数列，每次执行前两个 操作的时候，将对应区间里的数值逐一进行修改， 执行第三个操作的时候，线性扫描询问区间，求出 三个统计值，每次维护的时间复杂度O(m)，整体 的时间复杂度O(mn)。
菜鸟都能理解的线段树入门经典
菜鸟都能理解的线段树入门经典线段树的定义首先，线段树既是线段也是树，并且是一棵二叉树，每个结点是一条线段,每条线段的左右儿子线段分别是该线段的左半和右半区间，递归定义之后就是一棵线段树，图示如下图1.线段树示意图定义线段树的数据结构struct Line{int left, right, count;Line *leftChild, *rightChild;Line(int l, int r): left(l), right(r) {}};PS:其中的count字段表示该条线段有几条明白了线段树的定义之后，我们来举一个例子来说明线段树的应用例题：给定N条线段，{[2, 5], [4, 6], [0, 7]}, M个点{2, 4, 7},判断每个点分别在几条线段出现过看到题目，有的人第一感觉想出来的算法便是对于每一个点，逐个遍历每一条线段，很轻松地判断出来每个点在几条线段出现过，小学生都会的算法，时间复杂度为O(M*N)如国N非常大，比如2^32-1, M也非常大M = 2^32 - 1, O(M*N)的算法将是无法忍受的，这个时候，线段树便隆重登场了线段树的解法：1.首先，我们找出一个最大的区间能够覆盖所有的线段，遍历所有的线段，找线段的最值(左端点的最小值，右端点的最大值)便可以确定这个区间，对于{[2, 5], [4, 6], [0, 7]}, 这个区间为[0, 7]，时间复杂度为O(N)2.然后，根据此区间建一棵线段树(见图1), 时间复杂度为O(log(MAX-MIN))3.对于每一条线段A，从根节点开始遍历这棵线段树，对于每一个当前遍历的结点NODE(其实线段树中每一个结点就是一条线段)，考虑三种情况a)如果线段A包含在线段NODE的左半区间，那么从NODE的左儿子(其实就是NODE 的左半区间)开始遍历这棵树b)如果线段A包含在线段NODE的右半区间，那么从NODE的右儿子(其实就是NODE 的右半区间)开始遍历这棵树c)如果线段A刚好和线段NODE重合，停止遍历，并将NODE中的count字段加1d)除了以上的情况，就将线段A的左半部分在NODE的左儿子处遍历，将A的右半部分在NODE的右儿子处遍历补充说明：对于以上的步骤，所做的工作其实就是不断地分割每一条线段，使得分割后的每一条小线段刚好能够落在线段树上，举个例子，比如要分割[2, 5],首先将[2, 5]和[0, 7]比较，符合情况d, 将A分成[2, 3]与[4, 5]I)对于[2, 3]从[0, 7]的左半区间[0, 3]开始遍历将[2, 3]与[0, 3]比较，满足情况b,那么从[0, 3]的右半区间[2, 3]开始遍历,发现刚好重合，便将结点[2, 3]count字段加1II)对于[4, 5]从[0, 7]的右半区间[4, 7]开始遍历将[4, 5]与[4, 7]比较，满足情况b，从[4, 7]的左半区间[4, 5]开始遍历，发现刚好重合，便将结点[4, 5]count字段加1于是对于[2, 5]分割之后线段树的情况为图2图2.分割[2,5]之后线段树的情况显然，我们看到，上述的遍历操作起始就是将[2, 5]按照线段树中的线段来分割，分割后的[2, 3]与[4, 5]其实是与[2, 5]完全等效的最后，我们将剩下的两条线段按照同样的步骤进行分割之后，线段树的情况如下图3这一步的时间复杂度为O(N*log(MAX-MIN))4.最后，对于每一个值我们就可以开始遍历这一颗线段树，加上对于结点的count字段便是在线段中出现的次数比如对于4，首先遍历[0, 7]，次数= 0+1=1；4在右半区间，遍历[4, 7],次数= 1+0=0;4在[4, 7]左半区间, 次数= 1+2=3;4在[4, 5]左半区间,次数= 3+0 = 4，遍历结束，次数= 3说明4在三条线段中出现过,同理可求其他的值，这一步的时间复杂度为O(M*log(MAX-MIN))最后，总的时间复杂度为O(N)+O(log(MAX-MIN))+O(N*log(MAX-MIN))+(M*log(MAX-MIN)) = O((M+N)*log(MAX-MIN))由于log(MAX-MIX)<=64所以最后的时间复杂度为O(M+N)最后，放出源码[cpp] view plaincopy#include <iostream>using namespace std;struct Line{int left, right, count;Line *leftChild, *rightChild;Line(int l, int r): left(l), right(r) {}};//建立一棵空线段树void createTree(Line *root) {int left = root->left;int right = root->right;if (left < right) {int mid = (left + right) / 2;Line *lc = new Line(left, mid);Line *rc = new Line(mid + 1, right);root->leftChild = lc;root->rightChild = rc;createTree(lc);createTree(rc);}}//将线段[l, r]分割void insertLine(Line *root, int l, int r) {cout << l << " " << r << endl;cout << root->left << " " << root->right << endl << endl;if (l == root->left && r == root->right) {root->count += 1;} else if (l <= r) {int rmid = (root->left + root->right) / 2;if (r <= rmid) {insertLine(root->leftChild, l, r);} else if (l >= rmid + 1) {insertLine(root->rightChild, l, r);} else {int mid = (l + r) / 2;insertLine(root->leftChild, l, mid);insertLine(root->rightChild, mid + 1, r);}}}//树的中序遍历（测试用）void inOrder(Line* root) {if (root != NULL) {inOrder(root->leftChild);printf("[%d, %d], %d\n", root->left, root->right, root->count);inOrder(root->rightChild);}}//获取值n在线段上出现的次数int getCount(Line* root, int n) {int c = 0;if (root->left <= n&&n <= root->right)c += root->count;if (root->left == root->right)return c;int mid = (root->left + root->right) / 2;if (n <= mid)c += getCount(root->leftChild, n);elsec += getCount(root->rightChild, n);return c;}int main() {int l[3] = {2, 4, 0};int r[3] = {5, 6, 7};int MIN = l[0];int MAX = r[0];for (int i = 1; i < 3; ++i) {if (MIN > l[i]) MIN = l[i];if (MAX < r[i]) MAX = r[i];}Line *root = new Line(MIN, MAX);createTree(root);for (int i = 0; i < 3; ++i) {insertLine(root, l[i], r[i]);}inOrder(root);int N;while (cin >> N) {cout << getCount(root, N) << endl; }return 0;}。
数据结构的扩展树状数组与线段树的应用
数据结构的扩展树状数组与线段树的应用数据结构的扩展——树状数组与线段树的应用随着计算机科学的发展，数据结构作为计算机程序设计的重要基础，对问题的解决起着至关重要的作用。
本文将介绍数据结构中一种常用的扩展形式——树状数组与线段树的应用，以及它们在实际中的使用场景。
一、树状数组的应用树状数组（Binary Indexed Tree，BIT），又称为Fenwick树，是一种支持高效修改与查询的数据结构。
它常被用来解决以下两类问题：1. 区间求和问题树状数组常用于求解数组区间内元素的求和问题。
假设我们有一个长度为n的数组A，现在需要不断地对数组中的元素进行更新操作，同时还需要快速计算任意区间[a, b]内元素的求和。
这种情况下，树状数组是一个高效的解决方案。
2. 单点修改与前缀和查询当需要对数组进行单点修改，并且需要频繁地查询前缀和时，树状数组同样是一个非常合适的选择。
通过使用树状数组，我们可以在O(log n)时间内完成单点修改和前缀和查询操作。
二、线段树的应用线段树（Segment Tree）是一种用于高效处理区间查询的数据结构。
它将一个区间划分为一个个离散的线段，并在每个线段上记录该区间的一些信息。
线段树常用于以下几种应用场景：1. 区间最值查询线段树最经典的应用之一是区间内最值的查询。
通过在每个节点上记录区间内的最大值或最小值，我们可以快速地查询任意区间内的最值。
这样，在需要频繁查询某个区间内的最值时，使用线段树可以大幅提高查询效率。
2. 区间覆盖问题线段树还可以用于解决区间覆盖问题。
例如，在一个数轴上，有一些线段需要进行覆盖操作，我们可以使用线段树来记录每个位置的覆盖情况，并进行相应的区间合并或分割操作。
这种情况下，线段树可以帮助我们高效地管理区间覆盖问题。
3. 区间求和问题与树状数组类似，线段树也可以求解区间内元素的求和问题。
通过在每个节点上记录区间的和，我们可以在O(log n)时间内完成区间求和操作。
线段树实际应用
什么是线段树线段树也被称为区间树，英文名为Segment Tree或者Interval tree，是一种高级的数据结构。
这种数据结构更多出现在竞赛中，在常见的本科数据结构教材里没有介绍这种数据结构。
但是，在面试中却有可能碰到和线段树相关的问题。
那么为什么会产生线段树这种数据结构，线段树到底是为了解决什么样的一种问题呢？其实这里的线段可以理解为区间，线段树就是为了解决区间问题的。
有一个很经典的线段树问题是：区间染色。
假设有一面墙，长度为 n，每次选择一段墙进行染色。
在区间染色的过程中，每次选择一段区间进行染色，这时新的颜色可能会覆盖之前的颜色。
最后的问题是：在经过 m 次染色操作后，我们可以在整个区间看见多少种颜色？更加普遍的说法是：在经过 m 次染色操作后，我们可以在区间 [i, j]内看见多少种颜色？由于第一个问题是第二个问题的一个特例，我们采用第二种问题来思考解决方法。
从上面可以看出，我们对于区间，有 2 种操作，分别是染色操作和查询区间的颜色，使用更加一般的说法，染色操作就是更新区间，查询区间的颜色就是查询区间。
这类问题里面，更加常见的的是区间查询：一个数组存放的不再是颜色，而是具体的数字，查询某个区间[i, j]的统计值。
这里的统计值是指：区间内最大值、最小值、或者这个区间的数字和。
比如：查询 2018 年注册的用户中消费最高的用户查询 2018 年注册的用户中消费最低的用户注意上面两种情况都是动态查询，我们查询的消费数据不只是 2018 的消费数据。
如果我们想查询 2018 年中消费最高的用户，那么 2018 年的数据已经固定了，我们直接在这一年的数据中进行统计分析就行了。
但是一个 2018 年注册的用户，在 2019 年、2020 年都可能会有消费。
我们实际上查询的是：2018 年注册的用户中，到现在为止，消费最高的用户。
这种情况下，数据是在动态变化的，也就是说：2017 年注册的用户中，每个用户的消费额是会更新的，这就对应到更新区间的操作。
线段树解决区间查询问题的数据结构
线段树解决区间查询问题的数据结构线段树（Segment Tree）是一种常用的数据结构，用于解决区间查询问题。
它可以高效地进行区间操作，如查询某一区间的最大值、最小值、求和等。
本文将介绍线段树的概念和原理，并通过实例演示其应用。
一、线段树的定义与特点线段树是一种二叉树结构，其每个节点表示一个区间。
根节点对应整个数组或区间，而每个叶子节点则表示数组中的一个元素。
线段树的构建和查询操作都是基于区间的。
线段树具有以下特点：1. 根节点对应整个数组或区间，其左子节点和右子节点分别表示左半部分和右半部分的区间；2. 若某个区间仅包含一个元素，则该节点为叶子节点，存储该元素的值；3. 若某个区间包含多个元素，则该节点存储区间内元素的某种统计特征（如最大值、最小值、和等）；4. 线段树的构建时间复杂度为O(nlogn)，查询时间复杂度为O(logn)，其中n为区间长度。
二、线段树的构建线段树的构建是通过递归的方式进行的。
首先将整个数组或区间划分为左右两半，然后分别构建左子树和右子树，最后将左右子树的统计结果更新到父节点中。
具体构建过程如下：1. 若当前节点对应的区间仅包含一个元素，则为叶子节点，将该元素的值存储到该节点中；2. 否则，将当前区间一分为二，分别构建左子树和右子树；3. 左子树对应左半部分的区间，右子树对应右半部分的区间；4. 构建左子树和右子树后，将左子树和右子树的统计结果更新到当前节点中。
三、线段树的查询线段树的查询是通过递归的方式进行的。
根据查询的区间和当前节点的区间关系，可以将查询问题转化为以下几种情况：1. 查询区间与当前节点的区间完全相同，直接返回当前节点存储的统计结果；2. 查询区间与当前节点的区间没有交集，返回一个表示无效值（如负无穷大）；3. 查询区间与当前节点的区间部分相交，继续递归查询左子树和右子树，然后将统计结果合并。
具体查询过程如下：1. 若当前节点对应的区间与查询区间完全相同，直接返回当前节点存储的统计结果；2. 若当前节点对应的区间与查询区间没有交集，返回一个表示无效值（如负无穷大）；3. 若当前节点对应的区间部分相交，递归查询左子树和右子树；4. 将左右子树查询结果合并，返回合并后的统计值。
算法合集之《线段树的应用》
线段树的应用广西柳铁一中林涛【摘要】在竞赛解题中，常遇到与区间有关的操作，比如统计若干矩形并的面积，记录一个区间的最值、总量，并在区间的插入、删除和修改中维护这些最值、总量。
线段树拥有良好的树形二分结构，能够高效的完成这些操作，本文将介绍线段树的各种操作以及一些推广。
本文通过3个例子：《蛇》、《空心长方体》、《战场统计系统》，讲述线段树中基本的插入、删除、查找操作，和不规则的修改和删除操作，以及到二维的推广。
关键字：线段树二分子树收缩叶子释放面积树【正文】1. 线段树的定义及特征定义1：线段树一棵二叉树，记为T (a,b)，参数a,b表示该节点表示区间[a,b]。
区间的长度b-a记为L。
递归定义T[a,b]：若L>1 ：[a, (a+b) div 2]为T的左儿子[(a+b) div 2,b]为T的右儿子。
若L=1 ：T为一个叶子节点。
表示区间[1, 10]的线段树表示如下：(以下取对数后均向上取整)定理1：线段树把区间上的任意一条线段都分成不超过2log L条线段证明：(1)在区间(a，b)中，对于线段(c，d)，如果(c<=a) 或(d>=b)，那么线段在(a，b)中被分为不超过log(b-a)。
用归纳法证明，如果是单位区间，最多被分为一段，成立。
如果区间(a，b)的左儿子与右儿子成立，那么如果当c<=a时，1．若d<=(a+b)div2那么相当与其左儿子分该线段，所分该线段数树不超过log((a+b)div 2-a)，即不超过log(b-a),成立。
2．若d>(a+b) div 2那么相当于该线段被分为它左儿子表示的线段，加上右儿子分该线段，线段数不超过1+log(b-(a+b) div 2),也不超过log(b-a)，成立。
对于d>=b的情况证明类似，不再赘述。
(2)在区间(a,b)中，对于任意线段也用归纳法证明。
对于单位区间，最多分为一段，成立。
线段树在程序设计中的应用
[摘要]文章主要介绍了线段树的定义及构造、线段树的动态数据结构和静态数据结构，以及线段树的基本操作。
还结合具体实例，具体阐述了线段树在程序设计中的应用。
[关键词]线段树；动态数据结构；静态数据结构；线段树的基本操作在中学信息学竞赛中，经常遇到与区间、图形的面积、周长等有关的问题。
处理涉及这些知识的问题，并不需要依赖很深的数学知识，但要提高处理此类问题的效率却又十分困难，为了提高程序的效率，经常需要使用一种特殊的数据结构：线段树。
一个线段是对应于一个区间的，因此线段树也叫区间树。
1线段树的构造信息1.1线段树的定义线段树是一棵二叉树，将一个区间划分为一个个[i，i+1]的单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶子结点。
每个结点用一个变量count来记录覆盖该结点的线段条数。
设根为[a,b]的线段树记为T(a,b)，区间的长度b－a记为L。
递归定义T[a,b]：若L>1 ：[a, (a+b) div 2]为T的左儿子；[(a+b) div 2,b]为T的右儿子。
若L=1 ：T为一个叶子节点。
1.2线段树的数据结构1.2.1动态数据结构如果采用动态的数据结构来实现线段树，结点的构造可以用如下数据结构：TypeTnode=^Treenode;Treenode=recordB,E:integer;Count:integer;Lchild,Rchild:Tnode;End;其中B和E表示了该区间为[B,E]；Count为一个计数器，通常记录覆盖到此区间的线段的个数。
Lchild和Rchild分别是左右子树的根。
1.2.2静态的数据结构有时为了方便，我们也采用静态的数据结构—完全二叉树。
TypeTreenode=recordb,e:integer;Cover:integer;End;VarTree:array[1..n] of treenode;前面所讲的内容都只是线段树的基本结构。
通常利用线段树的时候需要在每个结点上增加一些特殊的数据域，并且它们是随线段的插入删除进行动态维护的。
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（3）对区间修改（统一加上一个数） ）对区间修改（统一加上一个数）
procedure update(cur:Node;l,r,delta:integer); var LC,RC:Node; //需要给每个区间增加一个变量delta begin LC:=cur^.LeftChild; RC:=cur^.RightChild; if (l<=cur^.Left) and (cur^.Right<=r) then cur^.Delta:=cur^.Delta+delta //改变该区间的delta，注意sum else begin if l<=(cur^.Left+cur^.Right) div 2 then update(LC,l,r,delta); if r>(cur^.Left+cur^.Right) div 2 then update(RC,l,r,delta); cur^.Sum:=LC^.Sum+LC^.Delta*(LC^.Right-LC^.Left+1); cur^.Sum:=cur^.Sum+RC^.Sum+ //上推 RC^.Delta*(RC^.Right-RC^.Left+1); end; end;
为什么要用线段树？ 为什么要用线段树？
一般的模拟算法： 用一张线性表表示整个数列，每次执行前两个 操作的时候，将对应区间里的数值逐一进行修改， 执行第三个操作的时候，线性扫描询问区间，求出 三个统计值，每次维护的时间复杂度O(m)，整体 的时间复杂度O(mn)。
为什么要用线段树？ 为什么要用线段树？
（5）对区间修改（设置为同一个数） ）对区间修改（设置为同一个数）
procedure update(cur:Node;l,r,num:integer); var LC,RC:Node; begin LC:=cur^.LeftChild; RC:=cur^.RightChild; if cur^.En //如果该区间已经是同一个值，将值下传给左右区间 then begin cur^.sum:=(cur^.right-cur^.left+1)*cur^.data; if LC<>nil then begin LC^.Data:=cur^.Data; LC^.En:=true; end; if RC<>nil then begin RC^.Data:=cur^.Data; RC^.En:=true; end; cur^.En:=false; end; if (l<=cur^.Left) and (cur^.Right<=r) then begin cur^.En:=true; cur^.Data:=num; end else begin if l<=(cur^.Left+cur^.Right) div 2 then update(LC,l,r,num); if r>(cur^.Left+cur^.Right) div 2 then update(RC,l,r,num); cur^.Sum:=calcsum(LC)+calcsum(RC); end; end;
线段树的基本操作及实现
线段树的查询
procedure query(cur:Node;l,r:integer); var LC,RC:Node; begin LC:=cur^.LeftChild; RC:=cur^.RightChild; if (l<=cur^.Left) and (cur^.Right<=r) then writeln(cur^.Left,‘ ’,cur^.Right); //可以增加其他操作 else begin if l<=(cur^.Left+cur^.Right) div 2 then query(LC,l,r); if r>(cur^.Left+cur^.Right) div 2 then query(RC,l,r); end; end;
readln(m,n); for i:=1 to n do begin read(t); if t=1 //指定区间加上一个值 if t=2 //指定区间置成一个值 then begin then begin readln(left,right,x); readln(left,right,x); for j:=left to right do for j:=left to right do a[j]:=a[j]+x; a[j]:=x; end; end;
线段树的结构
如T(1,10)的结构：
[1,10]
[1,5] [1,3] [1,2] [2,3] [3,5] [3,4] [4,5] [5,6] [5,7] [6,7]
[5,10] [7,10] [7,8] [8,10]
[8,9]
[9,10]
线段树的结构
常用的是需要对数列进行处理，将区间[a,b]分 解为[a,(a+b)/2]，[(a+b)/2+1,b]，当a=b时表示为一 个叶子结点，表示数列中的一个数。
线段树（区间树） 线段树（区间树）
线段树的结构
定义1：长度为1的线段称为元线段。 定义2：一棵树被称为线段树，当且仅当这棵树满 足如下条件： （1）该树是一棵二叉树； （2）树中的每一个结点都对应一条线段[a,b]； （3）树中的结点是叶子结点，当且仅当它所代 表的线段是元线段； （4）树中非叶子结点都有左右两棵子树，左子 树树根对应线段[a,(a+b)/2]，右子树树根对应线段 [(a+b)/2,b]。
[1,10] [1,5] [1,3] [1,2] [1,1] [2,2] [3,3] [4,5] [4,4] [5,5] [6,6] [6,7] [7,7] [6,8] [8,8] [6,10] [9,10] [9,9] [10,10]
线段树的性质
性质1：长度范围为[1,L]的一棵线段树的深度不超 过log2(L-1)+1； 性质2：线段树上的结点个数不超过2L个； 性质3：线段树把区间上的任意一条线段都分成不 超过2log2L条线段。
线段树及其应用
江苏省华罗庚中学 杨志军 oldsheep@
为什么要用线段树？ 为什么要用线段树？
例1：有M个数排成一列，初始值全为0，然后做N 次操作，每次我们可以进行如下操作： （1）将指定区间的每个数加上一个值； （2）将指定区间的所有数置成一个值； （3）询问一个区间上的最小值、最大值、所有数 的和。
（1）对元素进行修改 ）
procedure insert(cur:Node;x,num:integer); var LC,RC:Node; begin LC:=cur^.LeftChild; RC:=cur^.RightChild; if cur^.Left=cur^.Right //对叶结点的处理 then begin cur^.Min:=num; cur^.Max:=num; cur^.Sum:=num; end else begin if x<=(cur^.Left+cur^.Right) div 2 then insert(LC,x,num); if x>(cur^.Left+cur^.Right) div 2 then insert(RC,x,num); cur^.Sum:=LC^.Sum+RC^.Sum; //上推 if (LC^.Max>RC^.Max) then cur^.Max:=LC^.Max else cur^.Max:=RC^.Max; if (LC^.Min<RC^.Min) then cur^.Min:=LC^.Min else cur^.Min:=RC^.Min; end; end;
时间复杂度是线性的！ 时间复杂度是线性的！
为什么要用线段树？ 为什么要用线段树？
当m、n的值比较大时，这个算法就太低效了。 其低效的原因主要是我们在每一次操作中都是针对 每个元素进行维护的，而这里我们进行的操作都是 针对一个区间进行操作的。 假如设计一种数据结构，能够直接维护所需处 理的区间，那么就能更加有效地解决这个问题。
为什么要用线段树？ 为什么要用线段树？
if t=3 //询问一个区间的最小值、最大值、和 then begin readln(left,right); min:=a[left]; max:=a[left]; sum:=a[left]; for j:=left+1 to right do begin if a[j]<min then min:=a[j]; if a[j]>max then max:=a[j]; sum:=sum+a[j]; end; writeln(min,' ',max,' ',sum); end;
线段树的维护方法
对元素进行修改 修改 对区间进行修改 区间的和 查询 区间的最大值 区间的最小值 其它 设置为同一个数 统一加上一个数
线段树的维护方法
如果想要让线段树发挥实际的作用，必须在每 个结点上维护额外的域来记录更多的信息。 首先看一个引例的弱化版，假设每次修改操作 只能对其中某个元素进行修改。 在每个结点上额外维护3个域：max、min、 sum，分别表示子树上的最大值、最小值和所有元 素的和。
为什么要用线段树？ 为什么要用线段树？
机器配置： 机器配置：Pentium 1.3G 512M
M,N的规模 的规模 M=100000,N=5000 M=100000,N=10000 M=100000,N=50000 M=100000,N=100000
一般的模拟 2.06秒 秒 4.14秒 秒 21.32秒 秒 43.36秒 秒
线段树的基本操作及实现
线段树的构造
procedure build(cur:Node;l,r:integer); begin cur^.Left:=l; cur^.Right:=r; if l=r then begin cur^.LeftChild:=nil; cur^.RightChild:=nil; end else begin new(cur^.LeftChild); new(cur^.RightChild); build(cur^.LeftChild,l,(l+r) div 2); build(cur^.RightChild,(l+r) div 2+1,r); end; end;