24.1.2-垂直于弦的直径(第二课时)
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C
a 2 ⑴d + h = r ⑵ r d ( ) 2
2 2
O E B
A D
在a,d,r,h中，已知其中任 意两个量,可以求出其它 两个量.
课前训练
1.到点A的距离为4cm的所有点组成的图形是 以点A为圆心，4cm为半径的圆 _____________________________。
2.（07· 广东模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径 OC、OD分别交AB于点E、F，AE=BF，请找 出线段OE与OF的数 量关系，并给予证明。
练 习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm， 求⊙O的半径．
解： OE AB
A E B
在Rt AOE中
1 1 AE AB 8 4 2 2
O
·
AO 2 OE 2 AE 2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
4.下列命题中正确的是( D
)
A.弦的垂线平分弦所对的弧;
B.平分弦的直径垂直于这条弦; C.过弦的中点的直线必过圆心;
D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 且过圆心;
双基训练 5. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C ) A.2cm B. 3 cm C. 2 3cm D. 2 5 cm
O C A E G D
巩固
3、已知：如图，弧AB。 求作：AB所在圆的圆心。 A B
O A B
6.已知点P是半径为5的⊙O内 的一定点，且OP=4，则过P 点的所有弦中，弦长可能取 的整数值为（ C ）
A.5，4，3 B.10，9，8，7，6，5，4，3 C.10，9，8，7，6 D.10，9，8
A C
O
B D
Байду номын сангаас
7.已知:⊙O中弦AB∥CD且AB=9cm,CD=12cm, ⊙O的直径为15cm,则弦AB,CD间的距离为 (C ) A.1.5cm B.10.5cm; C.1.5cm或10.5cm D.都不对;
B · O
P B
O
E
D A
C
A
10. 同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D,已知 AB=4,CD=2,AB的弦心距为1,则两个同心圆的 半径之比为( B) A.3:2 B. 5: 2 C. 5 :2 D.5:4
11.已知: CD AB 和 是⊙O的两条弧,且
AB =2 CD ,则( C )
A.AB=2CD C.AB<2CD B.AB>2CD D.都不对
M
垂径定理推论1
O
A
C
B N
②MN⊥AB 推论1. ⌒ ⌒ ①直线MN过圆心 ④ AM= MB 平分非直径的弦的直径垂直于弦， ⌒ ⌒ ③ AC=BC ⑤ AN 并且平分弦所对的两条弧。 = NB
如图，在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB,
③ AE=BE,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
C
A
3.2
垂径定理的应用
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧.
题设
（1）直径
结论
（3）平分弦
｝｛ （4）平分弦所对的优弧 （2）垂直于弦
（5）平分弦所对的劣弧
M
垂径定理
O
A
C
B N
①直线MN过圆心 ②MN⊥AB
③ AC=BC ⌒ ⌒ ④ AM= MB ⌒ ⌒ ⑤ AN= NB
O
E
C
A
B
D
例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即 图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E 为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m. 求这段弯路的半径.
C
E F
●
解:连接OC.
O
设弯路的半径为Rm, 则OF ( R 90)m. OE CD, 1 1 D CF CD 600 300(m). 2 2 OC 2 CF 2 OF 2 ,即 根据勾股定理, 得
1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
2
M C H
A
N
OA2 AD2 OD 2 , 即R 2 3.62 ( R 2.4) 2 .
E
D
F
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
A
B
链接中考 7.（2007.江西）如图，点A、B是⊙O上两点， AB=10，点P是⊙ O上的动点，（P与A，B不重 合），连接AP、PB，过点O分别OE⊥AP于E， 5 OF⊥PB于F，则EF= ——。
O
A E
B F P
8、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、 D是直线AB上两点，且AC＝BD 求证：△OCD为等腰三角形。
2 2 2
R 300 R 90 . 解这个方程, 得R 545. 这段弯路的半径约为545m.
垂径定理的应用
2.已知:AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E, BF⊥CD于F. 求证:EC=DF.
B
B
O
E C A
B
B
.
D F
O G F D
A
F
E
C
G
F E
A G C D O
随堂训练
8.已知P为⊙o内一点，且OP＝2cm，如果⊙o 的半径是3cm ，则过P点的最长的弦等于 最短的弦等于_________。
M
.
O
A
P B N
9.P为⊙O内一点,且OP=2cm,若⊙O的半径为3cm, 则过P点的最短弦长等于( D ) A.1cm B.2cm C. 5 cm D. 2 5cm
M C H
A
N
E
D
F
B
r
O
解:如图,用 AB 表示桥拱,AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 AB 7.2, CD 2.4, HN 1 MN 1.5.
D
②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧. ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
②④
②⑤ ③④
①③⑤
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧. ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦, ①②④ 并且平分弦所对的另一条弧. ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
③⑤
④⑤
课堂小结
2.在圆中解决有关弦的问题时,经常是作弦心距, 连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
A
E
. O
B
垂径定理的应用
. 如图，某地有一圆弧形拱桥，桥下水面宽为7.2 米，拱顶高出水面2.4米。现有一艘宽3米、船舱 顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里， 此货船能顺利通过这座拱桥吗？
B · O E D A
EA=EB,请些出三个正确的结论
_____________________． C
双基训练 半径 圆心 1.确定一个圆的条件是————和————
2.已知AB=10cm,以AB为直径作圆,那么在此 圆上到AB的距离等于5的点共有( C )
A.无数个 B.1个 C.2个 D.4个 3.下列说法中正确的个数是（ B） ①.直径是弦 ②.半圆是弧 ③.平分弦的直径垂直于弦 ④.圆是轴对称图形，对称轴是直径 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ABOE是正方形．
证明： OE
AC OD AB AB AC
OEA 90
EAD 90
ODA 90
又
1 1 ∴四边形ADOE为矩形， AE AC，AD AB 2 2 C
半径、弦长、弦心距、弓形高
“知二求二”
A
O B
随堂训练 变式：为改善市民生活环境，市建设污水管网工 程，某圆柱型水管截面管内水面宽AB=8dm，截 2或8 面半径为5dm。则水深_________dm.
思维拓展 7.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修 人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径， 下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16 cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截 面的半径．
O A C E F D B
3、如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。
C A D O B
4.(07贵阳· 改编)某机械传动装置在静止状态时， 连杆PA与点A运动所形成的⊙O交于B点，现测 得PB=8cm，AB=10cm， ⊙O 的半径R=9cm， 求此时P到圆心O的距离。
∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
A
E
·
O D B
O D
D
解：作AD⊥BC，则AD即为BC边上的高.设圆心 O到BC的距离为d，则依据垂径定理得 BC=4,d2=52-42=9，所以d=3. 当圆心在三角形内部时BC边上的高为 AD=5+3=8； 当圆心在三角形内外部时BC边上的高为 AD=5-3=2.
B
R
O
OH ON 2 HN 2 , 即OH 3.9 2 1.52 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
随堂训练 1．如图，在⊙O中，弦AB的
A
E
· O
B
长为8cm，圆心O到AB的距离
为3cm，则⊙O的半径是_____． 2．如图，在⊙O中，CD是直径，
12.已知直径AB被弦CD分成AE=4,
EB=8,CD和AB成300角,则弦CD
2 35 1 的弦心距OF=____;CD=_____.
D
F
A C B E O
13.已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其 他问题？
A B O P
双基训练 5.如图，水平放置的一个油管的截面半径为 13cm，其中有油部分油面宽AB=24cm，则截 8cm 面上有油部分油面高CD= —————— 半径、弦长、弓形的高、 圆心到弦的距离
A C D O B
知二求二
6、为改善市民生活环境，市建设污水管网工程， 某圆柱型水管截面如图所示，管内水面宽AB=8dm ①若水管截面半径为5dm，则污水的最大深度为 2 _____ dm。 ②若水深1dm，则水管截面半径为____dm. 8.5 弓形问题中：
⌒ ⌒ ⑤AD = BD.
具备其中两个条件,能推出其余三个结论吗?
B O
你可以写出相应的结论吗?
E
└
●
D
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AE=BE,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⑤AD = BD.
条件
①② ①③ ①④ ①⑤ ②③
C
A
└ E
●
B
O
垂径定理及逆定理
结论 垂径定理及逆定理
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
a 2 ⑴d + h = r ⑵ r d ( ) 2
2 2
O E B
A D
在a,d,r,h中，已知其中任 意两个量,可以求出其它 两个量.
课前训练
1.到点A的距离为4cm的所有点组成的图形是 以点A为圆心，4cm为半径的圆 _____________________________。
2.（07· 广东模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径 OC、OD分别交AB于点E、F，AE=BF，请找 出线段OE与OF的数 量关系，并给予证明。
练 习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm， 求⊙O的半径．
解： OE AB
A E B
在Rt AOE中
1 1 AE AB 8 4 2 2
O
·
AO 2 OE 2 AE 2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
4.下列命题中正确的是( D
)
A.弦的垂线平分弦所对的弧;
B.平分弦的直径垂直于这条弦; C.过弦的中点的直线必过圆心;
D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 且过圆心;
双基训练 5. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C ) A.2cm B. 3 cm C. 2 3cm D. 2 5 cm
O C A E G D
巩固
3、已知：如图，弧AB。 求作：AB所在圆的圆心。 A B
O A B
6.已知点P是半径为5的⊙O内 的一定点，且OP=4，则过P 点的所有弦中，弦长可能取 的整数值为（ C ）
A.5，4，3 B.10，9，8，7，6，5，4，3 C.10，9，8，7，6 D.10，9，8
A C
O
B D
Байду номын сангаас
7.已知:⊙O中弦AB∥CD且AB=9cm,CD=12cm, ⊙O的直径为15cm,则弦AB,CD间的距离为 (C ) A.1.5cm B.10.5cm; C.1.5cm或10.5cm D.都不对;
B · O
P B
O
E
D A
C
A
10. 同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D,已知 AB=4,CD=2,AB的弦心距为1,则两个同心圆的 半径之比为( B) A.3:2 B. 5: 2 C. 5 :2 D.5:4
11.已知: CD AB 和 是⊙O的两条弧,且
AB =2 CD ,则( C )
A.AB=2CD C.AB<2CD B.AB>2CD D.都不对
M
垂径定理推论1
O
A
C
B N
②MN⊥AB 推论1. ⌒ ⌒ ①直线MN过圆心 ④ AM= MB 平分非直径的弦的直径垂直于弦， ⌒ ⌒ ③ AC=BC ⑤ AN 并且平分弦所对的两条弧。 = NB
如图，在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB,
③ AE=BE,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
C
A
3.2
垂径定理的应用
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧.
题设
（1）直径
结论
（3）平分弦
｝｛ （4）平分弦所对的优弧 （2）垂直于弦
（5）平分弦所对的劣弧
M
垂径定理
O
A
C
B N
①直线MN过圆心 ②MN⊥AB
③ AC=BC ⌒ ⌒ ④ AM= MB ⌒ ⌒ ⑤ AN= NB
O
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例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即 图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E 为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m. 求这段弯路的半径.
C
E F
●
解:连接OC.
O
设弯路的半径为Rm, 则OF ( R 90)m. OE CD, 1 1 D CF CD 600 300(m). 2 2 OC 2 CF 2 OF 2 ,即 根据勾股定理, 得
1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
2
M C H
A
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OA2 AD2 OD 2 , 即R 2 3.62 ( R 2.4) 2 .
E
D
F
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
A
B
链接中考 7.（2007.江西）如图，点A、B是⊙O上两点， AB=10，点P是⊙ O上的动点，（P与A，B不重 合），连接AP、PB，过点O分别OE⊥AP于E， 5 OF⊥PB于F，则EF= ——。
O
A E
B F P
8、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、 D是直线AB上两点，且AC＝BD 求证：△OCD为等腰三角形。
2 2 2
R 300 R 90 . 解这个方程, 得R 545. 这段弯路的半径约为545m.
垂径定理的应用
2.已知:AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E, BF⊥CD于F. 求证:EC=DF.
B
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E C A
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O G F D
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A G C D O
随堂训练
8.已知P为⊙o内一点，且OP＝2cm，如果⊙o 的半径是3cm ，则过P点的最长的弦等于 最短的弦等于_________。
M
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O
A
P B N
9.P为⊙O内一点,且OP=2cm,若⊙O的半径为3cm, 则过P点的最短弦长等于( D ) A.1cm B.2cm C. 5 cm D. 2 5cm
M C H
A
N
E
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F
B
r
O
解:如图,用 AB 表示桥拱,AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 AB 7.2, CD 2.4, HN 1 MN 1.5.
D
②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧. ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
②④
②⑤ ③④
①③⑤
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧. ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦, ①②④ 并且平分弦所对的另一条弧. ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
③⑤
④⑤
课堂小结
2.在圆中解决有关弦的问题时,经常是作弦心距, 连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
A
E
. O
B
垂径定理的应用
. 如图，某地有一圆弧形拱桥，桥下水面宽为7.2 米，拱顶高出水面2.4米。现有一艘宽3米、船舱 顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里， 此货船能顺利通过这座拱桥吗？
B · O E D A
EA=EB,请些出三个正确的结论
_____________________． C
双基训练 半径 圆心 1.确定一个圆的条件是————和————
2.已知AB=10cm,以AB为直径作圆,那么在此 圆上到AB的距离等于5的点共有( C )
A.无数个 B.1个 C.2个 D.4个 3.下列说法中正确的个数是（ B） ①.直径是弦 ②.半圆是弧 ③.平分弦的直径垂直于弦 ④.圆是轴对称图形，对称轴是直径 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ABOE是正方形．
证明： OE
AC OD AB AB AC
OEA 90
EAD 90
ODA 90
又
1 1 ∴四边形ADOE为矩形， AE AC，AD AB 2 2 C
半径、弦长、弦心距、弓形高
“知二求二”
A
O B
随堂训练 变式：为改善市民生活环境，市建设污水管网工 程，某圆柱型水管截面管内水面宽AB=8dm，截 2或8 面半径为5dm。则水深_________dm.
思维拓展 7.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修 人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径， 下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16 cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截 面的半径．
O A C E F D B
3、如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。
C A D O B
4.(07贵阳· 改编)某机械传动装置在静止状态时， 连杆PA与点A运动所形成的⊙O交于B点，现测 得PB=8cm，AB=10cm， ⊙O 的半径R=9cm， 求此时P到圆心O的距离。
∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
A
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·
O D B
O D
D
解：作AD⊥BC，则AD即为BC边上的高.设圆心 O到BC的距离为d，则依据垂径定理得 BC=4,d2=52-42=9，所以d=3. 当圆心在三角形内部时BC边上的高为 AD=5+3=8； 当圆心在三角形内外部时BC边上的高为 AD=5-3=2.
B
R
O
OH ON 2 HN 2 , 即OH 3.9 2 1.52 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
随堂训练 1．如图，在⊙O中，弦AB的
A
E
· O
B
长为8cm，圆心O到AB的距离
为3cm，则⊙O的半径是_____． 2．如图，在⊙O中，CD是直径，
12.已知直径AB被弦CD分成AE=4,
EB=8,CD和AB成300角,则弦CD
2 35 1 的弦心距OF=____;CD=_____.
D
F
A C B E O
13.已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其 他问题？
A B O P
双基训练 5.如图，水平放置的一个油管的截面半径为 13cm，其中有油部分油面宽AB=24cm，则截 8cm 面上有油部分油面高CD= —————— 半径、弦长、弓形的高、 圆心到弦的距离
A C D O B
知二求二
6、为改善市民生活环境，市建设污水管网工程， 某圆柱型水管截面如图所示，管内水面宽AB=8dm ①若水管截面半径为5dm，则污水的最大深度为 2 _____ dm。 ②若水深1dm，则水管截面半径为____dm. 8.5 弓形问题中：
⌒ ⌒ ⑤AD = BD.
具备其中两个条件,能推出其余三个结论吗?
B O
你可以写出相应的结论吗?
E
└
●
D
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AE=BE,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⑤AD = BD.
条件
①② ①③ ①④ ①⑤ ②③
C
A
└ E
●
B
O
垂径定理及逆定理
结论 垂径定理及逆定理
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.