2021届高三上学期第四次月考数学(理)试题-含答案

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重庆市沙坪坝区2024届高三上学期12月月考数学试题含答案

2023年重庆高2024届12月月考数学试题卷（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合2101x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，集合(){}2ln 22B y y x x ==++，则A B = （）A.[]0,1 B.[)0,1 C.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】解分式不等式求集合A ，求对数复合函数的值域求集合B ，应用集合交运算求结果.【详解】由(21)(1)0211011012x x x x x x +-≤⎧+≤⇒⇒-≤<⎨-≠-⎩，即1[,1)2A =-，由()2222111x x x ++=++≥，故[0,)B =+∞，所以[0,1)A B = .故选：B2.已知p ：双曲线C 的方程为22194x y -=，q ：双曲线C 的渐近线方程为23y x =±，则（）A.p 是q 的充要条件B.p 是q 的充分不必要条件C.p 是q 的必要不充分条件D.p 是q 的既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线的性质，判断充分必要条件，即可判断选项.【详解】若双曲线C 的方程为22194x y -=，则渐近线方程为23y x =±，若双曲线C 的渐近线方程为23y x =±，则双曲线的方程为()22094x y λλ-=≠，所以p q ⇒，但q p ⇒/，所以p 是q 的充分不必要条件.故选：B3.()1:sin3010l a x y +︒++=，)2:20l x y +︒+=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（）A.72-B.56-C.52D.16【答案】C 【解析】【分析】由直线垂直的充要条件列出方程结合特殊三角函数值运算即可.【详解】由题意12l l ⊥，则当且仅当()sin 3011tan1200a +⨯+=，即1302a +-=，解得52a =.故选：C.4.设22tan22.51tan 22.5a ︒=-︒，sin861cos86b ︒=+︒，c =，则有（）A.b a c <<B.a c b <<C.c b a <<D.b c a<<【答案】C 【解析】【分析】由倍角公式化简为正切函数，再结合正切函数的单调性可得出答案.【详解】22tan22.5=tan 451tan 22.5a ︒=︒-︒，22sin862sin43cos432sin43cos43=tan 431cos8612cos 4312cos 43b ︒︒︒︒︒===︒+︒+︒-︒，cos 47.5sin 42.5=sin 47.5cos 42.5c ︒︒=︒︒因为tan y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以tan 42.5tan 43tan 45︒<︒<︒，即c b a <<，故选：C .5.已知在四面体-P ABC 中，底面ABC，D 为PA 的中点，则直线BP 与直线CD 所成角的余弦值为（）A.24-B.24C.14-D.14【答案】B 【解析】【分析】利用中位线将异面直线所成角转化为相交直线DE 与DC 所成角，再利用余弦定理解三角形即可.【详解】取AB 中点E ，连接DE ，由D 为PA 中点，则//DE PB，且122DE PB ==；则EDC ∠（或其补角）即为直线BP 与直线CD 所成角.又底面三角形ABC是边长为的等边三角形，则中线长31522CE ==；在PAC △中，设中线长DC m =，则cos cos 0ADC PDC ∠+∠=，由余弦定理得,222222022DA DC AC DP DC PC DA DC DP DC +-+-+=⋅⋅，所以222222202m ⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭，化简得23m =，解得m =，则有DC =，在DEC 中，由余弦定理得,222115324cos 224DE DC EC EDC DE DC +-+-∠==-⋅,直线BP 与直线CD 所成角为锐角，则余弦值为24.故选：B .6.教务处准备给高三某班的学生排周六的课表，上午五节课，下午三节课．若准备英语、物理、化学、地理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂，且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有（）A.216种B.384种C.408种D.432种【答案】D 【解析】【分析】由数学、语文不能同时安排在下午，分为数学（连堂）或语文（连堂）安排在下午、数学、语文都安排在上午，再应用分步计数及排列组合求不同的排课方式.【详解】由题意，数学、语文不能同时安排在下午，若数学（连堂）安排在下午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在下午有1242C A 8=种，再把余下的三科与语文（连堂）安排在上午，把上午看作四节课，则有44A 24=种，此时共有824192´=种；若语文（连堂）安排在下午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在下午有1242C A 8=种，再把余下的三科与数学（连堂）安排在上午，且数学不排上午的第一节课，把上午看作四节课，数学只能安排在后三节有13C 3=种，其余三科全排有33A 6=种，此时共有836144⨯⨯=种；若数学、语文都安排在上午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在上午有14C 4=种，将上午看作三节课，且数学不排上午的第一节课，有1222C A 4=种，再把余下的三科安排在下午作全排有33A 6=种，此时共有44696⨯⨯=种；综上，共有19214496432++=种.故选：D7.已知{}n a 为正项等比数列，且10121a =，若函数()212ln 1x f x x x -=-+，则()()()122023f a f a f a ++⋅⋅⋅+=（）A.2023B.2024C.20232D.1012【答案】A 【解析】【分析】由等比数列的性质可得222311202322012020211a a a a a a a ⋅=⋅=⋅===L ，再由题意可得出()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由倒序相加法可求出答案.【详解】因为{}n a 为正项等比数列，且10121a =，所以222311202322012020211a a a a a a a ⋅=⋅=⋅===L ，由()212ln 1x f x x x -=-+可得22111112ln 12ln 11x x f x x x x x⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=-+=++ ⎪⎝⎭，所以()12f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以设()()()122023S f a f a f a =++⋅⋅⋅+，则()()()202320221S f a f a f a =++⋅⋅⋅+，所以两式相加可得：222023S =⨯，故2023S =，故选：A .8.已知a = ，1= b ，0a b ⋅= ，4c a c a ++-= ，2430d b d -⋅+= ，则c d - 的最大值为（）A.22113+ B.4C.23+ D.313【答案】A 【解析】【分析】由题意首先得出c d -为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可.【详解】如图所示：不妨设)()()()()13,0,0,1,,,,,3,0a OA b OB OC m n OD p q A ======-，满足3a = ，1= b ，0a b ⋅= ，又4c a c a ++-=()()22221334223m n m n a c A A ++-+=>=，由椭圆的定义可知点C 在以1,A A 为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，222,3,431a c b a c ===--，所以该椭圆方程为2214x y +=，而2430d b d -⋅+= ，即22430p q q +-+=，即()2221p q +-=，这表明了点D 在圆()2221x y +-=上面运动，其中点()0,2E为圆心，1r =为半径，又1c d OC OD CD CE ED CE -=-=≤+=+，等号成立当且仅当,,C D E 三点共线，故只需求CE 的最大值即可，因为点C 2214x y +=在椭圆上面运动，所以不妨设()2cos ,sin C θθ，所以()()222224cos sin 241sin sin 4sin 43sin 4sin 8CE θθθθθθθ=+--+-+--+，所以当()42sin 233θ-=-=-⨯-且,,C D E 三点共线时，c d - 有最大值max113CE +==+.故选：A.【点睛】关键点睛：解题的关键是将向量问题转换为圆锥曲线中的最值问题来做，通过数学结合的方法巧妙的将几何问题融入代数方法，从而顺利得解.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知左、右焦点分别为1F ，2F 的椭圆222:13x y C a +=的长轴长为4，过1F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，则（）A.离心率2e =B.若线段PQ 垂直于x 轴，则3PQ =C.2PQF 的周长为8D.2PQF 的内切圆半径为1【答案】BC 【解析】【分析】首先由题意把参数a 求出来，根据平方关系、离心率公式运算即可判断A ；由题意将=1x -代入椭圆方程求出弦长即可判断B ；由椭圆定义即可判断C ；由2PQF 的周长是定值，但面积会随着直线的倾斜程度而变化，由此即可判断D.【详解】对于A ，由题意椭圆222:13x y C a +=的长轴长为4，所以124a =，解得22112,43a a b ==>=，所以12,1a a c =====，离心率为12c e a ==，故A 错误；对于B ，由A 可知椭圆方程为22143x y +=，由题意若直线PQ 的方程为=1x -，将其代入椭圆方程可得32y =±，即33322PQ ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，2PQF 的周长为()()2212122248PQ QF F P PF PF QF QF a a a ++=+++=+==，故C 正确；对于D ，由题意直线PQ 斜率不为0且经过点()1,0-，不妨设直线()()1122:1,,,,PQ x my P x y Q x y =-，将其与椭圆方程22143x y +=联立消去x 得()2234690m y my +--=，()()2221212226936363414410,,3434m m m m y y y y m m -∆=++=+>+==++，一方面()()()()222221212121222222363413612142343434PQF m m m S F F y y y y y y m m m ++=-=+-++++ ，另一方面，由C 选项分析可知228PQ QF F P ++=，不妨设2PQF 的内切圆的半径为r ，所以()222142PQF S PQ QF F P r r =++= ，对比两式可知223134m r m +=+，即r 与m 有关，故D 错误.故选：BC.10.与二项式定理()0C nnk n k k n k a b a b -=+=∑类似，有莱布尼兹公式：()()()()()()()()()()()()0112200120C C C C C nn n n n n n k kn k nnnnn n uv u vuv uv u vuv ---==+++⋅⋅⋅+=∑，其中()k u （0,1k =，2，…，n ）为u 的k 阶导数，()0u u =，()0v v =，则（）A.1C2nknnk ==∑ B.1351C C C 2n n n n -+++⋅⋅⋅=C.()()()()nnuv vu = D.()6e x f x x =，则()()606!f =【答案】BCD 【解析】【分析】由二项式定理，分别赋值,a b ，即可判断AB ；再根据莱布尼兹公式，结合组合数公式和性质，即可判断CD .【详解】A.由二项式定理可知，当1a b ==时，()0C 1111C 2nnnnk n k k k nn k k -==+===∑∑，1C221nkn n k n n C ==-=-∑，故A 错误；B.由二项式定理可知，当1,1a b ==-时，()012345.1C C C C C C .1.nn n n n n n =-+-+-+-()()024135C C C ...C C C ...0n n n n n n =+++-+++=，所以024135C C C ...C C C ...n n n n n n +++=+++又由A 可知，012345C C C C C C ...2nn n n n n n ++++++=，所以1351C C C 2n n n n -+++⋅⋅⋅=，故B 正确；C.()()()()()()()()()()011220012C C C ...C nn n n n n n n n n uv u v u v u v u v--=++++()()()()()()()()()()011220012C C C ...C nn n n n n n n n n vu v u v u v u v u--=++++，由组合数的性质可知，0C C n n n =，11C C n n n -=，22C C n n n -=，……，可知，()()()()n nuv vu =，故C 正确；D.()()()()()()()()()()()()()()()()()()6605142066061626666666e C e C e C e ...C e x xx xx x x x x x =++++，因为()()e e n xx =，()()066x x =，()()1656x x =，()()26465x x =⋅⋅，()()363654x x =⋅⋅⋅，()()4626543x x =⋅⋅⋅⋅，()()5665432x x =⋅⋅⋅⋅⋅，()()666543216!x =⋅⋅⋅⋅⋅=，所以()()606!f =，故D 正确.故选：BCD11.全球有0.5%的人是高智商，他们当中有95%的人是游戏高手．在非高智商人群中，95%的人不是游戏高手．下列说法正确的有（）A.全球游戏高手占比不超过10%B.某人既是游戏高手，也是高智商的概率低于0.1%C.如果某人是游戏高手，那么他也是高智商的概率高于8%D.如果某人是游戏高手，那么他也是高智商的概率低于8.5%【答案】AC 【解析】【分析】利用全概率公式和条件概率定义进行计算.【详解】A 项，高智商中有的人是游戏高手概率为0.0050.950.00475⨯=，非高智商人群中是游戏高手的概率为0.9950.050.04975⨯=，所以全球游戏高手占比为0.004750.049750.05450.1+=<，所以A 项正确；B 项，既是游戏高手，也是高智商的概率为0.0050.950.004750.001⨯=>，所以B 项错误；C 项，设事件A 为某人是游戏高手，事件B 为某人是高智商，则()0.0545P A =，则()()()0.0050.9519|0.0870.080.0545218P AB P B A P A ⨯===≈>，所以C 项正确；D 项，由C 项知，()19|0.0870.085218P B A =≈>，所以D 项错误.故选：AC.12.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()2ln ln 2xf x f x x x +'+=，()11f =，且实数()a f x <对任意0x >都成立（ln20.693≈，ln3 1.098≈），则（）A.()18f ''= B.()f x 有极小值，无极大值C.()f x 既有极小值，也有极大值D.23<a 【答案】ABD 【解析】【分析】将题设条件化为()222[][ln ]x f x x x ''=，进而有()222ln x f x x x C =+，其中C 为常数，()0,x ∈+∞，根据已知求得()221ln f x x x =+，对函数求导判断A 、B 、C ；问题化为()0,x ∈+∞上()min a f x <，结合()f x 的极值()2200222000111ln (f x x x x x =+=+且0(1,2)x ∈求参数范围判断D.【详解】由题设()()222(ln ln )f x xf x x x =+'+，则()()2222(ln ln )xf x x f x x x x x +'+=，所以()222[][ln ]x f x x x ''=，故()222ln x f x x x C =+，其中C 为常数，()0,x ∈+∞，又()11f =，则()11f C ==，所以()222ln 1x f x x x =+，即()221ln f x x x=+，所以()32ln 2x f x x x '=-，故()242(1ln )6x f x x x-''=+，则()18f ''=，A 对；由()232(ln 1)x x f x x -'=且()0,x ∈+∞，令21ln ()x x x g =-在()0,x ∈+∞上递增，(1)10g =-<，1ln 20.4430)4(2g -=≈>，故0(1,2)x ∃∈使0()0g x =，即0201ln x x =，0(0,)x 上()0g x <，即()0f x '<，()f x 递减；0(,)x +∞上()0g x >，即()0f x ¢>，()f x 递增；所以()f x 有极小值，无极大值，B 对，C 错；由题设，()0,x ∈+∞上()min a f x <，即()2200222000111ln ()f x x a x x x =+=+>，令2011(,1)4t x =∈，则()20f x y t t ==+在1(,1)4t ∈上递增，故()05(,2)16f x y =∈，所以52163a ≤<，D 对.故选：ABD【点睛】关键点睛：根据题设条件得到()222[][ln ]x f x x x ''=，进而求得()221ln f x x x =+为关键.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知数列{}n a 满足211n n n a a a +-+=，且113a =，则9a =______．【答案】13【解析】【分析】先求得数列的周期性，再应用周期性求值即可.【详解】由211n n n a a a +-+=，得2421111211211nn n nn n n n n a a a a a a a a a +++---+====-+++，则95113a a a ===.故答案为：13.14.已知()220x x m m -+=∈R 的两共轭虚根为1x ，2x，且12x x +=，则m =______．【答案】3【解析】【分析】由根与系数关系有12122x x mx x =⎧⎨+=⎩，设11i x a =+，21i x a =-且R a ∈，结合题设和复数模长、乘法运算求参数.【详解】由题设12122x x mx x =⎧⎨+=⎩，可令11i x a =+，21i x a =-且R a ∈，所以2122x x a +==⇒=，所以21213x x a m =+==.故答案为：315.已知圆()()22:344C x y -+-=，过直线:4310l x y ++=上一动点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA PB +的最小值为______．【答案】425【解析】【分析】首先利用图形，解决向量的运算，再利用PC 的最小值，即可求解.【详解】如图，连结,CA CB ，CA PA ⊥，CB PB ⊥，AB 和CP 交于点D ，2PA PB PD += ，因为2PA PD PC =，所以2244PAPC PD PC PCPCPC-===-,设4y x x=-，易知其在()0,∞+为增函数，则PC 的最小值为圆心()3,4C 到直线:4310l x y ++=的距离5d ==，所以PD 的最小值为421555-=，那么PA PB + 的最小值为425.故答案为：42516.正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，E ，F 分别是棱CD ，1DD 的中点，M 是正方体的表面上一动点，当四面体BEFM 的体积最大时，四面体BEFM 的外接球的表面积为______．【答案】11π【解析】【分析】根据题意只需M 点离平面1BEFA 最远即可，构建空间直角坐标系，应用向量法求各点到面1BEFA 距离得到M 与1C 重合，再将1EFC △置于如下直角坐标系中求1EFC △外接圆圆心，进而确定空间坐标系中外接球球心O 坐标，即可求球的表面积.【详解】如下图，11////EF CD BA ，即1,,,B E F A 四点共面，要使四面体BEFM 的体积最大，只需M 点离平面1BEFA 最远即可，显然点D 、线段1CD 上点到平面1BEFA 距离都相等，构建下图空间直角坐标系D xyz -，则(0,1,0),(0,0,1),(2,2,0)E F B ，所以(0,1,1),(2,1,0)EF EB =-= ，若面1BEFA 的一个法向量为(,,)m x y z =，则020EF m y z EB m x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令2y =，则(1,2,2)m =- ，而11(0,2,0),(0,2,2),(2,0,0),(2,2,2)C C A B ，则(0,2,0)AB = ，(0,1,0)EC =，1(0,1,2)EC = ，1(0,0,2)BB =，所以A 到面1BEFA 距离为||43||m AB m ⋅= ，C 到面1BEFA 距离为||23||m EC m ⋅= ，1C 到面1BEFA 距离为1||2||m EC m ⋅= ，1B 到面1BEFA 距离为1||43||m BB m ⋅=，综上，正方体的表面上1C 到面1BEFA 距离最远，故四面体BEFM 的体积最大，M 与1C重合，首先确定1EFC △外接圆圆心1O 坐标，将1EFC △置于如下直角坐标系中，则1(2,2),(0,1),(1,0)C F E ，则1O 是直线1:DC y x =与1FC 的垂直平分线l 的交点，由112FC k =，则2l k =-，且1FC 中点为3(1,)2，故3:2(1)2l y x -=--，即:4270l x y +-=，联立76427076x y x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⎩⎪=⎪⎩，即177(,)66O 对应到空间直角坐标系的坐标为177(0,,66O ，由四面体BEFM 的外接球球心O 在过1O 垂直于面1EFC 的直线上，设77(,,66O n ，由||||OB OE ==76n =，=24π11π⨯=.故答案为：11π【点睛】关键点点睛：利用向量法求出正方体的表面上到面1BEFA 距离最远的点为关键.四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.疫情结束之后，演唱会异常火爆．为了调查“喜欢看演唱会和学科是否有关”，对本年级的100名老师进行了调查．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．()20P k χ≥0.0500.0100.0010k 3.8416.63510.828（1）完成下列22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为本年级老师“喜欢看演唱会”与“学科”有关；喜欢看演唱会不喜欢看演唱会合计文科老师30理科老师40合计50（2）三楼大办公室中有11名老师，有4名老师喜欢看演唱会，现从这11名老师中随机抽取3人，求抽到的3人中恰有1人喜欢看演唱会的概率．【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为本年级老师“喜欢看演唱会”与“学科”有关（2）2855【解析】【分析】（1）根据表格进行运算即可得到完整的列联表，再根据卡方计算公式运算对比临界值即可求解.（2）根据超几何分布的概率计算公式进行运算即可求解.【小问1详解】由表可知喜欢看演唱会的理科老师有503020-=人，理科老师共有204060+=人，文科老师共有1006040-=人，不喜欢看演唱会的文科老师有403010-=人，不喜欢看演唱会的人有104050+=人，完成22⨯列联表如下表所示：喜欢看演唱会不喜欢看演唱会合计文科老师301040理科老师204060合计5050100()()()()()()22210012002005016.667 3.841406050503n ad bc a b c d a c b d χ-⨯-===≈>++++⨯⨯⨯，故有95%的把握认为本年级老师“喜欢看演唱会”与“学科”有关.【小问2详解】由题意11名老师中，有4名老师喜欢看演唱会，有7名老师不喜欢看演唱会，若从这11名老师中随机抽取3人，求抽到的3人中恰有1人喜欢看演唱会，则只能从4名喜欢看演唱会的老师中抽取1人，从7名不喜欢看演唱会的老师中抽取2人，即所求的概率为1247311C C 42128C 16555p ⨯===.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，18AA =，6AB =，E ，F 为1CC 上分别靠近C 和1C 的四等分点，若多面体11AA B BEF 的体积为40．（1）求EF 到平面11AA B B 的距离；（2）求二面角1E AB B --的大小．【答案】（1）2；（2）π4.【解析】【分析】（1）由直三棱柱结构特征有11//CC AA ，应用线面平行判定证1//CC 面11AA B B ，问题化为求C 到面11AA B B 的距离，再结合面ABC ⊥面11AA B B ，进一步化为求ABC 中AB 上的高h ，根据多面体体积列方程求结果；（2）过C 作CD AB ⊥于D ，过E 作EH ⊥面11AA B B 于H ，连接,DH DE ，证AB ⊥面CEHD ，进而有EDH ∠为二面角1E AB B --的平面角，即可求大小.【小问1详解】直三棱柱111ABC A B C -中11//CC AA ，1CC ⊄面11AA B B ，1AA ⊂面11AA B B ，所以1//CC 面11AA B B ，即//EF 面11AA B B ，只需求C 到面11AA B B 的距离，又面ABC⊥面11AA B B ，面ABC ⋂面11AA B B AB =，则C 在面11AA B B 上的射影在直线AB 上，即C 到面11AA B B 距离为ABC 中AB 上的高h ，又E ，F 为1CC 上分别靠近C 和1C 的四等分点，且多面体11AA B BEF 的体积为40，所以111118622640232AA B BEF V h h =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，可得2h =，即EF 到平面11AA B B 的距离为2.【小问2详解】过C 作CD AB ⊥于D ，过E 作EH ⊥面11AA B B 于H ，连接,DH DE ，由（1）分析易知：,//CD EH CD EH =，即四边形CEHD 为平行四边形，由1CC ⊥面ABC ，AB ⊂面ABC ，则1CC AB ⊥，由1CD CC C = ，1,CD CC ⊂面CEHD ，则AB ⊥面CEHD ，而,DE DH ⊂面CEHD ，则AB DH ⊥，AB DE ⊥，故EDH ∠为二面角1E AB B --的平面角，由（1）知：2EH CD h ===，2CE DH ==，所以tan 1EH EDH DH ∠==，故锐二面角1E AB B --为π4.19.已知数列{}n a 满足12a =，23a =，且()*2123n n n a a a n +++=∈N．（1）求证：数列{}1n n a a +-为等比数列；（2）若()1111nn n n b a a +⎛⎫=-+⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项的和n S ．【答案】（1）证明见解析（2）1(1)221n n--++【解析】【分析】（1）根据已知等式变形得()2112n n n n a a a a +++-=-，利用等比数列的定义证明即可；（2）对项数n 分奇偶讨论，由裂项相消法求和可得.【小问1详解】()*2123n n n a a a n +++=∈N ，且12a =，23a =，()()*2112n n n n a a a a n +++∴=-∈-N ，且2110a a -=≠，()*2112n n n na a n a a +++=--∈∴N ，故数列{}1n n a a +-是以1为首项，2为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）知，112n n n a a -+-=，则有211a a -=，322a a -=，21,2n n n a a ---= ，各式相加得122111212222112n n n n a a ----=++++==--- ，又12a =，则121n n a -=+.()1111n n n n b a a +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则当n 为奇数时，122334111111111111n n n n n a a a S a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111221n n a a +=--=--+；当n 为偶数时，122334111111111111n n n n n a a a S a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++-++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111221n n a a +=-+=-++；综上所述，1(1)221n n n S -=-++.20.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，a c +成等比数列．（1）若π5A =，求角C ；（2）若ABC 的面积为S ，求2Sa 的取值范围．【答案】（1）2π5C =；（2）13(,22.【解析】【分析】（1）由题设可得22b a ac -=，结合余弦定理可得2cos c a a B =+，应用正弦边角关系、三角恒等变换可得sin()sin B A A -=，进而有B A A -=，即可求角C ；（2）由（1）有2B A =，结合锐角三角形得ππ64A <<，应用三角形面积公式、三角恒等变换可得2222tan (3tan )(1tan )S A A a A -=+，令tan 3t A =∈，利用导数求等式右侧单调性，再求值域即得范围.【小问1详解】由题设2()b a a c =+，即22b a ac -=，且π()C A B =-+，由2222cos 2cos b a c ac B a c a B =+-⇒=-，即2cos c a a B =+，所以sin sin 2sin cos C A A B =+，即sin()sin 2sin cos A B A A B +=+，所以cos sin sin sin cos A B A A B =+，故sin()sin B A A -=，所以B A A -=或πB A A -=-（舍），可得2π25B A ==，故2π5C =.【小问2详解】由（1）知2B A =，ABC 为锐角三角形，则π02π022π0π32A A A ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，可得ππ64A <<，又1sin 2S ac B =，则2sin sin sin sin(3)sin(2)22sin 2sin S c B C B A A a a A A===，所以221sin(3)cos sin cos cos 2cos sin 2sin 2(cos 2)2S A A A A A A A A A a ==+=+，又22tan sin 21tan A A A =+，221tan cos 21tan A A A -=+，故22222tan 1tan 1()1tan 1tan 2S A A a A A -=⨯+++，整理得2222tan (3tan )(1tan )S A A a A -=+，令3tan 3t A =∈，则32223()(1)S t t f t a t -==+，所以2423312()(1)t t f t t -+'=+，令42()123g t t t =-+，则2()4(6)0g t t t '=-<，故()g t在,1)3t ∈上递减，8()()039g t g <=-<，即()0f t '<，所以()f t在(,1)3t ∈上递减，故322231()(,)(1)22S t t f t a t -==∈+.21.已知抛物线2:4y x Γ=的准线l 交x 轴于M ，过()1,1P -作斜率为1k 的直线1l 交Γ于,C D ，过()1,1Q --作斜率为2k 的直线2l 交Γ于,E G ．（1）若抛物线的焦点2F l ∈，判断直线l 与以EG 为直径的圆的位置关系，并证明；（2）若,,C E M 三点共线，①证明：21k k -为定值；②求直线1l 与2l 夹角θ的余弦值的最小值．【答案】（1）相切，证明见解析（2）①1；②35【解析】【分析】（1）将直线EG 和抛物线联立，利用韦达定理，求出线段EG 的中点和长度，即可得以EG 为直径的圆的方程，通过判断圆心与直线l 的距离与半径的大小关系来去顶直线与圆的位置关系；（2）①设221212,,,44y y C y E y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过,,C E M 三点共线即斜率相等可得124y y =，再将其代入21212221111144y y k k y y +--=-++计算即可；②设直线12,l l 的倾斜角分别为,αβ，()2121tan tan tan tan 1tan tan 1k k k k βαθβαβα--=-==++，通过21,k k 的关系代入消2k ，通过直线和抛物型线相交，利用判别式求出1k 的范围，进而可得最值.【小问1详解】若抛物线的焦点2F l ∈，则直线EG 即为直线QF ，又()1,0F 故()10:111EG l y x --=---，整理得:210EG l x y --=联立22104x y y x--=⎧⎨=⎩，消去x 得2840y y --=，6416800D =+=>则8E G y y +=，124y y =-，所以()2218E G E G x x y y +=++=，且20EG =，故以EG 为直径的圆的圆的方程为()()2294100x y -+-=，其圆心为()9,4，半径为10，所以以EG 为直径的圆的圆心到直线l 的距离为9110+=，故直线l 与以EG 为直径的圆相切；【小问2详解】①设221212,,,44y y C y E y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()()()1,0,1,1,1,1M P Q ----，因为,,C E M 三点共线，所以CE CM k k =，即1212221211444y y y y y y -=-+，整理得124y y =，所以()()2212212121222221211111441111114444y y y y y y k k y y y y ⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭-=-=⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()222212112212122122222211221112444444121441644y y y y y y y y y y y y y y y y y y ⎛⎫+++-+-- ⎪++⎝⎭===+++++,即21k k -为定值1；②设直线12,l l 的倾斜角分别为,αβ，则()()21221111tan tan 11tan tan 1tan tan 1111324k k k k k k k βαθβαβα--=-====++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭由已知可得()11:11l y k x =++，联立()12114y k x y x⎧=++⎨=⎩，消去x 得2114440y y k k -++=，所以21144440k k ⎛⎫⎛⎫∆=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得11122k ---+<<，当112k =-时，()max 14tan 334θ==，此时θ最大，cos θ最小，此时由22sin 4cos 3sin cos 1θθθθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3cos 5θ=.即直线1l 与2l 夹角θ的余弦值的最小值为35.【点睛】关键点睛：本题关键是在解答第（2）①中设出点的坐标，将条件和目标式都坐标化，从而可以真正的通过计算得出结论.22.已知()()()2341e 3x f x x kx kx k =--+∈R （1）当0k =时，求()f x 过点()()1,1f 的切线方程；（2）若对[]1,2k ∀∈，[]0,x k ∈，不等式()f x a ≤恒成立，求实数a 的取值范围．[参考不等式：()21e 102x x x x ≥++≥]【答案】（1）22e e 0x y --=；（2）452e 3a ≥-.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；（2）构造()2()1e x g x x =-、343()kx kx h x =-并应用导数研究单调性，进而判断[]0,x k ∈上()()()f x g x h x =-最大值所在区间，利用导数研究()f x 在1(,]2x k ∈的最值，得到242max 4()(1)e 3k f x k k k =--+，利用导数求右侧最大值，即可得参数范围.【小问1详解】由题设()()21e x f x x =-，则()()221e xf x x '=-，所以()10f =，()21e f '=，故过点()()1,1f 的切线方程为2(e 1)y x =-，即为22e e 0x y --=.【小问2详解】下述过程均在[]1,2k ∈且[]0,x k ∈条件下，令()2()1e x g x x =-，则()2()21e xg x x '=-，令1()02g x x '=⇒=，故1[0,)2x ∈上()0g x '<，()g x 递减，1(,]2x k ∈上()0g x '>，()g x 递增，且21e (0)1,(,()(1)e 22k g g g k k =-=-=-，令343()kx kx h x =-，则2)()(41x h x k '-=，令1()02h x x '=⇒=，故1[0,)2x ∈上()0h x '<，()h x 递减，1(,]2x k ∈上()0h x '>，()h x 递增，且2214(0)0,(),()(1)233k h h h k k k ==-=-，由()()()f x g x h x =-，而11(0)((0)()22h h g g >>>，故1[0,2x ∈上()0f x <，32k =时33e 39()()()()2222g k g h k h ==>==，故1(,]2x k ∈上可能存在()0f x >（特殊值法判断最大值可能区间），要使不等式()f x a ≤恒成立，即max ()a f x ≥，只需找到1(,]2x k ∈上max ()f x ，在1(,]2x k ∈上2(21)(e 2)()x f x kx k x =-'--，显然210x ->，且()010f =-<，令22()e x kx k x ϕ=--且1(,]2x k ∈，则2e )0()2(x x k ϕ=->'且为增函数，若e [1,]2k ∈时01()()22e k x ϕϕ>=≥-，即()0f x '≥，()f x 递增，则max ()()f x f k =；若e (,2]2k ∈时e 01()22k ϕ=<-，22112(220))12(k k k k k k ϕ≥++⋅--=+>，所以01(,]2x k ∃∈使0200e 20()x x k x k ϕ--==，即020e 2x kx k =+，此时01(,)2x x ∈上()0f x '<，()f x 递减，0(,]x x k ∈上()0f x '>，()f x 递增，1e 0232k f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故01(,)2x x ∈上()0f x <，只需()0f k >则必为最大值，此时max ()f x 在0(,]x x k ∈上右侧端点上取得；综上，在[]1,2k ∈上确定2424()(1)e 3kf k k k k =--+的最大值即可，令2424()(1)e 3k k k k k φ=--+，[]1,2k ∈，则2316()(21)e 23k k k k k φ'=--+，令()()k k ηφ'=，则2()4(e 4)2k k k k η'=-+，对于2e 4k y k =-有22e 40k y '=->，即2e 4k y k =-在[]1,2k ∈上递增，所以22e 4e 40k y k =->->，即()0k η'>，则()()k k ηφ'=递增，所以216()(1)e 203k φφ''>=+->，即()k φ递增，则4max 52()(2)e 3k φφ==-，故4max 52()e 3f x =-，即452e 3a ≥-.【点睛】关键点睛：第二问，构造中间函数研究()f x 最大值位置，进而得到max ()f x 关于参数k 的表达式为关键.。

四川省德阳市重点高中2022届高三上学期第四阶段考试数学(理)试卷

2021年秋高2019级第四阶段考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{1,2,3}A =，{}(1)(2)0B x Z x x =∈+-<，则A B =（） A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{2,3}D ．{1}2．已知命题:,cos 1p x x ∀∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||11x e ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则下列命题中为真命题的是（） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨3．双曲线2212x y -=-的离心率是（）A 3B 2C 2D 34．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且{}n a 满足122n n n a a a ++=+，532a a -=，若424S S =，则9a =（） A ．9 B ．172C ．10D ．1925．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A ．16B ．2524C ．34D ．11126．已知实数,x y 满足条件：0301x y x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则1yx +的最大值为（）A ．12B ．2C ．35D ．17．经数学家证明：“在平面上画有一组间距为a 的平行线，将一根长度为()l l a ≤的针任意掷在这个平面上，此针与平行线中任一条相交的概率为2lp aπ=（其中π为圆周率）”某试验者用一根长度为2cm 的针，在画有一组间距为3cm 平行线所在的平面上投掷了n 次，其中有120次出现该针与平行线相交，并据此估算出π的近似值为103，则n =（）A ．300B ．400C ．500D ．6008．已知()63212x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（）A ．80B ．160C ．240D ．3209．已知函数32()2727f x x x x =--+，在下列说法中正确的是（） A ．(1,0)是函数()f x 的一个零点 B ．函数()f x 只有两个零点 C ．函数()f x 在(3,4)上至少有一个零点 D ．函数()f x 在(3,4)上没有零点10．设向量()()()0,1,21b OC ，a OB ，，OA -=-=-=其中O 为坐标原点，0a >，0b >，若A ，B ，C 三点共线，则12a b +的最小值为（） A ．4B ．6C ．8D ．911．已知一圆锥底面圆的直径为333a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为（）A ．3B 2C ．9322D 3212．已知实数a 、b ，满足526log 6log 25a =+，345a a b +=，则关于a 、b 下列判断正确的是（） A ．a ＜b ＜2B ．b ＜a ＜2C ．2＜a ＜bD ．2＜b ＜a二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．复数12i=-z （i 为虚数单位），则z z ⋅=__． 14．某市举行高三数学竞赛，有6个参赛名额分给甲乙丙三所学校，每所学校至少分得一个名额，共有______种不同的分配方法.（用数字作答） 15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()12p a b c =++，则三角形的面积()()()S p p a p b p c =---中，故称该公式为海伦公式．将海伦公式推广到凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧）中，即“设凸四边形的四条边长分别为a ，b ，c ，d ，()12p a b c d =+++，凸四边形的一对对角和的一半为θ，则凸四边形的面积()()()()2cos S p p a p b p c p d abcd θ=-----．如图，在凸四边形ABCD 中，若2AB =，4BC =，5CD =，3DA =，则凸四边形ABCD 面积的最大值为________．16．已知点A 在抛物线23y x =上，过点A 作抛物线的切线与x 轴交于点B ，抛物线的焦点为F ，若30BAF ∠=︒，则A 的坐标为___________.三、解答題：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.17.(本题满分12分)已知函数 f (x) = sin 2 x - sin x cos x .(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)把 f (x)的图象沿x 轴向右平移8π个单位得到函数g(x)的图象，求不等式g(x)≤0的解集.18.（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列｛n a ｝满足1a =1,且1a ,2a ,5a 成等比数列.（1）求数列｛n a ｝的通项公式；（2）若12-=n n b 求数列｛n n b a ⋅｝的前n 项和n T ；19.（本小题满分12分）某高中生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x 和销售量y 之间的一组数据如表所示：月份 1 2 3 4 5 6 销售单价（元） 9 9.5 10 10.5 11 8 销售量（件） 111086514.2（1）根据1至5月份的数据，y 与x 近似满足线性回归方程，求出y 关于x 的线性回归方程；（2）若由回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归方程是理想的，试问是否可以认为所得到的回归方程是理想的？（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）20.(本题满分12分)如图，四边形ABEF 为正方形，若平面ABEF 丄平面ABCD , AD//BC , AD ⊥DC, AD=2DC=2BC .（1）求二面角A-CF-D 的余弦值；（2）判断点D 与平面CEF 的位置关系，并说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数()x f = 1ln +-ax x (R a ∈). （1）函数()0≤x f 在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围; （2）求证：当*N n ∈,2≥n 时，311311211222<⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n ；（3）若()x f 有两个不同的零点1x ，2x ,求证：2211a x x <.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程如图，在极坐标系Ox 中，正方形OBCD 的边长为2.（1）求正方形OBCD 的边BC , CD 的极坐标方程；（2）若以O 为原点，OB ,OD 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，曲线E ：522=+y x 与边BC , CD 分别交于点P,Q ，求直线PQ 的参数方程.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()x f =|x + 2| + |x -l|. （1）求不等式()x f <5的解集；（2）设函数()x f 的最小值为m ,若c b a ,,均为正数，且m c b a =++222 .求证：3≤++c b a .参考答案1．D【分析】先求得集合{}0,1B =，再根据交集定义得解.【详解】∵{}{}{}(1)(2)0120,1B x Z x x x Z x =∈+-<=∈-<<=，{1,2,3}A =， ∴A B ={1}，故选：D. 2．B【分析】根据题意得命题p 是假命题，命题q 是真命题，再依次判断即可. 【详解】解：当0x =，cos 1x =，命题:,cos 1p x x ∀∈<R 是假命题；命题:q x ∀∈R ﹐||111x e e ⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是真命题，所以p q ∧，p q ∧⌝，()p q ⌝∨是假命题，p q ⌝∧是真命题故选：B 3．D【分析】根据双曲线方程求出,,a b c ，即可求出离心率. 【详解】解：根据题意得2212x y -=-，即2212x y -=故21a =，22b =，2223c a b =+=，即1,a b c ===ce a∴=D 4．B【分析】根据122n n n a a a ++=+判断出{}n a 是等差数列，然后将条件化为基本量，进而解出答案.【详解】由122n n n a a a ++=+可知，{}n a 是等差数列，设公差为d ，所以53221a a d d -==⇒=，由()1421114642241S S a a a ⇒+=⨯+⇒==，所以9117822a =+=. 故选：B.5．D 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量1110246S =+++的值，计算求解即可．【详解】模拟的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量1110246S =+++的值，由于11111024612S =+++= 故选：D ．6．C 【分析】画出可行域，利用斜率的几何意义求解. 【详解】根据约束条件画出可行域如图所示，1yx +表示可行域内的点与定点()1,0-的连线的斜率.解方程组030x y x y -=⎧⎨+-=⎩的33,22A ⎛⎫⎪⎝⎭,1yx +的最大值为3323512=+ 故选C. 7．A【分析】根据题意此针与平行线中任一条相交的概率为2lp aπ=列出关系式2120lnπα=，从而求n . 【详解】根据题意，得2120lnπα=，即221201033n ⨯=⨯，所以300n =. 故选：A. 8．D【分析】令1x =解得2a =，再求得6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式求解.【详解】令1x =得6(1)(21)3a +-=，解得2a =，则6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为666316621C (2)(1)2C rr r r r r rr T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则()632122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为26223633662(1)2C (1)2C 320--⨯-+-=．故选：D 9．C【分析】求出函数的零点，根据函数零点的概念依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，函数的零点不是坐标，故错误；对于B 选项，()()()()()322()27272712711f x x x x x x x x x =--+=--=--+，故()0f x =得7,12x x ==±，即函数有三个零点，故错误；对于C 、D 选项，7(3,4)2x =∈，故函数()f x 在(3,4)上至少有一个零点，故C 正确，D 错误；故选：C 10．C【分析】根据向量共线定理可得21a b +=，再应用基本不等式“1”的代换求12a b+的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，(1,1)AB OB OA a =-=-，(1,2)AC OC OA b =-=--，A ，B ，C 三点共线，∴AB AC λ=且R λ∈，则1(1)21a b λλ-=-+⎧⎨=⎩，可得21a b +=，∴11()(2)42244428a b a b a b a b b ba b a a+=++=++≥+⋅=，当且仅当122b a ==时等号成立.∴112+a b的最小值为8 故选：C. 11．B【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a 的最大值．【详解】依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球设球心为P ，球的半径为r ，下底面半径为R ，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q ，圆锥的轴截面如图：则32OA OB ==，因为332SO =，故可得：223SA SB SO OB ==+=；所以SAB △为等边三角形，故P 是SAB △的中心，连接BP ，则BP 平分SBA ∠，所以30PBO ∠=︒；所以tan 30r R︒=，即33333322r R ==⨯=，即四面体的外接球的半径为32r =．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a 2，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以12r==，所以a=即a．故选：B．【点睛】本题考查了正四面体的外接球，将正四面体的外接球转化为正方体的外接球，是一种比较好的方法，本题属于难题．12．D【分析】先根据526log6log25a=+判断a接近2，进一步对a进行放缩，536log6log25a>+，进而通过对数运算性质和基本不等式可以判断a>2；根据b的结构，构造函数()341,R55x xf x x⎛⎫⎛⎫=+-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得出函数的单调性和零点，进而得到a,b的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案.【详解】225265365565651 log6log25log6log25log6log5log6log5log6log6a=+>+=+=+=+2>=.构造函数：()341,R55x xf x x⎛⎫⎛⎫=+-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知函数()f x是R上的减函数，且()20f=，由2a>，可知：()341034555a aa a af a⎛⎫⎛⎫=+-<⇒+<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又345a a b+=，∴55b a<，则a>b.又∵2253434252b a a b=+>+=⇒>，∴a>b>2.故选：D.【点睛】对数函数式比较大小通常借助中间量，除了0和1之外，其它的中间量需要根据题目进行分析，中间会用到指对数的运算性质和放缩法；另外，构造函数利用函数的单调性比较大小是比较常用的一种方法，需要我们对式子的结构进行仔细分析，平常注意归纳总结.13．15【分析】根据复数的除法运算化简z ，再求出z ，利用复数的乘法运算计算即可求解.【详解】()()12i 21i 2i 2i 2i 55z +===+--+，则21i 55z =-2121411i i 555525255z z ⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪⎪⎝⎭⋅=⎝⎭，故答案为：15. 14．10【分析】名额之间无差别，用隔板法即可得出结果.【详解】6个名额分给其他3个学校，由隔板法知有25=10C 种方法，故答案为：10 15．2102【分析】由已知，将边长代入后可将面积转化为2cos θ的最值问题【详解】因为()12p a b c d =+++，且2AB =，4BC =，5CD =，3DA =，所以()172p AB BC CD DA =+++=,∴S =θ2cos 840abcd - 当2cos θ=0即当90θ=︒的时候，S 取到最大值2102 故答案为:210216．9,4⎛ ⎝⎭【分析】设出A 点坐标，求得切线方程，由此求得B 点坐标，根据cos 30BAF ∠=︒列方程，解方程求得A 点的坐标.【详解】3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，设200,3y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，00y ≠，依题意可知过A 点的切线斜率存在且不为0，设为k ，则切线方程为203y y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即2003kyy kx y =+-，由200233ky y kx y y x⎧=+-⎪⎨⎪=⎩，化简得2200330k y y y ky ⋅-+-=，()2009430k y ky ∆=--=，220041290k y ky -+=，()20230ky -=，032k y =，故切线方程为2000323y y y x y ⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭，令0y =得203y x =-，故20,03y B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2002,3y AB y ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，20094,12y AF y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，依题意，3cos 2AB AF BAF AB AF⋅∠==⋅222000294y y y --⋅+=， 204y =42004270y y -=，由于00y ≠，故20027,4y y ==，此时20027193434yx ==⨯=，所以A 点坐标为9,4⎛⎝⎭.故答案为：9,4⎛ ⎝⎭【点睛】本题的难点有两个，一个是求过A 的切线方程，另一个是利用30BAF ∠=︒来列方程，解方程的过程中要注意运算的准确性.18.19.21.。

重庆市2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题含答案

重庆高2024届高三上10月质量监测数学试题（答案在最后）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.1.定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x b a a A b B ⊗==-∈∈，若{1,4},{1,2}A B ==-，则A B ⊗中的元素个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】计算可求得{}0,3,3A B ⊗=-，可得结论.【详解】因为{1,4},{1,2}A B ==-，当1,1a b ==-时，20x b a =-=，当1,2a b ==时，23x b a =-=，当4,1a b ==-时，23x b a =-=-，当4,2a b ==时，20x b a =-=，所以{}0,3,3A B ⊗=-，故A B ⊗中的元素个数为3.故选：C.2.直线10ax y +-=被圆22(1)(4)4x y -+-=所截得的弦长为a =（）A.43-B.34-C.3D.2【答案】A 【解析】【分析】先求出圆心到直线10ax y +-=的距离，结合点到直线的距离公式，即可得出a 的值.【详解】圆22(1)(4)4x y -+-=的圆心为(1,4)，半径为2r =，1=，根据点到直线距离公式，知圆心(1,4)到直线10ax y +-=的距离1d ==，化简可得22(3)1a a +=+，解得43a =-.故选：A.3.已知:p x a ≥，:||6q x a +<，且p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围为（）A.(−∞,−3]B.(−∞,−3)C.[3,+∞)D.(3,+∞)【答案】A 【解析】【分析】由题意可得6a a ≤--，求解即可.【详解】由||6x a +<，解得66a x a --<<-，由p 是q 的必要不充分条件，所以6a a ≤--，解得3a ≤-，所以a 的取值范围为(,3]-∞-.故选：A.4.下列说法中，正确的是（）A.设一组样本数据12,,,n x x x 的方差为0.1，则数据1210,10,,10n x x x 的方差为1B.已知数据2，3，5，7，8，9，10，11，则该组数据的上四分位数为9C.一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数近似相等D.频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数【答案】C 【解析】【分析】依据方差的性质计算可判断选项A ；求得四分位数可判断选项B ；依据中位数定义和平均数定义去判断选项C ；由频率直方图的意义可判断D.【详解】对于A ，设一组样本数据12,,,n x x x 的方差为0.1，则数据1210,10,,10n x x x 的方差为2100.110⨯=，故A 错误；对于B ，因为80.756⨯=，所以该组数据的上四分位数为9109.52+=，故B 错误；对于C ，一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数近似相等，故C 正确；对于D ，频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，故D 错误.故选：C.5.已知3a log 6=，5log 10b =，7log 14c =，则（）A.b a c << B.c b a<< C.a b c<< D.a c b<<【答案】B 【解析】【分析】根据对数的运算和对数函数的性质即可求解.【详解】因为3321log 61log 21,log 3a ==+=+5521log 101log 21log 5b ==+=+,7721log 141log 21log 7c ==+=+且222log 7>log 5log 3>0>；所以a b c >>.故选：B.6.已知2F 是椭圆()222210+=>>x y a b a b的右焦点，点P 在椭圆上，()220OP OF PF +⋅= ，且22OP OF b +=，则椭圆的离心率为（）A.3B.5C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】设2PF 的中点为Q ，根据向量的线性运算法则及数量积的定义可得2OQ PF ⊥，从而得到12PF PF ⊥，根据22OP OF b +=得到1||2PF b =，再根据椭圆的定义得到2||PF ，在直角三角形中利用勾股定理得到23b a =，最后根据离心率公式计算可得；【详解】解：设2PF 的中点为Q ，则22OP OF OQ += 由22()0OP OF PF +⋅= ，即220OQ PF ⋅=所以2OQ PF ⊥，连接1PF 可得1//OQ PF ，所以12PF PF ⊥，因为22OP OF b += ，即22OQ b =，即1||2PF b=所以21||2||22PF a PF a b =-=-，在12R t PF F 中，2221212||||||PF PF F F +=，即()()2222224c b a b -+=，又222c a b =-，所以222222b a b ab a b +=+--，所以232b ab =，即23b a =解得22222513c a b b e a a a -===-，故选：A7.设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝212x⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则在区间(－2，6)上关于x 的方程f(x)－log 8(x＋2)＝0的解的个数为A.4 B.3C.2D.1【答案】B 【解析】【分析】把原方程转化为()y f x =与8log (2)y x =+的图象的交点个数问题，由(2)(2)f x f x +=-，可知()f x 的图象关于2x =对称，再在同一坐标系下，画出两函数的图象，结合图象，即可求解．【详解】由题意，原方程等价于()y f x =与8log (2)y x =+的图象的交点个数问题，由(2)(2)f x f x +=-，可知()f x 的图象关于2x =对称，作出()f x 在(0,2)上的图象，再根据()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，结合对称性，可得作出()f x 在()2,6-上的图象，如图所示．再在同一坐标系下，画出8log (2)y x =+的图象，同时注意其图象过点(6,1)，由图可知，两图象在区间()2,6-内有三个交点，从而原方程有三个根，故选B．【点睛】本题主要考查了对数函数的图象，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记对数函数的性质，合理应用函数的奇偶性，在同一坐标系内作出两函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用，属于中档试题．8.已知函数() )2023f x x =-+，,a b 满足 (2)(4)4046(,f a f b a b +-=为正实数)，则242b a a ab b ++的最小值为（）A.1B.2C.4D.658【答案】B 【解析】【分析】由已知构造函数()()2023g x f x =-，探讨函数()g x 的单调性、奇偶性，进而求得24a b +=，再利用基本不等式求解即得.【详解】令()()2023)g x f x x =-=-||x x >≥，得()g x 定义域为R ，()()))ln10g x g x x x -+=+==，即函数()g x 是奇函数，而())g x x -=-，当0x ≥时，函数u x =+是增函数，又ln y u =是增函数，于是函数()g x 在[0,)+∞上单调递减，由奇函数的性质知，函数()g x 在(,0]-∞上单调递减，因此函数()g x 在R 上单调递减，由(2)(4)4046f a f b +-=，得(2)2023(4)20230f a f b -+--=，即(2)(4)0g a g b +-=，所以(2)(4)(4)g a g b g b =--=-，则24a b =-，即24a b +=，又0,0a b >>，所以244422(2)4b b b a ab b a b a a a a a b b +=+=+≥++，当且仅当164,99a b ==时取等号，所以242b a a ab b ++的最小值为2.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.9.已知1,0a b c >><，则（）A.c a <cbB.()ac ->()bc -C.a cb a +⎛⎫< ⎪⎝⎭b cb a +⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()log b a c ->()log a b c -【答案】CD 【解析】【分析】对于A,B ，取特殊值判断即可；对于C,利用指数函数的单调性判断即可；对于D,利用对数函数的单调性判断即可.【详解】对于A,不妨取4,2,c 1a b ===-，则c 1c 1,42a b =-=-,此时c ca b>,故A 错误;对于B,不妨取4,2,c 1a b ===-,则42()11,()11a b c c -==-==，此时()()a b c c -=-,故B 错误;对于C,因为1a b >>,所以01b a <<,所以指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，因为0c <,所以a c b c +>+,所以a cb cb b a a ++⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确;对于D,因为1a b >>,所以对数函数log b y x =和log a y x =在()0,∞+上单调递增，因为0c <,所以1a c b c ->->,所以()()log log 0b b ac b c ->->又()()log log 0b a b c b c ->->,所以()()log log b a a c b c ->-,故D 正确.故选：CD.10.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.现安排小明、小红、小兵3名志愿者到甲、乙、丙、丁四个场馆进行服务.每名志愿者只能选择一个场馆，且允许多人选择同一个场馆，下列说法中正确的有（）A.所有可能的方法有43种B.若场馆甲必须有志愿者去，则不同的安排方法有37种C.若志愿者小明必须去场馆甲，则不同的安排方法有16种D.若三名志愿者所选场馆各不相同，则不同的安排方法有24种【答案】BCD 【解析】【分析】利用分步乘法计数原理判断AC 选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B 选项的正确性，利用排列数计算判断D 选项的正确性.【详解】对于A ，所有可能的方法有34种，故A 错误.对于B ，分三种情况：第一种：若有1名志愿者去场馆甲，则去场馆甲的志愿者情况为13C ，另外两名同学的安排方法有339⨯=种，此种情况共有13C 927⨯=种，第二种：若有两名志愿者去场馆甲，则志愿者选派情况有23C ，另外一名志愿者的排法有3种，此种情况共有23C 39⨯=种，第三种情况，若三名志愿者都去场馆甲，此种情况唯一，则共有279137++=种安排方法，B 正确.对于C ，若小明必去甲场馆，则小红，小兵两名志愿者各有4种安排，共有4416⨯=种安排，C 正确.对于D ，若三名志愿者所选场馆各不同，则共有34A 24=种安排，D 正确.故选：BCD.11.已知双曲线22:1(01)91x y C k k k +=<<--，则（）A.双曲线C 的焦点在x 轴上B.双曲线C 的焦距等于C.双曲线CD.双曲线C的离心率的取值范围为1,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的简单几何性质，对各选项逐一分析即可得答案.【详解】解：对A ：因为01k <<，所以90k ->，10k -<，所以双曲线22:1(01)91x y C k k k-=<<--表示焦点在x 轴上的双曲线，故选项A 正确；对B ：由A 知229,1a k b k =-=-，所以222102c a b k =+=-，所以c =所以双曲线C的焦距等于)21c k <<=，故选项B 错误；对C ：设焦点在x 轴上的双曲线C 的方程为()222210,0x ya b a b-=>>，焦点坐标为(),0c ±，则渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=，所以焦点到渐近线的距离d b ==，所以双曲线22:1(01)91x y C k k k -=<<--C 正确；对D ：双曲线C的离心率e ===，因为01k <<，所以8101299k <-<-，所以13,e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝=⎭，故选项D 正确.故选：ACD.12.信息熵常被用来作为一个系统的信息含量的量化指标，从而可以进一步用来作为系统方程优化的目标或者参数选择的判据.在决策树的生成过程中，就使用了熵来作为样本最优属性划分的判据.信息论之父克劳德·香农给出的信息熵的三个性质：①单调性，发生概率越高的事件，其携带的信息量越低；②非负性，信息熵可以看作为一种广度量，非负性是一种合理的必然；③累加性，即多随机事件同时发生存在的总不确定性的量度是可以表示为各事件不确定性的量度的和.克劳德⋅香农从数学上严格证明了满足上述三个条件的随机变量不确定性度量函数具有唯一形式21()log1nii i H X CP P ==-=∑，令1=C ，设随机变量X 所有取值为1，2，3，⋯，n ，且()()01,2,3,,i P X i P i n ==>= ，11nii P ==∑，则下列说法正确的有（）A.1n =时，()0H X =B.n =2时，若1P ∈10,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()H X 的值随着1P的增大而增大C.若1P =2P =112n -，1k P +=2kP (2,N k k ≥∈)，则()2122n H X -=-D.若2n m =，随机变量Y 的所有可能取值为12m ，，，，且()()()()2112P Y j P X j P X m j j m ===+=+-= ，，，，，则()()H X H Y ≤【答案】ABC 【解析】【分析】A 直接利用公式求解；B 先求出()2log H X n =,再判断单调性即可求解；CD 分别求出()H X 和()H Y ,结合对数函数单调性放缩即可求解.【详解】对于A ：若1n =,则11,1i P ==,因此()()21log 10,A H x =-⨯=正确;对于B ：当2n =时,()()()112112110,,log 1l 12P H x PP P og P ⎛⎫∈=---- ⎪⎝⎭，令()()()221log 1log 1,0,2f t t t t t t ⎛⎫=----∈ ⎪⎝⎭，则()()2221log log 1log 10f t t t t ⎛⎫=-+-=-> ⎪⎝⎭'，即函数()f t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,所以()H x 的值随着1P的增大而增大,B 正确;对于C ：()12111,22,N 2k k n P P P P k k +-===≥∈，则22211212,222k k k n n k P P k ----+=⨯==≥，22111111log log 222k k n k n k n k n k P P -+-+-+-+==-,，而1212111111log log 222n n n n P P ----==-，于是()2111222111221log ...222222n k k n n n n k n n n n H x P P ----=----=+=+++++∑1122112212222222n n n n n n n n n n ------=-++++++ 令231123122222n n n n nS --=+++++ ，则234112312221222n n n S n n +-=+++++ ，两式相减得2311111111111222112222222212n n n n n n n n n S +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++-=-=-- ，因此222n n n S +=-,()112112122222222nn n n n n n n n n n n H x S -----+=-+=-+-=-，C 正确；对于D ,若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()()()()21,1,2,,P Y j P X j P X m j j m ===+=+-=⋯,222211()l 1og log m mi i i i i iH x P P P P ===-=∑∑122221222122121111log log log log m m m m P P P P P P P P --=++++ ()()()()122221212122211111log log log m m m m mm m m H Y P P P P P P P P P P P P -+-+=+++++++++ 12222122212221221121111log log log log m m m m m mP P P P P P P P P P P P ---=++++++++ 由于()01,2,,2i P i m >= ,即有2111i i m i P P P +->+,则222111log log i i m iP P P +->+,因此222111log log i i i i m iP P P P P +->+,所以()()H X H Y >,D 错误.故选:ABC .三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知P 为椭圆221123x y +=上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，1260F PF ∠︒＝，则12F PF 的面积为_______.【解析】【分析】结合椭圆定义与余弦定理、面积公式计算即可得.【详解】由已知得a =，b =，所以3c ===，从而1226F F c ==，在12F PF 中，2221212122cos 60F F PF PF PF PF ⋅︒＝＋－，即22121236PF PF PF PF ⋅＝＋－①，由椭圆的定义得12PF PF +=，即221212482PF PF PF PF ⋅＝＋＋②，由①②得124PF PF ⋅＝，所以12121sin 602F PF S PF PF ⋅⋅=︒= .14.若a ，0b >，且3ab a b =++，则ab 的最小值是____________．【答案】9【解析】【分析】利用基本不等式得3a b ab +=-≥，再解不等式可得结果.【详解】因为3a b ab +=-≥（当且仅当a b =时，等号成立），所以230--≥，所以1)0-+≥3≥，所以9ab ≥，所以ab 的最小值为9.故答案为：915.设关于x 的不等式220(0)x ax a a -+<<的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数解，则实数a 的取值范围为___________.【答案】1[1,3--【解析】【分析】令2()2f x x ax a =-+，根据不等式220(0)x ax a a -+<<解集A 中恰有两个整数解，结合二次函数性质判断整数解为0,1-，从而列出不等式，求得答案.【详解】由题意可得当a<0时，280a a ∆=->，令2()2f x x ax a =-+，则其图象对称轴为02ax =<，且(0)20f a =<，故关于x 的不等式220(0)x ax a a -+<<解集A 中恰有两个的整数解为0,1-，则(1)130f a -=+<且(2)440f a -=+≥，解得113a -≤<-，故答案为：1[1,3--.16.已知函数()12e 0ƒ210x x x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，，，若方程()2f x ⎡⎤⎣⎦−()bf x +4=0有6个相异的实数根，则实数b 的取值范围是__________.【答案】44e eb <<+【解析】【分析】根据题意,作出函数()1|2e ,021,0x x f x x x x -⎧>=⎨--+≤⎩∣的图象,进而数形结合,将问题转化为方程240t bt -+=有两个不相等的实数根12,t t ,再结合二次函数零点分布求解即可.【详解】根据题意,作出函数()1|2e ,021,0x x f x x x x -⎧>=⎨--+≤⎩∣的图象,如图:令()t f x =，因为方程()()240fx bf x -+=有6个相异的实数根,所以方程240t bt -+=有两个不等的实根，所以2160b ∆=->,解得4b <-或4b >,不妨设这两根12t t <,则1212t t =⎧⎨=⎩或12122e t t <<⎧⎨<<⎩,当1212t t =⎧⎨=⎩时，123t t b +==，且1224t t ==，所以无解；当12122e t t <<⎧⎨<<⎩时，令()24g t t bt =-+,只需()()()1020e 0g g g ⎧>⎪<⎨⎪>⎩,即21404240e e 40b b b -+>⎧⎪-+<⎨⎪-+>⎩,解得44e e b <<+,终上所述：44e eb <<+.故答案为:44e eb <<+.四、解答题：本大题共6小题，共70分.17.已知函数() 938xf x a x =-⋅+.（1）当2a =时，求不等式() 16f x ≥的解集；（2）若函数() f x 在()0,∞+有零点，求实数a .【答案】（1）[)3log 4,+∞（2）)⎡+∞⎣【解析】【分析】（1）令()30xt t =>，则()()280g t t at t =-+>，再由()16f x ≥，解不等式即可；（2）函数()f x 在0,+∞有零点等价于函数()g t 在1,+∞上有零点，即8a t t=+在1,+∞上有解，由基本不等式求出a 的取值范围.【小问1详解】因为()938xf x a x =-⋅+，令()30xt t =>，则()()280g t t at t =-+>，当2a =时，()()2280g t t t t =-+>，()16f x ≥即()16g t ≥，即2280t t --≥，由0t >，解得4t ≥，即34x ≥，解得3log 4x ≥，所以原不等式的解集为[)3log 4,∞+.【小问2详解】因为函数3x t =在R 上单调递增，所以函数()f x 在0,+∞有零点等价于函数()g t 在1,+∞上有零点，280t at -+=由大于1的解，即8a t t=+在1,+∞上有解，因为8t t +≥=8t t =，即t =时等号成立，得a ≥所以实数a 的取值范围为)∞⎡+⎣.18.已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(4,P .（1）求双曲线的方程；（2）直线l y kx =+：C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围.【答案】（1）22166x y -=（2）13k <<【解析】【分析】（1）根据题意求解双曲线方程即可；（2）联立直线和双曲线方程，通过判别式大于0，及12120,0x x x x +求解即可.【小问1详解】双曲线的中心在原点,焦点在x 轴上,设双曲线的方程为22221(0,0)x ya b a b-=>>由c e a ===,可得a b =,由双曲线过点(4,,可得2216101a b-=,解得6a b ==,则双曲线的标准方程为22166x y -=;【小问2详解】联立直线与双曲线方程22166x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，化简得()22180kx---=，则210k -≠，假设1122()A x y B x y ,,(,),则()222122122Δ)3213224001801k k x x k x x k ⎧=+-=->⎪⎪⎪+=<⎨-⎪-⎪=>⎪-⎩，解得13k <<.19.已知()x f x e ex =-+（e 为自然对数的底数）（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）设21()ln 2g x x x ax =++，若对任意1(0,2]x ∈，总存在2(0,2]x ∈．使得()()12g x f x <，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）1,ln 212⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数导数，判断出单调性，即可求出最值；（Ⅱ）问题转化为()()12max g x f x <，即()0g x <在(]0,2恒成立，分离参数可得ln 12x a x x ->+，构造函数()(]ln 1,0,22x h x x x x =+∈，利用导数求出函数的最大值即可.【详解】（Ⅰ） ()x f x e ex =-+，()xf x e e '∴=-+，令()0f x '>，解得1x <；令()0f x '<，解得1x >，()f x \在−∞,0单调递增，在()1,+∞单调递减，()()max 10f x f ∴==；（Ⅱ）对任意1(0,2]x ∈，总存在2(0,2]x ∈．使得()()12g x f x <等价于()()12max g x f x <，由（Ⅰ）()()2max 10f x f ==，则问题转化为()0g x <在(]0,2恒成立，化得21ln ln 122x xx a x x x +->=+，令()(]ln 1,0,22x h x x x x =+∈，则()21ln 12x h x x -'=+，当(]0,2x ∈时，1ln 0x ->，得()0h x '>，()h x ∴在(]0,2单调递增，()()max 12ln 212h x h ∴==+，则1ln 212a ->+，即1ln 212a <--，故a 的取值范围为1,ln 212⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将问题转化为()()12max g x f x <，即()0g x <在(]0,2恒成立.20.图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,,O M N 分别为线段11,,BC AA BB 的中点，P 为线段1AC 上的动点，11,3,4,82AO BC AB AC AA ====.（1）求三棱锥1C C MN -的体积；（2）试确定动点P 的位置，使直线MP 与平面11BB C C 所成角的正弦值最大.【答案】（1）16（2）P 为1AC 的中点【解析】【分析】（1）由题意可得BA ⊥平面11AA C C ，进而可证MN ⊥平面11AA C C ，利用等体积法可求三棱锥1C C MN -的体积；（2）以A 为原点，以1,,AB AC AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,发现为的中点时所成角的正弦值最大.【小问1详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，因为AB ⊂平面ABC ，所以1CC AB ⊥，由12AO BC =，O 是BC 的中点，则BA AC ⊥，因为1AC CC C = ，1,AC CC ⊂平面11AA C C ，所以BA ⊥平面11AA C C ，因为,M N 分别为线段11,AA BB 的中点，所以//MN AB ，所以MN ⊥平面11AA C C ，因为13,4,8AB AC AA ===，所以N 平面1CC M 的距离为3，因为四边形11AA C C 为矩形，M 为线段1AA 的中点，所以116CC M S = ，所以111163163C C MN N CC M V V --==⨯⨯=.【小问2详解】在ABC V 中，因为O 是BC 的中点，12AO BC =，所以BA AC ⊥，因为1AA ⊥平面ABC ，,AB AC ⊂平面ABC ，所以11,,AA AB AA AC ⊥⊥以A 为原点，以1,,AB AC AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,由题设可得11(0,0,0),(3,0,0),(0,4,0),(0,4,8),(0,0,4),(3,0,8),(3,0,4)A B C C M B N ，1(3,4,0),(0,0,8)BC BB =-=，设平面11BB C C 的法向量为(,,)n x y z =，则1·340·80BC n x y BB n z ⎧=-+=⎪⎨==⎪⎩ ，令4x =，得3,0y z ==，所以平面11BB C C 的法向量为(4,3,0)n =，设(,,)P a b c ，1(01)AP mAC m =≤≤，则(,,)(0,4,8)a b c m =，所以(0,4,8)P m m ，(0,4,84)MP m m =-，设直线MP 与平面11BB C C 所成的角为θ，则222||sin ||||516(84)5541n MP n MP m m m m θ===+--+，若0m =，sin 0θ=此时，点P 与A 重合；若0m ≠，令11t m=≥，则2233355545(2)1sin t t t θ=≤-+-+=，当2t =，即12m =，P 为1AC 的中点时，sin θ取得最大值35.21.树德中学为了调查中学生周末回家使用智能手机玩耍网络游戏情况，学校德育处随机选取高一年级中的100名男同学和100名女同学进行无记名问卷调查.问卷调查中设置了两个问题：①你是否为男生?②你是否使用智能手机玩耍网络游戏?调查分两个环节：第一个环节：先确定回答哪一个问题，让被调查的200名同学从装有3个白球，3个黑球(除颜色外完全相同)的袋子中随机摸取两个球，摸到同色两球的学生如实回答第一个问题，摸到异色两球的学生如实回答第二个问题；第二个环节：再填写问卷(只填“是”与“否”).回收全部问卷，经统计问卷中共有70张答案为“是”.（1）根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计该校中学生使用智能手机玩耍网络游戏的概率；（2）据核查以上的200名学生中有30名男学生使用智能手机玩耍网络游戏，按照(1)中的概率计算，依据小概率值α=0.15的独立性检验，能否认为中学生使用智能手机玩耍网络游戏与性别有关联；若有关联，请解释所得结论的实际含义.参考公式和数据如下：()()()()()22n ad bcn a b c da b c d a c b dχ-==+++ ++++，.α0.150.100.050.0250.005 xα 2.072 2.706 3.841 5.0247.879【答案】（1）1 4（2）有关联，答案见解析【解析】【分析】(1)由题可得摸到同色两球的概率，进而可得回答第一个问题的人数及选择“是”的人数，再利用古典概型概率公式即得；(2)通过计算2χ，进而即得.【小问1详解】因为摸到同色两球的概率223326C+C2C5 p==，所以回答第一个问题的人数为2 200805⨯=人，回答第二个问题的人数为20080120-=人，因为男女人数相等，是等可能的，所以回答第一个问题，选择“是”的同学人数为180402⨯=人，则回答第二个问题，选择“是”的同学人数为704030-=人，所以估计中学生在考试中有作弊现象的概率为301 1204=.【小问2详解】由(1)可知200名学生使用智能手机玩网络游戏估计有50人，则有20名女生使用智能手机玩网络游戏男女合计使用智能手机玩游戏302050不用智能手机玩游戏7080150100100200零假设为：0H 使用智能手机玩耍游戏与性别无关，()222003080207082.67 2.072501501001003χ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯根据小概率值0.15α=的独立性检验，推断0H 不成立，因此认为使用智能手机玩耍网络游戏与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.15.在男生中使用智能手机玩耍游戏和不使用智能手机玩耍游戏的概率分别为0.3,0.7，在女生中使用智能手机玩耍游戏和不使用智能手机玩耍游戏的概率分别为0.2,0.8，在被调查者中男生使用智能手机玩耍游戏是女生的1.5倍，于是根据概率稳定概率的原理，我们可以认为男士使用智能手机玩耍网络游戏的概率大于女生使用智能手机玩耍网络游戏的概率.22.在平面直角坐标系中，动点M 到()10，的距离等于到直线=−1的距离.（1）求M 的轨迹方程；（2）P 为不在x 轴上的动点，过点P 作（1）中M 的轨迹的两条切线，切点为A ，B ；直线AB 与PO 垂直(O 为坐标原点)，与x 轴的交点为R ，与PO 的交点为Q ；（ⅰ）求证：R 是一个定点；（ⅱ）求PQ QR的最小值.【答案】（1）24y x=（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义求M 的轨迹方程；（2）（ⅰ）设点()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，由切线AP 和BP 的方程，得到直线AB 的方程为()002yy x x =+，又直线AB 与PO 垂直得02x =-，则直线AB 的方程()022yy x =-，可得所过定点.（ⅱ）联立直线AB 与直线OP 的方程得交点Q 的坐标，表示出PQ QR，结合基本不等式求最小值.【小问1详解】因为动点M 到()1,0的距离等于到直线=−1的距离，所以M 的轨迹为开口向右的抛物线，又因为焦点为()1,0，所以轨迹方程为24y x =.【小问2详解】（ⅰ）证明：设点()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，设以1,1为切点的切线方程为()11y y k x x -=-，联立抛物线方程,可得2114440ky y y kx -+-=，由()21Δ420ky =-=，得12k y =，所以切线AP ：()112yy x x =+，同理切线BP ：()222yy x x =+点P 在两条切线上，则010102022()2()y y x x y y x x =+⎧⎨=+⎩，由于()()1122,,,A x y B x y 均满足方程()002yy x x =+，故此为直线AB 的方程，由于垂直1AB OP k k ⋅=-即0021y y x ⋅=-，则02x =-，所以直线AB 的方程()022yy x =-，恒过()2,0R ；（ⅱ）解：由（ⅰ）知02x =-，则()()02,,2,0P y R -，直线()0:22AB yy x =-联立直线AB 与直线OP 的方程()00222y y x yy x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得0220048,44y Q y y ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，()()()()()()2223220000222202220000224220022222200021684824444||=416||4824444y y y y y y y y y PQ y y RQ y yyy y ++⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪ ++++⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ++++⎝⎭⎝⎭()()()()()22222222000004222004888441644y y y y y y y y y +++++==++422000220016641164.16844y y y y y ⎛⎫++=⋅=++≥ ⎪⎝⎭因此||||PQ QR ≥0y =±时取等号.即PQ QR的最小值是.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题，求最值经常与基本不等式相联系．。

四川省绵阳市2024届高三(补习班)上学期11月月考数学(理)试题含解析

绵阳南山2024届补习年级十一月月考理科数学试题（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本卷共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}2xB y y ==，M A B = ，则集合M 的子集个数是（）A.2B.3C.4D.8【答案】C 【解析】【分析】求出集合M ，由此可计算出集合M 的子集个数.【详解】{}{}20xB y y y y ===> ，{}1,0,1,2A =-，{}1,2M A B ∴=⋂=，因此，集合M 的子集个数是224=.故选：C.【点睛】本题考查集合子集个数的计算，一般要求出集合的元素个数，考查计算能力，属于基础题.2.抛物线24y x =的焦点坐标是（）A.(0,1)B.(1,0)C.10,16⎛⎫⎪⎝⎭D.1,016⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】将抛物线化为标准方程可得焦点坐标.【详解】抛物线24y x =标准方程为214x y =，其焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭故选：C.3.已知函数()f x 的定义域为R ，则“(1)()f x f x +>恒成立”是“函数()f x 在R 上单调递增”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】函数()f x 为R 上增函数R x ⇒∀∈，(1)()f x f x +>，反之不成立，即可判断出结论．【详解】函数()f x 为R 上增函数R x ⇒∀∈，(1)()f x f x +>，反之不成立，例如定义()f x 在(0,1]上，()f x x =-，且在R 上满足(1)()1f x f x +=+，则有“(1)()f x f x +>”，∴“(1)()f x f x +>”是“函数()f x 为增函数”的必要不充分条件．故选：B ．4.若向量,a b满足||||||a b a b +=+，则向量,a b一定满足的关系为（）A.0a= B.存在实数λ，使得a bλ=C.存在实数,m n ，使得ma nb= D.||||||a b a b -=-【答案】C 【解析】【分析】对于A,B,D 通过举反例即可判断，对于C 需分a 与b 是否为0讨论即可.【详解】||||||a b a b +=+，两边同平方得222222||||a a b b a a b b +⋅+=+⋅+ ||||a b a b ∴⋅= ，||||cos ||||a b a b θ∴= ，对A ，0b = 时，a为任一向量，故A 错误，对B ，若0b = ，0a ≠时，此时不存在实数λ，使得a b λ=，故B 错误，对于C ，因为||||cos ||||a b a b θ=，当a 与b 至少一个为零向量时，此时一定存在实数m ,n ,使得ma nb = ，具体分析如下：当0a = ，0b ≠r r时，此时m 为任意实数，0n =，当0a ≠ ，0b =时，此时n 为任意实数，0m =，当0a = ，0b =时，,m n 为任意实数，当0a ≠ ，0b ≠r r 时，因为||||cos ||||a b a b θ=，则有cos 1θ=，根据[]0,θπ∈，则0θ=，此时,a b 共线，且同向，则存在实数λ使得a b λ=（0λ>），令n m λ=，其中,m n 同号，即n a b m= ，即ma nb = ，则存在实数m ,n ,使得ma nb = ，故C 正确，对于D ，当0a = ，0b ≠r r时，||||||a b a b -≠- ，故D 错误，故选：C.5.在平面直角坐标系xOy 中，若圆()()2221:14C x y r -+-=(r >0)上存在点P ，且点P 关于直线10x y +-=的对称点Q 在圆()222:49C x y ++=上，则r 的取值范围是（）A.(2，+∞) B.[2，+∞) C.(2，8)D.[2，8]【答案】D 【解析】【分析】求出圆1C 关于10x y +-=对称的圆的方程，转化为此圆与()2249x y ++=有交点，再由圆心距与半径的关系列不等式组求解.【详解】()()2221:14C x y r -+-=圆心坐标()11,4C ，设()1,4关于直线10x y +-=的对称点为(),a b ，由141022411a b b a ++⎧+-=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，可得30a b =-⎧⎨=⎩，所以圆()()2221:14C x y r -+-=关于直线10x y +-=对称圆的方程为()2220:3C x y r ++=，则条件等价为：()2220:3C x y r ++=与()222:49C x y ++=有交点即可，两圆圆心为()03,0C -，()20,4C -，半径分别为r ，3，则圆心距025C C ==，则有353r r -≤≤+，由35r -≤得28r -≤≤，由35r +≥得2r ≥，综上：28r ≤≤，所以r 的取值范围是[]28,，故选：D.6.已知函数()s π3πin f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，其在一个周期内的图象分别与x 轴、y 轴交于点A 、点B ，并与过点A 的直线相交于另外两点C 、D .设O 为坐标原点，则()BC BD OA +⋅=（）A.118B.89C.49D.29【答案】B 【解析】【分析】根据图象结合三角函数求点,A B ，进而求,BC BD OA +uu u r uu u r uu r，即可得结果.【详解】因为()s π3πin f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，可得π(0)sin 32f ==，即0,2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由图可知：点A 为减区间的对称中心，令ππ2ππ,3x k k +=+∈Z ，解得22,3x k k =+∈Z ，取0k =，则23x =，即2,03A ⎛⎫⎪⎝⎭，可得232,,,0323BA OA ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu r ，因为点A 为线段CD的中点，则42,3BC BD BA ⎛+== ⎝uu u r uu u r uu r ，所以()428339BC BD OA +⋅=⨯=uu u r uu u r uu r .7.已知过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左焦点F且与长轴垂直的弦长为，过点()2,1P 且斜率为－1的直线与C 相交于A ，B 两点，若P 恰好是AB 的中点，则椭圆C 上一点M 到F 的距离的最大值为（）A.6B.6+C.6+D.6【答案】D 【解析】【分析】利用椭圆的方程和性质及直线与椭圆位置关系即可解决.【详解】由过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>左焦点F且与长轴垂直的弦长为可得椭圆过点(c -，代入方程得222181+=c a b.设()()1122,,,,A x y B x y 则2222112222221,1,x y x y a b a b +=+=，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，即()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，因为P 恰好是AB 的中点，所以12124,2x x y y +=+=，又因为直线AB 斜率为-1，所以12121y y x x -=--，将它们代入上式得222a b =，则联立方程222222221812c a b a b a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得66a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆C 上一点M 到F的距离的最大值为6+=+a c 故选：D8.若直线y x b =-+与曲线x =b 的取值范围是（）A.⎡⎣B.⎡-⎣C.[1,1)-D.]{(1,1-⋃【解析】【分析】由题意作图，根据直线与圆的位置关系，可得答案.【详解】由曲线x =221x y +=，其中0x ≥，表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，y x b =-+是倾斜角为135︒的直线，其与曲线有且只有一个公共点有两种情况：（1）直线与半圆相切，根据d r =，所以1d ==，结合图象，可得：b =；（2）直线与半圆的下半部分相交于一个交点，由图可知[1,1)b ∈-.综上可知：[1,1)b ∈-.故选：C.9.已知02αβπ<<<，函数()5sin 6f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，若()()1f f αβ==，则()cos βα-=（）A.2325B.2325-C.35D.35-【答案】B 【解析】【分析】由已知条件，结合三角函数的性质可得263ππα<<，2736ππβ<<，从而利用()cos cos 66ππβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可求解.【详解】解：令()5sin 06f x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=，02x π<<，则6x π=或76x π=，令()5sin 56f x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=，02x π<<，则23x π=，又02αβπ<<<，()()1ff αβ==，所以263ππα<<，2736ππβ<<，1sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 65πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为062ππα<-<，26ππβπ<-<，所以cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos 65πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()cos cos cos cos sin sin 666666ππππππβαβαβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦26261123555525-⨯⨯=-=+，故选：B.10.已知数列{}n a 满足12a =，26a =，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]1.61=，[]1.62-=-），则222122021232022a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（）A.2019B.2020C.2021D.2022【答案】D 【解析】【分析】求出()1na n n =+，()2111nn a n+=+，即得解.【详解】解：由题设知，()()2112n n n n a a a a +++---=，214a a -=，故{}1n n a a +-是首项为4，公差为2的等差数列，则122n n a a n +-=+，则11221n n n n a a a a a a ----+-+⋅⋅⋅+-()()()()1213212121n a a n n n n ⎡⎤=-=-+⋅⋅⋅++++-=+-⎣⎦，所以()1na n n =+，故()2111nn a n+=+，又*n ∈N ，当1n =时，2122a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当2n ≥时，()211n n a ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以22212202123202221112022a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⋅⋅⋅+=++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故选：D ．11.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作一条直线与双曲线右支交于,A B 两点，坐标原点为O ，若OA c =，15BF a =，则该双曲线的离心率为（）A.2B.2C.3D.3【答案】B 【解析】【分析】由1212OA c F F ==得1290F AF ∠=︒，由双曲线定义得23BF a =，在1AF B △中应用勾股定理得2AF a =，在12AF F △中再应用勾股定理得,a c 的关系式，求得离心率．【详解】因为1212OA c F F ==，所以1290F AF ∠=︒，又122BF BF a -=，所以23BF a =，又122AF AF a =+，由22211AF AB BF +=得22222(2)(3)(5)AF a AF a a +++=，解得2AF a =，所以由2221212AF AF F F +=，得222(2)(2)a a a c ++=，解得2c e a ==．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由1212OA c F F ==得1290F AF ∠=︒，然后结合双曲线的定义在1AF B △中应用勾股定理求得2AF ，在12AF F △中应用勾股定理建立,a c 的关系．12.设0.02e 1a =-，()0.012e 1b =-，sin 0.01tan 0.01c =+，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.c a b >>D.b c a>>【答案】A 【解析】【详解】因为()20.020.010.01e 2e 1e 10a b -=-+=->，所以a b >．设()()2e 1sin tan xf x x x =---，则()f x '=212e cos cos xx x--，令()()g x f x '=，则32sin ()2e sin cos xxg x x x'=+-．当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2e 2x >，sin 0x >，33π2sin2sin 62πcos 9cos 6x x <=<，所以()0g x '>，所以当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()(0)0f x f ''>=，所以()f x 在π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()(0)0f x f >=，因此(0.01)0f >，即b c >．综上可得a b c >>．故选：A【点睛】比较函数值的大小，要结合函数值的特点，选择不同的方法，本题中，,a b 可以作差进行比较大小，而,b c 的大小比较，则需要构造函数，由导函数得到其单调性，从而比较出大小，有难度，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知复数z 满足13i z z -=-，则z =__________.【答案】5【解析】【分析】设i z a b =+，,R a b ∈，根据复数的模及复数相等的充要条件得到方程组，解得a 、b ，即可求出z ，从而得解.【详解】设i z a b =+，,R a b ∈，则z =，因为13i z z -=-i 13i a b --=-，所以13a b -==⎪⎩，所以43a b =⎧⎨=⎩，即43i z =+，所以5z ==.故答案为：514.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点在直线2y x =-上，且焦点到渐近线的距离为双曲线的方程为_______．【答案】2213y x -=【解析】【分析】根据点到直线的距离公式可得b =，由焦点在直线上可得2c =，进而可求解1a ==.【详解】由题意可得双曲线的焦点在x 轴上，又直线2y x =-与x 的交点为()2,0，所以右焦点为()2,0，故2c =，渐近线方程为b y x a=±，所以(),0cb c a b ==又1a ==，故双曲线方程为2213yx -=，故答案为：2213y x -=15.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x +-=，[)12,0,x x ∀∈+∞均有()()()121212122f x f x x x x x x x -+>≠-，则不等式()()112f x f x x -->-的解集为___________.【答案】1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】构造函数()()212g x f x x =-，通过题干条件得到()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，从而根据单调性解不等式，求出解集.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x +-=，所以设()()212g x f x x =-，则()()g x g x =--，所以()()212g x f x x =-为奇函数，因为[)12,0,x x ∀∈+∞，都有()()()121212122f x f x x x x x x x -+>≠-，当12x x >时，则有()()()()1212122x x x x f x f x +-->，即()()22121222x x f x f x ->-，所以()()12g x g x >，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，当12x x <时，则有()()22121222x x f x f x -<-，所以()()12g x g x <，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，综上：()g x 在()0,∞+上单调递增，因为()g x 为奇函数，则()g x 在R 上单调递增，()()112f x f x x -->-变形为：()()()22111122f x x f x x ->---，即()()1g x g x >-，所以1x x >-，解得：12x >.故答案为：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16.已知抛物线2:8C y x =，其焦点为点F ，点P 是拋物线C 上的动点，过点F 作直线()1460m x y m ++--=的垂线，垂足为Q ，则PQ PF+的最小值为___________.【答案】5##5+【解析】【分析】通过确定直线过定点M (4,2)，得到Q 在以FM 为直径的圆上，将P 到Q 的距离转化为到圆心的距离的问题，再利用抛物线的定义就可得到最小值.【详解】将已知直线(1)460+-+-=m x m y 化为()460-++-=m x x y ，当4x =时2y =，可确定直线过定点(4,2)，记为M 点.∵过点F 做直线(1)460+-+-=m x m y 的垂线，垂足为Q ，∴FQ ⊥直线(1)460+-+-=m x m y ，即,90︒⊥∠=FQ MQ FQM ，故Q 点的轨迹是以FM 为直径的圆，半径r =，其圆心为FM 的中点，记为点H ，∴(3,1)H ，∵P 在抛物线2:8C y x =上，其准线为2x =-，∴PF 等于P 到准线的距离.过P 作准线的垂线，垂足为R .要使||||PF PQ +取到最小，即||||PR PQ +最小，此时R 、P 、Q 三点共线，且三点连线后直线RQ 过圆心H .如图所示，此时()min ||||5+=-=-PR PQ HR r故答案为：5三、解答题（共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知34,cos 5a C ==．（1）求sin A 的值；（2）若11b =，求ABC 的面积．【答案】（1；（2）22．【解析】【分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab+-=以及4a =可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C =求出面积．【小问1详解】由于3cos 5C =，0πC <<，则4sin 5C =．因为4a =，由正弦定理知4sin A C =，则sin sin 45A C ==．【小问2详解】因为4a =，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a a a b c C ab a a +--+-====，即26550a a +-=，解得5a =，而4sin 5C =，11b =，所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=．18.已知数列{}n a 中的相邻两项21k a -，2k a 是关于x 的方程()232320k k x k x k -++⋅=的两个根，且212(1,2,3,)k k a a k -≤= ．（1）求1357,,,a a a a 及2(4)n a n ≥（不必证明）；（2）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ．【答案】（1）13572,,,(4)24812,2n na a a a a n ===≥==；（2）2133222n n n +++-【解析】【分析】（1）方程由因式分解可解得21,23k x x k ==，结合212(1,2,3,)k k a a k -≤= 则可求得1357,,,a a a a ，令()2132n n f n x x =-=-，设()23xg x x =-，由导数法可求得()()()40f n g n g =≥>，则有2n n a =；（2）分组求和，结合公式法求和即可【小问1详解】由题意得，()()213203,2k k x k x x x k -===-⇒，由212(1,2,3,)k k a a k -≤= ，则当1k =时，21123,2x x a ⇒===；当2k =时，21346,4x x a ⇒===；当3k =时，21589,8x x a ⇒===；当4k =时，712612,112x x a ⇒===；当k n =()4n ≥时，21,23n x x n ==，令()2132n n f n x x =-=-，设()23x g x x =-，由()()2ln 2416ln 2330x g x g '=≥=-->'，故()g x 单调递增，故()()()430f n g n g =≥=>，则21x x >，∴22n n a =；【小问2详解】由（1）得122122n n nS a a a a -=++++ ()()2363222n n =+++++++ ()()21233212nn n-+=+-2133222n n n ++=+-19.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，上、下顶点分别是1B ，2B ，离心率12e =，短轴长为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，若12MN B F ⊥，试求1F MN △内切圆的面积.【答案】（1）22143x y +=；（2）36169π.【解析】【分析】（1）由题意得122c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解出即可；（2）首先算出直线l 的方程，然后和椭圆的方程联立消元，算出1F MN △的面积和周长，然后得到1F MN △内切圆的半径即可.【详解】（1）由题意得122c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，又222a b c =+，解得24a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由(1B ，()21,0F ，知12B F的斜率为12MN B F ⊥，故MN的斜率为3，则直线l的方程为()13y x =-，即1x =+，联立221,431,x y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得：21390y +-=，设()11,M x y ，()22,N x y，则1213y y +=-，12913y y =-，则1F MN △的面积122413S c y y =⋅-==，由1F MN △的周长48L a ==，及12S LR =，得内切圆2613S R L ==，所以1F MN △的内切圆面积为236ππ169R =.20.已知函数()ln(1)2f x x ax =+-+．（1）若2a =，求()f x 在0x =处的切线方程；（2）当0x ≥时，()2ln(1)0f x x x x +++≥恒成立，求整数a 的最大值．【答案】（1）20x y +-=（2）4【解析】【分析】（1）利用函数解析式求切点坐标，利用导数求切线斜率，点斜式求切线方程；（2）0x =时，不等式恒成立；当0x >时，不等式等价于()()1ln 12x x a x ⎡⎤+++⎣⎦≤，设()()()1ln 12x x g x x⎡⎤+++⎣⎦=，利用导数求()g x 的最小值，可求整数a 的最大值．【小问1详解】若2a =，则()ln(1)22f x x x =+-+，()02f =，则切点坐标为()0,2，()121f x x =-+'，则切线斜率()01k f '==-，所以切线方程为()20y x -=--，即20x y +-=．【小问2详解】由()2ln(1)0f x x x x +++≥，得(1)[ln(1)2]ax x x ≤+++，当0x =时，02a ⋅≤，a ∈R ；当0x >时，()()1ln 12x x a x⎡⎤+++⎣⎦≤，设()()()1ln 12x x g x x ⎡⎤+++⎣⎦=，()()22ln 1x x g x x --+'=，设()()2ln 1h x x x =--+，()01x h x x +'=>，则()h x 在()0,∞+单调递增，(3)1ln 40h =-<，(4)2ln 50h =->，所以存在0(3,4)x ∈使得()00h x =，即()002ln 1x x -=+．()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<；()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，则有()g x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增，()min 0()g x g x =，所以()()()()()000000001ln 121221x x x x a g x x x x ⎡⎤⎡⎤++++-+⎣⎦⎣⎦≤===+，因为0(3,4)x ∈，所以01(4,5)x +∈，所以整数a 的最大值为4．【点睛】方法点睛：不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.21.在平面直角坐标系xOy 中，动点G 到点()4,0F 的距离比到直线60x +=的距离小2．（1）求G 的轨迹的方程；（2）设动点G 的轨迹为曲线C ，过点F 作斜率为1k ，2k 的两条直线分别交C 于M ，N 两点和P ，Q 两点，其中122k k +=．设线段MN 和PQ 的中点分别为A ，B ，过点F 作FD AB ⊥，垂足为D ．试问：是否存在定点T ，使得线段TD 的长度为定值．若存在，求出点T 的坐标及定值；若不存在，说明理由．【答案】（1）216y x=（2）存在定点(4,2)T ，使得线段TD 的长度为定值2；理由见解析【解析】【分析】（1）根据动点G 到点(4,0)F 的距离比它到直线60x +=的距离小2和抛物线的定义可知点G 的轨迹是以(4,0)F 为焦点，以直线40x +=为准线的抛物线，进而得出结果；（2）设直线方程，联立抛物线方程，求得A ，B 的坐标，从而表示出AB 的方程，说明其过定点，由FD AB ⊥可说明点D 点在一个圆上，由此可得结论.【小问1详解】由题意可得动点G 到点()4,0F 的距离比到直线60x +=的距离小2，则动点G 到点()4,0F 的距离与到直线40x +=的距离相等，故G 的轨迹是以(4,0)F 为焦点，以直线40x +=为准线的抛物线，设抛物线方程为22,(0)y px p =>，则焦准距8p =，故G 的轨迹的方程为：216y x =；【小问2详解】由题意，直线MN 的方程为1(4)y k x =-，由题意可知12120,0,k k k k ≠≠≠，由2116(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 得：2222111(816)160k x k x k -++=，211256(1)0k ∆=+>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则1212111221116168,(4)(4)x x y y k x k x k k +=++=-+-=，故21188(4,A k k +，同理可求得22288(4,B k k +，所以直线AB 的斜率21121222218888(4)(4)ABk k k k k k k k k -==++-+，故直线AB 的方程为：()()12121221211121288844442k k k k k k y x x x k k k k k k k k ⎛⎫=--+=-+=-+ ⎪+++⎝⎭，故直线AB 过定点(4,4)，设该点为(4,4)E ,又因为FD AB ⊥，所以点D 在以EF 为直径的圆上，由于(4,4),(4,0)E F ,4EF ==,故以EF 为直径的圆的方程为22(4)(2)4x y -+-=，故存在定点(4,2)T ，使得线段TD 的长度为定值2.【点睛】本题考查了抛物线方程的求解以及直线和抛物线的位置关系中的定点问题，综合性较强，解答时要注意设直线方程并和抛物线方程联立,利用很与系数的关系进行化简，关键是解题思路要通畅，计算要准确，很容易出错.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为2cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<<），曲线2C 的参数方程为()1sin 2,2sin cos ,x y βββ=+⎧⎨=+⎩（β为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）若点(2,0)P ，直线1C 与曲线2C 所在抛物线交于A ，B 两点，且||2||PA PB =，求直线1C 的普通方程．【答案】（1）2sin 4cos ρθθ=，[]cos 0,2ρθ∈（2）240x y +-=或240x y --=.【解析】【分析】（1）由()2sin cos 1sin 2βββ+=+将曲线2C 的参数方程化为普通方程，再根据极坐标和直角坐标的转化公式即可得出答案；（2）将直线的参数方程代入曲线2C 的普通方程，可得根与系数的关系式，结合根与系数的关系式化简可求得tan α的值，即可求出直线1C 的斜率，再由点斜式即可得出答案.【小问1详解】因为[]1sin 20,2x β=+∈，由()2sin cos 1sin 2βββ+=+，所以曲线2C 的普通方程为24y x =，[]0,2x ∈，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以22sin 4cos ρθρθ=，即2sin 4cos ρθθ=．所以曲线2C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，[]cos 0,2ρθ∈.【小问2详解】设A ，B 两点对应的参数分别为12,t t ，将2cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入24y x =得22sin 4cos 80t t αα--=，由题知2sin 0α≠，22222216cos 32sin 16(cos sin )16sin 1616sin 0αααααα∆=+=++=+>，所以1224cos sin t t αα+=，1228sin t t α-=．因为||2||PA PB =，所以122t t =，又12280sin t t α-=<，所以122t t =-，故22sin t α=±．当22sin t α=时，代入1224cos sin t t αα+=得tan 2α=-，此时1C 的普通方程为2(2)y x =--，即240x y +-=．当22sin t α=-时，代入1224cos sin t t αα+=得tan 2α=，此时1C 的普通方程为2(2)y x =-，即240x y --=，联立22404x y y x--=⎧⎨=⎩可得()2244x x -=，即2540x x -+=，解得：1x =或4x =，所以直线1C 的普通方程为240x y +-=或240x y --=．23.已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】【分析】（1）根据1a =，将原不等式化为|1||2|(1)0x x x x -+--<，分别讨论1x <，12x ≤<，2x ≥三种情况，即可求出结果；（2）分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.【详解】（1）当1a =时，原不等式可化为|1||2|(1)0x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(1)0x ->，显然成立，此时解集为(,1)-∞；当12x ≤<时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(10)x -<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(,1)-∞；（2）当1a ≥时，因为(,1)x ∈-∞，所以由()0f x <可得()(2)()0a x x x x a -+--<，即()(1)0x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，2(),1()2()(1),x a a x f x x a x x a-≤<⎧=⎨--<⎩，因为1a x ≤<时，()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[1,)+∞.【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.。

山东省临沂市沂水二中北校区2021届高三上学期10月月考数学试卷(理科) Word版含解析

山东省临沂市沂水二中北校区2021届高三上学期10月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）已知集合A={x|1＜x＜3}，B={x|1＜log2x＜2}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|1＜x＜4}2．（5分）设x∈R ，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B．C．2D．103．（5分）在△ABC中，设命题p ：==，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a5．（5分）已知函数f（x）=ax﹣x3在区间[1，+∞）上单调递减，则a的最大值是（）A．0B．1C．2D．36．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时f（x）的图象如图所示，则f（﹣2）=（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．27．（5分）函数y=sin（x ﹣）的一条对称轴可以是直线（）A．x =B．x =πC．x=﹣πD．x=8．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b ，则=（）A．2B．C．D．19．（5分）函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D ．10．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x﹣2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，6]内的零点的个数为（）A．13 B．8C．9D．10二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．（5分）在数列{a n}中，a1=15，3a n+1=3a n﹣2（n∈N+），则该数列中相邻两项的乘积是负数的为．12．（5分）向量=（1，sinθ），=（1，cosθ），若•=，则sin2θ=．13．（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．14．（5分）设f1（x）=cosx，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，即f n+1（x）=f′n（x）n∈N*，若△ABC的内角A满足f1（A）+f2（A）+…+f2021（A）=，则sin2A的值是．15．（5分）给出下列命题：①函数y=cos（2x ﹣）图象的一条对称轴是x=②在同一坐标系中，函数y=sinx与y=lgx的交点个数为3个；③将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin2x的图象；④存在实数x，使得等式sinx+cosx=成立；其中正确的命题为（写出全部正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.16．（12分）已知集合A={x|2x＜8}，B={x|x2﹣2x﹣8＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（Ⅰ）求集合A∩B；（Ⅱ）若C⊆B，求实数a的取值范围．17．（12分）设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，假如p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．18．（12分）在平面直角坐标系中，角α，β的始边为x轴的非负半轴，点P（1，2cos2θ）在角α的终边上，点Q（sin2θ，﹣1）在角β的终边上，且．（1）求cos2θ；（2）求P，Q的坐标并求sin（α+β）的值．19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3（b2+c2）=3a2+2bc．（Ⅰ）若，求tanC的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC 的面积，且b＞c，求b，c．20．（13分）定义在实数集上的函数f（x）=x2+x，g（x）=x3﹣2x+m．（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（2）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[﹣4，4]恒成立，求实数m的取值范围．21．（14分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）当时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．山东省临沂市沂水二中北校区2021届高三上学期10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）已知集合A={x|1＜x＜3}，B={x|1＜log2x＜2}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|1＜x＜4}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：直接求出集合B，然后求出A∩B即可．解答：解：由于集合A={x|1＜x＜3}，B={x|1＜log2x＜2}={x|2＜x＜4}，所以A∩B={x|2＜x＜3}．故选B．点评：本题考查对数函数的基本性质，集合的基本运算，考查计算力量．2．（5分）设x∈R ，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B．C．2D．10考点：平面对量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题．分析：通过向量的垂直，求出向量，推出，然后求出模．解答：解：由于x∈R ，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，所以x﹣2=0，所以=（2，1），所以=（3，﹣1），所以|+|=，故选B．点评：本题考查向量的基本运算，模的求法，考查计算力量．3．（5分）在△ABC中，设命题p ：==，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：简易规律．分析：依据正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行推断即可得到结论．解答：解：由正弦定理可知，若===t，则，即a=tc，b=ta，c=bt，即abc=t3abc，即t=1，则a=b=c，即△ABC是等边三角形，若△ABC是等边三角形，则A=B=C=，则===1成立，即命题p是命题q的充要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，利用正弦定理是解决本题的关键．4．（5分）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a考点：对数值大小的比较；不等式比较大小．分析：依据指数函数和对数函数的单调性推断出abc的范围即可得到答案．解答：解：∵a=20.1＞20=10=ln1＜b=ln＜lne=1c=＜log31=0∴a＞b＞c故选A．点评：本题主要考查指数函数和对数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．5．（5分）已知函数f（x）=ax﹣x3在区间[1，+∞）上单调递减，则a的最大值是（）A．0B．1C．2D．3考点：利用导数争辩函数的单调性．专题：计算题．分析：依据f（x）在区间[1，+∞）上单调递减，可得f'（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，建立等量关系，求出参数a最大值即可．解答：解：∵f（x）=ax﹣x3∴f′（x）=a﹣3x2∵函数f（x）=ax﹣x3在区间[1，+∞）上单调递减，∴f′（x）=a﹣3x2≤0在区间[1，+∞）上恒成立，∴a≤3x2在区间[1，+∞）上恒成立，∴a≤3．故选D．点评：本小题主要考查运用导数争辩函数的单调性及恒成立等基础学问，考查综合分析和解决问题的力量．6．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时f（x）的图象如图所示，则f（﹣2）=（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数奇偶性的性质结合函数图象即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，故选：B点评：本题主要考查函数值的计算，依据函数的奇偶性以及函数图象进行转化时解决本题的关键．7．（5分）函数y=sin（x ﹣）的一条对称轴可以是直线（）A．x =B．x =πC．x=﹣πD．x=考点：正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用正弦函数的对称性可求得其对称轴方程为：x=kπ+（k∈Z），从而可得答案．解答：解：由x ﹣=kπ+（k∈Z）得：x=kπ+（k∈Z），∴函数y=sin（x ﹣）的对称轴方程为：x=kπ+（k∈Z），当k=1时，x=π，∴方程为x=π的直线是函数y=sin（x ﹣）的一条对称轴，故选：B．点评：本题考查正弦函数的对称性，求得其对称轴方程为：x=kπ+（k∈Z）是关键，属于中档题．8．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b ，则=（）A．2B．C．D．1考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，进而利用两角和公式对等号左边进行化简求得sinA和sinB的关系，进而利用正弦定理求得a和b的关系．解答：解：∵bcosC+ccosB=2b，∴sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA=2sinB，∴=2，由正弦定理知=，∴==2，故选：A．点评：本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．考查了同学分析和运算力量．9．（5分）函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D ．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：分别画出y=2x，y=x2的图象，由图象可以函数与x轴有三个交点，且当x＜﹣1时，y＜0，故排解BCD，问题得以解决．解答：解：y=2x﹣x2，令y=0，则2x﹣x2=0，分别画出y=2x，y=x2的图象，如图所示，由图象可知，有3个交点，∴函数y=2x﹣x2的图象与x轴有3个交点，故排解BC，当x＜﹣1时，y＜0，故排解D故选：A．点评：本题主要考查了图象的识别和画法，关键是把握指数函数和幂函数的图象，属于基础题．10．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x﹣2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，6]内的零点的个数为（）A．13 B．8C．9D．10考点：函数的零点；函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+2）=f（x），知函数y=f（x）（x∈R）是周期为2的函数，进而依据f（x）=1﹣x2与函数g（x）=的图象得到交点为9个．解答：解：由于f（x﹣2）=f（x），所以函数y=f（x）（x∈R）是周期为2函数．由于x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，所以作出它的图象，利用函数y=f（x）（x∈R）是周期为2函数，可作出y=f（x）在区间[﹣5，6]上的图象，如图所示：故函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，6]内的零点的个数为9，故选C．点评：本题的考点是函数零点与方程根的关系，主要考查函数零点的定义，关键是正确作出函数图象，留意把握周期函数的一些常见结论：若f（x+a）=f（x），则周期为a；若f（x+a）=﹣f（x），则周期为2a；若f（x+a）=，则周期为2a，属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．（5分）在数列{a n}中，a1=15，3a n+1=3a n﹣2（n∈N+），则该数列中相邻两项的乘积是负数的为a23•a24．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：把等式3a n+1=3a n﹣2变形后得到a n+1﹣a n等于常数，即此数列为首项为15，公差为﹣的等差数列，写出等差数列的通项公式，令通项公式小于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集中的最小正整数解，即可得到从这项开头，数列的各项为负，这些之前各项为正，得到该数列中相邻的两项乘积是负数的项．解答：解：由3a n+1=3a n﹣2，得到公差d=a n+1﹣a n=﹣，又a1=15，则数列{a n}是以15为首项，﹣为公差的等差数列，所以a n=15﹣（n﹣1）=﹣n+，令a n=﹣n+＜0，解得n ＞，即数列{a n}从24项开头变为负数，所以该数列中相邻的两项乘积是负数的项是a23a24．故答案为：a23•a24点评：此题考查同学机敏运用等差数列的通项公式化简求值，把握确定一个数列为等差数列的方法，是一道综合题．12．（5分）向量=（1，sinθ），=（1，cosθ），若•=，则sin2θ=．考点：平面对量的综合题．专题：计算题．分析：由==可求解答：解：∵==∴sin2θ=故答案为：点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，三角函数的二倍角公式的应用，属于基础试题13．（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0）．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．解答：解：∵二次函数f （x）=x2+mx ﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．14．（5分）设f1（x）=cosx，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，即f n+1（x）=f′n（x）n∈N*，若△ABC的内角A满足f1（A）+f2（A）+…+f2021（A）=，则sin2A的值是．考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：由已知分别求出f2（x），f3（x），f4（x），f5（x），可得从第五项开头，f n（x）的解析式重复消灭，每4次一循环，结合f1（A）+f2（A）+…+f2021（A）=求出cosA，进一步得到sinA，则答案可求．解答：解：∵f1（x）=cosx，∴f2（x）=f1′（x）=﹣sinx，f3（x）=f2′（x）=﹣cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，f5（x）=f4′（x）=cosx，…从第五项开头，f n（x）的解析式重复消灭，每4次一循环．∴f1（x）+f2（x）+f3（x）+f4（x）=0．∴f2021（x）=f4×503+1（x）=f1（x）=cosx．∵f1（A）+f2（A）+…+f2021（A）=．∴cosA=．∵A为三角形的内角，∴sinA=．∴sin2A=2sinAcosA=．故答案为：．点评：本题考查了导数及其运算，关键是找到函数解析式规律性，是中档题．15．（5分）给出下列命题：①函数y=cos （2x﹣）图象的一条对称轴是x=②在同一坐标系中，函数y=sinx与y=lgx的交点个数为3个；③将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin2x的图象；④存在实数x，使得等式sinx+cosx=成立；其中正确的命题为①②（写出全部正确命题的序号）．考点：命题的真假推断与应用．专题：计算题；简易规律．分析：①由x=时，y=﹣1，可得结论；②利用函数图象，求解；③依据图象的平移规律可得结论；④依据sinx+cosx=sin（x+）≤＜，可以推断．解答：解：①函数y=cos（2x ﹣），x=时，y=﹣1，所以函数y=cos（2x ﹣）图象的一条对称轴是x=，正确；②在同一坐标系中，画出函数y=sinx和y=lgx的图象，所以结合图象易知这两个函数的图象有3交点，正确；③将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin[2（x ﹣）+]，即y=sin（2x ﹣）的图象，故不正确；④sinx+cosx=sin（x+）≤＜，故不存在实数x，使得等式sinx+cosx=成立；故答案为：①②．点评：本题利用三角函数图象与性质，考查命题的真假推断与应用，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.16．（12分）已知集合A={x|2x＜8}，B={x|x2﹣2x﹣8＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（Ⅰ）求集合A∩B；（Ⅱ）若C⊆B，求实数a的取值范围．考点：集合的包含关系推断及应用．专题：集合．分析：（I）解指数不等式求出A，解二次不等式求出B，进而可得集合A∩B；（Ⅱ）若C⊆B ，则，解不等式组可得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由2x＜8，得2x＜23，x＜3．（3分）解不等式x2﹣2x﹣8＜0，得（x﹣4）（x+2）＜0，所以﹣2＜x＜4．（6分）所以A={x|x＜3}，B={x|﹣2＜x＜4}，所以A∩B={x|﹣2＜x＜3}．（9分）（Ⅱ）由于C⊆B，所以（11分）解得﹣2≤a≤3．所以，实数a的取值范围是[﹣2，3]．（13分）点评：本题考查的学问点是集合的包含关系推断及应用，集合的交集运算，解不等式，难度不大，属于基础题．17．（12分）设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，假如p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易规律．分析：易得p：k＞0，q ：或，由p∧q是假命题，p∨q是真命题，可得p，q一真一假，分别可得k的不等式组，解之可得．解答：解：∵函数y=kx+1在R上是增函数，∴k＞0，又∵曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，∴△=（2k﹣3）2﹣4＞0，解得或，∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假，①若p真q 假，则，∴；②若p假q 真，则，解得k≤0，综上可得k的取值范围为：（﹣∞，0]∪[，]点评：本题考查复合命题的真假，涉及不等式组的解法和分类争辩的思想，属基础题．18．（12分）在平面直角坐标系中，角α，β的始边为x轴的非负半轴，点P（1，2cos2θ）在角α的终边上，点Q（sin2θ，﹣1）在角β的终边上，且．（1）求cos2θ；（2）求P，Q的坐标并求sin（α+β）的值．考点：两角和与差的正弦函数；平面对量数量积的运算；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：（1）利用向量数量积运算得出sin2θ﹣2cos2θ=﹣1，再利用二倍角余弦公式求出cos2θ．（2）由（1）可以求出P，Q的坐标，再利用任意角三角函数的定义求出α，β的正、余弦值．代入两角和的正弦公式计算．解答：解（1）=（1，2cos2θ），=（sin2θ，﹣1），∵，∴sin2θ﹣2cos2θ=﹣1，∴，∴．（2）由（1）得：，∴，∴∴，，由任意角三角函数的定义，，同样地求出，，∴点评：本题考查向量的数量积运算、任意角三角函数的定义、利用三角函数公式进行恒等变形以及求解运算力量．19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3（b2+c2）=3a2+2bc．（Ⅰ）若，求tanC的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC 的面积，且b＞c，求b，c．考点：余弦定理的应用．专题：综合题；解三角形．分析：（Ⅰ）由3（b2+c2）=3a2+2bc，利用余弦定理，可得cosA ，依据，即可求tanC的大小；（Ⅱ）利用面积及余弦定理，可得b、c的两个方程，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）∵3（b2+c2）=3a2+2bc，∴=∴cosA=，∴sinA=∵，∴∴∴∴tanC=；（Ⅱ）∵ABC 的面积，∴，∴bc=①∵a=2，∴由余弦定理可得4=b2+c2﹣2bc ×∴b2+c2=5②∵b＞c，∴联立①②可得b=，c=．点评：本题考查余弦定理，考查三角形面积的计算，考查同学的计算力量，属于中档题．20．（13分）定义在实数集上的函数f（x）=x2+x，g（x）=x3﹣2x+m．（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（2）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[﹣4，4]恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求切线方程，就是求k=f′（1），f（1），然后利用点斜式求直线方程，问题得以解决；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x），要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，转化为求最值问题．解答：解：（1）∵f（x）=x2+x∴f′（x）=2x+1，f（1）=2，∴f′（1）=3，∴所求切线方程为y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣2x+m﹣x2﹣x=x3﹣3x+m﹣x2∴h′（x）=x2﹣2x﹣3，当﹣4＜x＜﹣1时，h′（x）＞0，当﹣1＜x＜3时，h′（x）＜0，当3＜x＜4时，h′（x）＞0，要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，由上知h（x）的最大值在x=﹣1或x=4取得，而h（﹣1）=，h（4）=m ﹣，∵m+，∴，即m．点评：导数再函数应用中，求切线方程就是求某点处的导数，再求参数的取值范围中，转化为求函数的最大值或最小值问题．21．（14分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）当时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用三角函数的定义求出φ的值，由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为，可得函数的周期，从而可求ω，进而可求函数f（x）的解析式；（2）利用正弦函数的单调增区间，可求函数f（x）的单调递增区间；（3）当时，不等式mf（x）+2m≥f（x ）恒成立，等价于，由此可求实数m的取值范围．解答：解：（1）角φ的终边经过点，∴，…（2分）∵，∴．…（3分）由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为，得，即，∴ω=3…..（5分）∴…（6分）（2）由，可得，…（8分）∴函数f（x ）的单调递增区间为k∈z…（9分）（3 ）当时，，…（11分）于是，2+f（x）＞0，∴mf（x）+2m≥f（x ）等价于…（12分）由，得的最大值为…（13分）∴实数m 的取值范围是．…（14分）点评：本题考查函数解析式的确定，考查三角函数的性质，考查分别参数法的运用，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．。

广东省四校(佛山一中、广州六中、金山中学、中山一中)2024届高三上学期11月联考数学试题(解析版)

2024届高三级11月四校联考数学试题佛山市第一中学、广州市第六中学汕头市金山中学、中山市第一中学试卷总分：150分，考试时间：120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.本次考试采用特殊编排考号，请考生正确填涂.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第一部分选择题（共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}lg 0A x x =≤，{}11B x x =−≤，则A B = （）A. AB. BC. R AD. B R【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数的性质、绝对值的性质确定集合,A B ，再由交集定义计算．【详解】由已知{|01}A x x =<≤，02{}|B x x ≤≤=，所以{|01}A B x x =< ≤=A ，故选：A2. 已知向量()3,a m =−，()1,2b =− ，若()//b a b −，则m 的值为（）A. 6−B. 4−C. 0D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标运算结合向量平行的坐标表示运算求解.【详解】由题意可得：()4,2−=−+a b m，若()//b a b −，则28m +=，解得6m =. 故选：D.3. 若函数 ()3,4,4,4x a x f x ax x − ≥= −+< （0,1a a >≠）是R 上的单调函数, 则a 的取值范围为（）A. ()50,11,4 ∪B. 51,4C. 4,15D. 40,5【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数和一次函数的单调性，结合分割点处函数值的大小关系，列出不等式，求解即可.【详解】因为 4y ax =−+是减函数，且()f x 是R 上的单调函数，根据题意，()f x 为R 上的单调减函数；故可得 01,,44a a a <<≤−+ 解得405a <≤，即a 的取值范围为40,5 ．故选：D .4. 若复数z 满足()1i 1i z +=+，则z 的虚部为（）A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】先根据复数的模及除法运算求出复数z ，进而得到z ，从而求解.【详解】由()1i 1i z +=+=得z =，所以z=，即z 故选：D ．5. 数列{}n a 满足12019a =，且对*n ∀∈N ，恒有32n n n a a +=+，则7a =（） A. 2021 B. 2023C. 2035D. 2037【答案】D【解析】【分析】由已知可依次求出47,a a 的值，即可得出答案.【详解】由已知可得，14112202a a =+=，47472203a a =+=. 故选：D.6. 如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB α∥，设α与SM 交于点N ，则SMSN的值为（）A.43B.32C.23D.34【答案】B 【解析】【分析】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，根据线面平行得性质证明SB DN ∥，再根据MC AB ∥可得DM MCDB AB=，进而可得出答案. 【详解】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，则平面NAC 即为平面α，因为SB α∥，平面SMB DN α∩=，SB ⊂平面SMB ，所以SB DN ∥，因为AB 为底面圆的直径，点M ，C 将弧AB 三等分，所以30ABM BMC MBC BAC ∠=∠=∠=∠=°，12MCBC AB ==，所以MC AB ∥且12MC AB =，所以12DM MC DB AB ==，又SB DN ∥，所以12MNDM SNDB ==，所以32SM SN =. 故选：B .7. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为ππ,22 − ，且()f x 为偶函数，π26f =−，()()3cos sin 0f x x f x x ′+>，则不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为（）A. π,03−B. ππ,32C. 2ππ,33−D. 2π,03−【答案】D 【解析】【分析】构建()()3ππsin ,,22=∈− g x f x x x ，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单调性解不等式.【详解】令()()3ππsin ,,22=∈−g x f x x x ，则()()()()()2323sin co 3cos s sin si sin n ′′=+=′+ g x f x x x f x x f x x f x x x ，因为ππ,22x∈−，则sin 0x >，且()()3cos sin 0f x x f x x ′+>，可知()0g x ′>，则()g x 在ππ,22−上单调递增，又因为()f x 为偶函数，ππ266f f −==−，可得3πππ1sin 6664−=−−= g f 令()1π46>=−g x g ，可得ππ62x −<<，注意到33ππππsin cos 2222g x f x x f x x+=++=+，不等式3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>−g x g ，可得πππ622−<+<x ，解得2π03−<<x ，所以不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为2π,03 −. 故选：D.【点睛】关键点睛：构建函数()()3ππsin ,,22 =∈−g x f x x x ，利用单调性解不等式()14g x >，利用诱导公式可得3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>− g x g ，即可得结果. 8.已知函数21()sin 0)22xf x x ωωω=+>，若()f x 在3,22ππ上无零点，则ω的取值范围是（）A. 280,,99+∞B. 228(0,][,]939C. 28(0,][,1]99D. [)28,991,∞+ 【答案】B 【解析】【分析】先结合二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简,得到 ()sin 3f x x πω=−,由题可得323232T ωππωπππω −−−≤=和233(1)23k k ωπππωπππ ≤− +≥−,结合0ω>即可得解.【详解】因为211()sin 0)cos )sin 222xf x x x x ωωωωω+>−+−1sin sin 23x x x πωωω==−若322x ππ<<，则323323x ωπππωππω−<−<−，∴323232T ωππωπππω −−−≤=，则21ω≤，又0ω>，解得01ω<≤.又233(1)23k k ωπππωπππ ≤−+≥− ，解得2282()339k k k Z ω+≤≤+∈. 228233928039k k k +≤+ +> ，解得4132k −<≤，k Z ∈ ，0k ∴=或1−.当0k =时，2839ω≤≤；当1k =−时，01ω<≤，可得209ω<≤.∴2280,,939ω∈. 故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，还涉及二倍角公式和辅助角公式，考查学生数形结合的思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有至少两项符合题目要求.全部选对的得2分，有选错的得0分）9. 若{}n a 是公比为q 的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（） A. 若{}n a 是递增数列，则1q > B. 若10a >，01q <<，则{}n a 是递减数列 C. 若0q >，则4652S S S +> D. 若1n nb a =，则{}n b 是等比数列【答案】BD 【解析】【分析】对于AC ：举反例分析判断；对于B ：根据数列单调性的定义结合等比数列通项公式分析判断；对于D ：根据等比数列定义分析判断.【详解】对于选项A ：例如111,2a q =−=，则112n n a − =−，可知数列{}n a 是递增数列，但1q <，故A 错误；对于选项B ：因为()1111111n n n n n a a a q a qa q q −−+−=−=−，若10a >，01q <<，则110,0,10−>>−<n a q q ，可得10n n a a +−<，即1n n a a +<，所以数列{}n a 是递减数列，故B 正确；对于选项C ：例如1q =，则11461541026=++==a a S S a S ，即4652S S S +=，故C 错误；对于选项D ：因为{}n a 是公比为q 的等比数列，则0n a ≠，则111111n n n n n nb a a b a q a +++===，所以数列{}n b 是以公比为1q 的等比数列，故D 正确；故选：BD.10.已知(a = ，若1b = ，且π6,a b = ，则（）A. a b b −=B. b 在a方向上投影向量的坐标为 C. ()2a a b ⊥−D. ()23b a b ⊥−【答案】ACD 【解析】【分析】根据模长公式判断A 选项,根据投影向量公式判断B 选项,根据数量积公式结合向量垂直计算判断C,D 选项.【详解】(,a a =∴=，1a b −=, A 选项正确；b 在a方向上投影向量的坐标为π1cos 162a b a ⋅=×=， B 选项错误；()22π2=22cos 32106a a b a a b a a b ⋅−−⋅=−⋅=−×= ，()2a a b ∴⊥− ，C 选项正确；()22π23=232cos 321306b a b a b b a b b ⋅−⋅−=⋅−=×−= ，D 选项正确；故选：ACD.11. 定义{}max ,a b 为a ，b 中较大的数，已知函数(){}max sin ,cos f x x x =，则下列结论中正确的有（）A. ()f x 的值域为[]1,1−B. ()f x 是周期函数C. ()f x 图像既有对称轴又有对称中心D. 不等式()0f x >的解集为π2π2ππ,2x k x k k−+<<+∈Z 【答案】BD 【解析】【分析】做出函数()f x 的图像，利用图像确定出值域，周期，单调区间，即可求解.【详解】做出函数()f x 的图像，如图所示：令sin cos x x =π04x−=，则ππ4x k −=，k ∈Z ，解得ππ4x k =+，k ∈Z ，当5π2π4xk =+，k ∈Z 时，()f x =由图可知，()f x 的值域为，故A 错误；且()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，故B 正确；由图可知函数()f x 有对称轴，但是没有对称中心，故C 错误；由图可知，()π2π2ππ2k x k k −+<<+∈Z 时，()0f x >，故D 正确. 故选：BD.12. 定义在()1,1−上的函数()f x 满足()()1x y f x f y f xy−−=−，且当()1,0x ∈−时，()0f x <，则下列结论中正确的有（） A. ()f x 奇函数 B. ()f x 是增函数 C. 112243f f f+=D. 111342f f f+<【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ：根据题意结合奇函数的定义分析判断；对于B ：根据题意结合函数单调性分析判断；对于C ：根据题意令21,34==xy 代入运算即可；对于D ：令11,24x y ==，结合函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A ：因为()()1x y f x f y f xy −−=−，令0xy ==，则()()()000f f f −=，可得()00f =，令y x =−得：22()()1x f x f x f x −−= +，再以x −代x ，得：22()()1x f x f x f x −−−=+，两式相加得：2222011x x f f x x −+=++，即222211x x f f x x −=− ++ ，令()()22,1,11=∈−+x g x x x ，则()()()2222101−′=>+x g x x 对任意()1,1x ∈−恒成立，可知()g x 在()1,1−上单调递增，且()()11,11g g −=−=，所以()g x 在()1,1−内的值域为()1,1−，由222211x x f f x x −=−++，()1,1x ∈−，即()()f x f x −=−，()1,1x ∈−，是所以定义在(1,1)−上的函数()f x 为奇函数，故A 正确；对于选项B ：因为函数()f x 为定义在(1,1)−上的奇函数，且当(1,0)x ∈−时，()0f x <，不妨设1211x x −<<<，则121212()()1x x f x f x f x x−−=−，因为1211x x −<<<，则121201x x x x −<−且12121212(1)(1)1011x x x x x x x x −+−+=>−− 可知1212101x x x x −−<<−，所以121201x x f x x−< −，则12())0(f x f x −<，即12()()f x f x <，故函数()f x 在(1,1)−上为增函数，B 正确；对于选项C ，令21,34==x y ，且()()1x y f x f y f xy −−=−，则211342−=f f f ，即112243f f f+=，故C 正确；对于选项D ：令11,24x y ==，且()()1x y f x f y f xy −−= −，则112247−=f f f ，因为2173<，且函数()f x 在(1,1)−上为增函数，可得2173<f f ，即111243−<f f f ，所以111342+>f f f ，故D 错误. 故选：ABC.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．第二部分非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知()2y f x x =−为奇函数，且()13f =，则()1f −=________.【答案】1− 【解析】【分析】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质有()()()()111120g g f f +−=+−−=，结合()13f =即可求解. 【详解】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质可得()()()()()()()221111111120g g f f f f +−=−+−−−=+−−=，又因为()13f =，所以解得()11f −=−. 故答案为：1−.14. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2cos π3=−nnS n ，则6a =________. 【答案】212##10.5 【解析】【分析】根据n a 与n S 之间的关系，结合诱导公式运算求解.【详解】因为2cos π3=−n n S n ，则255ππ15cos π25cos 2π25cos 253332 =−=−−=−=−S ， 266cos 2π36135−−S ，所以665121352522=−=−−=a S S 故答案为：212. 15. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .120ABC ∠=°，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则43a c +的最小值为________.【答案】7+【解析】【分析】利用等面积法可得ac a c =+，从而111a c+=，再利用乘“1”法及基本不等式可求解．【详解】因为ABCABD BCD S S S =+△△△，所以111sin1201sin 601sin 60222ac c a ⋅°=××°+××°，所以ac a c =+，可得111a c+=．所以()41134773437a c a c c a a c a c=+=+++≥+=++ .（当且仅当34c a a c=，即1a =+，1c =+．故答案为：7+16. 设()()ln ,024,24x x f x f x x <≤= −<<，若方程() f x m =恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为________；若方程() f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，且1234x x x x <<<，则()2221234x x x x +++的取值范围为______. 【答案】 ①. 6 ②. 45(22,)2【解析】【分析】由函数解析式知函数图象关于直线2x =对称，作出图象，可知212x <<，234x x +=，144x x +=，即可求得12348x x x x +++=，同时把()2221234x x x x +++用2x 表示，利用换元法，函数的单调性求得其范围．【详解】()(4)f x f x =−，因此()f x 的图象关于直线2x =对称，作出函数()f x 的图象，如图，作直线y m =，若是三个根，则1m =，12317,2,22x x x ===，1236x x x ++=，若是四个根，由图可知212x <<，234x x +=，144x x +=，所以12348x x x x +++=， 12ln ln x x -=，因此121=x x ，()222222222123422222221121()(4)(4)28()34x x x x x x x x x x x x =++−+−=+−+++++22222112()8()30x x x x =+−++，令221t x x =+，则()222123422(2)22t x x x x +=+−++，对函数1(12)y m m m=+<<，设1212m m <<<，1212121212111()(1)y y m m m m m m m m −=+−−=−−，因为1212m m <<<，所以120m m −<，12110m m −>，所以120y y −<，即12y y <，即1(12)y m m m=+<<是增函数，所以522y <<，因素2215(2,)2t x x =+∈，22(2)22y t =−+在5(2,)2t ∈时递增，所以2452(2)22(22,)2y t =−+∈．故答案为：6；45(22,)2．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 若()()πsin 0,0,2y f x A x A ωϕωϕ+>><的部分图象如图所示．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象；若()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，求θ的最小值．【答案】（1）()π2sin 26f x x=+（2）π12【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由代入点法求出ϕ的值，从而可得函数的解析式．（2）根据函数sin()yA x ωϕ+的图象变换规律求得()g x 的解析式，再利用整体代换法与正弦函数的对称性得到θ关于k 的表达式，从而求得θ的最小值．【小问1详解】根据()f x 的部分图象易知其最大值为2，又0A >，故2A =，周期11πππ1212T=−−=，则2ππω=，又0ω>，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又π,012−在图象上，所以π2sin 06ϕ −+=，故11π2π,6k k ϕ−+=∈Z ，则11π2π,6k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，所以()π2sin 26f x x=+. 【小问2详解】将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()()ππ2sin 22sin 2266y g x x x θθ==++=++的图象，因为()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，所以5ππ22π,66k k θ×++=∈Z ，即π11π,212k k θ=−∈Z ，因为0θ>，所以π11π0212k −>，则116k >，又k ∈Z ，所以当2k =时，θ取得最小值为π12． 18. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，12a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11111,2n n n b a b b −−，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）2n a n =；（2）1n n S n =+. 【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由等比中项的性质有()2(22)228d d +=+可求d ，进而写出{}n a 的通项公式；（2）应用累加法求{}n b 的通项公式，再由裂项相消法求{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由12a =，2319a a a =有：()2(22)228d d +=+，解得2d =或0d =(舍去)∴2n a n =. （2）1112n n n b b −−=， ∴()112211111112,21,,22n n n n n n b b b b b b −−−−=−=−−=× ，将它们累加得：2111 2.n n n b b −=+− ∴21n b n n=+，则()111111223111n n S n n n n =+++=−=××+++ . 19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=°，侧面PAD 为等边三角形．（1）求证：AD PB ⊥；（2）若P AD B −−的大小为120°，求A PB C −−的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】(1)取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，证明AD ⊥平面POB 即得；(2)在平面POB 内过O 作Oz OB ⊥，以射线OA ，OB ，Oz 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量推理计算即可得解.【详解】（1）取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，如图，因PAD 为正三角形，则OP AD ⊥，又底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=°，则ABD △是正三角形，于是得OB AD ⊥，而OP OB O = ，,OP OB ⊂平面POB ，则AD ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ，所以AD PB ⊥；（2）由(1)知P AD B −−的平面角为POB ∠，即120POB ∠=°，==OP OB ，显然平面POB ⊥平面ABD POB 内过O 作Oz OB ⊥，平面POB 平面ABD OB =，则Oz ⊥平面ABD ，如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，B ，(C −，3(0,)2P ，(AB − ，3)2PB =− ，(2,0,0)CB = ，设平面PAB 的法向量为1111(,,)n x y z =，则1111113020n PB y z n AB x ⋅=−= ⋅=−+= ，令11y =，得1n =，设平面PBC 的法向量为2222(,,)n x y z =，则2222220302n CB x n PBz ⋅==⋅=−=，令21y =，得2n =，121212cos ||||n n n n n n ⋅〈⋅〉==⋅，设A PB C −−的大小为θ，从而得sin θ=，所以A PB C −−. 20. 已知()()1ln 0f x x ax a x=−≥，e 为自然对数的底数. （1）若函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞（2）211e 2ea << 【解析】【分析】（1）求出()f x ′，利用导数的几何意义得到0a =，再利用导数与函数性质的关系即可得解；（2）构造函数()2ln xF x x=，将问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点，利用导数分析()F x 的性质，结合图象即可得解. 【小问1详解】因为()()1ln 0f x x ax a x=−≥，所以()21ln x f x a x −′=−，的又函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，则()e 0f ′=，即21ln e0ea −−=，解得0a =，此时()21ln xf x x−′=，令()0f x ′=，解得e x =，当0e x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，当e x >时，()0f x ′<，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞. 【小问2详解】因()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，令()0f x =，则1ln 0x ax x −=，即2ln x a x =在1,e e上有且仅有两个零点，令()2ln x F x x =，1,e e x∈，则问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点，又()312ln xF x x−′=，当1ex ∈ 时，()0F x ′>，)F x 单调递增，当)x ∈时，()0F x ′<，()F x 单调递减，所以()F x在x =12eF=，又201e e F =− <，()2e e 1F =，作出()F x 与y a =的大致图象，如图，为结合图象可得211e 2ea <<，所以实数a 的取值范围为211e 2ea <<. 21. 某单位为端正工作人员仪容，在单位设置一面平面镜.如图，平面镜宽BC 为2m ，某人在A 点处观察到自己在平面镜中所成的像为A ′.当且仅当线段AA ′与线段BC 有异于B ，C 的交点D 时，此人能在镜中看到自己的像.已知π3BAC ∠=.（1）若在A 点处能在镜中看到自己的像，求ACAB的取值范围；（2）求某人在A 处与其在平面镜中的像的距离AA ′的最大值. 【答案】（1）1,22（2）【解析】【分析】（1）设ACB θ∠=，则ππ62θ<<，利用正弦定理结合三角恒等变换可得)sin AC θθ=+，AB θ=，进而整理可得12AC AB =，结合正切函数运算求解；（2）根据（1）中结果结合三角恒等变换整理得π26AA θ=−+′，结合正弦函数分析求解. 【小问1详解】设ACB θ∠=，由题意可知ABC 为锐角三角形，则π022ππ032θθ<<<−<，可得ππ62θ<<，由正弦定理sin sin sinAC AB BCABC ACB BAC===∠∠∠，可得)πsin3AC ABCθθθ=∠=+=+，AB ACBθ=∠=，则12ACAB=+，因为ππ62θ<<，则tanθ>，可得1tanθ<<，即32<<，所以1,22ACAB∈.【小问2详解】由（1）可知：)sinACθθ=+，ABθ=，由题意可知：A A BC′⊥，AD AA=′，利用等面积法可得)1112sin222AAθθθ××=+′整理得2π4sin cos2sin2226 AAθθθθθθ==−−′，因为ππ62θ<<，则ππ5π2,666θ−∈，当ππ262θ−=，即π3θ=时，AA′取到最大值.22. 设()2cos1f x ax x=+−，a∈R.（1）当1πa=时，求函数()f x的最小值；（2）当12a≥时，证明：()0f x≥；（3）证明：()*1114coscos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【答案】22. π14− 23. 证明见解析 24. 证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，分π2x >和π02x ≤<两种情况，利用导数判断原函数的单调性和最值；（2）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，利用导数判断原函数的单调性和最值，分析证明；（3）由（2）可得：()211cos12>−≥n n n ，分2n =和3n ≥两种情况，利用裂项相消法分析证明；【小问1详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()()()22cos 1cos 1−−+−−+−f x a x x ax x f x ，所以()f x 为偶函数，下取0x ≥，当1πa =时，()21cos 1π=+−f x x x ，则()2sin π′=−f x x x ，当π2x >时，则()2sin 1sin 0π′=−>−≥f x x x x ，可知()f x 在π,2∞ +内单调递增，当π02x ≤≤时，令()()g x f x ′=，则()2cos π′=−g x x ，可知()g x ′在π0,2内单调递增，因为201π<<，则0π0,2x ∃∈ ，使得02cos πx =，当[)00,x x ∈时，()0g x ′<；当0π,2x x ∈ 时，()0g x ′>；所以()g x 在[)00,x 上单调递减，在0π,2x上单调递增，且()π002g g == ，则()()0f x g x ′=≤在π0,2 内恒成立，可知()f x 在π0,2内单调递减；综上所述：()f x 在π0,2 内单调递减，在π,2∞ + 内单调递增，所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为ππ124f =−，又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在R 内的最小值为π14−. 【小问2详解】由（1）可知()f x 为定义在R 上的偶函数，下取0x ≥，可知()2sin f x ax x ′=−，令()()2sin ϕ′==−x f x ax x ，因12a ≥，则()2cos 1cos 0x a x x ϕ≥−′=−≥，则()x ϕ在[)0,∞+内单调递增，可得()()00x ϕϕ≥=，即()0f x ′≥在[)0,∞+内恒成立，可知()f x 在[)0,∞+内单调递增，所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为()00f =，结合偶函数性质可知：()0f x ≥.【小问3详解】由（2）可得：当1a =时，()2cos 10=+−≥f x x x ，当且仅当0x =时，等号成立，即2cos 1≥−x x ，令*1,2,=≥∈x n n nN ，则211cos 1>−n n ，当2n =时，211324cos 1222433>−=>=−，不等式成立；当3n ≥时，222114411cos 111124412121 >−=−>−=−− −−+n n n n n n ，即111cos 122121 >−− −+n n n ，则有： 111cos 12235 >−− ，111cos 12357 >−− ，⋅⋅⋅，111cos 122121 >−− −+n n n ，相加可得：()()11111425cos cos cos 12233213321− +++>−−−=−− ++n n n n n n ，为因为3n ≥，则()250321−>+n n ，所以1114cos cos cos 233+++>− n n ；综上所述：()*1114cos cos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()f x ；（3）利用导数研究()f x 的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。

湖南2023-2024学年高三上学期月考卷(四)数学试题含答案

湖南2024届高三月考试卷（四）数学（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则复数2z 在复平面内对应的点的坐标为（）A.()4,5- B.()4,3 C.()3,4- D.()5,4【答案】C 【解析】【分析】根据题意得234i z =-+，再分析求解即可.【详解】根据题意得：()22212i 14i 4i 34i z =+=++=-+，所以复数2z 在复平面内对应的点的坐标为：()3,4-.故选：C.2.若随机事件A ，B 满足()13P A =，()12P B =，()34P A B ⋃=，则()P A B =（）A.29B.23C.14D.16【答案】D 【解析】【分析】先由题意计算出()P AB ，再根据条件概率求出()P A B 即可.【详解】由题意知：()3()()()4P A B P A P B P AB ==+- ，可得1131()32412P AB =+-=，故()1()1121()62P AB P A B P B ===.故选：D.3.设{}n a 是公比不为1的无穷等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为{}n a 是公比不为1的无穷等比数列，若{}n a 为递减数列，当11a >，则01q <<，所以11n n a a q -=，令111n n a a q -=<，则111n qa -<，所以1111log log qq n a a ->=-，所以11log q n a >-时1n a <，当101a <<，则01q <<，所以111n n a a q -=<恒成立，当11a =，则01q <<，所以11n n a a q -=，当2n ≥时1n a <，当10a <，则1q >，此时110n n a a q -=<恒成立，对任意N*n ∈均有1n a <，故充分性成立；若存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <，当10a <且01q <<，则110n n a a q -=<恒成立，所以对任意N*n ∈均有1n a <，但是{}n a 为递增数列，故必要性不成立，故“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <”的充分不必要条件；故选：A4.设π(0,2α∈，π(0,)2β∈，且1tan tan cos αβα+=，则（）A.π22αβ+=B.π22αβ-=C.π22βα-= D.π22βα+=【答案】D 【解析】【分析】根据给定等式，利用同角公式及和角的正弦公式化简变形，再利用正弦函数性质推理即得.【详解】由1tan tan cos αβα+=，得sin sin 1cos cos cos αβαβα+=，于是sin cos cos sin cos αβαββ+=，即πsin()sin()2αββ+=-，由π(0,)2α∈，π(0,2β∈，得20π,0<ππ2αββ<+-<<，则π2αββ+=-或ππ2αββ++-=，即π22βα+=或π2α=（不符合题意，舍去），所以π22βα+=.故选：D5.若52345012345(12)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x -=+-+-+-+-+-，则下列结论中正确的是（）A.01a = B.480a =C.50123453a a a a a a +++++= D.()()10024135134a a a a a a -++++=【答案】C 【解析】【分析】利用二项式定理，求指定项的系数，各项系数和，奇次项系数和与偶数项系数和.【详解】由()52345012345(12)1(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x -=+-+-+-+-+-，对于A 中，令1x =，可得01a =-，所以A 错误；对于B 中，[]55(12)12(1)x x -=---，由二项展开式的通项得44145C (2)(1)80a =⋅-⋅-=-，所以B 错误；对于C 中，012345a a a a a a +++++与5(12(1))x +-的系数之和相等，令11x -=即50123453a a a a a a +++++=，所以C 正确；对于D 中，令2x =，则50123453a a a a a a +++++=-，令0x =，则0123451a a a a a a -+-+-=，解得5024312a a a -+++=，5135312a a a --++=，可得()()10024135314a a a a a a -++++=，所以D 错误.故选：C.6.函数()()12cos 2023π1f x x x ⎡⎤=++⎣⎦-在区间[3,5]-上所有零点的和等于（）A.2B.4C.6D.8【答案】D【分析】根据()y f x =在[]3,5-的零点，转化为11y x =-的图象和函数2cosπy x =的图象在[]3,5-交点的横坐标，画出函数图象，可得到两图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]3,5-上有8个交点，即可求出.【详解】因为()()112cos 2023π2cosπ11f x x x x x ⎡⎤=++=-⎣⎦--，令()0f x =，则12cosπ1x x =-，则函数的零点就是函数11y x =-的图象和函数2cosπy x =的图象在[]3,5-交点的横坐标，可得11y x =-和2cosπy x =的函数图象都关于直线1x =对称，则交点也关于直线1x =对称，画出两个函数的图象，如图所示.观察图象可知，函数11y x =-的图象和函数2cosπy x =的图象在[]3,5-上有8个交点，即()f x 有8个零点，且关于直线1x =对称，故所有零点的和为428⨯=.故选：D7.点M 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若PQM 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）A.(0,2B.0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.(2-【解析】【分析】依据题目条件可知圆的半径为2b a ，画出图形由PQMc >，即可求得椭圆离心率的取值范围.【详解】依题意，不妨设F 为右焦点，则(),M c y ，由圆Ｍ与x 轴相切于焦点F ，M 在椭圆上，易得2b y a =或2b y a =-，则圆的半径为2b a.过M 作MN y ⊥轴垂足为N ，则PN NQ =，MN c =，如下图所示：PM ，MQ 均为半径，则PQM为等腰三角形，∴PN NQ ==∵PMQ ∠为钝角，∴45PMN QMN ∠=∠> ，即PN NQ MN c =>=c >，即4222b c c a ->，得()222222a a c c ->，得22a c ->，故有210e -<，从而解得6202e <<.故选：B8.已知函数22,0,()414,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨-++<⎪⎩ 若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a -<-成立，则所有满足条件的整数a 的取值集合为（）A.{2,1,0,1}--B.{2,1,0}--C.{1,0,1}-D.{2,1}-【答案】A 【解析】【分析】作出()f x 的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与(,1)a 连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得a 范围.【详解】作出()f x 的函数图象如图所示：()10f x x a-<-表示点()(),x f x 与点(),1a 所在直线的斜率，可得曲线()f x 上只有一个点()(),x f x （x 为整数）和点(),1a 所在直线的斜率小于0，而点(),1a 在动直线1y =上运动，由()20f -=，()14f -=，()00f =，可得当21a -≤≤-时，只有点()0,0满足()10f x x a -<-；当01a ≤≤时，只有点()1,4-满足()10f x x a-<-.又a 为整数，可得a 的取值集合为{}2,1,0,1--.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分、9.已知双曲线C过点(，且渐近线方程为3y x =±，则下列结论正确的是（）A.C 的方程为2213x y -= B.CC.曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点D.直线10x --=与C 有两个公共点【答案】AC 【解析】【分析】由双曲线的渐近线为3y x =±，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断A ；再求出双曲线的焦点坐标判断B ，C ；联立方程组判断D ．【详解】解：由双曲线的渐近线方程为33y x =±，可设双曲线方程为223x y λ-=，把点代入，得923λ-=，即1λ=．∴双曲线C 的方程为2213x y -=，故A 正确；由23a =，21b =，得2c ==，∴双曲线C3=，故B 错误；取20x -=，得2x =，0y =，曲线21x y e -=-过定点(2,0)，故C 正确；联立221013x x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，化简得220,0y -+-=∆=，所以直线10x -=与C 只有一个公共点，故D 不正确．故选：AC ．10.已知向量a ，b 满足2a b a += ，20a b a ⋅+= 且2= a ，则（）A.2b =B.0a b +=C.26a b -= D.4a b ⋅=【答案】ABC 【解析】【分析】由2a b a += ，得20a b b ⋅+= ，又20a b a ⋅+= 且2= a ，得2b = ，4a b ⋅=- ，可得cos ,1a b a b a b⋅==- ，,πa b = ，有0a b += ，26a b -= ，可判断各选项.【详解】因为2a b a += ，所以222a b a += ，即22244a a b b a +⋅+= ，整理可得20a b b ⋅+= ，再由20a b a ⋅+= ，且2= a ，可得224a b == ，所以2b = ，4a b ⋅=- ，A 选项正确，D 选项错误；cos ,1a b a b a b⋅==- ，即向量a ，b 的夹角,πa b = ，故向量a ，b 共线且方向相反，所以0a b += ，B 选项正确；26a b -=，C 选项正确.故选：ABC11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 是其侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），点P是线段1CC 上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点,P M ，使得二面角--M DC P 大小为23πB.存在点,P M ，使得平面11B D M 与平面PBD 平行C.当P 为棱1CC 的中点且PM =时，则点M 的轨迹长度为23πD.当M 为1A D 中点时，四棱锥M ABCD-外接球的体积为3【答案】BC 【解析】【分析】由题意，证得1,CD MD CD DD ⊥⊥，得到二面角--M DC P 的平面角1π0,2MDD ⎡∠∈⎤⎢⎥⎣⎦，可得判定A 错误；利用线面平行的判定定理分别证得11//B D 平面BDP ，1//MB 平面BDP ，结合面面平行的判定定理，证得平面//BDP 平面11MB D ，可判定B 正确；取1DD 中点E ，证得PE ME ⊥，得到2ME ==，得到点M 在侧面11ADD A 内运动轨迹是以E 为圆心、半径为2的劣弧，可判定C 正确；当M 为1AD 中点时，连接AC 与BD 交于点O ，求得OM OA OB OC OD ====，得到四棱锥M ABCD -外接球的球心为O ，进而可判定D 错误.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，可得CD ⊥平面11ADD A，因为MD ⊂平面11ADD A ，1DD ⊂平面11ADD A ，所以1,CD MD CD DD ⊥⊥，所以二面角--M DC P 的平面角为1∠MDD ，其中1π0,2MDD ⎡∠∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以A 错误；如图所示，当M 为1AA 中点，P 为1CC 中点时，在正方体1111ABCD A B C D -中，可得11//B D BD ，因为11B D ⊄平面BDP ，且BD ⊂平面BDP ，所以11//B D 平面BDP ，又因为1//MB DP ，且1MB ⊄平面BDP ，且DP ⊂平面BDP ，所以1//MB 平面BDP ，因为1111B D MB B = ，且111,B D MB ⊂平面11MB D ，所以平面//BDP 平面11MB D ，所以B 正确；如图所示，取1DD 中点E ，连接PE ，ME ，PM ，在正方体1111ABCD A B C D -中，CD ⊥平面11ADD A ，且//CD PE ，所以PE ⊥平面11ADD A ，因为ME ⊂平面11ADD A ，可得PE ME ⊥，则2==ME ，则点M 在侧面11ADD A 内运动轨迹是以E 为圆心、半径为2的劣弧，分别交AD ，11A D 于2M ，1M ，如图所示，则121π3D E D M M E ∠=∠=，则21π3M M E ∠=，劣弧12M M 的长为π3π223⨯=，所以C 正确当M 为1A D 中点时，可得AMD 为等腰直角三角形，且平面ABCD ⊥平面11ADD A ，连接AC 与BD 交于点O ，可得OM OA OB OC OD =====，所以四棱锥M ABCD -外接球的球心即为AC 与BD 的交点O ，所以四棱锥M ABCD -，其外接球的体积为348233π⨯=，所以D 错误.故选：BC.12.若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2ln h x e x =（e 为自然对数的底数），则（）A.()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；B.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；C.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]4,1-；D.()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-.【答案】ABD 【解析】【分析】令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，得到A 正确；设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，根据隔离直线定义可得不等式组22010x kx b kx bx ⎧--≥⎨+-≤⎩对任意(),0x ∈-∞恒成立；分别在0k =和0k <两种情况下讨论b 满足的条件，进而求得,k b 的范围，得到B 正确，C 错误；根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为y kx e =-；分别讨论0k =、0k <和0k >时，是否满足()()e 0f x kx x ≥->恒成立，从而确定k =，再令()()e G x h x =--，利用导数可证得()0G x ≥恒成立，由此可确定隔离直线，则D 正确.【详解】对于A ，()()()21m x f x g x x x=-=-，()212m x x x '∴=+，()3321221m x x x ⎛⎫''=-=- ⎪⎝⎭，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x ''>，()m x '∴单调递增，()2233220m x m ⎛'∴>-=--+= ⎝，()m x ∴在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增，A 正确；对于,B C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，则21x kx bkx bx ⎧≥+⎪⎨≤+⎪⎩对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22010x kx b kx bx ⎧--≥⎨+-≤⎩对任意(),0x ∈-∞恒成立.由210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立得：0k ≤.⑴若0k =，则有0b =符合题意；⑵若0k <则有20x kx b --≥对任意(),0x ∈-∞恒成立，2y x kx b =-- 的对称轴为02kx =<，2140k b ∆+∴=≤，0b ∴≤；又21y kx bx =+-的对称轴为02bx k =-≤，2240b k ∴∆=+≤；即2244k b b k⎧≤-⎨≤-⎩，421664k b k ∴≤≤-，40k ∴-≤<；同理可得：421664b k b ≤≤-，40b ∴-≤<；综上所述：40k -≤≤，40b -≤≤，B 正确，C 错误；对于D ，函数()f x 和()h x 的图象在x =处有公共点，∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点.设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为(y e k x -=，即y kx e =-+，则()()e 0f x kx x ≥->恒成立，若0k =，则()2e 00x x -≥>不恒成立.若0k <，令()()20u x x kx e x =-+>，对称轴为02k x =<()2u x x kx e ∴=-+在(上单调递增，又0ue e =--=，故0k <时，()()e 0f x kx x ≥->不恒成立.若0k >，()u x 对称轴为02kx =>，若()0u x ≥恒成立，则()(22340k e k ∆=-=-≤，解得：k =.此时直线方程为：y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()()2ln G x e h x e e x =--=--，则()x G x x-'=，当x =时，()0G x '=；当0x <<()0G x '<；当x >()0G x '>；∴当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即()min 0G x G==，()()0G x e h x ∴=--≥，即()h x e ≤-，∴函数()f x 和()h x 存在唯一的隔离直线y e =-，D 正确.故选：ABD .【点睛】本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解隔离直线的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题；难点在于能够对直线斜率范围进行准确的分类讨论，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()y f x =的图像在点()()11M f ，处的切线方程是122y x =+，则()()11f f '+＝______．【答案】3【解析】【分析】根据导数的几何意义，可得'(1)f 的值，根据点M 在切线上，可求得(1)f 的值，即可得答案.【详解】由导数的几何意义可得，'1(1)2k f ==，又()()11M f ，在切线上，所以15(1)1222f =⨯+=，则()()11f f '+=3，故答案为：3【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查分析理解的能力，属基础题.14.如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF 拼成的一个较大的等边三角形ABC ，若3AF =，33sin 14ACF ∠=，则DEF 的面积为________．【解析】【分析】利用正弦定理以及余弦定理求得钝角三角形的三边长，根据等边三角形的性质以及面积公式，可得答案.【详解】因为EFD △为等边三角形，所以60EFD ∠= ，则120EFA ∠= ，在AFC △中，由正弦定理，则sin sin AF ACACF AFC=∠∠，解得sin 7sin 23314AF AC AFC ACF =⋅∠==∠，由余弦定理，则2222cos AC AF FC AF FC AFC =+-⋅⋅∠，整理可得：21499232FC FC ⎛⎫=+-⨯⋅⋅- ⎪⎝⎭，则23400FC FC +-=，解得5FC =或8-（舍去），等边EFD △边长为532-=，其面积为122sin 602⨯⨯⋅=o .15.已知数列{}n a 的首项132a =，且满足1323n n n a a a +=+．若123111181n a a a a +++⋅⋅⋅+<，则n 的最大值为______．【答案】15【解析】【分析】应用等差数列定义得出等差数列,根据差数列通项公式及求和公式求解计算即得.【详解】因为12312133n n n n a a a a ++==+，所以1112,3n n a a +=+，即11123n n a a +-=，且1123a =，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为23，公差为23的等差数列.可求得()12221333n nn a =+-=，所以()()1232211111212222333n n n n n n a a a a ++⨯+⨯++⨯+++⋅⋅⋅+===，即()()181,12433n n n n +<+<且()*1,N n n n +∈单调递增,1516240,1617272⨯=⨯=.则n 的最大值为15.故答案为:15.16.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 满足112A E EB =，点F 在平面1BC D 内，则|1||A F EF +的最小值为___________.【答案】6【解析】【分析】以点D 为原点，建立空间直角坐标系，由线面垂直的判定定理，证得1A C ⊥平面1BC D ，记1AC 与平面1BC D 交于点H ，连接11A C ，1,C O ，AC ，得到12A H HC =，结合点()13,0,3A 关于平面1BC D 对称的点为()1,4,1G --，进而求得1A F EF +的最小值.【详解】以点D 为原点，1,,DA DC DD所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则()13,0,3A ，()3,2,3E ，()0,3,0C，因为BD AC ⊥，1BD A A ⊥，且1AC A A A ⋂=，则BD ⊥平面1A AC ，又因为1AC ⊂平面1A AC ，所以1BD A C ⊥，同理得1BC ⊥平面11A B C ，因为1AC ⊂平面11A B C ，所以11BC A C ^，因为1BD BC B = ，且1,BD BC ⊂平面1BC D ，所以1A C ⊥平面1BC D ，记1AC 与平面1BC D 交于点H ，连接11A C ，1C O ，AC ，且AC BD O = ，则11121A H A C HC OC ==，可得12A H HC =，由得点()13,0,3A 关于平面1BC D 对称的点为()1,4,1G --，所以1A F EF +的最小值为6EG ==.故答案为：6.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()23sin 2cos 2xf x x m ωω=++的最小值为2-.（1）求函数()f x 的最大值；（2）把函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位，可得函数()y g x =的图象，且函数()y g x =在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，求ω的最大值.【答案】（1）2（2）4【解析】【分析】（1）化简函数为()2sin 16f x x m πω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，再根据函数()f x 的最小值为2-求解；（2）利用平移变换得到()2sin g x x ω=的图象，再由()y g x =在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数求解.【小问1详解】解：()23sin 2cos 2xf x x m ωω=++，3sin cos 1x x m ωω=+++，2sin 16x m πω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，函数()f x 的最小值为2-212m ∴-++=-，解得1m =-，则()2sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最大值为2.【小问2详解】由（1）可知：把函数()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移6πω个单位，可得函数()2sin y g x x ω==的图象.()y g x = 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴函数()g x 的周期22T ππω=4ω∴ ，即ω的最大值为4.18.为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A “毛毛虫旱地龙舟”和项目B “袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.第一个比赛项目A 采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）；第二个比赛项目B 采取领先3局者获胜。

天津市经济技术开发区第一中学2021届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析

当时，，单调递增，无极值；
当时，时，，当时，，是极大值点．
∴ 极大值．
（3）由（2）知时，的极大值为，
∴ ，即，
设，易知函数在上是增函数，而，
∴由得．
【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，掌握导数与极值的关系是解题关键．本题属于中档题．
2Hale Waihona Puke .已知函数（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若关于的不等式恒成立，且的最小值是，求证： .
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）证明见解析．
【答案】
【解析】
【分析】
不等式变形为（），然后求出函数的最小值即可得．
【详解】∵ ，∴不等式可化为，
设，，
当时，，递减，时，，递增，
∴ ，
不等式在上恒成立，则．
故答案为：．
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是分离参数法，转化为求函数的最值．
16.函数是定义在上的奇函数，对任意的，满足，且当时，，则 __________．
故选：D．
【点睛】本题考查命题的真假判断，考查了充分不必要条件的定义，命题的否定，基本不等式，函数的奇偶性与对称性等知识，属于中档题．
8.将函数的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，再把所得图象上的所有点向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在处取得最大值，则函数的图象（）
A 关于点对称B. 关于点对称
10.函数，若函数恰有个零点，则的取值范围为（）
A. 或 B. 或 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】

湖北省襄阳市2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题含答案

襄阳2025届高三上学期10月月考数学试卷（答案在最后）命题人：一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合31A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z ，则用列举法表示A =（）A.{}2,0,1,2,4- B.{}2,0,2,4- C.{}0,2,4 D.{}2,4【答案】B 【解析】【分析】由题意可得1x -可为1±、3±，计算即可得.【详解】由题意可得1x -可为1±、3±，即x 可为0,2,2,4-，即{}2,0,2,4A =-.故选：B.2.设3i,ia a z +∈=R ，其中i 为虚数单位.则“1a <-”是“z >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简z ，再求出z，令z >求出相应的a 的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为23i 3i 3i i ia az a +-===-，所以z =令z >，即>1a >或1a <-，所以1a <-推得出z >，故充分性成立；由z >推不出1a <-，故必要性不成立；所以“1a <-”是“z >”的充分不必要条件.故选：A3.已知向量a ，b 不共线，且c a b λ=+ ，()21d a b λ=++ ，若c 与d 同向共线，则实数λ的值为（）A.1B.12C.1或12-D.1-或12【答案】B 【解析】【分析】先根据向量平行求参数λ，再根据向量同向进行取舍.【详解】因为c与d 共线，所以()2110λλ+-=，解得1λ=-或12λ=.若1λ=-，则c a b =-+，d a b =- ，所以d c =- ，所以c 与d 方向相反，故舍去；若12λ=，则12c a b =+ ，2d a b =+ ，所以2d c = ，所以c与d 方向相同，故12λ=为所求.故选：B4.已知3322x y x y ---<-，则下列结论中正确的是（）A.()ln 10y x -+>B.ln0yx> C.ln 0y x +> D.ln 0y x ->【答案】A 【解析】【分析】构造函数()32xf x x -=-，利用()f x 的单调性可得x y <，进而可得.【详解】由3322x y x y ---<-得3322x y x y ---<-，设()32xf x x -=-，因函数3y x =与2x y -=-都是R 上的增函数，故()f x 为R 上的增函数，又因3322x y x y ---<-，故x y <，()ln 1ln10y x -+>=，故A 正确，因y x，y x +，y x -与1的大小都不确定，故B ，C ，D 错误，故选：A5.从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凹数12345a a a a a ”（满足12345a a a a a >><<），则这样的“五位凹数”的个数为（）A.126个B.112个C.98个D.84个【答案】A 【解析】【分析】利用分步乘法计数原理可得.【详解】第一步，从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个共有57C 种方法，第二步，选出的5个数中，最小的为3a ，从剩下的4个数中选出2个分给12,a a ，由题意可知，选出后1245,,,a a a a 就确定了，共有24C 种方法，故满足条件的“五位凹数”5274C C 126=个，故选：A6.若数列{}n a 满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+（3n ≥，n 为正整数），则称数列{}n a 为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论成立的是（）A.78a =B.135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=C.754S =D.24620202021a a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】B 【解析】【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可.【详解】解析：按照规律有11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，733S =，故A 、C 错；21112123341n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a S ++--------=+=+++=+++++==+ ，则202020181220183520191352019111a S a a a a a a a a a a =+=++++=++++=++++ ，故B 对；24620202234520182019a a a a a a a a a a a ++++=+++++++ 1234520182019201920211a a a a a a a S a =+++++++==- ，故D 错．故选:B ．7.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点．若122F A F B = ，且12π4AF F ∠=，则椭圆C 的离心率为（）A.13B.23C.33D.23【答案】B 【解析】【分析】设1AF =，结合题意可得2AF ，根据椭圆定义整理可得22b c m -=，根据向量关系可得1F A ∥2F B ，且2BF =2b c m+=，进而可求离心率.【详解】由题意可知：()()12,0,,0F c F c -，设1,0AF m =>，因为12π4AF F ∠=，则()2,2A c m m -+，可得2AF =由椭圆定义可知：122AF AF a +=，即2a =，整理可得22b c m-=；又因为122F A F B = ，则1F A ∥2F B ，且2112BF AF ==，则(),B c m m +，可得1BF =由椭圆定义可知：䁕2a =，2bcm+=；即2c c-=+3c=，所以椭圆C的离心率3cea==.故选：B.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．8.圆锥的表面积为1S，其内切球的表面积为2S，则12SS的取值范围是（）A.[)1,+∞ B.[)2,+∞C.)∞⎡+⎣ D.[)4,+∞【答案】B【解析】【分析】选择OBC∠（角θ）与内切球半径R为变量，可表示出圆锥底面半径r和母线l，由圆锥和球的表面积公式可得()122212tan1tanSSθθ=-，再由2tan(0,1)tθ=∈换元，转化为求解二次函数值域，进而得12SS的取值范围.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥内切球半径为R，如图作出圆锥的轴截面，其中设O为外接圆圆心，,D E为切点，,AB AC为圆锥母线，连接,,,OB OD OA OE.设OBCθ∠=，tanRrθ=，0tan1θ<<tanRrθ∴=.OD AB⊥，OE BC⊥，πDBE DOE∴∠+∠=，又πAOD DOE∠+∠=，2AOD DBE θ∴∠=∠=，tan 2AD R θ∴=，22tan 2tan Rl r AD BD r AD r R θθ∴+=++=+=+，则圆锥表面积()21πππS r rl r l r =+=+，圆锥内切球表面积224πS R =，所求比值为()212222π2tan 21tan 1tan tan 4π2tan 1tan R R R S S R θθθθθθ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭==-，令2tan 0t θ=>，则()2211()2122222g t t t t t t ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，则10()2g t <≤，且当12t =时，()g t 取得最大值12，故122S S ≥，即12S S 的取值范围是[)2,+∞.故选：B.【点睛】关键点点睛：求解立体几何中的最值问题一般方法有两类，一是设变量（可以是坐标，也可以是关键线段或关键角）将动态问题转化为代数问题，利用代数方法求目标函数的最值；二是几何法，利用图形的几何性质，将空间问题平面化，将三维问题转化为二维问题来研究，以平面几何中的公理、定义、定理为依据，以几何直观为主要手段直接推理出最值状态何时取到，再加以求解.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设A ，B 为随机事件，且()P A ，()P B 是A ，B 发生的概率.()P A ，()()0,1P B ∈，则下列说法正确的是（）A.若A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+B.若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立C .若A ，B 互斥，则A ，B 相互独立D.若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =【答案】ABD 【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A 选项；由相互独立事件的概念可判断B 选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C 选项；由相互独立事件的概念，可判断D 选项.【详解】对于选项A ，若,A B 互斥，根据互斥事件的概率公式，则()()()P A B P A P B ⋃=+，所以选项A 正确，对于选项B ，由相互独立事件的概念知，若()()()P AB P A P B =，则事件,A B 是相互独立事件，所以选项B 正确，对于选项C ，若,A B 互斥，则,A B 不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A ：“正面朝上”，事件B ：“反面朝上”，事件A 与事件B 互斥，但()0P AB =，1()()2P A P B ==，不满足相互独立事件的定义，所以选项C 错误，对于选项D ，由相互独立事件的定义知，若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =，所以选项D 正确，故选：ABD.10.已知函数()sin sin cos 2f x x x x =-，则（）A.()f x 的图象关于点(π,0)对称B.()f x 的值域为[1,2]-C.若方程1()4f x =-在(0,)m 上有6个不同的实根，则实数m 的取值范围是17π10π,63⎛⎤⎥⎝⎦D.若方程[]22()2()1(R)f x af x a a -+=∈在(0,2π)上有6个不同的实根(1,2,,6)i x i = ，则61ii ax=∑的取值范围是(0,5π)【答案】BCD 【解析】【分析】根据(2π)()f f x =-是否成立判断A ，利用分段函数判断BC ，根据正弦函数的单调性画出分段函数()f x 的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D.【详解】因为()sin sin cos 2f x x x x =-，所以(2π)sin(2π)sin(2π)cos 2(2π)sin sin cos 2()f x x x x x x x f x -=----=--≠-，所以()f x 的图象不关于点(π,0)对称，故A 错误；当sin 0x ≥时，()222()sin 12sin 3sin 1f x x x x =--=-，由[]sin 0,1x ∈可得[]()1,2f x ∈-，当sin 0x <时，()222()sin 12sin sin 1f x x x x =---=-，由[)sin 1,0x ∈-可得(]()1,0f x ∈-，综上[]()1,2f x ∈-，故B 正确：当sin 0x ≥时，由21()3sin 14f x x =-=-解得1sin 2x =，当sin 0x <时，由21()sin 14f x x =-=-解得3sin 2x =-，所以方程1()4f x =-在(0,)+∞上的前7个实根分别为π6，5π6，4π3，5π3，13π6，17π6，10π3，所以17π10π63m <≤，故C 正确；由[]22()2()1f x af x a -+=解得()1f x a =-或()1f x a =+，又因为()223sin 1,sin 0sin 1,sin 0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，所以根据正弦函数的单调性可得()f x 图象如图所示，所以()1f x a =-有4个不同的实根，()1f x a =+有2个不同的实根，所以110012a a -<-<⎧⎨<+<⎩，解得01a <<，设123456x x x x x x <<<<<，则1423πx x x x +=+=，563πx x +=，所以615πii x==∑，所以61i i a x =∑的取值范围是(0,5π)，故D 正确.故选：BCD.11.在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点()11,A x y 、()22,B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(),d P l ，给出下列四个命题，正确的是（）A .对任意三点,,A B C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；B.已知点()2,1P 和直线:220l x y --=，则()83d P l =,；C.到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.D.定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()()12,,2220d P F d P F a c a =>>-，则点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点.【答案】AD 【解析】【分析】对于选项A ，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断；对于选项B ，设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，讨论|2|x -，1|2|2x -的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值；对于选项C ，运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；对于选项D ，根据定义得{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．【详解】A 选项，设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y ，由题意可得：()(){}{},,max ,max ,,A C A CBC B C A C B C A B d C A d C B x x y y x x y y x x x x x x +=--+--≥-+-≥-同理可得：()(),,A B d C A d C B y y +≥-，则：()(){}(),,max ,,A B A B d C A d C B x x y y d A B +≥--=，则对任意的三点A ，B ，C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；故A 正确；B 选项，设点Q 是直线220x y --=上一点，且1,12Q x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，由1222x x -≥-，解得0x ≤或83x ≥，即有(),2d P Q x =-，当83x =时，取得最小值23；由1222x x -<-，解得803x <<，即有()1,22d P Q x =-，(),d P Q 的范围是2,23⎛⎫⎪⎝⎭，无最值，综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为23，故B 错误；C 选项，设(),M a b{}max ,x a y b =--，若y b x a -≥-，y b =-，两边平方整理得x a =；此时所求轨迹为x a =(y b ≥或)y b ≤-若y b x a -<-，则x a =-，两边平方整理得y b =；此时所求轨迹为y b =(x a ≥或)x a ≤-，故没法说所求轨迹是正方形，故C 错误；D 选项，定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()12,,2d P F d P F a -=（220c a >>），则：{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x ≥0，y ≥0.(1)当x c yx c y ⎧+≥⎪⎨-≥⎪⎩时，有2x c x c a +--=，得：0x a y a c =⎧⎨≤≤-⎩；(2)当x c y x c y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩时，有02a =，此时无解；(3)当x c y x c y⎧+>⎪⎨-<⎪⎩时，有2,x c y a a x +-=<；则点P 的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图像可知，点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点，故D 正确.故选：AD.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若)nax的展开式的二项式系数和为32，且2x -的系数为80，则实数a 的值为________．【答案】【解析】【分析】由二项式系数和先求n ，再利用通项53215C ()r r rr T a x -+=-得到2x -的指数确定r 值，由2x -的系数为80，建立关于a 的方程求解可得.【详解】因为)na x-的展开式的二项式系数和为32，所以012C C C C 232nnn n n n ++++== ，解得5n =.所以二项式展开式的通项公式为5352155C ()C ()rr rr r rr a T a x x--+=-=-，由5322r-=-，解得3r =，所以2x -的系数为3335C ()1080a a -=-=，解得2a =-.故答案为：2-.13.已知函数()()()2f x x a x x =--在x a =处取得极小值，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求得()()()221f x x x x a x =-+--'，根据()0f a ¢=，求得a 的值，结合实数a 的值，利用函数的单调性与极值点的概念，即可求解.【详解】由函数()()()2f x x a x x =--，可得()()()221f x x x x a x =-+--'，因为x a =处函数()f x 极小值，可得()20f a a a =-='，解得0a =或1a =，若0a =时，可得()(32)f x x x '=-，当0x <时，()0f x '>；当203x <<时，()0f x '<；当23x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在2(,0),(,)3-∞+∞单调递增，在2(0,)3上单调递减，所以，当0x =时，函数()f x 取得极大值，不符合题意，（舍去）；若1a =时，可得()(1)(31)f x x x '=--，当13x <时，()0f x '>；当113x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在1(,),(1,)3-∞+∞单调递增，在(0,1)上单调递减，所以，当1x =时，函数()f x 取得极小值，符合题意，综上可得，实数a 的值为1.故答案为：1.14.数学老师在黑板上写上一个实数0x ，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数0x 乘以2-再加上3得到1x ，并将0x 擦掉后将1x 写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数0x 除以2-再减去3得到1x ，也将0x 擦掉后将1x 写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为2x ．现已知20x x >的概率为0.5，则实数0x 的取值范围是__________．【答案】()(),21,-∞-+∞ 【解析】【分析】构造函数()23f x x =-+，()32xg x =--，由两次复合列出不等式求解即可.【详解】由题意构造()23f x x =-+，()32xg x =--，则有()()43f f x x =-，()()9f g x x =+，()()92g f x x =-，()()342x g g x =-．因为()()f g x x >，()()g f x x <恒成立，又20x x >的概率为0.5，所以必有43,3,42x x x x ->⎧⎪⎨-≤⎪⎩或者43,3,42x x x x -≤⎧⎪⎨->⎪⎩解得()(),21,x ∈-∞-⋃+∞．故答案为：()(),21,-∞-+∞ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC的面积为4，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由112333BD BC CA BA BC =+=+ ，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V 的面积为33π,43B =，所以133sin 24ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当6,2a c ==时取等号，所以BD .16.已知抛物线2:2(0)E y px p =>与双曲线22134x y -=的渐近线在第一象限的交点为Q ，且Q 点的横坐标为3．（1）求抛物线E 的方程；（2）过点(3,0)M -的直线l 与抛物线E 相交于,A B 两点，B 关于x 轴的对称点为B '，求证：直线AB '必过定点．【答案】（1）24y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点Q 的坐标，由此可求抛物线方程；（2）联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设，，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).【小问1详解】设点Q 的坐标为()03,y ，因为点Q 在第一象限，所以00y >，双曲线22134x y -=的渐近线方程为233y x =±，因为点Q在双曲线的渐近线上，所以0y =，所以点Q的坐标为(3,，又点(3,Q 在抛物线22y px =上，所以1223p =⨯，所以2p =，故抛物线E 的标准方程为：24y x =；【小问2详解】设直线AB 的方程为3x my =-，联立243y xx my ⎧=⎨=-⎩，消x 得，24120y my -+=，方程24120y my -+=的判别式216480m ∆=->，即230m ->，设，，则12124,12y y m y y +==，因为点A 、B 在第一象限，所以121240,120y y m y y +=>=>，故0m >，设B 关于x 轴的对称点为()22,B x y '-，则直线AB '的方程为212221()y y y y x x x x ---+=-，令0y =得：212221x x x y x y y -=+-⨯-122121x y x y y y +=+()()12211233y my y my y y -+-=+()21121223my y y y y y -+=+241212344m m mmm-===．直线AB '过定点(3,0)．【点睛】方法点睛：联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设，，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).17.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为,AD BC 的中点，沿EF 将四边形EFCD 折起，使二面角A EF C --的大小为60°，点M 在线段AB 上．（1）若M 为AB 的中点，且直线MF 与直线EA 的交点为O ，求OA 的长，并证明直线OD //平面EMC ；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．【答案】（1）2OA =；证明见解析.（2）存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；此时二面角M EC F --的余弦值为14.【解析】【分析】（1）根据中位线性质可求得OA ，由//MN OD ，结合线面平行判定定理可证得结论；（2）由二面角平面角定义可知60DEA ∠=︒，取AE ，BF 中点O ，P ，由线面垂直的判定和勾股定理可知OD ，OA ，OP 两两互相垂直，则以O 为坐标原点建立空间直角坐标系；设()1,,0M m ()04m ≤≤，利用线面角的向量求法可求得m ；利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】,E F 分别为,AD BC 中点，////EF AB CD ∴，且2AE FB ==，又M 为AB 中点，且,AB OE AB BF ⊥⊥，易得OAM FBM ≅ ，2OA FB AE ∴===，连接,CE DF ，交于点N ，连接MN ，由题设，易知四边形CDEF 为平行四边形，N Q 为DF 中点，//,AM EF A 是OE 的中点，M ∴为OF 中点，//MN OD ∴，又MN ⊂平面EMC ，OD ⊄平面EMC ，//OD ∴平面EMC ；【小问2详解】////EF AB CD ，EF DE ⊥ ，EF AE ⊥，又DE ⊂平面CEF ，AE ⊂平面AEF ，DEA ∴∠即为二面角A EF C --的平面角，60DEA ∴=︒∠；取,AE BF 中点,O P ，连接,OD OP ，如图，60DEA ∠=︒ ，112OE DE ==，2414cos 603OD ∴=+-︒=，222OD OE DE +=，OD AE ∴⊥，//OP EF ，OP DE ⊥，OP AE ⊥，又,AE DE ⊂平面AED ，AE DE E = ，OP ∴⊥平面AED ，,OD AE ⊂ 平面AED ，,OD OP AE OP ∴⊥⊥，则以O 为坐标原点，,,OA OP OD方向为,,x y z轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，则(D ，()1,0,0E -，()1,4,0F -，(0,C ，设()()1,,004M m m ≤≤，则(1,0,DE =-，()2,,0EM m =，(1,EC = ，设平面EMC 的法向量，则1111111·20·40EM n x my EC n x y ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，令12y =，则1x m =-，1z=1,m m ⎛∴=- ⎝，∵直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ，·sin 60cos ,·DE n DE n DE n∴︒==11132=，解得1m =或3m =，存在点M ，当1AM =或3AM =时，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ；设平面CEF 的法向量()2222,,n x yz =，又(1,EC = ，(FC =，2222222·40·0EC n x y FC n x ⎧=++=⎪∴⎨=+=⎪⎩ ，令21z =，则2x =，20y =，()2m ∴=；当1m =时，11,2,n ⎛=- ⎝，12121243·13cos ,84·2n n n n n n ∴=== ；当3m =时，23,2,n ⎛=- ⎝，12121243·13cos ,84·2n n n n n n ∴=== ；综上所述：二面角M EC F --的余弦值为14.【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点M 的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键.18.已知函数()12ex xf x x λ-=-.（1）当1λ=时，求()f x 的图象在点 h 处的切线方程；（2）若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；（3）求证：()1111111232124e 2e*n n n n nnn +++-+++->∈N .【答案】（1）0y =（2）[)1,+∞（3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为212ln xx xλ≥+，求出函数()212ln x g x x x =+的最大值得解；（3）先构造函数()12ln x x x x ϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，可得()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，迭代累加可证得结果.【小问1详解】当1λ=时，()12ex xf x x -=-，h t ，则()12121e x x f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝'⎭，则()0122e 0f =-='，所以()f x 在点 h 处的切线方程为0y =.【小问2详解】由1x ≥时，()0f x ≤，即12e0x xx λ--≤，整理得212ln x x xλ≥+，对1x ≥恒成立，令()212ln x g x x x =+，则()()42321ln 222ln x x x x x g x x x x---=-+'=，令()1ln h x x x x =--，1x ≥，所以()ln 0h x x '=-≤，即函数在1x ≥上单调递减，所以()()10h x h ≤=，即()0g x '≤，所以函数()g x 在1x ≥上单调递减，则()()11g x g ≤=，1λ∴≥.【小问3详解】设()12ln x x x xϕ=-+，1x >，则()()222221212110x x x x x x x xϕ---+-='=--=<，所以在 ∞上单调递减，则()()10x ϕϕ<=，即12ln 0x x x-+<，11ln 2x x x ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，*N n ∈，可得1111111ln 1112211n n n n n ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+<+-=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎪+⎝⎭，所以()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，()()111ln 2ln 1212n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，()()111ln 3ln 2223n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，…()()111ln 2ln 212212n n n n ⎛⎫--<+ ⎪-⎝⎭，以上式子相加得()112221ln 2ln 212212n n n n n n n ⎛⎫-<+++++ ⎪++-⎝⎭，整理得，11111ln 2412212n n n n n-<++++++-L ，两边取指数得，11111ln 2412212e e n n n n n -++++++-<L ，即得111114122122e e n n n n n -++++-<L ，()*Nn ∈得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数()12ln x x x xϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，得到()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭.19.已知整数4n ，数列{}n a 是递增的整数数列，即12,,,n a a a ∈Z 且12n a a a <<<．数列{}n b 满足11b a =，n n b a =．若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i b a --等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“左k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b +-等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“右k型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b k +-=或者1i i b a k --=，则称数列{}n b 为{}n a 的“左右k 型间隔数列”．（1）写出数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）已知数列{}n a 满足()81n a n n =-，数列{}n b 是{}n a 的“左k 型间隔数列”，数列{}n c 是{}n a 的“右k 型间隔数列”，若10n =，且有1212n n b b b c c c +++=+++ ，求k 的值；（3）数列{}n a 是递增的整数数列，且10a =，27a =．若存在{}n a 的一个递增的“右4型间隔数列{}n b ”，使得对于任意的{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，求n a 的关于n 的最小值（即关于n 的最小值函数()f n ）．【答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．（2）80k =（3）()()382n n f n -=+【解析】【分析】（1）由“左右k 型间隔数列”的定义，求数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）根据“左k 型间隔数列”和“右k 型间隔数列”的定义，由1212n n b b b c c c +++=+++ ，则有1291016a a k a a ++=+，代入通项计算即可；（3）由“右4型间隔数列”的定义，有144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣，则有()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ，化简即可．【小问1详解】数列{}:1,3,5,7,9n a 的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．【小问2详解】由12101210b b b c c c +++=+++ ，可得239239b b b c c c +++=+++ ，即128341088a a a k a a a k ++++=+++- ，即1291016a a k a a ++=+，即16168988109k +=⨯⨯+⨯⨯，所以80k =．【小问3详解】当{}2,3,,1i n ∈- 时，由144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣．又因为对任意{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，即当{}2,3,,1i n ∈- 时，i i b a -两两不相等．因为()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()2233117444n n b a b a b a --=++-++-+++- ()()()()223311742n n n b a b a b a --=+-+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ()382n n -=+．所以n a 的最小值函数()()382n n f n -=+．另外，当数列䁕的通项()0,1,38,2,2i i a i i i n =⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩间隔数列的通项(),1,13,21,2i i a i i n b i i i n ==⎧⎪=⎨-+≤≤-⎪⎩或时也符合题意．【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!。

甘肃省会宁县第一中学2021届高三上学期第四次月考数学(文)试题含答案

2020-2021学年度第一学期高三第四次月考数学试卷（文科）一、选择题：(每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．复数z 1在复平面内对应的点为（1，3），z 2＝﹣2+i （i 为虚数单位），则复数的虚部为（）A ．B ．C ．D ．2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |2x ＜1}，B ＝{x |log 2x ＜1}，则（∁U A ）∩B ＝（）A ．{x |0≤x ＜1}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0＜x ＜2}D ．{x |0≤x ＜2}3．下列判断正确的是（）A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为真命题B ．命题“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是“∃x 0∈R ，2≤0”C ．“”是“α＝”的充分不必要条件D ．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为“若xy ＝0，则x ≠0”4．设a ＝1-3log 2，b ＝2log 4，c ＝2，则（）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ＜c5．设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为f ′（x ），且函数f （x ）在x ＝﹣3处取得极大值，则函数y ＝xf ′（x ）的图象可能是（）A ．B ．C．D．6．数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n﹣1，则a10＝（）A．511B．513C．1025D．10247．已知二次不等式﹣2x2+bx+c＜0的解集为{x|x＜或x＞}，则关于x的不等式cx2﹣bx﹣2＞0的解集为（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣3＜x＜2}D．{x|﹣3＜x＜﹣2}8．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A，sin B，sin C成等比数列，则角B 的取值范围（）A．B．C．D．9．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，0＜φ＜）的图象如图所示，为了得到y＝sin x图象，则需将y＝f（x）的图象（）A．横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位B．B．横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位C．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位D．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位10．已知向量＝（4sinα，1﹣cosα），＝（1，﹣2），若＝﹣2，则＝（）A．1B．﹣1C．D．11．已知是两个不共线的向量，若，+，，则（）A．A，B，C三点共线B．A，C，D三点共线C．A，B，D三点共线D．B，C，D三点共线12．已知在x＝1处取得极值，则的最小值是（）A．B．2C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.）13．已知函数f（x）＝，若f（x﹣4）＜f（2x﹣3），则实数x的取值范围是．14．已知α∈（0，），β∈（0，），sin（α﹣β）＝，α+β＝，则cos2α的值为．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+3n﹣1，则a n的通项为．16．不等式mx2﹣mx﹣2＜0对任意x∈R恒成立的充要条件是m∈．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17（本小题满分12分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期及单调增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，sin A＝2sin B，求△ABC的周长．18（本小题满分12分）已知向量，满足：||＝4，||＝3，（﹣）•（+2）＝0．（1）求|2+|的值；（2）若向量⊥（+λ），求实数λ的值．19（本小题满分12分）设S n为首项不为零等差数列{a n}的前n项和，已知a4a5＝3a9，S5＝20．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列的前n项和，求的最大值．20（本小题满分12分）已知f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝ln（3x+2）．（1）证明y＝f（x）在[0，+∞）单调递增；（2）求f（x）的解析式；（3）求不等式f（x+2）≤f（2x）的解集．21（本小题满分12分）已知曲线f（x）＝ax+bx2lnx在点（1，f（1））处的切线是y＝2x﹣1．（1）求实数a，b的值；（2）若f（x）≥kx恒成立，求实数k的最大值．选考题：共10分。

安徽省六安第一中学2022-2023学年高三上学期第四次月考数学试题含答案

六安一中2023届高三年级第四次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足13i1iz +=-（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知空间中的两个不同的平面α，β，直线m ⊥平面β，则“αβ⊥”是“//m α”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A.B. C.8D.4.如图，已知1111ABCD A B C D -是正方体，以下结论错误．．的是（）A.向量AC与向量1C D 的夹角为60°B.110AC A B ⋅= C.()2211111113A A A D A B A B ++=D.若1113A P A C =，则点P 是11AB D 的中心5.(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=,则k =（） A.33B.C.D.26.过点()3,4P -作圆22:25C x y +=的切线l ，直线:40m ax y -=与切线l 平行，则切线l 与直线m 间的距离为（）A.5B.2C.4D.7.如图，已知平面αβ⊥，l αβ= ，,A B 是直线l 上的两点，C D 、是平面β内的两点，且.,3,6,6DA l CB l AD AB CB ⊥⊥===,P 是平面α上的一动点，且直线PD PC 、与平面α所成角相等，则四棱锥P ABCD -体积的最大值为（）A.18B.36C.24D.488.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B =，1AA =．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（A.332πB.33πC.572π D.57π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下四个命题表述正确的是（）A.若直线l 的斜率为l 的倾斜角为π3-B.三棱锥-P ABC 中，E F 、分别为PB PC 、的中点，23PG PA =，则平面EFG 将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为1:5，即:1:5P EFG EFG ABC V V --=C.若直线l 过点(2,1)P -且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l 的方程为30x y --=D.在四面体O ABC -中，若,OA BC OB AC ⊥⊥，则OC AB⊥10.在三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，AB BC E F ⊥,、分别是线段PB PC 、上的动点.则下列说法正确的是（）A.当AE PB ⊥时，AE PC⊥B.当AF PC ⊥时，AEF △一定为直角三角形C.当//EF BC 时，平面AEF ⊥平面PABD.当PC ⊥平面AEF 时，平面AEF 与平面PAB 不可能垂直11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为线段1AA 的中点，AP AB AD λμ=+，其中λ，[]0,1μ∈，则下列选项正确的是（）A.当12λ=时，三棱锥11A PCD -的体积为定值B.当34μ=时，1B P PD + C.当1λμ+=时，直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹长度为22D.当11,23λμ==时，点1B 到平面11PC D 的距离为6131312.若实数,x y 满足x -=）A.x 的最小值是0B.x 的最大值是5C.若关于y 的方程有一解，则x 的取值范围为[){}1,45D.若关于y 的方程有两解，则x 的取值范围为(4,5)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线120kx y k -+-=与圆229x y +=分别交于M 、N 两点.则弦MN 长的最小值为___________.14.如图，在四面体A BCD -中，2==AC BD ，AC 与BD 所成的角为60︒，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为_______.15.已知ABC 的一条内角平分线所在的直线方程为y x =，两个顶点坐标分别为(1,1),(3,2)B C -，则边AC 所在的直线方程为__________.（结果用一般式表示）16.已知数列{}n a 满足：()()()1*21131n nn n a a n n ++-+-=+∈N ，若121a a ==，则数列{}n a 的前20项和20S =___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，侧面积为，120AOP ∠=o .（1）求证：AG BD ⊥；（2）求直线PD 与平面ABD 所成角的正弦值.18.如图，P 为ABC 内的一点，BAP ∠记为α，ABP ∠记为β，且α、β在ABP 中的对边分别记为,,(2)sin cos m n m n ββ+=，π,0,3αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求APB ∠；（2）若1,2AB BP AC AP AP PC ===⊥，，求线段AP 和BC 的长.19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点,(1,0)(1,2)A B -.（1）若直线l 过点B ，与圆C 相交于M N 、两点，且||MN =l 的方程；（2）圆C 上是否存在点P ，使得22||12||PA PB +=成立？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22nn n S a =-．（1）求证：2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）设3(2)n nn b n a +=+，求证：1231n b b b b ++++< ．21.在①2AE =，②AC BD ⊥，③EAB EBA ∠=∠，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.如图，在五面体ABCDE 中，已知，,//AC BC ED AC ⊥，且22,AC BC ED DC DB =====.（1）设平面BDE 与平面ABC 的交线为l ，证明：//l 平面ACDE ；（2）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（3）线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABF夹角的余弦值等于43，若存在，求BFBC的值；若不存在，请说明理由.22.已知a b ∈R ，，函数()()sin ,xf x e a xg x =-=（1）求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；（2）若()y f x =和()y g x =有公共点，（i ）当0a =时，求b 的取值范围；（ii ）求证：22e a b +>．六安一中2023届高三年级第四次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足13i1i z +=-（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】求出12i z =-+即得解.【详解】解：因为131i iz+=-，所以()()()()13i 1i 13i 24i 12i 1i 1i 1i 2z +++-+====-+--+，所以12z i =--在复平面内对应的点为()1,2--，在第三象限.故选：C.2.已知空间中的两个不同的平面α，β，直线m ⊥平面β，则“αβ⊥”是“//m α”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】两个不同的平面α，β，直线m ⊥平面β，当αβ⊥时，m α⊂或m α ，不充分；当m α 时，αβ⊥，必要.故选：B.3.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A.B. C.8D.【答案】D 【解析】【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为2O A ''=，所以O B ''=2OA O A =''=，2OB O B =''=；所以原图形的面积为2⨯=故选：D4.如图，已知1111ABCD A B C D -是正方体，以下结论错误．．的是（）A.向量AC与向量1C D 的夹角为60°B.110AC A B ⋅=C.()2211111113A A A D A B A B ++= D.若1113A P A C =，则点P 是11AB D 的中心【答案】A 【解析】【分析】由1160A C D ∠=︒得向量AC 与1C D夹角，判断A ，建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，得各点坐标，用空间向量法判断BCD ．【详解】正方体中，11//AC AC （由1AA与1CC 平行且相等得平行四边形11ACC A ），11A C D 是正三角形，1160A C D ∠=︒，但AC 与1C D夹角等于11A C 与1C D 的夹角为120︒，A 错；以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，设1AB =，则(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，1(1,1,1)B ，1(1,0,1)A ，1(0,1,1)C ，1(0,0,1)D ，1(1,1,1)AC =- ，1(0,1,1)A B =- ，110AC A B ⋅=，B 正确；111111(1,1,1)A A A D A B AC ++==-- ，221111111()33A A A D A B A B ++== ，C 正确；1111113(,,333A P A C =--= ，P 点坐标为212(,,)333(1,0,0)(1,1,1)(0,0,1)3++=，所以P 是11AB D 的重心，即中心，D 正确．故选：A ．5.(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=,则k =（） A.33B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】将问题转化为半圆y =位于直线(0)y kx k =>下方的区间长度为2，由此可得2,4a b ==，求出直线与半圆的交点坐标即可求得k 的值.【详解】解：如图所示：因为y =表示以坐标原点为圆心，4为半径位于x 轴上方(含和x 轴交点)的半圆，(0)y kx k =>表示过坐标原点及第一三象限内的直线，(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=,即半圆位于直线下方的区间长度为2，所以2,4a b ==，所以直线与半圆的交点(2,，所以2k ==.故选：C.6.过点()3,4P -作圆22:C x y +=的切线l ，直线:40m ax y -=与切线l 平行，则切线l 与直线m 间的距离为（）A.5 B.2C.4D.【答案】A 【解析】【分析】根据平行关系可假设():434al y x -=+，由直线与圆相切可知圆心到直线距离d 等于半径，由此可构造方程求得a ，利用平行直线间距离公式可求得结果.【详解】由40ax y -=得：4ay x =；//l m ，∴直线l 斜率4a k =，则():434al y x -=+，即:43160l ax y a -++=，l 与圆C 相切，∴圆心()0,0C 到直线l的距离5d ==，解得：3a =，则:34250l x y -+=，:340m x y -=，l ∴与m 之间的距离5d ==.故选：A.7.如图，已知平面αβ⊥，l αβ= ，,A B 是直线l 上的两点，C D 、是平面β内的两点，且.,3,6,6DA l CB l AD AB CB ⊥⊥===,P 是平面α上的一动点，且直线PD PC 、与平面α所成角相等，则四棱锥P ABCD -体积的最大值为（）A.18B.36C.24D.48【答案】B 【解析】【分析】首先根据线面角的定义得12PA DA PB BC ==，再在平面α内，建立平面直角坐标系，则()()3030A B -，，，，设()()0P x y y >，，得出点P 的轨迹，从而确定点P 到平面ABCD距离的最大值，即可求解体积的最大值.【详解】DA l ⊥ ，αβ⊥，l αβ= ，AD β⊂AD α∴⊥，同理BC α⊥，DPA ∴∠为直线PD 与平面α所成的角，CPB ∠为直线PC 与平面α所成的角，DPA CPB ∴∠=∠，又90DAP CBP ∠=∠=︒，DAP CPB ∴~ ，3162PA DA PB BC ===，在平面α内，以AB 为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()()3030A B -，，，，设()()0P x y y >，，∴=，整理可得：()22516x y ++=，P ∴在α内的轨迹为()50M -，为圆心，以4为半径的上半圆,所以点P 到直线AB 距离的最大值是半径4，因为αβ⊥，l αβ= ，点P 到AB 距离就是点P 到平面ABCD 的距离即点P 到平面ABCD 距离的最大值是4，所以四棱锥P ABCD -体积的最大值()1114366436332ABCD V S =⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=.故选：B8.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B =，1AA =．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（）A.332πB.33πC.572π D.57π【答案】D 【解析】【分析】根据正棱台的性质，表示出棱台的高与边长之间的关系，根据棱台的体积公式，将体积函数式子表示出来，利用不等式求解最值，得到棱台的高.因为外接球的球心一定在棱台上下底面中心的连线及其延长线上，通过作图，数形结合，求出外接球的半径，得到表面积.【详解】图1设底边长为a ，原四棱锥的高为h ，如图1，1,O O 分别是上下底面的中心，连结1OO ，11O A ，OA ，根据边长关系，知该棱台的高为2h，则11112173224ABCD A B C D h a h V -==，由1AA =11AOO A为直角梯形，111124O A A B a ==，2222OA AB a ===h =，11112724ABCD A B C D a h V -==283=当且仅当22482a a =-，即4a =时等号成立，此时棱台的高为1.上底面外接圆半径111r A O ==r AO ==，设球的半径为R ，显然球心M 在1OO 所在的直线上.显然球心M 在1OO 所在的直线上.图2当棱台两底面在球心异侧时，即球心M 在线段1OO 上，如图2，设OM x =，则11O M x =-，01x <<，显然1MA MA R===，即=解得0x <，舍去.图3当棱台两底面在球心异侧时，显然球心M 在线段1O O 的延长线上，如图3，设OM x =，则11O M x =+，显然1MC MA R ====解得52x =，572R ==，此时，外接球的表面积为225744572R πππ⎛=⨯= ⎝⎭.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下四个命题表述正确的是（）A.若直线l 的斜率为l 的倾斜角为π3-B.三棱锥-P ABC 中，E F 、分别为PB PC 、的中点，23PG PA =，则平面EFG 将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为1:5，即:1:5P EFG EFG ABC V V --=C.若直线l 过点(2,1)P -且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l 的方程为30x y --=D.在四面体O ABC -中，若,OA BC OB AC ⊥⊥，则OC AB ⊥【答案】BD 【解析】【分析】根据倾斜角的定义即可判断A ；由题意可得14PEF PBC S S =△△，点G 到平面PBC 的距离是点A 到平面PBC 的距离的23，再根据棱锥的体积公式计算即可判断B ；分直线l 过原点和不过原点两种情况讨论，即可判断C ；将,,AB AC BC uu u r uuu r uu u r 分别用,,OA OB OC表示，再根据数量积的运算律及空间向量的线性运算即可判断D.【详解】解：对于A ，若直线l 的斜率为l 的倾斜角为2π3，故A 错误；对于B ，因为E F 、分别为PB PC 、的中点，所以14PEF PBC S S =△△，设点A 到平面PBC 的距离为h ，点G 到平面PBC 的距离为h '，因为23PG PA = ，所以23'=h h ，则13P ABC A PBC PBC V V S h --==，11213436P GEF G PEF PBC P ABC V V S h V ---==⋅⋅= ，则56EFG ABC P ABC P EFG P ABC V V V V ----==-，所以:1:5P EFG EFG ABC V V --=，故B 正确；对于C ，当直线l 过原点时，直线方程为12y x =-，当直线l 不过原点时，设直线方程为1x y a a+=-，则有211a a-+=-，解得3a =，所以直线方程为133x y-=，即30x y --=，综上，所求直线方程为12y x =-或30x y --=；对于D ，在四面体O ABC -中，,,AB OB OA AC OC OA BC OC OB =-=-=-，因为,OA BC OB AC ⊥⊥，所以()()0,0OA BC OA OC OB OB AC OB OC OA ⋅=⋅-=⋅=⋅-=，即,OA OC OA OB OB OC OA OB ⋅=⋅⋅=⋅ ，所以OA OC OB OC ⋅=⋅ ，即()0OA OB OC -⋅= ，所以0BA OC ⋅=，所以AB OC ⊥，故D 正确.故选：BD .10.在三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，AB BC E F ⊥,、分别是线段PB PC 、上的动点.则下列说法正确的是（）A.当AE PB ⊥时，AE PC⊥B.当AF PC ⊥时，AEF △一定为直角三角形C.当//EF BC 时，平面AEF ⊥平面PABD.当PC ⊥平面AEF 时，平面AEF 与平面PAB 不可能垂直【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，根据PA ⊥底面ABC 得到PA BC ⊥，结合AB BC ⊥得到BC ⊥平面PAB ,则BC AE ⊥，AE PB ⊥ ，最后利用线面垂直的判定得到⊥AE 平面BCP ，则AE PC ⊥；对B ，取点E 位于点B 处即可判断，对C ，由BC ⊥平面PAB ，//EF BC 得到EF ⊥平面PAB ，则平面AEF ⊥平面PAB ，对D ，利用反证法，假设平面AEF ⊥平面PAB ，根据面面垂直的性质定理得到线面垂直，从而得到与基本事实相矛盾的结论，所以当PC ⊥平面AEF 时，平面AEF 与平面PAB 不可能垂直.【详解】对A 选项，PA ⊥ 底面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥,AB BC ⊥ ，PA AB A = ，且,PA AB ⊂平面PAB ，BC ∴⊥平面PAB ,AE ⊂ 平面PAB ，BC AE ∴⊥，AE PB ⊥ ，BC PB B = ，且,BC PB ⊂平面BCP ，AE ∴⊥平面BCP ，PC ⊂ 平面BCP ，AE PC ∴⊥，故A 正确，对B 选项，当AF PC ⊥时,无法得出AEF △一定为直角三角形，例如E 点取点,B ABF 不是直角三角形，若90AFB ∠= ，则BF AF ⊥，又AF PC ⊥ ，BF PC F ⋂=，,BF PC ⊂平面BCP ，则AF ⊥平面BCP ，BC ⊂ 平面BCP ，则AF BC ⊥，而PA BC ⊥，AF PA A = ，,AF PA ⊂平面ACP ，则BC ⊥平面ACP ，AC ⊂ 平面ACP ，则BC AC ⊥，显然不成立，故此时90AFB ∠≠ ，若90BAF ∠= ，则AF AB ⊥，AP AB ⊥ ，AF AP A ⋂=，,AF AP ⊂平面ACP,AB ∴⊥平面ACP ，AC ⊂ 平面ACP ，AB AC ∴⊥，显然不成立，故此时90BAF ∠≠ ，若90ABF ∠= ，则BF BA ⊥，而CB BA ⊥，,BF CB ⊂平面BCP ，BF CB B = ，所以BA ⊥平面BCP ，BP ⊂ 平面BCP ，BA BP ∴⊥，显然不成立，故90ABF ∠≠ ，故B 错误，对C 选项，由A 选项证得BC ⊥平面PAB ，//EF BC Q ，EF ∴⊥平面PAB ，EF ⊂ 平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAB ，故C 正确，对D 选项，在平面PAB 内，过点P 作AE 的垂线，垂足为G ，假设平面AEF ⊥平面PAB ，平面AEF ⋂平面PAB AE =，PG AE ⊥，且PG ⊂平面PAB ，PG ∴⊥平面AEF ，而若此时PC ⊥平面AEF ，这与过平面外一点作平面的垂线有且只有一条矛盾，故当PC ⊥平面AEF 时,平面AEF 与平面PAB 不可能垂直，故D 正确，故选：ACD.11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为线段1AA 的中点，AP AB AD λμ=+，其中λ，[]0,1μ∈，则下列选项正确的是（）A.当12λ=时，三棱锥11A PCD -的体积为定值B.当34μ=时，1B P PD +C.当1λμ+=时，直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹长度为2D.当11,23λμ==时，点1B 到平面11PC D 的距离为61313【答案】ABD 【解析】【分析】对A ：由题意确定点P 的位置，利用转换顶点法求体积；对B ：由题意确定点P 的位置，借助于展开图分析求解；对C ：由题意确定点P 的位置，分析可得直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹为MN ，即可求得结果；对D ：由题意确定点P 的位置，利用等积法求点到面的距离.【详解】对A ：取,AB CD 的中点,M N ，连接MN ，则MN AD ，∵11A D AD ，∴MN 11A D ，MN ⊄平面11ACD ，11A D ⊂平面11ACD ，∴MN 平面11ACD ，若12λ=，则点P 在线段MN 上，∴点P 到平面11ACD 的距离相等，过N 作1NF CD ⊥，垂足为F ，∵11A D ⊥平面11CDD C ，1,CD NF ⊂平面11CDD C ，∴11111,CD A D NF A D ⊥⊥1111CD A D D ⋂=，111,CD A D ⊂平面11ACD ，∴NF ⊥平面11ACD ，故三棱锥11P ACD -的高为2NF =，∴1111122122323A PCD P A CD V V --==⨯⨯⨯⨯（定值），A 正确；对B ：分别在,AD BC 上取点,M N ，使得3AM BNDM NC==，连接11,,MN A M B N ，则MN AB ，又∵AB 11A B ，∴MN 11A B ，则11,,,A B M N 四点共面，135,22BN B N ===若34μ=，则P MN ∈，故1B P ⊂平面11A B NM ，如图，将平面11A B NM 和平面CDMN 对接成一个平面时，则113B C B N NC =+=，∴11B P PD B D +≥=B 正确；对C ：若1λμ+=，则P BD ∈，1A P ⊂平面1A BD ，设1111,A D D E M A B B E N ==I I ，则平面1A BD ⋂平面11B D E MN =，即直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹为MN ，∵1112A M A N MD BN ==，∴12233MN BD ==，故直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹长为223，C 错误；对D ：分别在,AD BC 上取点,M N ，使得12AM BN DM NC ==，连接11,,MN MD NC ，则MN CD ，MN =CD ，∵11C D CD ，11C D =CD ，∴MN 11C D ，11MN C D =，则11MNC D 为平行四边形，又∵11C D ⊥平面11AA D D ，1MD ⊂平面11AA D D ∴111C D MD ⊥，则11MNC D 为矩形，若11,23λμ==，则点P 为MN 的中点，12133D M ==，设点1B 到平面11PC D 的距离为d ，由111111B PC D P B C D V V --=，即1111222232332d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得13d=，故点1B 到平面11PC D 的距离为61313，D 正确；故选：ABD.12.若实数,x y 满足x -=）A.x 的最小值是0B.x 的最大值是5C.若关于y 的方程有一解，则x 的取值范围为[){}1,45D.若关于y 的方程有两解，则x 的取值范围为(4,5)【答案】AB 【解析】【分析】根据特殊值可判断A 项；设t =t ⎡∈⎣，原方程即为2t x -+=，将t 当成变量，设()2f t t x =-+，()g t =t ⎡∈⎣，原方程有解等价于()f t 的图象和()g t 的图象有公共点，即可利用数形结合解出．【详解】对于A 项：由已知可得，0x =≥，且当0x =时，解得0y =，符合题意，故A 项正确；当0x >时，令t =0t ≥，又0x y -≥，则t ≤，即t ⎡∈⎣，则原方程可化为2t x -+=．设()2f t t x =-+，()g t =t ⎡∈⎣，整理得()20t f t x +-=，t ⎡∈⎣，则()f t 的图象是斜率为2-的直线的一部分；整理可得()222t g t x +=，t ⎡∈⎣，()g t 的四分之一圆.如图，作出函数()y f t =与()y g t =的图象，则问题等价于()f t 的图象和()g t 的图象有公共点，观察图形可知，当直线与圆相切时，直线()2f t t x =-+的截距最大，此时x 有最大值，由=得5x =，故B 项正确；当直线过点(时，x =，解得1x =或0x =（舍去）；当直线过点)时，x =4x =或0x =（舍去）．因此，要使直线与圆有公共点，则有[]1,5x ∈，综上，[]{}1,50x ∈ ，故x 的最大值为5，最小值为0．对于C 、D 项：综上并结合图象可知，当0x =或5x =或[)1,4x ∈时，y 有一解；当[)4,5x ∈时，y 有两解．故C 、D 项错误.故选：AB ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线120kx y k -+-=与圆229x y +=分别交于M 、N 两点.则弦MN 长的最小值为___________.【答案】4【解析】【分析】分析直线过定点，再由勾股定理即可求解.【详解】由圆229x y +=可得圆心()0,0O ，半径为3，直线120kx y k -+-=，即()210k x y --+=，直线过定点P (2,1)，又因为22219+<，所以点在圆的内部，当圆心到直线MN 距离最大时，弦长MN 最小，此时OP MN ⊥，此时4MN ==，故答案为：4.14.如图，在四面体A BCD -中，2==AC BD ，AC 与BD 所成的角为60︒，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为_______.【答案】1或1【解析】【分析】取BC 的中点E ，连接EM 、EN ，求出MEN ∠的值，利用余弦定理可求得线段MN 的长.【详解】取BC 的中点E ，连接EM 、EN ，M 、E 分别为AB 、BC 的中点，//ME AC ∴且112ME AC ==，同理可得EN //BD 且112EN BD ==，MEN ∴∠为异面直线AC 与BD 所成的角或其补角，则60MEN ∠= 或120 .在MEN 中，1EM EN ==.若60MEN ∠= ，则MEN 为等边三角形，此时，1MN =；若120MEN ∠= ，由余弦定理可得MN =综上所述，1MN =故答案为：115.已知ABC 的一条内角平分线所在的直线方程为y x =，两个顶点坐标分别为(1,1),(3,2)B C -，则边AC 所在的直线方程为__________.（结果用一般式表示）【答案】3250x y --=【解析】【分析】根据题意可知，y x =是角A 的平分线，所以点B 关于角平分线的对称点B '在直线AC 上，即可求得边AC 所在的直线方程.【详解】由题意可知，直线y x =为三角形内角A 的平分线，所以，点B 关于角平分线y x =的对称点B '在直线AC 上，设(,)B a b '，即1111122b a b a -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=⎪⎩，解得1,1a b ==-，所以(1,1)B '-此时直线BC '所在直线方程即为边AC 所在的直线方程，即212(3)31y x +-=--，整理得3250x y --=.故答案为：3250x y --=16.已知数列{}n a 满足：()()()1*21131n n n n a a n n ++-+-=+∈N ，若121a a ==，则数列{}n a 的前20项和20S =___________.【答案】115-【解析】【分析】分别讨论*21,n m n m m =-=∈N 、，由累加法得2122m m a a ++、的通项，即可求20S .【详解】当*21,n m m =-∈N 时，()()()2212121212111321162m m m m m m a a a a m m -+-+--+-=-=-+=-，∴()()212121212331126121216121312m m m m m a a a a a a a a m m m m m m m m ++---=-+-++-+=+-+++-++=-+=++ ∴()()2221319312912910a a a +++=⨯++++++++ ；当*2,n m m =∈N 时，()()2122222221161m m m m m m a a a a m +++-+-=-+=+，即()22261m m a a m +-=-+，∴()()222222224222612116113412m m m m m a a a a a a a a m m m m m m m m ++-=-+-++-+=-+-+++-+-+=-+=--+ ∴()()22224203129412910a a a +++=-⨯+++-⨯++++ .故()22220131924203129(129)10S a a a a a a =+++++++=⨯++++++++ ()()2229(19)31294129103201152+-⨯+++-⨯++++=-⨯+=- 故答案为：115-四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，侧面积为，120AOP ∠=o.（1）求证：AG BD ⊥；（2）求直线PD 与平面ABD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】【分析】（1）根据圆柱侧面积公式可求得母线长AD ，利用余弦定理可求得AP ，根据等腰三角形三线合一性质可证得AG DP ⊥；由AP BP ⊥，BP AD ⊥可证得BP ⊥平面ADP ，由线面垂直性质可得BP AG ⊥；利用线面垂直的判定和性质可证得结论；（2）取OB 中点E ，根据等腰三角形三线合一和线面垂直性质可证得PE ⊥平面ABD ，由线面角定义可知所求角为PDE ∠，根据长度关系可得结果.【小问1详解】由圆柱侧面积可知：2π4πOA AD AD ⋅⋅=⋅=，解得：AD =2OA OP ==，120AOP ∠=o，AP ∴=，AD AP ∴=，又G 为DP 中点，AG DP ∴⊥；AB 是圆O 的直径，AP BP ∴⊥；AD ⊥ 平面ABP ，BP ⊂平面ABP ，BP AD ∴⊥，又,AD AP ⊂平面ADP ，AD AP A = ，BP ∴⊥平面ADP ，AG ⊂ 平面ADP ，BP AG ∴⊥，又,BP DP ⊂平面BDP ，BP DP P = ，AG ∴⊥平面BDP ，BD ⊂Q 平面BDP ，AG BD ∴⊥.【小问2详解】取OB 中点E ，连接PE ，18060BOP AOP ∠=-∠= ，OB OP =，OBP ∴△为等边三角形，PE AB ∴⊥；AD ⊥ 平面ABP ，PE ⊂平面ABP ，PE AD ⊥∴；AB AD A =Q I ，,AB AD ⊂平面ABD ，PE ∴⊥平面ABD ，PDE ∴∠即为直线PD 与平面ABD 所成角，DP =，PE ==，2sin4PE PDE DP ∴∠==，即直线PD 与平面ABD 所成角的正弦值为4.18.如图，P 为ABC 内的一点，BAP ∠记为α，ABP ∠记为β，且α、β在ABP 中的对边分别记为,,(2)sin cos m n m n ββ+=，π,0,3αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求APB ∠；（2）若1,2AB BP AC AP AP PC ===⊥，，求线段AP 和BC 的长.【答案】（1）2π3（2）1AP =，BC =【解析】【分析】（1）首先利用正弦定理将(2)sin cos m n ββ+=化简为sin sin 3παβ⎛⎫=-⎪⎝⎭，再结合所给角的范围，即可求解.（2）利用余弦定理求出AP ，再结合AP PC ⊥150BPC ∠=︒，，利用余弦定理即可求出BC .【小问1详解】已知()2sin cos m n ββ+=，由正弦定理可得22sin sin sin cos αββββ+=，由sin 0β≠，31sin cos sin sin sin 223παββαβ⎛⎫∴=-⇒= ⎪⎝⎭，πππ,0,0,333αββ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，3παβ=-，233APB ππαβ+=⇒∠=.【小问2详解】在APB △中，由余弦定理得知：2222cos AB AP BP AP BP APB=+-⋅⋅∠即231+1AP AP AP =+⇒=又AP PC ⊥ ，且2AC AP PC =⇒=，又150BPC ∠=︒ ，在BPC △中，2222cos BC PB PC PB PC BPC =+-⋅⋅∠，2312BC BC =+⇒=19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点,(1,0)(1,2)A B -.（1）若直线l 过点B ，与圆C 相交于M N 、两点，且||MN =l 的方程；（2）圆C 上是否存在点P ，使得22||12||PA PB +=成立？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1x =或34110x y +-=（2）存在，两个【解析】【分析】(1)根据垂径定理可得圆心到直线l 的距离为1，然后利用点到直线的距离即可求解；(2)假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，利用题干条件得到点P 也满足22(1)4x y +-=，根据两圆的位置关系即可得出结果.【小问1详解】圆22:40C x y x +-=可化为22(2)4x y -+=，圆心为(2,0),2r =，若l 的斜率不存在时，1l x =：，此时||MN =.当l 的斜率存在时，设l 的斜率为k ，则令:2(1)l y k x -=-，因为||MN =1d ==314k =⇒=-，34110x y ∴+-=所以直线l 的方程为1x =或34110x y +-=.【小问2详解】假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，222222||||(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=，|22|22-<<+ ，22(2)4x y ∴-+=与22(1)4x y +-=相交，则点P 有两个.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22nn n S a =-．（1）求证：2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）设3(2)n nn b n a +=+，求证：1231n b b b b ++++< ．【答案】（1）证明见解析；()112n n a n -=+⋅（2）证明见解析【解析】【分析】(1)利用公式()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得到1122n n n a a --=+，可构造等差数列并求通项.(2)求出的通项，利用裂项相消求和证明不等式.【小问1详解】因为22n n n S a =-①，所以2n ≥时，11122n n n S a ---=-②，-①②得112222n n n n n a a a --=--+，即1122n n n a a --=+，2n ≥，所以111222n n n n a a ---=，2n ≥，在①式中，令1n =，得12a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项12为公差的等差数列．所以111(1)222n n a n n +=+-⋅=，所以()112n n a n -=+⋅．【小问2详解】）由121311(2)(1)2(1)2(2)2n n n n n b n n n n ---+==-++⋅+⋅+⋅，所以1230011211111(1()(3232424252n b b b b ++++=-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯ 2111111(1)2(2)2(2)2n n n n n n ---⎡⎤+-=-⎢⎥+⋅+⋅+⋅⎣⎦．因为110(2)2n n ->+⋅，所以1231n b b b b ++++< ，得证．21.在①2AE =，②AC BD ⊥，③EAB EBA ∠=∠，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.如图，在五面体ABCDE 中，已知，,//AC BC ED AC ⊥，且22,AC BC ED DC DB =====.（1）设平面BDE 与平面ABC 的交线为l ，证明：//l 平面ACDE ；（2）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（3）线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于43，若存在，求BF BC的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）线段以上不存在点F ，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于54343，理由见解析．【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理证线面平行//DE 平面ABC ，，再由线面平行的性质定理得线线平行//DE l ，从而再得证线面平行；（2）选①，取AC 中点G ，BC 中点,O AB 中点H ，连接,,EG DO OH ，由勾股定理证明AG EG ⊥，然后证明AC ⊥平面BCD ，从而得面面垂直，由面面垂直的性质定理得线面垂直，从而得线线垂直DO ⊥平面ABC ，又有OH BC ⊥，然后以O 为坐标原点，,,OD OH OB 为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法证明面面垂直；选②，先证明平面ABC ⊥平面BCD ，然后取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,DO OH ，证明DO ⊥平面ABC ，然后同选①，选③，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,,OD OH EH ，结合勾股定理证明BD DE ⊥，然后证明证明DO ⊥平面ABC ，再然后同选①；（3）设在线段BC 上存在点()()0,,011F t t -≤≤，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于54343，然后由空间向量法求二面角的余弦，求解t ，有解说明存在，无解说明不存在．【小问1详解】//DE AC ，AC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，//DE ∴平面ABC ，又DE ⊂ 平面BDE 且平面BDE ⋂平面=ABC l ，//DE l∴又DE ⊂ 平面ACDE ，l ⊄平面ACDE ，//l ⇒平面ACDE .【小问2详解】若选①，取AC 中点G ，BC 中点,O AB 中点H ，连接,,EG DO OH ，//ED AC ，12CG AC ED ==，∴四边形EDCG 为平行四边形，EG CD ∴∥，EG ∴=112AG AC ==，2AE =，222AG EG AE ∴+=，AG EG ∴⊥，又//CD EG ，AC CD ∴⊥，又AC BC ⊥，BC CD C ⋂=，,BC CD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，BD CD = ，DO BC ∴⊥，又DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；综上所述：,,DO OH BC 两两互相垂直.则以O 为坐标原点，,,OD OH OB 为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()2,1,0A -，()0,1,0B，(E ，()2,2,0AB ∴=-，(1,BE =- ，DO ⊥ 平面ABC ，∴平面ABC 的一个法向量()0,0,1m = ；设平面ABE 的法向量()1111,,n x y z = ，则11111112200AB n x y BE n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令11x =，解得：11y =，10z =，()1=1,1,0∴ n ，10m n ∴⋅= ，即1m n ⊥ ，∴平面ABE ⊥与平面ABC .若选②，AC BD ^ ，AC BC ⊥，BC BD B = ，,BC BD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,DO OH ，BD CD = ，DO BC ∴⊥，又DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；综上所述：,,DO OH BC 两两互相垂直.以下同选①；若选③，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,,OD OH EH ，DC BD ==DO BC ∴⊥，又2BC =，DO ∴=,O H 分别为,BC AB 中点，12OH AC ∴∥，又12ED AC ∥，OH ED ∴∥，∴四边形DEHO为平行四边形，EH DO ∴==AC BC ⊥，2AC BC ==，AB ∴=，12EH AB ∴=，AE BE ∴⊥，EAB EBA ∠=∠ ，2∴==BE AE ，222BD DE BE ∴+=，BD DE ∴⊥，又//DE AC ，AC BD ∴⊥，又AC BC ⊥，BC BD B = ，,BC BD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，又DO BC ⊥，DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；综上所述：,,DO OH BC 两两互相垂直.以下同选①；【小问3详解】设在线段BC 上存在点()()0,,011F t t -≤≤，使得平面AEF 与平面ABF夹角的余弦值等于43，由（2）得：(1,,EF t =-，(AE =- ，设平面AEF 的法向量()2222,,n x y z = ，则2222222200AE n x y EF n x ty ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，令24y =，则())2221,1x t z t =+=-，())()221,1n t t ∴=+- ，∵面ABF 的法向量为(0,0,1)n = ，222cos ,43n n n n n n ⋅∴<>===⋅ ，化简得2417290t t -+=，21744291750∆=-⨯⨯=-<，方程无实数解，所以线段BC 上不存在点F ，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于54343．22.已知a b ∈R ，，函数()()sin ,x f x e a x g x =-=（1）求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；（2）若()y f x =和()y g x =有公共点，（i ）当0a =时，求b 的取值范围；（ii ）求证：22e a b +>．【答案】（1）(1)1=-+y a x （2）（i）)b ∞∈+；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）求出(0)f '可求切线方程；（2）（i ）当0a =时，曲线()y f x =和()y g x =有公共点即为()2e ,0t s t bt t =-≥在[)0,+∞)b ∈+∞.（ii ）曲线()y f x =和()y g x =有公共点即00sin e 0x a x +=，利用点到直线的距离x ≥22e >e sin x x x +，从而可得不等式成立.【小问1详解】()e cos x f x a x '=-，故(0)1f a '=-，而(0)1f =，曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为()()101y a x =--+即()11y a x =-+.【小问2详解】（i ）当0a =时，因为曲线()y f x =和()y g x =有公共点，故e x =设t =，故2x t =，故2e t bt =在[)0,+∞上有解，设()2e ,0t s t bt t =-≥，故()s t 在[)0,+∞上有零点，而()22e ,0t s t t b t '=->，若0b =，则()2e 0t s t =>恒成立，此时()s t 在[)0,+∞上无零点，若0b <，则()0s t '>在()0,+∞上恒成立，故()s t 在[)0,+∞上为增函数，而()010s =>，()()01s t s ≥=，故()s t 在[)0,+∞上无零点，故0b >，设()22e ,0t u t t b t =->，则()()2224e 0t u t t '=+>，故()u t 在()0,+∞上为增函数，而()00u b =-<，()()22e 10b u b b =->，故()u t 在()0,+∞上存在唯一零点0t ，且00t t <<时，()0u t <；0t t >时，()0u t >；故00t t <<时，()0s t '<；0t t >时，()0s t '>；所以()s t 在()00,t 上为减函数，在()0,t +∞上为增函数，故()()0min s t s t =，因为()s t 在[)0,+∞上有零点，故()00s t ≤，故200e 0t bt -≤，而2002e 0t t b -=，故220020e 2e 0t t t -≤即02t ≥，设()22e ,0t v t t t =>，则()()2224e 0t v t t '=+>，故()v t 在()0,+∞上为增函数，而2002e t b t =，故12b ≥=.（ii ）因为曲线()y f x =和()y g x =有公共点，所以e sin x a x -=有解0x ，其中00x ≥，若00x =，则100a b -⨯=⨯，该式不成立，故00x >.故00sin e 0x a x +=，考虑直线00sin e 0x a x +=，表示原点与直线00sin e 0x a x +=上的动点(),a b 之间的距离，x ≥0222200e sin x a b x x +≥+，下证：对任意0x >，总有sin x x <，证明：当2x π≥时，有sin 12x x π≤<≤，故sin x x <成立.当02x π<<时，即证sin x x <，设()sin p x x x =-，则()cos 10p x x '=-≤（不恒为零），故()sin p x x x =-在[)0,+∞上为减函数，故()()00p x p <=即sin x <成立.综上，sin x x <成立.下证：当0x >时，e 1x x >+恒成立，()e 1,0x q x x x =-->，则()e 10x q x '=->，故()q x 在()0,+∞上为增函数，故()()00q x q >=即e 1x x >+恒成立.下证：22e >e sin xx x+在()0,+∞上恒成立，即证：212e sin x x x ->+，即证：2211sin x x x -+≥+，即证：2sin x x ≥，而2sin sin x x x >≥，故2sin x x ≥成立.e x >，即22e a b +>成立.【点睛】思路点睛：导数背景下零点问题，注意利用函数的单调性结合零点存在定理来处理，而多变量的不等式的成立问题，注意从几何意义取构建不等式关系，再利用分析法来证明目标不等式.。

安徽省合肥市2024-2025学年高三上学期10月月考试题数学含答案

合肥2025届高三10月段考试卷数学（答案在最后）考生注意：1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效．考试结束后只交答题卡．一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合{A x x =<，1ln 3B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A ．{x x <B ．{x x <C ．{0x x <<D ．{0x x <<2．设a ，b 均为单位向量，则“55a b a b -=+”是“a b ⊥ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知数列{}n a 满足()111n n a a +-=，若11a =-，则10a =（）A ．2B ．－2C ．－1D ．124．已知实数a ，b ，c 满足0a b c <<<，则下列不等式中成立的是（）A ．11a b b a+>+B ．22a b aa b b+<+C ．a b b c a c<--D ．ac bc>5．已知a ∈R ，2sin cos 2αα+=，则tan 2α=（）A ．43B ．34C ．43-D ．34-6．10名环卫工人在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距15米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从（1）到（10）依次编号，为使每名环卫工人从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（）A ．（1）和（10）B ．（4）和（5）C ．（5）和（6）D ．（4）和（6）7．设0.1e1a =-，111b =，ln1.1c =，则（）A ．b c a <<B ．c b a<<C ．a b c<<D ．a c b<<8．定义在R 上的奇函数()f x ，且对任意实数x 都有()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭，()12024e f =．若()()0f x f x '+->，则不等式()11ex f x +>的解集是（）A ．()3,+∞B ．(),3-∞C ．()1,+∞D ．(),1-∞二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．已知O 为坐标原点，点()1cos1,sin1P ，()2cos 2,sin 2P -，()3cos 3,sin 3P ，()1,0Q ，则（）A ．12OP OP = B ．12QP QP =C ．312OQ OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OQ OP OP OP ⋅=⋅ 10．三次函数()32f x x ax =++叙述正确的是（）A ．当1a =时，函数()f x 无极值点B ．函数()f x 的图象关于点()0,2中心对称C ．过点()0,2的切线有两条D ．当a <－3时，函数()f x 有3个零点11．已知()2sin 2f x x =+，对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()123f x f x α=+成立，则下列选项中，α可能的值是（）A ．3π4B ．4π7C ．6π7D ．8π7三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知复数1+与3i 在复平面内用向量OA 和OB 表示（其中i 是虚数单位，O 为坐标原点），则OA与OB夹角为______．13．函数2x y m m =-+在(],2-∞上的最大值为4，则m 的取值范围是______．14．设a 、b 、[]0,1c ∈，则M =+______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin 0a C C b c --=．（1）求角A ；（2）已知8b =，从下列三个条件中选择一个作为已知，使得ABC △存在，并求出ABC △的面积．条件①：2cos 3B =-；条件②：7a =；条件③：AC ．（注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．）16．（15分）某地区上年度天然气价格为2.8元/3m ，年用气量为3m a ．本年度计划将天然气单价下调到2.55元/3m 至2.75元/3m 之间．经调查测算，用户期望天然气单价为2.4元/3m ，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为k ）．已知天然气的成本价为2.3元/3m ．（1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y （单位：元）关于实际单价x （单位：元/3m ）的函数解析式；（收益=实际用气量×（实际单价－成本价））（2）设0.2k a =，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加20%?17．（15分）已知函数()824x x xa f x a +⋅=⋅（a 为常数，且0a ≠，a ∈R ），且()f x 是奇函数．（1）求a 的值；（2）若[]1,2x ∀∈，都有()()20f x mf x -≥成立，求实数m 的取值范围．18．（17分）已知函数()()2ln f x x x =-（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求函数()f x 在()()22e ,ef 处切线方程；（3）若()f x m =有两解1x ，2x ，且12x x <，求证：2122e e x x <+<．19．（17分）（1）若干个正整数之和等于20，求这些正整数乘积的最大值．（2）①已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅，都是正数，求证：12n a a a n++⋅⋅⋅+≥；②若干个正实数之和等于20，求这些正实数乘积的最大值．合肥2025届高三10月段考试卷·数学参考答案、提示及评分细则题号1234567891011答案DCCBBCACACABDAC一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．【答案】D【解析】131ln 0e 3x x <⇒<<，∵23e 2<，∴661132e 2⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．2．【答案】C【解析】∵“55a b a b -=+ ”，∴平方得222225102510a b a b a b a b +-⋅=++⋅，即200a b ⋅= ，则0a b ⋅= ，即a b ⊥，反之也成立．故选C ．3．【答案】C 【解析】因为111n n a a +=-，11a =-，所以212a =，32a =，41a =-，所以数列{}n a 的周期为3，所以101a =-．故选C ．4．【答案】B【解析】对于A ，因为0a b <<，所以11a b >，所以11a b b a+<+，故A 错误；对于B ，因为0a b <<，所以()()()()222220222a b b a a b a b a b a a b b a b b a b b+-++--==<+++，故B 正确；对于C ，当2a =-，1b =-，1c =时，13b a c =-，1a b c =-，b aa cb c<--，故C 错误；对于D ，因为a b <，0c >，所以ac bc <，故D 错误．故选B ．5．【答案】B【解析】102sin cos 2αα+=，则()252sin cos 2αα+=，即2254sin 4sin cos cos 2αααα++=，可得224tan 4tan 15tan 12ααα++=+，解得tan 3α=-或13．那么22tan 3tan 21tan 4ααα==-．故选B ．6．【答案】C【解析】设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为x ，则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：1152151015S x x x =-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯．若S 取最小值，则函数()()()()22222221210101101210y x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-=-+++⋅⋅⋅+也取最小值，由二次函数的性质，可得函数()2222101101210y x x =-+++⋅⋅⋅+的对称轴为 5.5x =，又∵x 为正整数，故5x =或6．故选C 7．【答案】A【解析】构造函数()1ln f x x x =+，0x >，则()211f x x x'=-，0x >，当()0f x '=时，1x =，01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增．∴()f x 在1x =处取最小值()11f =，∴1ln 1x x>-，（0x >且1x ≠），∴101ln1.111111>-=，∴c b >；构造函数()1e 1ln x g x x -=--，1x >，()11ex g x x-'=-，∵1x >，1e1x ->，11x<，∴()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增，∴()()10g x g >=，∴ 1.11e 1ln1.1-->，即0.1e 1ln1.1->，∴a c >．故选A ．8．【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数，所以()f x '是偶函数，因为()()0f x f x '+->，所以()()0f x f x '+>，令()()e x g x f x =，()()()e 0xg x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，()g x 在R 上单调递增．又因为()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭且()f x 是奇函数，所以()f x 的周期为3，()12024e f =，则()12ef =，所以()212e e e g =⨯=，则不等式()()()()111e 1e 12ex x f x f x g x g ++>⇒+>⇒+>，因为()g x 在R 上单调递增，所以12x +>，即1x >．故选C ．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9．【答案】AC【解析】∵()1cos1,sin1P ，()2cos 2,sin 2P -，()()()3cos 12,sin 12P ++，()1,0Q ，∴()1cos1,sin1OP = ，()2cos 2,sin 2OP =- ，()()()3cos 12,sin 12OP =++ ，()1,0OQ = ，()1cos11,sin1QP =- ，()2cos 21,sin 2QP =-- ，易知121OP OP == ，故A 正确；∵1QP = ，2QP = 12QP QP ≠ ，故B 错误；()3cos 12cos1cos 2sin1sin 2OQ OP ⋅=+=- ，12cos1cos 2sin1sin 2OP OP ⋅=-，∴312OQ OP OP OP ⋅=⋅ ，故C 正确；1cos1OQ OP ⋅= ，23cos 2cos 3sin 2sin 3cos 5cos1OP OP ⋅=-=≠，故D 错误．故选AC ．10．【答案】ABD【解析】对于A ：1a =，()32f x x x =++，()2310f x x '=+>，()f x 单调递增，无极值点，故A 正确；对于B ：因为()()4f x f x +-=，所以函数()f x 的图象关于点()0,2中心对称，故B 正确；对于C ：设切点()()1,x f x ，则切线方程为()()()111y f x f x x x '-=-，因为过点()0,2，所以()()()112f x f x x '-=-，331111223x ax x ax ---=--，解得10x =，即只有一个切点，即只有一条切线，故C 错误；对于D ：()23f x x a '=+，当3a <-时，()0f x '=，x =，当,x ⎛∈-∞ ⎝时，()0f x '>，()f x 单调递增，当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 有极大值为20f ⎛=> ⎝，所以若函数()f x 有3个零点，()f x有极小值为20f =<，得到3a <-，故D 正确．故选ABD ．11．【答案】AC【解析】∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]1sin 0,1x ∈，∴()[]12,4f x ∈，∵对任意的1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使得()()123f x f x a =+成立，∴()2min 23f x α+≤，()2max 43f x α+≥，∴()2sin 2f x x =+，∴()2min 2sin 3x α+≤-，()2max 1sin 3x α+≥-，sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．在3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．当3π4α=时，23π5π,44x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 3π1sin sin043x α+=>>-，()2min 5π2sin sin42x α+==-23<-，故A 正确，当4π7α=时，24π15π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 15π7π12sin sin sin 14623x α+=>=->-，故B 错误，当6π7α=时，26π19π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 6π1sin sin073x α+=>>-，()2min 19πsin sin14x α+=<4π2sin 323=-<-，故C 正确，当8π7α=时，28π23π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 8π9π1sin sin sin 783x α+=<=-．故错误．故选AC ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．【答案】π6【解析】由题知(OA = ，()0,3OB =，cos ,2OA OB OA OB OA OB⋅==⋅，∴π6AOB ∠=．故本题答案为π6．13．【答案】(],2-∞【解析】当0m ≤时，函数2x y m m =-+的图象是由2xy =向上平移m 个单位后，再向下平移m 个单位，函数图象还是2xy =的图象，满足题意，当02m <≤时，函数2x y m m =-+图象是由2xy =向下平移m 个单位后，再把x 轴下方的图象对称到上方，再向上平移m 个单位，根据图象可知02m <≤满足题意，2m >时不合题意．故本题答案为(],2-∞．14．23【解析】不妨设01a b c ≤≤≤≤，则3M b a c b c a =---，()622b a c b a c b c a --≤-+-=-∴32323M b a c b c a c a =----+，当且仅当b a c b -=-，0a =，1c =，即0a =，12b =，1c =时，等号成立．23+．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．【解析】（1）因为cos 3sin 0a C a C b c +--=，由正弦定理得sin cos 3sin sin sin 0A C A C B C +--=．即：()sin cos 3sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=，()3sin cos sin sin 0sin 0A C A C C C --=>3cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0πA <<，所以ππ66A -=，得π3A =；（2）选条件②：7a =．在ABC △中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即222π7816cos3c c =+-⋅．整理得28150c c -+=，解得3c =或5c =．当3c =时，ABC △的面积为：1sin 632ABC S bc A ==△，当c=5时，ABC △的面积为：1sin 1032ABC S bc A ==△选条件③：AC，设AC边中点为M，连接BM，则BM=，4AM=，在ABM△中，由余弦定理得2222cosBM AB AM AB AM A=+-⋅⋅，即2π21168cos3AB AB=+-⋅．整理得2450AB AB--=，解得5AB=或1AB=-（舍）．所以ABC△的面积为1sin2ABCS AB AC A=⋅⋅=△．16．【解析】（1）()2.32.4ky a xx⎛⎫=+-⎪-⎝⎭，[]2.55,2.75x∈；（2）由题意可知要同时满足以下条件：()()[]0.2 2.3 1.2 2.8 2.32.42.55,2.75a a x axx⎧⎛⎫+-≥-⎪⎪-⎝⎭⎨⎪∈⎩，∴2.6 2.75x≤≤，即单价最低定为2.6元/3m．17．【解析】（1）()1122xxf xa=⨯+，因为()f x是奇函数，所以()()f x f x-=-，所以11112222x xx xa a⎛⎫⨯+=-⨯+⎪⎝⎭，所以111202xxa⎛⎫⎛⎫++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以110a+=，1a=-；（2）因为()122xxf x=-，[]1,2x∈，所以22112222x xx xm⎛⎫-≥-⎪⎝⎭，所以122xxm≥+，[]1,2x∈，令2xt=，[]1,2x∈，[]2,4t∈，由于1y tt=+在[]2,4单调递增，所以117444m≥+=．18．【解析】（1）()f x的定义域为()0,+∞，()1lnf x x'=-，当()0f x'=时，ex=，当()0,ex∈时，()0f x '>，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在区间()0,e 内为增函数，在区间()e,+∞为减函数；（2）()2e 0f =，()22e 1ln e 1f '=-=-，所以()()22e ,ef 处切线方程为：()()201e y x -=--，即2e 0x y +-=；（3）先证122e x x +>，由（1）可知：2120e e x x <<<<，要证12212e 2e x x x x +>⇔>-，也就是要证：()()()()21112e 2e f x f x f x f x <-⇔<-，令()()()2e g x f x f x =--，()0,e x ∈，则()()()2ln 2e 2ln e 2e e 0g x x x '=--≥--=，所以()g x 在区间()0,e 内单调递增，()()e 0g x g <=，即122e x x +>，再证212e x x +<，由（2）可知曲线()f x 在点()2e ,0处的切线方程为()2e x x ϕ=-，令()()()()()222ln e 3ln e m x f x x x x x x x x ϕ=-=---+=--，()2ln m x x '=-，∴()m x 在e x =处取得极大值为0，故当()0,e x ∈时，()()f x x ϕ<，()()12m f x f x ==，则()()2222e m f x x x ϕ=<=-，即22e m x +<，又10e x <<，()()111111112ln 1ln m f x x x x x x x x ==-=+->，∴2122e x x m x +<+<．19．【解析】（1）将20分成正整数1,,n x x ⋅⋅⋅之和，即120n x x =+⋅⋅⋅+，假定乘积1n p x x =⋅⋅⋅已经最大．若11x =，则将1x 与2x 合并为一个数1221x x x +=+，其和不变，乘积由122x x x =增加到21x +，说明原来的p 不是最大，不满足假设，故2i x ≥，同理()21,2,,i x i n ≥=⋅⋅⋅．将每个大于2的22i i x x =+-拆成2，2i x -之和，和不变，乘积()224i i i x x x -≤⇒≤．故所有的i x 只能取2，3，4之一，而42222=⨯=+，所以将i x 取2和3即可．如果2的个数≥3，将3个2换成两个3，这时和不变，乘积则由8变成9，故在p 中2的个数不超过2个．那只能是202333333=++++++，最大乘积为6321458⨯=；（2）①证明：先证：1ex x -≥．令()1e x f x x -=-，则()1e 1x f x -'=-，()10f '=，且()()10f x f ≥=，1-≥1,2,,i n =⋅⋅⋅，1111⋅⋅⋅⋅⋅≥，1n ≥0n ≥，∴12n a a a n++⋅⋅⋅+≥②让n 固定，设n 个正实数1,,n x x ⋅⋅⋅之和为20，120n x x n n +⋅⋅⋅+≤=，1220nn p x x x n ⎛⎫=⋅⋅⋅≤ ⎪⎝⎭，要是20nn ⎛⎫ ⎪⎝⎭最大，20ln nn ⎛⎫⎪⎝⎭最大即可，令()()20ln ln 20ln tg t t t t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，其中*t ∈N ，()20ln ln e g t t '=-，∴7t ≤时，()g t 单调递增，8t ≥时，()g t 单调递减，而()()()()87787ln 207ln 78ln 208ln 8ln 8ln 7200g g -=---=-⨯>，所以这些正实数乘积的最大值为7207⎛⎫⎪⎝⎭．。

2023届安徽省滁州市定远县民族中学高三年级上册学期12月月考数学试题【含答案】

2023届安徽省滁州市定远县民族中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}32A x x =-≤≤，{}2230B x x x =+-≤，则()RAB =（）A ．(]1,2B ．[]1,2C ．[)3,1-D ．[]3,1-【答案】A【分析】求出集合B ，用补集和交集的运算性质计算即可.【详解】因为集合{}{}223031B x x x x x =+-≤=-≤≤，所以{}31R B x x x =-或．又{}32A x x =-≤≤，所以(){}12R A B x x ⋂=<≤．故选：A ．2．设函数()2log f x x =，若13log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5log 2b f =，()0.2C f e =，则a ，b ，c 的大小为（）A ．b a c <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．a b c <<【答案】A【分析】由题可得()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，由此可得3(log 2)a f =，然后利用对数函数和指数函数的性质比较0.253log 2,log 2,e 的大小，从而可比较出a ，b ，c 的大小【详解】解：因为22()log log ()f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，所以1333(lo lo g 2)(log 22)g a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，当0x >时，2(x)log f x =在(0,)+∞上为增函数，因为530log 2log 21<<<，0.201e e >=，所以0.2530log 2log 2e <<<，因为()f x 在(0,)+∞上为增函数，所以0.253(log 2)(log 2)()f f f e <<，所以b a c <<，故选：A【点睛】此题考查对数函数和指数函数的性质，考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查转化能力，属于基础题.3．已知()f x ，()g x 分别为定义域为R 的偶函数和奇函数，且()()e xf xg x +=，若关于x 的不等式()()220f x ag x -≥在()0,ln3上恒成立，则正实数a 的取值范围是（）A ．15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．40,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．400,9⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．150,8⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】由奇偶性求得()f x ，()g x ，化简不等式，并用分离参数法变形为()()24e e eex x xx a --+≤-，设e e x x t -+=，换元后利用函数的单调性求得不等式右边的取值范围，从而可得a 的范围．【详解】解：已知()f x ，()g x 分别为定义域为R 的偶函数和奇函数，则()()()(),f x f x g x g x =-=--，又()()e x f x g x +=①，则()()()()e e x xf xg x f x g x ---+-=⇒-=②，由①②可得()()e e e e ,22x x x xf xg x --+-==，则不等式()()220f x ag x -≥在()0,ln3上恒成立，转化为：()2e e e e 04x xx x a ---+-≥在()0,ln3上恒成立，因为()0,ln3x ∈，所以e e 0x x -->，即()()()()224e e 4e e e e e e 4x xxxx xxxa ----++≤=-+-，令e e x x t -+=，则24444t a t t t≤=--，e e x x t -=+，()0,ln3x ∈，则e e 0x x t -'=->，e e x x t -=+在()0,ln3上是增函数，102,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又4y t t =-在102,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时是增函数，所以432015t t <-<，则41548t t >-，又()()24e e ee x x xx a --+≤-在()0,ln3x ∈上恒成立，则158a ≤．则正实数a 的取值范围是150,8⎛⎤⎥⎝⎦.故选：D ．4．函数()(1)ln 1f x x x =+-的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由1()02f ->排除两个选项，再由2x >时，()0f x >排除一个选项后可得正确选项．【详解】∵()(1)ln 1f x x x =+-，所以113()ln 0222f -=>，故排除C ，D ，当2x >时，()(1)ln(1)0f x x x =+->恒成立，排除A ，故选：B ．5．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，4x π=-是函数的一个零点，且4x π=是其图象的一条对称轴.若,96ππ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个单调区间，则ω的最大值为A ．18B ．17C ．15D ．13【答案】D【分析】由已知可得()221T k Z k π=∈+，结合2T πω=，得到21k ω=+（k Z ∈），再由96ππ⎛⎫⎪⎝⎭，是()f x 的一个单调区间，可得1692ππ-≤T ，即9T π≥，进一步得到8.5k ≤，然后对k 逐一取值，分类求解得答案．【详解】由题意，得()1+42442k T k Z πππ⎛⎫⎛⎫=--=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()221T k Z k π=∈+，又2T πω=，∴21k ω=+（k Z ∈）．∵96ππ⎛⎫⎪⎝⎭，是()f x 的一个单调区间，∴1692ππ-≤T ，即9T π≥，∵221T k π=+，∴2118k +≤，即8.5k ≤．①当8k =，即17ω=时，174k πϕπ-+=，k Z ∈，∴174k πϕπ=+，k Z ∈，∵||2ϕπ<，∴4πϕ=，此时()sin 174A x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在96ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上不单调，∴17ω=不符合题意； ②当7k =，即15ω=时，154k πϕπ-+=，k Z ∈，∴154k ϕππ=+，k Z ∈， ∵||2ϕπ<，∴4πϕ=-，此时()sin 154A x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在96ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上不单调，∴15ω=不符合题意； ③当6k =，即13ω=时，134k πϕπ-+=，k Z ∈，∴134k ϕππ=+，k Z ∈． ∵||2ϕπ<，∴4πϕ=，此时()sin 134A x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在96ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，∴13ω=符合题意，故选D ．【点睛】本题主要考查正弦型函数的单调性，ω对周期的影响，零点与对称轴之间的距离与周期的关系，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，结合选项逐步对系数进行讨论是解决该题的关键，属于中档题.6．如图所示，平面向量OA ，OB 的夹角为60°，22OB OA ==，点P 关于点A 的对称点Q ，点Q 关于点B 的对称点为点R ，则PR 为（）A 3B ．3C ．4D ．无法确定【答案】B【分析】首先根据条件转化向量()2PR OB OA =-，再利用向量数量积求模. 【详解】()()222PR QR QP QB QA AB OB OA =-=-==-，()2222222PR OB OA OB OAOB OA OB OA ∴=-=-=+-⋅241221cos60=+-⨯⨯⨯3=.故选：B7．在等差数列{}n a 中，12022a =-，其前n 项和为n S ，若1082108S S -=，则2022S =（） A ．2021 B ．-2021C ．-2022D ．2022【答案】C【分析】由等差数列前n 项和公式可得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，根据1082108S S -=可得公差为1，即可求解20222022S的值，即可得出结论.【详解】解：因为数列{}n a 为等差数列，故1()2n n n a a S +=，则12n n S a an +=，当2n ≥时，11112n n S a a n --+=-，则111111222n n n n n n S S a a a a a an n ---++--=-=-，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ．又10822108S S d -==，即1d =，又1120221S a ==-，所以()202212023n S n n n =-+-=-+，所以20222023202212022S=-+=-，即20222022S =-．故选：C.8．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有()()2e xf x f x -=，当0x >时，()()0f x f x +'>，若()()1e 212a f a f a -+≥+，则实数a 的取值范围是（）A ．[]1,1-B ．[]22-,C ．][(),11,-∞-⋃+∞D ．][(),22,∞∞--⋃+【答案】C【分析】令()()e x g x f x =，根据()()2e xf x f x -=，可得()()g x g x -=，即()g x 为偶函数，再根据当0x >时，()()0f x f x +'>，利用导数判断函数()g x 在()0,∞+上得单调性，再根据()()1e 212a f a f a -+≥+，即()()212e21e 2a a f a f a +++≥+，即()()212g a g a +≥+，再根据函数的单调性即可得出答案.【详解】解：因为()()2e xf x f x -=，所以()()()e e ex x xf x f x f x --==-，令()()e xg x f x =，则()()g x g x -=，所以()g x 为偶函数，当0x >时，()()0f x f x +'>，所以()()()e 0xg x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知()g x 在(),0∞-上单调递减，因为()()1e212a f a f a -+≥+，所以()()212e21e 2a a f a f a +++≥+，所以()()212g a g a +≥+，即212a a +≥+，解得1a ≤-或1a ≥. 故选：C.【点睛】本题重点考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，关键在于构造正确的函数，考查了利用导数判断函数在区间上的单调性，考查了数据分析能力，有一定的难度.二、多选题9．已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①x ∀∈R ，()()f x f x -=；②m ∀，()0,n ∈+∞，当m n ≠时，都有()()0f m f n m n-<-；③()10f -=.则下列选项成立的是（）A ．()()34f f >-B ．若()()12f m f -<，则()3,m ∈+∞C ．若()0f x x<，()()1,01,x ∈-⋃+∞ D ．x ∀∈R ，∃∈M R ，使得()f x M ≤【答案】ACD【分析】根据条件判断函数的奇偶性、单调性，对于A ，根据函数性质比较函数值大小；对于B ，()()12f m f -<，等价于12m ->，求得参数范围；对于C ，若()0f x x<，分类讨论求得不等式解集；对于D ，根据函数的性质知，函数存在最大值()0f ，从而满足条件.【详解】由①知函数()f x 为偶函数；由②知，函数()f x 在()0,x ∈+∞上单调递减；则函数()f x 在(),0x ∈-∞上单调递增；对于A ，()()3(3)4f f f =->-，故A 正确；对于B ，()()12f m f -<，则12m ->，解得()(,3,1)m ∈⋃-∞-+∞，故B 错误；对于C ，若()0f x x<，由题知()1(1)0f f -==，则当0x >时，()0f x <，解得1x >；当0x <时，()0f x >，解得10x -<<，故C 正确；对于D ，根据函数单调性及函数在R 上的图形连续知，函数存在最大值()0f ，则只需()0M f ≥，即可满足条件，故D 正确；故选：ACD10．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法正确的有（）A ．166AC =B ．BD ⊥平面1ACCC ．向量1AA 与1B C 的夹角是60°D ．直线1BD 与AC 6【答案】ABD【分析】利用空间向量法，根据空间向量的线性运算和数量积运算，及线面垂直的判定定理逐项分析即得.【详解】以{}1,,AB AD AA 为空间一组基底，则11AC AB AD AA =++， ()2211AC AB AD AA =++()2221112AB AD AA AB AD AD AA AB AA =+++⋅+⋅+⋅()3636362366cos60216=+++⨯⨯⨯︒=，所以166AC =A 选项正确；由题可知四边形ABCD 是菱形，所以⊥BD AC ，又BD AD AB =-，()1111BD CC AD AB AA AD AA AB AA ⋅=-⋅=⋅-⋅66cos6066cos600=⨯⨯︒-⨯⨯︒=，所以1BD CC ⊥，即1BD CC ⊥，由于1AC CC C ⋂=，AC ⊂平面1ACC ，1CC ⊂平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，B 选项正确；由题可知1BB 与1B C 的夹角为120，也即1B C 与1AA 的夹角为120，C 选项错误；111BD AD AB AD AA AB =-=+-，()()22222111112BD AD AA ABAD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-=+++⋅-⋅-⋅()363636266cos6066cos6066cos6072=+++⨯⨯⨯︒-⨯⨯︒-⨯⨯︒=，所以162BD =AC AB AD =+，()2222236266cos 6036108AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+=+⨯⨯⨯︒+=，所以63AC =()()11BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+11AD AB AA AB AB AB AD AD AA AD AB AD =⋅+⋅-⋅+⋅+⋅-⋅ 266cos6036=⨯⨯⨯︒=，设直线1BD 与直线AC 所成角为θ，则111cos cos ,6BDAC BD AC BD ACθ⋅===⋅D 选项正确. 故选：ABD.11．关于函数()cos 2cos f x x x x =-⋅，则下列命题正确的是（） A ．存在1x 、2x 使得当12x x π-=时，12()()f x f x =成立 B ．()f x 在区间[]63ππ-，上单调递增C ．函数()f x 的图象关于点(0)12π，中心对称 D ．将函数()f x 的图象向左平移512π个单位长度后与()2sin 2g x x =的图象重合. 【答案】AC【分析】化简f (x )的解析式，利用余弦型或正弦型函数的图像与性质即可逐项判断﹒【详解】()cos 2cos cos 222cos(2)3f x x x x x x x π=-⋅==+，A 选项，周期为22ππ=，根据f (x )图像的对称性知存在1x 、2x 使得当12x x π-=时，12()()f x f x =成立，A 对；B 选项，[],20,,2cos 633x x y t ππππ⎡⎤∈-⇒+∈=⎢⎥⎣⎦在[]0,t π∈上单调递减，故()f x 在区间[]63ππ-，上单调递减，B 错；C 选项，因为()2cos(2)012123f πππ=⨯+=，所以函数()f x 的图象关于点(0)12π，中心对称，C 对； D 选项，()f x 的图象向左平移512π个单位长度后为()52cos 22sin 22sin21233h x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=-≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 错；故选：AC.12．树人中学的“希望工程”中，甲､乙两个募捐小组暑假期间走上街头分别进行了为期两周的募捐活动.两个小组第1天都募得1000元，之后甲小组继续按第1天的方法进行募捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小组采取了积极措施，从第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣传材料，则从第2天起，第()*,2n n n ∈N 天募得的捐款数为1180012n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭元.若甲小组前n 天募得捐款数累计为n S 元，乙小组前n 天募得捐款数累计为n T 元（需扣除印刷宣传材料的费用），则（） A ．66S T >B ．甲小组募得捐款为9550元C ．从第7天起，总有n n S T <D ．121800800,2142n n nT n n --=+⋅≤≤且*n ∈N 【答案】AC【分析】利用等差数列求和公式求出甲小组两周的募捐的钱数，得到B 错误；利用等比数列求和公式及分组求和，得到乙小组两周募捐的钱数，得到D 错误；计算出66,S T ，比较得到大小；令21800252254002n n n n C T S n n -=-=--+，先计算出70C >，再结合数列单调性得到答案. 【详解】由题可知114n ≤≤且*n ∈N ，设n a 代表第n 天甲小组募得捐款，且0n a >，对于甲小组，11000,50a d ==-，所以()115010500n a a n d n =+-=-+>，所以120n ≤≤，所以()12251025,142n n n a a S n n n +==-+且*n ∈N ，所以149450S =，故选项B 不正确；设n b 代表第n 天乙小组募得捐款，由题可知，11000,118001,22n n n b n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，所以12321600111400800180018001222n n n T b b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-()231111140080018002222n n -⎛⎫=+-+++++ ⎪⎝⎭，*1800800400,22,14n n n n -=+-∈≤≤N ，故选项D 错误；因为6665250,5175S T S ==<，故该选项A 正确；选项C ，令21800252254002n n n n C T S n n -=-=--+，所以737.50C =>，而当7n ≥时，18005020002n n n C C n +-=+->，所以数列{}n C 为递增数列，因此0n n S T -<，所以n n S T <，故选项C 正确. 故选：AC三、填空题13．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2021年为3000万吨，2022年增长率约为50％.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从______年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨.（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈）【答案】2027【分析】n 年后产生的垃圾为()3000150%n⨯+，得到不等式()3000150%30000n⨯+>，解得答案. 【详解】n 年后产生的垃圾为()3000150%n ⨯+，故()3000150%30000n⨯+>，即3102n⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()lg3lg21n ->，即1 5.68lg 3lg 2n >≈-，故6n ≥，故2027年开始快递业产生的包装垃圾超过30000万吨. 故答案为：202714．在三角形ABC 中，已知1tan 2A =，1tan 3B =，若2sin()sin()sin cos x A x B C x ++=，则tan x 的值为__________．【答案】43-或12【分析】由tan 12A =，1tan 3B =解出A ，B ，C 的正余弦值，将等式化简后代入，解出tan x . 【详解】因为tan 12A =，1tan 3B =，A ，()0,πB ∈，所以5sin 5A =，5cos 52A =，10sin 10B =，310cos 10B =，2sin sin()sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+=． ()()()()22sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos x A x B x A x A x B x B C xx++++==，即()()25102sin cos 3sin cos 2510cos 2x x x x x ⨯++=，所以()()2tan 13tan 15x x ++=，解得4tan 3x =-或1tan 2x =.故答案为：43-或12．15．如图所示，半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ､B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是___________【答案】2-【分析】由向量的线性运算得2PA PB PO +=，因此()22PA PB PC PO PC PO PC +⋅=⋅=-⋅，只要求得PO PC ⋅的最大值即可，这可由基本不等式得结论．【详解】解：因为O 为AB 的中点，所以2PA PB PO +=，从而()22PA PB PC PO PC PO PC +⋅=⋅=-⋅.又2PO PC OC +==为定值，再根据2()12PO PCPO PC +⋅≤=，可得22PO PC -⋅≥-，所以当且仅当1PO PC ==时，即P 为OC 的中点时，等号成立，()PA PB PC +⋅取得最小值是2-，故答案为：2-. 16．若函数()21ln 2f x x ax x =-+存在平行于x 轴的切线，则实数a 取值范围是______. 【答案】[)2,+∞【分析】求出导函数，只需()0f x '=有正解，分离参数可得1a x x=+，利用基本不等式即可求解. 【详解】函数定义域为()0,∞+，导函数为()1f x x a x'=-+，使得存在垂直于y 轴的切线，即()0f x '=有正解，可得1a x x=+有解，因为0x >，所以12a x x =+≥，当且仅当“1x x=，即1x =”时等号成立，所以实数a 的取值范围是[)2,+∞ 故答案为：[)2,+∞四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1126sin sin A B +=3C π=，6c =. (1)求证：2a b +=； (2)求ABC 的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)33【分析】（1）由已知条件结合正弦定理可得sin A =sin B =再由11sin sin A B+=11a b += （2）由余弦定理结合（1）的结论可求得12ab =，从而可求出三角形的面积【详解】（1）证明：3C π=，6c =，所以sin cC=根据正弦定理得sin A =sin B =，又11sin sin A B+=所以11a b +=2a b +=（2）由余弦定理得()2222222cos 3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-，由（1），得a b +=，结合6c =可得()26720ab ab --=. 即()()1260ab ab -+=，解得12ab =或6ab =- （舍去），所以1sin 2ABCSab C ==18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S a n =+. （1）证明：{}1n a -为等比数列；（2）设1n n b =-，若不等式12233411111n n t b b b b b b b b ++++⋅⋅⋅+<对*n N ∀∈恒成立，求t 的最小值. 【答案】（1）见解析（2）14【解析】(1)利用1n n n a S S -=-得到1,n n a a -的递推公式再构造数列证明即可.(2)根据(1)可求得12nn a =-,进而求得2n b n =,再用裂项求和求解12231111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+进而求得t 的最小值【详解】解：（1）11221n n n n n a S S a a --=-=--()1121(2)n n a a n -⇒-=-≥, 故{}1n a -为等比数列.（2）令1n =,则有111211S a a =+⇒=-, 所以()111122n n n a a --=-⋅=-,所以12n n a =-,令122n n n b n =-==,令1111141n n n c b b n n +⎛⎫==- ⎪+⎝⎭, 所以122311*********...412231n n b b b b b b n n +⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-++- ⎪+⎝⎭()111111414414n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭.所以14t ≥. 故t 的最小值为14.【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了裂项相消求和的方法与不等式的范围问题,属于中等题型.19．第二届中国（宁夏）国际葡萄酒文化旅游博览会于2022年9月6—12日在银川市成功举办，某酒庄带来了葡萄酒新品参展，与采购商洽谈，并计划大量销往海内外.已知该新品年固定生产成本40万元，每生产一箱需另投入100元.若该酒庄一年内生产该葡萄酒x 万箱且全部售完，每万箱的销售收入为()H x 万元，2803,020,()3000(2)90,20.(1)x x H x x x x x -<≤⎧⎪=-⎨+>⎪+⎩(1)写出年利润()M x （万元）关于年产是x （万箱）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)年产量为多少万箱时，该酒庄的利润最大？并求出最大利润．【答案】(1)()()2318040,020300021040,201x x x M x x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+->⎪+⎩(2)年产量为29万箱时，该公司利润最大，最大利润为2370万元【分析】（1）分020x <≤和20x >两种情况讨论，根据利润=销售收入-成本得到函数解析式；（2）根据二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解.【详解】（1）解：当020x <≤时，()()2280340100318040M x x x x x x =---=-+-，当20x >时，()()()()()30002300029010040104011x x M x x x x x x x ⎡⎤--=+--=-+-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，故()()2318040,020300021040,201x x x M x x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+->⎪+⎩；（2）解：当020x <≤时，()223180403(30)2660M x x x x =-+-=--+，对称轴为30x =，开口向下，故()max ()202360M x M ==，当20x >时，()()()3000210401x M x x x -=-+-+()()300013 10401x x x +-=-+-+90001029601x x =--++ ()900010129701x x =-+-++ ()90002101297023701x x ≤-+⋅+=+，当且仅当()90001011x x +=+，即29x =时，等号成立，因为 23702360>，所以当29x =时，利润最大，最大值为2370万元，故年产量为29万箱时，该公司利润最大，最大利润为2370万元.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，且22AB AD ==，2PA =，3PAB PAD π∠=∠=．(1)求线段PC 的长度；(2)求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值； (3)若E 为AB 的中点，证明：PA ED ⊥．【答案】3215(3)证明见解析【分析】（1）由已知角的三边作为空间向量的一组基底，由基底表示PC 再进行模长计算即可；（2）由基底表示PC 、BD ，再代入向量夹角公式计算即可；（3）由()AP DE AP AE AD ⋅=⋅-计算即可得结果. 【详解】（1）因为PC PA AC PA AB AD =+=++，所以222222244122213PC PA AB AD PA AB PA AD AB AD =+++⋅+⋅+⋅=++-⨯-⨯=， ∴||3PC =，所以线段PC（2）∵()()PC BD PA AB AD AD AB ⋅=++⋅-PA AD AB AB AD AD PA AB AB AD AD AB=⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅111222112200222=-⨯⨯-⨯+⨯+⨯⨯+-=-，||5BD =，∴cos ,3PC BD PC BD PC BD⋅-<>===⋅故异面直线PC 与BD . （3）因为E 为AB 的中点，所以AD AE =，又∵()AP DE AP AE AD AP AE AP AD ⋅=⋅-=⋅-⋅112121022=⨯⨯-⨯⨯=，∴AP DE ⊥，即PA ED ⊥． 21．已知向量()()23cos ,1,sin ,cos (0)m x n x x ωωωω=-=>，函数()f x m n =⋅图象相邻两条对称轴之间的距离为2π. （1）求()f x 的解析式；（2）若07,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且()012f x =，求0cos2x 的值.【答案】（1）1()sin(2)62f x x π=--；（2）【分析】（1）由题知，根据向量数量积运算求得()23cos sin cos f x m n x x x ωωω=⋅=-，化简，由条件22T ππω==求得参数1ω=，从而写出解析式.（2）由()012f x =得0sin(2)6x π-=，根据角的范围求得0cos(2)6x π-，从而有0000cos(2)cos(2)cos sin(2)sin 666666cos2x x x x ππππππ=-+=---，求得结果.【详解】（1）由题知，()23cos sin cos f x m n x x x ωωω=⋅=-1cos 212sin(2)262x x x ωπωω+=-=--，又函数相邻两条对称轴之间的距离为2π.即22T ππω==，则1ω=，1()sin(2)62f x x π=--（2）由题知，0011()sin(2)622f x x π=--=，则0sin(2)6x π-=07,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则02,63x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当02,632x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时，0)6sin(2x π-∈，而0sin(2)6x π-=，因此02,62x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，此时0cos(2)6x π-= 则0000cos(2)cos(2)cos sin(2)sin 666666cos2x x x x ππππππ=-+=---12==22．已知函数()()1ln R f x x a ax=+∈在1x =处的切线与直线210x y -+=平行.(1)求实数a 的值，并判断函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x m =有两个零点12x x ，，且12x x <，求证：121x x +>.【答案】(1)=2a ，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减，()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是单调递增；(2)证明见解析【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义求出a ，然后分析导函数的符号得出函数()f x 的单调性；（2）由已知得121211ln ,ln 22x m x m x x +=+=，两式相减，得121211ln ln 022x x x x -+-=，即有1212122ln x x x x x x -=，令12,x t x =构造函数()()12ln 01h t t t t t =--<<，求导函数，分析导函数的符号，得出函数()h t 的单调性和范围可得证.【详解】（1）函数()f x 的定义域：()0,∞+，由()1ln f x x ax =+可得()211f x x ax'=-，所以由题意可得()11112f a=-='，解得=2a ， ()1ln 2f x x x∴=+， ()22112122x f x x x x -'∴=-=，令()0f x '<，解得102x <<，故()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递减；令0fx，解得12x >，故()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是单调递增；（2）由12,x x 为函数()f x m =的两个零点，得121211ln ,ln 22x m x m x x +=+=，两式相减，可得121211ln ln 022x x x x -+-=即112212ln 2x x x x x x -=，1212122ln x x x x x x -=，因此1211212ln x x x x x -=，2121212lnx x x x x -=，令12x t x =，由12x x <，得01t <<，则121111+=2ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=，构造函数()()12ln 01h t t t t t =--<<，则()()22211210t h t t t t-=+-=>'，所以函数()h t 在()0,1上单调递增，故()()1h t h <，即12ln 0t t t--<，可知112ln t t t->，故命题121x x +>得证【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，用导数证明有关函数零点的不等式，解题思路是对两个零点120x x <<，引入参数1201x t x <=<，把有关12,x x 的表达式表示为t 的函数，然后再由导数研究新函数得证结论。

四川省绵阳市2024届高三数学上学期第四次月考理试题含解析

高中2021级高三第四学月测试理科数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B 铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.已知集合{}*2450M x x x =∈--≤N ，{}04N x x =≤≤，则M N ⋂=（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{}04x x ≤≤ D.{}14x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】解不等式求出集合M ，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】解2450x x --≤，得：15x -≤≤，所以{}{}*151,2,3,4,5M x x =∈-≤≤=N ，{}04N x x =≤≤，所以{1,2,3,4}M N ⋂=.故选：B.2.在复平面内，复数342i i++对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】通过复数的运算求出复数的代数形式，然后再进行判断即可．【详解】由题意得()()()5234522222i ii i i i i -+===-+++-，所以复数342i i++在复平面内对应的点为()2,1-，在第四象限．故选D ．【点睛】解题的关键是将复数化为代数形式，然后再根据复数的几何意义进行判断，属于基础题．3.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若53a a ＝59，则95S S 等于（）A.1 B.－1C.2D.12【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式计算即可.【详解】95S S ＝19159()25()2a a a a ++＝5395a a ＝1.故选：A.4.已知向量a，b不共线，向量3c a b =+，2d a kb =+，且c d ∥，则k =（）A.－3 B.3C.－6D.6【答案】D 【解析】【分析】设d c λ=，从而得到23a kb a b λλ+=+ ，得到方程，求出k 的值.【详解】设d c λ=，则()233a kb a b a b λλλ+=+=+ ，故2,36k λλ===．故选：D5.南山中学某学习小组有5名男同学，4名女同学，现从该学习小组选出3名同学参加数学知识比赛，则选出的3名同学中男女生均有的概率是（）A.45B.56C.67D.78【答案】B 【解析】【分析】首先计算出基本事件总数，依题意选出的3名同学中男女生均有，分为两种情况：①1名男同学，2名女同学；②2名男同学，1名女同学，计算出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：从有5名男同学，4名女同学，现从该学习小组选出3名同学参加数学知识比赛，则有3998784321C ⨯⨯==⨯⨯；依题意选出的3名同学中男女生均有，分为两种情况：①1名男同学，2名女同学，有1254C C 30=（种）；②2名男同学，1名女同学，215440C C =（种）；故概率为30405846P +==故选：B【点睛】本题考查简单的组合问题，古典概型的概率问题，属于基础题.6.已知1sin cos 3αβ-=，1cos sin 2αβ+=，则()sin αβ-=（）A.572B.572- C.5972D.5972-【答案】C 【解析】【分析】将已知等式平方后相加，结合同角的三角函数关系以及两角和的正弦公式，即可求得答案.【详解】由题意得()2221sin cos sin cos 2sin cos 9αβαβαβ-=+-=，()2221cos sin cos sin 2cos sin 4αβαβαβ+=++=，两式相加得()1322sin cos cos sin 36αβαβ--=，得()59sin 72αβ-=，故选：C7.在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,80,90,90,100,90分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（）A.该省考生数学成绩的中位数为75分B.若要全省的合格考通过率达到96%，则合格分数线约为44分C.从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人D.若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩的平均分约为70.5.【答案】A 【解析】【分析】根据频率分布直方图计算中位数、平均分，由不合格率为4%求得合格线，利用优秀率估算抽取的1000人中的优秀从数，从而判断各选项．【详解】由频率分布直方图知中位数在[70,80]上，设其为x ，则700.5(0.10.150.2)80700.3x --++=-，解得71.67x ≈，A 错；要全省的合格考通过率达到96%，设合格分数线为y ，则4010.96100.1y --=，44y =，B 正确；由频率分布直方图优秀的频率为0.1，因此人数为10000.1100⨯=，C 正确；由频率分布直方图得平均分为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，考试数学成绩的平均分约为70.5,D 正确．故选：A.8.在[2,3]-上随机取一个数k ，则事件“直线3y kx =+与圆22(2)9x y ++=有公共点”发生的概率为（）A.715B.815C.25D.35【答案】A 【解析】【分析】根据直线与圆有公共点，求出k 的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可.【详解】若直线3y kx =+，即30kx y -+=与圆22(2)9x y ++=有公共点，则圆心到直线距离3d =≤，故5≥解得43k ≥或43k ≤-，由几何概型的概率公式，得事件“直线3y kx =+与圆22(2)9x y ++=有公共点”发生的概率为()()44323373215P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==--.故选：A.9.已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且3x π=时，函数()f x 取最小值，若函数()f x 在[]0,a 上单调递减，则a 的最大值是（）A.6πB.56π C.23π D.3π【答案】D 【解析】【分析】由周期求得ω，再由最小值求得ϕ函数解析式，然后由单调性可得a 的范围，从而得最大值．【详解】由题意22πωπ==，cos(2)13πϕ⨯+=-，22,Z 3k k πϕππ+=+∈，又2πϕ<，∴3πϕ=，()cos(2)3f x x π=+，[0,]x a ∈时，2[,2]333x a πππ+∈+，又()f x 在[0,]a 上单调递减，所以23a ππ+≤，3a π≤，即03a π<≤，a 的最大值是3π．故选：D ．10.点P 是以12,F F 为焦点的的椭圆上一点，过焦点作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】A 【解析】【分析】P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，延长2F M 交1F 延长线于Q ，可证得2PQ PF =，且M 是2PF 的中点，由此可求得OM 的长度是定值，即可求点M 的轨迹的几何特征．【详解】解：由题意，P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，延长2F M 交1F P 延长线于Q ，得2PQ PF =，由椭圆的定义知122PF PF a +=，故有112PF PQ QF a +==，连接OM ，知OM 是三角形12F F Q 的中位线OM a ∴=，即点M 到原点的距离是定值，由此知点M 的轨迹是圆故选：A ．【点睛】本题在椭圆中求动点Q 的轨迹，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题．11.已知直线(2)(0)y k x k =+＞与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则k=A.13B.3C.23D.223【答案】D 【解析】【详解】将y=k(x+2)代入y 2=8x,得k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0.设交点的横坐标分别为x A ,x B ,则x A +x B =28k-4,①x A ·x B =4.又|FA|=x A +2,|FB|=x B +2,|FA|=2|FB|,∴2x B +4=x A +2.∴x A =2x B +2.②∴将②代入①得x B =283k -2,x A =283k -4+2=283k -2.故x A ·x B =228162233k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=4.解之得k 2=89.而k>0,∴k=3,满足Δ>0.故选D.12.已知函数()22e1xf x ax bx =-+-，其中a 、b ∈R ，e 为自然对数的底数，若()10f =，()f x '是()f x 的导函数，函数()f x '在区间()0,1内有两个零点，则a 的取值范围是（）A.()22e3,e 1-+ B.()2e3,-+∞C.()2,2e2-∞+ D.()222e6,2e 2-+【答案】A 【解析】【分析】由()0f x '=可得222e 21e x ax a =--+，作出函数函数22e x y =与221e y ax a =--+的图象在()0,1上有两个交点，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】因为()22e1xf x ax bx =-+-，则()21e 10f a b =-+-=，可得21e b a =+-，所以，()()222e 1e1xf x ax a x =-++--，则()222e21e xf x ax a '=-++-，由()0f x '=可得222e 21e x ax a =--+，因为函数()f x '在区间()0,1内有两个零点，所以，函数22e xy =与221e y ax a =--+的图象在()0,1上有两个交点，作出22e xy =与()2221e 211e y ax a a x =--+=--+的函数图象，如图所示：若直线221e y ax a =--+经过点()21,2e，则2e1a =+，若直线221e y ax a =--+经过点()0,2，则2e 3a =-，结合图形可知，实数a 的取值范围是()22e 3,e 1-+.故选：A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上.13.若一组数据123,,,,n x x x x ⋯的方差为10，则另一组数据1221,21,,21n x x x --⋯-的方差为______．【答案】40【解析】【分析】由题意先设出两组数据的平均数，然后根据已知方差、方差公式运算即可得解.【详解】由题意设123,,,,n x x x x ⋯的平均数为x ，则1221,21,,21n x x x --⋯-的平均数为21x -，由题意123,,,,n x x x x ⋯的方差为()()()222212110n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦ ，从而1221,21,,21n x x x --⋯-的方差为()()()222221121222222441040n s x x x x x x s n ⎡⎤=-+-++-==⨯=⎢⎥⎣⎦ .故答案为：40.14.若二项式2nx的展开式中第5项是常数项，则展开式中各项系数的和为__________.【答案】1【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第五项，令x 的指数为0，求出n 的值，令1x =，可得展开式中各项系数的和．【详解】解：2nx ⎫⎪⎭展开式的第5项为44452()n n T C x -=-二项式2nx ⎫-⎪⎭的展开式中第5项是常数项，∴4402n --=，12n ∴=∴二项式为122x ⎫-⎪⎭令1x =，可得展开式中各项系数的和()12121n T =-=故答案为：1．【点睛】本题考查展开式的特殊项，正确运用二项展开式是关键，属于基础题．15.在平面直角坐标系中，A,B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为___．【答案】45π【解析】【详解】由题意，圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，所以面积最小时，圆心在原点到直线的垂线中点上，则d =r =，45S π=．点睛：本题考查直线和圆的位置关系．本题中，由,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆，则半径就是圆心C 到原点的距离，所以圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，得到解答情况．16.过双曲线22221(0)x y b a a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，O 为坐标原点，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为_________．【答案】152【解析】【详解】试题分析：因为,,OF c OE a OE EF ==⊥，所以EF b =，因为1()2OE OF OP =+，所以E为PF 的中点，2PF b =，又因为O 为FF '的中点，所以//PF EO '，所以2PF a '=，因为抛物线的方程为24y cx =，所以抛物线的焦点坐标为(,0)c ，即抛物线和双曲线的右焦点相同，过F 点作x 的垂线l ，过P 点作PD l ⊥，则l 为抛物线的准线，所以2PD PF a '==，所以点P 的横坐标为2a c -，设(,)P x y ,在Rt PDF ∆中，222PD DF PF +=，即22222244,44(2)4()a y b a c a c c b +=+-=-，解得12e =.考点：双曲线的简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程、以及谁去下的简单的几何性质的应用，同时考查了双曲线的定义及性质，着重考查了学生推理与运算能力、数形结合思想、转化与化归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中，根据题意得到抛物线和双曲线的右焦点相同，得出点P 的横坐标为2a c -，再根据在Rt PDF ∆中，得出22244(2)4()a c a c c b +-=-是解答的关键.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2log ,,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）12n n a -=（2）212212233n n T n n +=⨯+--【解析】【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a .（2）根据分组求和法求得正确答案.【小问1详解】依题意，21n n S a =-，当1n =时，11121,1a a a =-=，当2n ≥时，1121n n S a --=-，所以()11122,22n n n n n n n a S S a a a a n ---=-=-=≥，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=，1a 也符合.所以12n n a -=.【小问2详解】由（1）得11,2,n n n n b n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()321202422222n n T n -=++++-++++ ()214022214n n n -+-=⨯+-222433n n n =⨯+--21212233n n n +=⨯+--.18.某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x （元）789111213销量y （kg ）120118112110108104（1）已知销量与单价之间存在线性相关关系求y 关于x 的线性回归方程；（2）若在表格中的6种单价中任选3种单价作进一步分析，求销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的分布列和期望．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b =()121((ni i i n i i x x y y x x ==---∑∑，a y bx =-$$．【答案】（1） 2.5137y x =-+；（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知表格中数据求得ˆa与ˆb ，则可求得线性回归方程；（2）求出ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率，可得分布列与期望．【详解】解：（1）()1789111213106x =+++++=，()11201181121101081046y =+++++=112．ˆb =()121()()ni i i ni i x x y y x x ==---∑∑═70 2.528-=-，()112 2.510137ˆˆa y bx =-=--⨯=．∴y 关于x 的线性回归方程为 2.5137ˆyx =-+；（2）6种单价中销售量在[110，118]内的单价种数有3种．∴销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的取值为0，1，2，3，P （ξ=0）=0336120C C =，P （ξ=1）=123336920C C C ⋅=，P （ξ=2）=213336920C C C ⋅=，P （ξ=3）=3336120C C =．∴ξ的分布列为：ξ0123P120920920120期望为E （ξ）=199130123202020202⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的期望，考查计算能力，求离散型随机变量ξ的分布列与均值的方法：（1）理解离散型随机变量ξ的意义，写出ξ的所有可能取值；（2）求ξ取每个值的概率；（3）写出ξ的分布列；（4）根据均值的定义求E（）ξ19.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=且π2C ≠.（1）求证：π2B A =+；（2）求cos sin sin A B C ++的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）)【解析】【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为cos sin A B =，结合诱导公式及π2C ≠可证π2B A =+.（2）根据π2B A =+及cos sin A B =，结合诱导公式和二倍角余弦公式将ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为2132cos 22A ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，先求出角A 的范围，然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.【小问1详解】因为sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=，由正弦定理得，2222sin b c a bc B +-=，由余弦定理得2222cos 2sin b c a bc A bc B +-==，所以cos sin A B =，又cos sin()2A A π=-，所以πsin()sin 2A B -=.又0πA <<，0πB <<，所以π2A B -=或ππ2A B -+=，所以π2A B +=或π2B A =+，又π2C ≠，所以ππ2A B C +=-≠，所以π2B A =+，得证.【小问2详解】由（1）知π2B A =+，所以ππ22C A B A =--=-，又cos sin A B =，所以ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22132cos cos 22cos 2cos 12cos 22A A A A A ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，因为0ππ0π2π02π2A B A C A ⎧⎪<<⎪⎪<=+<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，所以π04A <<，所以2cos 12A <<，因为函数2132cos 22y A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在2cos 2A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，所以22213131322cos 2132222222A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-<+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以cos sin sin A B C ++的取值范围为).20.椭圆有两个顶点(1,0),(1,0),A B -过其焦点(0,1)F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q．（1）当2CD =时，求直线l 的方程；（2）当P 点异于,A B 两点时，证明：OP OQ ⋅为定值．【答案】（1）1y =+；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）先由题意求出椭圆方程，直线l 不与两坐标轴垂直，设l 的方程为()10,1y kx k k =+≠≠±，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，再由弦长公式列方程可求出k 的值，从而可得直线方程；（2）表示直线AC ，BD 的方程，联立方程组可得1221121211.11Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=--+-而12222kx x k =--+代入化简可得Q x k =-，而1P x k =-，则可得P Q OP OQ x x ⋅= 的结果【详解】（1）由题意，椭圆的方程为2212y x +=易得直线l 不与两坐标轴垂直，故可设l 的方程为()10,1y kx k k =+≠≠±，设()()1122,,,C x y D x y ，由221,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()222210k x kx ++-=，判别式()2Δ810.k =+>由韦达定理得12122221,22k x x x x k k +=-=-++，①故12322CD x x =-=，解得k =即直线l 的方程为1y =+．（2）证明：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，故其方程为()1111y y x x =++，直线BD 的斜率为221BD y k x =-，故其方程为()2211y y x x =--，由()()11221,11,1y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩两式相除得()()()()()()2121121211111111y x kx x x x y x kx x ++++===--+-1221121211kx x kx x kx x kx x +++-+-即1221121211.11Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=--+-由（1）知12222kx x k =--+，故()()()()()()222222222222122111222212111222Q Q k k k kkx x k x x k k k k k k k x k x x k x k k k ---+--++-++++===-+-⎛⎫----+-++ ⎪+++⎝⎭11k k -+解得Q x k =-．易得1,0P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k⋅==-⋅-= ，所以OP OQ ⋅为定值121.已知函数2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=---⎪⎝⎭()R a ∈．（1）若0a ≤，求()f x 在()0,∞+上的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()0,3上存在两个极值点，求a 的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞（2）3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）对函数求导得到()()()3e xf x x ax '=--，再根据导数与函数单调性间的关系即可求出结果；（2）对函数求导得()()()3e xf x x ax '=--，令()e xg x ax =-，将问题转化为()e xg x ax =-在()0,3内有两个交点，再应用导数研究的单调性并确定其区间最值及边界值，进而可得a 的范围.【小问1详解】因为2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，所以()()()()()()()24e e 33e 33e x x x xf x x a x x x ax x x ax '=-+--=---=--，又因为0a ≤，0x >，则e 0x ax ->，所以，当()0,3x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()3,x ∈+∞时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增,所以()f x 在(0,)+∞上的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞．【小问2详解】由（1）知，当0a ≤，函数()f x 在()0,3上单调递减，此时()f x 在()0,3上不存在极值点，不符合题意，所以0a >，设()e xg x ax =-，[0,)x ∈+∞，所以()e xg x a '=-，当01a <≤时，当()0,3x ∈时，()e 0xg x a '=->，所以()g x 在()0,3上单调递增，所以当()0,3x ∈时，()()010g x g >=>，所以当()0,3x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()0,3上单调递减，故()f x 在()0,3上不存在极值点，不符合题意；当1a >时，令()0g x '<，解得0ln x a <<，令()0g x '>，解得ln x a >，所以函数()g x 在()0,ln a 上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增，所以函数()g x 的最小值为()()ln 1ln g a a a =-，若函数()f x 在()0,3上存在两个极值点，则()()()00,ln 0,30,0ln 3,g g a g a ⎧>⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩，即()310,1ln 0,e 30,0ln 3,a a a a >⎧⎪-<⎪⎨->⎪⎪<<⎩解得3e e 3a <<．综上，a 的取值范围为3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知曲线12,C C 的参数方程分别为11:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），222cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．若射线()π06θρ=>与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（异于极点），点()2,0P ，求PAB 的面积．【答案】（1）224x y -=；22(2)4x y -+=（2【解析】【分析】（1）利用消参法与完全平方公式求得1C 的普通方程，利用22cos sin 1θθ+=得到2C 的普通方程；（2）分别求得12,C C 的极坐标方程，联立射线，从而得到A ρ，B ρ，进而利用三角形面积公式即可得解.【小问1详解】因为曲线1C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则22212x t t=++，22212y t t =+-，两式相减，得1C 的普通方程为：224x y -=；曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），所以2C 的普通方程为：()2224x y -+=.【小问2详解】因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 4ρθρθ-=ππ()42k θ≠+，即24cos 2ρθ=，联立2π64cos 2θρθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得A ρ=，所以射线π(0)6θρ=>与曲线1C 交于A π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，而2C 的普通方程()2224x y -+=，可化为224x y x +=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos ρρθ=，即4cos ρθ=，联立π64cos θρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得B ρ=，所以射线π(0)6θρ=>与曲线2C 交于B π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，又点()2,0P ，所以2OP =，则1π||()sin 26POA B PAB POB A S S OP S ρρ=-=⨯⨯-= ．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()(),h x x m g x x n =-=+，其中00m n >>，.（1）若函数()h x 的图像关于直线1x =对称，且()()23f x h x x =+-，求不等式()2f x >的解集.（2）若函数()()()x h x g x ϕ=+的最小值为2，求11m n+的最小值及相应的m 和n 的值.【答案】（1）()2,2,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭；（2）11m n+的最小值为2，相应的m n 1==【解析】【分析】()1先根据对称性求出1m =，对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；()2根据绝对值三角不等式即可求出2m n +=，可得()11111m n m n 2m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式即可求出.【详解】()1函数()h x 的图象关于直线x 1=对称，1m ∴=，()()f x h x 2x 3x 12x 3∴=+-=-+-，①当x 1≤时，()321432x x x x =-+-=->，解得2x 3<，②当31x 2<<时，()f x 32x x 12x 2=-+-=->，此时不等式无解，②当3x 2≥时，()f x 2x 3x 13x 42=-+-=->，解得x 2>，综上所述不等式()f x 2>的解集为()2,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ．()()()()()2x h x g x x m x n x m x n m n m n ϕ=+=-++≥--+=+=+ ，又()()()x h x g x ϕ=+的最小值为2，2m n ∴+=，()111111n m 1m n 222m n 2m n 2m n 2⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当1m n ==时取等号，故11m n+的最小值为2，其相应的1m n ==．【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；。

2023届河南省九师联盟高三上学期12月月考数学(理)试题(解析版)

2023届河南省九师联盟高三上学期12月月考数学（理）试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}39xA x =>，{}24B x x =-≤≤，则()U A B ⋂=（）A ．[)1,0-B ．()0,5C ．[]0,5D ．[]22-,【答案】D【分析】根据指数不等式化简集合A ,进而根据集合的交并补运算即可求解.【详解】{}{}392xA x x x =>=>，故{}U2A x x =≤ ，所以(){}[]U 222,2A B x x ⋂=-≤≤=-.故选:D2．在复平面内，3i1i-+对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C 【分析】先化简3i1i-+，即可判断. 【详解】()()()23i 1i 3i 3i 3i 33i 1i 1i 1i 222----+===--++-，故3i 1i -+对应的点为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限. 故选：C.3．新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车．新能源汽车包括混合动力电动汽车（HEV ）、纯电动汽车（BEV ，包括太阳能汽车）、燃料电池电动汽车（FCEV ）、其他新能源（如超级电容器、飞轮等高效储能器）汽车等．非常规的车用燃料指除汽油、柴油之外的燃料．下表是2021年我国某地区新能源汽车的前5个月销售量与月份的统计表：由上表可知其线性回归方程为ˆˆ0.16y bx =+，则ˆb 的值是（）．A ．0.28 B ．0.32 C ．0.56 D ．0.64【答案】A【分析】先计算x ，y ，再根据样本中心点(),x y 适合方程ˆˆ0.16ybx =+解得ˆb 的值即可. 【详解】由表中数据可得1234535x ++++==，0.50.61 1.4 1.515y ++++==，将()3,1代入ˆˆ0.16ybx =+，即ˆ130.16b =⨯+，解得ˆ0.28b =．故选:A ．4．已知πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 1tan αα-的值为（）A ．34-B ．34C ．32-D ．32【答案】A【分析】根据正弦的和差角公式可得1sin cos 2αα-=，平方可得3sin cos 8αα=，进而化切为弦即可求解.【详解】由πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭)sin cos αα-1sin cos 2αα-=，所以()21sin cos 12sin co 4s αααα-=-=，则3sin cos 8αα=，故3sin sin cos 3811tan cos sin 42αααααα===----. 故选：A.5．已知平面向量a ，b 满足3a =3b =，()a b b -⊥，则sin ,a b =（） A ．13B ．23CD【答案】D【分析】由()a b b -⊥，可得()0a b b -⋅=化简结合已知条件和数量积公式可求出cos ,a b ，再利用同角三角函数的关系求出sin ,a b 的值【详解】由于()a b b -⊥，所以()22cos ,0a b b a b b a b a b b -⋅=⋅-=⋅⋅-=，21cos ,03ba b a b==>⋅，所以,0,2πa b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2122sin ,133a b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故选：D6．执行如图所示的程序框图，若输出的S 是56，则输入的()*n n N ∈是（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【分析】模拟程序运行，得出程序的功能是求和()101231i ++++++-，结合条件从而可得出答案.【详解】模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出：()101231S i =++++++-根据题意可得()10123156S i =++++++-=即()()11231552i i i ⨯-++++-== 解得：11=i所以当11112i =+=时，则中止循环，故12n = 故选：C7．()252y x x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，33x y 的系数是（）A ．5B ．15C ．20D ．25【答案】B【分析】根据题意得到()52x x y +与()25y x y x+的展开式通项，列出方程即可得到结果.【详解】因为()()()2255522y y x x y x x y x y x x ⎛⎫-+=+-+ ⎪⎝⎭，()52x x y +的展开式通项为561552C 2C kkk kk k k T x xy x y --+=⋅⋅=⋅⋅，()25y x y x+的展开式通项为2542155C C r r r rr r r y S x y x y x --++=⋅⋅=⋅⋅，由6343k r -=⎧⎨-=⎩可得31k r =⎧⎨=⎩因此()252y x x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，33x y 的系数为31552C C 15-=.故选:B.8．已知函数()()22cos10,2xf x x x ωωω=->∈R ，若()f x 在区间()π,2π内没有零点，则ω的最大值是（）． A ．16B ．34C ．1112 D ．53【答案】C【分析】利用三角恒等变换化简()f x ，结合正弦函数零点性质，即可求解．【详解】()2π2cos1cos 2sin 26xf x x x x x ωωωωω⎛⎫=+-+=+ ⎪⎝⎭，令()0f x =，()ππ6x k k ω+=∈Z ，()ππ6k x k ωω=-∈Z ．又函数()f x 在区间()π,2π内没有零点，所以6(1)26k k πππωωπππωω⎧-≤⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩，解得()1116212k k k ω+-≤≤-∈Z ，0ω>，所以0k =，5012ω<≤，1k =，511612ω≤≤，所以ω的最大值是1112．故选：C ．9．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，且PA ⊥平面ABCD ，||3||PA AB =，则直线PB 与直线AC 所成角的余弦值是( ) A ．110BC ．15D【答案】D【分析】连接BD 交AC 于O ，取PD 的中点E ，连接OE ，AE ．运用中位线定理，可得AOE ∠即为直线PB 与直线AC 所成角．运用线面垂直的性质和勾股定理，解△AOE ，即可得到所求值．【详解】连接BD ，与AC 交于O 点，取PD 的中点E ，连接OE ，AE ．由中位线定理，可得OE PB ∥，且1||||2OE PB =，即有AOE ∠即为直线PB 与直线AC 所成角．由PA ⊥平面ABCD ，设||3||3PA AB a ==，可得直角△PAB 中，|10|PB a =，|10|OE =，在直角△PAD 中，11||||02AE PD =， ∴AOE △为等腰三角形，在正方形ABCD 中，12||||2AO AC ==，可得12522cos 11|20|||AO OE AOE a ∠=．故选：D ．10．已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>与曲线:E y x =A ，其横坐标为4，记C 的平行于OA 的切线为1,l E 的平行于OA 的切线为2l ，则下列判断错误的是（） A ．4p =B ．OA 的方程为20x y -=C ．1l 的方程为210x y --=D ．2l 的方程为210x y --=【答案】D【分析】选项A ：利用点A 的坐标计算出p 即可；选项B ：利用,O A 两点坐标计算出OA 的方程即可；选项C ：设出1l 的方程，利用1l 与C 相切，然后求出直线方程即可；选项D ：设出2l 的方程，利用2l 与E 相切，然后求出直线方程即可.【详解】选项A ：因为点A 的横坐标为4x =，点A 在曲线:E y x =所以()4,2A ，又因为点A 在抛物线()2:20C x py p =>上，所以2422p =⨯，解得4p =，故A 正确；选项B ：因为()4,2A ，()0,0O ，所以得OA 的方程为20x y -=，故B 选项正确；选项C ：由选项A 可知C 的方程为28x y =，设11:2l y x m =+，联立2812x yy x m ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得2480x x m --=，因为1l 与C 相切，所以()()24480m ∆=--⨯-=，解得12m =-，所以111:22l y x =-，即1l 的方程为210x y --=，故C 选项正确；设21:2l y x n =+，联立12y y x n⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得()224140x n x n +-+=，因为2l 与E 相切，所以()()22161440n n ∆=--⨯=，解得12n =，所以211:22l y x =+，即2l 的方程为210x y -+=，故D 错误；故选：D .11．已知点(),P m n是函数2y =3515m n ++的最小值是（） A．22B．22C1- D1 【答案】A【分析】函数式化简后知函数图象是半圆（下半圆），所求最小值表达式变形后可能通过半圆上的点到直线35150x y ++=的距离来表示，从而由圆心到直线的距离可得出最小值．【详解】式子2y =22(1)(2)1x y ++-=，又2y ≤，因此函数2y =22(1)(2)1x y ++-=在2y =下方的半圆，如图，作出直线35150x y ++=，平移该直线，由图可知它能与下半圆相切，(,)P m n 到直线35150x y ++=的距离．圆心为(1,2)C -，半径为1，d =，因此P 到直线35150x y ++=1，所以3515m n ++的最小值是1)22= 故选：A ．12．若22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a ，则（） A ．2a b > B ．2a b <C ．|||2|>a bD ．|||2|<a b【答案】C【分析】构造函数2()sin f x x x x =+，利用导数判断单调性，结合奇偶性单调性来比较大小. 【详解】令2()sin f x x x x =+，∵22()sin()()sin ()-=--+-=+=f x x x x x x x f x ，∴()f x 是偶函数， ∵()sin cos 2(cos 1)(sin )=++=+++'f x x x x x x x x x ，令()sin g x x x =+，则()cos 10='+≥g x x ，∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0x ≥时，()(0)0g x g ≥=，此时()0f x '>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增.由22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a 可得22sin 2sin 2(2)1+=++a a a b b b ，即()(2)1=+f a f b ，∴()(2)>f a f b ，∵()f x 是偶函数，则(||)(|2|)>f a f b ，∴|||2|>a b . 故选：C.【点睛】本题求解的关键是把等量关系转化为不等关系，通过构造函数，研究函数的性质来求解，一次导数解决不了问题时，考虑二次导数.二、填空题13．已知函数()2e 8xf x a x x =+-的图象在点()()0,0f 处的切线斜率为5-，则=a ______.【答案】3【分析】求出()0f '，根据()05f '=-即可求解.【详解】由已知得()e 28xf x a x '=+-，因为()085f a '=-=-，所以3a =. 故答案为：3.14．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若()2cos cos sin a C c A B +，则cos B =______.【答案】12##0.5【分析】由正弦定理结合诱导公式得到22sin B B =，因为π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而求出sin B =用同角三角函数关系求出答案.【详解】()2cos cos sin a C c A B +=，由正弦定理得：()2sin cos sin cos sin A C C A B B +，即()2sin sin A C B B +，其中()()sin sin πsin A C B B +=-=，故22sin B B = 因为π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0B ≠，故sin B =1cos 2B ==.故答案为：12.15．在三棱锥-P ABC 中，PA BC ==，PB AC ==5AB PC ==，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积是______．【答案】29π【分析】由题意，PA BC ==PB AC ==5PC AB ==，将三棱锥-P ABC 放到长方体中，可得长方体的三条面对角线分别为5，求出长方体的棱长，长方体的外接球就是三棱锥的外接球．【详解】由题意，PA BC ==PB AC ==5PC AB ==，将三棱锥-P ABC 放到长方体中，可得长方体的三条面对角线分别为5，设长方体的长宽高分别为a ,b ,c ,=5=，解得：4a =，2b =，3c =．长方体的体对角线即为三棱锥和长方体公共外接球的直径2R ，∴222222(2)4294π29πR a b c R S R ⇒⇒球＝＋＋＝＝＝﹒故答案为：29π．16．已知椭圆和双曲线有相同的焦点1F ，2F ，它们的离心率分别为1e ，2e ，点P 为它们的一个交点，且1223F PF π∠=，则2212e e +的取值范围是______. 【答案】()2,+∞【分析】根据椭圆与双曲线的定义求出12,PF PF 用12,a a 表示，在12F PF △中，根据余弦定理可得22212121222cos3F F PF PF PF PF π=+-⋅⋅找到12,,a a c 的关系，然后整理成离心率解决. 【详解】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距2c ，点P 为椭圆与双曲线在第一象限的交点，则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，解得112=+PF a a ，212=-PF a a ，如图：在12F PF △中，根据余弦定理可得22212121222cos3F F PF PF PF PF π=+-⋅⋅，整理得2221243c a a =+，即2212314e e +=，设211t e =，222t e =，则有1201t t <<<，12314t t +=，所以121143134t t t t -=-=，即有121143t t t =>-，所以1314t <<，所以2221111212111424343t t t e e t t t t t -+=+=+=--，设143u t =-，则134u t +=，且01u <<，所以222124313144u u e e u u u ++⎛⎫+==++ ⎪⎝⎭，因为3y x x=+在()0,1上单调递减，所以34u u+>，所以22122e e >+.故答案为：()2,+∞三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，()123*n n a S n N +=+∈． (1)求{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．【答案】(1)3nn a ＝；(2)见解析﹒【分析】(1)利用公式法(n a 与n S 关系)即可求的{}n a 的通项公式； (2)分析{}n b 的通项公式可知其前n 项和可以用错位相减法求得﹒ 【详解】（1）∵123n n a S +=+ ∴当n ≥2时，123n n a S -＝＋ ∴11222n n n n n a a S S a ---＋＝＝ ∴13n n a a ＋＝∴{}n a 为从第二项开始的等比数列，公比为q ＝3，又13a ＝，∴21239a S ＝＋＝，∴3nn a ＝(n ≥2)，n ＝1时13a ＝也满足上式，∴*3(n n a n N ∈＝)；（2）∵33log log 333n n n n n n a nb a ＝＝＝， ∴231233333n n nT ＝＋＋＋＋ ①∴234111231333333n n n n n T -＋＝＋＋＋＋＋ ② ①－②得，23121111333333n n n n T -＋＝＋＋＋＋ 111123313313n n n n T ⎛⎫- ⎪⎝⎭--＋＝ ∴3134342n n n T ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝＋ ∵*n N ∈，∴130342n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＞，∴34n T ＜． 18．某大型工厂有6台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为12.已知1名工人每月只有维修2台机器的能力（若有2台机器同时出现故障，工厂只有1名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损2万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1万元的工资.（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时，有工人进行维修（例如：3台大型机器出现故障，则至少需要2名维修工人），则称工厂能正常运行.若该厂只有1名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有2名维修工人.（ⅰ）记该厂每月获利为X 万元，求X 的分布列与数学期望；（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？【答案】（1）1132；（2）（ⅰ）见解析；（ⅱ）是. 【分析】（1）由该工厂只有1名维修工人，所以要使工厂能正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障．利用二项分布计算公式即可得出．（2）X 的可能取值为34，46，58．利用二项分布列的计算公式即可得出概率分布列．【详解】（1）因为该厂只有1名维修工人，所以要使工厂正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障，故该工厂能正常运行的概率为6524126611111111112222232C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯⨯-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）（ⅰ）X 的可能取值为34，46，58，()61134264P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()5561134612232P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()1357581643264P X ==--=，则X 的分布列为故13571133446586432642EX =⨯+⨯+⨯=. （ⅱ）若该厂有3名维修工人，则该厂获利的数学期望为610357⨯-=万元.因为113572<，所以该厂应再招聘1名维修工人. 【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，AB AC ⊥，D ，E 分别为11,AA B C 的中点.(1)求证：//DE 平面ABC ；(2)若DE BC ⊥，二面角A BD C --的大小为3π，求直线1B C 与平面BCD 所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析(2)6π【分析】(1)取BC 的中点M ，连结AM EM ，，根据平行四边形的判断定理和性质可得∥DE AM ，利用线面平行的判定定理即可证明；(2)建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设1(0)AB AC b b ==>，，12(0)AA c c =>，根据空间垂直向量的坐标表示求出b ，利用向量法求出平面BCD 、平面ABD 的法向量，结合向量的数量积求出二面角，进而求得c ，再利用向量法即可求出直线1B C 与平面BCD 所成角.【详解】（1）取BC 的中点M ，连结AM EM ，，则1∥DA BB ，且1112DA BB EM BB =，//，且112EM BB =. 所以∥DA EM ，且DA EM =，所以四边形AMED 为平行四边形，所以∥DE AM .又AM ⊂平面ABC DE ⊄，平面ABC ，所以//DE 平面ABC .（2）以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设11(0)2(0)AB AC b b AA c c ==>=>，，，则11(1,0,0)(0,,0)(0,0,)(1,0,2),,22b B C b D c B c E c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，所以1,,0(1,,0)22b DE BC b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，. 因为DE BC ⊥，所以0DE BC ⋅=，所以1b =.又(1,1,0)(1,0,)BC BD c =-=-，，设平面BCD 的一个法向量(,,)n x y z =，则00n BC n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以00x y x cz -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则11y z c ==，，所以11,1,n c ⎛⎫= ⎪⎝⎭；又平面ABD 的一个法向量(0,1,0)=AC ，所以cos 3||||⋅=n AC n AC π，即12=c =(1,1,2)n =.又1(1,1,=-BC ，所以1111cos ,211||n B C n B C n B C ⋅〈===+〉，所以直线1B C 与平面BCD所成角为6π. 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为1212,,4A A A A =，且过点⎭． (1)求C 的方程；(2)若直线:(4)(0)l y k x k =-≠与C 交于M ，N 两点，直线1A M 与2A N 相交于点G ，证明：点G 在定直线上，并求出此定直线的方程．【答案】(1)22143x y +=； (2)证明见解析，1x =.【分析】（1）由椭圆的长轴长及所过的点列方程组求参数，即可得椭圆方程.（2）设()()1122,,,M x y N x y 则111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N y l y x x =--，联立直线l 与椭圆方程，由判别式、韦达定理求k 的范围及12x x +、12x x 关于k 的表达式，再联立直线1A M 与2A N 求交点坐标，即可证结论并确定直线方程.【详解】（1）因为124A A =，所以24a =，解得2a =．因为C过点⎭221b ⎝⎭=，解得b = 所以C 的方程为22143x y +=．（2）由题意，设()()1122,,,M x y N x y ，则111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N y l y x x =--．由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2222343264120k x k x k +-+-=，则()()()2222Δ3243464120k k k =--+->，解得1122k -<<且0k ≠，21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+．由()()11222222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩得：()()()()()()()()21211221212112212224224222424222y y k x x k x x x x x y y k x x k x x x x +-++---+===-+-----+()()221221212112122211211264123222422426234341323838438434k k x x x x x x x x x x k k k x x x x x x k -⨯-⨯--+---++===--+--⨯--+，所以点G 在定直线1x =上．21．已知函数1()ln =+f x a x x，其中R a ∈． (1)若函数()f x 的最小值为2a ，求a 的值；(2)若存在120x x <<，且122x x +=，使得()()12f x f x =，求a 的取值范围．【答案】(1)1(2)()1,+∞【分析】（1）根据题意，分0a ≤和0a >两种情况讨论求解即可；（2）由题知212121ln 022x x x a x x x +-=，进而令21x t x =，1t >，1()ln 22t t a t t ϕ=+-，将问题转化为函数()t ϕ在区间()1,+∞上有零点，再讨论1a ≤时，函数()t ϕ在区间()1,+∞无零点，进而进一步转化为，当1a >时则()0t ϕ'=有两不等正实根1t 和2t ，且函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点问题，再根据导数研究函数的零点即可.【详解】（1）解：函数定义域为{}0x x >，2211()a ax f x x x x-'=-=．若0a ≤，则()0f x '<，函数()f x 为减函数，无最小值．若0a >，由()0f x '=得1x a=．所以，x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 的最小值即极小值为11ln f a a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以，21ln a a a a+=，即ln 1a a +=．设()ln g a a a =+，则()110g a a '=+>，所以，()g a 为()0,∞+上的增函数，又因为()11g =．所以，1a =．（2）解：由()()12f x f x =，得121211ln ln a x a x x x +=+，即212111ln 0x a x x x +-=，将122x x +=代入，有：21212121ln022x x x x x a x x x +++-=，得212121ln 022x x x a x x x +-=．令21x t x =，1t >，1()ln 22t t a t t ϕ=+-，所以，将问题转化为函数()t ϕ在区间()1,+∞上有零点．所以，2221121()222a t at t t t tϕ-+-'=--=．其中()11a ϕ'=-．因为函数221y t at =-+-的对称轴方程为t a =．所以，当1a ≤，则()0t ϕ'<恒成立，得()t ϕ在区间()1,+∞为减函数，又()10ϕ=，所以()0t ϕ<，函数()t ϕ在区间()1,+∞无零点．当1a >，则()0t ϕ'=有两不等正实根1t 和2t ，设12t t <，有121t t =，且1201t t <<<．所以，t ，()t ϕ'，()t ϕ的变化如表：又()10ϕ=，得()2(1)0t ϕϕ>=．下面证明函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点．考虑到1()ln 22t t a t t ϕ=+-中含参数a ，取2(1)a t a =>e ．则()222222211ln 22222a aa a a a a a ϕ=+-=+-e e e e e e ，当1a >时，22111222a <<e e ，则()2221222aa a ϕ<+-e e ．令221()222a m a a =+-e ，则()24a m a a '=-e ，令()24a h a a =-e ，当1a >时，有22()42420a h a '=-<-<e e ，所以，函数()h a 在1a >时为减函数，由()2140m '=-<e ，知()0m a '<恒成立．所以，()221e 222am a a =+-为()1,+∞上的减函数．所以()2222155()(1)2022222am a m ϕ-<<=+-=-=<e e e e ．又()20t ϕ>，于是()()220a t ϕϕ<e ，所以，函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点．综上，实数a 的取值范围是()1,+∞．【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于根据题意，利用换元方法，将问题转化为证明函数1()ln 22t t a t t ϕ=+-在区间()1,+∞上有零点，进而先排除当1a ≤函数()t ϕ在区间()1,+∞无零点，进一步将问题转化为函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,42sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.(1)把1C 的参数方程化为极坐标方程：(2)求1C 与2C 交点的极坐标()0,02ρθπ≥≤<.【答案】（1）24cos 8sin 160p p p θθ--+=；（2）1C 与2C 交点的极坐标为4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，和4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）先把曲线1C 化成直角坐标方程，再化简成极坐标方程；（2）联立曲线1C 和曲线2C 的方程解得即可.【详解】(1)曲线1C 的直角坐标方程为：()()22244x y -+-=，即2248160x y x y +--+= . 1C ∴的参数方程化为极坐标方程为24cos 8sin 160p p p θθ--+=； (2)联立2481604p pcos psin p sin θθθ⎧--+=⎨=⎩可得：424p p ππθθ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩或，1C 与2C 交点的极坐标为4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，和4π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的互化，也考查了极坐标方程的联立，属于基础题.23．已知()()f x x a a R =+∈．（1）若()21f x x ≥-的解集为[]0,2，求a 的值；（2）若对任意x R ∈，不等式()32f x x a a +-≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1a =；（2）(]-2∞，【分析】（1）利用两边平方法解含有绝对值的不等式，再根据根与系数的关系求出a 的值；（2）利用绝对值不等式求出()f x x a +-的最小值，把不等式()32f x x a a +-≥-化为只含有a 的不等式，求出不等式解集即可．【详解】（1）不等式()21f x x ≥-，即21x a x +≥-两边平方整理得()2232410x a x a -++-≤由题意知0和2是方程()2232410x a x a -++-=的两个实数根即2240231023a a +⎧+=⎪⎪⎨-⎪⨯=⎪⎩，解得1a =（2）因为()()()2f x x a x a x a x a x a a +-=++-≥+--=所以要使不等式()32f x x a a +-≥-恒成立，只需232a a ≥-当0a ≥时，232a a ≥-，解得2a ≤，即02a ≤≤；当a<0时，232a a -≥-，解得25a ≤，即a<0；综上所述，a 的取值范围是(],2∞-【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．。

天津市第一中学2024届高三第四次月考数学试卷(含答案与解析)_3252

天津一中2024届高三年级第四次月考试卷数学本试卷总分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合{}{}2|3100,33A x x x B x x =--<=-≤≤，则A B = （）A (2,3]-B. [)3,5-C. {1,0,1,2,3}-D. {3,2,1,0,1,2,3,4}---2. 将收集到的天津一中2021年高考数学成绩绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列说法中不正确的是（）A. 0.028a =B. 高三年级取得130分以上的学生约占总数的65%C. 高三年级的平均分约为133.2D. 高三年级成绩的中位数约为1253. 已知0a >，条件:p a b >，条件2:q a ab >，则p 是q 的（） A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件..4. 函数()21cos 31xf x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭的图象大致为（） A. B.C. D.5. 已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，设12e a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1ln 2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A. a b c <<B. b<c<aC. c<a<bD. b a c <<6. 多项式()52(71)52x x++展开式中2x 的系数为（）A. 985B. 750C. 940D. 6807. 已知斜三棱柱111ABC A B C -中，O 为四边形11ACC A 对角线的交点，设三棱柱111ABC A B C -的体积为1V ，四棱锥11O BCC B -的体积为2V ，则21:V V =（）A. 1:3B. 1:4C. 1:6D. 2:38. 已知函数()sin cos f x a x b x =+（,a b 为常数，且0,0a b >>）一个最大值点为π3x =，则关于函数()sin 2cos 2g x a x b x =+的性质，下列说法错误的有（）个 ①()g x 的最小正周期为π；②()g x 的一个最大值点为π6；③()g x 在2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；④()g x的图像的关于7π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称． A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个9. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为1(,0)F c -，过1F 作渐近线的垂线，垂足为P ，且与抛物线212y cx =交于点M ，若13PM F P =，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知,R a b ∈，且满足(12i)(i)3i a b ++=-（其中i 为虚数单位），则22a b +=_________． 11. 著名的“全错位排列”问题（也称“装错信封问题”是指“将n 个不同的元素重新排成一行，每个元素都不在自己原来的位置上，求不同的排法总数．”，若将n 个不同元素全错位排列的总数记为n a ，则数列{}n a 满足120,1a a ==，()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥．已知有7名同学坐成一排，现让他们重新坐，恰有两位同学坐到自己原来的位置，则不同的坐法有_________种12. 已知2()ln f x x x =-在1x =处的切线与圆22:()4C x a y -+=相切，则=a _________． 13. 元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占20%，传统灯谜占50%，一中文化占30%，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化概率分别为0.2，0.6，0.7，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为______，若小伟同学运用“超能力”，抽到的5道题都是逻辑推理题，则这5道题目中答对题目个数X 的数学期望为______.14. 在ABC 中，设，,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，其夹角设为θ，平面上点,D E 满足2AD AB = ，3AE AC =，,BE DC 交于点O ，则AO 用,a b表示为_________．若65AO DE DC BE ⋅=⋅ ，则cos θ的最小值为_________．15. 设函数22()21f x x ax ax =-++，若函数()y f x =与直线y ax =有两个不同的公共点，则a 的取值范围是______.三、解答题（本大发共5小题，共75分）16. 已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sincos sin 22C CB =，2223a c b -=．的（1）求πsin 3B ⎛⎫+⎪⎝⎭；（2）若1b =，求ABC 的面积．17. 已知四棱台1111ABCD A B C D -，下底面ABCD 为正方形，2AB =，111A B =，侧棱1AA ⊥平面ABCD ，且12,AA E =为CD 中点．（1）求证：1//A E 平面11BCC B ；（2）求平面11ABC D 与平面11BCC B 所成角的余弦值；（3）求E 到平面11ABC D 的距离．18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右顶点为A ，B ，上顶点与两焦点构成等边三角形，右焦点(1,0)F（1）求椭圆的标准方程；（2）过A 作斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆交于点M ，过F 作l 的平行线与椭圆交于P ，Q 两点，与线段BM 交于点N ，若2AMN BPQ S S =△△，求k ．19. 已知数列{}n a 满足对任意的*N n ∈，均有212n n n a a a ++=，且12a =，24a =，数列{}n b 为等差数列，且满足11b =，2105b b a +=．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设集合{}*1N n n k n A k a b a +=∈<≤，记n c 为集合n A 中的元素个数． ①设()2n n n p b c =+，求{}n p 的前2n 项和2n P ；②求证：*N n ∀∈，122121111176n n c c c c -++++< ． 20 已知函数2()24ln f x x ax x =-+．（1）讨论()f x 的单调区间；（2）已知[4,6]a ∈，设()f x 的两个极值点为()1212,λλλλ<，且存在b ∈R ，使得()y f x =的图象与y b =有三个公共点()123123,,x x x x x x <<；①求证：1212x x λ+>；②求证：31x x -<．参考答案一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合{}{}2|3100,33A x x x B x x =--<=-≤≤，则A B = （）A. (2,3]-B. [)3,5-C. {1,0,1,2,3}-D. {3,2,1,0,1,2,3,4}---【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得集合{}1,0,1,2,3,4A =-，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由不等式23100x x --<，解得25x -<<，所以{}1,0,1,2,3,4A =-，又由{}33B x x =-≤≤，所以{}1,0,1,2,3A B ⋂=-. 故选：C.2. 将收集到的天津一中2021年高考数学成绩绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列说法中不正确的是（）.A. 0.028a =B. 高三年级取得130分以上的学生约占总数的65%C. 高三年级的平均分约为133.2D. 高三年级成绩的中位数约为125 【答案】D 【解析】【分析】对于A ，由各个矩形面积之和为1即可列式求解；对于B ，求最右边两个矩形面积之和即可验算；对于C ，D 分别由平均数计算公式、中位数计算方法即可判断.【详解】对于A ，()1100.0010.0090.0250.037100.028a =-⨯+++÷=⎡⎤⎣⎦，故A 正确；对于B ，高三年级取得130分以上的学生约占总数的()0.0280.03710100%65%+⨯⨯=，故B 正确；对于C ，高三年级的平均分约为()1050.0011150.0091250.0251450.0281350.03710133.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，故C 正确；对于D ，设高三年级成绩的中位数为x ，由于0.010.090.250.350.500.350.370.72++=<<+=，所以130140x <<，故D 不正确. 故选；D.3. 已知0a >，条件:p a b >，条件2:q a ab >，则p 是q 的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合绝对值的性质，根据不等式的性质及充分条件、必要条件的定义分析判断即可..【详解】因为0a >，所以由a b >得2a ab ab >≥，故由:p a b >能推出2:q a ab >；反之，当10,2a b =>=-时，满足212a ab =>=-，但是122a =<-=；所以p 是q 的充分不必要条件. 故选：A .4. 函数()21cos 31xf x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数奇偶性即可排除CD ，由特殊点的函数值即可排除A. 【详解】2()(1)cos 31x f x x =-⋅+，则()f x 的定义域为R ，又()()()22321cos 1cos 1cos 313131x x x xf x x x x f x -⎛⎫⨯⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=-⋅=-+⋅=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD ，当πx =时，()ππ22π1cos π103131f ⎛⎫-=< ⎪++⎝⎭=-+，故排除A . 故选：B.5. 已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，设12e a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1ln 2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A. a b c <<B. b<c<aC. c<a<bD. b a c <<【答案】B【解析】【分析】结合偶函数的性质，函数单调性，只需比较对数、分数指数幂的大小即可得解. 【详解】因为函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()()1211ln 2ln 1e 22b f f f c f ff a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<==<<== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即b<c<a .故选：B. 6. 多项式()52(71)52x x++展开式中2x 的系数为（）A. 985B. 750C. 940D. 680【答案】A 【解析】分析】由二项式定理即可列式运算，进而即可得解. 【详解】多项式()52(71)52x x++展开式中2x 的系数为32350555C 712C 7159805985⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=.故选：A.7. 已知斜三棱柱111ABC A B C -中，O 为四边形11ACC A 对角线的交点，设三棱柱111ABC A B C -的体积为1V ，四棱锥11O BCC B -的体积为2V ，则21:V V =（）A. 1:3B. 1:4C. 1:6D. 2:3【答案】A 【解析】【分析】如图，延长1OA ，连接11,,OB OB A B ，则111123A BCC B V -=、11122A BCC B V V -=，进而得12223V V =，即可求解.【详解】如图，延长1OA ，连接11,,OB OB A B ，【则11111111,3A ABC A BCCB A ABC V V V V V ---=+=，所以111123A BCCB V -=，又O 为1AC 的中点，所以点1A 到平面11BCC B 的距离是点O 到平面11BCC B 的距离的2倍，则11111222A BCC B O BCC B V V V --==，所以12223V V =，即2113V V = 故选：A8. 已知函数()sin cos f x a x b x =+（,a b 为常数，且0,0a b >>）的一个最大值点为π3x =，则关于函数()sin 2cos 2g x a x b x =+的性质，下列说法错误的有（）个 ①()g x 的最小正周期为π；②()g x 的一个最大值点为π6；③()g x 在2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；④()g x 的图像关于7π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称． A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的性质，求,a b 的关系，再根据辅助角公式化简函数()g x ，再利用代入的方法，判断函数的性质.【详解】函数()sin cos f x a x b x =+，12b +=，平方后整理为()20a =，所以a ，.π()sin2cos22sin26g x x b x b x⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，0b>函数()g x的最小正周期为2ππ2=，故①正确；当π6x=时，πππ2662⨯+=，此时函数()g x取得最大值，故②正确；当2π,π3x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π3π13π2,626x⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，位于单调递增区间，故③正确；77ππ4π2sin22sin0121263g b bπ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④错误，所以错误的只有1个.故选：B9. 已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点为1(,0)F c-，过1F作渐近线的垂线，垂足为P，且与抛物线212y cx=交于点M，若13PM F P=，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先利用等面积法求出P点坐标，再根据13PM F P=，求出M坐标，再将M坐标带入抛物线212y cx=化简即可求解出双曲线离心率.【详解】据题意，不妨取双曲线的渐近线方程为by xa=-，此时1F P b=，1OF c=，∴OP a=，且1OPF是直角三角形，设(,)p pP x y，则11122OPF pS ab cy==，pabyc∴=，代入by xa=-中，得2paxc=-，即2(,a abPc c-；设(,)M x y,则2,a abPM x yc c⎛⎫=+-⎪⎝⎭，221,,a ab b abF P cc c c c⎛⎫⎛⎫=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由13PM F P=，则223a bxc c+=⋅，3ab abyc c-=⋅，∴2234,b a ab x y c c -==，则2234(,)b a ab M c c -；又M 在抛物线212y cx =上，22243()12ab b a cc c-∴=，即()()()2222222222221612316123a b b aca c a c a a c ⎡⎤=-⇔-=--⎣⎦，化简得422491640c a c a -+=，分子分母同时除以4a ，4291640e e ∴-+=，且1e >，2e ∴===，e ∴=. 故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知,R a b ∈，且满足(12i)(i)3i a b ++=-（其中i 为虚数单位），则22a b +=_________．【答案】2 【解析】【分析】根据复数相等得到关于,a b 的方程组，解该方程组即可.【详解】由题意(12i)(i)3i a b ++=-，可得(2)(2)i 3i a b a b -++=-，所以2321a b a b -=⎧⎨+=-⎩，解得1575a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以222a b +=.故答案为：211. 著名的“全错位排列”问题（也称“装错信封问题”是指“将n 个不同的元素重新排成一行，每个元素都不在自己原来的位置上，求不同的排法总数．”，若将n 个不同元素全错位排列的总数记为n a ，则数列{}n a 满足120,1a a ==，()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥．已知有7名同学坐成一排，现让他们重新坐，恰有两位同学坐到自己原来的位置，则不同的坐法有_________种【答案】924 【解析】【分析】根据数列递推公式求出项，再结合分步计数原理求解.【详解】第一步，先选出两位同学位置不变，则有2776C 2121⨯==⨯种，第二步，剩下5名同学都不在原位，则有5a 种，由数列{}n a 满足120,1a a ==，()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥，则()()321312a a a =-+=，()()432419a a a =-+=，()()5435144a a a =-+=，则不同的做法有2144924⨯=种. 故答案为：924.12. 已知2()ln f x x x =-在1x =处的切线与圆22:()4C x a y -+=相切，则=a _________．【答案】或- 【解析】【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程0x y -=，再由直线与圆相切，列出方程，即可求解. 【详解】由函数2()ln f x x x =-，可得1()2f x x x=-'，则(1)1f '=且(1)1f =，所以函数()f x 在1x =处的切线方程为11y x -=-，即0x y -=，又由圆22:()4C x a y -+=，可得圆心(,0)C a ，半径为2r =，因为0x y -=与圆C 2，解得a =±.故答案为：±.13. 元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占20%，传统灯谜占50%，一中文化占30%，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为0.2，0.6，0.7，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为______，若小伟同学运用“超能力”，抽到的5道题都是逻辑推理题，则这5道题目中答对题目个数X 的数学期望为______. 【答案】 ①. 0.55##1120②. 1 【解析】【分析】根据全概率公式求解概率，根据二项分布列的期望公式求解即可. 【详解】设事件A =“小伟同学任意抽取一道题目作答，答对题目”，则()0.20.20.50.60.30.70.55P A =⨯+⨯+⨯=.由题意小伟同学任意抽取一道逻辑推理题作答，则答对题目的概率为0.2，根据二项式分布知()5,0.2X B ~，所以()50.21E X =⨯=，即X 的数学期望为1. 故答案为：0.55，114. 在ABC 中，设，,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，其夹角设为θ，平面上点,D E 满足2AD AB = ，3AE AC =，,BE DC 交于点O ，则AO 用,a b表示为_________．若65AO DE DC BE ⋅=⋅ ，则cos θ的最小值为_________．【答案】 ①. 4355AO a b =+ ②.【解析】【分析】由,,D O C 和,,B O E 三点共线，得到2(1)AO ta t b =+- 和()33AO ua u b =+-，得出方程组2133t ut u =⎧⎨-=-⎩，求得,t u 的值，得到4355AO a b =+ ，再由65AO DE DC BE ⋅=⋅ ，化简得到2248209a b a b ⋅=+ ，得出22209cos 48a b a bθ+=，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为,,D O C 三点共线，则存在实数t 使得(1)2(1)AO t AD t AC ta t b =+-=+- ，又因为,,B O E 三点共线，则存在实数u 使得()()133AO u AB u AE ua u b =+-=+-，可得2133t u t u =⎧⎨-=-⎩，解得24,55t u ==，所以4355AO a b =+ ，由32,2,3DE AE AD b a DC AC AD b a BE AE AB b a =-=-=-=-=-=- ，因为65AO DE DC BE ⋅=⋅ ，可得436()(32)(2)(3)555a b b a b a b a +⋅-=-⋅-，整理得2248209a b a b ⋅=+ ，可得2248cos 209a b a b θ=+ ，所以22209cos 48a b a bθ+=又因为22209a b +≥所以22209cos 48a b a b θ+=≥ ，当且仅当22209a b =时，即3b 时，等号成立，所以cos θ.故答案为：4355AO a b =+15. 设函数22()21f x x ax ax =-++，若函数()y f x =与直线y ax =有两个不同的公共点，则a 的取值范围是______.【答案】2a <-或21a -<<-或2a > 【解析】【分析】对于221y x ax =-+，当0∆≤可直接去绝对值求解，当0∆>时，分a <-和a >论，通过221y x ax =-+和()1y ax x =-图像交点情况来求解.详解】由已知22()21f x x ax ax ax =-++=，即()2211x ax ax x -+=-，则()1y ax x =-必过点()()0,0,1,0，221y x ax =-+必过()0,1，对于221y x ax =-+，当280a ∆=-≤时，a -≤≤，此时2210x ax -+≥恒成立，所以()222()2121f x x ax ax a x ax =-++=+-+，令()221a x ax ax +-+=，即()22210a x ax +-+=，要有两个不同的公共点，【则()21Δ442020a a a ⎧=-+>⎨+≠⎩，解得2a -≤<-或21a -<<-或2a <≤，当280a ∆=->时，a <-或a >当a <-时，221y x ax =-+和()1y ax x =-图象如下：此时夹在其两零点之间的部分为221y x ax =-+-，令2221x ax ax ax -+-=-+，得()221a x -=无解，则()2211x ax ax x -+=-有两个根()2211x ax ax x ⇔-+=-有两个根，即()22210a x ax +-+=有两个解，()2Δ4420a a =-+>，a <-符合要求；当a >221y x ax =-+和()1y ax x =-图象如下：或令2210x ax -+=，根据韦达定理可得其两根均为正数，对于①，则011⎧<<⎪⎪>，解得3a >，对于②，则011⎧<<⎪⎪<，解得3a <<，综上所述，a 的取值范围是2a <-或21a -<<-或2a >.【点睛】方法点睛：对于方程的根或者函数零点问题，可以转化为函数图象的交点个数问题，图象直观方便，对解题可以带来很大的方便.三、解答题（本大发共5小题，共75分）16. 已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos sin 22C CB =，2223a c b -=．（1）求πsin 3B ⎛⎫+⎪⎝⎭；（2）若1b =，求ABC 的面积．【答案】（1（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理求,,a b c 关系，再利用余弦定理求出cos B ，再利用两角和的正弦定理计算即可；（2）利用三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】因为sincos sin 22C CB =，所以sin 2sinC B =，由正弦定理得2c b =，所以2222223347b a b c b b +=+==，即=a ，所以222cos 2a c b B ac +-===，在ABC中，sin B ==，所以π11sin sin 322B B B ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭【小问2详解】由（1）得当1b =时，2a c ==，所以122ABC S =´´=17. 已知四棱台1111ABCD A B C D -，下底面ABCD 为正方形，2AB =，111A B =，侧棱1AA ⊥平面ABCD ，且12,AA E =为CD 中点．（1）求证：1//A E 平面11BCC B ；（2）求平面11ABC D 与平面11BCC B 所成角的余弦值；（3）求E 到平面11ABC D 的距离．【答案】（1）证明见详解（2）15（3【解析】【分析】（1）直接使用线面平行的判定定理即可证明；（2）构造空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，再计算两个法向量的夹角余弦值的绝对值即可；（3）使用等体积法，从两个不同的方面计算四面体1EAD B 的体积即可求出距离. 【小问1详解】由于11∥A B AB ，CE AB ∥，故11CEA B ，而1111122CE CD AB A B ====，故四边形11CEA B 是平行四边形，所以11A E B C ∥，而1B C 在平面11BCC B 内，1A E 不在平面11BCC B 内，所以1//A E 平面11BCC B ；【小问2详解】如上图所示，以1A 为原点，11111,,A A A D A B为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系.则()2,0,0A ，()10,1,0D ，()2,0,2B ，()10,0,1B ，()10,1,1C ，()()()()11110,0,2,2,1,0,2,0,1,0,1,0AB AD BB B C ==-=--=，设平面11ABC D 与平面11BCC B 的法向量分别是()1,,n p q r = 和()2,,n u v w =，则有11100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 和212110n BB n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2020r p q =⎧⎨-+=⎩，200u w v --=⎧⎨=⎩，从而0r v ==，2p q =，20u w +=.故我们可取()11,2,0n = ，()21,0,2n =-，而11cos ,5n ，故平面11ABC D 与平面11BCC B 所成角的余弦值是15. 【小问3详解】设E 到平面11ABC D 的距离为L，由于111111332E AD B AD B V LS L AD AB L -==⋅⋅⋅= ，而111142333E AD B B AD E AEB ABCD V V S S --==⋅⋅=⋅=43=，所以L =. 所以E 到平面11ABC D18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右顶点为A ，B ，上顶点与两焦点构成等边三角形，右焦点(1,0)F（1）求椭圆的标准方程；（2）过A 作斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆交于点M ，过F 作l 的平行线与椭圆交于P ，Q 两点，与线段BM 交于点N ，若2AMN BPQ S S =△△，求k ．【答案】（1）22143x y +=（2）k = 【解析】【分析】（1）根据上顶点与两焦点构成等边三角形求出,a b 即可；（2）设出直线方程，利用弦长公式求出求出AM ，PQ ，利用点到直线的距离求出点N 到直线AM 的距离和点B 到直线PQ 的距离，再根据2AMN BPQ S S =△△列式计算即可. 【小问1详解】由已知在等边三角形中可得22,a c b ====，则椭圆的标准方程为为22143x y +=；【小问2详解】设直线l 的方程为：()2y k x =+，联立()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2222341616120k x k x k +++-=，则221612234M k x k --=+，得226834M k x k -=+，226834Mk AM x k -=-=-=+，设直线PQ 的方程为：()1y k x =-，设()()1122,,,P x y Q x y ，联立()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()22223484120k x k x k +-+-=，易知0∆>，则221212228412,3434k k x x x x k k-+==++，所以PQ ==()2212134k k +=+，由226834M k x k -=+得222681223434M k k y k k k ⎛⎫-=⋅+= ⎪++⎝⎭，所以直线BM 的方程为()2221234268234kk y x k k +=---+，即()324y x k=--，联立()()3241y x k y k x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩得222463,4343k k N k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭，所以点N 到直线AM点B 到直线PQ，因为2AMN BPQ S S =△△，所以()221211122234k k +=⨯+，解得k =. 的【点睛】方法点睛：直线与椭圆联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式∆：计算一元二次方程根的判别式0∆>. 第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．第五步：根据题设条件求解问题中的结论．19. 已知数列{}n a 满足对任意的*N n ∈，均有212n n n a a a ++=，且12a =，24a =，数列{}n b 为等差数列，且满足11b =，2105b b a +=．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设集合{}*1N n n k n A k a b a +=∈<≤，记n c 为集合n A 中的元素个数． ①设()2n n n p b c =+，求{}n p 的前2n 项和2n P ； ②求证：*N n ∀∈，122121111176n n c c c c -++++< ．【答案】（1）2n n a =，32n b n =-（2）①()2122122n n P n n +=-⋅+-；②证明过程见解析【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质，结合等差数列的通项公式、等比数列的通项公式进行求解即可；（2）①根据不等式12322,n n k k +*<-≤∈N 的解集特征，结合累和法、等比数列的前n 项和公式分类讨论求出n c 的表达式，最后根据错位相减法进行求解即可； ②运用放缩法，结合等比数列前n 项和公式进行运算证明即可.【小问1详解】因为数列{}n a 满足对任意的*N n ∈，均有212n n n a a a ++=，所以数列{}n a 是等比数列，又因为12a =，24a =，所以等比数列{}n a 的公比为212a a =，因此1222n n n a -=⨯=；设等差数列{}n b 的公差为d ，由()210511932313132n b d d d b b n n a ⇒+++=⇒=⇒=+-=+-=；【小问2详解】因为2n n a =，32n b n =-，所以由11,2322,nn n k n a b a k k k *+*+<≤∈⇒<-≤∈N N ，因此有{}{}{}{}{}123452,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,22A A A A A ===== ，{}623,24,,43,A =即1234561,1,3,5,11,21,c c c c c c ======有234512233445562,42,82,162,322,c c c c c c c c c c +=+==+==+==+== ，12,n n n c c ++= ，当2,N n n *≥∈时，有112,n n n c c --+=于是有1112,n n n c c -+--=当n 为大于2的奇数时，()()()243122431122221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-+-+=+++++12214211143n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+=-，显然11c =也适合，当n 为大于2的偶数时，()()()244222442222221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-++-+=+++++122214211143nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+=-，显然21c =也适合. ①()()()21,21,N 221,2,Nn n n n n n n k k p b c n n k k **⎧+=-∈⎪=+=⎨-=∈⎪⎩，()()212342121321242n n n n n P P P P P P P P P P P P P --=++++++=+++++++ ，()()132124212132321221222424222n nn n n n -⎡⎤⎡⎤=⨯++⨯+++-⋅+-+⨯-+⨯-++⋅-⎣⎦⎣⎦()()()123212122232212221234212n n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅+-+-+--⎣⎦ ，设()()12321212223221222n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，则有()()234221212223221222nn S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，两式相减，得123212212222222n n n S n -+-=+++++-⋅ ，()()2212121222212212n n n S n S n ++-⇒-=-⋅⇒=-⋅+-，()2122122n n P n n +=-⋅+-；②设()()11321k k k k c *+=∈+-N ，显然()11332121k k k k c +=≤-+-， ()4213224k k k --⨯=-，当4,N k k *≥∈时，有()()344213224042132212kk kkkk k--⨯=->⇒->⨯⇒<-，因此()1133421221k k k k k c +=≤<-+-，所以当N k *∈时，4512321111111111143222k k k c c c c c -⎛⎫+++++<++++++ ⎪⎝⎭43123211111111122114312k k k c c c c c --⎛⎫- ⎪⎝⎭⇒+++++<+++⨯- ，即312321111171171171322326k k k c c c c c --⎛⎫+++++<+-<+= ⎪⎝⎭ ，显然当2k n =时，有122121111176n n c c c c -++++< 成立. 【点睛】关键点点睛：本题的关键由171111632=+++可以确定从第几项开始放缩，根据数列的通项公式的形式，得到()1133421221k k k k k c +=≤<-+-，这样可以进行放缩证明. 20. 已知函数2()24ln f x x ax x =-+．（1）讨论()f x 的单调区间；（2）已知[4,6]a ∈，设()f x 的两个极值点为()1212,λλλλ<，且存在b ∈R ，使得()y f x =的图象与y b =有三个公共点()123123,,x x x x x x <<；①求证：1212x x λ+>；②求证：31x x -<．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论∆，结合函数的定义域，即可求函数的单调区间；（2）①要证1212x x λ+>，即证2112x x λ>-，只需证()()1112f x f x λ<-，构造函数()()()12x g x f x f λ=--，()10,x λ∈，借助导数即可得证；②同①中证法，先证2232x x λ+<，则可得()()2312123122x x x x x x λλ=++<---，利用1λ、2λ是方程220x ax -+=的两根所得韦达定理，结合[4,6]a ∈即可得证. 【小问1详解】()()222422x ax f x x a x x-+'=-+=，0x >，其中()22t x x ax =-+，28a ∆=-，当0∆≤时，即a -≤≤，此时()0f x '≥恒成立，函数()f x 在区间()0,∞+单调递增，当0∆>时，即a <-或a >当a <-时，()0f x ¢>在区间()0,∞+上恒成立，即函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增，当a >()0t x =，得1x =或1x =当0x <<x >时，()0f x ¢>，x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 的单调递增区间是⎛ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间是，综上可知，当a ≤()f x 的单调递增区间是()0,∞+；当a >()f x 的单调递增区间是⎛ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间是；【小问2详解】①由（1）知，当[4,6]a ∈时，函数()f x 的单调递增区间是()10,λ和()2,λ+∞，单调递减区间是()12,λλ，1λ、2λ是方程220x ax -+=的两根，有122λλ=，12a λλ+=，又()y f x =的图象与y b =有三个公共点()123123,,x x x x x x <<，故112230x x x λλ<<<<<，则1112x λλ->，要证1212x x λ+>，即证2112x x λ>-，又1112x λλ->，且函数()f x 在()12,λλ上单调递减，即可证()()1122f x f x λ<-，又()()12f x f x b ==，即可证()()1112f x f x λ<-，令()()()12x g x f x f λ=--，()10,x λ∈，由()()()()212222422x ax x x f x x a x x xλλ-+--'=-+==，则()()()()()112211122222x x xx x g x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()1221112222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()222211*********x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()12221111222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--恒成立，故()g x '在()10,λ上单调递增，即()()()()111102g x g f f λλλλ<=--=，即()()1112f x f x λ<-恒成立，即得证； ②由112230x x x λλ<<<<<，则2322x λλ-<，令()()()22x h x f x f λ=--，()2,x λ∈+∞，则()()()()()122221222222x x xx x h x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()2112222222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()221122212222222x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()22112222222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--，故()h x '在()2,λ+∞上单调递增，即()()()()222202h x h f f λλλλ>=--=，即当()2,x λ∈+∞时，()()22x f x f λ>-，由32x λ>，故()()3232f x f x λ>-，又()()32f x f x =，故()()3222f x f x λ>-，由2322x λλ-<，122x λλ<<，函数()f x 在()12,λλ上单调递减，故2322x x λ<-，即2232x x λ+<，又由①知1212x x λ+>，故()()2312123122x x x x x x λλ=++<---，又2122λλ-==≤=，故31x x -<.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于先证2232x x λ+<，从而借助①中所得1212x x λ+>，得到()()2312123122x x x x x x λλ=++<---.。

北京市2025届高三上学期10月月考数学试题含答案

北京市2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题（答案在最后）(清华附中朝阳望京学校)2024.10.10姓名____________一、选择题共10小题,每小题4分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1.已知全集{}0U x x =>，集合{}23A x x =≤≤，则U A =ð（）A.(][)0,23,+∞B.()()0,23,+∞ C.(][),23,-∞⋃+∞ D.()(),23,-∞⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】由补集定义可直接求得结果.【详解】()0,U =+∞ ，[]2,3A =，()()0,23,U A ∴=+∞ ð.故选：B.2.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b =，222a b ==，48a =，则{}n b 的公比为（）A.2B.2- C.4D.4-【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的基本量运算可得111a b ==-，然后利用等比数列的概念结合条件即得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则242822a a d d +=+==，所以3d =，∴22123b a a ===+，111a b ==-，所以212b q b ==-.故选：B.3.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称．若3sin 5α=，则cos β=（）A.45-B.45C.35-D.35【答案】D 【解析】【分析】根据对称关系可得()22k k παβπ+=+∈Z ，利用诱导公式可求得结果.【详解】y x = 的倾斜角为4π，α\与β满足()22242k k k ππαβππ+=⨯+=+∈Z ，3cos cos 2cos sin 225k ππβπααα⎛⎫⎛⎫∴=+-=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.4.若点()1,1M 为圆22:40C x y x +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A.20x y --=B.20x y +-=C.0x y -=D.0x y +=【答案】C 【解析】【分析】由垂径定理可知MC AB ⊥，求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程.【详解】圆C 的标准方程方程为()2224x y -+=，()221214-+< ，即点M 在圆C 内，圆心()2,0C ，10112MC k -==--，由垂径定理可知MC AB ⊥，则1AB k =，故直线AB 的方程为11y x -=-，即0x y -=.故选：C.5.已知D 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AB AD ⋅的取值范围是（）A.B.2]C.[0,2]D.[2,4]【答案】D 【解析】【分析】根据向量数量积的几何意义可得||cos [1,2]AD DAB ∠∈ ，再由||||cos AD AB D A A B AD B =∠⋅即可求范围.【详解】由D 在边BC 上运动，且△ABC 为边长为2的正三角形，所以03DAB π≤∠≤，则[]cos 1,2AB DAB ∠∈ ，由||||cos [2,4]AD AB D D B A A A B =∠⋅∈.故选：D6.若0a b >>，则①11b a >；②11a ab b +>+>的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】A 【解析】【分析】对①，由a b >两边同除ab 化简即可判断；对②，由a b >得a ab b ab +>+，两边同除()1b b +化简即可判断；>>【详解】对①，0a b a b ab ab>>⇒>，即11b a >，①对；对②，由()()011a b a ab b ab a b b a >>⇒+>+⇒+>+，则()()()()111111a b b a a a b b b b b b +++>⇒>+++，②对；对③，由>，>，与0a b >>矛盾，③错；故选：A7.若命题“2,20x x x m ∃∈++≤R ”是真命题，则实数m 的取值范围是（）A.1m < B.1m ≤ C.1m > D.1m ≥【答案】B 【解析】【分析】不等式能成立，等价于方程有实数解，用判别式计算求参数即可.【详解】由题可知，不等式220x x m ++≤在实数范围内有解，等价于方程220x x m ++=有实数解，即440m ∆=-≥，解得1m ≤.8.“1a =”是“函数()22x x af x a+=-具有奇偶性”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要性的定义，及奇偶性的定义求参数a ，判断题设条件间的关系即可.【详解】当1a =时21()21x x f x +=-，则定义域为{|0}x x ≠，211221()()211221x x x x xx f x f x --+++-===-=----，故()f x 为奇函数，充分性成立；若2()2x x af x a+=-具有奇偶性，当()f x 为偶函数，则212()()212x x x xa a f x f x a a --++⋅-===--⋅，所以212212x xx xa a a a ++⋅=--⋅恒成立，可得0a =；当()f x 为奇函数，则212()()212x x x xa a f x f x a a --++⋅-===---⋅，所以212212x xx xa a a a ++⋅-=--⋅恒成立，可得1a =或=−1；所以必要性不成立；综上，“1a =”是“函数()22x x af x a+=-具有奇偶性”的充分而不必要条件.故选：A9.已知函数()32x x f x =-，则（）A.()f x 在R 上单调递增B.对R,()1x f x ∀∈>-恒成立C.不存在正实数a ，使得函数()xf x y a=为奇函数D.方程()f x x =只有一个解【答案】B【分析】对()f x 求导，研究()f x '在0x ≥、0x <上的符号，结合指数幂的性质判断()f x '零点的存在性，进而确定单调性区间、最小值，进而判断A 、B 的正误；利用奇偶性定义求参数a 判断C ；由(0)0f =、(1)1f =即可排除D.【详解】由3ln 3ln 22[(ln 3ln ()322]2x x x xf x =-'=-，而20x >，当0x ≥时()0f x '>，即(0,)+∞上()f x 递增，且(30)2x x f x =->恒成立；而0x <，令()0f x '=，可得3ln 2()2ln 3x=，所以00x x ∃=<使03ln 2(2ln 3x =，综上，0(,)x -∞上()0f x '<，()f x 递减；0(,)x +∞上()0f x '>，()f x 递增；故在R 上不单调递增，A 错误；所以0x x =时，有最小值0000002()323()3ln 3[1]3(1)ln 2x x x x xf x ===---，而0031x <<，ln 310ln 2<-，所以0ln 3ln 4111ln 2()ln 2f x >-->=-，故R,()1x f x ∀∈>-恒成立，B 正确；令()()x f x y g x a ==为奇函数且0a >，则3232()()x x x x x xg x g x a a ------==-=-恒成立，所以6(23)23x x x x x xxaa --=恒成立，则a =满足要求，C 错误；显然000)20(3f -==，故0x =为一个解，且(1)321f =-=，即1x =为另一个解，显然不止有一个解，D 错误.故选：B【点睛】关键点点睛：A 、B 判断注意分类讨论()f x '的符号，结合指数幂的性质确定导函数的零点位置，C 、D 应用奇偶性定义得到等式恒成立求参、特殊值法直接确定()f x x =的解.10.如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度()V x （单位：米/分钟）与时间x （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”()v x 为无人机在时间段[]0,x 内的最大速度与最小速度的差，则()v x 的图像为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据速度差函数的定义，分[0,6],[6,10],[10,12],[12,15]x x x x ∈∈∈∈四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图像.【详解】由题意可得，当[0,6]x ∈时，无人机做匀加速运动，40()603V x x =+，“速度差函数”40()3v x x =；当[6,10]x ∈时，无人机做匀速运动，()140V x =，“速度差函数”()80v x =；当[10,12]x ∈时，无人机做匀加速运动，()4010V x x =+，“速度差函数”()2010v x x =-+；当[12,15]x ∈时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”()100v x =，结合选项C 满足“速度差函数”解析式，故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()1ln 1f x x x =+-的定义域是____________.【答案】()()0,11+，⋃∞.【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得，10x x -≠⎧⎨>⎩故答案为：()()0,11,+∞ .【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12.直线:1l x y +=截圆22220x y x y +--=的弦长=___________.【答案】【解析】【分析】由圆的弦长与半径、弦心距的关系，求直线l 被圆C 截得的弦长．【详解】线l 的方程为10x y +-=，圆心(1,1)C 到直线l 的距离2d ==．∴此时直线l 被圆C 截得的弦长为=．.13.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点，平面AEF 与平面PBC ____________（填“垂直”或“不垂直”）；AEF △的面积的最大值为_____________．【答案】①.垂直②.【解析】【分析】根据线面垂直的的性质定理，判定定理，可证AE ⊥平面PBC ，根据面面垂直的判定定理，即可得证.分析可得，当点F 位于点C 时，面积最大，代入数据，即可得答案.【详解】因为PA ⊥底面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又底面ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥，又AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以⊥BC 平面PAB ，因为AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥，又2PA AB ==，所以PAB 为等腰直角三角形，且E 为线段PB 的中点，所以AE PB ⊥，又BC PB B ⋂=，,BC PB ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ，因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥与平面PBC .因为AE ⊥平面PBC ，EF ⊂平面PBC ，所以AE EF ⊥，所以当EF 最大时，AEF △的面积的最大，当F 位于点C 时，EF 最大且EF ==，所以AEF △的面积的最大为12⨯⨯=.14.设函数()221,,x x af x x a x a⎧-<=⎨+≥⎩①若2a =-，则()f x 的最小值为__________.②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是__________.【答案】①.2-②.1a ≤-【解析】【分析】对①，分别计算出每段的范围或最小值即可得；对②，由指数函数在开区间内没有最小值，可得存在最小值则最小值一定在x a ≥段，结合二次函数的性质即可得.【详解】①当2a =-时，()221,22,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩，则当2x <-时，()3211,4xf x ⎛⎫=-∈--⎪⎝⎭，当2x ≥-时，()222f x x =-≥-，故()f x 的最小值为2-；②由()221,,x x a f x x a x a⎧-<=⎨+≥⎩，则当x a <时，()()211,21x af x =-∈--，由()f x 有最小值，故当x a ≥时，()f x 的最小值小于等于1-，则当1a ≤-且x a ≥时，有()min 1f x a =≤-，符合要求；当1>-a 时，21y x a a =+≥>-，故不符合要求，故舍去.综上所述，1a ≤-.故答案为：2-；1a ≤-.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，21(R)n n n a a a λλ+-=∈．给出下列四个结论：①{}n a 是递增数列；②{}R,n a λ∀∈都不是等差数列；③当1λ=时，1a 是{}n a 中的最小项；④当14λ≥时，20232022S >．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】③④【解析】【分析】利用特殊数列排除①②，当0λ≠时显然有0n a ≠，对数列递推关系变形得到1n n na a a λ+=+，再判断③④即可.【详解】当数列{}n a 为常数列时，210n n n a a a +-=，{}n a 不是递增数列，是公差为0的等差数列，①②错误；当1λ=时，211n n na a a +-=，显然有0n a ≠，所以11n n na a a +=+，又因为10a >，所以由递推关系得0n a >，所以110n n na a a +-=>，故数列{}n a 是递增数列，1a 是{}n a 中的最小项，③正确；当14λ≥时，由③得0n a >，所以由基本不等式得11n n n a a a λ+=+≥=≥，当且仅当n na a λ=时等号成立，所以2320232022a a a ++⋅⋅⋅+≥，所以20232022S >，④正确.故选：③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知222b c a bc +=+.（1）求A 的大小；（2）如果cos 2B b ==，求ABC V 的面积.【答案】（1）3π；（2）2【解析】【分析】（1）利用余弦定理的变形：222cos 2b c a A bc+-=即可求解.（2）利用正弦定理求出3a =，再根据三角形的内角和性质以及两角和的正弦公式求出sin C ，由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）222b c a bc +=+。