物理学中的平面和球面问题

物理学中的平面和球面问题

摘要：平面和球面是空间两种特殊曲面，平面不弯曲，球面均匀弯曲，形态优美，性质特殊在我们日常生活的三维世界中几乎所有物体都可以分解出平面和球面。在物理学中，平面和球面也是我们遇到最多的理想问题。本论文属于物理学中各学科之间的综述类型，分别从三个方面几何，光学和电学的角度论述了平面和球面模型以及相互之间的关系。

关键词:平面；球面；几何；电学；光学 1.几何问题

1.1几何中平面的定义

日常生活中常见的桌面，平静的水面都可以近似为平面，但在科学家的眼中，平面又是如何被描述的呢？早在两千多年以前，欧几里得在《几何原本》就曾提到: 平面是它上面的线一样地平放着的面 .然而，人类视野的不断开阔，平面的描述也在随之改变。在解析几何中，平

面定义为与固定点()000z y x ，，

连线垂直于固定方向的所有点的集合。平面的三个特点是①平直②无薄厚之分③无限延展(没有边界) .平面是由日常生活中（例如镜面，大地，墙壁等）实物中引出来的，但是又不同于这些实物。

1.2平面的表示

平面是二维的，用平面直角坐标系来表现，平面上的任一点可表为（x ，y ），任何一个面

都可以由空间中三个点来确定。

1.3几何中球面的定义

空间中到固定的点距离等于固定的长度的所有点够成的图像叫做球，固定的点叫做球心，

半圆沿着直径旋转一周形成的曲面称为球面。球心到球面上任一点的连线叫做半径。球体是由连续曲面组成的立体图形，球面所围成的几何体称为球体。用一个平面去截球体，所截出的截面是圆面。球的截面的特点是：（1）球心和圆面圆心的连线垂直于圆面。（2）假设截面半径为r,球心到截面的长度设为d ，球体的半径R 满足关系：2

r =2

R -2

d 。半径为R 的球的体积是：V=（4/3）π3

R 。半径是R 的球的表面积计算公式是：S=4π2

R 。

1.4球面的表示

（1）空间直角坐标系中，以坐标原点为球心，半径为R 的球面的方程为 ： 2

2

2

2

y x R z =++ (0≤θ≤2π，0≤φ≤π) （2）用球坐标来表示半径为r 的球面: x=0x +r Φcos sin θ y=0y +r Φsin sin θ

z=0y +r θcos （θ的取值范围:0≤θ≤ 2∏和 -∏<φ≤∏)

1.5平面几何和球面几何的共同点：

表一 平面几何和球面几何的共同点

平面几何

球面上的几何

直线

两点之间距离最短的道路

三角形的性质

边长长的一边对应的角度也最大，边长短的一边对应的角度最小

三角形全等的条件

SSS ，SAS ，ASA

通过上述的表格，我们可以看出平面几何和球面几何有很多相似同处，这说明它俩应该有某种内在的联系。我们知道球面三角形的面积公式为

把这个公式改写成

（1.5.1）

（1.5.1）式左端∏-∠+∠+∠C B A 被称之为球面三角形的角超，它所体现的是两种几何之间的差距。平面几何中，三角形的三内角之和为∏，根据角超定义，可得角超为零。 而在球面上的几何中角超大于零。我们从（1.5.1）式中，不难得出当球面半径R 趋于无穷时（球面逐渐趋向于平面），

2

R S

趋于零，也即角超越来越小，球面三角形的性质逐渐趋向于平面，球面几何的知识逐渐像平面的知识过度。所以我们得出一个结论：当球面的半径趋于无限大时，球面上的几何极限是平面几何。因为地球的半径十分大，当我们研究的对象相对于地球半径很小时，三角形的角超很小。因此，我们在实际情况中可以用平面几何的知识来解决遇到的球面几何问题，这样产生的误差也是很小的。

2.光学问题 2.1平面镜反射

平面镜的表面是平整的.平面镜的成像特点是：1.像与物的大小相等。2.像到平面镜的距离等于物到平面镜的距离。3.像和物体的连线垂直于平面镜。平面镜成像规律用一句话表示就是：平面镜所成的像与物体对于镜面来说对称的。

2.2光在球面的反射

球面包括两种介质的分界面，光线经球面反射后所成的像，这就叫做球面反射成的像。反射成像遵循的是光的反射定律。作图时可依据三条特殊的光线：(1)与主轴平行的入射光线经球面反射后汇聚在焦点。(2)过焦点的入射光线经球面镜反射之

后平行于主轴。(3)经过球面镜中心的入射光线会

沿入射路径反射回去。 图一 平面镜成像

2.3符号法则

(1)线段长度从顶点开始测量，假如

某光线与主轴的交点在顶点右边，则此线段的长度大于零，如果某光线与主轴

的交点在顶点左边，则此线段的长度小于零。 物点和像点到主轴的距离，在在主轴上方时大于零，在主轴下方时小于零。

(2)光线方向所在的角度应从主轴转向光线，角度大小应小于

2

∏

。从主轴转向某条 图二 球面反射

光线时，如果沿顺时针方向在转动，那么角度为正值；如果转动方向沿逆时针，那么角度是负值。

(3)图中出现的所有角度和长度都应该是正值。比如说l 表示某条线段，其值为负，那么图中标示这条线段的长度应该是-l,而不是l.为了方便，以下讨论中光线均为自左向右传播。

2.4球面反射的物像公式

我们令半径与主轴之间夹角为ϕ，在近轴光线前提下，ϕ极其小，那么cos ≈ϕ1。可推倒球面反射的物像公式为:

r

s 2

1s 1'=+ 从上式中可以看出，如果给定一个球面，则r 确定，s 与s'是一一对应的.那么就存在确定的像点，此像点是理想的，被叫做高斯像点。s 称为物距，s ’称为像距。上式是从凹面镜中得到的结果，但也同样适合于凸面镜。并且在近轴光线情况下无论s 的数值是多少，都可以普遍得到应用。利用这个公式时，必须注意符号法则。

当s=∞-时，得出s ’=r/2.平行于主轴方向的入射光线由球面镜反射后，会聚在焦点处，在主轴上，被叫做像方焦点。焦点到顶点之间的长度，称为焦距，用f ’来表示。有上述关系可见

2

r 'f =

f ’的符号取决于r ，亦遵守符号法则。于是：

'

11's 1f s =+ 上述公式把物距和像距联系在一起，称为球面反射的物像公式。无论对于凹球面或凸球面，无论s ，s ’，f ’的数值大小，是正的还是负的，只要在近轴光线的条件下，上式都是球面反射成像的基本公式。

2.5横像放大率

A

l

l ’

u ’

P C P ’ -s ’ O

-r

-s