一次和二次函数 - 拔高难度 - 讲义

一次与二次函数 知识讲解

一、一次函数

概念：形如(0)y kx b k =+≠的函数叫做一次函数．

（一次函数又叫做线性函数） 它的定义域为R ，值域为R ．

斜率：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是直线，其中k 叫做该直线的斜率． 截距：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是直线，其中b 叫做直线在y 轴上的截距． 注：截距不是距离，截距可以是正的，可以是负的，也可以是0． 性质：（1）函数值的改变量21y y y ∆=-与自变量的该变量21x x x ∆=-的比值等于常数k ， 即2121

y y y k x x x -∆==∆-，k 的大小表示直线与x 轴的倾斜程度． （2）当0k >时，一次函数是增函数；当0k <时，一次函数是减函数． （3）当0b =时，一次函数变为正比例函数，是奇函数； 当0b ≠时，它既不是奇函数，也不是偶函数． （4）直线(0)y kx b k =+≠与x 轴的交点为(,0)b k -，与y 轴的交点为(0,)b ． （5）直线111:l y k x b =+,直线222:l y k x b =+， ①1l //2l 12k k ⇔=且12b b ≠．②1l 与2l 重合12k k ⇔=且12b b =．

二、二次函数

1.概念：形如2(0)y ax bx c a =++≠叫做二次函数．

2.定义域：它的定义域为R ．

3.值域：当0a >时，值域为24|4ac b y y a ⎧⎫-≥⎨⎬⎩⎭

； 当0a <时，值域为24|4ac b y y a ⎧⎫-≤⎨⎬⎩⎭

4.解析式4种形式

一般式：2

(0)y ax bx c a =++≠，对称轴2b x a -=，顶点2

4(,)24b ac b a a -- 顶点式：2

()(0)y a x h k a =-+≠，对称轴x h =，顶点(,)h k 交点式：12()()(0)y a x x x x a =--≠，抛物线与x 轴交于1(,0)x ，2(,0)x

对称点式：12()()y a x x x x b =--+，抛物线图象上有两对称点

12(,),(,)x b x b

注意：

①二次函数的一般式可通过配方得到顶点式．

②在求二次函数的解析式时，应根据已知条件，合理设式．

已知三点坐标，若有对称点（两点的纵坐标相同），则设对称点式；若没有，则设一般式． 已知对称轴或顶点坐标，应设顶点式．

5.性质

性质1：顶点坐标2

4(,)24b ac b a a

--，对称轴2b x a -=，与y 轴交于(0,)c ; 性质2：当0a >时，开口向上，当2b x a -=时，2

min 4()24b ac b y f a a

--==； 单调递增区间是,2b a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，单调递减区间为,2b a -⎛⎤-∞ ⎥⎝

⎦ 性质3：当0a <时，开口向下，当2b x a -=时，2

max 4()24b ac b y f a a

--==；

单调递增区间是,2b a -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，单调递减区间为,2b a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭

． 性质4：二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠是偶函数⇔0b =

6.函数图象的平移：左加右减，上加下减

（1）()y f x =(0)a a >−−−−−−−→向左平移个单位()y f x a =+；

（2）()y f x =(0)a a >−−−−−−−→向右平移个单位()y f x a =-；

（3）()y f x =(0)b >−−−−−−−→向上平移b 个单位()+y f x b =；

（4）()y f x =(0)b >−−−−−−−→向下平移b 个单位()y f x b =-；

注意：左右平移只是针对单个x 而言．

7.配方法

（1）提，提系数将平方项的系数化为1；

（2）配，加上一次项系数的一半的平方，再减去一次项系数的一半的平方；

（3）整理．

注意：

“配方法”是研究二次函数的主要方法．熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键． 8.韦达定理：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，则1212,b c x x x x a a

-+=

= 9.中点坐标公式： 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点00(,)M x y ，则0120122,2x x x y y y =+=+ 10.交点距离公式：若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x ，则

12AB x x a

=-=（其中24b ac ∆=-） 三、待定系数法

1.什么是待定系数法？

一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，

其中系数待定，然后再跟据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．

2.待定系数法解题的基本步骤是什么？

第一步：设出含有待定系数的解析式；

第二步：根据恒等的条件，列出含待定系数的方程或方程组；

第三步：解方程或方程组，从而使问题得到解决．

经典例题

一．选择题（共1小题）

1．（2015秋•浦东新区校级期中）已知f（x）=x2+px+q和是定义在上的函数，对任意的x∈A，存在常数x0∈A，使f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0）且f（x0）=g（x0），则f（x）在A上的最大值为（）A．B．C．5 D．

二．填空题（共6小题）

2．（2013秋•越秀区校级期中）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，且f（1）=﹣a，又a＞2c＞3b，则的取值范围是．

3．（2009秋•沙坪坝区校级月考）已知＜＜，若f（x）=ax2﹣2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），记g（a）=M（a）﹣N（a）．（1）求g（a）的解析表达式；

（2）若对一切，都有kg（a）﹣1＜0成立，求实数k的取值范围．

4．（2014秋•杭州校级期中）已知函数f（x）=x2+ax+b．

（Ⅰ）设b=a，若|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，求实数a的取值范围；