一次和二次函数 - 拔高难度 - 讲义

一次与二次函数 知识讲解一、一次函数概念：形如(0)y kx b k =+≠的函数叫做一次函数．（一次函数又叫做线性函数） 它的定义域为R ，值域为R ．斜率：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是直线，其中k 叫做该直线的斜率． 截距：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是直线，其中b 叫做直线在y 轴上的截距． 注：截距不是距离，截距可以是正的，可以是负的，也可以是0． 性质：（1）函数值的改变量21y y y ∆=-与自变量的该变量21x x x ∆=-的比值等于常数k ， 即2121y y y k x x x -∆==∆-，k 的大小表示直线与x 轴的倾斜程度． （2）当0k >时，一次函数是增函数；当0k <时，一次函数是减函数． （3）当0b =时，一次函数变为正比例函数，是奇函数； 当0b ≠时，它既不是奇函数，也不是偶函数． （4）直线(0)y kx b k =+≠与x 轴的交点为(,0)b k -，与y 轴的交点为(0,)b ． （5）直线111:l y k x b =+,直线222:l y k x b =+， ①1l //2l 12k k ⇔=且12b b ≠．②1l 与2l 重合12k k ⇔=且12b b =．二、二次函数1.概念：形如2(0)y ax bx c a =++≠叫做二次函数．2.定义域：它的定义域为R ．3.值域：当0a >时，值域为24|4ac b y y a ⎧⎫-≥⎨⎬⎩⎭； 当0a <时，值域为24|4ac b y y a ⎧⎫-≤⎨⎬⎩⎭4.解析式4种形式一般式：2(0)y ax bx c a =++≠，对称轴2b x a -=，顶点24(,)24b ac b a a -- 顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠，对称轴x h =，顶点(,)h k 交点式：12()()(0)y a x x x x a =--≠，抛物线与x 轴交于1(,0)x ，2(,0)x对称点式：12()()y a x x x x b =--+，抛物线图象上有两对称点12(,),(,)x b x b注意：①二次函数的一般式可通过配方得到顶点式．②在求二次函数的解析式时，应根据已知条件，合理设式．已知三点坐标，若有对称点（两点的纵坐标相同），则设对称点式；若没有，则设一般式． 已知对称轴或顶点坐标，应设顶点式．5.性质性质1：顶点坐标24(,)24b ac b a a--，对称轴2b x a -=，与y 轴交于(0,)c ; 性质2：当0a >时，开口向上，当2b x a -=时，2min 4()24b ac b y f a a--==； 单调递增区间是,2b a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，单调递减区间为,2b a -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 性质3：当0a <时，开口向下，当2b x a -=时，2max 4()24b ac b y f a a--==；单调递增区间是,2b a -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，单调递减区间为,2b a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 性质4：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是偶函数⇔0b =6.函数图象的平移：左加右减，上加下减（1）()y f x =(0)a a >−−−−−−−→向左平移个单位()y f x a =+；（2）()y f x =(0)a a >−−−−−−−→向右平移个单位()y f x a =-；（3）()y f x =(0)b >−−−−−−−→向上平移b 个单位()+y f x b =；（4）()y f x =(0)b >−−−−−−−→向下平移b 个单位()y f x b =-；注意：左右平移只是针对单个x 而言．7.配方法（1）提，提系数将平方项的系数化为1；（2）配，加上一次项系数的一半的平方，再减去一次项系数的一半的平方；（3）整理．注意：“配方法”是研究二次函数的主要方法．熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键． 8.韦达定理：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，则1212,b c x x x x a a-+== 9.中点坐标公式： 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点00(,)M x y ，则0120122,2x x x y y y =+=+ 10.交点距离公式：若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x ，则12AB x x a=-=（其中24b ac ∆=-） 三、待定系数法1.什么是待定系数法？一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再跟据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．2.待定系数法解题的基本步骤是什么？第一步：设出含有待定系数的解析式；第二步：根据恒等的条件，列出含待定系数的方程或方程组；第三步：解方程或方程组，从而使问题得到解决．经典例题一．选择题（共1小题）1．（2015秋•浦东新区校级期中）已知f（x）=x2+px+q和是定义在上的函数，对任意的x∈A，存在常数x0∈A，使f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0）且f（x0）=g（x0），则f（x）在A上的最大值为（）A．B．C．5 D．二．填空题（共6小题）2．（2013秋•越秀区校级期中）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，且f（1）=﹣a，又a＞2c＞3b，则的取值范围是．3．（2009秋•沙坪坝区校级月考）已知＜＜，若f（x）=ax2﹣2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），记g（a）=M（a）﹣N（a）．（1）求g（a）的解析表达式；（2）若对一切，都有kg（a）﹣1＜0成立，求实数k的取值范围．4．（2014秋•杭州校级期中）已知函数f（x）=x2+ax+b．（Ⅰ）设b=a，若|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：存在x0∈[﹣1，1]，使|f（x0）|≥|a|．5．（2014秋•韶关期中）已知函数f（x）=ax2+a2x+2b﹣a3，当x∈（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞）时，f（x）＜0，当∈（﹣2，6）时，f（x）＞0．（1）求a、b的值；（2）设F（x）=﹣f（x）+4（k+1）x+2（6k﹣1），则当k取何值时，函数F（x）的值恒为负数？6．（2016秋•深圳月考）设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数．如果定义域是[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围是．7．（2016春•淄博期末）已知函数f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=ax﹣2a+1（a∈R）．（1）若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2）成立，求a的取值范围．（2）定义区间[m，n]的长度为n﹣m，若函数y=f（x）（x∈[t，4]）的值域区间为D，是否存在常数t，使得区间D的长度为7﹣2t？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．三、解答题（共8小题）8．（2018•嘉定区一模）一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m．（1）设∠BOD=θ，试将L表示为θ的函数；（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．9．（2017秋•宣城月考）已知a，b为常数，且a≠0，f（x）=ax2+bx，f（2）=0．（1）若方程f（x）﹣x=0有唯一实数根，求函数f（x）的解析式；（2）当a=1时，求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值．10．（2018•祁阳县二模）已知函数f（x）=x2+ax+1，其中a∈R，且a≠0（Ⅰ）设h（x）=（2x﹣3）f（x），若函数y=h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；（Ⅱ）当a＞﹣2时，求函数y=|f（x）|在[0，1]上最大值．11．（2018春•眉山期末）设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．（1）若对于一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．12．（2017秋•沈阳期中）已知函数g（x）=x2﹣（m﹣1）x+m﹣7．（1）若函数g（x）在[2，4]上具有单调性，求实数m的取值范围；（2）若在区间[﹣1，1]上，函数y=g（x）的图象恒在y=2x﹣9图象上方，求实数m的取值范围．13．（2018春•贵池区期中）已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x﹣1）=f（3﹣x），且方程f（x）=2x有两等根．（1）求f（x）的解析式．（2）求f（x）在[0，t]上的最大值．（3）是否存在实数m、n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由．14．（2017•鹿城区校级模拟）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），对任意实数x，不等式恒成立，（Ⅰ）求f（﹣1）的取值范围；（Ⅱ）对任意x1，x2∈[﹣3，﹣1]，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≤1，求实数a的取值范围．15．（2016秋•佛山期末）已知函数f（x）=ax2+4x﹣1．（1）当a=1时，对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，试比较f（）与的大小；（2）对于给定的正实数a，有一个最小的负数g（a），使得x∈[g（a），0]时，﹣3≤f（x）≤3都成立，则当a为何值时，g（a）最小，并求出g（a）的最小值．。