2015新湘教版九年级数学下二次函数知识点
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九年级数学下册 第1章 二次函数知识归纳(新版)湘教版
二次函数二次函数及其图像二次函数〔quadratic function〕是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为y=ax2+bx+c(a不为0)。
其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，(b2-4ac)/4a) ；顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数)或y=a(x-h)２+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为〔h，k〕对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ｙ＝ax２的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；交点式y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A〔x1，0〕和 B〔x2，0〕的抛物线] ；重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
轴对称1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴〔即直线x=0〕顶点2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，4ac-b2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上。
开口3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，那么抛物线的开口越小。
决定对称轴位置的因素4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时〔即ab＞0〕，对称轴在y轴左；因为假设对称轴在左边那么对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号当a与b异号时〔即ab＜0〕，对称轴在y轴右。
湘教版九年级下册数学精品教学课件 第1章二次函数 第2课时 二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质
∴a > b > 0，|d| > |c| > 0，
∴d < c < 0，∴ a > b > 0 > c > d．
y ＝ ax2 图象 位置开 口方向
对称性
顶点最值
增减性
a>0
y
Ox
开口向上
a<0
y O
x
开口向下
a 的绝对值越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴方程是直线 x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
解析：根据 a、b 的符号来确定． 当 a > 0 时，抛物线 y ＝ ax2 的开口 向上．∵ ab > 0，∴ b > 0 . ∴直线 y ＝ ax＋b过第一、二、三象 限；当a < 0 时，抛物线 y ＝ ax2 的开 口向下．∵ab > 0，∴b < 0.∴直线 y ＝ ax＋b 过第二、三、四象限． 故选 D.
合作探究
问题1
画二次函数
y
1 4
x2
的图象.
列表
x
0
1
2
3
4
y 1 x2 4
0
1 4
－1
9 4
－4
描点和连线：画出图象在 y 轴右边的部分，再利
用对称性画出 y 轴左边的部分.
y
这样我们得到了 y 1 x2
4
－4
o
－2
2
4x
的图象，如图.
－2
－4
问题2 观察图 y 1 x2的图象跟实际生活中的什么相像？
4
Hale Waihona Puke －4 －2 －2 －42
4
y 1 x2 的图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线
∴d < c < 0，∴ a > b > 0 > c > d．
y ＝ ax2 图象 位置开 口方向
对称性
顶点最值
增减性
a>0
y
Ox
开口向上
a<0
y O
x
开口向下
a 的绝对值越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴方程是直线 x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
解析：根据 a、b 的符号来确定． 当 a > 0 时，抛物线 y ＝ ax2 的开口 向上．∵ ab > 0，∴ b > 0 . ∴直线 y ＝ ax＋b过第一、二、三象 限；当a < 0 时，抛物线 y ＝ ax2 的开 口向下．∵ab > 0，∴b < 0.∴直线 y ＝ ax＋b 过第二、三、四象限． 故选 D.
合作探究
问题1
画二次函数
y
1 4
x2
的图象.
列表
x
0
1
2
3
4
y 1 x2 4
0
1 4
－1
9 4
－4
描点和连线：画出图象在 y 轴右边的部分，再利
用对称性画出 y 轴左边的部分.
y
这样我们得到了 y 1 x2
4
－4
o
－2
2
4x
的图象，如图.
－2
－4
问题2 观察图 y 1 x2的图象跟实际生活中的什么相像？
4
Hale Waihona Puke －4 －2 －2 －42
4
y 1 x2 的图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线
2015届湘教版中考数学复习课件(第15课时_二次函数的图象和性质二)
考点聚焦 归类探究 回归教材
图15－4
第15课时┃ 二次函数的图象和性质(二)
解 析
(1)将点A的坐标代入抛物线的函数表
达式，求出a的值，即可确定抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的函数表达式中，令x＝0求出y的 值，即求出OC的长，根据对称轴求出CD的长，令y＝ 0求出x的值，确定出OB的长，利用梯形面积公式即可 求出梯形COBD的面积．
探究四
二次函数的图象与性质的综合运用
命题角度： 二次函数的图象与性质的综合运用．
例4 [2013· 温州] 如图15－4，抛物 线y＝a(x－1)2＋4与x轴交于点A，B，与y 轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线 的对称轴于点D，连接BD，已知点A的 坐标为(－1，0)． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求梯形COBD的面积．
项目 字母 a 字母的符号 a>0 a<0 b＝ 0 b 图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为 y 轴
ab>0(b 与 a 同号) 对称轴在 y 轴左侧 ab<0(b 与 a 异号) 对称轴在 y 轴右侧
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的图象和性质(二)
c
b2－4ac
特殊 关系
经过原点 与 y 轴正半轴相交 与 y 轴负半轴相交 与 x 轴有唯一的交点 b2－4ac＝0 (顶点) 与 x 轴有两个不 b2－4ac>0 同的交点 b2－4ac<0 与 x 轴没有交点 当 x＝1 时，y＝a＋b＋c 当 x＝－1 时，y＝a－b＋c 若 a＋b＋c>0，即 x＝1 时，y>0 若 a－b＋c>0，即 x＝－1 时，y>0
考点聚焦
归类探究
图15－4
第15课时┃ 二次函数的图象和性质(二)
解 析
(1)将点A的坐标代入抛物线的函数表
达式，求出a的值，即可确定抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的函数表达式中，令x＝0求出y的 值，即求出OC的长，根据对称轴求出CD的长，令y＝ 0求出x的值，确定出OB的长，利用梯形面积公式即可 求出梯形COBD的面积．
探究四
二次函数的图象与性质的综合运用
命题角度： 二次函数的图象与性质的综合运用．
例4 [2013· 温州] 如图15－4，抛物 线y＝a(x－1)2＋4与x轴交于点A，B，与y 轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线 的对称轴于点D，连接BD，已知点A的 坐标为(－1，0)． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求梯形COBD的面积．
项目 字母 a 字母的符号 a>0 a<0 b＝ 0 b 图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为 y 轴
ab>0(b 与 a 同号) 对称轴在 y 轴左侧 ab<0(b 与 a 异号) 对称轴在 y 轴右侧
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的图象和性质(二)
c
b2－4ac
特殊 关系
经过原点 与 y 轴正半轴相交 与 y 轴负半轴相交 与 x 轴有唯一的交点 b2－4ac＝0 (顶点) 与 x 轴有两个不 b2－4ac>0 同的交点 b2－4ac<0 与 x 轴没有交点 当 x＝1 时，y＝a＋b＋c 当 x＝－1 时，y＝a－b＋c 若 a＋b＋c>0，即 x＝1 时，y>0 若 a－b＋c>0，即 x＝－1 时，y>0
考点聚焦
归类探究
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d=r
点P在圆上； 的距离与半径之间的关
系；反过来，也可以通
d＞r
点P在圆外. 过这种数量关系判断点
与圆的位置关系．
2.直线与圆的位置关系 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离
直线与圆的 位置关系
相离
相切
图形
相交
d与r的关系 d＞r 公共点个数 0个 公共点名称
直线名称
d=r 1个 切点 切线
d＜r 2个 交点 割线
(4)中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆 的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
二、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆 的半径r比较得到． 设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
d＜r
[注意]点与圆的位置关 点P在圆内； 系可以转化为点到圆心
y＝ax2＋bx＋c
开口
a＞0 开口向上
方向
a ＜ 0 开口向下
对称轴
顶点坐标
最 a＞0 值 a＜0
x=h (h , k) y最小=k y最大=k
x b
2a
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
y最小=44aacc4a
b2 b2
y最大= 4a
增 a＞0 在对称轴左边,x↗ y↘;在对称轴右边, x↗ y↗
第2章 圆
要点梳理
一.与圆有关的概念 1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 2.弦:连接圆上任意两点的线段. 3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦. 4.劣弧:小于半圆周的圆弧. 5.优弧:大于半圆周的圆弧.
·
6.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧. 7.圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交. 8.圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交. [注意] (1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定 大小．(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
湘教版九年级数学下册.1二次函数的图象和性质课件
对称轴与图象的交点是__O_(_0_,_0_)_；
图象的开口向____上____； 图象在对称轴左边的部分， 函数值随自变量取值的增 大而___减__小____，简称为 “左降”； 当 x =___0_时，函数值最__小__．
类似地，当a>0时，y=ax2的图象也具有上述性质， 于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画 出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画 出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只 要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了（因 为我们知道了图象的性质）．
2.图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ____增__大______，简称为右___升__;
3.图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ____减__小______，简称为左____降___;
4.当x=____0_时，函数值最___小____.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛
二次函数
y x2
y=x2的图象
形如物体抛
射时所经过
的路线,我们 这条抛物线关于
把它叫做抛 y轴对称,y轴就
物线
是它的对称轴.
.
典例解析：
例1： 画二次函数 y 1 x2 的图象．
2
解：因为二次函数的图像关于y轴对称，因此列 表时，自变量x应该从原点的横坐标0开始取值。
x
0
1
2
3 ...
y 1 x2 2
我猜想都有这一性质．
可以证明上述两个猜测都是正确的，即y=x2的图象关于
y轴对称；图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取
图象的开口向____上____； 图象在对称轴左边的部分， 函数值随自变量取值的增 大而___减__小____，简称为 “左降”； 当 x =___0_时，函数值最__小__．
类似地，当a>0时，y=ax2的图象也具有上述性质， 于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画 出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画 出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只 要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了（因 为我们知道了图象的性质）．
2.图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ____增__大______，简称为右___升__;
3.图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ____减__小______，简称为左____降___;
4.当x=____0_时，函数值最___小____.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛
二次函数
y x2
y=x2的图象
形如物体抛
射时所经过
的路线,我们 这条抛物线关于
把它叫做抛 y轴对称,y轴就
物线
是它的对称轴.
.
典例解析：
例1： 画二次函数 y 1 x2 的图象．
2
解：因为二次函数的图像关于y轴对称，因此列 表时，自变量x应该从原点的横坐标0开始取值。
x
0
1
2
3 ...
y 1 x2 2
我猜想都有这一性质．
可以证明上述两个猜测都是正确的，即y=x2的图象关于
y轴对称；图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取
湘教版九年级数学下册二次函数的图象与性质课件
得到的？（
B）
A．向左平移 2 个单位
B．向右平移 2 个单位
C．向上平移 2 个单位
D．向下平移 2 个单位
3. 抛物线 y＝ a(x－h)2 向左平移 3 个单位得到抛物线
4
-2 h＝_____．
y＝-2(x－1)2, 则 a＝______,
当堂练习
y=-2x2
4、抛物线y=-2(x+3)2是把抛物线_________沿x轴向
平移前解析式
平移后解析式
简记
向左平移h
个单位
y=ax2
y=a(x+h)2
左加
向右平移h
个单位
y=ax2
y=a(x-h)2
右减
知识要点
二次函数y=a（x-h）2的性质
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
（h，0）
最值
增减性
当x=h时，y最小=0
当x=h时，y最大=0
− 向
左平移1个单位，就得到抛物线 =
− (+) ；把抛物线 = − 向右平移1
个单位，就得到抛物线 =
− (−) ．
= − (+)
=−
= − (−)
知识要点
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2之间的关系
移动方向
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
B）
A．向左平移 2 个单位
B．向右平移 2 个单位
C．向上平移 2 个单位
D．向下平移 2 个单位
3. 抛物线 y＝ a(x－h)2 向左平移 3 个单位得到抛物线
4
-2 h＝_____．
y＝-2(x－1)2, 则 a＝______,
当堂练习
y=-2x2
4、抛物线y=-2(x+3)2是把抛物线_________沿x轴向
平移前解析式
平移后解析式
简记
向左平移h
个单位
y=ax2
y=a(x+h)2
左加
向右平移h
个单位
y=ax2
y=a(x-h)2
右减
知识要点
二次函数y=a（x-h）2的性质
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
（h，0）
最值
增减性
当x=h时，y最小=0
当x=h时，y最大=0
− 向
左平移1个单位，就得到抛物线 =
− (+) ；把抛物线 = − 向右平移1
个单位，就得到抛物线 =
− (−) ．
= − (+)
=−
= − (−)
知识要点
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2之间的关系
移动方向
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质》PPT课件 湘教版
解析：抛物线y=-（x-1）2+1的对称轴为直线x=-1， ∵a=-1＜0， ∴抛物线开口向下， ∵-1＜x1＜0，3＜x2＜4， ∴y1＞y2．
6.试说明抛物线y＝2(x－1)2与y＝2(x－1)2＋5的异同．
解：相同点：(1)它们的形状相同，开口方向相同； (2)它们的对称轴相同，都是x＝1.当x<1时都是左降，当 x>1时都是右升； (3)它们都有最小值． 不同点：(1)顶点坐标不同．y＝2(x－1)2的顶点坐标是(1， 0)，y＝2(x－1)2＋5的顶点坐标是(1，5)； (2)y＝2(x－1)2的最小值是0， y＝2(x－1)2＋5的最小值是5.
作出抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E，过D作DF⊥y 轴于点F，如图所示． 在Rt△AED中，AD2＝22＋42＝20； 在Rt△AOC中，AC2＝32＋32＝18； 在Rt△CFD中，CD2＝12＋12＝2. ∵AC2＋CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形．
课堂小结
图象特点 二次函数y=a(x-
24
平移方法2
y 1 x2 2
3
个 单 位
向 上 平 移
y 1 (x 1)2 3 2
向右平移 1个单位
y 1 x2 3 2
－4
8 6 4 2
－2
24
知识要点
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的(h>0，k>0).
平移规律 y = a( x - h )2 + k
当堂练习
1.将抛物线y＝ 1 x2向右平移2个单位，再向下平移1 3
个单位，所得的抛物线是( A ) 1
A．y＝ 3 (x－2)2－1 B．y＝ 1 (x－2)2＋1 C．y＝ 13 (x＋2)2＋1
6.试说明抛物线y＝2(x－1)2与y＝2(x－1)2＋5的异同．
解：相同点：(1)它们的形状相同，开口方向相同； (2)它们的对称轴相同，都是x＝1.当x<1时都是左降，当 x>1时都是右升； (3)它们都有最小值． 不同点：(1)顶点坐标不同．y＝2(x－1)2的顶点坐标是(1， 0)，y＝2(x－1)2＋5的顶点坐标是(1，5)； (2)y＝2(x－1)2的最小值是0， y＝2(x－1)2＋5的最小值是5.
作出抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E，过D作DF⊥y 轴于点F，如图所示． 在Rt△AED中，AD2＝22＋42＝20； 在Rt△AOC中，AC2＝32＋32＝18； 在Rt△CFD中，CD2＝12＋12＝2. ∵AC2＋CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形．
课堂小结
图象特点 二次函数y=a(x-
24
平移方法2
y 1 x2 2
3
个 单 位
向 上 平 移
y 1 (x 1)2 3 2
向右平移 1个单位
y 1 x2 3 2
－4
8 6 4 2
－2
24
知识要点
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的(h>0，k>0).
平移规律 y = a( x - h )2 + k
当堂练习
1.将抛物线y＝ 1 x2向右平移2个单位，再向下平移1 3
个单位，所得的抛物线是( A ) 1
A．y＝ 3 (x－2)2－1 B．y＝ 1 (x－2)2＋1 C．y＝ 13 (x＋2)2＋1
湘教版九年级下册数学精品课件 第1章 二次函数 第1课时 二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质
1.列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数.让 x 取 0 和一些互为相反数的数，并算出相应的函数值.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点(x，y)
y 9 6 3
-4 -2 o 2 4 x
Ox
3. 若抛物线 y = ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）. （1）则 a 的值是 2 ； （2）对称轴是 y 轴 ，开口 向上 . （3）与对称轴的交点是（0，0），该点是图象
上的最 小 值 . （4）若 A（x1，y1)，B(x2，y2) 在这条抛物线上，且
x1 < x2 <0，则 y1 > y2.
且 A 点的横坐标是 3，
∴点 A 的纵坐标 y = 2×3+3=9，∴点 A 的坐标为
(3，9)，将点 A 的坐标代入 y = ax2 得：a = 1.
∴抛物线的解析式为 y = x2.
y 2x 3
y
x2
解得：xy
3或
9
x
y
1 1
∴点 B 的坐标为 (-1，1)．
二次函数y=ax2 的图象及性质
问题1：观察图象，点 A 和点 A' ，点 B 和点 B' ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，
它们有什么关系？由此你可以做出什么猜测？
问题2：从图还可看出，y 轴右边描出的各点，当横坐标
增大时，纵坐标怎样变化？
y
y = x2 的图象关于 y 轴对
A9
A'
称，y轴就是它的对称.
B6
B'
图象在 y 轴右边的部分，函数
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点(x，y)
y 9 6 3
-4 -2 o 2 4 x
Ox
3. 若抛物线 y = ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）. （1）则 a 的值是 2 ； （2）对称轴是 y 轴 ，开口 向上 . （3）与对称轴的交点是（0，0），该点是图象
上的最 小 值 . （4）若 A（x1，y1)，B(x2，y2) 在这条抛物线上，且
x1 < x2 <0，则 y1 > y2.
且 A 点的横坐标是 3，
∴点 A 的纵坐标 y = 2×3+3=9，∴点 A 的坐标为
(3，9)，将点 A 的坐标代入 y = ax2 得：a = 1.
∴抛物线的解析式为 y = x2.
y 2x 3
y
x2
解得：xy
3或
9
x
y
1 1
∴点 B 的坐标为 (-1，1)．
二次函数y=ax2 的图象及性质
问题1：观察图象，点 A 和点 A' ，点 B 和点 B' ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，
它们有什么关系？由此你可以做出什么猜测？
问题2：从图还可看出，y 轴右边描出的各点，当横坐标
增大时，纵坐标怎样变化？
y
y = x2 的图象关于 y 轴对
A9
A'
称，y轴就是它的对称.
B6
B'
图象在 y 轴右边的部分，函数
《二次函数》湘教版九年级下册课件
+(m-3)x+m 是二次函数？
解:由题意得
m2—2m-1=2 m+1 ≠0
∴m=3
知识拓展：
温馨提示：同桌交对， 互相帮助！
已知二次函数y=ax2+bx。当x=-1时， y=7；当x=2时，y=10,求a、b的值
解：把x=-1，y=7； x=2，y=10代入
y=ax2+bx中，得：
a-b=7
解得：
(2) a,b,c为常数，且 a≠0.
(3)等式右边的最高次数为 2，可以没有一次项和常数项， 但 不能没有二. 次项
(4) 自变量x的取值范围是 任意实数
驶向胜利的 彼岸
思考：1.你认为判断二次函数的关键 是什么？
判断一个函数是否是二次函数的关键是 ：未知数的最高指数是否为2次
驶向胜利的 彼岸
二次函数的概念：
形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 的函数叫做x的二次函数
观察下列函数有什么共同点:
在y=6x2、y=200x2+400x+200、s=-L2 +30L 这三 个式子中，虽然含有一项的、二项的、三项的，但它们都 是用自变量的二次多项式来表示的,且自变量的最高次都
是二一次。般地,形如 y=ax2+bx+c (a,b,c都是常数,且a≠0)
知识运用
温馨提示：需要细心 考虑哦！
例4:m取何值时，y= (m2-1)xm(m-1）
是二次函数？
解:因为函数y= (m2-1)xm(m-1) 是二次函数
所以m2-m=2,
解得m1=2,m2=-1
但当m=-1时, m2-1=0 而m=2时, m2-1≠0 综上所述,m=2
解:由题意得
m2—2m-1=2 m+1 ≠0
∴m=3
知识拓展：
温馨提示：同桌交对， 互相帮助！
已知二次函数y=ax2+bx。当x=-1时， y=7；当x=2时，y=10,求a、b的值
解：把x=-1，y=7； x=2，y=10代入
y=ax2+bx中，得：
a-b=7
解得：
(2) a,b,c为常数，且 a≠0.
(3)等式右边的最高次数为 2，可以没有一次项和常数项， 但 不能没有二. 次项
(4) 自变量x的取值范围是 任意实数
驶向胜利的 彼岸
思考：1.你认为判断二次函数的关键 是什么？
判断一个函数是否是二次函数的关键是 ：未知数的最高指数是否为2次
驶向胜利的 彼岸
二次函数的概念：
形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 的函数叫做x的二次函数
观察下列函数有什么共同点:
在y=6x2、y=200x2+400x+200、s=-L2 +30L 这三 个式子中，虽然含有一项的、二项的、三项的，但它们都 是用自变量的二次多项式来表示的,且自变量的最高次都
是二一次。般地,形如 y=ax2+bx+c (a,b,c都是常数,且a≠0)
知识运用
温馨提示：需要细心 考虑哦！
例4:m取何值时，y= (m2-1)xm(m-1）
是二次函数？
解:因为函数y= (m2-1)xm(m-1) 是二次函数
所以m2-m=2,
解得m1=2,m2=-1
但当m=-1时, m2-1=0 而m=2时, m2-1≠0 综上所述,m=2
2.2 二次函数的图象与性质 第2课时湘教版九年级下册
增大而增大
增大而减小 ,当x
,当x=0时,函数y的值
0时,y<0.
1.（盐城·中考）给出下列四个函数：
① y x ；② y x ；③ y x ；④ y x 时，y随x的增大而减小的函数有( )
2
1
x0
A．1个 答案:C
B．2个
C．3个
D．4个
2.（烟台·中考）如图，AB为半圆的 直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出
），它
4
关于x轴的对称点Q的坐 标是（
a, 1 2 a
2
）
－4
－2
Q －2 －4
y 1 2 x
2
2.点Q的坐标是否在
y 1 2 x
2
的图象上？
3.由此可知， y
y 1 2 x
2
1 2
x
2
的图象与
4
2 P
y
1 2
x
2
的图象关于 x轴 对称
y 1 2
y 1 2
4.你怎样得到 的图象？
y
y=x2
当x>0时，y随x的增大而增大.
（4）当 x= 0时，y最小值= 0 （5）图象关于y轴对称.
o
x
二次函数y=-x2的图象是什么形状？先想一想，然后作
出它的图象，它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与 同伴进行交流. y y=x2
y
o x
o
x
y=-x2
y 说说二次函数y=-x2的图象 有哪些性质？与同伴交流.
－ 4
－ 2
2
－ 2 － 4
4
一般地，二次函数y=ax2的图象叫做抛物线 二次函数y=ax2的图象关于y轴对称，抛物线与它的对称 轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线y=ax2的顶点是原点.
湘教版九年级下册数学精品教学课件 第1章 二次函数 第1课时 抛物线形二次函数
实际 问题
建立二次 函数模型
利用二次函数的图象 和性质求解
实际问题的解
典例精析 例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央 垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心， OA=1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各 个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂
亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m处达到距水面最 大高度 2.25 m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少 要多少才能使喷出的水流不致落到池外？
探究 你能想出办法来吗？
建立函数模型
这是什么样的函数呢？ 拱桥的纵截面是抛物线， 所以应当是个二次函数
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数图象是 这条抛物线呢？
由于顶点坐标是(0，0)， 因此这个二次函数的
形式为 y ax2 (a 0)
-2 -1 -2
-4
12
A
如何确定 a 是多少？ 已知水面宽 4 m 时，
-2 -1
12
拱顶离水面高 2 米，
-2
A
因此点 A( 2，-2)在抛物线上，
由此得出 2 a 22，解得 a 1 .
-4
因此，y 1 x2
2
，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y 是
2
拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水
设最多可安装 n 扇窗户， ∴1.5n + 0.8(n﹣1) + 0.8×2 ≤10.14， 解得 n ≤ 4.06．则最大的正整数为 4． 答：最多可安装 4 扇窗户.
5. 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似
湘教版九年级数学下册 1.2：二次函数的图像和性质 课件(考场对接)(30张PPT)
题型六 二次函数图像与a, b, c之间的关系
例题6 [衡阳中考]图1-2-6为二次函数y=ax2 +bx+c的图像, 则下列
说法：①a>0；②2a+b>0；③a+b+c>0；④当-1<x<3时, y>0.
其中正确的个数为( B ).
A．1
B．2
C．3
D．4
1.2 二次函数的图像与性质
分析 ∵二次函数图像的开口向下, ∴a<0,①错误；
1.2 二次函数的图像与性质
题型三 利用二次函数的性质比较函数值的大小
例题3 [河南中考]已知点A(4, y1 ), B( , y2 ),C(－2, y3 )都在二次 函数y=(x-2)2 -1的图像上, 则y1 ,y2 , y3 的大小关系是 __y_2 _＜__y_1_＜__y_3_ (用“＜”连接).
1.2 二次函数的图像与性质
解: (1)∵二次函数y=-x2 +2x+m的图像与x轴的一个交点为A(3, 0), ∴-9+2×3+m=0, 解得m=3. (2)由(1), 得二次函数的表达式为y=-x2 +2x+3.当y=0时, -x2 +2x+3=0, 解得x=3或x=-1, ∴点B的坐标为(-1, 0).
1.2 二次函数的图像与性质
解: ∵y=x2 +2x-1=x2 +2x+1-2=(x+1)2 -2, ∴函数图像的顶点坐标为(-1, -2), 对称轴为直线x=-1, 当x=-1时, y最小值 =-2.
1.2 二次函数的图像与性质
锦囊妙计
求二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图像的顶点坐标、对称轴 及函数的最值时, 将表达式化成y=a(x-h)2 +k(a≠0)的形式, 可快 速求解.
2015届湘教版中考数学复习课件(第14课时_二次函数的图象和性质一)
考点聚焦
归类探究
回归教材
第14课时┃ 二次函数的图象和性质(一)
归 类 探 究
探究一 二次函数的定义
命题角度： 二次函数的概念．
例1 [2013· 怀化] 下列函数是二次函数的是( C ) B. y＝－2x＋1 D. y＝x－2
A. y＝2x＋1 C. y＝x2＋2
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归类探究
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第14课时┃ 二次函数的图象和性质(一)
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归类探究
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第14课时┃ 二次函数的图象和性质(一)
解 析
A项， 观察图象，可知抛物线开口向上，函数
有最小值，故正确；B项，观察图象，可知抛物线的对称轴 1 1 为直线x＝ ，故正确；C项，抛物线的对称轴为直线x＝ ， 2 2 1 当x＜ ，y随x的增大而减小，故正确．D项，当－1＜x＜2 2 时，图象位于x轴的下方，所以y＜0，错误，故选D.
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归类探究
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第14课时┃ 二次函数的图象和性质(一)
【方法点析】 求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法：①配方法； 2 b 4ac－b ②公式法，顶点坐标为－ ， . 4a 2a
考点聚焦
归类探究
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第14课时┃ 二次函数的图象和性质(一)
例3 [2014· 中山] 二次函数y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的大致图象如图14－1，关于该二 次函数，下列说法错误的是( D ) A. 函数有最小值 1 B. 对称轴是直线x＝ 2 1 C. 当x＜ 时，y随x的增大而减小 2 D. 当－1＜x＜2时，y＞0
回归教材
第14课时┃ 二次函数的图象和性质(一)
探究二
二次函数的图象与性质
湘教版数学九年级下册第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质课件
把点P 的横坐标a加上1，纵坐标不变，
就得到像点Q 的坐标为
1
( a 1, a 2 )
2
记b=a+1,则a=b-1,从而点Q的坐标为
1
(b, (b 1) 2 )
2
1
2
(
x
1
)
这表明：点Q在函数
的图象上，由此得
2
1
出，抛物线F 是函数 y ( x 1) 2 的图象.
2
1
2
y
(
x
3．已知二次函数y＝－(x＋2)2，下列说法正
确的是( A )
A．当x＞－2时，y随x的增大而减小
B．图象与y轴的交点坐标为(0，2)
C．图象的开口向上
D．图象的顶点坐标是(－1，2)
4．将抛物线y＝－x2沿x轴向左平移3个单位后
y＝－(x＋3)2
所得抛物线的函数表达式是___________．
y=ax2
当向右平移 ︱h︱ 时
y=a(x-h)
当向左平移 ︱h︱ 时
y=a(x+h)
左右平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
2
2
例题讲授
例3抛物线y=ax2向右平移2个单位后经过点(-1,4),
求a的值和平移后的函数表达式.
解：二次函数y=ax2的图象向右平移2个单位
后的二次函数表达式可表示为y=a(x-2)2,
要弄错了！
1
2.
(x+2)
2
(2)∵a>0,
∴在对称轴左侧,即当x<-2时,y随x的增大而减小,
∵-5<-3,∴y1>y2.
2
y
就得到像点Q 的坐标为
1
( a 1, a 2 )
2
记b=a+1,则a=b-1,从而点Q的坐标为
1
(b, (b 1) 2 )
2
1
2
(
x
1
)
这表明：点Q在函数
的图象上，由此得
2
1
出，抛物线F 是函数 y ( x 1) 2 的图象.
2
1
2
y
(
x
3．已知二次函数y＝－(x＋2)2，下列说法正
确的是( A )
A．当x＞－2时，y随x的增大而减小
B．图象与y轴的交点坐标为(0，2)
C．图象的开口向上
D．图象的顶点坐标是(－1，2)
4．将抛物线y＝－x2沿x轴向左平移3个单位后
y＝－(x＋3)2
所得抛物线的函数表达式是___________．
y=ax2
当向右平移 ︱h︱ 时
y=a(x-h)
当向左平移 ︱h︱ 时
y=a(x+h)
左右平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
2
2
例题讲授
例3抛物线y=ax2向右平移2个单位后经过点(-1,4),
求a的值和平移后的函数表达式.
解：二次函数y=ax2的图象向右平移2个单位
后的二次函数表达式可表示为y=a(x-2)2,
要弄错了！
1
2.
(x+2)
2
(2)∵a>0,
∴在对称轴左侧,即当x<-2时,y随x的增大而减小,
∵-5<-3,∴y1>y2.
2
y
数学九年级下湘教版2.2二次函数的图象与性质
$c$决定抛物线与$y$轴的交点
抛物线与$y$轴交于点$(0, c)$。
$a, b, c$共同决定抛物线的顶点
顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
02
二次函数图象绘制
02
二次函数图象绘制
列表描点法绘制图象
80%
列表取值
根与系数关系
根与系数的关系
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，若其两个根为 $x_1$ 和 $x_2$，则有 $x_1 + x_2 = -frac{b}{a}$ 和 $x_1 times x_2 = frac{c}{a}$。
根与系数关系的意义
通过根与系数的关系，我们可以利用已知的系数来求解方程的根，或者通过已知 的根来求解方程的系数。
增减性
当 $a > 0$ 时
在对称轴左侧，即 $x < -frac{b}{2a}$ 时，函数值随 $x$ 的增大而减小；在对 称轴右侧，即 $x > -frac{b}{2a}$ 时，函数值随 $x$ 的增大而增大。
当 $a < 0$ 时
在对称轴左侧，即 $x < -frac{b}{2a}$ 时，函数值随 $x$ 的增大而增大；在对 称轴右侧，即 $x > -frac{b}{2a}$ 时，函数值随 $x$ 的增大而减小。
在自变量的取值范围内列出一系 列$x$的值，并求出对应的$y$值 。
100%
描点
在平面直角坐标系中，以这些 $(x, y)$值为坐标描出对应的点。
80%
连线
用平滑的曲线连接这些点，即可 得到二次函数的图象。
列表描点法绘制图象
抛物线与$y$轴交于点$(0, c)$。
$a, b, c$共同决定抛物线的顶点
顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
02
二次函数图象绘制
02
二次函数图象绘制
列表描点法绘制图象
80%
列表取值
根与系数关系
根与系数的关系
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，若其两个根为 $x_1$ 和 $x_2$，则有 $x_1 + x_2 = -frac{b}{a}$ 和 $x_1 times x_2 = frac{c}{a}$。
根与系数关系的意义
通过根与系数的关系，我们可以利用已知的系数来求解方程的根，或者通过已知 的根来求解方程的系数。
增减性
当 $a > 0$ 时
在对称轴左侧，即 $x < -frac{b}{2a}$ 时，函数值随 $x$ 的增大而减小；在对 称轴右侧，即 $x > -frac{b}{2a}$ 时，函数值随 $x$ 的增大而增大。
当 $a < 0$ 时
在对称轴左侧，即 $x < -frac{b}{2a}$ 时，函数值随 $x$ 的增大而增大；在对 称轴右侧，即 $x > -frac{b}{2a}$ 时，函数值随 $x$ 的增大而减小。
在自变量的取值范围内列出一系 列$x$的值，并求出对应的$y$值 。
100%
描点
在平面直角坐标系中，以这些 $(x, y)$值为坐标描出对应的点。
80%
连线
用平滑的曲线连接这些点，即可 得到二次函数的图象。
列表描点法绘制图象