江苏省南通市海安县2019_2020学年度第一学期高三期初调研考试数学试卷

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【解析】江苏省南通市、泰州市2019-2020学年高三上学期第一次调研考试数学试题

2019-2020南通、泰州高三第一次调研试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1.已知集合{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，则A B =_____. 答案：{1,2}-解：因为{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，所以{1,2}A B =-2.已知复数z 满足(1)2i z i +=，其中i 是虚数单位，则z 的模为_______.解：22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-，则||z 3.某校高三数学组有5名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为______. 答案：40 解：3535413851405++++=4.根据如图所示的伪代码，输出的a 的值为______. 答案：11 解：模拟演示：1,1a i == 2,2a i == 4,3a i == 7,4a i ==11,5a i ==此时输出11a =5.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a d的值为____. 答案：1解：由题意得：2214a a a =⋅，则2111()(3)a d a a d +=⋅+，整理得1a d =，所以11a d=6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为___. 答案：38解：223113()()228P C =⋅⋅=7.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则三棱锥111A BB C -的体积为____.解：112232V =⨯⨯⨯=8.已知函数()sin()3f x x πω=-(0)ω>，若当6x π=时，函数()f x 取得最大值，则ω的最小值为_____. 答案：5 解：由题意得：2632k ωππππ-=+，k z ∈，则512k ω=+，k z ∈，因为0ω>，所以当0k =时ω取得最小值，即5ω=9.已知函数2()(2)(8)f x m x m x =-+-()m R ∈是奇函数，若对于任意的x R ∈，关于x 的不等式2(+1)()f x f a <恒成立，则实数a 的取值范围是____. 答案：1a <10.在平面直角坐标系xOy 中,已知点,A B 分别在双曲线22:1C x y -=的两条渐近线上,且双曲线C 经过线段AB 的中点，若点A 的横坐标为2，则点B 的横坐标为_____. 答案：1211.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如.地震时释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震,它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的____倍. 答案：100012.已知ABC ∆的面积为3，且AB AC =，若2CD DA =，则BD 的最小值为_____.13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:8C x y +=与圆222:20C x y x y a +++-=相交于,A B 两点，若圆1C 上存在点P ，使得ABP ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为____.14.已知函数||1|1|,0(),01x x f x xx x --≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，若关于x 的方程22()2()10f x af x a ++-=有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABCBC AC的中⊥，,D E分别为,-中，PA⊥平面ABC，PC AB点.求证：（1）AB∥平面PDE；（2）平面PAB⊥平面PAC.16.（本小题满分14分）在ABC∆中，已知4AC=，3BC=，1 cos4B=-.（1）求sin A的值. （2）求BA BC⋅的值.17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆2222:1x yEa b+=(0)a b>>的焦距为4，两条准线间的距离为8，A,B分别为椭圆E的左、右顶点。

江苏省海安县2019届高三上学期期中数学试题含答案

江苏省海安县2019届高三期中学业质量监测试题数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知全集U＝{0，2，4，6，8}，集合A＝{0，4，6}，则∁U A＝．2．已知复数z满足(1i)43iz+=-（i为虚数单位），则复数z的模为．3．已知某民营车企生产A，B，C三种型号的新能源汽车，库存台数依次为120，210，150，某安检单位欲从中用分层抽样的方法随机抽取16台车进行安全测试，则应抽取B型号的新能源汽车的台数为．4．设实数x，y满足123xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩，则x＋y的最小值为．5．有红心1，2，3，4和黑桃5这五张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌均为红心的概率是．6．运行如图所示的流程图，则输出的结果S为．7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2214xy-=的右焦点与抛物线22(0)y px p=>的焦点重合，则p的值为．8．已知函数()Asin()f x xωϕ=+（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）在R上的部分图象如图所示，则(36)f的值为．9．如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，则三棱锥O—A1BC1的体积为．10．设等比数列{}n a的公比为q（0＜q＜1），前n项和为n S．若存在m N*∈，使得2m ma a++=152ma+，且11022m mS a+=，则m的值为．第8题第9题第11题第6题11．已知AB 为圆的直径，点C ，D 为圆上两点（在AB 两侧），且AC ＝1，AD ＝2，AB ＝3，则AD BC ⋅u u u r u u u r的值为．12．已知函数21()log ()1kxf x k R x -=∈-为奇函数，则不等式()1f x <的解集为． 13．已知正数x ，y ，z 满足11(2)()4x y y z++=，且z ≤3x ，则P ＝22323x y xy +的取值范围是．14．设命题p ：“存在0x ∈[1，2]，使得200x ax b c ++≥，其中a ，b ，c ∈R ．”若无论a ，b 取何值时，命题p 都是真命题，则c 的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，若平面向量(27x b c =-r，cosC)，(y a =u r ，cos A)，且x r ∥y ur ．（1）求cosA 的值；（2）若tanB ＝32，求角C 的大小． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ，PB ＝PD ＝2AC ，E 是PD 的中点，求证：（1）PB ∥平面ACE ；（2）平面PAC ⊥平面ABCD ．17．（本小题满分14分）如图，已知AB 为椭圆E ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，过坐标原点O 且倾斜角为135°的直线交椭圆E 于C ，D 两点，且D 在x 轴上的射影D'恰为椭圆E 的长半轴OB 的中点．（1）求椭圆E 的离心率；（2）若AB ＝8，不过第四象限的直线l 与椭圆E 和以CD 为直径的圆均相切，求直线l 的方程．18．（本小题满分16分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或骑单车方式通勤．分析显示：当S 中x %（0＜x ＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为30,030()1800290,30100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩（单位：分钟），而骑单车群体的人均通勤时间为331,070()1052,70100x x g x x ⎧+<≤⎪=⎨⎪<<⎩（单位：分钟）．试根据上述分析结果回答下列问题：（1）试确定x 的取值范围，使得自驾群体的人均通勤时间少于骑单车群体的人均通勤时间；（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()p x 的表达式，讨论()p x 的单调性，并说明其实际意义． 19．（本小题满分16分）已知函数()xf x xe =，()(ln )g x a x x =+，a R ∈．（1）求函数()f x 的极值点；（2）已知T(0x ，0y )为函数()f x ，()g x 的公共点，且函数()f x ，()g x 在点T 处的切线相同，求a 的值；（3）若函数()()y f x g x =-在(0，+∞)上的零点个数为2，求a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）如果数列1a ，2a ，…，m a （m ≥3，m N *∈）满足：①1a ＜2a ＜…＜m a ；②存在实数0x ，1x ，2x ，…，m x 和d ，使得0x ≤1a ＜1x ≤2a ＜2x ≤3a ＜…≤m a ＜m x ，且对任意0≤i ≤m ﹣1（i N ∈），均有i 1i x x d +-=，那么称数列1a ，2a ，…，m a 是“Q 数列”．（1）判断数列1，3，6，10是不是“Q 数列”，并说明理由；（2）已知k ，t 均为常数，且k ＞0，求证：对任意给定的不小于3的正整数m ，数列{k }n t +（n ＝1，2，…，m ）都是“Q 数列”；（3）若数列{}2n （n ＝1，2，…，m ）是“Q 数列”，求m 的所有可能值．参考答案15．16．17．18．19．20．。

江苏省南通市海安高级中学19年-20年学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析

江苏省南通市海安高中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，则∁U M═______．【答案】{3，4}【解析】【分析】根据集合的补集定义进行计算即可．【详解】∵U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，∴∁U M={3，4}，故答案为：{3，4}【点睛】本题考查了集合的基本运算，属于基础题．2.若函数f（x）=（m-3）x m为幂函数，则实数m的值为______．【答案】4【解析】【分析】根据幂函数的定义，写出实数m的值即可．【详解】函数f（x）=（m-3）x m为幂函数，∴m-3=1，m=4，∴实数m的值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了幂函数的定义，属于基础题．3.已知f（x）=，则f（-2）=______．【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得答案．【详解】根据题意，f（x）=，则.故答案为：．【点睛】本题考查函数值的计算，关键是掌握分段函数解析式的形式，属于基础题．4.设函数f（x）满足f（x-1）=4x-4，则f（x）=______．【答案】4x【解析】【分析】变形f（x-1）得出f（x-1）=4（x-1），从而得出f（x）=4x．【详解】由题意得，f（x-1）=4x-4=4（x-1），∴f（x）=4x．故答案为：4x．【点睛】本题考查了换元法求函数解析式的方法，属于基础题。

5.设函数g（x）=e x+ae-x（x∈R）是奇函数，则实数a=______．【答案】-1【解析】【分析】根据条件知g（x）在原点有定义，从而有g（0）=0，这样即可求出a的值．【详解】由于g（x）在R上为奇函数；∴g（0）=0；即1+a•1=0；∴a=-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查奇函数的概念，以及奇函数g（x）在原点有定义时，g（0）=0，属于基础题。

6.=______．【答案】【解析】【分析】应用对数运算法则计算即可．【详解】原式=.【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．7.已知三个数a=2m，b=m2，c=，其中0＜m＜1，则a，b，c的大小关系是______．（用“＜”或者“＞”表示）【答案】c＜b＜a【解析】【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出答案．【详解】∵0＜m＜1，∴a=2m＞1，b=m2∈（0，1），c=＜0，故a，b，c的大小关系是c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a．【点睛】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.已知函数f（x）=|x+n|+|x-n|（n为常数），则f（x）的奇偶性为______．（填“奇函数”、“偶函数”或“既不是奇函数也不是偶函数”）【答案】偶函数【解析】【分析】由f（-x）=|-x+n|+|-x-n|=|x-n|+|x+n|= f（x）可以判断函数的奇偶性。

江苏南通2019高三第一次调研考试-数学(word版)

江苏南通2019高三第一次调研考试-数学（word 版）参考答案与评分标准〔考试时间：120分钟总分值：160分〕【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分、请把答案填写在答题卡相应的位置上、1、全集U =R ，集合{}10A x x =+>，那么U A =ð ▲ 、答案：(,1]-∞-、2、复数z =32i i-(i 是虚数单位)，那么复数z 所对应的点位于复平面的第 ▲ 象限、答案：三、3、正四棱锥的底面边长是6，那个正四棱锥的侧面积是 ▲ 、答案：48. 4、定义在R 上的函数()f x ，对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=，当(2,0)x ∈- 时，()4x f x =，那么(2013)f = ▲ 、答案：14、那么p 是q 的▲、〔从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空〕答案：否命题、 6、双曲线22221y x a b -=的一个焦点与圆x 2+y 2－10x =0的圆心重合，，那么该双曲线的标准方程为▲、答案：221520y x -=、7、假设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－36，S 13=－104，那么a 5与a 7的等比中项为▲、答案：±、8、实数x ∈[1，9]，执行如右图所示的流程图，那么输出的x 不小于55的概率为▲、答案：38、9、在△ABC 中，假设AB =1，AC||||AB AC BC +=，那么||BA BCBC ⋅=▲、答案：12、10、01a <<，假设log (21)log (32)a a x y y x -+>-+，且x y <+λ，那么λ的最大值为▲、答案：－2、11、曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x'=-+在点(1，f (1))处的切线方程为▲、答案：1e 2y x =-、12、如图，点O 为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，假设振幅为3cm ，周期为3s ，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时、那么该物体5s 时刻的位移为▲cm 、(第12题)O答案：－1.5、13、直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，且PA =PB ,那么0x 的取值范围为▲、答案：(1,0)(0,2)-、14、设P (x ，y )为函数21y x =-(x >图象上一动点，记353712x y x y m x y +-+-=+--，那么当m 最小时，点P 的坐标为▲、答案：(2，3)、【二】解答题：本大题共6小题，共计90分、请把答案写在答题卡相应的位置上、解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤、 15、(此题总分值14分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是侧面AA 1B 1B 对角线的交点，F 是侧面AA 1C 1C 对角线的交点，D 是棱BC 的中点、求证：〔1〕//EF 平面ABC ；〔2〕平面AEF ⊥平面A 1AD 、解：〔1〕连结11A B A C 和、因为E F 、分别是侧面11AA B B 和侧面11AA C C 的对角线的交点，因此E F 、分别是11A B A C 和的中点、因此//EF BC 、………………………………………………………3分又BC ⊂平面ABC 中，EF Ø平面ABC 中，故//EF 平面ABC 、………………………………………………6分〔2〕因为三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，因此1A A ⊥平面ABC ，因此1BC A A ⊥、故由//EF BC ，得1EF A A ⊥、………………………………………8分又因为D 是棱BC 的中点，且ABC ∆为正三角形，因此BC AD ⊥、故由//EF BC ，得EF AD ⊥、…………………………………………………………………10分而1A A AD A =，1,A A AD ⊂平面1A AD，因此EF ⊥平面1A AD 、…………………………………12分又EF ⊂平面AEF，故平面AEF ⊥平面1A AD 、………………………………………………………14分 16.〔此题总分值14分〕在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+、〔1〕求角C 的大小；〔2〕假设△ABC 的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围、解：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B+=+，因此sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+，即sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得sin()sin()C A B C -=-、……………………………………………………………………………ABC DE F A 1B 1C 1 (第15题) ABCDE F A 1 B 1 C 1 (第15题)4分因此C A B C -=-，或()C A B C π-=--(不成立)、即2C A B =+,得3C π=、 (7)分(2)由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-、因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====，…………………………………………………………8分故22221cos 21cos 2sin sin 22A Ba b A B --+=+=+=12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦ααα、………………………………………11分ππ2π2π,2,3333αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故223342a b <+≤、……………………………14分 17.〔此题总分值14分〕某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用、如下图，()ABCD AB AD >为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB '交DC 于点P 、当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB PD '的面积最大时制冷效果最好、〔1〕设AB =x 米，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围；〔2〕假设要求最节能，应怎么样设计薄板的长和宽？〔3〕假设要求制冷效果最好，应怎么样设计薄板的长和宽？解：〔1〕由题意，AB x =，2BC x =-、因2x x >-，故12x <<、……………………………2分设DP y =，那么PC x y =-、因△ADP ≌△CB P '，故PA PC x y ==-、由222PA AD DP =+，得2221()(2)2(1)x y x y y x-=-+⇒=-，12x <<、……………………5分〔2〕记△ADP 的面积为1S ，那么11(1)(2)S x x=--………………………………………………………………………………………6分23()2x x=-+≤- 当且仅当x =∈(1，2)时，S 1取得最大值、…………………………………………………………8分故当薄板长为米，宽为2米时，节能效果最好、………………………………………9分〔3〕记△ADP 的面积为2S ，那么ABCD（第17题）B 'P221114(2)(1)(2)3()22S x x x x x x=-+--=-+，12x <<、……………………………………………10分因此，3222142(2)02x S x x x x-+'=--==⇒=11分关于x 的函数2S 在上递增，在上递减、因此当x =时，2S 取得最大值、……………………………………………………13分故当薄板长为米，宽为2米时，制冷效果最好、………………………………………14分 18.〔此题总分值16分〕数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=、〔1〕求a 1；〔2〕证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；〔3〕设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？假设存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；假设不存在，说明理由、解：(1)令n =1，那么a 1=S 1=111()2a a -=0、………………………………………………………………3分(2)由1()2n n n a a S -=，即2n n na S =，① 得11(1)2n n n a S +++=、 ② ②－①，得1(1)n nn a na +-=、 ③因此，21(1)n n na n a ++=+、④③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=、……………………………………………7分又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，因此，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列、因此，a n =n －1、………………………………………………………………………………………9分(3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，那么lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，因此，21333p qp q =+、…………………………………………………………………………………11分因此，213()33q p p q =-(☆)、易知(p ，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解、……………………………………………………………13分当p ≥3，且p ∈N *时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23pp }(p ≥3)为递减数列，因此2133p p-≤323133⨯-<0，因此如今方程(☆)无正整数解、综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列、…………………………16分注在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分、但在做除法过程中未对n ≥2的情形予以说明的，扣1分、 19.〔此题总分值16分〕左焦点为F (－1，0)的椭圆过点E (1)、过点P (1，1)分别作斜率为k 1，k 2的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点、〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕假设P 为线段AB 的中点，求k 1；〔3〕假设k 1+k 2=1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标、解：依题设c =1，且右焦点F '(1，0)、因此，2a =EF EF '++=，b 2=a 2－c 2=2，故所求的椭圆的标准方程为22132y x +=、…………………………………………………………4分 (2)设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，那么2211132x y +=①，2222132x y +=②、②－①，得21212121()()()()032x x x x y y y y -+-++=、因此，k 1=212121212()423()63P P y y x x x x x y y y -+=-=-=--+、………………………………………………………9分 (3)依题设，k 1≠k 2、设M (Mx ,My )，直线AB 的方程为y －1=k 1(x －1)，即y =k 1x +(1－k 1)，亦即y =k 1x +k 2，代入椭圆方程并化简得2221122(23)6360k x k k x k +++-=、因此，1221323M k k x k -=+，221223M k y k =+、……………………………………………………………11分同理，1222323N k k x k -=+，122223N k y k =+、当k 1k 2≠0时，直线MN 的斜率k =M N M N y y x x -=-222211212146()9()k k k k k k k k +++-+=21211069k k k k --、……………………………………13分直线MN 的方程为2211222211121063()92323k k k k k y x k k k k ---=--++，即21211222221211110610632()992323k k k k k k k y x k k k k k k --=+⋅+--++，亦即2121106293k k y x k k -=--、如今直线过定点2(0,)3-、………………………………………………………………………………15分当k 1k 2=0时，直线MN 即为y 轴，如今亦过点2(0,)3-、综上，直线MN 恒过定点，且坐标为2(0,)3-、……………………………………………………16分20.〔此题总分值16分〕函数()(0ln x f x ax x x=->且x ≠1)、〔1〕假设函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，求实数a 的最小值；〔2〕假设212,[e,e ]x x ∃∈，使f (x 1)≤2()f x a '+成立，求实数a 的取值范围、解：〔1〕因f (x )在(1,)+∞上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立、………………2分因此当(1,)x ∈+∞时，max()0f x '≤、又()22ln 111()ln ln (ln )x f x a a x x x -'=-=-+-()2111ln 24a x =--+-，故当11ln 2x =，即2e x =时，max1()4f x a '=-、因此10,4a -≤因此14a ≥，故a 的最小值为14、……………………………………………………6分〔2〕命题“假设212,[e,e ],x x ∃∈使()12()f x f x a '≤+成立”等价于“当2[e ,e ]x ∈时，有()min max()f x f x a '≤+”、……………………………………………………7分由〔1〕，当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14f x a '+=、问题等价于：“当2[e,e ]x ∈时，有mi n 1()4f x ≤”、……………………………………………………8分01当14a ≥时，由〔1〕，()f x 在2[e,e ]上为减函数，那么m i n()f x =222e 1(e )e 24f a =-≤，故21124ea ≥-、……………………………………………10分 02当14a <时，由于()f x '()2111ln 24a x =--+-在2[e,e ]上为增函数，故()f x '的值域为2[(e),(e )]f f ''，即1[,]4a a --、 (i )假设0a -≥，即0a ≤，()0f x '≥在2[e,e ]恒成立，故()f x 在2[e,e ]上为增函数，因此，min()f x =1(e)e e e>4f a =-≥，不合、…………………………………………………12分(ii )假设0a -<，即104a <<，由()f x '的单调性和值域知，∃唯一20(e,e )x ∈，使0()0f x '=，且满足：当0(e,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当20(,e )x x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数；因此，min()f x =00001()ln 4x f x ax x =-≤，20(e,e )x ∈、因此，2001111111ln 44e 244ln e a x x ≥->->-=，与104a <<矛盾，不合、………………………15分综上，得21124ea ≥-、………………………………………………………………………………16分AB E DCO(第21A 题) 南通市2018届高三第一次调研测试数学附加题参考答案与评分标准〔考试时间：30分钟总分值：40分〕21、【选做题】此题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题，每题10分，共20分、请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、A 、选修4－1：几何证明选讲如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，假设AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，F 是BC 的中点、求证：〔1〕AB AC AE AD ⋅=⋅；〔2〕FAE FAD ∠=∠、证明：〔1〕连BE ，那么E C ∠=∠，又Rt ABE ADC ∠=∠=∠，因此△ABE ∽△ADC ，因此AB AE AD AC =、∴AB AC AE AD ⋅=⋅、……………………………………………………………………………………5分〔2〕连OF ，∵F 是BC 的中点，∴BAF CAF ∠=∠、由(1)，得B A E C A D ∠=∠，∴FAE FAD ∠=∠、…………………………………………………10分 B 、选修4－2：矩阵与变换曲线2:2C y x = ，在矩阵M1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程、解：设A =NM ，那么A 011002100210--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，………………………………………………………3分设()','P x y 是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线2C 上的对应的点为(),P x y ，那么02'2'10''x x y y y x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2',',x y y x =-⎧⎨=⎩∴',1'.2x y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩ (7)分又点()','P x y 在曲线2:2C y x= 上，∴21()22x y-=，即218y x =、………………………………10分C 、选修4－4：坐标系与参数方程极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合、曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 3+=ρθρθ，直线l的参数方程为,1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数，t ∈R )、试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大、解：曲线C 的一般方程是2213x y +=、…………………………………………………………………2分直线l 的一般方程是0x +=、………………………………………………………………4分设点M的直角坐标是,sin )θθ，那么点M 到直线l 的距离是d……………7分因为)4≤+≤πθ当πsin()14θ+=-，即ππ2π(42k k θ+=-∈Z )，即3π2π(4k k θ=-∈Z )时，d 取得最大值、==θθ、综上，点M的极坐标为7π)6时，该点到直线l 的距离最大、 (10)分注凡给出点M的直角坐标为(，不扣分、 D 、选修4－5：不等式选讲0,0,a b >>且21a b +=，求224S a b =-的最大值、解：0,0,21,a b a b >>+=∴2224(2)414a b a b ab ab +=+-=-,………………………………………………………………2分且12a b =+≥，即≤，18ab ≤,……………………………………………………5分∴224S a b =-(14)ab =--41ab =+-≤,当且仅当11,42a b ==时，等号成立、…………………………………………………………………10分22、(本小题总分值10分)、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、如图，定点R (0，－3)，动点P ，Q 分别在x 轴和y 轴上移动，延长PQ 至点M ，使12PQ QM=，且0PR PM ⋅=、〔1〕求动点M 的轨迹C 1；〔2〕圆C 2：22(1)1x y +-=，过点(0，1)的直线l 依次交C 1于A ，D 两点〔从左到右〕，交C 2于B ，C 两点〔从左到右〕，求证：AB CD ⋅为定值、解：〔1〕法一：设M (x ，y )，P (x 1，0)，Q (0，y 2)，那么由10,2PR PM PQ QM⋅==及R (0，－3)，得11122()(3)0,1,211.22x x x y x x y y y ⎧⎪--+-=⎪⎪-=⎨⎪⎪=-⎪⎩化简，得24x y =、……………………………………………………………4分因此，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线、………………………………………5分法二：设M (x ，y )、由12PQ QM =，得(,0),(0,)23x y P Q -、因此，3(,3),(,)22x xPR PM y =-=、由0PR PM =，得3(,3)(,)022x x y -⋅=，即23304x y -=、化简得24x y =、…………………4分因此，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线、………………………………………5分〔2〕证明：由题意，得AB CD AB CD ⋅=⋅，⊙C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F 、设11(,)A x y ，22(,)D x y ，那么1111AB FA FB y y =-=+-=、……………………………………7分同理2CD y =、设直线的方程为(1)x k y =-、由2(1),1,4x k y y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩得221(1)4y k y =-，即2222(24)0k y k y k --+=、因此，121AB CD AB CD y y ⋅=⋅==、………………………………………………………………10分23、(本小题总分值10分)、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、数列{a n }满足：1*1122,1()n a n a a a a n -+=-=+∈N 、〔1〕假设1a =-，求数列{a n }的通项公式；〔2〕假设3a =，试证明：对*n ∀∈N ，a n 是4的倍数、解：(1)当1a =-时，1114,(1)1n a n a a -+=-=-+、令1n n b a =-，那么115,(1)n b n b b +=-=-、因15b =-为奇数，nb 也是奇数且只能为1-，因此，5,1,1,2,n n b n -=⎧=⎨-≥⎩即4,1,0, 2.n n a n -=⎧=⎨≥⎩………………………………………………………3分 (2)当3a =时，1114,31n a n a a -+==+、………………………………………………………………4分下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数、当1n =时，1441a ==⨯，命题成立；设当*()n k k =∈N 时，命题成立，那么存在t ∈N *，使得4ka t =，1414(1)1313127(41)1k a t t k a ---+∴=+=+=⋅-+27(41)14(277)m m =⋅++=+，其中，4(1)14544434(1)4(1)4(1)44C 4(1)C 4C 4t t r r t r t t t t m --------=-⋅++-⋅+-⋅， m ∴∈Z ，∴当1n k =+时，命题成立、∴由数学归纳法原理知命题对*n ∀∈N 成立、…………………………………………………10分南通市2018届高三第一次调研测试数学Ⅰ讲评建议第1题考查集合运算、注意集合的规范表示法，重视集合的交并补的运算、第2题考查复数的差不多概念及几何意义、对复数的概念宜适当疏理，防止出现知识盲点、第3题考查常见几何体的表面积与体积的计算、应熟练掌握常见几何体的表面积的计算，灵活应用等体积法计算点面距、第4题此题考查一般函数的性质——周期性在解题中的应用、第5题此题考查简易逻辑的知识、应注意四种命题及其关系，注意全称命题与特称性命题的转换、第6题此题考查双曲线的标准方程、简单性质与圆的有关知识、对双曲线的讲评不宜过分引申、第7题此题要紧考查等差数列的差不多概念及其简单运算、法一用性质、S 9=9a 5=-36，S 13=13a 7=-104，因此a 5=-4，a 7=-8，等比中项为± 法二用差不多量、S 9=9a 1+36d =-36，S 13=13a 1+78d =-104，解得a 1=4，d =-2、下同法一、第8题此题要紧考查算法及几何概型等知识、法一当输入x =1时，可输出x =15；当输入x =9时，可输出y =79、因此当输入x 的取值范围为[1，9]时，输出x 的取值范围为[15，79]，所求概率为7955379158-=-、法二输出值为87x +、由题意：8755x +≥，故69x ≤≤、第9题此题要紧考查向量与解三角形的有关知识、满足||||AB AC BC +=的A ，B ，C 构成直角三角形的三个顶点，且∠A 为直角，因此BA BC ⋅=2BA =1、第10题此题要紧考查对数与线性规划的基础知识及简单运算、讲评时应强调对数的真数应大于0、强调对数函数的单调性与底数a 之间的关系、第11题此题要紧考查差不多初等函数的求导公式及其导数的几何意义、(1)()e (0)e x f f x f x ''=-+1(1)(1)e (0)1ef f f ''⇒=-+(0)1f ⇒=、在方程2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+中，令x =0，那么得(1)e f '=、讲评时应注意强调“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的区别、第12题此题要紧考查三角函数及其应用、考题取自教材的例题、教学中应关注课本，以及有关重要数学模型的应用，讲评时还要强调单位书写等问题、S (t )=103sin()32t ππ+，求S (5)=-1.5即可、第13题此题要紧考查直线与圆的有关知识、圆心C (-1，0)到直线l ：y =ax +3的距离为3d =<，解得a >0或a <34-、由PA =PB ，CA =CB ，得PC ⊥l ，因此1PC k a=-，进而可求出x 0的取值范围、第14题考查灵活运用所学知识分析问题与解决问题的能力，考查运用差不多不等式解决问题、讲评时应注意加强对学生运用整体法观看问题解决问题能力的培养、法一2223631013x x x x m x x +-+-=+--2231613x x x x --=++--、当且仅当223113x x x x --=--，即2x =时m 取得最小，如今点P 的坐标为(2,3)、法二33213612x y x y m x y -+--+-=+--21612y x x y --=++--、当且仅当2112y x x y --=--时m 取得最小值、下略、第15题此题要紧考查空间点线面的位置关系，考查逻辑推理能力以及空间想象能力、讲评时应注意强调规范化的表达、注意所用解题依据都应来自于课本的有关定义、公理、定理等、第16题此题要紧考查三角函数及解三角形的有关知识，涉及两角和与差的三角公式、正余弦定理等、讲评时，应适当渗透切化弦、化同名、边角互化、减少变量等策略，同时注意三角形内本身一些关系在解决问题时的应用，例如两边之和大于第三边，sin (A +B )=sinC ，面积公式及等积变换等、(2)法一：由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-、因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====，故22221cos 21cos 2sin sin 22A Ba b A B --+=+=+ =12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332ααα⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦、 ππ2π2π,2,3333αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故223342a b <+≤、法二：由正弦定理得：2sin c R C ==、由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，故2234a b ab +=+、因为0,0a b >>，因此2234a b +>、又222a b ab +≤，故2222342a b a b +++≤，得2232a b +≤、因此，223342a b <+≤、第17题此题要紧考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力、试题以常见的图形为载体，再现对差不多不等式、导数等的考查、讲评时，应注意强调解决应用问题的一般步骤与思维规律，教学中应关心学生克服解决应用题时的畏惧心理，在学生独立解决应用问题的过程中不断增强他们的自信心、在使用差不多不等式应注意验证取等号的条件，使用导数时应慎重决断最值的取值情况、第18题此题要紧考查等差数列与等比数列的基础知识及差不多运算，考查创新能力、两个差不多数列属C 能要求，属高考必考之内容，属各级各类考试之重点、第(3)问中，假设数列{a n }为等差数列，那么数列{n a k }(k >0且k ≠1)为等比数列；反之假设数列{a n }为等比数列，那么数列{log a na }(a >0且a ≠1)为等差数列、第(3)问中，假如将问题改为“是否存在正整数m ，p ，q (其中m <p <q )，使b m ，b p ，b q 成等比数列？假设存在，求出所有满足条件的数组(m ，p ，q )；假设不存在，说明理由、”那么，答案仍然只有唯一组解、如今，在解题时，只须添加当m ≥2时，说明方程组无解即可，其说明思路与原题的解题思路差不多相同、关于第(2)问，在得到关系式：1(1)n n n a na +-=后，亦可将其变形为11n n a n a n +=-，并进而使用累乘法(迭乘法)，先行得到数列{a n }的通项公式，最后使用等差数列的定义证明其为等差数列亦可、但需要说明n ≥2、考虑到这是全市的第一次大考，又是考生进入高三一轮复习将近完成后所进行的第一次大规模的检测，因而在评分标准的制定上，始终本着让学生多得分的原那么，例如此题中的第(1)问4分，不设置任何的障碍，差不多让学生能得分、第19题此题要紧考查直线与椭圆的基础知识，考查计算能力与独立分析问题与解决问题的能力、讲评此题时，要注意对学生耐挫能力的培养、第〔2〕问，亦可设所求直线方程为y -1=k 1(x -1)，与椭圆方程联立，消去一个变量或x 或y ，然后利用根与系数的关系，求出中点坐标与k 1的关系，进而求出k 1的值、第〔3〕问，可有一般的情形：过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦，那么两动弦的中点所在直线过定值、此结论在抛物线中也成立、另外，也能够求过两中点所在直线的斜率的最值、近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势：多考一点“算”，少考一点“想”、第20题此题要紧考查函数与导数的知识，考查运用所学数学知识分析问题与解决问题的能力、第〔2〕可另解为：命题“假设212,[e,e ],x x ∃∈使()12()f x f x a '+≤成立”等价于“21[e,e ]x ∃∈，使()1max ()f x f x a '+≤”、由〔1〕，当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，因此()max 14f x a '+=、故21[e,e ]x ∃∈，使11111()ln 4x f x ax x =-≤，即21[e,e ]x ∃∈，使1111ln 4a x x -≥、因此当2[e,e ]x ∈时，()min 11ln 4a x x -≥、记211(),[e,e ]ln 4g x x x x =-∈，那么222224(ln )11()(ln )44(ln )x x g x x x x x x -+-'=+=⋅、因2[e,e ]x ∈，故224[4e,4e ],(ln )[1,4]x x ∈∈，因此2()0,[e,e ]g x x '<∀∈恒成立、因此，11()ln 4g x x x=-在2[e,e ]上为减函数，因此，min 2221111()2ln e 4e 4e g x =-=-、因此，21124ea -≥、。

2019-2020学年江苏省南通市海安高中高一(上)段考数学试卷(一)(10月份)

2019-2020学年江苏省南通市海安高中高一（上）段考数学试卷（一）（10月份）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 已知A ＝{x|−1<x <3}，B ＝{x|1<x <2}，则A ∪B ＝（） A.(−∞, +∞) B.(1, 2) C.(−1, 3) D.(1, 3)2. 将抛物线y ＝x 2+bx +c 向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数式为y ＝x 2−2x −3，则b ，c 的值为（） A.b ＝2，c ＝2 B.b ＝−2，c ＝−1 C.b ＝2，c ＝0 D.b ＝−3，c ＝23. 函数f(x)在(−∞, +∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x −2)≤1的x 的取值范围是（） A.[−2, 2] B.[−1, 1] C.[0, 4] D.[1, 3]4. 若函数y =x 2−3x −4的定义域为[0, m]，值域为[−254, −4]，则m 的取值范围是( ) A.(0, 4] B.[32，4]C.[32，3]D.[32，+∞)5. 若关于x 的一元二次方程(x −2)(x −3)＝m 有实数根x 1，x 2，且x 1<x 2，则下列结论中错误的个数是（）（1）当m ＝0时，x 1＝2，x 2＝3(2)m >−14(3)当m >0时，2<x 1<x 2<3(4)二次函数y ＝(x −x 1)(x −x 2)+m 的图象与x 轴交点的坐标为(2, 0)和(3, 0) A.1 B.2 C.3 D.06. 若函数f(x)={x 3+2x 2+3x,x ≥0x 3+ax 2+bx,x <0 为奇函数，则实数a ，b 的值分别为（）A.2，3B.−2，3C.−2，−3D.2，−37. 设函数f(x)对x ≠0的一切实数均有f(x)+2f(2019x)=6x ，则f(2019)＝（）A.−4034B.2017C.2018D.40368. 函数f(x)＝x 2−2ax +a 在区间(−∞, 1)上有最小值，则函数g(x)=f(x)x在区间(1, +∞)上一定（） A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数9. 对任意x ∈R ，函数f(x)表示−x +3，32x +12,x 2−4x +3中较大者，则f(x)的最小值为（） A.2 B.3 C.4 D.510. 若函数f(x)＝x 2+a|x|+2，x ∈R 在区间[3, +∞)和[−2, −1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是（） A.[−113, −3] B.[−6, −4] C.[−3, −2√2] D.[−4, −3]11. 设集合A ＝{r 1, r 2, ...r n }⊆{1, 2, 3, ...37}，且A 中任意两数之和不能被5整除，则n 的最大值为（） A.17 B.18 C.15 D.1612. 设函数f(x)的定义域为R ，满足f(x +2)＝2f(x)，且当x ∈(0, 2]时，f(x)=x +1x−94．若对任意x ∈(−∞, m]，都有f(x)≥−23，则m 的取值范围是( )A.(−∞,215] B.(−∞,163]C.(−∞,184]D.(−∞,194]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.若集合A ＝{x|x 2−2x −3＝0}，B ＝{x|ax −1＝0}，且A ∩B ＝B ，则实数a 的取值集合为________{0,−1,13} ．函数f(x)=12−x+√16−x 2的定义域是________．已知f(√x +2)=x +4√x ，则f(x)的解析式为________．已知f(x)为定义在R 上的偶函数，g(x)＝f(x)+x 2，且当x ∈(−∞, 0]时，g(x)单调递增，则不等式f(x +1)−f(x +2)>2x +3的解集为________−32，+∞) ．三、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.≥0},C={x|x2−(2a+4)x+a2+4a≤0}．已知A={x|x2−6x+8≤0},B={x|x−1x−3（1）求A∩B；（2）若A⊆C，求实数a的取值范围．已知函数f(x)＝a|x|+x+1．x∈R（1）若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）当a＝1时，作出函数f(x)的图象，并求f(x)的值域．已知函数f(x)是定义在(−4, 4)上的奇函数，满足f(2)＝1，当−4<x≤0时，有f(x)=ax+b．x+4（1）求实数a，b的值；（2）求函数f(x)在区间(0, 4)上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性；（3）解关于m的不等式f(m2+1)>1．北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商(x2−600)万品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入16万元作为浮动宣传费用．试问：作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x5当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y都有f(x+y)＝f(x)+f(y)成立，且当x<0时，f(x)>0恒成立，且nf(x)＝f(nx)．（n是一个给定的正整数）．（1）判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明f(x)为减函数；若函数f(x)在[−2, 5]上总有f(x)≤10成立，试确定f(1)应满足的条件；（3）当a<0时，解关于x的不等式1n f(ax2)−nf(x)>1nf(a2x)−nf(a)．如果函数y＝f(x)的定义域为R，且存在实常数a，使得对于定义域内任意x，都有f(x+a)＝f(−x)成立，则称此函数f(x)具有“P(a)性质”．（1）判断函数y＝cos x是否具有“P(a)性质”，若具有“P(a)性质”，求出所有a的值的集合；若不具有“P(a)性质”，请说明理由；（2）已知函数y＝f(x)具有“P(0)性质”，且当x≤0时，f(x)＝(x+m)2，求函数y＝f(x)在区间[0, 1]上的值域；（3）已知函数y＝g(x)既具有“P(0)性质”，又具有“P(2)性质”，且当−1≤x≤1时，g(x)＝|x|，若函数y＝g(x)的图象与直线y＝px有2017个公共点，求实数p的值．参考答案与试题解析2019-2020学年江苏省南通市海安高中高一（上）段考数学试卷（一）（10月份）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】A8.【答案】D9.【答案】A10.【答案】B11.【答案】A12.【答案】D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 【答案】 {0,−1,13}【答案】{x|−4≤x ≤4且x ≠2} 【答案】f(x)＝x 2−4(x ≥2) 【答案】（三、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答. 【答案】A ：(x −2)(x −4)≤0，则A ＝[2, 4]；B:x >3或x ≤1，则B ＝(−∞, −1]∪(3, +∞)；则A ∩B ＝(3, 4]；C ：(x −a)[x −(a +4)]≤0，则a ≤x ≤a +4，因为A ⊆C ，则{a ≤2a +4≥4 ，所以，解得a ∈[0, 2]．【答案】已知f(x)={(a +1)x +1,x ≥0(1−a)x +1,x <0，∵ f(x)在R 上是增函数，∴ {a +1>01−a >0 ⇒a ∈(−1,1)；当a ＝1时，f(x)=|x|+x +1={2x +1,x ≥01,x <0，根据图形得f(x)的值域[1, +∞)．【答案】由题可知，{f(−2)=−2a+b2=−1f(0)=b 4=0，解得{a =1b =0 ；由（1）可知当x∈(−4, 0)时，f(x)=xx+4，当x∈(0, 4)时，−x∈(−4, 0)，f(x)=−f(−x)=−−x−x+4=x−x+4，任取x1，x2∈(0, 4)，且x1<x2，f(x1)−f(x2)=x1−x1+4−x2−x2+4=4(x1−x2)(x1−4)(x2−4)∵x1，x2∈(0, 4)，且x1<x2，则x1−4<0，x2−4<0，x1−x2<0，于是f(x1)−f(x2)<0，∴f(x)=x−x+4在x∈(0, 4)上单调递增；∵函数f(x)是定义在(−4, 4)上的奇函数，且f(x)在x∈(0, 4)上单调递增，则f(x)在x∈(−4, 4)上单调递增，∴f(m2+1)>1＝f(2)∴{m2+1>2−4<m2+1<4，∴1<m<√3或−√3<m<−1解得，−√3<m<−1或1<m<√3，∴不等式的解集为{m|−√3<m<−1或1<m<√3}．【答案】设每件定价为t元，依题意得(8−x−251×0.2)x≥25×8，整理得t2−65t+1 000≤0，解得25≤t≤40．所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．依题意知当x>25时，不等式ax≥25×8+50+16(x2−600)+15x有解，等价于x>25时，a≥150x +16x+15有解．由于150x +16x≥2 √150x×x6=10，当且仅当150x=x6，即x＝30时等号成立，所以a≥10.2．当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．【答案】f(x)为奇函数，证明如下；由已知对于任意实数x，y都有f(x+y)＝f(x)+f(y)恒成立．令x＝y＝0，得f(0+0)＝f(0)+f(0)所以f(0)＝0．令y＝−x，得f(x−x)＝f(x)+f(−x)＝0．所以对于任意x，都有f(−x)＝−f(x)．所以f(x)是奇函数．设任意x1，x2且x1<x2，则x2−x1>0，由已知f(x2−x1)<0，又f(x2−x1)＝f(x2)+f(−x1)＝f(x2)−f(x1)<0得f(x2)<f(x1)，根据函数单调性的定义知f(x)在(−∞, +∞)上是减函数．所以f(x)在[−2, 5]上的最大值为f(−2)．要使f(x)≤10恒成立，当且仅当f(−2)≤10，又因为f(−2)＝−f(2)＝−f(1+1)＝−2f(1)所以f(1)≥−5．又x>1，f(x)<0，所以∈[−5, 0)．∵1n f(ax2)−nf(x)>1nf(a2x)−nf(a)．，∴f(ax2)−f(a2x)>n2[f(x)−f(a)]．所以f(ax2−a2x)>n2f(x−a)，所以f(ax2−a2x)>f[n2(x−a)]，因为f(x)在(−∞, +∞)上是减函数，所以ax2−a2x<n2(x−a)．即(x−a)(ax−n2)<0，因为a<0，所以(x−a)(x−n 2a)>0．讨论：①当a<n2a <0，即a<−n时，原不等式的解集为{x|x>n2a或x<a}；②当a=n2a，即a＝−n时，原不等式的解集为{x|x≠−n}；③当n2a <a<0，即−n<a<0时，原不等式的解集为{x|x>a或x<n2a}．【答案】假设y＝cos x具有“P(a)性质”，则cos(x+a)＝cos(−x)＝cos x恒成立，∵cos(x+2kπ)＝cos x，∴函数y＝cos x具有“P(a)性质”，且所有a的值的集合为{a|a＝2kπ, k∈Z}．因为函数y＝f(x)具有“P(0)性质”，所以f(x)＝f(−x)恒成立，∴y＝f(x)是偶函数．设0≤x≤1，则−x≤0，∴f(x)＝f(−x)＝(−x+m)2＝(x−m)2．①当m≤0时，函数y＝f(x)在[0, 1]上递增，值域为[m2, (1−m)2]．②当0<m<12时，函数y＝f(x)在[0, m]上递减，在[m, 1]上递增，y min＝f(m)＝0，y max=f(1)=(1−m)2，值域为[0, (1−m)2]．③当12≤m≤1时，y min＝f(m)＝0，y max=f(0)=m2，值域为[0, m2]．④m>1时，函数y＝f(x)在[0, 1]上递减，值域为[(1−m)2, m2]．∵y＝g(x)既具有“P(0)性质”，即g(x)＝g(−x)，∴函数y＝g(x)偶函数，又y＝g(x)既具有“P(2)性质”，即g(x+2)＝g(−x)＝g(x)，∴函数y＝g(x)是以2为周期的函数．作出函数y＝g(x)的图象。

江苏省海安高级中学2019届高三阶段测试数学试卷

海安高级中学2019届高三阶段测试数学试卷一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．设全集U =R ，若集合{}{}1234|23A B x x ==，，，，≤≤，则U A B =ð .{}14， 2．已知复数z 满足30z z+=，则||z = .3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 .564．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 .1155．双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的离心率为线方程为. y =6．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．1 7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为．28．若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 . 3π9．若12cos cos sin sin sin 2sin 223x y x y x y +=+=，，则()sin x y += .2310．已知数列{}n a 和{}n b ，其中2()n a n n *=∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意n *∈N ，数列{}n b 中的第n a 项等于{}n a 中的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b = .211．设函数()332x x x af x x x a ⎧-=⎨->⎩，≤，，若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是．1a <-12．在锐角ABC ∆中，1tan 2A =，D 为BC 边上的一点，ABD △与ACD △面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅= ．1615-13．已知圆O ：221x y +=，定点()30A ，，过点A 的直线l 与圆O 相较于B ，C 两点，两点B ，C 均在x 轴上方，若OC 平分AOB ∠，则直线l 的斜率为.14．已知正实数a ，b 满足23a b +=，则222122a b a b +-++的最小值是．135二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.（1）求证：PE ⊥BC ；（2）求证：EF ∥平面PCD .【解析】（1）∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =， ∴PE ⊥平面ABCD .∵BC ⊂面ABCD ，∴PE ⊥BC .（2）如图，取PC 中点G ，连接,FG GD .∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ∥，且12FG BC =. ∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为AD 的中点， ∴1,2ED BC DE BC =∥， ∴ED FG ∥，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形， ∴EF GD ∥.又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ， ∴EF ∥平面PCD .16．已知函数f (x )=4tan sin cos 23x x x ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求f (x )的定义域与最小正周期；（2）讨论f (x )在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的单调性.【解析】（1）()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭)=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ== （2）由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.17．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向cos θ⎛= ⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．（1）问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由；（2）城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？【解析】（1）如图建立直角坐标系，则城市()00A ，，当前台风中心(P -，设t 小时后台风中心P 的坐标为(),x y ，则302102x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，此时台风的半径为6010t +，10小时后，184.4PA ≈km ，台风的半径为=r 160km ，因为r PA <，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A . （2）因此，t 小时后台风侵袭的范围可视为以()P -为圆心，6010t +为半径的圆，若城市A 受到台风侵袭，则()6010t + 210800864000300t t -+⇒≤，即2362880t t -+≤，解得1224t ≤≤ 答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时.18．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（1）求椭圆M 的方程；（2）若1k =，求AB 的最大值；（3）设(20)P -，，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ，D 和点71()44Q -，共线，求k .【解析】（1）由题意得2c=，所以c =又c e a ==，所以a =2221b a c =-=，所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=，则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||AB x x =-==易得当20m =时，max ||AB ，故||AB．（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+，由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=，则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-，因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =.19．已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)02nn n n n n n b a a b a b ++++-++==，，*n ∈N ，且 1224a a ==，．（1）求345a a a ，，的值；（2）设*2121n n n c a a n -+=+∈N ，，证明：{}n c 是等比数列；（3）设*242k k S a a a k =++⋅⋅⋅+∈N ，，证明：4*17()6nk k kS n a =<∈∑N ．【解析】（1）解：由3(1)2nn b +-=，*n ∈N ，可得12n n b n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数又1120n n n n n b a a b a +++++=，123123234434541202432205320 4.n a a a a a a n a a a a n a a a a =++====-=++==-=++==当时，，由，，可得；当时，，可得；当时，，可得（2）证明：对任意*,n N ∈2122120,n n n a a a -+++= ① 2212220,n n n a a a ++++= ② 21222320,n n n a a a +++++=③ ②—③，得223.n n a a +=④将④代入①，可得21232121()n n n n a a a a ++-++=-+ 即*1()n n c c n N +=-∈又1131,0,n c a a =+=-≠故c 因此11,{}n n nc c c +=-所以是等比数列. （3）证明：由（2）可得2121(1)kk k a a -++=-，于是，对任意*2k k ∈N 且≥，有 133********()11(1)() 1.k k k a a a a a a a a --+=--+=-+=--+=-，，，将以上各式相加，得121(1)(1),kk a a k -+-=-- 即121(1)(1)k k a k +-=-+，此式当k =1时也成立.由④式得12(1)(3).k k a k +=-+从而22468424()()(),k k k S a a a a a a k -=++++++=-2124 3.k k k S S a k -=-=+所以，对任意*2n n ∈N ，≥， 44342414114342414()nnk m m m mk m k m m m m S S S S S a a a a a ---==---=+++∑∑12221232()2222123nm m m m mm m m m =+-+=--++++∑ 123()2(21)(22)(22)nm m m m m ==++++∑2253232(21)(22)(23)nm m m n n ==++⨯+++∑ 21533(21)(21)(22)(23)n m m m n n =<++-+++∑ 151111113[()()()]3235572121(22)(23)n n n n =+⋅-+-++-+-+++ 1551336221(22)(23)7.6n n n =+-⋅++++<对于n =1，不等式显然成立. 所以，对任意*,n N ∈2121212212n nn nS S S S a a a a --++++ 32121241234212()()()n nn nS S S S S S a a a a a a --=++++++ 22211121(1)(1)(1)41244(41)4(41)n nn =--+--++----- 22211121()()()41244(41)44(41)n n n n n =-+-+--+-- 111().4123n n -+=-≤20．已知函数ln ()xf x x=，2()2g x x x =-．（1）求()f x 在点P (1，()1f )处的切线方程；（2）若关于x 的不等式2()()0f x tf x +>有且仅有三个整数解，求实数t 的取值范围；（3）若()()4()h x g x xf x =+存在两个正实数1x ，2x 满足221212()()0h x h x x x +-=，求证：123x x +≥．【解析】（1），，所以点坐标为；又，，则切线方程为，所以函数在点处的切线方程为．（2）由，得；① 时，或，满足条件的整数解有无数个，舍；② 时，，得且，满足条件的整数解有无数个，舍； ③ 时，或，当时，无整数解；当时，不等式有且仅有三个整数解，又，，因为在递增，在递减；所以，即，即；所以实数的取值范围为．（3），因为，所以，即，令，，则，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增．所以函数在时，取得最小值，最小值为3．因为存在两个正实数，满足，所以，即，所以或．因为为正实数，所以．ln ()xf x x=(1)0=f P (1,0)21ln '()xf x x -='(1)1=f 01-=-y x ()f x (1,(1))P f 10--=x y 21ln '()(0)-=>xf x x 2()()0f x tf x +>()[()]0+>f x f x t 0t >()0f x >()f x t <-0t =()0f x ≠0x >1x ≠0t <()0f x <()f x t >-()0f x <()f x t >-ln3(3)3f =ln 2(2)(4)2f f ==ln5(5)5f =()f x (0,)e (,)e +∞(5)(4)f t f ≤-<ln5ln 252t ≤-<ln 2ln525t -<≤-t ln 2ln525t -<≤-2()24ln =-+h x x x x 221212()()0+-=h x h x x x 22221112221224ln 24ln 0x x x x x x x x -++-+-=2221212121212()2()24ln x x x x x x x x x x +-+=+-12t x x =2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->2(1)(2)4()22(0)t t t t t ttϕ-+'=+-=>(0,1)t ∈()0t ϕ'<2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->(0,1)(1,)t ∈+∞()0t ϕ'>2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->(1,)+∞2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->1t =12,x x 221212()()0+-=h x h x x x 21212()2()3x x x x +-+≥21212()2()30x x x x +-+-≥123x x +≥121x x +-≤12,x x 123x x +≥（附加题）21．（B ）已知矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值λ1=-1及对应的特征向量11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ，求矩阵M 的逆矩阵.【解析】由题知， - = -- =-1· - = - ⇒ - - ， - ，所以a=2，b=2，M=.det(M )==1×2-2×3=-4，所以M -1= --.21．（C ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(12)，，求l 的斜率．【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-，当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(12)，在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=．又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2c o s s i n 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-． 22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点F (1，0)，直线x=-1与动直线y=n 的交点为M ，线段MF 的中垂线与动直线y=n 的交点为P . （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过动点M 作曲线E 的两条切线，切点分别为A ，B ，求证：∠AMB 的大小为定值.【解析】(1) 因为直线y=n 与x=-1垂直，所以MP 为点P 到直线x=-1的距离. 连接PF ，因为P 为线段MF 的中垂线与直线y=n 的交点，所以MP=PF . 所以点P 的轨迹是抛物线，焦点为F (1，0)，准线为x=-1. 所以轨迹E 的方程为y 2=4x.(2) 由题意，过点M (-1，n )的切线斜率存在，设切线方程为y -n=k (x+1)，联立，，得ky 2-4y+4k+4n=0，所以Δ1=16-4k (4k+4n )=0，即k 2+nk -1=0，(*)因为Δ2=n 2+4>0，所以方程(*)存在两个不相等的实数根，设为k 1，k 2，因为k 1·k 2=-1，所以∠AMB=90°，为定值.23．设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N *，记M 1<M 2<…<M n 的概率为P n . （1）求P 2的值；（2）求证：P n >()211n C n ++！.【解析】(1) 由题意知P 2== ，即P 2的值为. (2) 先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为=;去掉第n 行已经排好的n 个数，则余下的 - n= -个数中最大数在第n -1行的概率为 - -= ;… 故P n = ··…·= - · ·…· =.由于2n =(1+1)n = + + +…+ ≥ + + > + = ，所以>，即P n >.。

江苏省南通市海安县2020届高三上学期期中质量监测数学试题Word版含解析

江苏省南通市海安县2020届上学期期中质量监测高三数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知全集U＝{0，2，4，6，8}，集合A＝{0，4，6}，则∁U A＝_______．2.已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z的模为_______．3.已知某民营车企生产A，B，C三种型号的新能源汽车，库存台数依次为120，210，150，某安检单位欲从中用分层抽样的方法随机抽取16台车进行安全测试，则应抽取B型号的新能源汽车的台数为_______．4.设实数x，y满足，则x＋y的最小值为_______5.有红心1，2，3，4和黑桃5这五张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌均为红心的概率是_______．6.运行如图所示的流程图，则输出的结果S为_______．7.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则p的值为_______．8.已知函数（A＞0，＞0，0＜＜）在R上的部分图象如图所示，则的值为_______．9.如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，则三棱锥O—A1BC1的体积为_______．10.设等比数列的公比为q（0＜q＜1），前n项和为．若存在，使得，且，则m的值为_______．11.已知AB为圆的直径，点C，D为圆上两点（在AB两侧），且AC＝1，AD＝2， AB＝3，则的值为_______．12.已知函数为奇函数，则不等式的解集为_______．13.已知正数x，y，z满足，且z≤3x，则P＝的取值范围是_______．14.设命题p：“存在[1，2]，使得，其中a，b，c R．”若无论a，b取何值时，命题p 都是真命题，则c的最大值为_______．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，若平面向量，，，，且∥．（1）求cos A的值；（2）若tan B＝，求角C的大小．16.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA＝AC，PB＝PD＝AC，E是PD的中点，求证：（1）PB∥平面ACE；（2）平面PAC⊥平面ABCD．17.如图，已知AB为椭圆E：（a＞b＞0）的长轴，过坐标原点O且倾斜角为135°的直线交椭圆E于C，D两点，且D在x轴上的射影D'恰为椭圆E的长半轴OB的中点．（1）求椭圆E的离心率；（2）若AB＝8，不过第四象限的直线l与椭圆E和以CD为直径的圆均相切，求直线l的方程．18.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．19.已知函数，，．（1）求函数的极值点；（2）已知T(，)为函数，的公共点，且函数，在点T处的切线相同，求a的值；（3）若函数在(0，)上的零点个数为2，求a的取值范围．20.如果数列，，…，（m ≥ 3，）满足：①＜＜…＜；②存在实数，，，…，和d，使得≤＜≤＜≤＜…≤＜，且对任意0 ≤ i ≤m﹣1（I ），均有，那么称数列，，…，是“Q数列”．（1）判断数列1，3，6，10是不是“Q数列”，并说明理由；（2）已知k，t均为常数，且k＞0，求证：对任意给定的不小于3的正整数m，数列（n＝1，2，…，m）都是“Q数列”；（3）若数列（n＝1，2，…，m）是“Q数列”，求m的所有可能值．江苏省南通市海安县2020届上学期期中质量监测高三数学试题参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知全集U＝{0，2，4，6，8}，集合A＝{0，4，6}，则∁U A＝_______．【答案】{2，8}【解析】【分析】根据集合的补集的概念得到结果即可.【详解】在全集U中找出集合A中没有的元素就是答案，所以，∁U A＝{2，8}故答案为：{2，8}【点睛】这个题目考查了集合的补集的运算，较为简单.2.已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z的模为_______．【答案】【解析】【分析】根据复数的除法运算得到，再由模长公式得到结果.【详解】z＝，所以，复数z的模为：故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模长等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.已知某民营车企生产A，B，C三种型号的新能源汽车，库存台数依次为120，210，150，某安检单位欲从中用分层抽样的方法随机抽取16台车进行安全测试，则应抽取B型号的新能源汽车的台数为_______．【答案】7【解析】【分析】根据分层抽样的比例计算得到结果.【详解】抽取的比例为：，所以，抽取B型号台数为：＝7故答案为：7.【点睛】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．4.设实数x，y满足，则x＋y的最小值为_______【答案】2【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，由图像得到目标函数经过B点时取得最值.【详解】不等式组所表示的平面区域如图所示，当目标函数z＝x+y经过点B（1,1）时，x+y有最小值为：1+1＝2，故答案为：2.【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

江苏省南通市、泰州市2019-2020学年高三上学期第一次调研考试数学试卷附加题学生版

2019-2020南通、泰州高三第一次调研试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1.已知集合{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，则A B =_____.2.已知复数z 满足(1)2i z i +=，其中i 是虚数单位，则z 的模为_______.3.某校高三数学组有5名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为______.4.根据如图所示的伪代码，输出的a 的值为______.5.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a d的值为____.6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为___.7.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则三棱锥111A BB C -的体积为____. 8.已知函数()sin()3f x x πω=-(0)ω>，若当6x π=时，函数()f x 取得最大值，则ω的最小值为_____.9.已知函数2()(2)(8)f x m x m x =-+-()m R ∈是奇函数，若对于任意的x R ∈，关于x 的不等式2(+1)()f x f a <恒成立，则实数a 的取值范围是____.10.在平面直角坐标系xOy 中,已知点,A B 分别在双曲线22:1C x y -=的两条渐近线上,且双曲线C 经过线段AB 的中点，若点A 的横坐标为2，则点B 的横坐标为_____.11.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如.地震时释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震,它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的____倍.12.已知ABC ∆的面积为3，且AB AC =，若2CD DA =，则BD 的最小值为_____.13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:8C x y +=与圆222:20C x y x y a +++-=相交于,A B 两点，若圆1C 上存在点P ，使得ABP ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为____.14.已知函数||1|1|,0(),01x x f x xx x --≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，若关于x 的方程22()2()10f x af x a ++-=有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，PC AB ⊥，,D E 分别为,BC AC 的中点.求证：（1）AB ∥平面PDE ；（2）平面PAB ⊥平面PAC .16.（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知4AC =，3BC =，1cos 4B =-. （1）求sin A 的值. （2）求BA BC ⋅的值.17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆2222:1x yEa b+=(0)a b>>的焦距为4，两条准线间的距离为8，A,B分别为椭圆E的左、右顶点。

2019-2020学年江苏省南通市通州区高三(上)第一次调研数学试卷试题及答案(解析版)(9月份)

2019-2020学年江苏省南通市通州区高三（上）第一次调研数学试卷（9月份）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答題卡相应位置 1．己知集合{1A =-，1，2}，{1B =，2，4}，则A B = ．2．设i 为虚数单位，则复数3(1)i +的实部为．3．某校共有学生2400人，其中高三年级600人．为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从全校学生中抽取容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为． 4．若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为． 5．在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为2-，则输入的x 的值为6．已知双曲线2221(0)x y a a -=>的焦距为4，则a 的值为．7．不等式23122x x --<的解集为8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1BB 的中点，则三棱锥11D DEC -的体积为．9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若21a =，3680a a +=，则5S 的值为． 10．将函数()sin()4f x x π=+的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()y g x =的图象．则“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个）11．已知函数()()x f x ax b e =+，若曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为310x y -+=，则f （1）的值为．12．设．0x >，0y >，24x y +=，则(4)(2)x y xy++的最小值为．13．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的周期函数，当(0x ∈，3]时，()1|1|f x x =--．若函数()log (0a y f x x a =->且1)a ≠在(0,)+∞上有3个互不相同的零点，则实数a 的取值范围是．14．在平面直角坐标系xOy 中，(2,2)P ，(0,4)Q -为两个定点，动点M 在直线1x =-上，动点N 满足2216NO NQ +=，则||PM PN +的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答題卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，OP OC =，E 为PC 的中点，PA PD ⊥．（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求证：PA ⊥平面PCD16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量(sin(),1)6a A π=+-，向量(1,cos )b A =，且12a b =．（1）求角A 的大小；（2）若4b =，5c =，求sin 2B 的值．17．设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和2*1(2),8n n S a n N =+∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 的首项为2，公比为(0)q q >，前n 项和为n T ．若存在正整数m ，使得33m S S T =，求q 的值．18．（16分）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A ，B 两地，A 地位于东西方向的直线MN 上的陆地处，B 地位于海上一个灯塔处，在A 地用测角器测得4BAN π∠=，在A 地正西方向4km 的点C 处，用测角器测得tan 3BCN ∠=．拟定铺设方案如下：在岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设．预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km 和4万元/km ，设BPN θ∠=，(,)42ππθ∈，铺设电缆的总费用为()f θ万元．（1）求函数()f θ的解析式；（2）试问点P 选在何处时，铺设的总费用最少，并说明理由．19．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，己知椭圆2222:1(0)43x y C t t t +=>的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F ．过点A 且斜率为(0)k k >的直线交椭圆C 于另一点P ．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若12k =，求22PA PB 的值；（3）设直线:2l x t =，延长AP 交直线l 于点Q ，线段BQ 的中点为E ，求证：点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上．20．（16分）已知函数2()(1)f x x a x a =++-，()(g x x blnx a =-，)b R ∈ （1）当2b =时，求函数()g x 的单调区间；（2）设函数(),1()(),1f x x h x g x x ⎧=⎨>⎩…若0a b +=，且()0h x …在R 上恒成立，求b 的取值范围；（3）设函数()()()u x f x g x a =-+，若2a b +-…，且()u x 在(0,)+∞上存在零点，求b 的取值范围．本题包括A ，B 共1小题，每小题10分，共20分.把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-2：矩阵与变换] 21．已知矩阵23[]1M t =的一个特征値为4，求矩阵M 的逆矩阵1M -．[选修H ：极坐标与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，直线l 的极坐标方程是cos()24πρθ+=．试判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由．【必做题】本题满分20分.解答时应写出文字说明'证明过程或演算步骤.23．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==，AB =，M ，N 分别是AB ，1CC 的中点，且11A M B C ⊥．（1）求1A A 的长度；（2）求平面1B AN 与平面1B MC 所成锐二面角的余弦值．24．己知数列{}n a ．的通项公式为n n n a =-，*n N ∈记1212n n n n n n S C a C a C a =++⋯+（1）求12S S 的值；（2）求证：对任意的正整数n ，21n nn S S S +++为定值．2019-2020学年江苏省南通市通州区高三（上）第一次调研数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答題卡相应位置 1．己知集合{1A =-，1，2}，{1B =，2，4}，则AB = {1，2}【解答】解：集合{1A =-，1，2}，{1B =，2，4}， {1AB ∴=，2}．故答案为：{1，2}．2．设i 为虚数单位，则复数3(1)i +的实部为 2- ．【解答】解：32(1)(1)(1)2(1)22i i i i i i +=++=+=-+． ∴复数3(1)i +的实部为2-．故答案为：2-．3．某校共有学生2400人，其中高三年级600人．为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从全校学生中抽取容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为 25 【解答】解：有学生2400人，其中高三年级600人，为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从全校学生中抽取容量为100的样本，则抽样的比例为600124004=，则高三年级应抽取的学生人数为1100254⨯=，故答案为：25．4．若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为4．【解答】解：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出3名代表参加学校会议，共有344C =种方法，甲被选中，共有3种方法， ∴甲被选中的概率是34P =故答案为：34． 5．在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为2-，则输入的x 的值4【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求22211x x y log x x ⎧->⎪=⎨⎪⎩…的值，2y =-，∴当1x >时，222x -=-，无解；当1x …时，2log 2x =-，解得：14x =；综上，输入的x 的值是：14．故答案为：14． 6．已知双曲线2221(0)x y a a -=>的焦距为4，则a【解答】解：由双曲线2221(0)x y a a -=>，得221ca =+，即c =又焦距为4，∴4=，得a =，又0a >，a ∴=． 7．不等式23122xx --<的解集为 (1,2)- 【解答】解：不等式23122x x --<，即不等式23122x x ---<，231x x ∴--<-，即(1)(2)0x x +-<，求得12x -<<，故答案为：(1,2)-．8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1BB 的中点，则三棱锥11D DEC -的体积为3【解答】解：在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1BB 的中点， ∴三棱锥11D DEC -的体积：11111113D DEC E DD C DD C V V BC S--==⨯⨯1122232=⨯⨯⨯⨯ 43=．故答案为：43．9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若21a =，3680a a +=，则5S 的值为 2．【解答】解：设等比数列{}n a 的公比为q ．21a =，3680a a +=， 11a q ∴=，33380a a q +=，解得：112a =-，2q =-，则551[1(2)]1121(2)2S ---==---．故答案为：112-． 10．将函数()sin()4f x x π=+的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()y g x =的图象．则“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的充分不必要条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个）【解答】解：将函数()sin()4f x x π=+的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()sin()4y g x x πϕ==+-的图象．若函数()g x 为偶函数，则(0)sin()14g πϕ=-=±，42k ππϕπ∴-=+，解得34k πϕπ=+． ∴ “34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．11．已知函数()()x f x ax b e =+，若曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为310x y -+=，则f （1）的值为 3e【解答】解：由题得(0)f b =，将(0，(0))f 代入切线的1b = 因为()()x f x a ax b e '=++，所以(0)3f a b '=+=，所以2a = 则f （1）()3a b e e =+= 故答案为：3e ．12．设．0x >，0y >，24x y +=，则(4)(2)x y xy++的最小值为 9【解答】解：24x y +=，0x >，0y >，24x y ∴+=…，(2x =，1y =时取等）∴112xy …， ∴(4)(2)2(2)8161189x y xy x y xy xy xy+++++==++=…．(2x =，1y =时取等）故答案为：913．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的周期函数，当(0x ∈，3]时，()1|1|f x x =--．若函数()log (0a y f x x a =->且1)a ≠在(0,)+∞上有3个互不相同的零点，则实数a 的取值范围是 47a <<或96a <…．【解答】解：函数()log (0a y f x x a =->且1)a ≠在(0,)+∞上有3个互不相同的零点， ()y f x ∴=与log a y x =的图象有3个不同的交点， ∴14171a a a log log >⎧⎪<⎨⎪>⎩或016191a aa log log <<⎧⎪-⎨⎪<-⎩…，解得：47a <<或1196a <…．故答案为：47a <<或1196a <…．14．在平面直角坐标系xOy 中，(2,2)P ，(0,4)Q -为两个定点，动点M 在直线1x =-上，动点N 满足2216NO NQ +=，则||PM PN +的最小值为 3 ．【解答】解：2216NO NQ +=，N ∴在以OQ 为直径的圆上，不妨设(4cos 2,4sin )N θθ-，(1,)M m -，则(3,2)PM m =--，(4cos 4,4sin 2)PN θθ=--， ∴(4cos 7,4sin 4)PM PN m θθ+=-+-，2222||(4cos 7)(4sin 4)8818[(4)sin 7cos ]PM PN m m m m θθθθ∴+=-++-=-++--2(4)65)m θϕ=-++-，t =，sin()a θϕ-=，则7t …，11a -剟． 22||168PM PN t at ∴+=++，令222()168(4)1616f t t at t a a =++=++-，7t …，11a -剟， ()f t ∴在[7，)+∞上单调递增，故当7t =时，()f t 取得最小值6556a +，再令g （a ）6556a =+，11a -剟，显然g （a ）在[1-，1]上单调递增，故1a =-时，g （a ）取得最小值65569-=，综上，当7t =，1a =-时，2||PM PN +取得最小值9．故||PM PN +的最小值为3．故答案为：3．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答題卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在四棱锥P ABCD-中，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，⊥．OP OC=，E为PC的中点，PA PD（1）求证：//PA平面BDE；（2）求证：PA⊥平面PCD【解答】解（1）证明：连接OE，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，O∴为AC中点，又E为PC的中点，∴，OE PA//OE⊂面BDE，PA⊂/面BDE，PA∴平面BDE．//（2）OP OC=，E为PC的中点，∴⊥，OE PC由（1）知//OE PA，∴⊥，PA PC又PA PD⊥，PC，PD⊂面PCD，∴⊥平面PCD．PA16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量(sin(),1)6a A π=+-，向量(1,cos )b A =，且12a b =．（1）求角A 的大小；（2）若4b =，5c =，求sin 2B 的值．【解答】解：（1）111sin()cos cos cos cos sin()62262a b A A A A A A A A ππ=+-=+-=-=-=，因为0A π<<，5666A πππ-<-<，所以66A ππ-=，3A π=．（2）由余弦定理可知，2222cos a b c bc A =+-，所以22245245cos 213a π=+-⨯⨯⨯=，a ∴=由正弦定理，知sin sin a bA B =4sin 3B =，所以sin B = b c <，B C ∴<，即B 为锐角，所以cos B =sin 22sin cos 2B B B ∴===． 17．设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和2*1(2),8n n S a n N =+∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 的首项为2，公比为(0)q q >，前n 项和为n T ．若存在正整数m ，使得33m S S T =，求q 的值．【解答】解：（1）列{}n a 的各项均为正数，且21(2)8n n S a =+，①当1n =时，2111(2)8S a =+，解得12a =．当2n …时，2111(2)8n n S a --=+，②， ①-②整理得11()(4)0n n n n a a a a --+--=，所以14n n a a --=（常数），则14(1)42n a a n n =+-=-（首项符合通项），故42n a n =-．（2）由（1）得：2(422)22n n n S n -+==，等比数列{}n b 的首项为2，公比为(0)q q >，前n项和为2(1)1n n q T q-=-．所以3232(1)2221q T q q q-==++-，假设存在正整数m 存在正整数m ，使得33m S S T =，则22912q q m=++由于0q >，所以2912m>，解得m <，由于m 是正整数，所以1m =或2．当1m =时，整理得2702q q +-=，解得q =，当2m =时，整理得2108q q +-=，解得q （负值舍去），所以q =和q =． 18．（16分）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A ，B 两地，A 地位于东西方向的直线MN 上的陆地处，B 地位于海上一个灯塔处，在A 地用测角器测得4BAN π∠=，在A 地正西方向4km 的点C 处，用测角器测得tan 3BCN ∠=．拟定铺设方案如下：在岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设．预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km 和4万元/km ，设BPN θ∠=，(,)42ππθ∈，铺设电缆的总费用为()f θ万元．（1）求函数()f θ的解析式；（2）试问点P 选在何处时，铺设的总费用最少，并说明理由．【解答】解：（1）如图所示过点B 作MN 的垂线，垂足为D ，在Rt BAD ∆中，4BAD π∠=，则BD AD =．在Rt BCD ∆中，tan 3BDBCD DC∠==，所以3DB CD =．由于4AC =，所以143BD BD -=，解得6BD =．由BPN θ∠=，则6sin BP θ=，6tan DP θ=，由6AD BD ==，得到66tan AP θ=-．所以662cos ()2(6)41212tan sin sin f θθθθθ-=⨯-+⨯=+⨯其中(,)42ππθ∈．（2）设2cos ()sin h θθθ-=，(,)42ππθ∈．则222sin (2cos )cos 12cos ()sin sin h θθθθθθθ---'==．令()0h θ'=，得1cos 2θ=，所以3πθ=．所以(,)43ππθ∈时，()0h θ'<，(,)32ππθ∈时，()0h θ'>，所以当3πθ=时，函数的极小值为()3h π=所以()f θ的最小值为12+此时6AP =-即当点P 选在距离A 地(6km -处时，铺设费用最少为12+万元．19．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，己知椭圆2222:1(0)43x y C t t t +=>的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F ．过点A 且斜率为(0)k k >的直线交椭圆C 于另一点P ．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若12k =，求22PA PB 的值；（3）设直线:2l x t =，延长AP 交直线l 于点Q ，线段BQ 的中点为E ，求证：点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上．【解答】（1）解：椭圆2222:143x y C t t +=，224a t ∴=，224b t =，22c t =，又0t >，2a t ∴=，c t =， ∴椭圆C 的离心率12c e a ==；（2）解：直线AP 的斜率12k =，且过椭圆C 的左顶点(2,0)A t -， ∴直线AP 的方程为1(2)2y x t =+，代入椭圆C 的方程，得2220x tx t +-=，解得x t =或2x t =-（舍去）．将x t =代入1(2)2y x t =+，得32y t =，∴点P 的坐标为3(,)2t t ，又椭圆C 的右顶点为(2,0)B t ，∴2222345(2)(0)24PA t t t t =++-=，2222313(2)(0)24PB t t t t =-+-=，∴224513PA PB =；（3）证明：直线AP 的方程为(2)y k x t =+，将2x t =代入(2)y k x t =+，得4y kt =，(2,4)Q t kt ∴． E 为线段BQ 的中点，(2,2)E t kt ∴，焦点F 的坐标为(,0)t ， ∴直线EF 的斜率为2k ．联立222(2)3412y k x t x y t=+⎧⎨+=⎩，得22222(34)164(43)0k x k tx k t +++-=．由于224(43)34A P k x x k -=+，2A x t =-，∴222(34)34P k tx k -=+，则P 点的坐标为222(34)(34k t k -+，212)34ktk +．∴直线PF 的斜率为2222212422342(34)141(2)34ktk kk k t k k k +==---+．而直线EF 的斜率为2k ，若设EFB θ∠=，则有tan tan 2PFB θ∠=，即2PFB EFB ∠=∠． ∴点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上．20．（16分）已知函数2()(1)f x x a x a =++-，()(g x x blnx a =-，)b R ∈ （1）当2b =时，求函数()g x 的单调区间；（2）设函数(),1()(),1f x x h x g x x ⎧=⎨>⎩…若0a b +=，且()0h x …在R 上恒成立，求b 的取值范围；（3）设函数()()()u x f x g x a =-+，若2a b +-…，且()u x 在(0,)+∞上存在零点，求b 的取值范围．【解答】解：（1）当2b =时，()2g x x lnx =-，所以22()1x g x x x-'=-=，令()0g x '=，得2x =，因为函数()g x 的定义域为(0,)+∞，当(0,2)x ∈时，()0g x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0g x '>，所以函数()g x 的单调减区间为(0,2)，单调增区间为(2,)∈+∞．（2）因为0a b +=，所以2(1),1(),1x b x b x h x x blnx x ⎧--+=⎨->⎩…，当1x …时，有2()(1)0h x x b x b =--+…恒成立，则有当112b -…，即3b …时，()min h x h =（1）20=…恒成立；当112b -<，即3b <时，2161()()024min b b b h x h --+-==…，所以33b -<，综上，3b -…；当1x >时，由()0h x x blnx =-…恒成立，即xb lnx…恒成立，设()(1)xm x x lnx=>，则21()()lnx m x lnx -'=，令()0m x '=，得x e =，且当(1,)x e ∈时，()0m x '<；当(,)x e ∈+∞时，()0m x '>，所以()min m x m =（e ）e =，所以b e …，综上所述，b的取值范围是3b e -．（3）2()u x x ax blnx =++，因为()u x 在(0,)+∞上存在零点，所以20x ax blnx ++=在(0,)+∞有解，即lnx a x bx =--在(0,)+∞上有解，又因为2a b +-…，即2a b --…，所以2lnxx b b x----…在(0,)+∞上有解，设()t x lnx x =-，则11()1xt x x x-'=-=，令()0t x '=，得1x =，且当(0,1)x ∈时，()0t x '>；当(1,)x ∈+∞时，0t '<，所以()t x t …（1）10=-<，即lnx x <，所以1lnxx<，因此22x x b x lnx --…，设22()x x F x x lnx -=-，则2(1)(22)()()x x lnx F x x lnx --+'=-，同理可证：2xlnx <，所以220x lnx -+>，于是()F x 在(0,1)上单调递减，所以()min F x F =（1）1=-，故1b -…．本题包括A ，B 共1小题，每小题10分，共20分.把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-2：矩阵与变换] 21．已知矩阵23[]1M t =的一个特征値为4，求矩阵M 的逆矩阵1M -．【解答】解：矩阵M 的特征多项式为23()(2)(1)31f t t λλλλλ--==-----；因为矩阵M 的一个特征值为4，所以方程()0f λ=有一根为4；即f （4）2330t =⨯-=，解得2t =；所以2321M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，设1a b M c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则12323102201a c b d MM a c b d -++⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，由23120a c a c +=⎧⎨+=⎩，解得1412a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；由23021b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得3412b d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；所以113441122M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． [选修H ：极坐标与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，直线l 的极坐标方程是cos()24πρθ+=．试判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由．【解答】解：曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，转换为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，直线l 的极坐标方程是cos()24πρθ+=．转换为直角坐标方程为0x y --=，所以圆心(1,0)到直线l的距离21d r ==->=，所以直线与圆相离．【必做题】本题满分20分.解答时应写出文字说明'证明过程或演算步骤.23．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==，AB =，M ，N 分别是AB ，1CC 的中点，且11A M B C ⊥．（1）求1A A 的长度；（2）求平面1B AN 与平面1B MC 所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）在ABC ∆中，4AC BC ==，AB =，则222AB AC BC =+，90ACB ∴∠=︒，以C 为原点，CA ，CB ，1CC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设1AA a =，则(4A ，0，0)，(0B ，4，0)，(0C ，0，0)，1(4A ，0，)a ，1(0B ，4，)a ，(2M ，2，0)，∴1(2A M =-，2，)a -，1(0B C =，4-，)a -，11A M B C ⊥，∴21180A M B C a =-+=，解得a =，1AA ∴的长为（2）由（1）知1(0C ，0，，由N 中1CC 的中点，得(0N ，0， ∴1(4B A =-，4，，1(0B N =，4-，，设平面1B AN 的法向量(n x =，y ，)z ，则1144040n B A x y n B N y ⎧=-++=⎪⎨=-=⎪⎩，取1x =，得(1n =，1-，，1(0B C =，4-，-，(2CM =，2，0)，设平面1B MC 的法向量(m x =，y ，)z ，则140220m B C y m CM x y ⎧=-==⎪⎨=+=⎪⎩，取1x =，得(1m =，1-，设平面1B AN 与平面1B MC 所成锐二面角为θ，则||310cos ||||10m n m n θ==∴平面1B AN 与平面1B MC24．己知数列{}n a ．的通项公式为n nn a =-，*n N ∈记1212n n n n n n S C a C a C a =++⋯+（1）求12S S 的值；（2）求证：对任意的正整数n ，21n nn S S S +++为定值．【解答】解：（1）1111S C a ==-=，1222122272S C a C a =+=+-=，则1222427S S =；（2）证明：设α=，β=，则1222122122()()()()()n n n n n n n n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C αβαβαβαααβββ=-+-+⋯+-=++⋯+-++⋯+(1)(1)n n n nαβ=+-+=-，由1=，22112]n n n n n nn S +++++=-=-+--183n n S S +=-，则2183n n n S S S +++=为定值．。

2020年江苏省南通海安市高三学年初学业质量检测数学试题(解析版)

2020届高三学年初学业质量监测试题数学参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高.一、填空题：请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合{}0,2,6,8A =，{}2,4,6B =-，则A B =______.【答案】{}6 【解析】【分析】利用集合交集的定义可求出集合AB .【详解】因为集合{}0,2,6,8A =，{}2,4,6B =-，所以{}6A B =I ，故答案为：{}6.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查计算能力，属于基础题.2.已知复数()12z i i =-⋅，其中i 为虚数单位，则z 的模为______.【解析】【分析】利用复数的乘法法则将复数z 表示为一般形式，然后利用复数的求模公式可计算出复数z 的模.【详解】()21222z i i i i i =-⋅=-=+Q ，因此，复数z 的模为z ==【点睛】本题考查复数模的计算，对于复数问题，一般利用复数四则运算法则将复数表示为一般形式，再结合相关公式或知识求解，考查计算能力，属于基础题.3.某厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中A 型号产品有18件，则n 的值为_____. 【答案】90 【解析】【分析】根据分层抽样总体和样本中，A 型号的产品所占的比例相等列等式求出n 的值. 【详解】由于在总体和样本中，A 型号的产品所占的比例相等，则有182235n =++，解得90n =，故答案为：90.【点睛】本题考查分层抽样中的计算，解题时要根据分层抽样的特点列等式进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.4.函数y 的定义域是_____________ 【答案】[]2,3 【解析】【分析】根据偶次方根被开方数为非负数列不等式，解不等式求得函数的定义域.【详解】依题意2560x x -+-≥，即()()256320x x x x -+=--≤，解得[]2,3x ∈.【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，主要是偶次方根的被开方数为非负数，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.5.已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为72，则三棱锥1A BCD -的体积为______. 【答案】12 【解析】【分析】设长方体1111ABCD A B C D -的底面积为S ，高为h ，可得出72Sh =，则三棱锥1A BCD -的底面积为12S ，高为h ，再利用锥体的体积公式可计算出三棱锥1A BCD -的体积. 【详解】设长方体1111ABCD A B C D -的底面积为S ，高为h ，则长方体1111ABCD A B C D -的体积为72Sh =，由题意可知，三棱锥1A BCD -的底面积为12S ，高为h ，因此，三棱锥1A BCD -的体积为1111172123266A BCDV S h Sh -=⨯⨯==⨯=，故答案为：12. 【点睛】本题考查锥体体积的计算，解题的关键就是弄清楚锥体和长方体底面积以及高之间的等量关系，考查计算能力，属于基础题.6.如图是一个算法流程图，则输出的n 的值为______.【答案】9 【解析】【分析】根据框图列出算法步骤，可得出输出结果. 【详解】由题意可得1024n =为偶数，则10245122n ==，922log 512log 29n ===，输出n 的值为9，故答案为：9.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查条件结构框图的应用，一般根据算法框图列举出算法步骤，即可计算出输出结果，考查计算能力，属于中等题.7.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()222:10x C y a a-=>的右焦点的坐标为)，则该双曲线的两条渐近线方程为______.【答案】2y x =± 【解析】【分析】根据题意求出a 的值，即可得出双曲线的渐近线方程.【详解】由题意可得2212a =-=，则双曲线的方程为2212x y -=，因此，双曲线渐近线方程为y x x ==，故答案为：y x =.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，解题的关键就是求出双曲线的方程，考查运算求解能力，属于基础题.8.某饮品店提供A 、B 两种口味的饮料，且每种饮料均有大杯、中杯、小杯三种容量.甲、乙二人各随机点一杯饮料，且甲只点大杯，乙点中杯或小杯，则甲、乙所点饮料的口味相同的概率为______. 【答案】12【解析】【分析】记A 种口味饮料大杯、中杯、小杯分别记为1A 、2A 、3A ，B 种口味饮料大杯、中杯、小杯分别记为1B 、2B 、3B ，用列举法列出所有的基本事件，并确定事件“甲、乙所点饮料的口味相同”所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率.的【详解】记A 种口味饮料大杯、中杯、小杯分别记为1A 、2A 、3A ，B 种口味饮料大杯、中杯、小杯分别记为1B 、2B 、3B ，事件“甲只点大杯，乙点中杯或小杯”所包含的基本事件有：()12,A A 、()13,A A 、()12,A B 、()13,AB 、()12,B A 、()13,B A 、()12,B B 、()13,B B ，共8个，其中事件“甲、乙所点饮料的口味相同”所包含的基本事件有：()12,A A 、()13,A A 、()12,B B 、()13,B B ，共4个，因此，所求事件的概率为4182=，故答案为：12. 【点睛】本题考查利用古典概型概率公式计算事件的概率，解题的关键就是利用列举法列举出基本事件，并确定基本事件数目，考查计算能力，属于中等题.9.已知函数()()sin 202f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭图象的一条对称轴方程为6x π=，则ϕ的值为______.【答案】6π【解析】【分析】由题意得出()262k k Z ππϕπ⨯+=+∈，求出ϕ的表达式，再结合ϕ的取值范围，可得出ϕ的值. 【详解】由题意得出()262k k Z ππϕπ⨯+=+∈，()6k k Z πϕπ∴=+∈，02πϕ<<，0k ∴=且6π=ϕ，故答案为：6π.【点睛】本题考查利用正弦型函数对称轴方程求参数的值，解题时要结合正弦型函数的对称轴方程得出参数的表达式，并结合参数的取值范围得出参数的值，考查运算求解能力，属于中等题.10.设等比数列{}n a 的公比为()1q q >，前n 项和为n S .若存在m N *∈，使得2152m m m a a a +++=，且29m m S S =，则正整数m 的值为______.【答案】3 【解析】分析】先利用条件2152m m m a a a +++=求出公比q 的值，然后利用等比数列求和公式以及29m m S S =可求出正整数m 的值.【详解】2152m m m a a a +++=Q ，252m m m a a q a q ∴+=，得25102q q -+=，1q >Q ，解得2q =. 由29m m S S =，可得()()211121291212m m a a --=⨯--，所以，()212912mm -=-，即()()()1212912mmm-+=-，m N*∈Q ，120m ∴-≠，129m ∴+=，解得3m =，故答案为：3.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比数列求和公式，对于等比数列问题，通常利用首项和公比将等比数列中相关量表示出来，考查计算能力，属于中等题.11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正方形OABC ，其中()1OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x-=交AB 于点Q ，则当AQ CP +最小时，a 的值为______.【解析】【分析】由题意得出直线AB 的方程为x a =，直线BC 的方程为y a =，求出点P 、Q 的坐标，可得出AQ 、CP 关于a 的表达式，然后利用基本不等式求出AQ CP +的最小值，并利用等号成立的条件求出对应的a 的值. 【详解】由题意得出直线AB 的方程为x a =，直线BC 的方程为y a =，【联立直线AB 的方程与函数12y x -=的解析式12x a y x -=⎧⎪⎨⎪=⎩，得x a y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以点Q的坐标为a ⎛ ⎝，则AQ =. 联立直线BC 的方程与函数23y x =的解析式()230y a y x x =⎧⎨=>⎩，得x y a⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以点P的坐标为a ⎛⎫⎪⎪⎭，则CP =.由基本不等式得AQ CP +=≥==，即当a =a =【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是结合条件建立关于a 的代数式，并结合基本不等式进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.如图，在平面四边形ABCD 中，3AB =，1AD =，CB CD =，2ADB BCD π∠=∠=，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为______.【答案】4- 【解析】【分析】以点D 为坐标原点，DB 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，写出A 、B 、C 、D 四点的坐标，并求出向量AC 、BD 的坐标，利用坐标法来计算出AC BD ⋅uuu r uu u r的值.【详解】如下图所示，以点D 为坐标原点，DB 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，3AB =，1AD =，2ADB π∠=，BD ∴==又CB CD =，且2BCD π∠=，BCD ∴∆是等腰直角三角形，则点()0,1A -、()B 、C、()0,0D ，)1AC =uuu r，()BD =-uu u r，因此，()104AC BD ⋅=-+⨯=-uuu r uu u r，故答案为：4-.【点睛】本题考查图形中向量数量积的计算，常利用基底向量法与坐标法来进行求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.13.在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【解析】【分析】先由1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，结合正弦定理与余弦定理，得到2222a b c +=，再由AB 边上的中线1CM =，()12CM CA CB =+，得到22224232c b a ab c ab=++⋅=，进而可求出结果. 【详解】因为1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列，所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==，所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=，又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =，因为()12CM CA CB =+，所以22222422cos CMCA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++，即22224232c b a ab c ab =++⋅=，解3c =.即AB .故答案为3【点睛】本题主要考查解三角形与平面向量的应用，熟记正弦定理与余弦定理，以及向量数量积的运算即可，属于常考题型.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:20l x y -+=与x 轴交于点A ，点B 在直线1l 上，直线2:310l x y +-=上有且仅有一点C 满足：AC BC ⊥（A 、B 、C 两两互不相同），则点B 的横坐标的所有可能值之积为______. 【答案】19 【解析】【分析】设点B 的坐标为(),2t t +，设点(),C x y ，根据AC BC ⊥转化为0AC BC ⋅=，可得出点C 的轨迹为圆，由题意得出点C 的轨迹圆与直线2l 相切，将直线2l 的方程与点C 的轨迹方程联立，利用0∆=得出关于t 的二次方程，利用韦达定理求出两根之积12t t 可得出结果.【详解】设点B 的坐标为(),2t t +，直线1l 与x 轴的交点为点()2,0A -，设点(),C x y ，()2,AC x y =+uu u r ，(),2BC x t y t =---uu u r， AC BC ⊥Q ，()()()220AC BC x x t y y t ∴⋅=+-+--=uu u r uu u r，联立()()()310220x y x x t y y t +-=⎧⎨+-+--=⎩，消去x 得()210214330y t y t +-+-=，()()2214410330t t ∆=--⨯⨯-=，化简得216190t t ++=，由韦达定理得1219t t =.当点B 为直线1l 与2l 的交点时5434x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，要使0AC BC ⋅=，点C 与点B 重合，不合题意.因此，点B 的横坐标的所有可能值之积为1219t t =，故答案为：19.【点睛】本题考查两直线垂直、直线与圆的位置关系的综合应用，解题的关键在于将点的个数问题转化为直线与圆的位置关系，并利用韦达定理进行求解，考查转化与化归思想以及方程思想，考查运算求解能力，属于难题.二、解答题：请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC ∆中，已知3BC =，2AC AB -=，1cos 2B =-. （1）求AB 、AC 的值；（2）求()sin B C -的值.【答案】（1）5AB =，7AC =；（2）7. 【解析】【分析】（1）设角A 、B 、C 的对边依次为a 、b 、c ，由2b c -=，可得出2b c =+，利用余弦定理结合条件1cos 2B =-可解出c ，从而可得出AB 、AC 的值；（2）求出23B π=，利用余弦定理求出cos C 的值，再利用同角三角函数可求出sin C 的值，然后利用两角差的正弦公式可求出()sin B C -的值.【详解】（1）设角A 、B 、C 的对边依次为a 、b 、c ，由余弦定理得222cos 2a c bB ac+-=，又因为1cos 2B =-，3a =，2b c -=，所以()222321232c c c +-+=-⨯，解得5c =. 因此，5AB =，7AC =；（2）在ABC ∆中，0B π<<，又1cos 2B =-，故23B π=. 由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-=，结合（1）知，22237511cos 23714C +-==⨯⨯，又0C π<<，故sin C ===，()222111sin sin sin cos cos sin 3332142147B C C C C πππ⎛⎫-=-=-=+⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，以及利用两角差的正弦公式求值，在求解三角形的问题时，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦、余弦定理进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，点D 为棱1C C 的中点，1AC 与1A D 交于点E ，1BC 与1B D 交于点F ，连结EF .求证：（1）//AB EF ；（2）平面11A B D ⊥平面11B BCC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）先证明出//AB 平面11A B D ，然后利用直线与平面平行的性质定理可得出//AB EF ；（2）由题意得出1111A B B C ⊥，由1BB ⊥平面111A B C ，可得出111A B BB ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理证明出11A B ⊥平面11BB C C ，再利用平面与平面垂直的判定定理可证明出平面11A B D ⊥平面11B BCC . 【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ，又AB ⊄平面11A B D ，11A B ⊂平面11A B D ，所以//AB 平面11A B D . 又AB Ì平面1ABC ，平面11A B D平面1ABC EF =，所以//AB EF ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1B B ⊥平面111A B C ，又11A B ⊂平面111A B C ，故111B B A B ⊥ 又AB BC ⊥，故1111A B B C ⊥. 又因为1111B BB C B =，1B B ⊂平面11B BCC ，11B C ⊂平面11B BCC ，所以11A B ⊥平面11B BCC ，又11A B ⊂平面11A B D ，所以平面11A B D ⊥平面11B BCC .【点睛】本题考查直线与直线平行以及平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的性质定理以及平面与平面垂直判定定理的应用，考查推理能力，属于中等题.17.现有一张半径为1m 的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为hm 的圆锥筒，如图2.（1）若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为23rad π，求圆锥筒的容积；（2）当h 为多少时，圆锥筒的容积最大？并求出容积的最大值.【答案】（1）381m ；（2）当h 时，圆锥筒的容积的最大值为327m . 【解析】【分析】（1）计算出扇形的弧长，利用扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长可求出圆锥底面圆的半径，利用勾股定理计算出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式可计算出圆锥的容积；（201h <<，利用圆锥的体积公式计算出圆锥的容积V 关于h 的函数，再利用导数可求出V 的最大值，并求出对应的h 的值. 【详解】设圆锥筒的半径为r ，容积为V .（1）由223r ππ=，得13r =，从而3h ==，所以()23111333381V Sh m π⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭.答：圆锥筒的容积为381m ；（2）因为r =，01h <<. 所以()()223111113333V Sh r h h h h h πππ===-⋅=-，即()313V h h π=-，01h <<.因为()21133V h π'=-，令0V '=得，3h =±（舍负值），列表如下：所以，当h 时，V 取极大值即最大值，且V .答：当h 时，圆锥筒的容积的最大值为327m . 【点睛】本题考查圆锥体积的计算，同时也考查利用导数求函数的最值，解题的关键就是要结合题意求出函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ，连结2B F 并延长交椭圆于点P ，连结2PA ，12A B ，记椭圆C 的离心率为e .（1）若12e =，12A B =①求椭圆C 的标准方程；②求21B A F ∆和2PA F ∆的面积之比. （2）若直线2PB 和直线2PA 斜率之积为92-，求e 的值.【答案】（1）①22143x y +=.②5 ；（2）12e =. 【解析】【分析】（1）①设椭圆的焦距为2c ，根据题意列出有关a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 的值，可得出椭圆的标准方程；②求出直线2B F 的方程，将该直线方程与椭圆C 的标准方程联立，求出点P 的坐标，再利用三角形的面积公式可求出21B A F ∆和2PA F ∆的面积之比；（2）先利用截距式得出直线2PB 的方程为1x y c b+=-，将该直线方程与椭圆C 的方程联立，求出点P 的坐标，利用斜率公式计算出直线2PA 和2PB 的斜率，然后由这两条直线的斜率之积为92-，得出关于a 、c 的齐次方程，由此可解出椭圆C 的离心率e 的值.【详解】（1）①设椭圆的焦距为2c，由题意，得22212c e a a b c ⎧==⎪==+⎪⎪⎩2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆的标准方程为22143x y +=；②由①知，()12,0A -、()22,0A ，()1,0F，(20,B ，所以直线2B F的方程为)1y x =-，将其代入椭圆的方程，得()22114x x +-=，即2580x x -=，所以0x =或85x =，所以点P的坐标为85⎛ ⎝⎭. 从而21B A F ∆和2PA F ∆的面积之比：212135B A FPA F S S ∆∆⨯==；（2）因为2B 、F 在直线2PB 上，所以直线2PB 的方程为1x yc b +=-. 解方程组22221,1,x yc bx y a b ⎧+=⎪⎪-⎨⎪+=⎪⎩，得()2122221222a c x a c b a c y a c ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩或220x y b =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为()22222222,b a c a c a c a c ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭.因为直线2PB 的斜率()200PB b bk c c--==-，直线2PA 的斜率()()()()()222222222222222PA b a c b a c b a c a c k a c a a c a c a a c a a c ---++===---+-+，又因为直线2PB 和直线2PA 斜率之积为92-，所以()()()()()()()()222292a c a cb ac b a c a c b a a c c ac a c ac a c ac -++++-⨯=-=-=-=----，即1922e e ++=，化简得22520e e -+=，01e <<Q ，解得12e =. 因此，椭圆C 的离心率为12e =.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、三角形面积的比值，以及椭圆离心率的求解，同时也考查了直线与椭圆交点坐标的求解，考查方程思想的应用，属于中等题.19.已知函数()2xx bx c f x e++=（e为自然对数的底数），()f x '为()f x 的导函数，且()10f '=. （1）求实数c 的值；（2）若函数()f x 在0x =处的切线经过点()1,0-，求函数()f x 的极值；（3）若关于x 的不等式()2f x ≤对于任意的[]0,2x ∈恒成立，求实数b 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）函数()y f x =的极小值为0，极大值为4e；（3）(],22e -∞-. 【解析】【分析】（1）求出函数()y f x =的导数()f x '，由()10f '=，可求出实数c 的值；（2）利用导数求出函数()y f x =在0x =处的切线方程，将点()1,0-代入切线方程，可求出实数b 的值，然后利用导数求出函数()y f x =的极值点，并列表分析函数()y f x =的单调性，由此可得出函数()y f x =的极小值和极大值；的（3）方法1：由()2f x ≤，得()221xbx e x ≤-+，[]0,2x ∈，然后分0x =和02x <≤两种情况讨论，在0x =时可验证不等式成立，在(]0,2x ∈时，由参变量分离法得21x e b x x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，并构造函数()21x e g x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，并利用导数求出函数()y g x =在区间(]0,2上的最小值，由此可得出实数b 的取值范围；方法2：解导数方程()0f x '=，得出11x b =-，21x =，然后分11b -=，10b -≤，011b <-<，12b -≥和112b <-<五种情况讨论，分析函数()y f x =在区间[]0,2上的单调性，求出函数()y f x =的最大值()max f x ，再解不等式()max 2f x ≤可得出实数b 的取值范围.【详解】（1）因为()2x x bx cf x e ++=，所以()()22xx b x b c f x e-+-+-'=，又因为()10f '=，所以()120b b ce-+-+-=，解得1c =.（2）因为()2xx bx cf x e ++=，所以()01f =. 因为()()22xx b x b cf x e-+-+-'=，所以()01f b '=-. 因为，函数()y f x =在0x =处的切线方程为()11y b x -=-且过点()1,0-，即()11b -=--，解得2b =. 因为()()()11xx x f x e -+'=-，令()0f x '=，得1x =±，列表如下：所以当1x =-时，函数()y f x =取得极小值()10f -=，当1x =时，函数()y f x =取得极大值为()41f e=；（3）方法1：因为()212xx bx f x e++=≤在[]0,2x ∈上恒成立，所以()221xbx e x ≤-+在[]0,2x ∈上恒成立. 当0x =时，01≤成立；当(]0,2x ∈时，21x e b x x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，记()21x e g x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，(]0,2x ∈，则()()()()221212111xx x e x e x g x x x x ----⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭. 令()21x h x e x =--，(]0,2x ∈，则()0212110xh x e e '=->-=>，所以函数()y h x =在区间(]0,2上单调递增，所以()()0020110h x h e >=--=>，即210x e x -->在区间(]0,2上恒成立.当(]0,2x ∈，令()0g x '=，得1x =，所以，函数()y g x =在区间()0,1上单调递减，在区间()1,2上单调递增，所以()()min 122g x g e ==-，所以，22b e ≤-，因此，实数b 的取值范围是(],22e -∞-；方法2：由（1）知，()21xx bx f x e++=，所以()()()()22111x xx b x b x x b f x e e -+-+--+-'==-.令()0f x '=，得11x b =-，21x =.①当11b =-时，即0b =时，函数()y f x =在区间[]0,2上单调递减，由题意可知()012f =≤，满足条件；②当10b -≤时，即1b ≥时，函数()y f x =在区间[]0,1上单调递增，在区间[]1,2上单调递减，由题意可知()212b f e+=≤，解得122b e ≤≤-； ③当011b <-<时，即01b <<时，函数()y f x =在[]0,1b -上单调递减，在[]1,1b -上单调递增，在[]1,2上单调递减，由题意可知()212b f e+=≤，解得22b e ≤-，所以01b <<； ④当12b -≥时，即1b ≤-时，函数()y f x =在区间[]0,1上单调递减，在区间[]1,2上单调递增，由题意可知()22522b f e +=≤，解得252b e ≤-. 又因为1b ≤-，所以1b ≤-； ⑤当112b <-<时，即10b -<<时，函数()y f x =在[]0,1上单调递减，[]1,1b -上单调递增，在[]1,2b -上单调递减，由题意可知()1212bb f b e ---=≤，即()12110be b ---+≥. 令1t b =-，则12t <<，设()2121tty e t e t =-+=--，则210ty e '=->，所以，函数21ty e t =--在区间()1,2上单调递增，又因为1t =时，220y e =->，所以0y ≥在区间()1,2上恒成立，所以10b -<<. 综上，22b e ≤-，因此，实数b 的取值范围是(],22e -∞-.【点睛】本题考查导数的计算、导数的几何意义、利用导数求函数的极值以及利用导数研究不等式恒成立问题，对于不等式恒成立问题，可以利用参变量分离法，也可以采用分类讨论法，转化为函数的最值来求解，考查分类讨论数学思想的应用，属于难题.20.若无穷数列{}n a 满足：只要p q a a =（p 、q N *∈），必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P . （1）若数列{}n a 具有性质P ，且11a =，22a =，43a =，52a =，67821a a a ++=，求3a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比大于1的等比数列，15b c =，51b c =，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知()1sin n n n a b a n N *+=+∈，求证：“对任意的1a ，{}na 具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.【答案】（1）316a =；（2）不具有性质P ，证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据题中条件得出25a a =，结合性质P 可得出36a a =，47a a =，58a a =，再利用条件67821a a a ++=，可得出3a 的值；（2）假设数列{}n a 是具有性质P ，根据题中条件得出15a a =，根据性质P 得出26a a =，将两等式作差得出关于q 的方程，解出q 的值，不满足1q >，说明数列{}n a 不具备性质P ；（3）充分性：由数列{}n b 是常数列，可得1n b b =，通过11sin n n a b a +=+，证明11p q a a ++=，可得出数列{}n a 具有性质P ；必要性：对任意的1a ，{}n a 具有性质P ，得到211sin a b a =+，构造函数()1f x x b =-，()sin g x x =，证明出1n n b b +=，可证明出数列{}n b 是常数项. 【详解】（1）因为22a =，52a =，所以25a a =.因为数列{}n a 具有性质P ，所以36a a =，47a a =，58a a =，从而34567821a a a a a a ++=++=，又43a =，52a =，所以316a =；（2）假设{}n a 是具有性质P ，等比数列{}n c 的公比为()1q q >. 因为n n n a b c =+，所以111a b c =+，555a b c =+.因为15b c =，51b c =，所以1155b c b c +=+①，从而15a a =. 又因为{}n a 具有性质P ，所以26a a =，即2266b c b c +=+②. ②-①，得21216565b b c c b b c c -+-=-+-.因为{}n b 是等差数列，所以2165b b b b -=-，从而2165c c c c -=-.因为数列{}n c 是等比数列，所以10c ≠，从而541q q q -=-，而()()4110q q --=.因为1q >，所以不存在这样的q ，所以假设不成立. 所以{}n a 不具有性质P ；（3）1︒充分性：若{}n b 是常数列，则1n b b =，从而11sin sin n n n n a b a b a +=+=+. 若存在p 、q N *∈，使得p q a a =，则由11sin p p a b a +=+，11sin q q a b a +=+得，11p q a a ++=，所以对任意的1a ，{}n a 具有性质P ；2︒必要性：若对任意的1a ，{}n a 具有性质P .先证明：对于给定的1b ，存在t R ∈，使得1sin 0t t b --=. 证明：记函数()1sin f t t t b =--，则()()1122sin 20f b b +=-+>，()()1122sin 20f b b -=---<，又函数()y f t =的图象不间断，所以存在()112,2t b b ∈-+，使得()0f t =. 取1a t =，则111sin 0a a b --=，即111sin a b a =+，又由1sin n n n a b a +=+得，211sin a b a =+，所以12a a =. 由{}n a 具有性质P ，得23a a =，34a a =，，1n n a a +=，所以{}n a 为常数列，从而1sin n n n b a a +=-为常数，所以{}n b 是常数列.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合问题，同时也考查了充分必要条件的证明，本题的难点在于构造新函数，利用函数的零点存在定理来证明常数列，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.21.已知矩阵32x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，41α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，且94A α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（1）求实数x 、y 的值；（2）求矩阵A 的特征值.【答案】（1）3x =，4y =；（2）特征值为1、6.【解析】【分析】（1）根据题中矩阵运算列出关于x 、y 的方程组，可解出x 、y 的值；（2）求出矩阵A特征方程，解出该方程可得出矩阵A 的特征值.【详解】（1）因为32x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，41α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，94A α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以349214x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦.所以43984x y -=⎧⎨-=⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩；（2）由（1）知，3324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则矩阵A 的特征多项式()()()()()333461624fλλλλλλλ--==---=----，令()0f λ=，得1λ=，6λ=，因此，矩阵A 的特征值为1、6.【点睛】本题以矩阵计算以及矩阵特征值的计算，解题的关键在于写出矩阵的特征方程，并进行求和，考查方程思想的应用，属于中等题.22.在极坐标系中，O 为极点，点()00,M ρθ在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点()4,0A 且与OM 垂直，若03πθ=，求0ρ及l 的极坐标方程.【答案】0ρ=l 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】将点0,3M πρ⎛⎫⎪⎝⎭代入曲线C 的极坐标方程可得出0ρ的值，求出直线OM 的斜率，根据l OM ⊥求出直线l 的斜率，利用点斜式写出直线l 的方程，再将直线l 的普通方程化为极坐标方程. 【详解】因为点()00,M ρθ在曲线:4sin C ρθ=上，所以004sin ρθ=.的又03πθ=，故04sin3πρ==OM 的斜率为tan3π=l OM ⊥Q ，设直线l 的斜率为k 1=-，解得3k =-.所以，直线l 的方程为)4y x =-，即40x +-=，所以，直线l 的极坐标方程为cos sin 40ρθθ+-=，即2sin 46πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此，直线l 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查极径的计算以及直线的极坐标方程的求解，一般要结合题意先写出直线的普通方程，再转化为极坐标方程，考查运算求解能力，属于中等题.23.对于正实数x 、y 满足11x -≤，21y -≤，求证：12x y -+≤. 【答案】证明见解析【解析】【分析】将代数式表示为()()112x y x y -+=---，再利用绝对值三角不等式可证出所证不等式成立. 【详解】由绝对值三角不等式得()()112122x y x y x y -+=---≤-+-≤，因此，原不等式成立.【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式证明不等式成立，证明的关键在于对代数式进行配凑，考查推理能力，属于中等题.24.如图，在空间之间坐标系O xyz -中，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 在平面xOy 上，其中点A 与坐标原点O 重合，点D 在y 轴上，CD AD ⊥，//BC AD ，顶点P 在z 轴上，且2PA AD CD ===，3BC =.（1）求直线PB 与平面PCD 所成角的大小；（2）设E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =，求二面角F AE P --的正弦值. 【答案】（1）45；（2. 【解析】【分析】（1）列出A 、B 、C 、D 、P 的坐标，计算出平面PCD 的一个法向量u r，利用空间向量法计算出直线PB与平面PCD 所成角的正弦值，即可得出直线PB 与平面PCD 所成角的大小；（2）求出点E 、F 的坐标，计算出平面AEF 和AEP 的法向量m 、n ，利用空间向量法求出二面角F AE P --的余弦值的绝对值，由此可得出二面角F AE P --的正弦值.【详解】因为四棱锥P ABCD -的底面ABCD 在平面xOy 上，其中点A 与坐标原点O 重合，点D 在y 轴上，CD AD ⊥，//BC AD ，顶点P 在z 轴上，且2PA AD CD ===，3BC =，所以()0,0,0A ，()2,1,0B -，()2,2,0C ，()0,2,0D，()002P ,,.（1）()2,1,2PB =--，()2,2,2PC =-，()0,2,2PD =-，设平面PCD 的一个法向量为(),,u x y z =r，则00u PC u PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取1z =，则0x =，1y =，得()0,1,1u =r .所以cos ,2u PB u PB u PB ⋅===-⋅r uu rr uu r r uu r . 所以直线PB 与平面PCD 所成角的大小为45；（2）因为E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =，所以()0,1,1E ，224,,333F ⎛⎫⎪⎝⎭. 设平面AEF 的一个法向量为(),,m a b c =u r，则00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即02240333b c a b c +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，取1b =，则1a =，1c =-，得()1,1,1m =-. 又平面AEP 的一个法向量为()1,0,0n =r，所以cos ,m n m n m n⋅===⋅u r ru r r u r r . 所以二面角F AE P --. 【点睛】本题考查利用空间向量法求直线与平面所成的角和二面角，解题的关键就是要列出问题所涉及的点的坐标，并计算出平面的法向量，考查运算求解能力，属于中等题.25.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A 、B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A 、B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（1）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（2）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【答案】（1）X 的分布列见解析，数学期望为1；（2）无法确定是否有变化，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据表格中的数据确定仅使用A 支付方法或B 支付方法中，金额不大于1000和大于1000的人所占的频率，由题意得出随机变量X 的可能取值有0、1、2，再利用独立事件的概率乘法公式计算出随机变量X 在对应取值的概率，可列出随机变量X 的分布列，并利用数学期望公式可求出其数学期望；（2）计算出事件“从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元”的概率，根据概率的意义得出结论.【详解】（1）仅使用A 支付方法的30名学生中，金额不大于1000的人数占35，金额大于1000的人数占25，仅使用B 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占25，金额大于1000的人数占35，且X 的所有可能值为0、1、2.则()32605525P X ==⨯=，()22321315525P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()32625525P X ==⨯=，所以X 分布列为：数学期望()61360121252525E X =⨯+⨯+⨯=；（2）无法确定是否有变化，理由如下：记事件:E “从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.” 假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月数据得，()3333014060C P E C ==. 我们知道“小概率事件”的概率虽小，但还是有可能发生的，因此无法确定是否有变化.【点睛】本题考查离散型随机变量分布列与数学期望，考查古典概型概率的计算以及概率的意义，解时要弄清事件的基本类型，结合相关公式计算事件的概率，考查推理能力与计算能力，属于中等题.。

江苏省南通市2019-2020学年高三上学期开学模拟考试数学试题(解析版)

江苏省南通市2020届高三开学模拟考试数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。

考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符. 4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 设集合{}{}1,3A x x B x x =>-=≤，则A B =________．【答案】{}13x x -<≤【解析】【分析】根据集合的交集运算求解即可得答案. 【详解】解：根据集合的交集运算，{}{}{}1313A B x x x x x x ⋂=>-⋂≤=-<≤. 故答案为：{}13x x -<≤.【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.2. 已知命题2:(1,),log 0p x x ∀∈+∞>，则p ⌝为_____【答案】2(1,),log 0x x ∃∈+∞≤【解析】【分析】根据全称命题“(),x M p x ∀∈”的否定为特称命题“()00,x M p x ∃∈⌝”即可得结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，所以，命题:p 2(1,),log 0x x ∀∈+∞> 的否定p ⌝为2(1,),log 0x x ∃∈+∞≤ ，故答案为2(1,),log 0x x ∃∈+∞≤.【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3. 设i 是虚数单位，若11z ai i =++是实数，则实数a = 【答案】12 【解析】【分析】将z 化简为x yi +的形式，根据z 为实数，求得a 的值.【详解】依题意()()11111112222i z ai i ai a i i i -⎛⎫=+=-+=+- ⎪+-⎝⎭，由于z 为实数，故110,22a a -==. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数为实数的条件，属于基础题.4. 函数2211x y x -=+的值域为________．【答案】(]1,1-【解析】【分析】化简函数22212111x y x x -==-++，根据211x +≥，得到22021x<≤+，即可求解. 【详解】由题意，函数222221(1)221111x x y x x x--++===-+++，因为211x +≥，所以22021x <≤+，所以22111x -<≤+，即函数2211x y x-=+的值域为(]1,1-. 故答案为：(]1,1-.【点睛】本题主要考查了函数值域的求解，其中解答中合理化简函数的解析式，结合基本初等函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.5. ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，5,7,60===a b B ，则c = ．【答案】8【解析】【详解】分析：利用余弦定理，求出c 的表达式，解方程即可求出c 的值．详解：∵ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，5a =，7b =，60B =︒.∴根据余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-∴2492510cos60c c =+-︒，即25240c c --=.∴8c =或3c =-（舍去）故答案为：8．点睛：解三角形需要三个条件，且至少一个是边，本题既可使用正弦定理解决，也可使用余弦定理解决，使用正弦定理时要考虑如何对所解得的答案进行取舍，使用余弦定理解决后要细心体会方程思想的灵活应用．6. 设变量,x y 满足约束条件10{1030x x y x y -≤++≥-+≥，则目标函数2z x y =+的最小值为．【答案】3-【解析】【分析】画出约束条件表示的可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，利用数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数即可得出最小值.【详解】由约束条件101030x x y x y -≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩作出可行域如图所示：化目标函数2z x y =+为2y x z =-+.联立方程组1030x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得(2,1)A -.由图可知，当直线2y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为min 2(2)13z =⨯-+=-. 故答案为3-.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7. 若关于x 的方程210x x a ---=在[]1,1-上有解，则实数a 的取值范围是________．【答案】5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由210x x a ---=可得21a x x =--，求得二次函数21y x x =--在区间[]1,1-上的值域，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】由210x x a ---=可得21a x x =--，由题意可知，实数a 的取值范围是函数21y x x =--在区间[]1,1-上的值域，当[]1,1x ∈-时，221551,1244y x x x ⎛⎫⎡⎤=--=--∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 因此，实数a 的取值范围是5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查利用方程在区间上有解求参数的取值范围，考查参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.8. 已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，2()(R)f x x ax a =+∈，(2)6f =，则a = .【答案】5【解析】分析】先根据函数的奇偶性求出(2)f -的值,然后将2x =-代入小于0的解析式,建立等量关系,解之即可.【详解】∴函数()y f x =是奇函数,()()f x f x ∴-=-,而(2)6f =,则(2)(2)6f f -=-=-,将2x =-代入小于0的解析式得(2)426f a -=-=-,解得5a =,故答案为5.9. 将函数πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点向左平移π4个单位，再将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为________．【答案】15sin 212y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ 【解析】【分析】根据三角平移变换依次执行即可得答案. 【详解】将函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，得到函数5sin sin 4612y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数15sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象. 因此变换后所得图象对应的函数解析式为15sin 212y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ 故答案为：15sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，是基础题.函数()sin y A ωx φ=+的图像变换的技巧及注意事项:（1）函数图象的平移变换规则是“ 左加右减”，“上加下减”；（2）在变换过程中务必分清先相位变换，还是先周期变换，一定要注意两者的区别；（3）变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.10. 已知函数f （x ）=f′（2π）sinx+cosx ，则f （4π）= 【答案】0【解析】试题分析：由原函数可得()cos sin cos sin 1222222f x f x x f f f ππππππ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-∴=-∴=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭' ()sin cos sin cos 0444f x x x f πππ⎛⎫∴=-+∴=-+= ⎪⎝⎭考点：函数求导数求值11. 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为11A B CD -的外接球的体积为_______．【答案】36π【解析】【分析】四面体A ﹣B 1CD 1的外接球即为正方体的外接球，球的直径就是正方体的对角线的长，求出半径即可求出球的体积．【详解】四面体A ﹣B 1CD 1的外接球即为正方体的外接球，所以2r =∴r ＝3，V 球43=πr 343=π×27＝36π．故答案为36π【点睛】本题是基础题，考查正方体的外接球的体积，注意四面体A ﹣B 1CD 1的外接球即为正方体的外接球，是解题的关键，考查计算能力． 12. 已知点(,)P x y 在由不等式组301010x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩确定的平面区域内，O 为坐标原点，点(1,2)A -，则cos OP AOP ⋅∠的最大值是__________【解析】【分析】先作可行域，再化简||cos OP AOP ⋅∠，最后结合图形求最值【详解】先作可行域，如图，而||cos ||5OA OP OP AOP OA ⋅⋅∠== 则直线2z x y =-+过点B(1,2)时，z 取最大值3，即||cos OP AOP ⋅∠的最大值是355【点睛】本题考查线性规划求最值以及向量数量积坐标表示，考查基本分析求解能力，属中档题.13. 设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>恒过定点()1,2A ，则椭圆的中心到准线的距离的最小值________. 52【解析】【分析】设所求21=a c t，由椭圆过(12)，A 可得22141+=a b ，进而化简可得2422(1)50-++=t a t a ，由方程有解可得0∆≥，进而可得t 的最小值.【详解】设椭圆的焦距为2c ，221,=∴=a c ta c t椭圆过定点(12)，A ，所以 2222222222214145()+=⇒+=⇒-=-b a a b a c a a c a b，222222224225()[()](1)50⇒-=-⇒-++=a ta a a ta t a t a2222(1)2002510∆=+-≥⇔-+≥t t t t52∴≥+t 或052<≤-t10<52∴≤-t 或15+2≥t椭圆过定点(12)，A ，211∴=>a c t所以椭圆的中心到准线的距离的最小值为：5+2故答案为：5+2【点睛】本题考查了椭圆的几何意义，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.14. 设1250,,,a a a 是从1-，0，1这三个整数中取值的数列，若12509a a a +++=，且()()()2221250111107a a a ++++++=，则1250,,,a a a 中数字0的个数为________ . 【答案】11【解析】【分析】由题意1250,,,a a a 中1的个数比1-的个数多9，则12501,1,,1a a a +++中2的个数比0的个数多9个，其他都是1，由此可设1250,,,a a a 中有m 个1，n 个0，列方程组求解．【详解】设1250,,,a a a 中有m 个1，n 个0，因为12509a a a +++=，所以1-的个数为9m -， ()()()22212501114107a a a m n ++++++=+=，又(9)50m n m ++-=，由4107259m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得2411m n =⎧⎨=⎩．故答案为：11．【点睛】本题考查推理，关键是认识到12501,1,,1a a a +++是由1250,,,a a a 各加1得到的，因此数字的个数存在相应的关系．这样可列出方程组求解．二、解答题：本大题共6小题，请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15. 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a=1，b=2，cosC=（1）求△ABC 的周长；（2）求cos （A ﹣C ）的值．【答案】（1）5 （2）【解析】试题分析：解：（Ⅰ）22212cos 14444c a b ab C =+-=+-⨯= 2.c ∴=ABC ∴∆的周长为122 5.a b c ++=++=（Ⅱ）221115cos ,sin 1cos 1().44C C C =∴=-=-= 15sin 154sin 28a C A c ∴=== ,a c A C <∴<，故A 为锐角，22157cos 1sin 1().88A A ∴=-=-= 71151511cos()cos cos sin sin .8416A C A C A C ∴-=+=⨯+⨯= 考点：余弦定理和正弦定理点评：解决的关键是根据余弦定理和正弦定理来求解三角形，属于基础题．16.如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是菱形,PA PC =,E 为PB 的中点.(1)求证:PD 面AEC ；(2)求证:平面AEC ⊥平面PDB .【答案】（1）要证明线面平行，则可以根据线面平行的判定定理来证明．（2）对于面面垂直的证明，要根据已知中的菱形的对角线垂直，以及AC ⊥面PBD 来加以证明．【解析】【详解】试题分析：（1）由题意得只需在平面AEC 内找一条直线与直线PD 平行即可．设ACBD O =，连接EO ，由三角形中位线可得PD EO 即得；（2）连接PO ，由题意得PO ⊥AC ，又底面为菱形，则AC ⊥BD ，由面面垂直的判定定理即得．试题解析：（1）证明：设ACBD O =，连接EO ，因为O ，E 分别是BD ，PB 的中点，所以PD EO 而,PD AEC EO AEC ⊄⊂面面，所以PD面AEC （2）连接PO ，因为PA PC =，所以AC PO ⊥，又四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥而PO ⊂面PBD ，BD ⊂面PBD ，PO BD O =，所以AC ⊥面PBD又AC ⊂面AEC ，所以面AEC ⊥面PBD考点：1．线面平行的判定定理；2．面面垂直的判定定理；17. 已知圆C 在x 轴上的截距为1-和3，在y 轴上的一个截距为1．（1）求圆C 的标准方程；（2）若过点()231,的直线l 被圆C 截得的弦AB 的长为4，求直线l 的倾斜角；（3）求过原点且被圆C 截得的弦长最短时的直线l '的方程．【答案】（1）22(1)(1)5x y -++=；（2）直线l 的倾斜角为30°或90°；（3）y x =．【解析】【分析】（1）根据题意，圆过点(1,0)A -，(3,0)B ，(0,1)D ，根据弦的中垂线过圆心即可求解；（2）先考虑直线斜率不存在时的情况，易知满足条件，再讨论斜率不存在的时候，设出方程，利用垂径定理求解即可；（3）过原点且被圆C 截得的弦长最短时，直线l '与直线OC 垂直，进而得直线l '的方程. 【详解】（1）设(1,0)A -，(3,0)B ，(0,1)D ，则AB 中垂线为1x =，AD 中垂线为y x =-，∴圆心(,)C x y 满足1,,x y x =⎧⎨=-⎩∴(1,1)C -，半径r CD =∴圆C 的标准方程为22(1)(1)5x y -++=．（2）当斜率不存在时，l ：2x =到圆心的距离为1，亦满足题意，直线l 的倾斜角为90°；当斜率存在时，设直线l的方程为(2)1y k x =-，由弦长为4，可得圆心(1,1)到直线l1=，1=，∴k =l 的倾斜角为30°，综上所述，直线l 的倾斜角为30°或90°．（3）当过原点且被圆C 截得的弦长最短时，直线l '与直线OC 垂直 ∵ 1OC k =- ∴直线l '：y x =．【点睛】本题考查圆的方程的求解，直线与圆的位置关系，几何法求弦长等，考查运算能力，是基础题. 18. 如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB a ，()BC b a b =<，AB 、AD 、CD 、CB 上分别截取AE 、AH 、CG 、CF 都等于x ，记四边形EFGH 的面积为()f x .（1）求()f x 的解析式和定义域；（2）当x 为何值时，四边形EFGH 的面积最大？并求出最大面积.【答案】（1）()()22248a b a b f x x ++⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，定义域为{}0x x b <≤；（2）答案见解析. 【解析】【分析】（1）计算出AEH △、BEF 、CFG △、DHG △，利用矩形ABCD 的面积减去AEH △、BEF 、CFG △、DHG △的面积之和即可得出函数()y f x =的解析式，并根据实际情况求得该函数的定义域；（2）对4a b+与b 的大小进行分类讨论，利用二次函数的基本性质可求得四边形EFGH 面积的最大值及其对应的x 值.【详解】（1）设四边形EFGH 的面积为S ，则212AEH CFG S S x ==△△，()()12BEF DGH S S a x b x ==--△△，()()()()2222112222248a b a b S ab x a x b x x a b x x ++⎡⎤⎛⎫∴=-+--=-++=--+⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，由题意可得00x ax b a b <≤⎧⎪<≤⎨⎪<⎩，可得0x b <≤，因此，()()22248a b a b f x x ++⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，定义域为{}0x x b <≤；（2）因为0b a <<，所以02a bb +<<. 若4a b b +≤，即3a b ≤时，则当4a b x +=时，函数()y f x =取最大值()28a b +；若4a bb +>，即3a b >时，()S x 在(]0,b 上是增函数，此时当x b =时，函数()y f x =取最大值()222248a b a b b ab b ++⎛⎫--+=- ⎪⎝⎭，综上可知，当3a b ≤时，且当4a b x +=时，()()2max 48a b a b f x f ++⎛⎫== ⎪⎝⎭；当3a b >时，且当x b =时，()()2max f x f b ab b ==-.【点睛】本题考查了二次函数模型的实际应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.19. 已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，1n =、2、．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）记12111n nS a a a =+++，若100n S <，求最大正整数n ；（3）是否存在互不相等的正整数m 、s 、n ，使m 、s 、n 成等差数列且1m a -、1s a -、1n a -成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）max 99n =；（3）不存在，理由见解析. 【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义可证明出数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）求得1na 的表达式，利用分组求和法可求得n S ，然后解不等式100n S <，即可得出最大正整数n 的值；（3）假设存在m 、s 、n ，使m 、s 、n 成等差数列且1m a -、1s a -、1n a -成等比数列，由等比数列的定义化简得出3323m n s +=⋅，利用基本不等式可得出结论. 【详解】（1）1321n n n a a a +=+，1211111111333n n n n n n a a a a a a +⎛⎫+-∴-=-==- ⎪⎝⎭，1110a -≠，()*110nn N a ∴-≠∈，∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）11213a -=，由（1）可求得112112333nn n a -⎛⎫-=⨯⎪= ⎝⎭，1213n n a ∴=+.212211111111133211333313n n n n n S n n n a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+++=++++=+=+- ⎪⎝⎭-，由于1110n n n S S a ++-=>，所以，数列{}n S 单调递增， 999911003S =-，10010011013S =-，且99100100S S <<，因此，max 99n =；（3）假设存在，则2m n s +=，()()()2111m n s a a a -⋅-=-，332nn na =+，2333111323232n m s n m s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．化简得：3323m n s +=⋅，由基本不等式可得332323m n m n s ++≥⋅=⋅，当且仅当m n =时等号成立．又m 、n 、s 互不相等，因此，不存在m 、s 、n 满足题意.【点睛】本题考查等比数列的证明，同时也考查了分组求和法、数列不等式的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 20. 已知函数（e 是自然对数的底数）.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线也是抛物线24(1)y x =-的切线，求a 的值；（2）若对于任意,()0x R f x ∈>恒成立，试确定实数a 的取值范围；（3）当1a =-时，是否存在0(0,)x ∈+∞，使曲线:()()C y g x f x =-在点0x x =处的切线斜率与()f x 在R 上的最小值相等？若存在，求符合条件的0x 的个数；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）1a e =-或1a e =--；（2）(,0]a e ∈-（3）相等，一个. 【解析】【分析】（1）求出在1x =的切线，与24(1)y x =-联立，根据切线与抛物线只有一个交点，则0∆=；（2）分0a >，0a =，0a <根据导数讨论；（3）转化为函数的零点通过导数求解. 【详解】（1）(),(1)xf x e a f e a ''=+=+，所以在1x =处的切线为()()(1)y e a e a x -+=+- 即：()y e a x =+与24(1)y x =-联立，消去y 得22()440e a x x +-+=，由0∆=知，1a e =-或1a e =-- （2）()x f x e a '=+①当0a >时，()0,()f x f x '>在R 上单调递增，且当x →-∞时，0,x e ax →→-∞，()f x ∴→-∞，故()0f x >不恒成立，所以0a >不合题意；②当0a =时，()0x f x e =>对x ∈R 恒成立，所以0a =符合题意； ③当0a <时令'()0x f x e a =+=，得ln()x a =-，当(,,ln())x a ∈-∞-时，'()0f x <，当(ln(),)x a ∈-+∞时，'()0f x >，故()f x 在(,ln())a -∞-上是单调递减，在(ln(),)a -+∞上是单调递增, 所以min [()](ln())ln()0,f x f a a a a =-=-+->,a e ∴>-又0a <，(,0)a e ∴∈-，综上：(,0]a e ∈- (3)当1a =-时，由（2）知min [()](ln())ln()1f x f a a a a =-=-+-=，设()()()ln x xh x g x f x e x e x =-=-+，则11()ln 1ln 11x xx x h x e x ee e x x x ⎛⎫'=+-+=+-+ ⎪⎝⎭，假设存在实数0(0,)x ∈+∞，使曲线:()()C y g x f x =-在点0x x =处的切线斜率与()f x 在R 上的最小值相等，0x 即为方程的解，令'()1h x =得：1(ln 1)0xe x x +-=，因为0x e >，所以1ln 10x x+-=.令1()ln 1x x x ϕ=+-，则22111'()x x x x xϕ-=-=，当01x <<是'()0x ϕ<，当1x >时'()0x ϕ>，所以1()ln 1x x xϕ=+-在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ()(1)0x ϕϕ∴>=,故方程1(ln 1)0x e x x+-=有唯一解为1，所以存在符合条件的0x ，且仅有一个01x =.【点睛】本题考查导数的综合应用. 复杂方程的根问题：1、转化为函数的交点求解；2、转化为函数的零点求解.。

江苏省2019～2020学年度高三年级第一学期南通联考(二)模拟考试数学试卷及参考答案

B
π 3
3 ＝ 5，求
sin
A 的值．
17．（本小题共 14 分）
如图，有一直径为 8 米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经
济价值是种植乙水果经济价值的转光源满足甲水果生长的需要，
5 倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的
C处恰有一可旋
该光源照射范围是
ECF π，点 E，F 在直径 AB上，且 ABC π．
为 ▲．
5．已知函数 f x x 3 2x ，若 f 1 f log 1 3 0 ( a 0 且 a 1) ，则实数 a 的取值范围是
a
▲．
x2 y2 6．已知双曲线 C： a2 －b2＝ 1( a＞ 0， b＞ 0) 的离心率为 2，右焦点与抛物线
y2＝ 16x 的焦点重合，则双曲
线 C的顶点到渐近线的距离为
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2019 ～ 2020 学年度高三年级第一学期南通联考（二）模拟考试
数学Ⅰ
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请将答案填在答题纸对应的横线上．）
1．若 ( a＋ bi)(3 － 4i) ＝ 25 ( a， b∈ R，i 为虚数单位 ) ，则 a＋ b 的值为 ▲ ．
2．若集合 P＝ { － 1，0， 1， 2} ， Q＝ {0 ， 2， 3} ，则 P∩ Q＝ ▲ ．
3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150， 150， 400， 300 名学生．为了解学生的就业倾向，用
分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取
40 名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为
▲．
4．记函数 f x
4 3x x2 的定义域为 D．若在区间 [ － 5， 5] 上随机取一个数 x，则 x∈ D的页

江苏省南通市2019-2020学年高三上学期开学模拟考试数学试题

江苏省南通市2020届高三开学模拟考试数学本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。

考试时间为120分钟. 一、填空题：本大题共14小题，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 设集合{}{}1,3A x x B x x =>-=≤，则AB =________．{}13x x -<≤根据集合的交集运算求解即可得答案.解：根据集合的交集运算，{}{}{}1313A B x x x x x x ⋂=>-⋂≤=-<≤. 故答案为：{}13x x -<≤.2. 已知命题2:(1,),log 0p x x ∀∈+∞>，则p ⌝为_____2(1,),log 0x x ∃∈+∞≤根据全称命题“(),x M px ∀∈”的否定为特称命题“()00,x M p x ∃∈⌝”即可得结果.因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，所以，命题:p 2(1,),log 0x x ∀∈+∞> 的否定p ⌝为2(1,),log 0x x ∃∈+∞≤ ，故答案为2(1,),log 0x x ∃∈+∞≤. 3. 设i 是虚数单位，若11z ai i=++是实数，则实数a = 12将z 化简为x yi +的形式，根据z 为实数，求得a 的值.依题意()()11111112222i zai i ai a i i i -⎛⎫=+=-+=+- ⎪+-⎝⎭，由于z 为实数，故110,22a a -==.4. 函数2211x y x -=+的值域为________．(]1,1-化简函数22212111x y x x -==-++，根据211x +≥，得到22021x<≤+，即可求解. 由题意，函数222221(1)221111x x y x x x --++===-+++，因为211x +≥，所以22021x <≤+，所以22111x -<≤+，即函数2211x y x-=+的值域为(]1,1-.故答案为：(]1,1-.5. ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，5,7,60===a b B ，则c =．8分析：利用余弦定理，求出c 的表达式，解方程即可求出c 的值．详解：∵ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，5a =，7b =，60B =︒.∴根据余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ∴2492510cos60c c =+-︒，即25240c c --=. ∴8c =或3c =-（舍去）故答案为：8．点睛：解三角形需要三个条件，且至少一个是边，本题既可使用正弦定理解决，也可使用余弦定理解决，使用正弦定理时要考虑如何对所解得的答案进行取舍，使用余弦定理解决后要细心体会方程思想的灵活应用．6. 设变量,x y 满足约束条件10{1030x x y x y -≤++≥-+≥，则目标函数2z x y =+的最小值为．3-画出约束条件表示的可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，利用数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数即可得出最小值.由约束条件101030x x y x y -≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩作出可行域如图所示：化目标函数2z x y =+为2y x z =-+.联立方程组1030x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得(2,1)A -.由图可知，当直线2y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为min 2(2)13z =⨯-+=-. 故答案为3-.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7. 若关于x 的方程210x x a ---=在[]1,1-上有解，则实数a 的取值范围是________．5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦由210x x a ---=可得21a x x =--，求得二次函数21y x x =--在区间[]1,1-上的值域，由此可得出实数a 的取值范围.由210x x a ---=可得21a x x =--，由题意可知，实数a 的取值范围是函数21y x x =--在区间[]1,1-上的值域，当[]1,1x ∈-时，221551,1244y x x x ⎛⎫⎡⎤=--=--∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.因此，实数a 的取值范围是5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.8. 已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，2()(R)f x x ax a =+∈，(2)6f =，则a = .5 分析】先根据函数的奇偶性求出(2)f -的值,然后将2x =-代入小于0的解析式,建立等量关系,解之即可.∴函数()y f x =是奇函数,()()f x f x ∴-=-,而(2)6f =,则(2)(2)6f f -=-=-, 将2x =-代入小于0的解析式得(2)426f a -=-=-,解得5a =, 故答案为5.9. 将函数πsin 6y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有的点向左平移π4个单位，再将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为________．15sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭根据三角平移变换依次执行即可得答案. 将函数sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，得到函数5sin sin 4612y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数15sin 212y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象. 因此变换后所得图象对应的函数解析式为15sin 212y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭故答案为：15sin 212y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 函数()sin y A ωx φ=+的图像变换的技巧及注意事项:（1）函数图象的平移变换规则是“ 左加右减”，“上加下减”；（2）在变换过程中务必分清先相位变换，还是先周期变换，一定要注意两者的区别；（3）变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.10. 已知函数f （x ）=f′（2π）sinx+cosx ，则f （4π）= 0试题分析：由原函数可得()cos sin cos sin 1222222f x f x x f f f ππππππ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-∴=-∴=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'()sin cos sin cos 0444f x x xf πππ⎛⎫∴=-+∴=-+= ⎪⎝⎭36π四面体A ﹣B 1CD 1的外接球即为正方体的外接球，球的直径就是正方体的对角线的长，求出半径即可求出球的体积．四面体A ﹣B 1CD 1的外接球即为正方体的外接球，所以2r 23(23)=⨯．∴r ＝3，V 球43=πr 343=π×27＝36π．故答案为36π12. 已知点(,)P x y 在由不等式组301010x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩确定的平面区域内，O 为坐标原点，点(1,2)A -，则cos OP AOP ⋅∠的最大值是__________ 355先作可行域，再化简||cos OP AOP ⋅∠，最后结合图形求最值先作可行域，如图，而||cos ||5OA OP OP AOP OA ⋅⋅∠==则直线2z x y =-+过点B(1,2)时，z 取最大值3，即||cos OP AOP ⋅∠的最大值是3513. 设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>恒过定点()1,2A ，则椭圆的中心到准线的距离的最小值________.2设所求21=a c t ，由椭圆过(12)，A 可得22141+=a b ，进而化简可得2422(1)50-++=t a t a ，由方程有解可得0∆≥，进而可得t 的最小值.设椭圆的焦距为2c ，221,=∴=a c ta c t椭圆过定点(12)，A ，所以 2222222222214145()+=⇒+=⇒-=-b a a b a c a a c a b， 222222224225()[()](1)50⇒-=-⇒-++=a ta a a ta t a t a2222(1)20010∆=+-≥⇔-+≥t t t2∴≥t 或02<≤t10<2∴≤t 或1≥t椭圆过定点(12)，A ，211∴=>a c t所以椭圆的中心到准线的距离的最小值为：故答案为： 14. 设1250,,,a a a 是从1-，0，1这三个整数中取值的数列，若12509a a a +++=，且()()()2221250111107a a a ++++++=，则1250,,,a a a 中数字0的个数为________ .11由题意1250,,,a a a 中1的个数比1-的个数多9，则12501,1,,1a a a +++中2的个数比0的个数多9个，其他都是1，由此可设1250,,,a a a 中有m 个1，n 个0，列方程组求解．设1250,,,a a a 中有m 个1，n 个0，因为12509a a a +++=，所以1-的个数为9m -，()()()22212501114107a a a m n ++++++=+=，又(9)50m n m ++-=，由4107259m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得2411m n =⎧⎨=⎩．故答案为：11．二、解答题：本大题共6小题，请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15. 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a=1，b=2，cosC= （1）求△ABC的周长；（2）求cos （A ﹣C ）的值．（1）5 （2）试题分析：解：（Ⅰ）22212cos 14444c a b ab C =+-=+-⨯= 2.c ∴=ABC ∴∆的周长为122 5.a b c ++=++=（Ⅱ）221115cos ,sin 1cos 1().444C C C =∴=-=-=15sin 154sin 2a C A c ∴===,a c A C <∴<，故A 为锐角，22157cos 1sin 1().88A A ∴=-=-= 71151511cos()cos cos sin sin .8416A C A C A C ∴-=+=⨯+⨯= 16.如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是菱形,PA PC =,E 为PB 的中点.(1)求证:PD面AEC ；(2)求证:平面AEC ⊥平面PDB .（1）要证明线面平行，则可以根据线面平行的判定定理来证明．（2）对于面面垂直的证明，要根据已知中的菱形的对角线垂直，以及AC ⊥面PBD 来加以证明．试题分析：（1）由题意得只需在平面AEC 内找一条直线与直线PD 平行即可．设AC BD O =，连接EO ，由三角形中位线可得PD EO 即得；（2）连接PO ，由题意得PO ⊥AC ，又底面为菱形，则AC ⊥BD ，由面面垂直的判定定理即得．试题解析：（1）证明：设ACBD O =，连接EO ，因为O ，E 分别是BD ，PB 的中点，所以PD EO而,PD AEC EO AEC ⊄⊂面面，所以PD面AEC（2）连接PO ，因为PA PC =，所以AC PO ⊥，又四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥而PO ⊂面PBD ，BD ⊂面PBD ，PO BD O =，所以AC ⊥面PBD又AC ⊂面AEC ，所以面AEC⊥面PBD（1）求圆C 的标准方程；（2）若过点()231,的直线l 被圆C 截得的弦AB 的长为4，求直线l 的倾斜角；（3）求过原点且被圆C 截得的弦长最短时的直线l '的方程．（1）22(1)(1)5x y -++=；（2）直线l 的倾斜角为30°或90°；（3）y x =．（1）根据题意，圆过点(1,0)A -，(3,0)B ，(0,1)D ，根据弦的中垂线过圆心即可求解；（2）先考虑直线斜率不存在时的情况，易知满足条件，再讨论斜率不存在的时候，设出方程，利用垂径定理求解即可；（3）过原点且被圆C 截得的弦长最短时，直线l '与直线OC 垂直，进而得直线l '的方程. （1）设(1,0)A -，(3,0)B ，(0,1)D ，则AB 中垂线为1x =，AD 中垂线为y x =-，∴圆心(,)C x y 满足1,,x y x =⎧⎨=-⎩∴(1,1)C -，半径145r CD ==+=， ∴圆C 的标准方程为22(1)(1)5x y -++=．（2）当斜率不存在时，l ：2x =到圆心的距离为1，亦满足题意，直线l 的倾斜角为90°；当斜率存在时，设直线l 的方程为(2)31y k x =-+-，由弦长为4，可得圆心(1,1)到直线l 的距离为541-=，即：2(12)13111k k-++-=+，∴3k =，此时直线l 的倾斜角为30°，综上所述，直线l 的倾斜角为30°或90°．（3）当过原点且被圆C 截得的弦长最短时，直线l '与直线OC 垂直 ∵ 1OC k =- ∴直线l '：y x =．18. 如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB a ，()BC b a b =<，AB 、AD 、CD 、CB 上分别截取AE 、AH 、CG 、CF 都等于x ，记四边形EFGH 的面积为()f x .（1）求()f x 解析式和定义域；（2）当x 为何值时，四边形EFGH 的面积最大？并求出最大面积.（1）()()22248a b a b f x x ++⎛⎫=--+⎪⎝⎭，定义域为{}0x x b <≤；（2）答案见解析. （1）计算出AEH △、BEF 、CFG △、DHG △，利用矩形ABCD 的面积减去AEH △、BEF 、CFG △、DHG △的面积之和即可得出函数()y f x =的解析式，并根据实际情况求得该函数的定义域；（2）对4a b+与b 的大小进行分类讨论，利用二次函数的基本性质可求得四边形EFGH 面积的最大值及其对应的x 值.（1）设四边形EFGH 的面积为S ，则212AEHCFG S S x ==△△，()()12BEF DGH S S a x b x ==--△△，()()()()2222112222248a b a b S ab x a x b x x a b x x ++⎡⎤⎛⎫∴=-+--=-++=--+⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，由题意可得00x ax b a b <≤⎧⎪<≤⎨⎪<⎩，可得0x b <≤，因此，()()22248a b a b f x x ++⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，定义域为{}0x x b <≤；（2）因为0b a <<，所以02a bb +<<. 若4a b b +≤，即3a b ≤时，则当4a b x +=时，函数()y f x =取最大值()28a b +；若4a bb +>，即3a b >时，()S x 在(]0,b 上是增函数，此时当x b =时，函数()y f x =取最大值()222248a b a b b ab b ++⎛⎫--+=- ⎪⎝⎭，综上可知，当3a b ≤时，且当4a b x +=时，()()2max 48a b a b f x f ++⎛⎫== ⎪⎝⎭；当3a b >时，且当x b =时，()()2max f x f b ab b ==-.19. 已知数列{}n a 的首项135a =，1321nn n a a a +=+，1n =、2、．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）记12111n nS a a a =+++，若100n S <，求最大正整数n ；（3）是否存在互不相等的正整数m 、s 、n ，使m 、s 、n 成等差数列且1m a -、1s a -、1n a -成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．（1）证明见解析；（2）max 99n =；（3）不存在，理由见解析.（1）利用等比数列的定义可证明出数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）求得1na 的表达式，利用分组求和法可求得n S ，然后解不等式100n S <，即可得出最大正整数n 的值；（3）假设存在m 、s 、n ，使m 、s 、n 成等差数列且1m a -、1s a -、1n a -成等比数列，由等比数列的定义化简得出3323mn s +=⋅，利用基本不等式可得出结论. （1）1321n n n a a a +=+，1211111111333n n n n n n a a a a a a +⎛⎫+-∴-=-==- ⎪⎝⎭， 1110a -≠，()*110n n N a ∴-≠∈，∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）11213a -=，由（1）可求得112112333nn n a -⎛⎫-=⨯⎪= ⎝⎭，1213n n a ∴=+. 212211111111133211333313n n n n n S n n n a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+++=++++=+=+- ⎪⎝⎭-，由于1110n n n S S a ++-=>，所以，数列{}n S 单调递增， 999911003S =-，10010011013S =-，且99100100S S <<，因此，max 99n =；（3）假设存在，则2m n s +=，()()()2111m n s a a a -⋅-=-，332n n n a =+，2333111323232n m s n m s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．化简得：3323m n s +=⋅，由基本不等式可得33223m ns +≥=⋅，当且仅当m n =时等号成立．又m 、n 、s 互不相等，因此，不存在m 、s 、n 满足题意.20.已知函数（e 是自然对数的底数）.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线也是抛物线24(1)y x =-的切线，求a 的值；（2）若对于任意,()0x R f x ∈>恒成立，试确定实数a 的取值范围；（3）当1a =-时，是否存在0(0,)x ∈+∞，使曲线:()()C y g x f x =-在点0x x =处的切线斜率与()f x 在R 上的最小值相等？若存在，求符合条件的0x 的个数；若不存在，请说明理由.（1）1a e =-或1a e =--；（2）(,0]a e ∈-（3）相等，一个.（1）求出在1x =的切线，与24(1)y x =-联立，根据切线与抛物线只有一个交点，则0∆=；（2）分0a >，0a =，0a <根据导数讨论；（3）转化为函数的零点通过导数求解.（1）(),(1)x f x e a f e a ''=+=+，所以在1x =处的切线为()()(1)y e a e a x -+=+-即：()y e a x =+与24(1)y x =-联立，消去y 得22()440e a x x +-+=，由0∆=知，1a e =-或1a e =--（2）()xf x e a '=+①当0a >时，()0,()f x f x '>在R 上单调递增，且当x →-∞时，0,x e ax →→-∞， ()f x ∴→-∞，故()0f x >不恒成立，所以0a >不合题意；②当0a =时，()0x f x e =>对x ∈R 恒成立，所以0a =符合题意；③当0a <时令'()0x f x e a =+=，得ln()x a =-，当(,,ln())x a ∈-∞-时，'()0f x <，当(ln(),)x a ∈-+∞时，'()0f x >，故()f x 在(,ln())a -∞-上是单调递减，在(ln(),)a -+∞上是单调递增,所以min [()](ln())ln()0,f x f a a a a =-=-+->,a e ∴>-又0a <，(,0)a e ∴∈-，综上：(,0]a e ∈-(3)当1a =-时，由（2）知min [()](ln())ln()1f x f a a a a =-=-+-=，设()()()ln x x h x g x f x e x e x =-=-+，则11()ln 1ln 11x x x x h x e x e e e x x x ⎛⎫'=+-+=+-+ ⎪⎝⎭，假设存在实数0(0,)x ∈+∞，使曲线:()()C y g x f x =-在点0x x =处的切线斜率与()f x 在R 上的最小值相等，0x 即为方程的解，令'()1h x =得：1(ln 1)0xe x x+-=，因为0x e >，所以1ln 10x x+-=. 令1()ln 1x x x ϕ=+-，则22111'()x x x x x ϕ-=-=，当01x <<是'()0x ϕ<，当1x >时'()0x ϕ>，所以1()ln 1x x xϕ=+-在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ()(1)0x ϕϕ∴>=,故方程1(ln 1)0x e x x +-=有唯一解为1，所以存在符合条件的0x ，且仅有一个01x =.。

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