《常微分方程》知识点

《常微分方程》复习资料1．（变量分离方程）形如()()dyf x y dxϕ=（1.1）的方程，称为变量分离方程，这里(),()f x y ϕ分别是,x y 的连续函数． 解法：（1）分离变量，当()0y ϕ≠时，将（1.1）写成()()dyf x dx y ϕ=，这样变量就“分离”了； （2）两边积分得()()dyf x dx c y ϕ=⎰⎰+（1.2），由（1.2）所确定的函数(,)y x c ϕ=就为（1.1）的解． 注：若存在0y ，使0()0y ϕ=，则0y y =也是（1.1）的解，可能它不包含在方程（1.2）的通解中，必须予以补上． 2．（齐次方程）形如(dy yg dx x=的方程称为齐次方程，这里是u 的连续函数． ()g u 解法：（1）作变量代换（引入新变量）y u x =，方程化为()du g u u dx x -=，（这里由于dy dux u dx dx=+）；（2）解以上的分离变量方程；（3）变量还原．3．（一阶线性微分方程与常数变异法）一阶线性微分方程()()()0dya xb x yc x dx++=在的区间上可写成()0a x ≠()()dyP x y Q x dx =+（3.1），这里假设在考虑的区间上是(),()P x Q x x 的连续函数．若，则（3.1）变为()0Q x =()dyP x y dx=（3.2），（3.2）称为一阶齐次线性方程．若()0Q x ≠，则（3.1）称为一阶非齐次线性方程． 解法：（1）解对应的齐次方程()dyP x y dx=，得对应齐次方程解()p x y ce dx ⎰=，为任意常数；c （2）常数变异法求解（将常数变为c x 的待定函数，使它为（3.1）的解）：令为（3.1）的解，则()c x ()()p x dxy c x e ⎰=()()()()()p ⎰⎰p x dx p x dy dc x e c x x e dx dx =+dx ，代入（3.1）得()()()p x dx dc dxx Q x e -⎰=)，积分得；()p x dx c ⎰=+ ()()c x Q x e -⎰（3）故（3.1）的通解为()()(()p x dxp x dxy e Q x e dx -⎰⎰c=+⎰ ． 4．（伯努利方程）形如()()n dyP x y Q x y dx=+的方程，称为伯努利方程，这里为(),()P x Q x x 的连续函数． 解法：（1）引入变量变换，方程变为1nz y -=(1)()(1)()dz n P x z n Q x dx=-+-；（2）求以上线性方程的通解； （3）变量还原．5．（可解出的方程）形如y (,)dyy f x dx=(5.1)的方程，这里假设(,)f x y '有连续的偏导数． 解法：（1）引进参数dyp dx=，则方程（5.1）变为(,)y f x p =（5.2）； （2）将（5.2）两边对x 求导，并以dy p dx =代入，得f f pp x p x∂∂∂=+∂∂∂（5.3），这是关于变量,x p 的一阶微分方程；（3）（i ）若求得（5.3）的通解形式为(,)p x c ϕ=，将它代入（5.2），即得原方程（5.1）的通解(,(,))y f x x c ϕ=，为任意常数；c（ii ）若求得（5.3）的通解形式为(,)x p c ψ=，则得（5.1）的参数形式的通解为(,)((,),)x p c y f p c p ψψ=⎧⎨=⎩，其中p 是参数，是任意常数；c （iii ）若求得（5.3）的通解形式为，则得（5.1）的参数形式的通解为(,,)0x p c Φ=(,,)0(,)x p c y f x p Φ=⎧⎨=⎩，其中p 是参数，是任意常数．c 6．（可解出x 的方程）形如(,)dyx f y dx=(6.1)的方程，这里假设(,)f y y '有连续的偏导数． 解法：（1）引进参数dyp dx=，则方程（6.1）变为(,)x f y p =（6.2）； （2）将（6.2）两边对y 求导，并以1dx dy p=代入，得1f f pp y p y ∂∂∂=+∂∂∂（6.3），这是关于变量,y p 的一阶微分方程；（3）若求得（6.3）的通解形式为，则得（6.1）的参数形式的通解为(,,)0y p c Φ=(,)(,,)0x f y p y p c =⎧⎨Φ=⎩，其中p 是参数，是任意常数．c 7．（不显含的方程）形如y (,)0dyF x dx=的方程，这里假设(,)F x y '有连续的偏导数． 解法：（1）设dyp dx=，则方程变为； (,)0F x p =（2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t (,)0F x p =()()x t p t ϕψ=⎧⎨=⎩，（关键一步也是最困难一步）； （3）把()x t ϕ=，()p t ψ=代入dy ，并两边积分得pdx =()()y t t dt ψϕ'c =+⎰；（4）通解为()()()x t y t t dt ϕψϕ=⎧⎪⎨'=+⎪⎩⎰c ．8．（不显含x 的方程）形如(,)0dyF y dx=的方程，这里假设(,)F y y '有连续的偏导数．解法：（1）设dyp dx=，则方程变为；(,)0F y p =（2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t (,)0F y p =()()y t p t ϕψ=⎧⎨=⎩，（关键一步也是最困难一步）；（3）把()y t ϕ=，()p t ψ=代入dy dx p =，并两边积分得()()t x dt c t ϕψ'=+⎰； （4）通解为()()()t x dt c t y t ϕψϕ'⎧=+⎪⎨⎪=⎩⎰． 9．（型可降阶高阶方程）特点：不显含未知函数()(1)(,,,,)0(1)k n n F x y y y k -=≥ y 及．(1),,k y y -' 解法：令()()k yz x =，则(1)k y z +'=，．代入原方程，得．若能求得，()()n n y z -=k ()(,(),(),,())0n k F x z x z x z x -'= ()z x将()()k yz x =()yf =连续积分次，可得通解．k , 10．（型可降阶高阶方程）特点：右端不显含自变量()(1)(,,)n k y y y -n x ．解法：设，则()y 222,(dp dy dP d p dP y P y P P dy dx dy dy dy'''''===+ y p '=2,) ，代入原方程得到新函数的()P y (1n -阶方程，求得其解为1()(,,,)n 1P y y C C ϕ-== dy dx，原方程通解为11(,,,)n n dyx C y C C ϕ-=+⎰ ．11．（恰当导数方程）特点：左端恰为某一函数对(1)(,,,,)n x y y y -'Φ x 的导数，即(1)(,,,,)0n dx y y y dx-'Φ= ． 解法：类似于全微分方程可降低一阶(1)(,,,,)n x y y y C -'Φ ='，再设法求解这个方程．12．（齐次方程）特点：（k 次齐次函数）．()()(,,,,)(,,,,)n k n x ty ty ty t F x y y y '= F zdx解法：可通过变换y e =⎰将其降阶，得新未知函数．因为()z x 2()(1),(),,(,,,)zdxzdxzdxn n y ze y z z e yz z z e -⎰⎰⎰'''''==+=Φ (1)(,,,,)0n f x z z z -'，代入原方程并消去，得新函数的阶方程k z e ⎰dx ()z x (n -1)= ．13．（存在唯一性定理）考虑初值问题00(,)()dyf x y dxy x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（13.1），其中(,)f x y 在矩形区域00:,R x x a y y b -≤-≤上连续，并且对满足Lipschitz 条件：即存在，使对所有(,y 0L >12(,)),x y x y R ∈常成立121(,)(,)2f x y f x y L y y -≤-，则初值问题（13.1）在区间0x x -≤h 上的解存在且唯一，这里(,)min(,h a =(,)x y R M Max f x y ∈=bM．初值问题（13.1）等价于积分方程00(,)xx y y f t y =+⎰dt ，构造Picard 逐步逼近函数列}{00001()()()(,())xn nn x x y x x y f ϕϕϕξϕ-=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰dx ξ 00x x x ≤≤+h ，n ．1,= 2,14．（包络的求法）曲线族（14.1）的包络包含在下列两方程(,,)0x y c Φ=(,,)0(,,)0c x y c x y c Φ=⎧⎨'Φ=⎩消去参数而得到的曲线之中．曲线c (,)0F x y =(,)0F x y =称为（14.1）的c -判别曲线．15．（奇解的直接计算法）方程(,,)0dyF 15.1）的奇解包含在由方程组⎨去参数x y dx =（消(,,)0(,,)0c F x y p F x y p =⎧'=⎩p 而之得到的曲线(,Φ=中，此曲线称为（15.1）的)0x y p -别曲线，这里(,F 判,)x y p 0=是,,x y p 的连续可微函数． 注：p -判别曲线是否为方程的奇解，尚需进一步讨论． 16．（克莱罗方程）形如dy dy y xf dxdx ⎛⎫=+ ⎝⎭⎪（16.1）的方程，称为克莱罗方程，这里． ()0f p ''≠解法：令dy p dx =，得．两边对()y xp f p =+x 求导，并以dyp dx=代入，即得()dp dp p x p f p dx dx '=++，经化简，得[()]0．dpx f p dx '+= 如果0dp dx=，则得到p c =．于是，方程（16.1）的通解为：()y cx f c =+．如果，它与等式()0x f p '+=()y xp f p =+联立，则得到方程（16.1）的以p 为参数的解：()0()x f p y xp f p '+=⎧⎨=+⎩或()0()x f c y xc f c '+==+⎧⎨⎩其中为参数．消去参数c p 便得方程的一个解． 17．（函数向量组线性相关与无关）设12(),(),,()m x t x t x t a t b ≤≤是一组定义在区间[,上的函数列向量，如果存在一组不全为0的常数，使得对所有，有恒等式]a b c 12,,m c c c 1122()()()0m m c x t c x t x t +++ =， 则称12(),(),,()m x t x t x t 在区间[,上线性相关；否则就称这组向量函数在区间[,上线性无关．]a b ]a b 18．（Wronsky 行列式）设有n 个定义在a t 上的向量函数b ≤≤nn 11121212221212()()()()()()(),(),,()()()()n n n n n x t x t x t x t x t x x t x t x t t x t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢===⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣ ⎦ ，由这n 个向量函数所构成的行列式111212122212[(),(12()()()()()()),()()()()()n n n n n nn x t x t x t x t x t x t W x x t W t t x t x t x t x t ≡称为这个向量函数所构成的Wronsky 行列式．n 如果向量函数12(),(),,()n x t x t x t 在a t 上线性相关，则它们的Wronsky 行列式． b ≤≤()0,t W t a b ≡≤≤19．（基解矩阵的计算公式）（1）如果矩阵具有个线性无关的特征向量，它们相应的特征值为A n 12,,,n v v v 12,,,n λλ λ（不必互不相同），那么矩阵是常系数线性微分方程组12tte λλ12(),,,],n tn v v e v λΦ=-∞<< [t e x +∞x Ax '=的一个基解矩阵； （2）矩阵的特征值、特征根出现复根时（略）； A （3）矩阵的特征根有重根时（略）．A 20．（常系数齐线性方程）考虑方程111[]0n n n n n d x d xL x a a x dt dt--=+++= （20.1），其中为常数，称（20.1）为阶常系数齐线性方程．12,,n a a a n 解法：（1）求（20.1）特征方程的特征根12,,,k λλλ ；（2）计算方程（20.1）相应的解：（i ）对每一个实单根k λ，方程有解k teλ；（ii ）对每一个重实根1m >k λ，方程有个解：m 21,,,,k k k tttm e te t e te k tλλλ- λ；（iii ）对每一个重数是1的共轭复数i αβ±，方程有两个解：cos ,sin tte t e ααt ββ； （iv ）对每一个重数是的共轭复数1m >i αβ±，方程有个解：2m 11cos ,cos ,,cos ;sin ,sin ,,sin t t m t ttm te t te t t e t e t te t te tααααααββββββ-- ；（3）根据（2）中的（i ）、（ii ）、（iii ）、（iv ）情形，写出方程（20.1）的基本解组及通解．21．（常系数非齐次线性方程）()y py qy f x '''++=二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程，通解结构0y py qy '''++=y Y y =+．设非齐次方程特解()x y Q x e λ=代入原方程 2()(2)()()()()m Q x p Q x p q Q x P x λλλ'''+++++=（1）若λ不是特征方程的根，，可设20p q λλ++≠()()m Q x Q x =，()xm y Q x e λ=；（2）若λ是特征方程的单根，，2020p q λλ++=p λ+≠，可设()()m Q x xQ x =，()xm y xQ x e λ=； （3）若λ是特征方程的重根，，2020p q λλ++=p λ+=，可设，2()()m Q x x Q x =2()xm y x Q x e λ=． ()k x综上讨论，设y m x e Q x λ=，． 012k λλλ⎧⎪=⎨⎪⎩不是根是单根是重根。