《常微分方程》知识点

《常微分方程》复习资料

1．（变量分离方程）形如

()()dy

f x y dx

ϕ=（1.1）的方程，称为变量分离方程，这里(),()f x y ϕ分别是,x y 的连续函数． 解法：（1）分离变量，当()0y ϕ≠时，将（1.1）写成

()()

dy

f x dx y ϕ=，这样变量就“分离”了； （2）两边积分得

()()dy

f x dx c y ϕ=⎰⎰+（1.2）

，由（1.2）所确定的函数(,)y x c ϕ=就为（1.1）的解． 注：若存在0y ，使0()0y ϕ=，则0y y =也是（1.1）的解，可能它不包含在方程（1.2）的通解中，必须予以补上． 2．（齐次方程）形如

(dy y

g dx x

=的方程称为齐次方程，这里是u 的连续函数． ()g u 解法：（1）作变量代换（引入新变量）y u x =，方程化为()du g u u dx x -=，（这里由于dy du

x u dx dx

=+）；

（2）解以上的分离变量方程；

（3）变量还原．

3．（一阶线性微分方程与常数变异法）一阶线性微分方程()

()()0dy

a x

b x y

c x dx

++=在的区间上可写成()0a x ≠()()dy

P x y Q x dx =+（3.1），这里假设在考虑的区间上是(),()P x Q x x 的连续函数．若，则（3.1）变为()0Q x =()dy

P x y dx

=（3.2），（3.2）称为一阶齐次线性方程．若()0Q x ≠，则（3.1）称为一阶非齐次线性方程． 解法：（1）解对应的齐次方程()dy

P x y dx

=，得对应齐次方程解()p x y ce dx ⎰=，为任意常数；

c （2）常数变异法求解（将常数变为c x 的待定函数，使它为（3.1）的解）：令为（3.1）的

解，则

()c x ()()p x dx

y c x e ⎰=()()()()()p ⎰⎰p x dx p x dy dc x e c x x e dx dx =+dx ，代入（3.1）得()()

()p x dx dc dx

x Q x e -⎰=)，积分得；

()p x dx c ⎰=+ ()()c x Q x e -⎰（3）故（3.1）的通解为()()(()p x dx

p x dx

y e Q x e dx -⎰⎰c

=+⎰ ． 4．（伯努利方程）形如

()()n dy

P x y Q x y dx

=+的方程，称为伯努利方程，这里为(),()P x Q x x 的连续函数． 解法：（1）引入变量变换，方程变为1n

z y -=(1)()(1)()dz n P x z n Q x dx

=-+-；

（2）求以上线性方程的通解； （3）变量还原．

5．（可解出的方程）形如y (,)dy

y f x dx

=(5.1)的方程，这里假设(,)f x y '有连续的偏导数． 解法：（1）引进参数dy

p dx

=

，则方程（5.1）变为(,)y f x p =（5.2）； （2）将（5.2）两边对x 求导，并以dy p dx =代入，得f f p

p x p x

∂∂∂=+∂∂∂（5.3），这是关于变量,x p 的一阶微分方

程；

（3）（i ）若求得（5.3）的通解形式为(,)p x c ϕ=，将它代入（5.2）

，即得原方程（5.1）的通解(,(,))y f x x c ϕ=，为任意常数；

c

（ii ）若求得（5.3）的通解形式为(,)x p c ψ=，则得（5.1）的参数形式的通解为(,)

((,),)

x p c y f p c p ψψ=⎧⎨

=⎩，其中

p 是参数，是任意常数；

c （iii ）若求得（5.3）的通解形式为，则得（5.1）的参数形式的通解为(,,)0x p c Φ=(,,)0

(,)x p c y f x p Φ=⎧⎨

=⎩

，其中p 是参数，是任意常数．

c 6．（可解出x 的方程）形如(,)dy

x f y dx

=(6.1)的方程，这里假设(,)f y y '有连续的偏导数． 解法：（1）引进参数dy

p dx

=

，则方程（6.1）变为(,)x f y p =（6.2）； （2）将（6.2）两边对y 求导，并以1dx dy p

=代入，得1f f p

p y p y ∂∂∂=+∂∂∂（6.3），这是关于变量,y p 的一阶微分方

程；

（3）若求得（6.3）的通解形式为，则得（6.1）的参数形式的通解为(,,)0y p c Φ=(,)

(,,)0x f y p y p c =⎧⎨Φ=⎩

，其中p 是

参数，是任意常数．

c 7．（不显含的方程）形如y (,)0dy

F x dx

=的方程，这里假设(,)F x y '有连续的偏导数． 解法：（1）设dy

p dx

=

，则方程变为； (,)0F x p =（2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t (,)0F x p =()

()x t p t ϕψ=⎧⎨

=⎩

，（关键一步也是最困难一步）； （3）把()x t ϕ=，()p t ψ=代入dy ，并两边积分得pdx =()()y t t dt ψϕ'c =

+⎰；

（4）通解为()

()()x t y t t dt ϕψϕ=⎧⎪⎨'=+⎪⎩

⎰c ．

8．（不显含x 的方程）形如(,)0dy

F y dx

=的方程，这里假设(,)F y y '有连续的偏导数．

解法：（1）设dy

p dx

=，则方程变为；

(,)0F y p =（2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t (,)0F y p =()

()y t p t ϕψ=⎧⎨

=⎩

，（关键一步也是最困难一步）；

（3）把()y t ϕ=，()p t ψ=代入dy dx p =

，并两边积分得()

()

t x dt c t ϕψ'=+⎰； （4）通解为()()()t x dt c t y t ϕψϕ'⎧

=+⎪⎨

⎪=⎩

⎰． 9．（型可降阶高阶方程）特点：不显含未知函数()

(1)(,,,,)0(1)k n n F x y y y k -=≥ y 及．

(1),,k y y -' 解法：令()

()k y

z x =，则(1)k y z +'=，．代入原方程，得．若能求得，

()()n n y z -=k ()

(,(),(),,())0n k F x z x z x z x -'= ()z x