环路定理电势
63静电场环路定理电势
E2
q1
4 0 r 2
R1 r R2
E3
q1 +q2
40r 2
r R2
q1 II
I R1
R2 •
III
rE
P•
III区：U3
E dl
P
q2 q1 II III
E3 dr E3dr
r
r
I R1
R2 •
r
q1 q2
4 0 r 2
dr
q1 q2
40r
rr
P• P•
R2
II区： U3
R r
Q
4 0 R3
rdr
Q
R 4 0r 2 dr
Q
8 0 R
Qr 2
8 0 R3
Q
4 0 R
Q (3R 2 r 2 )
8 0 R3
o rp R
rp
路径的线积分为零（电场强度的环流为
零）
3. 电势能 比 重力做功 保守力 重力势能
较 静电场力做功 保守力 电势能
静电场力对电荷所做功等于电荷电势能 增量的负值
B
WAB A q0E • dl EpB EpA
令 B点为电势能零点，则可得任一点 A
的电势能
0
E p A
q0
E • dl
E dl
P
E dr
E2dr
E3dr
r
r
R2
R2 r
q1
4 0 r 2
dr
R2
q1 q2
4 0 r 2
dr
1
4 0
( q1 r
q2 R2
)
I区：
U3
E dl
静电场的环路定理 电势
· · a O
2
均匀带电球体内、外的场强： E内 r 3 0 均匀带电球体内某点的电势
2 腔内电势: U ( r ) U 1 U 2 [( 3 R12 r 2 ) ( 3 R2 r 2 )] 6 0
对O2点，r a, r 0
U r
(2) 点电荷系的电势
qi UA i 4 π ε0 ri
推广：
E Ei
A
U Ui
i
r1
q1
r2 ri
qi
rN
qN
电势叠加原理 （标量叠加）
q2
§3-1-4 静电场的环路定理 电势
(3) 有限连续带电体
【方法一】微元分割＋积分法
Q
dq
e
带电体
r
A
UA ? dU 4 0 r
但在工程技术中，取大地、仪器外壳等为电势零点； （2）电场的电势分布确定后，电场力做功
W AB q0 (U A U B )
§3-1-4 静电场的环路定理 电势
2、电势的计算 (1) 点电荷的电势
q
+
A
积分至无穷远
r
E
q U (r ) 4πε0 r
§3-1-4 静电场的环路定理 电势
3 解：取如图所示C点(0,3R/2) 0, R r 2 根据对称性 U B U C O A x C 补上下半球面成为完整球面后 y B Q R U A 4 0 R 0 R U U UC AC A 3 0 Q 2R UC 4 0 ( 3 R / 2) 3 0 1 R 再由根据对称性 U AB U AC U AC 2 6 0
6-3 静电场的环路定理和电势
V(r>R)
1
4 0
q r
练习 在点电荷 +2q 的电场中，如果取图中P点处 为电势零点，则 M点的电势为
2q P M
a
a
（A） q
2π 0a
（C）
q
8π
0
a
q
（B）
4π 0a
（D） q
4π 0a
练习 在点电荷q的电场中，选取以q为中心，R为半 径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离 为r的P’点电势为
A
（D）电场力作的功 W 0
电势的求解方法
（1）利用电势叠加原理
VP
dq
4π0r
使用条件：有限大带电体且选无限远处为电势零点.
（2）利用电势的定义
V 0点
VA E dl
A
使用条件：场强分布已知或很容易确定.
均匀带电球面：
V( r R )
1
4 0
q R
四 电势
1、电势
VA
EpA q0
E dl
AB
(VB 0)
q0
A
B E
物理意义：描述电场能的性质，某点的电势在数值上等于将单 位正电荷从该点沿着任意路径移到零势能点时电场力所做的功.
B
电势差（电压）：U AB VA VB
E dl
A
WAB q0 (VA VB ) (EPB EPA)
位置有关，与路径无关.
B
dr
dl
q0
E
二 静电场的环路定理
q0 E dl q0 E dl
09-4静电场的环路定理和电势
19
19
J
一个电子伏特的能量
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V ( P)
P
E dl E dr P Edr P
q q dr 2 r 4 πε r 4πε 0 r 0
电场指向电势降落方向
沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功， 正电荷的电势能减少，故电势减小。
9.4 静电场的环路定理和电势
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.4 静电场的环路定理和电势
电势差
9.5.2 电场强度与电势梯度 E
U AB VA VB V
U AB E l El cos
9.4 静电场的环路定理和电势
电势是相对的，电势差是绝对的
电势差 U V V PQ P Q
单位：1V＝1J/C
P
Q
E dl
二、电势零点 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无 穷远处。 VP E dl 设Q点在无限远，VQ=0
P
2、 电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点， 合理选择电势零点可使问题简化。
y
P( x, y)
p cos V 4 π 0 r 2
在图示的Oxy坐标系中
q
r
O
r
r
q
r x y
2 2
2
l
x
cos
x x2 y 2
px V 2 2 3/ 2 4 π 0 ( x y )
9.4 静电场的环路定理和电势
【大学物理】静电场的环路定理 电势 等势面 电势梯度
r r r r－ r l cos
r
r
r+
q l
q+
3. 连续分布电荷电场中的电势 利用电势叠加原理：
dV
dq
dq VP 4 π 0 r
r
P
使用此公式的前提条件为有限大带电体且选无限远 处为电势零点；积分是对整个带电体的积分。 E 利用电势定义式： dl “ 0 ” P
qr E1 3 4 π 0 R
r
q E2 2 4 π 0 r
V1 E1dr E 2 dr
r R
R
q R
R
r
qr q dr dr 3 2 R 4 π r 4 π 0 R 0
2
q q q (3 R r ) 2 2 (R r ) 3 8 π 0 R 4 π 0 R 8 π 0 R
与路径无关
a
dr
任意带电体系产生的电场
任意带电体系都可以看成电荷系 q1、q2、…，移动q0， 静电力所作功为: b b q E •b dr W F dr 0
ab
q0 a• q0 ( E1 E 2 E n ) dr a( L) n b q 0 E i d r ＝ qi q0 ( 1 1 ) a( L) i 1 rbi i 4 0 rai
注意：
• 电势能的零点可以任意选取，但是在习惯上， 当场源电荷为有限带电体时，通常把电势能的零 点选取在无穷远处。 这时，空间a点的电势能：
E pa
a
q0 E dl
• 电势能为电场和位于电场中的电荷这个系统所 共有。
静电场的环路定理
静电场的环路定理是指在静电场中，电动势的环路积分为零。
电动势是指电荷在静电场中的势能，环路积分是指将一条路径折成若干线段后，对每一段求出它的电动势差，并将这些差的和加起来。
环路定理的数学公式表示为：
∮Edl=0
其中，E是静电场的电场强度，dl是在静电场中的路径的元素，∮表示环路积分。
静电场的环路定理有很多应用，例如在解决电荷分布问题时，可以使用环路定理来求解电荷分布情况。
此外，环路定理还可以用于验证电荷守恒定律，即电荷在任何情况下都是守恒的。
总的来说，静电场的环路定理是一个重要的物理定理，在电学领域有着广泛的应用。
电场环路定理
电场环路定理
一、电场环路定理：
电场环路定理是物理学中有关电场的一种重要定理。
它指明在任一给定的电场中，环绕任一闭合环路的电势差总和为零。
电场环路定理的准确表达形式是：
若在环路上沿着任意方向行走，那么绕该环路的电场E和磁场B 的积分结果都等于零。
二、电场环路定理的证明：
根据电势场的定义:
电势V=∫ E·dr
其中E和dr分别表示点P处电场和从点A到点B的空间线段之间的路径积分。
因此，沿着环路行走，电势不变，电势差为0，即：
∫ E·dr=0
综上，电场环路定理的证明就完成了。
- 1 -。
静电场的环路定理、电势
R2
3
)2
=……
例3：求无限长均匀带电直线的电场中的电势 分布。
解：选取B点为电势零点，B点距带电直导 线为 rB 。
B B
U E dl
dr
p
p 2 0r
2 0 ln r 2 0 ln r0 2 0 ln r C
rp
Q rB B
☆当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能 再选在无穷远处。
a
b
a
a、b两点的电势差等于将单位正电荷从a点移
到b时，电场力所做的功。
电势和电势能的区别：
电势是电场的属性，与试验电荷无关； 电势能是属于电荷和电场系统所共有。
注意:
1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。 对于有限带电体而言,电势零点的选择在无限 远点;对于仪器而言电势零点选择在底板上.
2、两点间的电势差与电势零点选择无关。
六、电势的计算
1、点电荷电场中的电势
q • r0
•P
距q为r（P点）的场强为
q
E 4 0r 2 r0
r
由电势定义得：uP
P
E • dl
q
r
4
0r
2
dr
q
4 0r
讨论：
➢大小
q 0 u 0 r u r u最小 q 0 u 0 r u r u最大
就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功
五、电势、电势差
定义电势
ua
Wa q0
E dl
a
Wa q0 E dl
a
单位正电荷在该点 所具有的电势能
单位正电荷从该点到无穷远 点(电势零)电场力所作的功
定义电势差 ua ub
电场中任意两点 的 电势之差（电压）
所有分类 环路定理 电势能 电势
Wq0a b Ed clo s
dcl o s dr
Wq0ab Edr
点电荷的场
q
Wq0ab 410rq2dr
q0q 1 1
40 ra rb
b
rb
dl r
ra
q0 a
dr F
E
W q0q 1 1
40 ra rb
电场力的功只与始末位置有关，而与路径无关，电场力为保守力，静电场为保守场。
电场力是保守力，可引入势能的概念。
引力是保守力，作功为
W 引[Gm1 rm b2(Gm1 rm a2)]
取无穷远为零势能点，则引力势能为：
电场力作功
Ep
G m1m2 r
W q0q 1
40 ra
r1b (4q0q0rb
q0q )
40ra
1.电势能Ep
定义： 单位：焦耳，J
EP
q0q
40r
为点电荷电势能（选无穷远为零势能点）
r
r
r
0R E2dr d l/d /r/E / 高斯面
R410 rq2dr
q
4 0 R
•II区：球壳外电势
II
rR
选无穷远为电势 0 点，
U2 r E2dl
I
qo RE
r
r
r
rE2dr d l/d /r/E / 高斯面
1
r 40
rq2dr
q
4 0 r
II
I
qoR
II
I
qoR
qE
4 0 R 2
qV 4 0 R
oR
r oR
r
例3 如图，两个同心的均匀带电球壳，半径分别
大学物理电磁学部分04-环路定理电势
Ua
Ub
Epa Epb q0
Aab q0
b E dl
a
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电
场力所作的功。
电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势 的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（V） ，即1V＝1J/C。
7
注意几点：
1.电势是标量，只有正负之分。U a
E pa q0
设在静电场中，将检验电荷 q0 从 a 点沿任意路 径移动到 b 点，电场力作功为Aab。
因为保守力所作的功等于势能增量的负值。
电荷 q0 在静电场中从 a 点沿任意路径移动到 b 点时， 电场力所作的作功Aab与这两点电势能Ea、Eb的关系为:
Aab
E p
b
(E
pb
E pa
b
Aab
F dl
（2）连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元，
将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电
荷元的电势，迭加归结于积分。
U
dU
dq
4 0r
注意电荷元的选取！
11
例1：均匀带电圆环，半径为 R，带电为 q，求 圆环轴线上一点的电势 U。
解：将圆环分割成无限多个电荷元：
dU dq
4 0r
环上各点到轴线等距。
一、静电场的保守性——环路定理
1.电场力的功
1.点电荷的场
点电荷q0所受电场力为：F q0E 点电荷的场中移动点电荷q0从 r
到 r dr,电场做的功：
dA F dl q0E dl
q
q0Edl dr dl c
dA q0
cos
os , E
q
4 0r 2
大学物理电场的环路定理及电势的计算
0
qr
3
(r R ) (r R )
4 0 r
E
令 U 0 ，沿径向积分
1 r
2
U外
P
E 外 d r q 1 r
o
4
r
qr dr
0
r
3
R
r
4 0 r
U外
q 4 0 r
E dr
R
1 r
R
a
E dl
零势点
Ecosdl
a
注意： • 选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值 一般,场源电荷有限分布:选 U 0 场源电荷无限分布:不选 U 0 许多实际问题中选 U 地 球 0
[例一] 点电荷 q 场中的电势分布
r E
o
P
解： E
L L
静电场中任意闭合路径
静电场环路定理
E dl 0
L
路径上各点的总场强
静电场强沿任意闭合路径的线积分为零.反映了 静电场是保守力场.
凡保守力都有与其相关的势能，静电场是有势场.
三. 电势能 W
由 A保 E P W
b
A静 电 力 q 0
a
E dl (W b W a ) W a W b
dq 4 0 r
dU
4 r d r
2
4 0 r
rd r 0
R2
由叠加原理：
r
R2
R1
o P
U
dU
大学物理课件：14-4 静电场的环路定理与电势
ABC CDA
l E dl 0
结论：沿闭合路径一 周，电场力作功为零. 静电场是保守场
第14章 真空中的静电场
3
大学 物理
三 电势能
14-4 静电场的环路定理 电势 B
静电场是保守场，静电场
WpB
力是保守力. 静电场力所 做的功就等于电荷电势能
A WpA
E
增量的负值.
AAB (WpB WpA ) WpA WpB
电子伏特eV 1eV 1.6021019 J
第14章 真空中的静电场
6
大学
14-4 静电场的环路定理 电势
物理
点电荷的电势
E
4
q
π 0 r
2
er
令U 0
dl
dr
E
U r Er dl
qr
qdr
r 4 π0r 2
U q
4 π0r
q 0, U 0 q 0, U 0
第14章 真空中的静电场
7
大学 物理
五
14-4 静电场的环路定理 电势
电势的叠加原理
点电荷系
E Ei
i
U A A E dl
n
A Ei dl i 1
n
Vi
i 1
U A
n i 1
qi 4 π ε0ri
q1
r1
q2 q3
r2
r3
•
A
E3 E2
E1
第14章 真空中的静电场
8
大学
14-4 静电场的环路定理 电势
1
大学
14-4 静电场的环路定理 电势
物理
A q0q rB dr q0q ( 1 1 )
静电场环路定理电势能和电势.pptx
V
dV
1dq
Q440r0
r
Q
dq
Q
4 0 R2 x 2
(解毕 )
第23页/共43页
x a
x V (x) dr R o Qr
4 0R
o
x
课堂练习 求均匀带电园盘( R, σ )轴线上电势分布。
提示： 建立坐标系，取元，如图所示。
选∞处为电势零点，则：
dV 2dqrdr 4 0 r 2 x 2
q
r
r
r
4
q
0 r 2
dr
aq r
r 10V
E
8V 6V
V (r )
q
4 0r
( 球对称分布 )
等势面分布
第14页/共43页
课堂练习 求半径为R均匀带电 Q 的球面电势分布。
解 选∞处为电势零点，则：
V (r) r E dr
0
E(r) Q
4 0r 2
(r R) (r R)
r
4
即：电势 V 的叠加为标量叠加，而 叠加，后者运算较繁。
的叠加却为矢量
E
第13页/共43页
E
☻由于静电场的保守特性，
b
V与a积分路a 径E无 dr
关，可选取一合理的路径进行积分。
例 求点电荷 q 的电势分布。
解 选∞处为电势零点，则：
V (r)
E dr
E dr cos 0
(r (r)
R)
E
dr
R
E
dr
E dr
r
r
R
V (r) 0
Q
R 4 0r2
dr
cos
0
Q
08.3静电场的环路定理、电势
b
a
u 3
u 2 u 1
2.电势梯度 电势梯度 单位正电荷从 a到 b电场力的功 到 电场力的功
u+d +u
E•d = Ec sθ l =u−(u+d ) l o d u Ec sθ l =− u o d d
在 l E d 方向上的分量 电场强度沿某 一方向的分量 一般
u
E l
n
a
b
l 由电势定义得 u =∫ E•d =∫ P
r
∞
4 ε0r π
d = r
q 4 ε0r π
讨论 大小
q>0 u>0 r ↑ u↓ r → u 小 ∞ 最 q<0 u<0 r ↑ u↑ r → u 大 ∞ 最
为球心的同一球面上的点电势相等 对称性 以q为球心的同一球面上的点电势相等
点电荷系的电势 由电势叠加原理， 的电势为 由电势叠加原理，P的电势为
单位正电荷在该点 所具有的电势能
∞
W = ∫q E•d l a 0
a
∞
单位正电荷从该点到无穷远 电势零)电场力所作的功 点(电势零 电场力所作的功 电势零
定义电势差 a b 定义电势差 u −u 电场中任意两点 的 电势之差（电压） 电势之差（电压）
u =u −u =∫ E•d −∫ E•d =∫ E•d l l l ab a b
d q −q A =u −u =0−( ) + oc o c 4 03R 4 0R a πε πε b c q +q 0 −q = 6 0R πε R R R
② 将单位负电荷由 ∞ O电场力所作的功
A O =u −u =0 o ∞ ∞
功、电势差、电势能之间的关系 电势差、
环路定理_电势
等势面、 与 的微分关系 §5.等势面、E与U的微分关系 / 二、等势面性质 等势面
3) 场强与电势的微分关系
v v U a − U b = −dU = E ⋅ d l v v −dU = E ⋅ dl = Ex dx + E y dy + Ez dz
∂U ∂U ∂U Ey = − Ez = − Ex = − ∂y ∂x ∂z U + dU v ∂U v ∂U v ∂U v E = −( i+ j+ k) U ∂x ∂y ∂z
a
电荷在点电荷场中的电势能（ 电荷在点电荷场中的电势能（选无穷远 为零势能点） 为零势能点） q0 q 电势能是标量 标量, 电势能是标量 W= 电势能是属于系统的. 4πε 0 r 电势能是属于系统的
电场中的W、 §5.电场中的 、EP、V、U / 三、电势能 电场中的 、
4. 电势差和电势
电势差
电场中的W、 §5.电场中的 、EP、V、U / 一、电场力的功 电场中的 、
2. 环路定理
1) 定理表述 静电场中电场强度沿任意闭合路径的线 积分等于零。 积分等于零。
∫
L
v v E ⋅ dl = 0
高斯定理说明静电场是有源场 高斯定理说明静电场是有源场, 环路定理说 有源场 明静电场是保守力场 无旋场。 保守力场或 明静电场是保守力场或无旋场。
R2 r R2 r
R2
2
∞ R2
q1
− q2
o R1 III II I
=∫
r
∞
q1 − q2 +∫ dr 2 R2 4πε r 0
4πε 0r
q1
2
dr
R2
高斯面
1 q1 1 q2 = − 4πε 0 r 4πε 0 R2
22-场强环路定理、电势
2012年4月26日
∞
∞
q 4πε 0 r
2
dr =
q 4πε 0 r
11 11
r
大连理工大学 秦 颖
大连理 工大学
例 5 ：长为 l 的均匀带电直线，电荷线密度为 λ 。 求：图中 p 点的电势。 解：如图选取坐标系，
dU = dq 4π ε 0 r
l
dq = λd x
x
o
r
l
dx
dU
a
p
x
=
作功与检验电荷的电量和电场强度的线积分成正比。 ① 单位正电荷放在a点处， 系统的电势能。 ② 把单位正电荷从 a 点移 到0电势(无限远)处，电场 力所做的功。
2. 电势差：在电场中移动单位正电荷时电场作的功。
Ua − Ub =
∫
∞ a
E ⋅ dr −
∫
∞ b
E ⋅ dr =
∫
b a
E ⋅ dr 电 压
4πε 0 R 球面内 q U= 4πε 0 r 球面外
a
q
均匀带电 λ ln r 无限长直线 U =
2π ε 0
均匀带电 无限长直线
方向垂直于直线
λ E= 2πε 0 r
均匀带电 无限大平面
σ ⋅d U = Ed = 2ε 0
σ 均匀带电 E= 无限大平面 2ε 0
方向垂直于平面
秦 颖
17 17
2012年4月26日
∫
∞
r
qr ⋅ d r = 3 4π ε 0 r
∫
∞
r
dr
4π ε 0 r 4π ε 0 r r 例2 ：求一对正、负电荷连线中垂线上的电势。
O
10静电场2(环路定理、电势)
P 1
3.关系：E q V P 0
W EP1 EP2 q0U12
二、点电荷电场的电势 在点电荷的电场中任取一点P，由电势的定义来 计算P的电势：
V
P
E dr E dr
P
q
P
q 40 r
2
P
dr
q 40 r
r
E dr
积分路径选为沿径向的直线 在正点电荷的电场中，电势为正，随r的增大电 势逐渐减小；在负点电荷的电场中，电势为负，随 r的增大电势逐渐增大。并且，在点电荷的电场中， 电势也呈球对称分布。
2．在电场中任一点，电势沿不同方向的空间 变化率不相等。 当 0 时，l 沿着 E 的方向，变化率有最 大值： dV E max dl
即沿某一方向的电势的空间变化率最大， 此最大值称为该点的电势梯度，其方向是 该点附近电势升高最快的方向。
E
三、电势能 静电场力是保守力，可引入电势能的概念。 静电场力做功等于电势能的减少。 在静电场中，试验电荷由点 P 运动到点 P2， 1 则电场力做功为： P W q0 E dr EP EP
2
P 1
1
2
P E P1 、 P2 即分别为 q0 在 P 、 2 点的电势能。 E 1
则有： 1 V2 V
P2
P 1
E dr
1.单位：V， V 1J / C 1 2.通常选取无穷远处或大地为电势零点，则有： EP V E dr P q0
即P点的电势等于场强沿任意路径从P点到 无穷远处的线积分。
电势的值随电势零点选取的不同而不同， 是相对的；而两点的电势差是绝对的，与 电势零点无关。 P U12 V1 V2 E dr
第 2 章 电势
P0
P0
P
∑E
i
dl = ∫ E 1 dl + ∫ E 2 dl +
P P
P0
P0
= 1 + 2 = ∑ i
在由多个点电荷产生的电场中， 在由多个点电荷产生的电场中 ， 任意一点的电 势等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电势 的代数和。这个结论称为电势的叠加原理。 的代数和。这个结论称为电势的叠加原理。 电势的叠加原理
rb L ra
E P = mgh
W = Wb Wa = ∫ dA = ∫ q0 E dl
b a = ∫ E dl
ra
rb
= q0 ( b a )
五、电势能 定义电势能
W = q0
一个电荷在电场中某点的电势能 电势能等于它的电 即：一个电荷在电场中某点的电势能等于它的电 量与电场中该点电势的乘积。 量与电场中该点电势的乘积。 一般取 r→∞ 时为势能零点，则空间任一点的电 时为势能零点， 势能为
二、电势差和电势
1.电势差 电势差
A = ∫ q0 E dl =q0 ∫ E dl ∝ q0
ra ra rb rb
静电力作功与具体路径无关，只取决于检验电 静电力作功与具体路径无关， 荷的始末位置。 始末位置。 定义 电势差
rb A a b = = ∫ E dl ra q0
二、电势差和电势
eV＝ 特（eV）：1eV＝1.6×10-19J
c
n
+ Δn θ Δl a
E
b l
四、电势梯度
4.电场强度与电势的关系 电场强度与电势的关系
由于 E = d dn
d n = dn
E =
即电场强度大小为电势的梯度，但是方向相反。 即电场强度大小为电势的梯度，但是方向相反。
7-4静电场环路定理 电势1
③电势是标量，单位为伏特。
2、电势差（电压） 电场中两点的电势差：
Aab E dl E dl E dl q0 a b a 即： Aab q0U ab
b
U ab U a U b
U 0
[例]求一均匀带电球面的电势。已知：q , R 。
① r≤ R
(球内任意一点)
R
U E dl E内 dl E 外 dl
r r
R
q
+ +
+
+
0 q
q 4 πε r 0
+
R
dr 2
+ +
+ +
R
+
r .P
+
+ + +
+ +
4 πε R 0
二 、 静电场的环路定理 q0 E dl q0 E dl
q0 ( E dl
ABC
l
ABC
E dl ) 0
CDA
ADC
B
D
C
E
E dl 0
A
结论：沿闭合路径一 周，电场力作功为零.
3
静电场是保守场
因此可以引入势能的概念
*关于电势差的讨论： ①电势差具有绝对意义，和参考点的选择无关。 ②Uab等于将单位正电荷从a 点沿任意路径移至b 点电 场力所作的功。
五、电势的计算
1、点电荷电场的电势
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环路定理 电势
－ 选择题
题号：30411001 分值：3分
难度系数等级：1 1． 下列关于场强和电势的关系的说法中，正确的是：
()A 已知某点的场强E ，就可以确定该点电势U ；()B 已知某点的电势U ，就可以确定该点场强E ；
()C 在某空间内的场强不变，则U 也一定不变； ()D 在等势面上，场强E 不一定处处相等。
答案：()D
题号：30411002 分值：3分
难度系数等级：1
下列关于静电场的说法中，正确的是：
()A 电势高的地方场强就大； ()B 带正电的物体电势一定是正的；
()C 场强为零的地方电势一定为零； ()D 电场线与等势面一定处处正交。
答案：()D
题号：30413003 分值：3分
难度系数等级：3
在均匀电场中各点，下列诸物理量中：(1)电场强度、(2)电势、(3)电势梯度，哪些是大小相等的?
()A (1)、(2)、(3)都相等； ()B (1)、(2)相等；
()C (1)、(3)相等； ()D (2)、(3)相等。
答案：()C
题号：30412004 分值：3分
难度系数等级：2
图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势面，由图可看出：
()A ,A B C A B C E E E U U U >>>>； ()B ,A B C A B C E E E U U U <<<<；
()C ,A B C A B C E E E U U U >><<； ()D ,A B C A B C E E E U U U <<>>。
答案：()D
题号：30413005 分值：3分
难度系数等级：3
关于静电场的保守性的叙述可以表述为：
()A 静电场场强沿任一曲线积分时，只要积分路径是某环路的一部分，积分结果就一定为零； ()B 静电场场强沿任意路径的积分与起点和终点的位置有关，也要考虑所经历的路径；
()C 当点电荷q 在任意静电场中运动时，电场力所做的功只取决于运动的始末位置而与路径无关。
()D 静电场场强沿某一长度不为零的路径做积分，若积分结果为零，则路径一定闭合。
答案：()C
静电场中，电场线为平行直线的区域内
()A 场强E 处处相同，电势U 可以存在不同； ()B 场强E 可以处处不同，电势U 可以处处相同；
()C 场强E 可以处处不同，电势U 可以处处不同； ()D 场强E 处处相同，电势U 也处处相同。
答案：()A
题号：30413007 分值：3分
难度系数等级：3
关于等势面正确的说法是
()A 电荷在等势面上移动时不受电场力作用，所以不做功； ()B 等势面上各点的场强大小相等； ()C 等势面的方向指示电场强度的减小； ()D 两等势面不能相交
答案：()D
题号：30413008 分值：3分
难度系数等级：3
关于等势面，下列的说法中错误的有
()A 等势面上各点的场强的方向一定与等势面垂直；
()B 在同一等势面上移动电荷，电场力一定不做功； ()C 等量异号点电荷连线的中垂线一定是等势线；
()D 在复杂的电场中，不同电势的等势面可以在空间相交 。
答案：()D
题号：30413009 分值：3分 难度系数等级：3
一个电场等势面与纸面的交线称等势线。
若某电场的等势线如图，已知123U >U >U ，在2U 上有点M 、N ，则关于M 、N 两点的电势M ϕ、N ϕ及电场强度M E 、N E 的关系，下列的说法中正确的有
()A M N ϕϕ=，M E 一定小于N E ； ()B M N ϕϕ=，M E 一定大于N E ；
()C M N ϕϕ=， M E 等于N E ； ()D M N ϕϕ=，M E 和N E 哪个大不能确定。
答案：()B
题号：30412010 分值：3分
难度系数等级：2
在以下公式中，E v
是电场强度，可以说明静电场保守性的是
()A ⎰=⋅L q l d E 0int εϖϖ； ()B 0=⋅⎰l d E L ϖϖ； ()C ⎰=⋅L S d E 0ϖϖ； ()D ⎰=⋅L q S d E 0
int εϖϖ。
答案：()B
二 判断题
N
U 1
M U 2
U 3
静电场的环路定理和高斯定理都是说明静电场特性的。
其中环路定理说明静电场的电场线不闭合。
答案：对
题号：30422002 分值：2分
难度系数等级：2
静电场中，若在电场区域内电场线是平行的，则该区域内电场强度和电势都相等。
答案：错
题号：30421003 分值：2分
难度系数等级：1
静电场的保守性体现在电场强度的环流等于零。
答案：对
题号：30423004 分值：2分
难度系数等级：3 静电场的环路积分
0=⋅⎰
l d E L
ϖ
ϖ，表明静电场是非保守场，可以引入电势的概念。
答案：错
题号：30422005 分值：2分
难度系数等级：2
在电势不变的空间，场强处处为零。
答案：对
题号：30423006 分值：2分
难度系数等级：3
当知道空间某区域的电势分布时，对该电势求梯度就是该区域的电场强度。
答案：错
题号：30422007 分值：2分
难度系数等级：2
均匀带电球面的外部，等势面是同心球面。
答案：对
题号：30421008 分值：2分
难度系数等级：1
当静电场的分布很复杂时，电场线可能闭合。
答案：错
题号：30424009
难度系数等级：4
有人说：只要知道电场中的一个等势面，就可以确定它周围的电场。
答案：错
题号：30421010 分值：2分
难度系数等级：1
场强弱的地方电势一定低、电势高的地方场强一定强。
答案：错
三 填空题
题号：30432001 分值：2分
难度系数等级：2 静电场的环路积分
0=⋅⎰
l d E L
ϖ
ϖ，表明静电场是 场，可以引入电势来描述静电场。
答案：保守
题号：30433002 分值：2分
难度系数等级：3
如图所示，在静电场中，一电荷0q 沿正三角形的一边从a 点移动到b 点再移动到c 点后回到a 点，电场力作功等于零。
这个结论可以由静电场的 定理直接说明。
答案：环路
题号：30434003 分值：2分
难度系数等级：4
一静电场的电势分布是2
4(V)U xy
=-，其中x 和y 的单位均以米记。
则电场强度的分布是
E v
= 。
答案：
2148(V m )E y i xyj -=+⋅v v v
题号：30433004 分值：2分
难度系数等级：3
求电场强度的方法有两种，一种是采用电场叠加原理直接求解，另一种就是用电势叠加原理求出空间电势的分布(,)U x y ，然后对(,)U x y 求 运算即可。
答案：梯度
题号：30432005 分值：2分
a
b
c
均匀带电球面内部的电场强度等于零，则说明球面内部的电势是 的。
答案：相等的
题号：30331006 分值：2分
难度系数等级：1
描述静电场性质的两个基本定律是高斯定理和 定理。
答案：环路定理
题号：30432007 分值：2分
难度系数等级：2
静电场的环路定理的数学表示式为：______________________。
答案：
0=⋅⎰
l d E L
ϖϖ
题号：30432008 分值：2分
难度系数等级：2
电场强度是矢量，用电场线的疏密表示其大小。
在等势面已经确定的情况下，画出电场线时，必须注意电场线 _等势面。
答案：垂直于
题号：30433009 分值：2分
难度系数等级：3
电荷在等势面上移动时，电场力作功为零，电荷是否受到电场力的作用？___________ 答案： 受到
题号：30432010 分值：2分
难度系数等级：2
电场强度的大小与电势的高低没有必然的联系，但由电场强度的方向可以判断电势的高低。
沿着电场强度的方向，电势总是不断 的。
答案：降低。