电子科技大学离散数学第07章 特殊关系

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离散数学关系-PPT

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离散数学关系
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
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一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A={1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“=”关系和“≤”关系就是自反得吗?
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}

离散数学关系

离散数学关系

离散数学关系离散数学关系是一种在有限集上定义的函数,用来描述两个集合之间的关系。

它是抽象数学中最基本的元素,它描述由一列实例构成的集合之间的关系。

离散数学关系有三种:一对一映射(one-to-one mapping)、可枚举映射(enumerable mapping)和量级(order)关系。

1、一对一映射:一对一映射是每个元素都有唯一的映射关系,一个域元素只能映射到一个定义域元素,而且每个定义域元素也只被一个域元素映射。

2、可枚举映射:可枚举映射是指有多个域元素可以映射到一个定义域元素,反之亦然,定义域元素也可以映射到多个域元素,但不一定要求每一个域元素都被映射。

3、量级(order)关系:量级关系是一种非抽象的关系,它可以用来描述元素之间的关系,但不能用唯一的映射关系表示。

量级关系表示一组元素之间的大小或者其他特征的排列顺序,比如“比”,“等于”,“交换”等等,它们可以表示不止一种关系。

二、关系的性质1、可满足性:可满足性是指关系的存在与否与域元素具体的值之间的关系。

可满足关系的存在可以通过满足一定的条件来进行检查,不满足的情况下就会说明这个关系不存在。

2、唯一性:唯一性是指关系的定义域与域元素之间的唯一映射关系。

唯一性可以用来确定定义域元素与域元素之间的唯一映射关系,它不能够产生重复的映射关系。

3、可枚举性:可枚举性是一种可以将定义域与域元素之间的映射关系一一列出来的性质。

可枚举性允许定义域元素有多个域元素与之映射,但它不一定满足唯一性。

4、可组合性:可组合性是一种可以将两个定义域之间的关系组合起来的性质。

可组合性可以将多个关系组合为一个或多个新的关系,从而可以更好的表达更多更复杂的关系。

三、应用1、在离散数学中,离散数学关系经常用来描述中间结果或概念之间的关系。

2、在计算机科学中,离散数学关系常常作为数据结构的基础,用来表示复杂的逻辑结构。

3、在数据库系统中,离散数学关系的应用非常广泛,用来表示不同表之间的关系。

同等学力研究生计算机学科离散数学基础第七章二元关系

同等学力研究生计算机学科离散数学基础第七章二元关系

第七章二元关系§1 有序对与笛卡尔积定义两个元素x与y按一定顺序排列构成的二元组称为一个有序对(或序偶),记为〈x,y〉,称x 为第一元素,y为第二元素。

性质 (1) ,,x y x y y x≠⇒〈〉≠〈〉(2) ,,x y u v x u y v〈〉=〈〉⇔=∧=例25 2,45,242xx x yx y+=⎧〈+〉=〈+〉⇒⎨=+⎩3,2x y⇒==−定义:设A、B为两个集合,称{},x y x A y B〈〉∈∧∈为集合A与B的笛卡尔积,记为A×B。

性质:(1) ,A A×=×=∅∅∅∅(2)笛卡尔积不满足交换律与结合律(3)笛卡尔积对并、交满足分配律×=××∪∪A B C A B A C()()()×=××∪∪B C A B A C A()()()×=××∩∩A B C A B A C()()()×=××∩∩B C A B A C A()()()(4)A C B D A B C D⊆∧⊆⇒×⊆×例A={1,2},求P(A)×A。

§2 二元关系定义设R是集合,若R=∅或A≠∅且A中元素均为有序对,则称R为一个二元关系。

若〈x,y〉∈R,则称x与y有关系R,记为xRy。

定义:设A与B是两个集合,由A×B的子集定义的二元关系称为A到B的二元关系;当A=B 时,称之为A上的二元关系。

例 设A ={0,1},则R 1={〈0,0〉,〈1,1〉},R 2=∅, R 3=A ×A 都是A 上的二元关系。

例 设A 是n 元集,则A ×A 有n 2个元素,于是A ×A 有22n 个子集,由此得A 上有22n 个二元关系。

例 设A 是任一集合① 称∅是A 上的空关系 ② 称A ×A 是A 上的全域关系③ 称{},A I x x x A =〈〉∈是A 上的恒等关系。

第七章.特殊关系

第七章.特殊关系

第七章 特殊关系重点:等价关系、偏序关系的各种性质的判断和证明;难点:如何正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系;如何正确的理解和判断偏序关系的八种特殊元素。

7.1 等价关系1.等价关系设A 是任意非空的集合,R 是A 上的二元关系,如R 是自反的,对称的,传递的关系,则R 称为A 上的等价关系。

下面是一些特殊的等价关系:(1) 任一结合A 上的恒等关系I A 是等价关系; (2) 任一集合A 上的全关系A ×A 是等价关系;(3) 整数集合I 上的模m 同余关系R ={<x,y>|(x,y ∈I)∧(x-y)被m 所整除}是等价关系; 2. 等价类设A 是任一非空集合,R 是A 上的等价关系。

对∀x ∈A ,称[x]R = {y|(y ∈A)∧(<x,y>∈R)}为由x 所生成的关于R 的等价类,x 为生成元。

关于等价类,有如下性质:a) 对∀x ∈A ,x ∈[x]R ;b) 对∀x ,y ∈A ,(x≠y ),如y ∈[x]R ,则 [x]R =[y]R ,如y ∉[x]R ,则 [x]R∩[y]R =∅。

c)[]R x Ax A ∈=1. 划分设A 是非空集合,如存在一个A 的子集族π(π⊆P (A )),满足以下条件: (1)∅∉π;(2)π中任两个不同的元素交集为空; (3)π中所有元素的并集等于A 。

则称π为A 的一个划分,且称π中元素为划分块。

2.商集从划分和等价类的等一知,A商关于R的一切等价类恰好可以构成集合A的一个划分,该划分为集合A在R下的商集,为此有:A/R ={[x]R |(一切x∈A)}称为集合A在R下的商集。

根据划分和商集的敌对你给一,在划分和等价关系之间存在着一一对应关系。

即给定集合A上的一个等价关系R,由R可以唯一产生集合A的一个划分π=A/R,反之,对集合A的任一划分π={A1,A2,…,A k},可唯一对应集合A上的一等价关系R =(A1×A1)∪(A2×A2)∪…∪(A k×A k)。

离散数学关系完整ppt课件

离散数学关系完整ppt课件
因为A ⊆ A,B∩C ⊆ B和B∩C ⊆ C,所以有 A×(B∩C) ⊆ A×B和A×(B∩C) ⊆ A×C成立, 因此A×(B∩C) ⊆(A×B)∩(A×C)。
因此A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)。 同理可证(B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)。
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(3) 对(x,y)∈A×(B-C),有x∈A且y∈B-C,所以x∈A且 y∈B且yC。由x∈A且y∈B得(x,y)∈A×B,由y C 得(x,y) A×C,所以(x,y)∈(A×B)-(A×C)。因此 A×(B-C) ⊆(A×B)-(A×C)。
(B∪C)×A = (B×A)∪(C×A)。
(2) A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C), (B∩C)×A = (B×A)∩(C×A)。
(3) A×(B -C) = (A×B)- (A×C),
(B -C)×A = (B×A) - (C×A)。
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证明 (1) 对(x, y)∈A×(B∪C),有x∈A 且 y∈B∪C,因此x∈A 且(y∈B 或y∈C),当y ∈B 时,由x∈A 和y∈B 得(x, y)∈A×B,当 y∈C 时,由x∈A 和y∈C 得(x, y)∈A×C,所 以(x, y)∈(A×B)∪(A×C),即A×(B∪C) ⊆ (A×B)∪(A×C)。
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定理2.1 如果B1A1,B2A2,则 B1×B2 A1×A2。
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证明 对(x, y)∈B1×B2,有x∈B1 且y∈B2, 又因为B1 A1 ,B2 A2 ,则x∈A1 且 y∈A2,所以(x, y)∈A1×A2,即B1×B2
A1×A2。
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定理2.2 A, B, C 是任意集合,则: (1) A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C),

杭州电子科技大学2023年《离散数学》考研专业课同等学力加试大纲

杭州电子科技大学2023年《离散数学》考研专业课同等学力加试大纲

杭州电子科技大学
硕士研究生复试同等学力加试科目考试大纲
学院:网络空间安全学院加试科目:离散数学
一、命题逻辑
1、命题及逻辑连接词的概念,自然语言的命题符号化。

2、真值表、命题公式与赋值、命题公式的类型。

3、命题的等价演算。

4、范式。

5、命题公式的推理演算。

二、谓词逻辑
1、个体词、谓词、量词及自然语言命题符号化。

2、谓词公式的解释。

3、谓词公式的等价演算。

4、谓词公式的推理规则及演绎推理。

三、集合和关系
1、集合的概念及集合之间的关系。

2、集合的运算。

3、集合的基本等价式。

4、序偶的概念及笛卡儿积。

5、关系的定义及运算。

6、关系的性质。

7、关系的闭包。

8、等价关系与划分。

9、函数的概念与类型。

10、复合函数和逆函数及相关结论。

四、代数结构
1、代数系统的概念。

2、半群、有幺半群、群的概念及性质。

3、循环群、交换群、子群、正规子群等重要概念以及这些代数结构的特性。

4、陪集及拉格朗日定理的应用。

五、图论
1、图、子图、顶点的度等图论基本概念。

2、路、回路的概念,图的连通性及割集的概念。

3、最短通路。

4、树与生成树。

5、欧拉图和哈密尔顿图。

6、有向图的概述。

7、根树与最优二叉树。

参考书目:《应用离散数学》,方景龙、周丽编著,人民邮电出版社,2014.09。

离散数学第七章 关系-二元关系的基本概念

离散数学第七章 关系-二元关系的基本概念
关系R= { (a,英语),(a,高等数学), (b,计算机原理),( b,英语), (c,离散数学),(c,数据结构), (d,英语),(d,离散数据) }
“相关性”意义既可以是描述学生们所选取的课程, 以是表示学生对某些课程有偏爱。
也可
二元关系的四种表示方法 • • • • 有序二元组 表 图 矩阵
R1–R2 ={(x,y)│x∊A, y∊B, 学生x学习不喜欢课程y } R1⊕ R2 ={(x,y)│x∊A, y∊B, 学生x学习不喜欢课程y , 或者学生x喜欢课程y但不学习课程y}
逆关系
定义2 设A和B是两个集合, R是从A到B的一个二元关系
。令
R={(x,y) ∊ B×A│(y,x)∊R} 称之为R的逆关系。
例 A={a,b,c,d}, B={α,β,γ} R={ (a, α),(b, γ),(c, α),(c, γ),(d, β) }
a b c d β γ α
B A
α
β
γ
a
b c d

√ √ √ √
0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1
综上所述,结论R1 ◦△B = R1得证。
证明③ R1◦R2 = R2◦R1
对于任意的x,y, 若(x,y)∊R1◦R2,则(y,x)∊R1◦R2,所 以存在b∊B,使得(y,b)∊R1,(b,x)∊R2, 即有(x,b)∊R2,(b,y)∊R1, ∴(x,y)∊R1◦R2 。 故有 R1◦R2 ⊆R2◦R1 反之,对于任意的x,y, 若(x,y)∊R2◦R1, 则存在b∊B,使得(x,b)∊R2,(b,y)∊R1 , 即(y,b)∊R1,(b,x)∊R2, ∴(y,x)∊R1◦R2 ,亦即(x,y)∊R1◦R2。

离散数学课件07二元关系

离散数学课件07二元关系

闭包的定义
对于给定的二元关系R,其闭包记作R+, 是指在R的基础上,通过自反、对称和传递 三种扩展运算后得到的最小关系集合。
闭包的具体计算方法
通过自反、对称和传递三种扩展运算,将 R中的元素进行逐一处理,最终得到R+。
对称扩展
将R中的每一对元素(a, b)和(b, a)添加到 R+中,如果它们不在R+中。
02
CHAPTER
二元关系的性质
自反性
总结词
自反性是指一个元素与自己有某种关系。
详细描述
在二元关系中,如果任意元素x都与自己有关系R,则称该关系为自反关系。例 如,在一个班级中,如果任意一个学生都是自己的朋友,则“朋友”关系是自 反的。
ห้องสมุดไป่ตู้ 对称性
总结词
对称性是指如果元素x和元素y有关系R,且元素y和元素x也有关 系R,则称该关系是对称的。
03
CHAPTER
二元关系的运算
并运算
总结词
并运算是一种二元关系的组合方式,表示两个关系中至少有一个对应的元素是相同的。
详细描述
在二元关系中,并运算是将两个关系组合在一起,形成一个新的关系。具体来说,如果存在一个元素在两个关系 中都出现,则新关系中该元素对应的值为1(表示存在),否则为0(表示不存在)。
自反扩展
将R中的所有空元素添加到R+中。
闭包的性质
闭包的自反性
对于任意关系R,其闭包R+总是包含自反关 系。
闭包的对称性
对于任意关系R,其闭包R+总是包含对称关 系。
闭包的传递性
对于任意关系R,其闭包R+总是包含传递关 系。
闭包的运算性质
1 2

离散数学第二版答案(6-7章)

离散数学第二版答案(6-7章)

离散数学第二版答案(6-7章)LT第六章 代数系统6.1第129页1. 证明:任取,x y I ∈,(,)*(,)g y x y x y x yx x y xy g x y ==+-=+-=,因此,二元运算*是可交换的; 任取,,x y z I ∈,(,(,))*(*)*()()g x g y z x y z x y z yz x y z yz x y z yz x y z xy xz yz xyz==+-=++--+-=++---+((,),)(*)*()*()(,(,))g g x y z x y z x y xy zx y xy z x y xy z x y z xy xz yz xyz g x g y z ==+-=+-+-+-=++---+=因此,运算*是可结合的。

该运算的么元是0,0的逆元是0,2的逆元是2,其余元素没有逆元。

2.证明:任取,,x y N x y ∈≠,由*,*x y x y x y x ==≠知,**y x x y ≠,*运算不是可交换的。

任取,,x y z N ∈,由(*)**x y z x z x ==,*(*)*x y z x y x ==知,(*)**(*)x y z x y z =,*运算是可结合的。

任取x N ∈,*x x x =,可知N 中的所有元素都是等幂的。

*运算有右么元,任取,x y N ∈,*x y x =,知N 中的所有元素都是右么元。

*运算没有左么元。

证明:采用反证法。

假定e 为*运算的左么元,取,b N b e ∈≠,由*的运算公式知*e b e =,由么元的性质知,*e b b =,得e b =,这与b e ≠相矛盾,因此,*运算没有左么元。

3.解: ① 任取y x I y x ≠∈,,的最小公倍数和y x y x =*的最小公倍数和的最小公倍数和y x x y x y ==*因此对于任意的y x I y x ≠∈,,都有x y y x **=,即二元运算*是可交换的。

离散数学及其应用第7章_函数与特殊函数(上)

离散数学及其应用第7章_函数与特殊函数(上)
2020/3/7
复合函数的要点
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例题
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例题
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例题
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例题
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例题
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复合运算的性质
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复合运算的性质
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复合运算的性质
2020/3/7
例题
【例题】 设按顺序排列的13张红心纸牌:
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计算机应用技术研究所
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逆运算的定义
2020/3/7
例题
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例题
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例题
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逆运算的性质
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逆运算的性质
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例题
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例题
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逆运算的性质
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例题
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常用函数
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常用函数
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例 题
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例 题
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例题
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例题
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例题
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例题
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函数的基本运算
函数的复合运算 函数的逆运算 ☺ 函数的递归运算
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计算机应用技术研究所

离散数学 关系的性质 PPT

离散数学 关系的性质 PPT
离散数学 关系的性质
自反性与反自反性
例: 自反关系:A上的全域关系EA, 恒等关系IA
小于等于关系LA, 整除关系DA 反自反关系:实数集上的小于关系
幂集上的真包含关系
实例
例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1={<1,1>,<2,2>} R2={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} R3={<1,3>}
说明: • 对于有穷集合A (|A|=n) 上的关系, (3)中的并是有 限的. • 若 R是自反的,则 r(R)=R; 若R是对称的,则
s(R)=R; 若R是传递的,则 t(R)=R.
(3)t(R)=R∪R2∪R3∪…
先证R∪R2∪… t(R)成立,为此只需证明对任意 的正整数n有 Rn t(R)即可。用归纳法。 n=1时,有 R1=R t(R)。 假设Rnt(R)成立,那么对任意的<x,y>有
R2自反, R3反自反, R1既不是自反也不是反自反的
对称性与反对称性
实例: 对称关系:A上的全域关系EA, 恒等关系IA和空关系
反对称关系:恒等关系IA,空关系是A上的反对称关系.
实例
例2 设A={1,2,3}, R1, R2, R3和R4都是A上的关系, 其中 R1={<1,1>,<2,2>}, R2={<1,1>,<1,2>,<2,1>} R3={<1,2>,<1,3>}, R4={<1,2>,<2,1>,<1,3>}
R1 和 R3 是A上的传递关系 R2不是A上的传递关系

离散数学第七章 关系-二元关系的性质

离散数学第七章 关系-二元关系的性质

(5) 对每个x,y,z∊A,若(x,y)∊R且(y,z)∊R,则有(x,z)∊R, 说关系R有传递性, 或称R是A上的传递关系。
例1 设 A={1,2,3} ,令 R1={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)} R2={(2,3),(3,2)} R3={(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,1)}。 问R1、R2、R3具有哪些性质? 答: R1有自反性、传递性、反对称性;
证明(4): R有反对称性当且仅当 R∩R⊆△A
设 R有反对称性,要证 R∩R⊆△A。 对于任意的(x,y) ∊R∩R,则有(x,y) ∊R且(x,y) ∊R ∴ (y,x) ∊R且(x,y) ∊R, 由于有反对称性,知x=y, ∴ (x,y)=(x,x)∊△A。故 R∩R⊆△A 反之,若R∩R⊆△A,要证R有反对称性。 对于任意的x,y∊A,若(x,y) ∊R且(y,x) ∊R, ∵ (y,x) ∊R ∴ (x,y) ∊R, ∴ (x,y) ∊R∩R ⊆△A, ∴ x=y ,即R有反对称性。
证明(5): R有传递性当且仅当 R◦R⊆R
设 R有传递性, 要证R◦R⊆R。
对于任意的 (x,y)∊R◦R,则存在z∊A,
使得 (x,z)∊R 且 (z,y)∊R,
由R有传递性,∴ (x,y)∊R 所以 R◦R⊆R 反之,若R◦R⊆R,要证R有传递性。 对于任意的 x,y,z,若(x,y)∊R 且(y,z)∊R , 则 (x,z)∊R◦R ⊆R, 即有(x,z)∊R,故R有传递性得证。
例3 (p80) R1和R2是集合A上两个二元关系, 若R1和R2均有对称性,问 R1∪R2, R1∩R2, R1-R2, R1⊕R2 哪些仍有对称性?
解:R1∪R2,R1∩R2,R1-R2,R1⊕R2 都仍有对称性。 仅证明R1∪R2有对称性,其余类似, 见下页。

西电离散数学习题答案

西电离散数学习题答案

西电离散数学习题答案《西电离散数学习题答案》离散数学是计算机科学和数学中的重要分支,它研究离散对象和离散关系的数学结构。

西安电子科技大学是中国著名的工科院校,其离散数学课程一直以严谨的教学和丰富的习题而闻名。

在这篇文章中,我们将为大家提供西电离散数学习题的答案,希望能够帮助大家更好地掌握离散数学的知识。

1. 集合论1) 设A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7},求集合A和B的并集和交集。

答:A和B的并集为{1,2,3,4,5,6,7},交集为{3,4,5}。

2) 若集合A={a,b,c},B={b,c,d},C={c,d,e},求(A∩B)∪C。

答:(A∩B)∪C = {c,d}∪{c,d,e} = {c,d,e}。

2. 图论1) 给定一个简单图G,如果G有6个顶点和8条边,求G的度序列。

答:度序列为{2,2,2,2,1,1}。

2) 若一个图G有5个顶点和7条边,求G的连通分量数目。

答:连通分量数目为1,因为所有顶点都在同一个连通分量中。

3. 命题逻辑1) 设p为命题“今天下雨”,q为命题“我要带伞”,若今天下雨我就要带伞,用命题逻辑表示。

答:p→q。

2) 已知命题p为“我喜欢数学”,q为“我喜欢计算机”,用命题逻辑表示“我既喜欢数学又喜欢计算机”。

答:p∧q。

通过以上习题的答案,我们可以看到西电离散数学课程的内容涵盖了集合论、图论、命题逻辑等多个方面,而且题目设计严谨,能够帮助学生更好地理解和掌握离散数学的知识。

希望同学们在学习离散数学的过程中能够认真对待习题,不断巩固知识,提升自己的数学素养。

离散数学 第7章 特殊关系

离散数学 第7章 特殊关系

电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
7.1 本章学习要求
重点掌握 1
1 几个特殊关 系的概念 2 等价和偏序 关系的证明 3 等价类和商 集的计算 4 8个特殊元
一般掌握
了解 3 1 拟序、全序
2
1 拟序、全序 和良序关系的 定义; 2拟序与偏序关 的联系 3 拟序、全序、 良序的联系。
不具有对称性
不具有对称性, 自反性
是等价关系
2015/12/2 92-6
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
例7.2.2
在时钟集合A={0,1,2,…,23}上定义整除关系:
R={<x,y>|{x,yA)∧((x-y)被12所整除)}。
(1)写出R中的所有元素;
(2)画出R的关系图;
故[x]R≠Φ。
2015/12/2
92-22
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
证明 2)
对任意x,y∈A, a)若 若y∈[x] ,则<x,y>∈R。 b) y[x]RR ,设 [x]R∩[y]R≠Φ,则存在 对任意z∈[x] z∈[x]R∩[y}R 。 R,则有:<x,z>∈R,又<x,y>∈R, 由R的对称性有:<y,x>∈R, 即z∈[x] R,z∈[y]R, 由R的传递性有:<y,z>∈R。 则有:<x,z>∈R,<y,z>∈R, 所以z∈[y] 由 R的对称性,<z,y>∈R。 R,即:[x]R[y]R。 对任意z∈[y] 由 R的传递性有:<x,y>∈R, R,则有:<y,z>∈R,又<x,y>∈R, 由R的传递性有:<x,z>∈R。所以,z∈[x] 即y∈[x] R,即: R,矛盾。 [y]R[x]R。 所以[x]R∩[y]R=Φ。 所以,[x]R=[y]R。

《离散数学》7偏序关系

《离散数学》7偏序关系

32
例 给出如图所示的偏序集。
j
k
h、i、j和k都是{f,g}的上 h
i
界,
f
g
c、d、a为其下界
bc de
a
33
4、上确界、下确界
设(A,≺)是一个偏序集,BA, yA. 令C={y | y为B的上界}, 则称C的最小元
为B的最小上界 或 上确界. 令D={y | y为B的下界}, 则称D的最大元
如果(x, y)∈≼, 则记作 x≼y, 读作 x“小于或 等例于1 ”Ay=。{1, 2, 3, 4}
R={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4),
(1,2), (1,3), (1,4),
(2,4)}
4
例2 (p109)
设Z+={n∊Z│n>0},即Z+是正整数的集合。 在Z+上定义一个二元关系R如下: 对于任意的x,y∊Z+,
在 ρ(A)上建立一个二元关系R: 对于任意的x,y∊ ρ (A), (x,y) ∊R 当且仅当x⊆y。
不难证明(ρ(A),R)也是一个偏序集。
7

➢ 在实数集R上定义二元关系S, 对于任意的x,y∊R, (x,y) ∊S当且仅当 x≤y。 可以证明 S是R上的一个偏序关
系。
➢ 在实数集R上定义二元关系S’, 对于任意的x,y∊R, (x,y) ∊S’当且仅当
上节课内容
实用文档
等价关系
等价关系 等价类
定义 性质
商集、集合的划分 等价关系和划分的对应
1
7.6 偏序关系和格
7.6.1 7.6.2 7.6.3 7.6.4 7.6.5 7.6.6
偏序关系、偏序集 哈斯(Hasse)图 链、反链、全序集 极大元、极小元、最大元、最小元 上界、下界、最小上界、最大下界 格
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2018/7/3 92-11
以n为模的同余关系
上述 R 称为 Z 上以 n 为模的同余关系 (Congruence Relation),记xRy为 x=y(mod n) 称为同余式。如用resn(x)表示x除以n的余数,则 x=y(mod n) resn(x)=resn(y)。 此时,R将Z分成了如下n个子集: {…,-3n,-2n,-n,0,n,2n,3n,…} {…,-3n+1,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,3n+1,…} {…, -3n+2,-2n+2,-n+2,2,n+2,2n+2,3n+2,…} … {…,-2n-1,-n-1,-1,n-1,2n-1,3n-1,4n-1,…}
1 0 2 5 2018/7/3 9 4 8 92-20
定理7.2.1
设 R 是非空集合 A 上的等价关系,则有下面的结论成 立: 1)对任意xA,[x]R≠Φ;
2)对任意x,y∈A,
a)如果y∈[x]R,则有[x]R=[y]R, b)如果y [x]R,则有[x]R∩[y]R=Φ。 3)
xA
2018/7/3 92-19
例7.2.5(续)
设 A={0,1,2,4,5,8,9} , R 是 A 上的以 4 为模的同余关 系。求 (1)R的所有等价类;(2)画出R的关系图。
解:(1)[1]R={1,5,9}=[5]R=[9]R; [2]R={2};
[4]R={0,4,8}=[0]R=[8]R。 ( 2)
解:1, 2, 3都具有自反性,对称性和传递性 ;
4. 具有自反和对称性,不具有传递性。
2018/7/3 92-4
7.2 等价关系
定义 7.2.1 设 R 是定义在非空集合 A上的关系,如 果 R是自反的、对称的、传递的,则称 R为 A上的等 价关系。
由定义7.2.1知: (1)关系R是等价关系当且仅当R同时具备自反 性、对称性和传递性;
2018/7/3 92-23
证明 3)
因为对任意x∈A,[x]R A,所以 对任意x∈A,因R是自反的,所以<x,x>∈R,即 x∈[x]R。 所以x∈
xA
xA
x R
A。
x R ,即A
xA
x R 。故
xA
x R =A。
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92-24


定义 7.2.4 设 R 是非空集合 A 上的等价关系,由 R 确 定的一切等价类为元素构成的集合,称为集合 A 关 于R的商集(Quotient Set),记为A/R,即 A/R={[x]R|(x∈A)} 例 7.2.6 设集合 A={0,1,2,4,5,8,9} , R 为 A 上以 4 为 模的同余关系。求A/R。
2018/7/3 92-12
说明
这n个Z的子集具有如下特点: 1. 在同一个子集中的元素之间都有关系R; 2. 不同子集的元素之间没有关系R; 3. 不同子集的交集是空集; 4. 所有这些子集的并集就构成集合Z。
称为集合Z 的一个划分
2018/7/3 92-13
7.2.2 集合的划分
定义7.2.2 给定非空集合A,设有集合 S={S1,S2,S3,…,Sm}。如果满足 1. SiA且Si≠Φ,i=1,2,…,m;
2018/7/3 92-9
从例7.2.2可以看出
关系R将集合A分成了如下的12个子集: {0,12},{1,13},{2,14},{3,15}, {4,16},{5,17},{6,18},{7,19},
{8,20},{9,21},{10,22},{11,23} 。
这12个A的子集具有如下特点:
1、在同一个子集中的元素之间都有关系R;
离散数学
电子科技大学 信 息 与 软 件 工 程 学 院
2018年7月3日星期二
第7章 特殊关要
拟序关系
偏序关系 全序关系
3
4 5
次 序 关 系
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良序关系
2018/7/3
7.1 本章学习要求
重点掌握 1
1 几个特殊关 系的概念 2 等价和偏序 关系的证明 3 等价类和商 集的计算 4 8个特殊元
2018/7/3
92-18
由定义7.2.3可以看出:
1. 等价类产生的前提是 A 上的关系 R 必须是等价关 系; 2. A中所有与x有关系R的元素y构成了[x]R;
3. A中任意一个元素一定对应一个由它生成的等价 类;
4. R具有自反性意味着对任意x∈A,[x]R≠Φ; 5. R 具 有 对 称 性 意 味 着 对 任 意 x,y∈A , 若 有 y∈[x]R,则一定有x∈[y]R。
一般掌握
了解 3 1 拟序、全序
2
1 拟序、全序 和良序关系的 定义; 2拟序与偏序关 的联系 3 拟序、全序、 良序的联系。
和良序关系的
相关性质。
2018/7/3
92-3
判定下列关系具有哪些性质
1. 在全体中国人所组成的集合上定义的“同姓” 关系; 2. 对任何非空集合A,A上的全关系; 3. 三角形的“相似关系”、“全等关系”; 4. “朋友”关系。 等价 关系
<8,8>,<9,9>,<0,4>,<4,0>,<4,8>,<8,4>,<0,8>,
<8,0>,<1,5>,<5,1>,<1,9>,<9,1>,<5,9>,<9,5>}。
显然,R是A的一个等价关系。
2018/7/3 92-16

2、与元素1有关系R的所有元素所作成的集合{1,5, 9}; 与元素2有关系R的所有元素所作成的集合{2}; 与元素4有关系R的所有元素所作成的集合{0,4, 8}。 集合{1,5,9}称为元素1关于等价关系R的等价类, 记为[1]R,即[1]R ={1,5,9};
x R =A;
92-21
2018/7/3
证明 1)
对任意x∈A,
因为R是等价关系,所以R是自反的,
因此<x,x>∈R,即x∈[x]R,
故[x]R≠Φ。
2018/7/3
92-22
证明 2)
对任意x,y∈A, a)若 若y∈[x] ,则<x,y>∈R。 b) y[x]RR ,设 [x]R∩[y]R≠Φ,则存在 对任意z∈[x] z∈[x]R∩[y}R 。 R,则有:<x,z>∈R,又<x,y>∈R, 由R的对称性有:<y,x>∈R, 即z∈[x] R,z∈[y]R, 由R的传递性有:<y,z>∈R。 则有:<x,z>∈R,<y,z>∈R, 所以z∈[y] 由 R的对称性,<z,y>∈R。 R,即:[x]R[y]R。 对任意z∈[y] 由 R的传递性有:<x,y>∈R, R,则有:<y,z>∈R,又<x,y>∈R, 由R的传递性有:<x,z>∈R。所以,z∈[x] 即y∈[x] R,即: R,矛盾。 [y]R[x]R。 所以[x]R∩[y]R=Φ。 所以,[x]R=[y]R。
2、不同子集的元素之间无关系R。
2018/7/3 92-10
例7.2.3
证明 设n为正整数,考虑整数集合 (1) 对任意 xZ ,有 n|(x-x) Z上的整除关系如下: ,所以 <x,x>R , 即R是自反的。 R={<x,y>|(x,y∈Z)∧(n|(x-y))} (2) 证明R 对任意 是一个等价关系。 x,yZ,若<x,y>R,即n|(x-y),所以 n|(y-x),所以,<y,x>R,即R是对称的。 (3) 对任意 x,y,zZ ,若 <x,y>R 且 <y,z>R ,有 事实上,对任意正整数 n,整数集合 Z的任意非 n|(x-y) 且 n|(y-z) ,所以由 (x-z)=(x-y)+(y-z) 空子集 A上的关系 得n|(x-z) ,所以,<x,z>R,即R是传递的。 R={<x,y>|( x,y∈A)∧(n|(x -y))} 由(1)、(2) 、(3)知, R是Z上的等价关系。 都是等价关系。
<12,0>,<1,13>,<13,1>,<2,14>,<14,2>, …,
<11,23>,<23,11>}}
(2)此关系的关系图:
0 1 2 11
……
12 2018/7/3 13 14 23 92-8
解 (续)
1. 对任意x∈A, 有 ( x - x ) 被 1 2 所 整 除 , 所 以 <x,x>∈R,即R是自反的。 2. 对任意x,y∈A,若<x,y>∈R, 有 (x-y) 被 12 整除, 则(y-x)=-(x-y)被12整除,所以,<y,x>∈R , 即R是对称的。 3. 对任意x,y,z∈A,若<x,y>∈R且<y,z>∈R, 有 (x-y) 被 12 所整除且 (y-z) 被 12 所整除,所以 (x-z)=(x-y)+(y-z)被12所整除,所以, <x,z>∈R,即R是传递的。 由1,2,3知R是等价关系。
2018/7/3 92-26
计算商集A/R的通用过程
1. 任选A中一个元素a,计算[a]R;
2. 如果[a]R≠A,任选一个元素
b∈A-[a]R,计算[b]R;
3. 如果[a]R∪[b]R≠A,任选一个元素
c∈A-[a]R-[b]R,计算[c]R;
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