2019年稽阳联考数学试卷
浙江省稽阳2019届联考试卷+物理+Word版含解析
物理选考试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页，满分100分，考试时间90分钟。
其中加试题部分为30分，用【加试题】标出。
考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
3．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。
4．可能用到的相关参数：重力加速度g均取10m/s2。
选择题部分一、选择题I（本题共13小题，每小题3分，共39分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．以下关于矢量和单位制的说法中正确的是A．长度属于基本单位B．磁通量φ有正负、有方向，是矢量C．力是矢量，牛顿(N)属于国际单位制中的单位D．能量是标量，焦耳(J)属于国际单位制中的基本单位2．8月24日，雅加达亚动会上，女子赛艇2000m轻量级单人双桨决赛中，浙江选手潘旦旦以8分05秒79的成绩轻松夺冠。
以下说法中正确的是A．8分05秒79是时刻B．到达终点时的瞬时速度越大，说明选手比赛成绩越好C．在分析选手的划桨动作及划桨频次时，可将选手看成质点D．计算选手比赛全程的平均速度时，可近似地将选手及艇看成质点3．物理学发展中，有许多科学家做出了伟大的贡献。
下列相关史实中正确的是A．富兰克林命名了正负电荷，为定量研究电现象奠定了基础B．奥斯特发现了电流的磁效应，并制作了世界上第一台发电机C．安培定则是表示电流和电流激发磁场的磁感线方向间关系的定则，安培还测出了元电荷的数值D．牛顿是第一个把实验引进力学的科学家，他利用实验和数学相结合的方法确定了一些重Fx Ox0AFxO xB2x0FxO xC2x0FxO xD2x0要的力学定律4．一枚磁钉将一张彩色纸“吸”在竖直静立的磁性白板上。
2019年稽阳联谊学校高三联考理科综合能力测试题共26页
2013年稽阳联谊学校高三联考理科综合能力测试题本试题分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
满分300分。
考生注意：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的座位号、姓名、准考证号在答题卡上填写清楚。
2.作答时，考生务必用黑色碳素笔将第I、II卷的答案答在答题卡上相应位置，答在试卷上的答案无效。
做好后只交答题卷。
3．相对原子质量：H 1 O 16 N 14 Na 23 Cu 64 Li 7第Ⅰ卷（本卷共20题，共120分）一、选择题（本题共17小题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）l.下列有关动植物克隆的叙述，错误的是A．克隆培养法获得的有限细胞株大多数具有异倍体核型B．动物成体细胞需要通过核移植才能克隆繁殖C．要获得植物克隆的成功，应尽量选择性状优良、细胞全能性表达充分的基因型D．胡萝卜根细胞脱分化形成愈伤组织后全能性表达能力会增大2．下面关于植物激素的生理作用及其应用的叙述中，错误的是A．用细胞分裂素处理侧芽，可解除生长素对侧芽生长的抑制B．春季水稻种子播种前，可用含赤霉索的温水浸泡种子C.相对密闭的贮藏环境会诱导产生大量乙烯，不利于新鲜果蔬的长期贮藏D.用一定浓度的2，4-D处理表土，可以抑制杂草的滋生，免去耕作程序3．生物的变异可以为进化提供原材料。
下列关于变异与进化的叙述，正确的是A．DNA分子复制时碱基对的缺失会引起基因的丢失B.杂交育种过程中，通过不断自交、筛选和淘汰，可以改变种群的基因库，获得新物种C.自然选择能保留种群的有利基因，但不决定新基因的产生D.环境变化剧烈会加快生物的变异速度，导致生物快速进化4.右图示某一健康人注射疫苗前后、不同时间采血所测得的抗体水平(箭头表示疫苗注射时间)。
下列叙述错误的是A．b段各淋巴细胞的DNA含量不完全相同B．d时间是再次接种引发的免疫应答C．产生甲、已抗体的B细胞不同，其根本原因是mRNA不同D．甲、乙两曲线表明，不同种类的抗体在体内存留时间的长短可有较大的差异5.科学家提取植物细胞中的叶绿体，用高速离心法打破叶绿体膜后，分别出类囊和基质，在不同条件下进行实验（如下表所示），用来研究光合作用过程，下列选项中各试管得到的产物情况正确的是ATP、NADPH三碳酸试管叶绿体机构光照C18O2甲类囊体++--乙基质-++-丙基质+--+丁基质和类囊体++--(注：表中的“+”表示“添加”，“-”表示“不添加”)B．乙试管可得到三碳糖A.甲试管可得到18O2C.丙试管可得到葡萄糖和淀粉D.丁试管可得到蔗糖6．右图表示某神经细胞动作电位和静息电位相互转变过程中甲、乙两种离子出入细胞的情况。
2019年4月稽阳联谊学校高三联考数学参考答案定稿
2019年4月稽阳联考数学参考答案一、选择题ABABA CCDDB 二、填空题11．2 12．1，2 13．7，12714．35-，21015．25，5412516．15 17．0a ≤或12a ≥三、解答题 18．解：（Ⅰ）()4cos sin()6f x x x a π=++314cos (sin cos )22x x x a =++ 3sin 2cos 21x x a =+++2sin(2)16x a π=+++ ……………5分所以32a +=，即1a =-， ……………7分()f x 的最小正周期为π……………8分（Ⅱ）因为5[π,0]12x ∈-，所以22[,]636x πππ+∈-，故]21,1[)62sin(-∈+πx ……………12分 因为()f x )62sin(2π+=x ，所以()f x 在5[π,0]12-的值域是 ]1,2[- ……………14分19．解：（Ⅰ）解法1：连BD ，令F BD AC =I ，BC Θ∥AD ，1=BC ，2=AD ，21==∴AD BC FD BF ………3分 又PD PE 31=FDBF ED PE ==∴21PB ∴∥EF ， ………5分 且⊄PB 面ACE ，⊂EF 面ACE ，∴PB ∥平面ACE . ………7分（Ⅰ）解法2：过A 作⊥AZ 面ABCD ，以A 为原点，如图建系.由题意求得3=PC ，()0,0,1B ∴，()3,1,1P ，()3,1,0=∴BP .()0,1,1C ，)0,2,0(D ，设()z y x E ,,，由PD PE 31=， 得⎪⎪⎭⎫⎝⎛332,34,32E . ………3分令面ACE 的一个法向量为()z y x n ,,=ρ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AE n AC n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=+033234320z y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧=-=∴x z x y 31令3=x ， 则3-=y ，1=z ，()1,3,3-=∴n ρ，0=⋅∴n BP ………6分且⊄PB 平面ACE ，∴PB ∥平面ACE . ………7分（Ⅱ）解1（空间向量坐标法）：以A 为原点，如图建系，由题意求得3=PC ，()0,0,1B ∴，()3,1,1P ，()3,1,0=∴BP .……10分()0,1,1C ，()0,2,0D ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∴23,23,21E ，令面ACE 的一个法向量为()z y x n ,,=ρ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AE n AC n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=+02323210z y x y x ， ⎪⎩⎪⎨⎧=-=∴x z xy 32，令3=x ，则3-=y ，2=z ，()2,3,3-=∴n ρ. ………12分∴直线PB 与平面ACE 所成角的正弦值20301023,cos sin ==><=n BP θ. ………15分（Ⅱ）解2（传统几何法）：作PD E P 31='，由（Ⅰ）知PB ∥F E '， PB ∴与面ACE 所成角的正弦值等于F E '与面ACE 所成角的正弦值，不妨设为θsin . ………8分由题意易求得2==CD AC ，又2=AD ，CD AC ⊥∴，又CP AC ⊥，C CD CP =I ⊥∴AC 平面PCD ，即⊥AC 平面E CE '. ………10分求得3=PC ,5=PD 56=∴CE ，12661==∴'PCD E CE S S ∆∆，41021=⋅=∴CE AC S ACE ∆ ………12分 由ACE E E CE A V V -''-=得212631⋅⋅＝ACE E d -'⋅⋅41031，30302=∴-'ACE E d ，又3432=='PB E F ，2030sin =∴θ ………15分20.解：（Ⅰ）因为11(1)(2)n n a a n n +-=++1112n n =-++ ………3分所以n a 112211()()()n n n n a a a a a a a ---=-+-++-+L1111(1)(1)232n n n n =+++-+-⨯L111111111232n n n n =-+-++--+-L 11n =-+ ………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得135()3n n nb t a --=-13(55)3n n t --=++ ………8分设55x k t =++，则k b 133k x --=⋅，1k b +3(5)3k x -=+，2k b +13(10)3k x +-=+①若1k b +为k b 与2k b +的等比中项，则2(10)(5)x x x +=+，无解 ………10分②若k b 为1k b +与2k b +的等比中项，则23(5)(10)x x x =++，即2215500x x --=，所以10x =或52x =-， 所以5510k t ++=，因为,k t 均为正整数，所以不存在这样的,k t 值………12分③若2k b +为k b 与1k b +的等比中项，则23(5)(10)x x x +=+，即2251000x x --=， 方程无整数根………14分 综上可知，不存在这样的,k t 值………15分21．解：（Ⅰ4=≥=，所以42=，即2p = 所以抛物线C 的方程是24y x = …………5分（Ⅱ）设200(,)4y P y ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y设:PA l x my t =+，代入24y x =得0442=--t my y ，则014y y t =-同理可得028y y t =-…………8分又1212:()4AB l y y y x y y +=+，所以2212|||4y y AB -=P 到直线AB l的距离是2001212()||y y y y y y h -++=所以ABPS ∆2220012121212()1||||8y y y y y y y y y y -++=-+2001212121|()|||8y y y y y y y y =-++- 2202001324|12|||8t ty t y y =++2020032122y t y t y t ++= …………12分 设231232(),(0)t t f y y y y y=++>，则=)('y f 22412961t t y y --42241296y y t t y --= 所以当))336(,0(t y +∈，)(y f 单调递减，当),)336((+∞+∈t y ，)(y f 单调递增，所以当t y )336(+=，ABP S ∆取到最小值，同理0<y，所以当y =ABP S ∆取到最小值，此时))3326(,2333(t t P +±+ …………15分 22．解：（Ⅰ）因为()xxaf x e ex-'=--在(0,)+∞上递增，所以1()202f a '=<，1(1)0f e a e '=-->，又2a N a ∈≥，所以2a = …………5分 （Ⅱ）首先当1x =时，12ln (3,4)xxe ex e e --+-=+∈，又因为b Z ∈，所以3b ≤ …………7分其次，我们可以证明不等式：22(0)xxe e x x -+≥+>设2()2(0)x xg x e ex x -=+-->，则()2x x g x e e x -'=--，()20x x g x e e -''=+->恒成立所以()2(0)0xxg x e e x g -''=-->=恒成立，所以2()2(0)0x x g x e e x g -=+-->=恒成立所以22(0)xxe ex x -+≥+>成立 …………11分综合上面的结果可知，22ln 22ln xxe ex x x -+-≥+-设2()22ln h x x x =+-，则2()2h x x x'=-，所以当)1,0(∈x 时，)(x h y =单调递减，当),1(+∞∈x 时，)(x h y =单调递增，所以2()22ln (1)3h x x x h =+-≥=，所以2ln 3x xe e x -+-≥恒成立，所以b 的最大值是3 …………15分。
浙江省稽阳联谊学校2023届高三下学期4月联考数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1. 的一个必要不充分条件是（ ）A．B．C．D．2. 若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（ ）A．B ．945C ．2835D．3. 已知的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，，，，则（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44. 若集合，，则等于（ ）A．B．C．D．5. 在等比数列中，若，则（ ）A．B．C．D ．16. 以下数据为某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．这10人成绩的第百分位数是85，则（ ）A ．65B ．70C ．75D ．807.若是函数的一个零点，则（ ）A ．5B ．4C ．3D ．28. 已知双曲线的左右焦点分别为，，过点且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A 、B 两点，，分别交y 轴于M 、N两点，若△的周长为8，则取得最大值时该双曲线的离心率为（ ）A．B．C ．2D ．39.在正方体中，点P在线段上运动，则下列命题正确的是（ ）A ．异面直线和所成的角为定值B ．直线和平面相交C ．三棱锥的体积为定值D ．直线和直线可能相交10. 已知且，，则下列说法中错误的是（ ）A．B ．若关于b 的方程有且仅有一个解，则C ．若关于b 的方程有两个解，，则D ．当时，11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．当时，函数在定义域内是减函数B ．存在一个实数，使得函数满足C ．对于任意的实数，函数无极值点D．当时，若曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，则浙江省稽阳联谊学校2023届高三下学期4月联考数学试题 (2)浙江省稽阳联谊学校2023届高三下学期4月联考数学试题 (2)三、填空题四、解答题12. 已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，．则下列选项成立的是（ ）A．B．C ．若，则D ．若，则13. 已知，则_______．14.已知抛物线的焦点为，准线方程为，则__________；设为原点，点在抛物线上，若，则__________.15. 若方程表示圆，则的取值范围为________.16. 已知函数,将向右平移个单位长度,得到函数的图象.（1）求函数的解析式及最小正周期；（2）求函数的单调递增区间,并求出当时函数的值域.17.设函数.（1）已知函数,求的极值；（2）已知函数,若存在实数,使得当时,函数的最大值为,求实数的取值范围.18. 在△中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．(1)求角；(2)若，求的最小值．19.如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，平面平面，，，，为的中点.(1)求证：平面；(2)求到平面的距离20. 已知a 为实数，.（1）求导函数；（2）若，求函数在区间上的最大值和最小值；（3）若函数在区间和上都是单调递增的，求实数a 的取值范围.21. 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名．(1)试问此次参赛学生总数约为多少人？(2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可供查阅的（部分）标准正态分布表01234567891.20.88490.88690.8880.89070.89250.89440.89620.89800.89970.9015 1.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.9177 1.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92780.92920.93060.93191.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97620.97672.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.9817 2.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857。
2022年浙江省稽阳联谊学校高考数学联考试卷(4月份)+答案解析(附后)
2022年浙江省稽阳联谊学校高考数学联考试卷（4月份）1. 已知全集，集合，，则( )A. B. C. D.2. 设复数z满足为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知，，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若实数x，y满足约束条件，则的最小值为( )A. 1B.C.D.5. 某几何体的三视图如图所示单位：，则该几何体的体积单位：是( )A. B. C. D. 126.函数的图像如图所示，则( )A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，7. 如图，在中，，，P为底边BC上的动点，，，沿折痕AP把折成直二面角，则的余弦值的取值范围为( )A. B. C. D.8. 设，，若，则的最大值为( )A. B. C. D.9. 已知椭圆与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，的外接圆半径为，则点在上．( )A. 直线B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线10. 已知数列满足，记数列的前n项和为，设集合，对恒成立，则集合N的元素个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 411. 祖晅，祖冲之之子，南北朝时代伟大的科学家，于5世纪末提出下面的体积计算原理：祖晅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等，那么两个几何体的体积相等．现有如图的半椭球体与被挖去圆锥的圆柱等高，且平行于底面的平面在任意高度截两几何体所得截面面积相等，已知圆柱高为h，底面半径为r，则半椭球的体积是______.12. 已知，则______；若，则______.13. 在中，，，点D在线段AC上，满足，则______，的面积为______.14. 盒中有红球、黄球、蓝球各两个，从中随机取球，则至少取______球才能保证取到同色球：若每次取1个，不放回，直到取到同色球为止．设此过程中取出球的颜色数为X，则______.15. 已知，函数若，则______.16. 已知，是椭圆的上、下焦点，过点且斜率大于零的直线l交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率为______，直线l的斜率为______.17.已知平面向量，满足，与的夹角为，则的取值范围是______.18. 已知函数求函数在区间上的值域；若，且，求19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，，若M为PA中点，求证：平面PDC；若为正三角形，且，求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．20. 设首项为a的等比数列的前n项和为，若等差数列的前三项恰为，，求数列，的通项公式；用字母a表示令，若对恒成立，求实数a的取值范围．21. 如图，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，且，直线交抛物线于B，C两点点在第一象限，过点C作y轴的垂线分别交直线OA，OB于点P，Q，记，的面积分别为，求的值及抛物线的方程；当时，求的取值范围．22. 已知函数的导函数为记，讨论函数的单调性；若函数有两个极值点，求证：；若，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为全集，集合，，则故选：由已知结合集合的补集与交集的运算即可求解．本题主要考查了集合的交集与补集的运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由题意得，则复数z在复平面内对应的点在第四象限．故选：先对已知复数进行化简，然后结合复数的几何意义可求．本题主要考查了复数的四则运算及复数的几何意义的应用，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：，，若，则，此时，成立，若，则，但a与b的大小不确定，此时不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：由已知结合指数函数与对数函数的性质分别检验充分性与必要性即可判断．本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了指数函数与对数函数性质的应用，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：实数x，y满足约束条件，如图所示可行域，的几何意义是到可行域内的点的距离．结合图象，z的最小值可看作原点到直线的距离d，根据点到直线的距离可得，故选：画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．本题考查线性规划的简单性质，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．5.【答案】C【解析】解：原图为如图所示的多边体，即，所以故选：根据三视图判断几何体的形状，利用空间几何体的体积公式进行求解即可．本题考查由三视图求体积，考查学生的空间想象能力及运算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：由图象可知函数为偶函数，，即，解得，，，存在，使得，、，故选：根据函数的奇偶性和函数值的特点即可判断．本题考查了函数图象的识别和应用，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：在正中，当P位于点B时，，当P位于BC中点时，所以故选：利用特殊图形，极端原理，分两种情况进行分析即可．本题考查二面角，考查学生的运算能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：设，则，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，解得，则故选：由已知考虑换元，把已知等式进行变形后利用基本不等式可求ac的取值范围，进而可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是根据已知条件进行合理的变形，配凑基本不等式的应用条件，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：设，则联立椭圆与抛物线可得：，①由已知条件可得：的外心必在x轴上，故可设其外心，由得：，所以，代入①可得：，所以点在双曲线上，故选：根据椭圆和抛物线的对称性，结合三角形外心的性质、双曲线的定义进行求解即可．本题考查椭圆的标准方程、双曲线的标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．10.【答案】B【解析】解：令，解得，即数列的不动点为2，其生成函数为，所以，作出函数与函数的图像如图：故由蛛网图：，，即，又，，一方面，由得，，，且当，，，，，另一方面，由，得，又，，又当，必须大于等于，，，所以集合N的元素个数是2，故选：由题知，进而得，故一方面，结合得，进而得，另一方面，根据得，进而得，即可得，进而得答案．本题考查了数列与不等式的综合，属于难题．11.【答案】【解析】解：依题意可得，故答案为：依题意半椭球的体积即为圆柱的体积减去圆锥的体积，根据体积公式计算可得半椭球的体积．本题主要考查空间几何体体积的计算，空间想象能力的培养，立体几何中的数学文化等知识，属于中等题．12.【答案】n 6【解析】解：令，则，则，，解得故答案为：令，求出，再根据，化简整理即可求出本题考查了二项式定理的应用，以及组合数公式，属于中档题．13.【答案】【解析】解：，，，又，，，，，，的面积为故答案为：；在中，运用正弦定理，即可求出，再结合诱导公式，以及正弦函数的两角和公式，即可求解．本题主要考查正弦定理的应用，考查转化能力，属于中档题．14.【答案】【解析】解：因为盒中有红球、黄球、蓝球各两个，故要保证取到同色球至少取4个球；由题可知X的所有可能取值为：1，2，3；，故，故答案为：由题可知保证取到同色球至少取4个球，X的所有可能取值为：1，2，3，再利用古典概型概率公式及排列组合求相应概率，利用期望公式即得．本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．15.【答案】或【解析】解：由题意得，当时，，所以，即，，由于，所以，当时，，则或舍，综上，或故答案为：或由已知先求出，然后结合已知函数解析式对a进行分类讨论可求，进而可求本题主要考查了分段函数的函数值的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．16.【答案】【解析】解：设，则，，由得，由余弦定理得，即，整理得，所以，，则，，所以为等腰三角形，O为的中点，则，AO平分，又，所以，所以，，所以，故答案为：，设，由椭圆定义结合余弦定理可求可表示a，b，c，然后结合椭圆性质即可求解．本题主要考查了椭圆定义，椭圆性质及余弦定理的综合应用，属于中档题．17.【答案】【解析】解：与的夹角为，即与的夹角为，记，则，因为，所以，设H为AB中点，则，所以，由正弦定理得外接圆的半径，则，所以，点N在以AB为弦，半径长为的圆P的优弧AB上，所以，，因为，所以，所以的取值范围为故答案为：由题知，与的夹角为，进而记，故点N在以AB为弦，半径长为的圆P的优弧AB 上，进而得，再根据几何意义即可得答案．本题考查了平面向量数量积的应用，属于中档题．18.【答案】解：，由得，所以，所以，故在区间上的值域为；因为，且，所以所以，因为，若，则，不符合题意；所以，所以，【解析】先利用二倍角及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求；由已知先求，然后结合同角平方关系及二倍角公式即可求解．本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了同角平方关系的应用，属于中档题．19.【答案】证明：取PD中点N，连接MN，NC，因为M为PA中点，所以，因为，所以，，所以四边形MNCB为平行四边形，所以，因为平面PDC，平面PDC，所以平面PDC；解：取AD的中点E，BC的中点F，连接PE，PF，EF，因为为正三角形，四边形ABCD为等腰梯形，所以，，，所以平面PEF，因为，所以平面PEF，因为平面PEF，所以，所以，因为在等腰梯形ABCD中，，，所以，因为为正三角形，，所以，所以在中，由余弦定理得，因为，所以，作，交FE的延长线于点G，连接GC，因为平面PEF，平面PEF，所以，因为，所以平面ABCD，所以为直线PC与平面ABCD所成的角，在中，，因为所以，所以直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为【解析】取PD中点N，连接MN，NC，则可得四边形MNCB为平行四边形，所以，然后由线面平行的判定定理可证得结论，取AD的中点E，BC的中点F，连接PE，PF，EF，则平面PEF，从而平面PEF，得，再根据已知条件在中，利用余弦定理可求得，作，交FE的延长线于点G，连接GC，则可得为直线PC与平面ABCD所成的角，在直角中可求得答案．本题考查线面角，考查学生的运算能力及分析能力，属于中档题．20.【答案】解：设等比数列的公比为q，依题意有，故，所以，即，解得，所以，又，所以公差，所以；解：，令，则，，所以，所以，由题意，对都有，即恒成立，令，则时，，故时，数列递减，又，故，所以，即a的取值范围为【解析】根据等差中项公式及等比数列求和公式可得，从而即可求解数列，的通项公式；利用错位相减法求出数列的前n项和，进而可得恒成立，令，判断的单调性，求出其最大值，从而即可求解．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式以及数列与不等式的综合，属于中档题．21.【答案】解：，，，设，，因为直线，则，直线OB的方程为：，，联立方程组，消去y可得，，，，，，，，又，，，故【解析】利用定义即得；分别将两个三角形的面积转化为坐标表示，结合韦达定理即得．本题考查抛物线的性质，考查学生的运算能力，属于中档题．22.【答案】解：由题意知，，则，当时，，在R上单调递增；当时，令，得，令，得，在单调递减，在单调递增；综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；证明：依题意知，有两个零点，，由知应有，所以，，，，又，令，则，，即，又，，综上，；，即，令，故有，解得，且，则，化简可得①，因，即，代入①得，，即，，令时，单调递增，且，单调递增，故在时单调递增，代入化简得，故实数a的取值范围为【解析】对求导得到，再对求导，分及讨论与0的关系，即可得到单调性情况；利用零点存在性定理直接证明即可；令，可得，且，则，结合，进一步可得，而在时单调递增，由此即可得解．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于难题．。
2019届浙江省稽阳联谊学校高三下学期4月联考试卷数学参考答案
2019 年4 月稽阳联考数学参考答案一、选择题ABABA CCDDB二、填空题11． 2 12．1， 2 13．7 ，127 14．35，2102515．三、解答题，5412516．1517．a 0或a1218．解：（Ⅰ）( ) 4cos sin( )f x x x a63 14cos x( sin x cos x) a2 23 sin 2x cos 2x 1 a 2sin(2 x ) 1 a ⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分6所以a 3 2，即a 1，⋯⋯⋯⋯⋯7 分f (x) 的最小正周期为⋯⋯⋯⋯⋯8 分（Ⅱ）因为5x [ π,0] ，所以122 12x [ , ] ，故sin( 2x) [ 1, ] ⋯⋯⋯⋯⋯12 分6 3 6 6 2因为 f (x) 2 x )，所以 f (x) 在sin( 265[ π,0]12的值域是[ 2 ,1] ⋯⋯⋯⋯⋯14分19．解：（Ⅰ）解法1：连B D ，令AC BD F ，BC ∥AD ，BC 1，AD 2，B FFDB CAD12⋯⋯⋯ 3分1又PE PD3 P EED12B FFDPB ∥EF ，⋯⋯⋯ 5分且PB 面ACE ，EF 面ACE ，PB ∥平面ACE. ⋯⋯⋯7 分（Ⅰ）解法2：过A作AZ 面ABCD，以A为原点，如图建系.由题意求得PC 3 ， B 1,0 ,0 ，P 1,1, 3 ，BP 0 ,1, 3 .1C 1,1, 0，D( 0,2,0) ，设E x, y, z ，由PE PD3，得2 4 2 3E , , . ⋯⋯⋯ 3 分3 3 31n 令面 ACE 的一个法向量为 nx, y, z ，则n A C AE 0，即 2 3x x 4 3 yy 2 0 3 3 z 0 y z x1 令 x 3 ，x3则y3 ， z 1， n3, 3,1 ， BP n 0⋯ ⋯ ⋯ 6 分 且 PB平面 ACE ，PB ∥平面 ACE .⋯ ⋯ ⋯ 7 分（Ⅱ）解 1（空间向量坐标法） ：以 A为原点，如图建系，由题意求得PC3 ， B 1,0 ,0 ， P 1 ,1, 3 ， BP 0,1, 3. ⋯ ⋯ 10 分C 1,1 ,0 ，D 0,2,01 3 3E , , ，令面 ACE 的一个2 2 2n 法向量为 nx, y, z ，则 n A C AE 0，即 1 2xx 3 2y y 0 3 2 z ， 0y z x2 ，令 x3 ，则y 3 ， z 2， n 3, 3,2 .⋯ ⋯ ⋯ 12 分x3直线P B 与平面ACE 所成角的正弦值330sincos BP, n.⋯ ⋯ ⋯ 15分2 10201 （Ⅱ）解 2（传统几何法） ：作 PEPD 3，由（Ⅰ）知 PB ∥ E F ， PB 与面 ACE 所成角的正弦值等于E F 与面 ACE 所成角的正弦值，不妨设为 sin . ⋯ ⋯ ⋯ 8 分由题意易求得 ACCD2 ，又 AD 2， ACCD ，又 AC CP ，CP CD CAC平面 PCD ，即 AC 平面 CEE .⋯ ⋯ ⋯ 10 分求得 PC3 , PD56CE，516S CES，EPCD6 12110S ACEAC CE ⋯ ⋯ ⋯ 12 分24由16V AV得2 CEEE ACE3 12110 ＝d EACE 3 4， 2 30d，E ACE30又2 4FEPB ，3330sin⋯ ⋯ ⋯ 15分2020.解：2（Ⅰ）因为aan 1n1(n 1)( n 2)11 n 1 n 2⋯ ⋯ ⋯ 3分所以 a(a n a n 1 ) (a n 1 a n 2)(a 2 a 1 ) a 1n1 1 1 1n(n 1) (n 1)n2 3 211 1 11 1 1 n n 1 n 1 n2 3 21 n 1⋯ ⋯ ⋯ 7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得5 b(t)3nann 31n 1 3(5n t 5)3⋯ ⋯ ⋯ 8分k 1kk 1设x 5k t 5，则bk3x 3 ， b k 13(x 5)3 ， b k2(x 10)33①若2b 为 b k 与 b k 2 的等比中项，则x(x 10) (x 5) ，无解⋯ ⋯ ⋯ 10分k 1②若2b 为 b k 1与 b k 2 的等比中项，则3x(x 5)( x 10) ，即k22x 15x 50 0 ，所以 x10 或 5x，2所以 5kt 5 10，因为 k,t 均为正整数，所以不存在这样的 k,t 值⋯ ⋯ ⋯ 12 分③若2b 为 b k 与 b k 1的等比中项，则3x(x 5) (x 10) ，即k 222x 5x 100 0 ，方程无整数根 ⋯ ⋯ ⋯ 14 分综上可知，不存在这样的 k,t 值⋯ ⋯ ⋯ 15 分21．解： （Ⅰ）因为2222ppp p p 3p22| |() PFx，所以1621641643p 3 42，即 p 2所以抛物线C 的方程是24 yx ⋯ ⋯ ⋯ ⋯5 分2 0y（Ⅱ）设P (, y ) ，42y1A( , y ) ， 142 2yB( , y )24设 :lx my t ，代入 PA24 2 my t yx 得 y 4 4 0 ，则y 0 y 14t同理可得y0 y2 8t ⋯⋯⋯⋯8分又l : (y y )y4x y y ，所以AB 1 2 1 22 2 2(y y ) y y1 2 1 2 | AB| 1 | |16 43P 到直线l AB 的距离是h2y y (y y ) y y0 0 1 2 1 2 | |y y1 212( y y )1 216所以SABP 182y y ( y y ) y y0 0 1 2 1 2 2 2| || y y |1 2y y1 2182| y y (y y ) y y || y y |0 0 1 2 1 2 1 221 32t 4t2| y 12t || |0 28 y y0 02t 12t 32ty0 22 y y0 0⋯⋯⋯⋯12分212t 32t设f ( y) y ,( y 0)3y y ，则f( )' y' y1212t 96t2 4y y4 2 2y 12y t 96t4y所以当y (0, (6 33)t ) ，f (y) 单调递减，当y ( (6 33)t , ) ，f ( y) 单调递增，所以当y (6 33)t ，S 取到最小值，同理y0，所以当y (6 2 33)t 时，ABP S 取到最小值，ABP3 33此时, (6 2 33) )P( t t ⋯⋯⋯⋯15分222．解：x x a（Ⅰ）因为f(x) e ex在(0, ) 上递增，所以1 1f ( ) e 2a 02e，1f (1) e a 0e，又a N，a 2所以a 2 ⋯⋯⋯⋯5分（Ⅱ）首先当x 1时，x x 1e e 2ln x e e (3, 4) ，又因为b Z ，所以b 3 ⋯⋯⋯⋯7分其次，我们可以证明不等式：x x2 2( 0)e e x xx x 2 x x x x设g(x) e e x 2( x 0) ，则g (x) e e 2x ，g (x) e e 2 0恒成立x x所以( ) 2 (0) 0g x e e x g 恒成立，所以x x 2g( x) e e x 2 g (0) 0 恒成立所以x x 2 2( 0)e e x x 成立⋯⋯⋯⋯11分综合上面的结果可知，x x 2e e 2ln x x 2 2ln x2设h ( x) x 2 2ln x ，则h (x) 2x2 x，所以当 x (0 ,1) 时，y h(x)单调递减， 当 x (1,)时， y h(x)单调递增，所以2xxh(x) x 2 2ln x h(1) 3，所以 e e 2ln x 3 恒成立，所以 b 的最大值是3⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 15 分4。
浙江省稽阳联谊学校2022-2023学年高三上学期11月联考数学试题
若 为等比数列，则 ，得 ，
即“ ”是“ 为等比数列”的充要条件.
故选：A.
4.中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为 ， 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为 ，则该几何体的表面积为（）
【详解】易知点 ，过点 的直线与 轴重合，此时直线与抛物线 相交于原点，不合乎题意；
设过点 的抛物线 的切线方程为 ，
联立 可得 ，因为 ，所以 .
又因为 为切点，所以 ，得点 的坐标为 .
对于A选项， ，所以， ， ，
则 ，A错；
对于B选项， ，B对；
对于CD选项，线段 的中点的坐标为 ，因为 ，且 ，
A. B.
C. D.
12.过点 向抛物线 作一条切线，切点为 ， 为抛物线的焦点， ， 为垂足，则（）
A. B.
C. D. 在 轴上
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知 （其中 为虚数单位），则 ___________.
14.如图，一根绝对刚性且长度不变､质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动.沙漏摆动时离开平衡位置的位移 （单位： ）与时间 （单位： ）满足函数关系 ，若 的函数图象如下图所示，则 ___________.
故选：C.
7.在 中， 是边 上一点，将 沿 折起，得 ，使得平面 平面 ，当直线 与平面 所成角正弦值最大时三棱锥 的外接球的半径为（）
A. B. C. D.
浙江省稽阳联谊学校2024届高三上学期11月联考数学试题含解析
2023年11月稽阳高三联考数学试题卷（答案在最后）考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合01x A x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，112B x x ⎧⎫=->⎨⎩⎭，则A B ⋃=（）A.1,12⎛⎫⎪⎝⎭B.()3,1,2⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭C.13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】解出分式不等式和绝对值不等式，根据并集含义即可得到答案.【详解】(){}{}010011xA xx x x x x x ⎧⎫=<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭，112x ->即112x ->或112x -<-，解得12x <或32x >，则1{|2B x x =<或3}2x >，则()3,1,2A B ⎛⎫-∞⋃+∞⋃ ⎝=⎪⎭，故选：B.2.已知复数z 满足()12i 3i z -=+，则z z ⋅=（）A.175i+ B.45C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】根据复数除法运算结合共轭复数的概念即可.【详解】由题意得3i (3i)(12i)17i12i (12i)(12i)5z ++++===--+，则17i 17i 5025525z z -+⋅=⋅==，故选：C.3.已知平面向量a ，b ，c 均为单位向量，则“3a b c +-= ”是“a 与b共线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用向量加法的三角形不等式，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】平面向量a ，b ，c 均为单位向量，则||||||||3a b c a b c +-≤++= ，当且仅当,,a b c -同向共线时取等号，则当3a b c +-= 时，a 与b 共线，反之，a 与b共线并且方向相反时，1a b c +-= ，所以“3a b c +-= ”是“a 与b共线”的充分不必要条件，A 正确.故选：A4.我国魏晋时期的数学家刘徽创造性的提出了“割圆术”，刘徽认为圆的内接正n 边形随着边数n 的无限增大，圆的内接正n 边形的周长就无限接近圆的周长，并由此求得圆周率π的近似值．如图当6n =时，圆内接正六边形的周长为6r ，故6π2rr≈，即3π≈．运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（）A.12n =时，π12sin15≈B.12n =时，π6sin15≈C.12n =时，π12cos15≈D.12n =时，π24cos15≈【答案】A 【解析】【分析】求出正十二边形的周长L ，可得出π2Lr≈，即可得解.【详解】设圆的内接正十二边形被分成12个如图所示的等腰三角形，其顶角为30 ，即30AOB ∠= ，作OH AB ⊥于点H ，则H 为AB 的中点，且15AOH ∠=，因为OA OB r ==，在Rt AOH △中，sin AH AOH OA∠=，即sin15AH r =，所以，sin15AH r = ，则22sin15AB AH r == ，所以，正十二边形的周长为122sin1524sin15L r r =⨯⨯=，所以，24sin15π12sin1522L r r r≈==.故选：A.5.已知等比数列{}n a 满足2342a a a +=，()()235111a a a ++=-，则1a 的值不可能．．．是（）A.2-B.14C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据题意求出首项和公比即可得解.【详解】设公比为()0q q ≠，由2342a a a +=，()()235111a a a ++=-，得()()23111241112111a q a q a qa q a q a q ⎧+=⎪⎨++=-⎪⎩，解得112q a =-⎧⎨=-⎩或111q a =-⎧⎨=⎩或121q a =⎧⎨=⎩或1214q a =⎧⎪⎨=⎪⎩.故选：D .6.第33届夏季奥运会预计在2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等5个表演项目．现有三个场地A ，B ，C 分别承担竞赛项目与表演项目比赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能A ，B 两地承办，且各自承办其中一项.5个表演项目分别由A ，B ，C 三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（）A.150种 B.300种C.720种D.1008种【答案】B【解析】【分析】根据组合数与排列数的计数方法，结合分类分步两个基本原理求解即可得的答案.【详解】首先电子竞技和冲浪两个项目仅能,A B 两地举办，且各自承办其中一项有22A 2=种安排；再次5个表演项目分别由,,A B C 三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目则有3211253534C A C C C 150+=种，故总数为2150300⨯=种不同的安排方法.故选：B.7.已知()()221x x b f x b -=∈+R 是奇函数，实数m 、n 均小于1，e 2.71828= 为自然对数底数，且22log 2e 1e m b -+-=，22log 4e 14e n b -+-=，则（）A.0m n <<B.0n m << C.01m n <<< D.01n m <<<【答案】B 【解析】【分析】利用函数奇偶性的性质可得出1b =，由已知可得出()22log 1e 1m -=-，()22log 12e 1n -=-，由()()22e 12e 1-<-结合对数函数的单调性可得出11m n -<-，可得出()()20m n m n -+-<，可得出n m <，并推导出1m <-、1n <-，即可得解.【详解】对任意的x ∈R ，210x+>，则函数()()221x x bf x b -=∈+R 的定义域为R ，因为函数()()221x x b f x b -=∈+R 为奇函数，则()1002b f -==，可得1b =，所以，()2121x x f x -=+，()()()()22121122112221x xx xx xx x f x f x --------====-+++，则函数()f x 为奇函数，合乎题意，因为22log 12e 1e m -+-=，22log 14e 14e n -+-=，则()222log 1e 2e 1e 1m -=-+=-，()222log 14e 4e 12e 1n -=+=--，因为()()22e 12e 1-<-，则22log 1log 1m n -<-，所以，11m n -<-，即()()2211m n -<-，即22220m m n n --+<，即()()20m n m n -+-<，因为1m <，1n <，则2m n +<，则20m n +-<，故0m n ->，即n m <，又因为()22log 1e 11m -=->，即12m ->，可得12m -<-或12m ->，则1m <-或3m >，即1m <-，同理可知，1n <-，故0n m <<.故选：B.8.椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，过点F 的倾斜角为45 的直线l 交椭圆Γ于点M ，N （点M 在x 轴的上方）．若AMF 为等腰直角三角形，则椭圆Γ的离心率是（）A.1- B.12C.2D.34【答案】C 【解析】【分析】求出,22a c a c M -+⎛⎫⎪⎝⎭，代入椭圆方程化简得到关于e 的方程，解出即可.【详解】显然90AMF ︒∠=，则由题意得2M a c x -=，则22M a c a cy a -+=-=，又因为点,22a c a c M -+⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆Γ上，所以2222()()144a c a c a b -++=，即()22222()()144a c a c a a c -++=-，即()22()()144a c a c a a c -++=-，根据c e a=得2(1)1144(1)e e e -++=-，整理得323220e e e --+=.所以()2(1)420e e e +-+=，解得2e =，(其中21,10e e =+>=-<均舍去)，故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数()()πsin 210,2f x A x A ϕϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的x ∈R 恒成立，则（）A.()f x 的一个周期为π2B.()f x 的图像关于直线2π3x =-对称C.()f x 在区间5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有1个极值点 D.()f x 在区间5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，求得最小正周期即可判断；对于B ，由题意求得π6ϕ=-，检验2π3x =-πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是否为1±即可判断；对于CD ，由5ππ,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得π11π7π2,366x ⎡⎤-∈⎢⎣⎦，从而可得()f x 在区间5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，没有极值点，即可判断.【详解】对于A ，()f x 的最小正周期2ππ2T ==，A 错；对于B ，因为()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的x ∈R 恒成立，所以当π3x =时，()f x 取得最大值，所以ππ22π,Z 32k k ϕ⨯+=+∈，解得π2π,Z 6k k ϕ=-+∈，又因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以()πsin 216f x A x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以当2π3x =-时，π4ππsin 2sin 1636x ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图像关于直线2π3x =-对称，B 对；对于CD ，因为5ππ,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π11π7π2,366x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，没有极值点，C 错D 对.故选：BD.10.已知()()P A P A =，()()||P B A P B A >，则（）A.()()P B P A >B.()()P A B P A B⋅>⋅C.()()||P A B P A B > D.()()P A B P A B⋅<⋅【答案】BD 【解析】【分析】根据对立事件的性质结合已知可得()()12P A P A ==，利用条件概率公式和全概率公式推导可判断ABD ；举特例可判断C.【详解】由对立事件性质知，()()1P A P A +=，又()()P A P A =，所以()()12P A P A ==，因为()()||P B A P B A >，所以()()()()P BA P BA P A P A >，所以()()P BA P BA >，B 正确；又因为()()()()()()P AB P AB P A P A P AB P AB +===+，所以()()()()0P AB P AB P AB P AB -=-<，得()()P AB P AB <，D 正确；由()()P BA P BA >，()()P AB P AB <得()()()()P AB P AB P AB P AB +>+，则()()P B P B >，又()()1P B P B +=，所以()()12P B P B >>，故()()P B P A <，A 错误；以掷一颗骰子为例，不妨记事件A ：掷出的点数为奇数；事件B ：掷出的点数为1点或3点.则A ：掷出的点数为偶数；B ：掷出的点数为2点或4点或5点或6点.易知，()()()()112,,233P A P A P B P B ====，()()()()111,0,,362P AB P AB P AB P AB ====，所以()()()()()()1|,|03P BA P BA P B A P B A P A P A ====满足题设()()P A P A =，()()||P B A P B A >，但()()()()()()1|0,|4P AB P AB P A B P A B P B P B ====，故C 错误.故选：BD11.在底面为菱形的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 为1CC 中点，点Q 满足1DQ DB DD λμ=+，()0,1λ∈，()0,1μ∈（）A.当1λμ+=时，1B Q AC ⊥B.当1λμ+=时，11B Q A C ⊥C.当12λμ+=时，//PQ 平面11AC D D.当12λμ+=时，//PQ 平面11AB D 【答案】AC 【解析】【分析】根据共面向量定理和共线向量定理结论结合线面垂直的判定、面面平行的判定和性质一一分析即可.【详解】由题意得三向量共面，当1λμ+=，根据共线向量定理的结论知1Q BD ∈（不与边界点重合），因为底面为菱形的直四棱柱，AC BD ⊥，1DD ⊥底面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，又因为1,BD DD ⊂平面11BDD B ，1BD DD D = ，所以AC ⊥平面11BDD B ，因为1B Q ⊂平面11BDD B ，所以1AC B Q ⊥，故A 正确；对B ，若11B Q A C ⊥，且由A 知1AC B Q ⊥，又因为1,AC AC ⊂平面11AA C C ，且1AC C AC ⋂=，所以1B Q ⊥平面11AA C C ，根据A 中的同样方法可证明11B D ⊥平面11AA C C ，则111//B Q D B ，显然不可能，故B 错误；对C ，当12λμ+=时，设BD 的中点为O ，1DD 的中点为M ，则22M DQ DO D λμ=+，则根据()21λμ+=可知Q OM ∈（不包含边界），根据中位线可知1//OP AC ，1AC ⊂平面11AC D ，OP ⊄平面11AC D ，所以//OP 平面11AC D ，同理根据11//PM C D 可得//PM 平面11AC D ，因为OP PM P = ，且,OP PM ⊂平面OPM ，所以平面//OPM 平面11AC D ，因为PQ ⊂平面OPM ，所以//PQ 平面11AC D ，故C 正确；对D ，由平面11AB D 与平面11AC D 相交，所以平面11AB D 与平面OPM 相交，则无法得到//PQ 平面11AB D ，故D 错误.故选：AC.12.已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其导函数分别为()f x '，()g x '，()()6f x g x =-'，()()161f x g x -=++'，且()2g x -为奇函数，则（）A.()02g =B.()()2f x f x +'='C.()()4g x g x +=D.()()()()113324f g f g +=【答案】ACD【解析】【分析】先根据条件分析出()g x '的周期性对称性，再得到()f x 的周期性的对称性，最后由求导得到()f x '和()g x 的周期性和对称性，代入求解即可.【详解】由题意得()()()()6161f x g x f x g x ⎧=-⎪⎨-=+'+'⎪⎩，所以()()()()161161f x g x f x g x ⎧-=--⎪⎨-+'=+'⎪⎩，两式相减可得()()11g x g x +=-'-'①，所以()g x '关于点()1,0中心对称，又因为()2g x -为奇函数，所以()()()222g x g x g x -=---=--+⎡⎤⎣⎦②，即()()4g x g x +-=，所以()g x 关于点()0,2中心对称，而()g x 定义域为R ，所以()g 02=，A 正确；②式两边对x 求导可得()()g x g x ''=-，所以()g x '是偶函数，以1x +替换①中的x 可得()()()2g x g x g x '''+=--=-，所以()()()42g x g x g x '''+=-+=，所以()g x '是最小正周期为4的周期函数，因为()()6f x g x =-'，所以()f x 也是最小正周期为4的周期函数，即()()4f x f x +=，两边求导可得()()4f x f x ''+=，所以()f x '也是最小正周期为4的周期函数，所以()()2f x f x +'='不恒成立，B 错误；由①得()()11g x g x C +=-+，令0x =，解得0x =，所以()()11g x g x +=-③，即()g x 关于直线1x =对称，以1x +替换③中的x 可得()()2g x g x +=-，由②可知()()4g x g x -=-，所以()()24g x g x +=-④，所以()()()442g x g x g x +=-+=，所以C 正确；由上可知()g x '关于点()1,0中心对称，所以()10g '=又因为()g x '是偶函数，所以()()110g g ''-==又因为()g x '是最小正周期为4的周期函数，所以()()310g g ''=-=，由条件()()6f x g x =-'可得()()()()16163636f g f g ⎧=-=⎪⎨=='-'⎪⎩，所以()()()()()()()()()11336163613f g f g g g g g +=+=+，由④知()()134g g +=，所以()()()()11336424f g f g +=⨯=，D 正确，故选：ACD【点睛】关键点睛：解决这类题的关键是熟练掌握对称与周期的关系，若关于两点（纵坐标相同）或者两条直线（平行于y 轴）对称，则周期为这两点或者这两条直线的距离的两倍，若关于一点和一直线（平行于y 轴）对称，则周期为这点和这条直线的距离的四倍.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知锐角θ满足1sin 3θ=；则ππsin(sin()44θθ+--=________．【答案】43##113【解析】【分析】根据给定条件，利用同角公式、和差角的正弦公式计算得解.【详解】锐角θ满足1sin 3θ=，则cos 3θ==，所以πππ4sin()sin(2cos sin 44433θθθ+--===.故答案为：4314.已知0a >，0b >，193a b -=，则128181ab a b++的最小值为________．【答案】29【解析】【分析】依题意得，21a b +=，则122181818181a b ab ab ab a b ab ab+++=+=+，由基本不等式求解即可.【详解】解：依题意得，2133a b -=，则21a b +=，故12212818181819a b ab ab ab a b ab ab +++=+=+≥=，当且仅当181ab ab=时等号成立，又21a b +=，解得1112,,或,3363a b a b ====，所以128181ab a b++的最小值为29.故答案为：29.15.已知抛物线2:4C x y =，圆222:(4)(0)M x y r r +-=>，若抛物线C 与圆M 有四个公共点，则r 的取值范围为________．【答案】()【解析】【分析】根据抛物线与圆的交点个数联立消元列不等式求解即可得r 的取值范围.【详解】联立方()222244x yx y r⎧=⎪⎨+-=⎪⎩消去x 整理得224160y y r -+-=因为抛物线C 与圆M 有四个公共点，所以()22Δ164164480rr=--=->，且2160r ->所以解得4r <<，则r的取值范围为().故答案为：().16.体积为111ABC A B C -中，2AB =，3AC =，则此三棱柱外接球的表面积的最小值为________．【答案】18π【解析】【分析】设直三棱柱111ABC A B C -的高为h ，ABC 外接圆的半径为r ，(),0,πBAC θθ∠=∈，直三棱柱111ABC A B C -外接球的的半径为R ，根据棱柱的体积可得7sin h θ=，利用正弦定理求出ABC 外接圆的半径，再利用勾股定理求出2R 的最小值，再根据球的表面积公式即可得解.【详解】设直三棱柱111ABC A B C -的高为h ，ABC 外接圆的半径为r ，(),0,πBAC θθ∠=∈，直三棱柱111ABC A B C -外接球的的半径为R ，则123sin 2h θ⨯⨯⋅=，所以sin h θ=，在ABC 中，由余弦定理可得49223cos 1312cos BC θθ=+-⨯⨯=-，则1312cos 2sin sin BC r θθθ-==，所以1312cos 2sin r θθ-=，所以22222221312cos 753cos 53cos 924sin 2sin sin 99cos h R r θθθθθθθ---⎛⎫=+=+==⋅ ⎪-⎝⎭，令()53cos ,2,8t t θ=-∈，则3cos 5t θ=-，则()222999916101629510t tR t t t t t ===≥=-+-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭，当且仅当16t t =，即4t =，即1cos 3θ=时取等号，所以此三棱柱外接球的表面积的最小值为94π18π2⨯=.故答案为：18π.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记ABC的内角A，B ，C 的对边分别为a ，b，c ，已知()223sin sin 2sin sin 8sin sin cos A C A C A C B +=+．（1）证明：2a c b +=；（2）若11cos 14B =，ABC ，求ABC 的周长．【答案】（1）证明见解析（2）15【解析】【分析】（1）根据正、余弦定理进行角换边即可证明；（2）首先求出sin B =，再结合三角形面积公式得21ac =，最后利用（1）中结论和余弦定理即可求出周长.【小问1详解】由正弦定理及余弦定理可得：()()22222222328242a c b a cac ac ac a c b ac+-+=+=++-化简得：22()42a c b a c b +=⇒+=.【小问2详解】因为11cos 14B =，且B 为三角形内角，sin B ∴==.11sin 22ABC S ac B ac ∴==⋅ ，所以21ac =.由余弦定理可得:2222cos a c b ac B =+-，所以22()2(cos 1)a c b ac B +-=+，112,cos ,2114a cb B ac +=== ，2211422117514b b ⎛⎫∴-=⨯⨯+= ⎪⎝⎭，即225,5b b ==，所以周长为315a c b b ++==.18.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面SAB ⊥平面ABCD ，2AB AS ==，SB =1AD =，G 为ABC 的重心，(1)SB SE λλ=>．（1）当直线//GE 平面SDC 时，求λ的值；（2）当32λ=时，求平面CAE 与平面DAE 的夹角的大小．【答案】（1）32λ=；（2）π4.【解析】【分析】（1）利用线面平行的性质，结合三角形重心定理求解即得.（2）在平面SAB 内作Ax AB ⊥，以点A 为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.【小问1详解】连接DB AC O = ，由四边形ABCD 是矩形，得O 是AC 中点，而G 为ABC 的重心，则点G 在线段DB 上，有2133BG BO BD ==，于是2DGGB=，由//GE 平面SDC ，GE Ì平面SDB ，平面 SDB 平面SDC SD =，得//GE DS ，因此2SE DGEB GB==，所以32λ=.【小问2详解】在SAB △中，32,2AB AS SB ===，则132cos 2SBSBA AB ∠==，有30SBA ∠= ，在平面SAB 内作Ax AB ⊥，由平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB 平面ABCD AB =，得Ax ⊥平面ABCD ，显然射线,,Ax AB AD 两两垂直，以点A 为坐标原点，射线,,Ax AB AD 分别为,,x y z 轴非负半轴，建立空间直角坐标系，由（1）知，33BE =，则3(0,0,0),(0,0,1),(0,2,0),(0,2,1),(,1,0)3A DBC E ，(0,0,1),(,1,0),(0,2,1)3AD AE AC === ，设平面DAE 的一个法向量为1(,,)n x y z = ，则11003n AD z n AE x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =，得1(n = ，设平面CAE 的一个法向量为2(,,)n a b c =，则222003n AC b c n AE a b ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令a =，得21,2)n =- ，设平面CAE 与平面DAE 的夹角为θ，因此121212||cos |cos ,|2||||n n n n n n θ⋅=〈〉===，从而π4θ=，所以平面CAE 与平面DAE 的夹角的大小为π4.19.电网公司将调整电价，为此从某社区随机抽取100户用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50350kw h ~⋅之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图．调价方案为：月用电量在kw h m ⋅以下（占总数的71%）的用户电价不变，月用电量在kw h m ⋅以上则电价将上浮10%．（1）求a 和m 的值；（2）若采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从月用电量不低于250kw h ⋅的用户中抽9户用户，再从这9户用户中随机抽取3户，记月用电量在区间[)300,350内的户数为ξ，试求ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）0.0044,225a m ==（2）分布列见解析，数学期望为1【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图利用频率之和为1可求得a 的值，结合百分位数的估计可得m 的值；（2）利用分层抽样得两组各抽取样本数，结合超几何分布求解概率即可得分布列，从而可求数学期望.【小问1详解】因为()500.00240.00360.00600.00240.00121a ⨯+++++=所以0.0044a =第一到第六组的频率依次为：0.12,0.18,0.30,0.22,0.12,0.06前三组频率之和为0.120.180.300.60++=，前四组频率之和为0.120.180.300.220.82+++=，则第71百分位数m 在[)200,250区间内，所以()0.120.180.302000.00440.71m +++-⨯=，解得225m =；【小问2详解】月用电量在[)250,300，[)300,350的频率分别为：0.12,0.06，据按比例分配的分层随机抽样可知：用电量在[)250,300，[)300,350的分别有6人，3人，从而ξ可取的值为：0，1，2，3.()()()()32112366363333339999C C C C C C 515310,1,2,3C 21C 28C 14C 84P P P P ξξξξ============故ξ的分布列为：ξ123P5211528314181则()515310123121281484Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=20.已知各项非零的数列{}n a ，其前n 项的和为n S 2n a c =+．（1）若0c =，证明：221n n a a +>；（2）是否存在常数c ，使得{}n a 是等差数列？若存在，求出c 的所有可能值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，18c =.【解析】【分析】（1）利用给定的递推公式，结合已知可得0n a >，再借助11n n n S S a ++-=推理即得.（2）假定存在，利用等差数列的通项公式建立关于n 的恒等式，再分析计算判断即得.【小问1详解】由0c =2n a =12a =，又数列{}n a 的首项不为零，则114a =，由20,0n n a a =≥≠，于是0n a >，由21214,4n n n n S a a S ++==，得1112240()n n n n n S a a S a +++-=-=>，所以221n n a a +>.【小问2详解】2n a c =+，得22)(n n S a c =+，有2112)(n n S a c ++=+，两式相减并整理得：1114(())n n n n n a a a a a c +++=-++，假设存在常数c ，使得{}n a 是等差数列，设公差为d ，则有114[2(21)]a nd d a n d c +=⋅+-+，因此对任意*N n ∈，2211)(8448a dn a d cd d d n +=+-+恒成立，从而21128448a a d cd d d d ⎧=+-⎨=⎩，解得10a d ==(舍去)或18c d ==，1128a =+，解得1116a =，则2116n n a -=，所以存在c ，使得{}n a 是等差数列，此时121,816n n c a -==.21.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF AF ⊥时，2AF BF =，且ABF △的面积为254．（1）求双曲线C 的方程；（2）若点B 在第一象限，且有3BFA BAF ∠=∠，求点B 的横坐标．【答案】（1）22145x y -=；（2）298+.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出点B 的坐标，进而求出|BF |，再结合三角形面积求出22,a b 即得.（2）设出点B 的坐标，利用斜率坐标公式及倍角的正切公式列式计算即得.【小问1详解】设双曲线的半焦距为c ，则(c,0)F ，由222222x c b x a y a b=⎧⎨-=⎩，得2(,)bB c a ±，由||2||AF BF =，得22b aa c =+，于是2()c a a -=，即35,22c a b a ==，由ABF △的面积为254，得2125()24b a c a ⋅+⋅=，解得224,5a b ==，所以双曲线C 的方程为22145x y -=.【小问2详解】设()00,B x y ，其中220000,0,145x y x a y >>-=，当0x c =时，有BF AF ⊥，||2||AF BF =，则1πtan 232BAF BFA ∠=≠∠=，此时3BFA BAF ∠≠∠，因此0x c ≠，设直线AB 、BF 的倾斜角分别为,αβ，则有,πBAF BFA αβ∠=∠=-，又00tan tan(π)tan 3y BFA x ββ∠=-=-=--，00tan tan 2y BAF x α∠==+，则22222tan tan tan tan 2tan (3tan )1tan tan 32tan 1tan tan 213tan 1tan 1tan αααααααααααααα++--===-⋅--⋅-20022220000000022222000000005[3()[3(2)(4)]22[3(2)]415(2)[(2)3](2)[(2)(4)]13()2]4y y y x x x x y x y y x x y x x x x ⋅-+--+++-===++-++---+0000020000(2)(734))734)(2)(3811(2)(381)1(y x x y x x x x x +++==+-+-，当3BFA BAF ∠=∠时，有000000734)tan 3tan (2)(33(8)11y x yBFA x x x α+==-=∠+--，所以0000(734)(3)(2)(38110)x x x x +-++-=，即200429260x x -+=，解得0298x ±=，而02x >，于是0298x +=，所以点B的横坐标为298+.【点睛】关键点睛：本题第2问，设出点B 的坐标，利用斜率坐标公式，结合倍角公式列出方程是求解问题的关系.22.已知函数()2ex f x a -=，()12ln g x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，e 2.71828= 为自然对数底数．（1）证明：当1x >时，1ln 22x x x<-；（2）若不等式()()f x g x >对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）4.【解析】【分析】（1）记()()1ln ,122x h x x x x=-->，利用导数研究单调性，结合()10h =可证；（2）构造函数()()()m x f x g x =-，根据()92ln 202m a =->确定4a ≥，再构造函数()211222e x x x x x x ϕ-⎛⎫⎛⎫++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=，利用导数求函数()x ϕ的最大值，结合（1）中结论即可确定a 的最小值.【小问1详解】记()()1ln ,122x h x x x x=-->，则()222111112111102222h x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，又()111ln1022h =--=，所以，当1x >时，()1ln 022x h x x x =-->，即1ln 22x x x<-.【小问2详解】令()()()21e 2ln x m x f x g x a x x x -⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭，由题可知，当()0,x ∈+∞时，()0m x >恒成立.因为()92ln 202m a =->，所以9ln 22a >，因为28e >，所以ln82>，即2ln 23>，所以992ln 23223a >>⨯=，因为a ∈Z ，所以4a ≥.当(]0,1x ∈时，ln 0x ≤，故()0m x >.当()1,x ∈+∞时，不等式()()f x g x >等价于212ln ex x x x a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭>，设()222211212e 222e 2e x xx x x x x x x x x ϕ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==，由（1）知，()212ln ex x x x x ϕ-⎛⎫++ ⎪⎝⎭>，()2223232e 22e xx x x x x ϕ⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭'=，记()2232322n x x x x x=-++++，易知，()n x 在()1,+∞上单调递减，且()2232322220222n =-++++=，所以，当()1,2x ∈时，()0n x >，即()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0n x <，即()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减.故当2x =时，()x ϕ取得最大值()222221e 222272222e 8ϕ⎛⎫+⨯-- ⎪⎝⎭==.所以，()212ln 4e x x x x x ϕ-⎛⎫++ ⎪⎝⎭>>在区间()0,∞+上恒成立，所以，整数a 的最小值为4.【点睛】本题难点有二：一是通过取特值确定4a ≥，二是利用（1）中结论进行放缩，构造函数()211222e x x x x x x ϕ-⎛⎫⎛⎫++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=，利用导数求最值即可.对于参变分离之后，函数复杂，不宜直接研究时经常采取适当放缩进行处理.。
浙江省稽阳2019届联考试卷+英语+Word版含解析
2018年10月稽阳联谊学校联考英语试题卷主命题：萧山中学汪惟川副命题：浦江中学蔡峰萍嵊州中学张苏英本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。
第I卷1至7页，第II卷7页至8 页。
满分150分，考试用时120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
第I卷注意事项：1 •答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2 •选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在本试卷上，否则无效。
第一部分：听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. Which painting did the woma n buy?A. The one of some boats.B. The one of the houses.2. Who did the man see yesterday?A. Jane and Tony.B. Tony ' s mum.3. What does the man do now?A. An officer.B. A shop assista nt.4. What are the speakers discuss ing?A. What gift to buy.B. Where to buy a gift.5. What does the man mea n? C. The one of the mountains.C. The woman ' s boyfriend.C. A teacher.C. Whether to buy a gift.英语试题卷第1页（共8页）A. He will go to town.B. He misses his parents.C. He has moved his house.第二节 （共 15 小题；每小题 1.5 分，满分 22.5 分 ）听下面 5 段对话或独白。
浙江省稽阳联谊学校2018-2019学年高三下学期4月联考数学试题
浙江省稽阳联谊学校2018-2019学年高三下学期4月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{}1A x x =<，{}220B x x x =-<，则A B =I ( ) A ．()0,1B ．(0,2)C ．(1,2)D ．(1,2)-2．若变量x ，y 满足约束条件33010x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则y 的取值范围是( )A ．RB ．[]0,4C ．[)2,+∞D ．(],2-∞3．“直线l 与平面α平行”是“直线l 与平面α内无数条直线平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在阿基米德的墓碑上刻着一副“圆柱容球”的几何图形，它的三视图如图所示，记球的体积为1V ，圆柱的体积为2V ，球的表面积为1S ，圆柱的全面积为2S ，则下列结论正确的是( )A ．132V V 2=，132S S 2= B ．123V V 2=，123S S 2= C ．132V V 2=，123S S 2=D ．123V V 2=，132S S 2=5．函数2(21)x y e x x =++的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．6．已知随机变量ξ，η满足8ηξ=-+，若()6E ξ=，() 2.4D ξ=，则()E η，()D η分别为( )A ．()6E η=，() 2.4D η=B ．()6E η=，() 5.6D η=C ．()2E η=，() 2.4D η=D ．()2E η=，() 5.6D η=7．若双曲线222:14y x C b-=的两个顶点将焦距三等分，则焦点到渐近线的距离是( )A ．2B ．4C ．D ．68．平面向量,a b v v 满足3,2a b a b -==v v v v，则a b -v v 与a v 夹角的最大值为（ ）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 9．已知正ABC ∆所在平面垂直平面α，且边BC 在平面α内，过AB 、AC 分别作两个平面β、γ（与正ABC ∆所在平面不重合），则以下结论错误的是( ) A ．存在平面β与平面γ，使得它们的交线l 和直线BC 所成角为90o B ．直线BC 与平面γ所成的角不大于60o C ．平面α与平面β所成锐二面角不小于60o D ．平面β与平面γ所成锐二面角不小于60o 10．以下结论正确的是( ) A ．201720182019log 2018log 20192018<< B ．201820172019log 2019log 20182018<< C ．201820172019log 2019log 20182018<< D ．201720182019log 2018log 20192018<< 11．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，以此得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率1，则第七个单音的频率为______.12．已知i 是虚数单位，复数1=iz i+，则z 的实部是______；z =______. 13．若7270127(1)x a a x a x a x +=++++L ，则1a =______；17a a ++=L ______.14．在ABC V 中，cos25C =，1BC =，5AC =，则cos C =______，sin A =______. 15．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球共6个球，现有一个游戏：从袋中任取3个球，恰好三种颜色各取到1个则获奖，否则不获奖.则获奖的概率是______，有3个人参与这个游戏，则恰好有1人获奖的概率是______.16．已知C ，F 分别是椭圆2222:1x y a bΓ+=的左顶点和左焦点，A 、B 是椭圆的下、上顶点，设AF 和BC 交于点D ，若2CD DB =u u u r u u u r，则椭圆Γ的离心率为______. 17．已知关于x 的方程2ln (1)0x x a x --=在(0,)+∞上有且只有一个实数根，则a 的取值范围是______.18．已知函数()4cos sin()6f x x x a π=++的最大值为2，求：（Ｉ）求a 的值及()f x 的最小正周期；（Ⅱ）()y f x =在5,012π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.19．在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，//BC AD ，BC AB ⊥，2PB AD ==，1AB BC ==，E 为棱PD 上的点.（Ｉ）若13PE PD =，求证：//PB 平面ACE . （Ⅱ）若E 是PD 的中点，求直线PB 与平面ACE 所成角的正弦值.20．已知数列{}n a 满足：11(1)(2)n n a a n n +-=++，N n *∈且112a =-．（Ｉ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）设135()3n n nb t a --=-（t 为正整数），是否存在正整数k ，使k b ，1k b +，2k b +按某种次序排列后成等比数列，若存在k ，t 的值；若不存在，说明理由.21．已知点P 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，过P 作圆222:()216p p F x y -+=的切线，（Ｉ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设点(,0)M t ，(2,0)N t （t 为正常数），直线PM ，PN 分别交抛物线C 于A 、B 两点，求ABP ∆面积取最小值时点P 的坐标.22．已知()()ln N,2x xf x e e a x a a-=+-纬的极值点01(,1)2x ∈.（Ｉ）求a 的值； （Ⅱ）若不等式()()f x b b Z 澄恒成立，求b 的最大值.参考答案1．A 【解析】 【分析】先化简集合,A B ，再求解A B I . 【详解】因为{}1=(1,1)A x x =<-，{}220(0,2)B x x x =-<=，所以(0,1)A B =I . 故选：A. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，求解集合的运算时，把集合化简为最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 2．B 【解析】 【分析】利用x 的范围及,x y 之间的关系可求y 的取值范围. 【详解】由题意可知：3y x ≥-且1y x ≤+，由于3x ≤，所以30x -≥，14x +≤，所以[]0,4y ∈. 故选：B. 【点睛】本题主要考查利用约束条件求解范围问题，结合不等关系，利用不等式的性质是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 3．A 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理进行判断即可. 【详解】因为“直线l 与平面α平行”，所以根据线面平行的性质定理可知“直线l 与平面α内无数条直线平行”，反之不成立，因为直线l 还可能在平面α内. 故选：A.【点睛】本题主要考查充要条件的判定，明确语句间的推出关系是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养. 4．B 【解析】 【分析】根据三视图表示的长度之间的关系，分别计算圆柱和球的体积及表面积，然后进行比较即可. 【详解】设球的半径为r ，则由三视图可得圆柱的底面半径是r ，高为2r ，323124,223V r V r r r =π=π⋅=π，222124,2226S r S r r r r =π=π⋅+π=π， 所以121222,33V V S S ==.故选：B. 【点睛】本题主要考查圆柱和球的体积及表面积的求解，熟记体积和表面积的求解公式是解题关键，侧重考查数学运算的核心素养. 5．A 【解析】 【分析】利用函数的性质及特值进行排除. 【详解】因为22(21)(1)x x y e x x e x =++=+，所以0y ≥且有唯一的零点1-，结合选项可知只有A 选项符合题意. 故选：A. 【点睛】本题主要考查函数的图象的识别，利用函数的性质结合特殊值进行排除是这类问题求解的通性通法，侧重考查数学抽象的核心素养. 6．C 【解析】 【分析】利用()6E ξ=，() 2.4D ξ=，及8ηξ=-+可得选项. 【详解】因为8ηξ=-+，所以()()8E E ηξ=-+，()2()1()D D ηξ=-，又()6E ξ=，() 2.4D ξ=，所以()()82E E ηξ=-+=，()2()1() 2.4D D ηξ=-=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查随机变量期望和方差的求解，利用公式2()(),()()E a b aE b D a b a D ξξξξ+=++=是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 7．C 【解析】 【分析】先根据两个顶点将焦距三等分，求出b ，然后利用点到直线的距离公式可求结果. 【详解】因为双曲线222:14y x C b -=的两个顶点将焦距三等分，所以1223a c =⋅，即6c =；由2436b +=，得b =渐近线方程为4y x =±，上焦点为(0,6)，所以焦点到渐近线的距离是d ==.故选：C. 【点睛】本题主要考查双曲线的性质，本题利用结论：焦点到渐近线的距离为b ，则可以秒杀题目，侧重考查数学运算的核心素养. 8．D 【解析】 【分析】利用3,2a b a b -==r r r r 和()29a b -=r r ，化简得到25922a b b =-r r r g，然后得出()23922a b a b -=+r r r r g ，再利用()cos ,a b a a b a a b a--=-r r r g r r r r r r ，然后利用均值不等式求解即可【详解】解：∵3,2a b a b -==r r r r；∴()222222429a ba ab b b a b b -=-+=-+=r r r r r r r r r r g g ；∴25922a b b =-r r r g ；∴()2222593942222a b a a a b b b b -=-=-+=+r r r r r r r r r g g ；∴()2391322cos ,464b a b a a b a b a ba b b+--===+≥-r r rr g r r rr r rr r r ； ∵0,a b a π≤-≤r r r；∴0,6a b a π≤-≤r r r ；∴a b -r r 与a r 夹角的最大值为6π．故选D ． 【点睛】本题考查向量的数量积，向量的夹角的运算，属于基础题 9．D 【解析】 【分析】结合空间中的直线和平面的关系，平面与平面的关系，以及图形进行判定. 【详解】如图1，设平面β与平面γ相交于AD ，且点D 在平面α内. 对于选项A ：设BC 的中点为E ，则当BCD ∆为等边三角形时，易得,,AE BC DE BC AE DE E ⊥⊥⋂=，所以BC ⊥平面ADE ，所以BC AD ⊥，故正确；对于选项B ：由最小角定理得直线BC 与平面γ所成角小于等于60ACB ∠=︒，故正确； 对于选项C ：过点E 作EF BD ⊥，垂足为F ，如图2所示，易得EF BE „，则60AFE ABE ︒∠∠=…，则平面平面α与平面β所成锐二面角不小于60︒，故正确；对于选项D ：过点B 作BH AD ⊥交AD 于点H ，过点H 作HG AC ⊥交AC 于点G , 如图3所示，则BHG ∠为平面β与平面γ所成锐二面角（或补角），因为BG 为定值，点H 在直线AD 上运动，当DE 无穷大时，180BHG ︒∠→，此时平面β与平面γ所成锐二面角不小于60︒，故错误. 故选：D.【点睛】本题主要考查空间中的直线和平面，平面与平面的关系，借助图形能清晰的反应空间中的关系，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养. 10．B 【解析】 【分析】先构造函数 ()log (1)x f x x =+利用导数判定单调性可得201820171log 2019log 2018<<，再构造函数()ln (1)ln(1)g x x x x x =-+-，利用导数判定单调性可得大小关系. 【详解】令 ()log (1),1x f x x x =+>，2ln(1)ln (1)ln(1)()0ln (1)(ln )x x x x x f x x x x x +-++⎛⎫'='=<⎪+⎝⎭， 所以函数()f x 在(1+)∞，为减函数，所以201820171log 2019log 2018<<； 20172019ln 20182019log 20182018ln 20172018-=-=2018ln 20182019ln 20172018ln 2017-. 令()ln (1)ln(1),3g x x x x x x =-+->12()ln 1ln(1)ln 111x x g x x x x x x +'=+---=----， 令1(0,1)1t x =∈-，则()ln(1)2,(0,1)h t t t t =+-∈， 1()201h t t'=-<+，所以()(0)0h t h <=，即()0g x '<，所以3x >时，函数()g x 单调递减，所以(2018)(5)5ln56ln 40g g <=-<，即20172019log 20182018<. 故选：B. 【点睛】本题主要考查不等关系的比较，构造函数结合函数的单调性是求解这类问题的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.11 【解析】 【分析】根据题意可知相当于求解等比数列的第7项，利用等比数列的通项公式可得结果. 【详解】因为从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于第一个单音的频率1，所以第七个单音的频率为671a =⨯=.故答案为. 【点睛】本题主要考查以音乐文化为背景的等比数列问题，从中提炼出数学本质是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.12．1【解析】 【分析】先化简复数，再求解实部和模长. 【详解】11=11i ii z i +=+=-，所以z 的实部是1，z ==.故答案为：1.【点睛】本题主要考查复数的相关概念，先把复数化为最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 13．7 127 【解析】 【分析】利用通项公式可求1a ，利用赋值法可求17a a ++L . 【详解】7(1)x +的展开式的通项公式为7r r C x ，令1r =可得17a =；令1x =可得70172128a a a +++==L ，令0x =可得01a =，所以17127a a ++=L .故答案为：7；127. 【点睛】本题主要考查二项式定理求解系数和，系数和问题一般是利用赋值法进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.14．35-10【解析】 【分析】利用倍角公式可求cos C ，再利用余弦定理求得AB ，结合正弦定理可求sin A . 【详解】23cos 2cos 125C C =-=-，2222cos 32AB BC AC BC AC C =+-⋅=，所以AB =4sin 5==C ，由sin sin AB BC C A =得sin A =故答案为：35-. 【点睛】本题主要考查解三角形，三角形中边角进行转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.15．25 54125【解析】 【分析】根据计数原理，所有的取球方法共有36C 种，而三种球各有一个共包含()312C 个，故获奖的概率可求.有3个人参与这个游戏，设中奖人数为X ,则2~3,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故恰好有1人获奖的概率可求. 【详解】设中奖为事件A ,则事件A 包含的基本事件个数为()3128C =，所有的基本事件共有3620C =个，所以中奖概率为82()205P A ==； 有3个人参与这个游戏,设中奖人数为X ,则2~3,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2132254(1)155125P X C ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭； 故答案为：254;5125. 【点睛】本题主要考查古典概率和二项分布，明确题目的求解模型是解题关键，侧重考查数学建模的核心素养. 16．15【解析】 【分析】设出点的坐标，利用向量共线可得5033bc ab-+=，进而可求离心率. 【详解】设椭圆的左焦点为(,0)F c -，由题意得(0,),(0,),(,0)A b B b C a --，由2CD DB =u u u r u u u r 可得3CB DB =u u u r u u u r ，则2,33a b D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，5(,),,33a b AF c b AD ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭u u ur u u u r因为向量,AF AD u u u r u u u r 共线，所以5033bc ab -+=，解得15c e a ==. 故答案为：15.【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，离心率的求解一般是根据题意建立关于,,a b c 的等量关系式，然后利用公式可求，侧重考查数学运算的核心素养. 17．0a ≤或12a ≥ 【解析】 【分析】利用换元法，把方程根的问题转化为两个函数的交点问题，设出函数，求解导数，判断单调性，结合函数图象可求范围. 【详解】令2t x =，则(0,)t ∈+∞ ,则问题等价于关于t (1)0t a t --=在(0,)+∞上有且只有一个实数根，即函数()f t t =与函数()(1)g t a t =-在(0,)+∞上有且只有一个交点；因为()f t t '=+=所以函数()f t t =在210,e⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,此时函数()f t 在(1,(1))f 处的切线斜率为1(1)2f '==.在平面直角坐标系内画出函数()f t t =的大致图象如图所示, 因为直线()(1)g t a t =-过定点(1,0),由图易得a 的取值范围为0a „或12a ….故答案为：0a „或12a ….【点睛】本题主要考查函数与方程，函数的性质，利用导数研究函数的单调性，作出函数的简图是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养. 18．（Ｉ）1a =-，π；（Ⅱ）[]2,1-. 【解析】 【分析】（Ｉ）先把()f x 化简，然后利用最大值可求a 的值及()f x 的最小正周期； （Ⅱ）先根据x 的取值范围求得26x π+的范围，再求解()f x 的值域.【详解】（Ⅰ）()14cos sin 4cos cos 622f x x x a x x x a π⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 212sin 216x x a x a π⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭所以32a +=，即1a =-，()f x 的最小正周期为π；（Ⅱ）因为5,012x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,636x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，故1sin 21,62x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；因为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 在5,012π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域是[]2,1-.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，把函数化简为标准型是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.19．（Ｉ）证明见解析；（Ⅱ）20. 【解析】 【分析】（Ｉ）作出辅助线，证明线线平行可得线面平行或者利用空间向量，求解平面法向量，利用直线的方向向量与法向量垂直可证线面平行；（Ⅱ）先求解平面的法向量，利用公式sin cos ,BP n θ=u u u r r可求直线PB 与平面ACE 所成角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）解法1：连BD ，令AC BD F ⋂=，//BC AD Q ，1BC =，2AD =，12BF BC FD AD ∴== 又13PE PD =，12PE BFED FD ∴==，//PB EF ∴， 且PB ⊄面ACE ，EF ⊂面ACE ，//PB ∴平面ACE .（Ⅰ）解法2：过A 作Az ⊥面ABCD ，以A 为原点，如图建系.由题意求得PC =()1,0,0B ∴，(P，(BP ∴=uu r.()1,1,0C ，()0,2,0D ，设(),,E x y z ，由13PE PD =u u u r u u u r，得24,33E ⎛ ⎝⎭.设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则00n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v，即0240333x y x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，y x z x =-⎧⎪∴⎨=⎪⎩，令x =y =1z =，)n ∴=r ，0BP n ∴⋅=u u u r r且PB ⊄平面ACE ，//PB ∴平面ACE .（Ⅱ）以A 为原点，如图建系，由题意求得PC =()1,0,0B ∴，(P，(BP ∴=uu r()1,1,0C ，()0,2,0D，13,,222E ⎛∴ ⎝⎭，设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则00n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v，即013022x y x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，y x z x =-⎧⎪∴⎨=⎪⎩，令x =y =2z =，)2n ∴=r .∴直线PB 与平面ACE所成角的正弦值sin cos ,20BP n θ===u u u r r .【点睛】本题主要考查线面平行的证明和线面角的求解，线面平行一般转化为线线平行，线面角一般利用法向量进行求解，侧重考查逻辑推理和直观想象的核心素养. 20．（Ｉ）11n a n =-+；（Ⅱ）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（Ｉ）先裂项()()11111212n n a a n n n n +-==-++++，然后利用迭代的方法可求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）先求数列{}n b 的通项公式，利用等比中项公式建立等式，讨论可得结果. 【详解】（Ⅰ）因为()()11111212n n a a n n n n +-==-++++ 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L()()111111232n n n n =+++-+-⨯L11111111112321n n n n n =-+-++--=-+-+L . （Ⅱ）由（Ⅰ）可得()113353553n n n n b t n t a ----⎛⎫=-=++ ⎪⎝⎭， 设55x k t =++，则133k kb x --=⋅，()3153k k b x -+=+，()132103k k b x +-+=+；①若1k b +为k b 与2k b +的等比中项，则()()2105x x x +=+，无解；②若k b 为1k b +与2k b +的等比中项，则()()23510x x x =++，即2215500x x --=，所以10x =或52x =-， 所以5510k t ++=，因为k ，t 均为正整数，所以不存在这样的k ，t 值；③若2k b +为k b 与1k b +的等比中项，则()()23510x x x +=+，即2251000x x --=， 方程无整数根.综上可知，不存在这样的k ，t 值. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解和等比中项的应用，迭代消元是求解通项公式的常用方法，侧重考查数学运算的核心素养.21．（Ｉ）24y x =；（Ⅱ）3,2P ⎛+⎝.【解析】 【分析】（Ｉ）先表示出切线段的长，利用二次函数知识求解最小值，从而可求抛物线C 的方程； （Ⅱ）设出直线AP 的方程，联立方程，利用韦达定理，表示出ABP ∆的面积，结合导数求出最小值，从而可得点P 的坐标. 【详解】（Ⅰ）设00(,)P x y ，4=≥=，所以42=，即2p =， 所以抛物线C 的方程是24y x =.（Ⅱ）设200,4y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭设:PA l x my t =+，代入24y x =得2440y my t --=，则014y y t =-；同理可得028y y t =-，所以120048,t t y y y y =-=-， 又()1212:4AB l y y y x y y +=+，所以AB =， P 到直线AB l 的距离是h =所以()()20012122221200121212121188ABPy y y y y y S y y y y y y y y y y y y ∆-++=-=-++-+ 22200200030132412321282t t t t t y t y y y y y =++=++， 设()231232t t f y y y y =++，()0y >，则()2422244129612961t t y y t t f y y y y --'=--=所以当y ⎛∈ ⎝，()f y 单调递减，当y ⎫∈+∞⎪⎭，()f y 单调递增，所以当y =ABPS ∆取到最小值，同理0y <，ABP S ∆也取到最小值，所以当y =ABPS∆取到最小值，此时,P ⎝【点睛】本题主要考查抛物线的方程及抛物线中的最值问题，三角形面积的最值问题一般是表示出三角形的面积公式，然后结合目标式的特点选择合适的方法求解最值，常用方法有：导数法，基本不等式法等，侧重考查数学运算的核心素养. 22．（Ｉ）2；（Ⅱ）3. 【解析】 【分析】（Ｉ）先求导数，利用01(,1)2x ∈及a N ∈可求a 的值；（Ⅱ）先利用导数证明22x x e e x -+≥+，再利用导数求出()222ln h x x x =+-的最小值，然后可得b 的最大值. 【详解】（Ⅰ）因为()xxaf x e ex-'=--在()0,∞+上递增，所以1202f a ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()110f e a e '=-->，又a N ∈，2a ≥ 所以2a =.（Ⅱ）首先当1x =时，()12ln 3,4xxe ex e e --+-=∈+，又因为b Z ∈，所以3b ≤其次，我们可以证明不等式：()220xxe e x x -+≥+>设()()220xxg x e ex x -=+-->，则()2x x g x e e x -'=--，令()()2xxk x g x e e x -'==--，则()20x x k x e e -'=+->恒成立，所以()()200xxg x e ex g -''=-->=恒成立， 所以()()2200xxg x e ex g -=+-->=恒成立，所以()220x xe ex x -+≥+>成立，综合上面的结果可知，22ln 22ln x x e e x x x -+-≥+- 设()222ln h x x x =+-，则()22h x x x'=-，所以当()0,1x ∈时，()y h x =单调递减，当()1,x ∈+∞时，()y h x =单调递增，所以()()222ln 13h x x x h =+-≥=，所以2ln 3x x e e x -+-≥恒成立，所以b 的最大值是3 .【点睛】本题主要考查导数的应用，综合考查了极值问题和恒成立问题，恒成立问题一般是转化为函数的最值问题，利用导数求解最值即可，侧重考查了数学抽象和数学运算的核心素养.。
2019届浙江省稽阳联谊学校高三下学期4月联考试卷数学参考答案
2019年4月稽阳联考数学参考答案一、选择题ABABA CCDDB 二、填空题1112．113．7，12714．35-，10 15．25，5412516．15 17．0a ≤或12a ≥三、解答题 18．解：（Ⅰ）()4cos sin()6f x x x a π=++14cos cos )22x x x a =++2cos 21x x a =+++2sin(2)16x a π=+++ ……………5分所以32a +=，即1a =-， ……………7分()f x 的最小正周期为π……………8分（Ⅱ）因为5[π,0]12x ∈-，所以22[,]636x πππ+∈-，故]21,1[)62sin(-∈+πx ……………12分因为()f x )62sin(2π+=x ，所以()f x 在5[π,0]12-的值域是 ]1,2[- ……………14分19．解：（Ⅰ）解法1：连BD ，令F BD AC = ，BC ∥AD ，1=BC ，2=AD ，21==∴AD BC FD BF ………3分 又PD PE 31=FDBF ED PE ==∴21PB ∴∥EF ， ………5分 且⊄PB 面ACE ，⊂EF 面ACE ，∴PB ∥平面ACE . ………7分（Ⅰ）解法2：过A 作⊥AZ 面ABCD ，以A 为原点，如图建系.由题意求得3=PC ，()0,0,1B ∴，()3,1,1P ，()3,1,0=∴.()0,1,1C ，)0,2,0(D ，设()z y x E ,,，由31=， 得⎪⎪⎭⎫⎝⎛332,34,32E . ………3分令面ACE 的一个法向量为()z y x n ,,= ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=+033234320z y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧=-=∴x z x y 31令3=x ， 则3-=y ，1=z ，()1,3,3-=∴n，0=⋅∴ ………6分且⊄PB 平面ACE ，∴PB ∥平面ACE . ………7分（Ⅱ）解1（空间向量坐标法）：以A 为原点，如图建系，由题意求得3=PC ，()0,0,1B ∴，()3,1,1P ，()3,1,0=∴ .……10分()0,1,1C ，()0,2,0D ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∴23,23,21E ，令面ACE 的一个法向量为()z y x n ,,= ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=+02323210z y x y x ， ⎪⎩⎪⎨⎧=-=∴x z xy 32，令3=x ，则3-=y ，2=z ，()2,3,3-=∴n. ………12分∴直线PB 与平面ACE 所成角的正弦值20301023,cos sin ==><=θ. ………15分（Ⅱ）解2（传统几何法）：作PD E P 31='，由（Ⅰ）知PB ∥F E '， PB ∴与面ACE 所成角的正弦值等于F E '与面ACE 所成角的正弦值，不妨设为θsin . ………8分由题意易求得2==CD AC ，又2=AD ，CD AC ⊥∴，又CP AC ⊥，C CD CP = ⊥∴AC 平面PCD ，即⊥AC 平面E CE '. ………10分求得3=PC ,5=PD 56=∴CE ，12661==∴'PCD E CE S S ∆∆，41021=⋅=∴CE AC S ACE ∆ ………12分 由ACE E E CE A V V -''-=得212631⋅⋅＝ACE E d -'⋅⋅41031，30302=∴-'ACE E d ，又3432=='PB E F ，2030sin =∴θ ………15分20.解：（Ⅰ）因为11(1)(2)n n a a n n +-=++1112n n =-++ ………3分所以n a 112211()()()n n n n a a a a a a a ---=-+-++-+1111(1)(1)232n n n n=+++-+-⨯ 111111111232n n n n =-+-++--+-11n =-+ ………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得135()3n n nb t a --=-13(55)3n n t --=++ ………8分设55x k t =++，则k b 133k x --=⋅，1k b +3(5)3k x -=+，2k b +13(10)3k x +-=+①若1k b +为k b 与2k b +的等比中项，则2(10)(5)x x x +=+，无解 ………10分②若k b 为1k b +与2k b +的等比中项，则23(5)(10)x x x =++，即2215500x x --=，所以10x =或52x =-， 所以5510k t ++=，因为,k t 均为正整数，所以不存在这样的,k t 值………12分③若2k b +为k b 与1k b +的等比中项，则23(5)(10)x x x +=+，即2251000x x --=， 方程无整数根………14分 综上可知，不存在这样的,k t 值………15分21．解：（Ⅰ4=≥=，所以42=，即2p = 所以抛物线C 的方程是24y x = …………5分（Ⅱ）设200(,)4y P y ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y设:PA l x my t =+，代入24y x =得0442=--t my y ，则014y y t =-同理可得028y y t =-…………8分又1212:()4AB l y y y x y y +=+，所以2212|||4y y AB -=P 到直线AB l的距离是2001212()||y y y y y y h -++=所以ABPS ∆2220012121212()1||||8y y y y y y y y y y -++=-+2001212121|()|||8y y y y y y y y =-++- 2202001324|12|||8t ty t y y =++2020032122y t y t y t ++= …………12分 设231232(),(0)t t f y y y y y =++>，则=)('y f 22412961t t y y --42241296y y t t y--= 所以当))336(,0(t y +∈，)(y f 单调递减，当),)336((+∞+∈t y ，)(y f 单调递增，所以当t y )336(+=，ABP S ∆取到最小值，同理0<y，所以当y =ABP S ∆取到最小值，此时))3326(,2333(t t P +±+ …………15分 22．解：（Ⅰ）因为()xxaf x e ex-'=--在(0,)+∞上递增，所以1()202f a '=<，1(1)0f e a e '=-->，又2a N a ∈≥，所以2a = …………5分 （Ⅱ）首先当1x =时，12ln (3,4)xxe ex e e --+-=+∈，又因为b Z ∈，所以3b ≤ …………7分其次，我们可以证明不等式：22(0)xxe e x x -+≥+>设2()2(0)xxg x e ex x -=+-->，则()2x x g x e e x -'=--，()20x x g x e e -''=+->恒成立所以()2(0)0x xg x e e x g -''=-->=恒成立，所以2()2(0)0x x g x e e x g -=+-->=恒成立所以22(0)xxe ex x -+≥+>成立 …………11分综合上面的结果可知，22ln 22ln xxe ex x x -+-≥+-设2()22ln h x x x =+-，则2()2h x x x'=-，所以当)1,0(∈x 时，)(x h y =单调递减，当),1(+∞∈x 时，)(x h y =单调递增，所以2()22ln (1)3h x x x h =+-≥=，所以2ln 3x xe e x -+-≥恒成立，所以b 的最大值是3 …………15分。
浙江省稽阳联谊学校2024届高三下学期4月联考 数学试题【含答案】
2024年浙江省稽阳联谊学校高考数学联考试卷（4月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知在复平面内()1i z +对应的点位于第二象限，则复数z 可能是（）A ．12i+B ．2i+C ．1i+D ．1i-2．已知集合(){}2|0log 12A x x =<-<，{}2|23B x x x =->，则A B = （）A ．()1,3B ．()2,3C ．()3,4D ．()3,53．722x x x ⎛⎝的展开式中的常数项是（）A ．224B ．448C ．560D ．280-4．“πsin 03x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭”是“1cos 2x =”的（）A ．充分必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件5．已知P ，(){}22,2|||Q x y x y x ∈+ ，则PQ 的最大值是（）A ．2B ．22C ．4D ．426．如图，战国时期楚国标准度量衡器——木衡铜环权1954年出土于湖南长沙，“木衡”杆长27厘米，铜盘直径4厘米.“环权”类似于砝码，用于测量物体质量.九枚“环权”重量最小的为1铢，最大的为半斤（我国古代1两24=铢，1斤16=两），从小到大排列后前3项为等差数列，后7项为等比数列，公比为2.若铜盘一侧某物体为2两13铢，则另一侧需要放置的“环权”枚数为（）A ．2枚B ．3枚C ．4枚D ．5枚7．设1x ，2x ，…，n x 是总体数据中抽取的样本，k 为正整数，则称()11n kk i i b x x n ==-∑为样本k 阶中心矩，其中11ni i x x n ==∑为样本均值.统计学中，当我们遇到数据分布形状不对称时，常用样本中心矩的函数——样本偏度3322s b bβ=来刻画偏离方向与程度.若将样本数据1x ，2x ，…，100x 绘制柱形图如图所示，则（）A ．0s β<B ．0s β=C ．0s β>D ．s β与0的大小关系不能确定8．已知定义在R 上的函数()f x 恒大于0，对x ∀，R y ∈，都有()()()224f x y f x f y +=⋅，且()11f =，则下列说法错误的是（）A ．()102f =B ．()()()20f x f x f ⋅-=C ．()20241k f k =∑是奇数D ．()f x 有最小值二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数()3221f x x x x =-++，下列说法正确的是（）A ．2222333f x f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．方程()32f x =有3个解C ．当[]0,2x ∈，()[]1,3f x ∈D ．过点()0,1作()y f x =的切线，有且仅有一条10．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且10a ≠向量()11,n a a S +=，()1,1n b S =+ ，对于任意*n ∈N ，都有a b，则下列说法正确的是（）A ．存在实数1a ，使得数列{}n S 成等比数列B ．存在实数1a ，使得数列{}n S 成等差数列C ．若11a =-，则12n n a a +-=D ．若12a =，则()()()()12422111111n n a a a a a +++++=- 11．已知正四棱台1111ABCD A B C D -，1124A B AB ==，球O 内切于棱台，点P 为侧面11A ADD 上一点（含边界），则（）A ．球O 的表面积为8πB ．三棱锥1P BCC -的外接球球心可能为O C ．若直线DP ⊥面11PB C ，则53DP =D ．平面1PBC 与球O 的截面面积最小值是π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知平面向量()1,2a =- ，()4,2a b +=，若()()a kb a kb +⊥- ，则k 的值可以是.（写出一个值即可）13．若0a >，0b >，则221min ,4ab a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的最大值是.（其中{}min ,a b 表示a ，b 中的较小值）14．已知左、右焦点为()1,0F c -，()2,0F c 的椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>），圆2C ：22252x y cx c +-+0=，点A 是椭圆1C 与圆2C 的交点，直线2AF 交椭圆1C 于点B .若1AF AB =，则椭圆的离心率是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知ABC 面积为S ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，请从以下条件中任选一个，解答下列问题：①)2224;S a b c +-；②sin cos2A Bc A +=；③()πsin cos 6c A C b C ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭(1)求角C ；(2)若3c =，D 是AB 上的点，CD 平分ACB ∠，ABC ，求角平分线CD 的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.16．如图，五面体ABCDEF 中，已知面ADE ⊥面CDEF ，AB CD EF ∥∥，AD AE =，CD AD ⊥.(1)求证：AB AE ⊥.(2)若224AB CD EF ===，π3ABC AED ∠=∠=，点P 为线段AF 中点，求直线BP 与平面BDF 夹角的正弦值.17．盒中共有3个小球，其中1个黑球，2个红球.每次随机抽取1球后放回，并放入个同k （N k ∈）色球.(1)若0k =，记抽取n 次中恰有1次抽中黑球的概率为n P ，求n P 的最大值；(2)若1k =，记事件1B 表示抽取第i 次时抽中黑球.（ⅰ）分别求()123P B B B ，()123P B B B ，()123P B B B ；（ⅱ）结合上述分析，请直接写出抽取n 次中恰有2次抽中黑球的概率.18．已知抛物线Γ：22y px =（0p >）的焦点为F ，A ，B 是抛物线Γ上两点（A ，B 互异）.(1)若AF FB =，且2AB =，求抛物线Γ的方程.(2)O 为坐标原点，G 为线段AB 中点，且12OG AB =.（ⅰ）求证：直线AB 过定点；（ⅱ）x 轴上的定点E 满足EO 为AEB ∠的角平分线，连接AE 、BE ，延长BO 交AE 于点P ，延长AO 交BE 于点Q ，求OPQ S 的最大值（用含p 的代数式表示）.19．已知函数()12ln x f x e a x x a-=+-，a R ∈(1)当2a =-时，求()f x 的最小值；(2)若()f x 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围；(3)当01a <<时，设1x 为函数()f x 的极大值点，求证：()11f x e<.1．A【详解】解：()()12i 1i 13i ++=-+，对应的点为()1,3-，在第二象限，A 正确；()()2i 1i 13i ++=+，对应的点为()1,3，不在第二象限，B 错误；()()1i 1i 2i ++=，对应的点为()0,2，不在第二象限，C 错误；()()1i 1i 2-+=，对应的点为()2,0，不在第二象限，D 错误．故选：A.根据复数的乘法运算，逐一核对选项即可．本题考查复数的几何意义，属于基础题．2．D【详解】解：集合(){}2|0log 12{|25}A x x x x =<-<=<<，{}2|23{|3B x x x x x =->=>或1}x <-，故()3,5A B = .故选：D.先求出集合A ，B ，再结合交集的运算，即可求解．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．3．B【详解】解：二项式7x⎛ ⎝的展开式的通项公式为3772177(2)rr r r r r r T C x C x --+⎛==⋅- ⎝，0r =，1， (7)令3722r-=-，则6r =，所以多项式的展开式的常数项为26627(2)448x C x -⋅⋅-=.故选：B.求出二项式7x⎛⎝的展开式的通项公式，然后令x 的指数为–2，进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．4．C【详解】解：由πsin 03x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得()ππ3x k k Z =-∈1cos 2x ⇒=，即充分性成立；反之，()1πcos π23x x k k Z =⇒=±∈，即必要性不成立，故“πsin 03x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭”是“1cos 2x =”的充分不必要条件．故选：C.利用充分条件与必要条件的概念判断即可．本题考查正弦函数的图象与性质及充分条件与必要条件的应用，属于中档题．5．C【详解】解：P ，(){}22,2|||Q x y x y x ∈+ ，如图，故P ，Q 在两圆及其内部的范围内，所以PQ 得最大值为4.故选：C.先求出P ，Q 两点的轨迹，再结合图形，即可求解．本题主要考查两点之间的距离，属于基础题．6．B【详解】解：设数列{}n a ，11a =，9192a =，由3a ，4a ，…，9a 成等比数列，公比为2，则332n n a -=⋅，3n ，故由1a ，2a ，3a 成等差数列，得n a n =，3n ，2两13铢需要放置一枚2两，一枚12铢，一枚1铁的环权，故需要3枚．故选：B.根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解．本题主要考查数列的应用，属于基础题．7．C【详解】解：样本偏度反应数据偏离方向与程度，由图表可得，有比较多的小于样本均值3.4x =的数据，当右侧有长尾时，受极端值影响，()10033110100i i b x x ==->∑，而样本方差20b >，则0s β>.故选：C.由图可知，右拖尾时30b >，而样本方差20b >，从而判断s β的符号．本题主要考查了频数分布直方图的应用，属于基础题．8．D【详解】解：()()()224f x y f x f y +=⋅，取0y =，则()()()240f x f x f =，故()102f =，选项A 正确；取y x =-，则()()()24f x f x f x -=⋅-，则()()14f x f x ⋅-=，选项B 正确．取0x =，12y =，则()()211402f f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则21122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，取12y =，()()()211422f x f x f f x ⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭，()12k f k -=，则()20241k f k =∑是奇数，选项C 正确；取函数()12x f x -=，符合题目条件，但此时()f x 无最小值，故选项D 错误．故选：D.根据已知条件，结合赋值法，即可求解．本题主要考查抽象函数及其应用，考查转化能力，属于中档题．9．AC【详解】解：对于A ，()3221f x x x x =-++，则()2341f x x x '=-+，所以()64f x x ='-'，由()0f x ''=，得23x =，所以()y f x =关于22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中心对称，所以2222333f x f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B ，因为()3221f x x x x =-++，所以()2341f x x x '=-+，令()0f x ¢>，得1x >，或13x <，令()0f x '<，得113x <<，所以()f x 在()1,+∞，1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在13x =处有极大值，极大值为131327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又因为313272<，所以方程()32f x =有唯一解，故B 错误；对于C ，由B 可知，()f x 在10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭，[]1,2上单调递增，在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，又因为()01f =，131327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()11f =，()23f =，所以()f x 的最大值为3，最小值为1，即()[]1,3f x ∈，故C 正确；对于D ，若点()0,1为切点，由()01f '=，可得切线方程为1y x -=，即10x y -+=，若点()0,1不是切点，设切点坐标为()320000,21x x x x -++，且00x ≠，则切线的斜率()2000341k f x x x '==-+，所以切线方程为()()()32200000021341y x x x x x x x --++=-+-，又因为切线方程过点()0,1，所以()()()322000000121341x x x x x x --++=-+-，解得01x =或0（舍去），所以切线方程为10y -=，即1y =.综上所述，过点()0,1作()y f x =的切线有2条，故D 错误．故选：AC.由()0f x ''=可求出()f x 的对称中心，进而可判断A ，求导得到()f x 的单调性和最值，进而可判断BC ，分点()0,1是切点和不是切点两种情况讨论，结合导数的几何意义可判断D.本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．10．BCD【详解】解：由10a ≠，向量()11,n a a S += ，()1,1n b S =+ ，对于任意*n ∈N ，都有a b ，可得()111n n S a S +=+，若11a =，则11n n S S +-=，可得{}n S 是等差数列，故B 正确；若11a ≠，可得11111111n n a a S a S a a +⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭，可得1111111n n a a S a a +=---，则()1nn a a =，故A 错误；若11a =-，则(1)n n a =-，12n n a a +-=，故C 正确；若12a =，则2n n a =，()()()()()()()()2222422121212121212121nn-++⋯⋯+=-++⋯+ 1122211n n a ++=-=-，故D 正确．故选：BCD.由向量共线的坐标表示推得()111n n S a S +=+，讨论1a 的值，结合等差数列和等比数列的定义和通项公式，可得结论．本题考查数列的递推式和向量共线的坐标表示、等差数列和等比数列的定义、通项公式，考查转化思想和方程思想、运算能力和推理能力，属于中档题．11．ACD【详解】解：已知正四棱台1111ABCD A B C D -，1124A B AB ==，球O 内切于棱台，点P 为侧面11A ADD 上一点（含边界），对于A 选项，取AD ，BC ，11B C ，11A D 的中点分别为M ，N ，X ，Y ，再取MN ，XY 的中点为S ，R ，则2MN =，4XY =，球O 内切于棱台，则O 点即为梯形MNXY 内切圆心，易知O 为SR 中点，且MO ，YO 均为角平分线，故OYR MSO △∽△，则r OR OS ====故球O 的表面积24π8πS r ==，故A 选项正确；对于B 选项，由上述分析可得，3MY XN ==，则正四棱台1111ABCD A B C D -的侧棱1AA =，作OE XN ⊥，垂足为E ，则E 为XN 三等分点（靠近N ）.设E N h '=，由勾股定理得22221E N BN E X B X '+=+'，则2h =，11B BC 的外接圆心E '为XN 三等分点（靠近X ），则三棱锥11P B BC -的外接球球心O '满足'⊥O E 平面11B BC ，显然OE ⊥平面11B BC ，故三棱锥11P B BC -的外接球球心不可能为O ，故B 选项错误；对于C 选项，若直线DP ⊥平面11PB C ，作11DH B C ⊥，垂足为H ，则P 的轨迹为以DH 为直径的圆，圆所在的平面与11B C 垂直，又点P 为侧面11A ADD 上一点（含边界），取1C X ，1D Y 的中点1Z ，2Z ，作12Z G Z D ⊥，垂足为P ，此时53DP =，故C 选项正确；对于D 选项，平面1PBC 与球O 的截面为圆，半径0r 满足2220r d r +=，故只需找离O 最远的平面1PBC 即可，显然观察四个顶点即可，其中P 取A ，1D 时为同一平面11ABC D ，此时显然离O 较近，当P 取1A 时，作OF BR ⊥，垂足为F ，则OF ⊥平面1PBC ，105d =；当P 取D 时，作1OG C S ⊥，垂足为G ，则OG ⊥平面1PBC ，1d =，故0max 1r =，故圆的截面面积为π，故D 选项正确．故选：ACD.对于A ：取AD ，BC ，11B C ，11A D 的中点分别为M ，N ，X ，Y ，再取MN ，XY 的中点为S ，R ，证出OYR MSO △∽△，进而求得r 即可；对于B ：利用条件得出三棱锥11P B BC -的外接球球心O '满足'⊥O E 平面11B BC ，显然OE ⊥平面11B BC ，即可判断；对于C ：若直线DP ⊥平面11PB C ，则P 的轨迹为以DH 为直径的圆，求解即可；对于D ：当P 取D 时，作1OG C S ⊥，垂足为G ，则OG ⊥平面1PBC ，1d =，即可得解．本题考查的知识点：棱台的性质，棱台和球的关系，主要考查学生的运算能力和空间想象能力，属于中档题．12．【详解】解：平面向量()1,2a =- ，()4,2a b += ，∴()()3,4b a b a =+-=，∴()13,24a kb k k +=+-+ ，()13,24a kb k k -=---，∵()()a kb a kb +⊥- ，∴()()22225250a kb a kb a k b k +⋅-=-=-= ，解得5k =±.故答案为：利用平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质求解．本题考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．12【详解】解：设221min ,4M ab a b ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭，则M ab ，2214M a b + ，所以2224ab M a b +，即12M =，当且仅当2a b =时取等号．故答案为：12.设221min ,4M ab a b ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭，则M ab ，2214M a b + ，即2224ab M a b + ，结合基本不等式即可求解．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．14【详解】解：设2C ：222502x y cx c +-+=与x 轴的交点为P ，Q ，不妨设,02c P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,0Q c ，11223PF QF PF QF ==，根据阿波罗尼斯圆的定义，得到123AF AF =，又1AF AB =，则222BF AF =，因为22cos b AF a θ=+，22cos b BF a θ=-，代入222BF AF =，得到cos 3a c θ=，在12AF F △中，132AF a =，22aAF =，由余弦定理得22294224423a a a a c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得33c a =.故答案为：3.根据阿波罗尼斯圆的定义，得到123AF AF =∣，再得到cos 3a cθ=，最后利用余弦定理求出e .本题考查椭圆的性质，属于中档题．15．(1)π3C =；【详解】解：（Ⅰ）若选①，由三角形的面积公式及余弦定理可得14sin 2cos 2ab C ab C ⨯=，可得tan C =()0,πC ∈，所以π3C =；若选②，由正弦定理可得：sin sin sin cos 2C C A A =，因为sin 0A >，所以2sin cos cos 222C C C=，cos 02C ≠，可得1sin 22C =，再由()0,πC ∈，可得π26C =，即π3C =；若选③，由正弦定理可得：πsin sin sin cos 6C B B C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，sin 0B >，可得ππcos cos 26C C ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,πC ∈，可得ππ26C C -=-，解得π3C =；（Ⅱ）因为3c =，D 是AB 上的点，CD 平分ACB ∠，ABC 的面积为4，所以()1π1π53sin sin 23264ab a b CD =+⋅⨯=，可得5ab =，()a b CD +⋅=由余弦定理可得22222cos ()3c a b ab C a b ab =+-=+-，即2935CD ⎛=-⨯ ⎝⎭，解得524CD =.即角平分线CD（Ⅰ）若选①，由三角形的面积公式及余弦定理可得tan C 的值，再由角C 的范围，可得角C 的大小；选②，由正弦定理及半角公式可得sin2C的值，再由角C 的范围，可得角C 的大小；若选③，由正弦定理及诱导公式可得角C 的大小；（Ⅱ）由等面积法及余弦定理可得角平分线CD 的值．本题考查正弦定理，余弦定理的应用，角平分线的性质的应用，属于中档题．16．(1)证明见解析；77.【详解】解：（Ⅰ）证明：取DE 中点M ，连接AM ，因为AD AE =，所以AM DE ⊥，又因为面面ADE ⊥面CDEF ，且面ADE 面CDEF DE =，所以AM ⊥面CDEF ，CD ⊂面CDEF ，所以AM CD ⊥，又因为CD AD ⊥，且AM AD A = ，所以CD ⊥面ADE ，所以CD AE ⊥，又AB CD ，所以AB AE ⊥；（Ⅱ）因为在直角梯形ABCD 中，π3ABC ∠=，AB 4=，2CD =，易求得AD =AD AE =，3AED π∠=，所以三角形ADE 为等边三角形，如图，以M 为原点建立直角坐标系，()0,0,0M ，()0,0,3A ，)2,0F ，()0,4,3B ，()D ，因为P 是AF 中点，所以点P 坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，所以33,22BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，)2,3BF =--，()2,0DF =，设面BDF 的法向量为(),,n x y z =r，则23020BF n y z DF n y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，则可取(1,n =，所以||sin |cos ,|||||BP n BP n BP n θ⋅=〈〉==⋅（Ⅰ）由已知证出AM ⊥面CDEF ，则AM CD ⊥，进而得出CD ⊥面ADE ，再根据AB CD 以及线面垂直的性质定理即可得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出面BDF 的法向量，结合向量夹角公式即可求解．本题考查线线垂直的判定以及空间向量的应用，属于中档题．17．(1)49；(2)（ⅰ）110，110，110；（ⅱ）()()()2112n n n -++【详解】解：（Ⅰ）若0k =，设抽取n 次中抽中黑球的次数为X ，则1,3X B n ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，故()11112213333n n n nn P P X C --⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由()1213n n n P P n++=，12345P P P P P >=><>…，故n P 最大值为2P 或3P ，即n P 的最大值49；（Ⅱ）（ⅰ）()()()()123121321123134510||P B B B P B P B B P B B B ==⨯⨯= ，()()()()123121321213134510||P B B B P B P B B P B B B ==⨯⨯=，()()()()123121321||213134510P B B B P B P B B P B B B ==⨯⨯= ；（ⅱ）由（ⅰ）可进行猜测，抽取n 次中恰有2次抽中的黑球的概率与抽球次序无关，则()()()()()212341211223123456212n n n n n n P C P B B B B B n n n ---==⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+++ .（Ⅰ）利用独立事件的概率乘法公式求解；（Ⅱ）（ⅰ）利用条件概率公式求解；（ⅱ）由（ⅰ）可进行猜测，抽取n 次中恰有2次抽中的黑球的概率与抽球次序无关，再结合独立事件的概率乘法公式求解．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了条件概率公式，属于中档题．18．(1)22y x=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）249p .【详解】解：（Ⅰ）因为AF FB =，则线段AB 是抛物线的通径，所以22AB p ==，得到1p =，抛物线方程为22y x =.（Ⅱ）（ⅰ）证明：因为12OG AB =，所以O 在以AB 为直径的圆上，所以90AOB ∠=︒，所以1OA OB k k ⋅=-，设211,2y A y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y p ⎛⎫⎪⎝⎭，则21222112222AB y y pk y y y y p p-==+-，所以直线AB 方程为1212122y y py x y y y y =+++，又12221OA OB p pk k y y ⋅=⋅=-，所以2124y y p =-，AB 方程为()21212122422p p py x x p y y y y y y -=+=-+++，直线AB 过定点()2,0p .（ⅱ）设()0,0E x ，EO 为AEB ∠的角平分线，则0AE BE k k +=，12221200022y y y y x x pp+=--，整理得()()22120210220y y px y y px -+-=，因为2124y y p =-，解得02x p =-，即1OA k k =，2OB k k =，不妨设10k >，因为121k k =-，则21122,p p A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理22222,p p B k k ⎛⎫⎪⎝⎭，直线EA 的方程为()12121k y x p k =++，与直线2y k x =的交点横坐标12122P pk x k k =-，同理21222Q pk x k k =-，所以12OPQ QS OP OQ ==△2p =2p=()()()()()22111112221224221111121111222122252125k k k k k k p p p k k k k k k +++===⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭，令111k t k +=，则2t ，所以()22212212252OPQ t S p p t t t=⋅=⋅-++△，当且仅当2t =，取最大值249p .（Ⅰ）利用抛物线的性质即可求解；（Ⅱ）（ⅰ）因为12OG AB =，则可推得1OA OB k k ⋅=-，设211,2y A y p ⎛⎫⎪⎝⎭，222,2y B y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出122AB p k y y =+，进一步可得直线AB 的方程1212122y y py x y y y y =+++，然后由12221OA OB p pk k y y ⋅=⋅=-，可得2124y y p =-，代入直线AB 的方程即可得证；（ⅱ）设()0,0E x ，EO 为AEB ∠的角平分线，则0AE BE k k +=，可得02x p =-，即1OA k k =，2OB k k =，不妨设10k >，因为121k k =-，则21122,p p A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理22222,p p B k k ⎛⎫⎪⎝⎭，直线EA 的方程为()12121k y x p k =++，与直线2y k x =的交点横坐标12122P pk x k k =-，同理21222Q pk x k k =-，表示出12OPQ S OP OQ =△，运用换元法求解即可．本题考查抛物线的方程与性质，考查联立直线与抛物线的方程解决综合问题，属于中档题．19．(1)最小值为1；(2)[)1,a ∈+∞(3)证明见解析【详解】解：（Ⅰ）当2a =-时，()12ln x f x e x x -=-+，定义域为()0,∞+，则()121x f x e x-'=-+，由()1220x f x e x -=+'>'，可得()f x '在()0,∞+单调递增，且()10f '=，故()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，则()f x 的最小值为()11f =；（Ⅱ）若()f x 在定义域内单调递增，则()0f x ' 在()0,x ∈+∞上恒成立，()1122x x xe x aa a f x e x a x--'-+=+-=，令()12x g x xex a a -=-+，则()()()2110a a g a+-= ，且()00g a = 可知1a ，下证1a 时，()0g x ，由()12x h a xex a a-=-+关于1a 单调递增，则()121x h a xe x --+ ，令()121x G x xex -=-+，则()()112x G x x e -'=+-，故()G x '在()0,x ∈+∞上单调递增，且()10G '=，则()G x 在()0,1上单调遂减，在()1,+∞上单调递增，所以()()10G x G = ，综上所述，[)1,a ∈+∞时，()f x 在定义域()0,∞+上单调递增；（Ⅲ）()12x a f x e x a -=+-'，()12x a f x e x-'=-'，则()f x ''在()0,∞+上单调递增，且存在唯一0x ，使得()00f x ''=，故()f x '在()00,x 上单调遂减，()0,x +∞单调递增，其中0120x x e a -=，且由()0,1a ∈，则()00,1x ∈，而()()000110012002210x x x a f x e x e x a x e---=+-'=+-<，故存在唯一极大值点1x 与极小值点2x ，满足102x x x <<，又()111120x a f x e x a -=+-='，则11112x x x e a a-=+，由()122120a f a e a a-=+-<-<'，故11x a <<，()()()()()111111*********ln 1ln 11ln 1x x x f x e a x x x e a x x e x x a---=+-=-+-<-+-，令()()()11ln 1x x x e x x ϕ-=-+-，()0,1x ∈，则()1ln 0x x xe x ϕ-=-+<'，0x +→时，()ln 10x x -<，0x =时，()111x x e e--=，所以()1x eϕ<，即()11f x e<.（Ⅰ）当2a =-时，()12ln x f x e x x -=-+，定义域为()0,∞+，求导得到()f x 的单调性，进而求出()f x 的最值；（Ⅱ）若()f x 在定义域内单调递增，则()0f x ' 在()0,x ∈+∞上恒成立，由()10f ' 可得1a ，再证1a 时，()f x 在定义域()0,∞+上单调递增即可；（Ⅲ）求导可知存在唯一0x ，使得()f x '在()00,x 上单调递减，()0,x +∞单调递增，进而可得102x x x <<，再结合()10f x '=证明即可．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．。
浙江省稽阳联谊学校高三数学下学期联考试题 理 新人教A版
2014年稽阳联谊学校高三联考数学（理科）试题注意：本卷共22题，满分150分，考试时间120分钟 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 棱柱的体积公式)()()(B P A P B A P +=+Sh V =如果事件A 、B 相互独立，那么其中S 表示棱柱的底面积，h 表示 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅棱柱的高棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是 Sh V 31=P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示 次的概率 棱锥的高棱台的体积公式k n k k n n P P C k P --=)1()(),,2,1,0(n k Λ= )(312211S S S S h V ++=球的表面积公式 其中S 1，S 2分别表示棱台的上下底 24R S π=面积，h 表示棱台的高球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径 第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z 满足(1)2z i i -=，其中i 为虚数单位，则||z = （ ）A ．1 C.2 D.42.已知全集U R =，集合2{|||1},{|20}A x Z x B x x x =∈≤=-<，则U A B =ðI （ ） A.{1,0}- B.{1,0,2}- C.{0} D.{1,1}-3.已知,,A B C 为ABC ∆的三个内角，则""A B >是"sin sin "A B >的 （ ） A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件.4. 已知空间两条不同的直线,m n 和两个不同的平面,αβ，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//,,//m n m n αα⊂则 B ．若,,m m n n αβα=⊥⊥I 则 C ．若//,//,//m n m n αα则 D ．若//,,,//m m n m n αβαβ⊂=I 则5. 执行如图所示的程序框图所表示的程序，则输出的结果为 （ ） A.9 B.10 C.11 D.136.已知直线a y x =+与圆222=+y x 交于,A B 两点，O 是原点，C 是圆上一点，若OC OB OA =+，则a 的值为（ ）A ．1±B ．2±C ．3±D ．2±7.如图是函数2()f x x ax b =++的部分图象，则函数()ln ()g x x f x '=+的零点所在的区间是 ( )A. 11(,)42B. (1,2)C. 1(,1)2D .(2,3) 8.已知ABC ∆中，2,4AB AC ==,O 为ABC ∆的外心，则AO BC ⋅u u u r u u u r等于A.4B.6C.8D.109.如图，双曲线22122:1,(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点为12,F F ，抛物线2C 的顶点为坐标原点O ，焦点为2F .过1F 的圆222x y a +=的一切线交抛物线2C 于点A ，切点为M .若线段 1F A 的中点恰为M ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A.152+B.132+C.52D.353+10. 已知点P是正方体1111ABCD A B C D-的表面上一动点，且满足||2||PA PB=.设1PD 与平面ABCD所成角为θ，则θ的最大值为 ( )A.6πB.4πC.3πD.2π第Ⅱ卷（非选择题部分共100分）二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分。
稽阳联考数学试卷
绝密★启用前2019 年 4 月稽阳联谊学校高三联考数学试题卷姓名：准考据号：本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4 页，选择题部分 1 至 3 页；非选择题部3 至 4页。
满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
考生注意：1．答题前，请务势必自己的姓名、准考据号用黑色笔迹的署名笔或钢笔分别填在试题卷和答 题纸规定的地点上。
2．答题时，请依据答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的地点上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参照公式：若事件 A, B 互斥，则 VShP( A B) P ( A) P( B)此中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高锥体的体积公式若事件 A, B 互相独立，则1ShP( AB)P ( A)P( B)V若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，则 n 次3此中 S 表示锥体的底面积，表示 h 锥体的高A 恰巧发生 k 次的概率独立重复试验中事件球的表面积公式 P n ( k) C n k p k (1 p)n k (k 0,1,2, ,n) S=4 R 2 台体的体积公式 球的体积公式V 1(SSSS ) h V4 311 22R33此中 SS此中表示球R 的半径1 ，2 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式选择题部分 ( 共 40 分 )一、选择题：本大题共 10 小题，每题4 分，共 40 分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
1. 已知会合 Ax x1 ， B x x2 2x 0 ，则 ABA. 0,1B.(0,2)C.(1,2) D.( 1,2)x 3,2. 若变量 x ， y 知足拘束条件 x y 3 0, 则 y 的取值范围是 x y 1 0.A. RB. 0,4C. 2,D. ,23. “直线 l 与平面 α平行”是“直线 l 与平面 α内无数条直线平行”的 A. 充足不用要条件 B.C. 充足必需条件D.必需不充足条件既不充足也不用要条件4. 在阿基米德的墓碑上刻着一副 “圆柱容球” 的几何图形， 它的三视图如下图， 记球的体积为 V 1 ，圆柱的体积为 V 2 ，球的表面积为 S 1 ，圆柱的全面积为 S 2 ，则以下结论正确的选项是A. V = 3V， S = 3SB.V = 2V ， S = 2S12 212 213 2 13 232 D.23 C. V = V， S = SV = V， S = S122132132 1225. 函数 y e x ( x 2 2x 1) 的图象可能是6. 已知随机变量， 知足8 ，若 E( ) 6 ， D( ) 2.4 ，则 E( ) ， D( ) 分别为 A. E ( ) 6 ， B.E( ) 6 ， C. E ( ) 2 ， D.E( ) 2 ，7. 若双曲线 C :y 2x 21 的两个极点将焦距三平分，则焦点到渐近线的距离是 4 b 2A. 2B.4C.4 2D.68. 平面向量 a ， b 知足 a - b = 3 ， a = 2 b ，则 a- b 与 a 夹角的最大值为A.B.C.D.2346、分别作两个平面 β、 （与9. 已知正ABC 所在平面垂直平面α，且边BC 在平面 α内，过AB ACγ正 ABC 所在平面不重合），则以下结论错误 ．．的是A. 存在平面 β与平面 γ，使得它们的交线 l 和直线 BC 所成角为 90B. 直线 BC 与平面 γ所成的角不大于60C. 平面 α与平面 β所成锐二面角不小于 60D. 平面 β与平面 γ所成锐二面角不小于 6010. 以下结论正确的选项是2019 2019 A. log 2017 2018 < log 2018 2019 <B. log 2018 2019 < log 2017 2018 <20182018C. 2019< log 2018 2019 < log 2017 2018D. 2019 < log 2017 2018 < log 2018 201920182018非选择题部分（共 110 分）二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。
2020年11月稽阳联谊学校高三联考数学试卷
2020年11月稽阳联谊学校高三联考数学试题卷命题人： 审稿人：本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页，满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 棱柱的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =13Sh 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n) 棱台的体积公式球的表面积公式)2211(31S S S S h V ++=24R S π=其中S 1, S 2分别表示棱台的上下底面 球的体积公式：334R V π=球 （其中R 表示球的半径）面积，h 表示棱台的高第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合2{|14},{|60}M x x N x x x =-<<=--<，则M N =（ ）A. {|14}x x -<<B. {|13}x x -<<C. {|23}x x -<<D.{|24}x x -<<2.已知复数1i z i=-，其中i为虚数单位，则||z =（ ）A. 12B. 2C. D. 2 3. 若变量y x ,满足2020240x y y x y --≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则26y x +-的最小值是（ ）A. 2-B. 45-C. 4-D. 12-4.已知函数sin ()2cos x xf x x=-的图象可能为 （ ）A B C D5. 已知0,0a b >>，则“log 2log 20b a >>”是“|1||1|a b ->-”的 （ ） A ．充要条件B C ．充分不必要条件D 6. A.7，53 C. 3+，537. 如图，已知点00(,)P x y 过点P 作椭圆222:143x y C +=直线AB 交1C 的两渐近线于点OE OF ⋅的值为A. 34C. 438. 四面体ABCD 中，,AB BC ⊥若四面体ABCD 的外接球（ ）A. 23B. 43C. 3D.39.已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若,p m n q <<<且*,,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是（ ）A. 22p p S p a =⋅B. p q m n a a a a >C. 1111p q m n a a a a +<+D.1111p q m nS S S S +>+ Oxy Ox y Oxy10. 已知e 为自然对数的底数，,a b 为实数，且不等式ln (21)10x e a x b +--++≤对任意的(0,)x ∈+∞恒成立.则当21b a ++取最大值时，a 的值为 （ ）A. 2eB. 21e -C. 3eD. 31e -第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，共36分，多空题每题6分，单空题每题4分。
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绝密★启用前
2019年4月稽阳联谊学校高三联考
数学试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至3页；非选择题部3至4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：
若事件,A B 互斥，则
()()()P A B P A P B +=+
若事件,A B 相互独立，则
()()()P AB P A P B =
若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次 独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
()(1)(0,1,2,,)
k k n k
n n
P k C p p k n -=-=
台体的体积公式
121
()3
V S S h =
其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，
h 表示台体的高 柱体的体积公式
V Sh =
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式
1
3V Sh =
其中S 表示锥体的底面积，表示锥体的高 球的表面积公式
2=4S R π
球的体积公式
34
3V R π=
其中表示球的半径
选择题部分 (共40分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1.已知集合{}1A x x =<，{}
220B x x x =-<，则A
B =
A.()0,1
B.(0,2)
C.(1,2)
D.(1,2)- 2.若变量x ，y 满足约束条件3,30,10.x x y x y ≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-+≥⎩
则y 的取值范围是
h R 姓名： 准考证号：
A.R
B.[]0,4
C.[)2,+∞
D.(],2-∞ 3.“直线l 与平面α平行”是“直线l 与平面α内无数条直线平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.在阿基米德的墓碑上刻着一副“圆柱容球”的几何图形，它的三视图如图所示，记球的体积为1V ，圆柱的体积为2V ，球的表面积为1S ，圆柱的全面积为2S ，则下列结论 正确的是 A.13
2V V 2，13
2S S 2 B.12
3V V 2，12
3S S 2
C.1
3
2V V 2，12
3S S 2 D.12
3V V 2，132
S S 2 5.函数2(21)x y e x x =++的图象可能是
6.已知随机变量ξ，η满足8ηξ=-+，若()6E ξ=，() 2.4D ξ=，则()E η，()D η分别为 A.()6E η=，() 2.4D η= B.()6E η=，() 5.6D η= C.()2E η=，() 2.4D η= D.()2E η=，() 5.6D η=
7.若双曲线22
2:14y x C b
-=的两个顶点将焦距三等分，则焦点到渐近线的距离是
A.2
B.4
C.426 8.平面向量a ，b 满足3a b ，2a b ，则a b 与a 夹角的最大值为
A.
2π B.3π C.4π D.6π 9.已知正ΔABC 所在平面垂直平面α，且边BC 在平面α内，过AB 、AC 分别作两个平面β、γ（与
正ΔABC 所在平面不重合），则以下结论错误．．
的是 A.存在平面β与平面γ，使得它们的交线l 和直线BC 所成角为90 B.直线BC 与平面γ所成的角不大于60 C.平面α与平面β所成锐二面角不小于60 D.平面β与平面γ所成锐二面角不小于60
10. 以下结论正确的是
A.201720182019
log 2018log 2019
2018
B.201820172019
log 2019log 2018
2018
C.201820172019log 2019log 20182018
D.201720182019log 2018log 20192018
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论 的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，以此得到十三个单音，从
第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的
频率1，则第七个单音的频率为 .
12. 已知i 是虚数单位，复数1i
=i z ，则z 的实部是 ，z .
13. 若7
2
70
127(1)x
a a x
a x a x ，则1
a ，1
7
a a .
14. 在ABC 中，5
cos
25
C ，1BC ，5AC ，则cos C ，sin A .
15. 袋中有2个红球，2个白球，2个黑球共6个球，现有一个游戏：从袋中任取3个球，恰好三 种颜色各取到1个则获奖，否则不获奖.则获奖的概率是 ，有3个人参与这个游戏，则恰 好有1人获奖的概率是 .
16. 已知C ，F 分别是椭圆2
22
2
:1x y a
b 的左顶点和左焦点，A 、B 是椭圆的下、
上顶点，设AF
和BC 交于点D ，若2CD DB ，则椭圆的离心率为 .
17. 已知关于x 的方程2ln (1)0x x
a x 在(0,)上有且只有一个实数根，则a 的取值范围是
.
三、解答题：本大题有5小题，共 74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18. （本题满分14分）已知函数()4cos sin()6
f x x x a π
=++的最大值为2，求：
（Ｉ）求a 的值及()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）()y f x =在5,012π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上的值域.
19. （本题满分15分）在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，BC AD ∥，BC AB ⊥，
2PB AD ==，1AB BC ==，E 为棱PD 上的点.
（Ｉ）若1
3
PE PD =，求证：//PB 平面ACE .
（Ⅱ）若E 是PD 的中点，求直线PB 与平面ACE 所成角的正弦值.
20. （本题满分15分）已知数列{}n a 满足：11(1)(2)n n a a n n +-=++，n *∈N 且112
a =-．
（Ｉ）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（Ⅱ）设1
35()3n n n
b t a --
=-（t 为正整数），是否存在正整数k ，使k b ，1k b +，2k b +按某种次序排
列后成等比数列，若存在k ，t 的值；若不存在，说明理由。
21. （本题满分15分）已知点P 在抛物线2
:2(0)C y px p 上，过P 作圆222
:()2
16
p p F x
y
3. （Ｉ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）设点(,0)M t ，(2,0)N t （t 为正常数），直线PM ，PN 分别
交抛物线C 于A 、B 两点，求ABP 面积取最小值时点P 的坐标.
22. （本题满分15分）已知()
ln (,2)x x
f x e e
a x a N a
的极值点0
1
(,1)2
x . （Ｉ）求a 的值； （Ⅱ）若不等式()()f x b b Z 恒成立，求b 的最大值.。