绝对值几何意义的应用

现在我们再来看一看这个问题：
例 3、若 a>0,b<0,则方程︱x– a︱ +︱ x– b︱ =a－ b的 解集是___________。
分析：如图2,点A与点B分别是表示数a和数b的点，而 ︱ x － a ︱则表示某一点到点 A 的距离，︱ x － b ︱则表 示这一点到点 B 的距离，︱ a － b ︱是指点 A 到点 B 的距 离 , 因 a ＞ b ，所以结果为 a － b 。该题意是指某一点到 点A和点B的距离之和等于点A到点B的距离，求这样的 点的取值范围。由图像可知，凡在点A和点B之间的点 都是符合题意的点，故此题的结果是b ≤x ≤ a 。
在教学中，我们可以反复通过类似于这样的习题，来强 化学生对此定义的记忆，让学生掌握这一用法。但，仅仅掌 握这一用法是不够的。比如说：若a > 0,b < 0,则方程︱x－ a︱＋︱y－b︱=a－b的解集是_________。如果此题按绝对值 的代数意义来求解 , 就必须考虑绝对值里面的数的正负号 , 然 后方可去掉绝对值,这样一来就要分段讨论,显然比较繁琐,教 师在授课过程中比较枯燥、乏味，学生难以接受，收不到良 好的教学效果。而教师通过绝对值的几何意义的教学，让学 生了解绝对值的几何意义之后，再来解决这类问题就会容易 的多。何谓绝对值的几何意义呢？教材对绝对值是这样定义 的，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的 距离。即︱x︱=︱x﹣0︱表示某数x的点到原点的距离,︱x－ a ︱则表示某数 x 的点到表示数 a 的点 A 的距离。既然是距离就 应该是没有方向的，没有方向的量显然是非负的；而涉及到 某个数的绝对值时，我们都知道，它应该是非负的，所以距 离与绝对值等价，利用其结果相同这一共性来解决问题就容 易的多。
x, x 0 x x, x 0
我们利用绝对值的这一定义即代数意义来解决下 面两个问题。 例1、有理数a、b、c在数轴上的位置如图1所示，若
m=︱a＋b︱–︱b–1︱–︱a–c︱–︱1–c︱,
则 1000m=
。
分析：如图，a<0，b<0，所以a＋b <0、b－1<0； 又因为c>0，a－c<0，而0< c <1，故1－c > 0，由绝 对值的代数意义可知：|a + b |=－（a + b），
|b－1| =－（b－1），
|a－c |=－（a－c），
|1－c| = 1－c ，
故 m =－（a + b）+（b－1）+（a－c）－（1－c）= －2
∴ 1000m =－2000。
例2、化简 ︱1+︱1+ x︱︱
（其中
x < －1 ）
分析：因为 x <－1,所以1+x < 0,故︱1 + x︱ =－（1+x），因此,原式=︱1－（1 + x）︱=︱－x︱ =︱x︱,而x <－1，所以最后的结果为－x。
课堂练习
1、不等式︱x︱>︱x＋5︱的解集是（ A ）。
5 D x 2
x
Hale Waihona Puke Baidu
5 2
5 B x 2
5 C x 2
2 、已知 0 ≤a≤ 4 ，那么︱ a － 2 ︱ + ︱ 3 － a ︱的最大值 等于（ ）。
A 1 B 5 C 8 D 3
小结：
绝对值在数学中的运用是非常广泛的，作为教学 来说，应重视对绝对值的教学，从它的代数意义和几 何意义两方面入手教学，切记不可忽视绝对值几何意 义的教学，以便让同学们更好地理解绝对值，只有这 样才能让我们的同学们把所学到的知识运用到实际中 去，为将来的数学学习打下坚实的基础。
当我们的同学们走进中学的课堂时，我们的数学 就扩大了数域，在较为简单的正整数、正分数和 0 的 基础上引入了负数，将我们所研究的数域扩充为有理 数域，随之而来将听到一个新名词——绝对值，也就 是它将贯穿着整个初中、高中甚至于大学的数学学习。 何谓绝对值呢？简单地说，就是一个计算的结果。 它的计算方法 是这样规定的：负数的绝对值是它的相反数； 0 和正数的绝对值是它本身。即