初中数学数学第六章 实数的专项培优练习题(及解析

初中数学数学第六章 实数的专项培优练习题(及解析

一、选择题

1．计算：122019(1)(1)(1)-+-+

+-的值是（ ）

A ．1-

B ．1

C ．2019

D ．2019-

2．若2a a a -=，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ） A ．原点左侧 B ．原点或原点左侧 C ．原点右侧 D ．原点或原点右侧 3．现定义一种新运算：a ★b=ab+a-b ，如：1★3=1×3+1－3=1，那么(－2)★5的值为（ ） A ．17 B ．3 C ．13 D ．－17 4．下列各式的值一定为正数的是 （ ）

A ．a

B ．2a

C ．2(100)a -

D ．20.01a +

5．下列各式正确的是( ) A ．164=±

B ．1116

493

= C ．164-=- D ．164=

6．若15的整数部分为a ，小数部分为b ，则a-b 的值为（） A ．615- B ．156- C ．815- D ．158- 7．已知|x |＝2，y 2＝9，且xy ＜0，则x +y 的值为（ ） A ．1或﹣1

B ．-5或5

C ．11或7

D ．-11或﹣7

8．130a b -+-=，则a b +的值是（ ） A ．0

B ．±2

C ．2

D ．4

9．估计65的立方根大小在（ ） A ．8与9之间 B ．3与4之间

C ．4与5之间

D ．5与6之间

10．下列说法正确的是（ ）

A ．a 2的正平方根是a

B ．819=±

C ．﹣1的n 次方根是1

D ．321a --一定是负数

二、填空题

11．如图，按照程序图计算，当输入正整数x 时，输出的结果是161，则输入的x 的值可能是__________．

12．如图所示，把半径为2个单位长度的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A 点对应原点，将圆形纸片沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周，点A 到达点A′的位置，则点A′表示的数是_______．

13．a 是不为2的有理数，我们把2称为a 的“文峰数”如：3的“文峰数”是

2223

=--，-2的“文峰数”是()21222=--，已知a 1=3，a 2是a 1的“文峰数”， a 3是a 2的“文峰数”， a 4是a 3的“文峰数”，……，以此类推，则a 2020=______ 14．估计

51-与0.5的大小关系是：

51

-_____0.5．（填“＞”、“=”、“＜”） 15．下面是按一定规律排列的一列数：

14，37，512，719，9

28

…，那么第n 个数是__． 16．定义新运算a ☆b ＝3a ﹣2b ，则（﹣2）☆1＝_____． 17．比较大小：

51

2

-__________0.5．（填“>”“<”或“=”） 18．49的平方根是________,算术平方根是______,-8的立方根是_____. 19．如果一个正数的两个平方根为a+1和2a-7，则这个正数为_____________． 20．若2x -+|2﹣x|＝x+3，则x 的立方根为_____．

三、解答题

21．下列等式：111122=-?，1112323=-?，1113434

=-?，将以上三个等式两边分别相加得：

1111111113

111223342233444

++=-+-+-=-=???． （1）观察发现：

1n(1)n =+__________111

1

122334

n(1)

n ++++

=???+ ．

（2）初步应用：利用（1）的结论，解决以下问题“①把1

12

拆成两个分子为1的正的真分数之差，即

112= ；②把1

12拆成两个分子为1的正的真分数之和，即112

= ；

（ 3 ）定义“?”是一种新的运算，若1112126?=+，1111

3261220?=+

+，111114*********

?=+++，求1

93?的值．

22．观察下列三行数：

(1)第①行的第n 个数是_______(直接写出答案，n 为正整数)

(2)第②、③行的数与第①行相对应的数分别有什么关系？

(3)取每行的第9个数，记这三个数的和为a ，化简计算求值：(5a 2-13a-1)-4(4-3a+54

a 2) 23．观察下列各式：

111122

-?

=-+； 11112323-?=-+； 11113434-?=-+； …

(1)你发现的规律是_________________.(用含n 的式子表示； (2)用以上规律计算：1111223????-?+-?+ ? ?????11113420172018????-?+???+-? ? ?????

24．阅读下列解题过程：

（1

2====；

（2

== 请回答下列问题：

（1）观察上面解题过程,

的结果为__________________．

（2）利用上面所提供的解法，请化简： ......

25．你会求（a ﹣1）（a 2012+a 2011+a 2010+…+a 2+a+1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：

()()2111a a a -+=-，

()()23111a a a a -++=-， ()()324111a a a a a -+++=-，

（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a ﹣1）（a 2014+a 2013+a 2012+…+a 2+a+1）＝ 利用上面的结论，求：

（2）22014+22013+22012+…+22+2+1的值是 ． （3）求52014+52013+52012+…+52+5+1的值．

26．对非负实数x “四舍五入”到各位的值记为x <>.即:当n 为非负整数时，如果

12

n x -

≤<1

n 2+，则x n <>=；反之，当n 为非负整数时，如果x n <>=，则

1122

n x n -<+≤． 例如： 00.480<>=<>=，0.64 1.491, 3.5 4.124<>=<>=<>=<>=． （1）计算： 1.87<>= ；

= ；

（2）①求满足12x <->=的实数x 的取值范围， ②求满足4

3

x x <>=

的所有非负实数x 的值； （3）若关于x 的方程

211

22

a x x -<>+-=-有正整数解，求非负实数a 的取值范围．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．A 解析：A 【分析】

根据题意，1-的奇数次幂等于1-，1-的偶数次幂等于1，然后两个加数作为一组和为0，即可得到答案. 【详解】

解：∵1-的奇数次幂等于1-，1-的偶数次幂等于1， ∴1

2

2019(1)(1)(1)-+-+

+-

=1234201720182019[(1)(1)][(1)(1)][(1)(1)](1)-+-+-+-++-+-+-

=2019(1)- =1-； 故选：A. 【点睛】

本题考查了数字规律性问题，有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握1-的奇数次幂等于1-，1-的偶数次幂等于1.

2．B

解析：B 【分析】

根据非正数的绝对值是它的相反数，可得答案． 【详解】

解：由a-|a|=2a ，得 |a|=-a ， 故a 是负数或0，

∴实数a在数轴上的对应点在原点或原点左侧

故选：B．

【点睛】

本题考查了实数与数轴，利用了非负数的绝对值，非正数与数轴的关系：非正数位于原点及原点的左边．

3．D

解析：D

【分析】

根据新运算的定义即可得到答案．

【详解】

∵a★b=ab+a﹣b，∴（﹣2）★5=（﹣2）×5﹣2﹣5=﹣17．

故选D．

【点睛】

本题考查了基本的知识迁移能力，运用新定义，求解代数式即可，要灵活运用所学知识，要认真掌握．

4．D

解析：D

【分析】

任何数的绝对值都是一个非负数.非负数(正数和0)的绝对值是它本身，非正数(负数和0)的绝对值是它的相反数.任何数的平方都是大于等于0的.

【详解】

选项A中，当a=0，则a=0；

选项B中，当a=0，则a2=0；

选项C中，当a=100，则(a-100)2=0；

选项D中，无论a取何值，a2+0.01始终大于0.

故选：D.

【点睛】

此题考查绝对值的非负性，算术平方根的非负性，解题关键在于掌握其性质.

5．D

解析：D

【分析】

根据算术平方根的定义逐一判断即可得解.

【详解】

=，故原选项错误；

4

=，故原选项错误；

D. 4

=，计算正确，故此选项正确.

故选D.

【点睛】

此题主要考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义.

6．A

解析：A

【分析】

先根据无理数的估算求出a、b的值，由此即可得．

【详解】

<<，

91516

<<，

<<34

∴==，

a b

3,3

)

∴-=-=，

336

a b

故选：A．

【点睛】

本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．

7．A

解析：A

【分析】

根据题意，利用平方根定义，绝对值的代数意义，以及有理数的乘法法则判断确定出x与y的值即可．

【详解】

解：∵|x|＝2，y2＝9，且xy＜0，

∴x=2或-2，y=3或-3，

当x=2，y=-3时，x+y=2-3=-1；

当x=-2，y=3时，原式=-2+3=1，

故选：A．

【点睛】

此题考查了有理数的乘方，绝对值，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

8．C

解析：C

【分析】

由算术平方根和绝对值的非负性，求出a、b的值，然后进行计算即可．

【详解】

解：根据题意，得

a﹣1＝0，b﹣3＝0，

解得：a ＝1，b ＝3， ∴a +b ＝1+3＝4， ∴

2．

故选：C ． 【点睛】

本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，解题的关键是正确求出a 、b 的值．

9．C

解析：C 【分析】

先确定65介于64、125这两个立方数之间，从而可以得到45<<，即可求得答案．

【详解】

解：∵3464=，35125= ∴6465125<<

∴45<

．

故选：C 【点睛】

本题考查了无理数的估算，“夹逼法”是估算的一种常用方法，找到与65临界的两个立方数是解决问题的关键．

10．D

解析：D 【分析】

根据平方根、算术平方根、立方根的定义判断A 、B 、D ，根据乘方运算法则判断C 即可． 【详解】

A ：a 2的平方根是a ±，当0a ≥时，a 2的正平方根是a ，错误；

B 9=，错误；

C ：当n 是偶数时，()1=1n

- ；当n 时奇数时，()1=-1n

-，错误；

D ：∵210a --< ，∴

【点睛】

本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义以及乘方运算，掌握相关的定义与运算法则是解题关键．

二、填空题

11．、、、． 【解析】

解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53； 如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；

如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；

解析：53、17、5、1．

【解析】

解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；

如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；

如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；

如果四次才输出结果：则x=(5-2)÷3=1；

则满足条件的整数值是：53、17、5、1．

故答案为：53、17、5、1．

点睛：此题的关键是要逆向思维．它和一般的程序题正好是相反的．

12．-4

【解析】

解：该圆的周长为2π×2=4π，所以A′与A的距离为4π，由于圆形是逆时针滚动，所以A′在A的左侧，所以A′表示的数为-4π，故答案为-4π．

解析：-4

【解析】

解：该圆的周长为2π×2=4π，所以A′与A的距离为4π，由于圆形是逆时针滚动，所以A′在A的左侧，所以A′表示的数为-4π，故答案为-4π．

13．．

【分析】

先根据题意求得、、、，发现规律即可求解．

【详解】

解：∵a1=3

∴，，，，

∴该数列为每4个数为一周期循环，

∵

∴a2020=．

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查规律的探索，

解析：4

3

．

【分析】

先根据题意求得2a、3a、4a、5a，发现规律即可求解．【详解】

解：∵a1=3

∴22223

a ==--，()321222a ==--，4241322a ==-，523423

a ==-， ∴该数列为每4个数为一周期循环， ∵20204505÷= ∴a 2020=44

3

a =． 故答案为：43

． 【点睛】

此题主要考查规律的探索，解题的关键是根据题意发现规律．

14．> 【解析】

∵ . , ∴ , ∴ ,故答案为>.

解析：> 【解析】

∵

10.52-=-=

20-> ,

∴0> ,

∴0.5> ,故答案为>.

15．【解析】

∵分子分别为1,3,5,7,…,∴第n 个数的分子是2n －1, ∵4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,…, ∴第n 个数的分母为n2+3,∴第n 个数 解析：

221

3

n n -+ 【解析】

∵分子分别为1,3,5,7,…,∴第n 个数的分子是2n －1, ∵4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,…, ∴第n 个数的分母为n 2+3,∴第n 个数是

2213n n -+,故答案为

:221

3

n n -+. 16．﹣8 【分析】

原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】

解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（?2）?2×1＝?6?2＝?8， 故答案为?8. 【点睛】

此题考查了有理数的混合运算，

解析：﹣8 【分析】

原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】

解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（?2）?2×1＝?6?2＝?8， 故答案为?8. 【点睛】

此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．

17．＞ 【分析】

首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小． 【详解】 ∵， ∵-2＞0， ∴＞0． 故＞0.5． 故答案为：＞. 【点睛】

此题考查实数大小比较，解题关键在于

解析：＞ 【分析】

首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小． 【详解】

∵

1112

-0.5=-=

2222

，

＞0，

＞0．

＞0.5． 故答案为：＞. 【点睛】

此题考查实数大小比较，解题关键在于掌握比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．

18．±7 7 -2 【解析】

试题解析：∵（±7）2=49，

∴49的平方根是±7，算术平方根是7； ∵（-2）3=-8， ∴-8的立方根是-2.

解析：±7 7 -2 【解析】

试题解析：∵（±7）2=49，

∴49的平方根是±7，算术平方根是7； ∵（-2）3=-8， ∴-8的立方根是-2.

19．9 【分析】

根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数求出a 的值，即可确定出这个正数． 【详解】

解：根据一个正数的两个平方根为a+1和2a-7得： ， 解得：， 则这个正数是． 故答案为：9． 【

解析：9 【分析】

根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数求出a 的值，即可确定出这个正数． 【详解】

解：根据一个正数的两个平方根为a+1和2a-7得： 1270a a ++-=， 解得：2a =，

则这个正数是2

(21)9+=． 故答案为：9． 【点睛】

本题主要考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．

20．3 【分析】

直接利用二次根式有意义的条件得出x 的取值范围进而得出x 的值，求出答案． 【详解】 解：∵有意义，

∴x ﹣2≥0， 解得：x≥2， ∴+x﹣2＝x+3， 则＝5， 故x ﹣2＝25， 解得

解析：3 【分析】

直接利用二次根式有意义的条件得出x 的取值范围进而得出x 的值，求出答案． 【详解】

∴x ﹣2≥0， 解得：x≥2，

﹣2＝x+3，

5， 故x ﹣2＝25， 解得：x ＝27， 故x 的立方根为：3． 故答案为：3． 【点睛】

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的性质是解题关键．

三、解答题

21．（1）111n n -+；1n n +；（2）①1341-；②112424+；（ 3 ）14

． 【分析】

（1）利用材料中的“拆项法”解答即可；

（2）①先变形为

111234=?，再利用（1）中的规律解题；②先变形为12

1224

=，再逆用分数的加法法则即可分解；

（3）按照定义“?”法则表示出1

93

?，再利用（1）中的规律解题即可． 【详解】

解：（1）观察发现：

()1

1n n =+111n n -+， 1111

122334

(1)

n n ++++???+

＝11111111223341

n n -+-+-+?+-+ ＝1

11

n -+ ＝

1

n

n +； 故答案是：

111n n -+；

1

n n +. （2）初步应用： ①111234=?=1134-； ②

121112242424

==+； 故答案是：

1134-；112424

+. （ 3 ）由定义可知：

193?＝11111111112203042567290110132++++++++ =

455111111611311412-+-+-+?+- =13211- =14

. 故

193?的值为14． 【点睛】

考查了有理数运算中的规律型问题：数字的变化规律，有理数的混合运算．本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．

22．(1)-(-2)n ；(2)第②行数等于第①行数相应的数减去2；第③行数等于第①行数相应的数除以(－2)；(3)-783 【分析】

第一个有符号交替变化的情况时，可以考虑在你所找到的规律代数式中合理的加上负号，并检验计算结果。 【详解】

（1）首先2 4 8 16 很显然后者比前者多一个二倍。那么通项（一串数列具有代表性的代数

式）中绝对含有n 2，前面加上负号。考虑到数值的变化可以用n 1-12n

-（）表示。

（2）第②行数等于第①行数相应的数减去2 第③行数等于第①行数相应的数除以(－2)

（3）原式=22225131(16125)51311612517a a a a a a a a a ----+=---+-=-- 第①行的第9个数为512，第②行的第9个数为510，第③行的第9个数为-256，所以

512510256766a =+-=，将a 的值代入上式，得原式=-783. 【点睛】

找规律要善于发现数字之间的共同点，或者是隐藏关系，培养学生的数感。规律很多，关键要在与尝试。 23．（1）111111

n n n n -?=-+++；（2）20172018-

【分析】

（1）由已知的等式得出第n 个式子为111111

n n n n -?=-+++； （2）根据规律将原式中的积拆成和的形式，运算即可.

【详解】

（1）∵第1个式子为111122

-?=-+ 第2个式子为1111

2323

-?=-+

第3个式子为1111

3434-?=-+ ……

∴第n 个式子为1111

11

n n n n -?=-+++ 故答案为：111111

n n n n -

?=-+++ （2）由（1）知：原式1

111111(1)()()()2

233420172018

=-++-

++-++???+-+ 1

12018

=-+ 2017

2018

=-

【点睛】

本题考查有理数的混合运算以及数字规律，分析题目，找出规律是解题关键.

24．（1-2）9 【分析】

（1）利用已知数据变化规律直接得出答案； （2）利用分母有理化的规律将原式化简进而求出即可. 【详解】

解：（1

=

=

（2......

=

=-1+10

=9

【点睛】

此题主要考查了分母有理化，正确化简二次根式是解题关键.

25．（1）a2015﹣1；（2）22015﹣1；（3）

2015

51

4

-

．

【分析】

（1）根据已知算式得出规律，即可得出答案．

（2）先变形，再根据规律得出答案即可．

（3）先变形，再根据规律得出答案即可．

【详解】

（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，（a﹣1）（a2012+a2011+a2010+…+a2+a+1）＝a2015﹣1，

故答案为：a2015﹣1；

（2）22014+22013+22012+…+22+2+1

＝（2﹣1）×（22014+22013+22012+…+22+2+1）

＝22015﹣1，

故答案为：22015﹣1；

（3）52014+52013+52012+…+52+5+1

＝1

4

×（5﹣1）×（52014+52013+52012+…+52+5+1）

＝

2015

51

4

-

．

【点睛】

本题考查了实数运算的规律题，掌握算式的规律是解题的关键．

26．（1）2，3 （2）①57

22

x

≤<②

33

0,,

42

（3）00.5

a

≤<

【分析】

（1）根据新定义的运算规则进行计算即可；

（2）①根据新定义的运算规则即可求出实数x的取值范围；②根据新定义的运算规则和4

3

x为整数，即可求出所有非负实数x的值；

（3）先解方程求得

2

2

x

a

=

-<>

，再根据方程的解是正整数解，即可求出非负实数a的取

值范围．

【详解】

（1） 1.87<>=2；

=3；

（2）①∵12x <->= ∴1121222

x --<+≤

解得

5722

x ≤<； ②∵4

3

x x <>=

∴41413232x x x -<+≤ 解得3322

x -<≤

∵43

x 为整数 ∴333,0,,442

x =-

故所有非负实数x 的值有33

0,,42

； （3）

211

22

a x x -<>+-=- 1241a x x -<>+-=- 22x a =

-<>

∵方程的解为正整数 ∴21a -<>=或2

①当21a -<>=时，2x =是方程的增根，舍去 ②当22a -<>=时，00.5a ≤<． 【点睛】

本题考查了新定义下的运算问题，掌握新定义下的运算规则是解题的关键．