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4．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个开区间，并列成 表格检查．
f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取 得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不 改变符号，那么f(x)在这个根处无极值． 5．利用导数求函数的最值步骤 (1)求f(x)在(a，b)内的极值； (2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在[a，b]上的最值．
【例1】设a为实数，函数f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x在(－∞，0)和(1，＋∞)都是增 函数，求a的取值范围． 解答：f′(x)＝3x2－2ax＋(a2－1)，其判别式Δ＝4a2－12a2＋12＝12－8a2. (1)若Δ＝12－8a2＝0，即a＝± . 当x∈(－∞， )或x∈( ，＋∞)时， f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)为增函数． 所以a＝± . (2)若Δ＝12－8a2<0，恒有f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)为增函数．
1．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( )
A．f(0)＋f(2)<2f(1)
wk.baidu.com
B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1)
D．f(0)＋f(2)>2f(1)
解析：(x－1)f′(x)≥0，
或
①函数y＝f(x)在(－∞，1]上单调递减，f(0)>f(1)；在[1，＋∞)上单调递增，
f(2)>f(1)，
∴f(0)＋f(2)>2f(1)．
②函数y＝f(x)可为常数函数，f(0)＋f(2)＝2f(1)．故选C项．
答案：C
2．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )
A．－2
B．0
C．2
D．4
解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0，x＝2(舍去)．
f′(x)＝3x2－2(a＋b)x＋ab，
1. 此类题主要考查求函数的极值以及极值的应用，经常与单调性、最值知识结 合应用于与函数有关的数学问题中，高考时可以以选择题、填空题形式出 现，也可出现在中档大题中．
2．应注意函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值，则 f′(x0)＝0.
3．要特别关注三次函数的单调性和极值问题．
比较f(－1)，f(0)，f(1)的大小知f(x)max＝f(0)＝2，选C项． 答案：C
3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，
则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：f′(x)>0单调递增，f(x)′<0单调递减．f′(x)＝0→f′(x)＝0→f′(x)>0.
2．极大值 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜ f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0是极大值点．
3．极小值 一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞ f(x0)．就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0是极小值点．
(3)若Δ＝12－8a2>0，即
，令f′(x)＝0，
解得
当x∈(－∞，x1)或x∈(x2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数； 当x∈(x1，x2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数．依题意x1≥0且x2≤1. 由x1≥0得
从而a∈[1， )．综上，a的取值范围为
变式1.设x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的两个极值点． (1)求a和b的值；(2)求f(x)的单调区间． 解答：(1)∵f′(x)＝5x4＋3ax2＋b，由假设知：f′(1)＝5＋3a＋b＝0 f′(2)＝24×5＋22×3a＋b＝0， 解得a＝ ，b＝20. (2)由(1)知f′(x)＝5x4＋3ax2＋b＝5(x2－1)(x2－4)＝5(x＋1)(x＋2)(x－1)(x－2) 当x∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)时，f′(x)＞0 当x∈(－2，－1)∪(1,2)时，f′(x)＜0， 因此f(x)的单调增区间是(－∞，－2)，(－1,1)，(2，＋∞)， f(x)的单调减区间是(－2，－1)，(1,2)．
【例2】已知函数f(x)＝x(x－a)(x－b)在x＝s，x＝t处取到极值，其中a>0，b>0.
(1)设A(s，f(s))，B(t，f(t))，求证线段AB中点在曲线y＝f(x)上；
(2)若a＋b<2 ，判断过原点且与曲线y＝f(x)相切的两条直线是否垂直．
解答：(1)f(x)＝x(x－a)(x－b)＝x3－(a＋b)x2＋abx，
2.11 导数的应用
了解函数单调性和导数的关系/能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调 区间/了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件/会用导数求函数的极大值、 极小值/会求闭区间上函数的最大值、最小值/会利用导数解决某些实际问题
1．函数在某区间上单调的充分条件 一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y′＞0，那么 函数y＝f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y′＜0，那么函数y＝ f(x)为这个区间内的减函数．
由题中图象可知只有1个极小值点．
答案：A
4．(2010·开封高三月考)函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致
图象如右图，则
等于( )
解析：由题图可知f(－1)＝f(0)＝f(2)＝0， 解得：b＝－1，c＝－2，d＝0，则f′(x)＝3x2－2x－2， 则 答案：C
此类题主要考查求函数的导数、单调性的判定以及单调性的应用，是高考考查 的重点，考题可能以小题形式出现，也可以以中档大题形式出现．应注意函数y ＝f(x)在区间(a，b)上可导，则f′(x)＞0是函数y＝f(x)在(a，b)上递增的充分条件， 并非充要条件．
f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取 得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不 改变符号，那么f(x)在这个根处无极值． 5．利用导数求函数的最值步骤 (1)求f(x)在(a，b)内的极值； (2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在[a，b]上的最值．
【例1】设a为实数，函数f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x在(－∞，0)和(1，＋∞)都是增 函数，求a的取值范围． 解答：f′(x)＝3x2－2ax＋(a2－1)，其判别式Δ＝4a2－12a2＋12＝12－8a2. (1)若Δ＝12－8a2＝0，即a＝± . 当x∈(－∞， )或x∈( ，＋∞)时， f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)为增函数． 所以a＝± . (2)若Δ＝12－8a2<0，恒有f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)为增函数．
1．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( )
A．f(0)＋f(2)<2f(1)
wk.baidu.com
B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1)
D．f(0)＋f(2)>2f(1)
解析：(x－1)f′(x)≥0，
或
①函数y＝f(x)在(－∞，1]上单调递减，f(0)>f(1)；在[1，＋∞)上单调递增，
f(2)>f(1)，
∴f(0)＋f(2)>2f(1)．
②函数y＝f(x)可为常数函数，f(0)＋f(2)＝2f(1)．故选C项．
答案：C
2．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )
A．－2
B．0
C．2
D．4
解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0，x＝2(舍去)．
f′(x)＝3x2－2(a＋b)x＋ab，
1. 此类题主要考查求函数的极值以及极值的应用，经常与单调性、最值知识结 合应用于与函数有关的数学问题中，高考时可以以选择题、填空题形式出 现，也可出现在中档大题中．
2．应注意函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值，则 f′(x0)＝0.
3．要特别关注三次函数的单调性和极值问题．
比较f(－1)，f(0)，f(1)的大小知f(x)max＝f(0)＝2，选C项． 答案：C
3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，
则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：f′(x)>0单调递增，f(x)′<0单调递减．f′(x)＝0→f′(x)＝0→f′(x)>0.
2．极大值 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜ f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0是极大值点．
3．极小值 一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞ f(x0)．就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0是极小值点．
(3)若Δ＝12－8a2>0，即
，令f′(x)＝0，
解得
当x∈(－∞，x1)或x∈(x2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数； 当x∈(x1，x2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数．依题意x1≥0且x2≤1. 由x1≥0得
从而a∈[1， )．综上，a的取值范围为
变式1.设x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的两个极值点． (1)求a和b的值；(2)求f(x)的单调区间． 解答：(1)∵f′(x)＝5x4＋3ax2＋b，由假设知：f′(1)＝5＋3a＋b＝0 f′(2)＝24×5＋22×3a＋b＝0， 解得a＝ ，b＝20. (2)由(1)知f′(x)＝5x4＋3ax2＋b＝5(x2－1)(x2－4)＝5(x＋1)(x＋2)(x－1)(x－2) 当x∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)时，f′(x)＞0 当x∈(－2，－1)∪(1,2)时，f′(x)＜0， 因此f(x)的单调增区间是(－∞，－2)，(－1,1)，(2，＋∞)， f(x)的单调减区间是(－2，－1)，(1,2)．
【例2】已知函数f(x)＝x(x－a)(x－b)在x＝s，x＝t处取到极值，其中a>0，b>0.
(1)设A(s，f(s))，B(t，f(t))，求证线段AB中点在曲线y＝f(x)上；
(2)若a＋b<2 ，判断过原点且与曲线y＝f(x)相切的两条直线是否垂直．
解答：(1)f(x)＝x(x－a)(x－b)＝x3－(a＋b)x2＋abx，
2.11 导数的应用
了解函数单调性和导数的关系/能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调 区间/了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件/会用导数求函数的极大值、 极小值/会求闭区间上函数的最大值、最小值/会利用导数解决某些实际问题
1．函数在某区间上单调的充分条件 一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y′＞0，那么 函数y＝f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y′＜0，那么函数y＝ f(x)为这个区间内的减函数．
由题中图象可知只有1个极小值点．
答案：A
4．(2010·开封高三月考)函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致
图象如右图，则
等于( )
解析：由题图可知f(－1)＝f(0)＝f(2)＝0， 解得：b＝－1，c＝－2，d＝0，则f′(x)＝3x2－2x－2， 则 答案：C
此类题主要考查求函数的导数、单调性的判定以及单调性的应用，是高考考查 的重点，考题可能以小题形式出现，也可以以中档大题形式出现．应注意函数y ＝f(x)在区间(a，b)上可导，则f′(x)＞0是函数y＝f(x)在(a，b)上递增的充分条件， 并非充要条件．