高中数学解题思路大全例析反函数的几种题型及解法

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高中数学解题技巧之函数反函数求解

高中数学解题技巧之函数反函数求解在高中数学中，函数反函数是一个重要的概念，它在各个数学分支中都有广泛的应用。

理解和掌握函数反函数的求解方法，对于解题和理解数学概念具有重要意义。

本文将介绍函数反函数的求解技巧，并通过具体的例题进行解析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这一概念。

函数反函数的求解是指在已知一个函数的情况下，找到它的反函数。

反函数是指将原函数的自变量和因变量互换位置后得到的新函数。

要求一个函数有反函数，首先需要保证原函数是一一对应的，即每个自变量对应唯一的因变量。

接下来，我们将介绍函数反函数的求解方法。

首先，我们来看一个简单的例子。

假设有一个函数 f(x) = 2x + 3，我们需要求解它的反函数。

我们可以按照以下步骤进行求解：1. 将 f(x) = 2x + 3 中的 x 和 f(x) 互换位置，得到 x = 2f(x) + 3。

2. 解方程 x = 2f(x) + 3，将 f(x) 表示为 x 的函数。

3. 将方程 x = 2f(x) + 3 移项得到 2f(x) = x - 3。

4. 将方程 2f(x) = x - 3 中的 x 和 f(x) 互换位置，得到 f(x) = (x - 3) / 2。

通过以上步骤，我们成功地求解出了函数 f(x) = 2x + 3 的反函数 f^(-1)(x) = (x - 3) / 2。

这个例子展示了函数反函数求解的基本步骤。

接下来，我们来看一个更复杂的例子。

假设有一个函数 g(x) = e^(2x + 1)，我们需要求解它的反函数。

对于指数函数的反函数求解，我们可以按照以下步骤进行：1. 将 g(x) = e^(2x + 1) 中的 x 和 g(x) 互换位置，得到 x = e^(2g(x) + 1)。

2. 将方程 x = e^(2g(x) + 1) 取对数，得到 ln(x) = 2g(x) + 1。

3. 将方程 ln(x) = 2g(x) + 1 中的 g(x) 表示为 x 的函数。

高中数学如何利用反函数求解方程

高中数学如何利用反函数求解方程在高中数学学习中，解方程是一个重要的内容。

而利用反函数求解方程是一种常见的解题方法，它可以帮助我们更快地找到方程的解。

本文将以具体的题目为例，介绍如何利用反函数求解方程，并探讨此题的考点和解题技巧。

首先，我们来看一个简单的例子：求解方程2x+1=5。

要利用反函数求解这个方程，我们需要先将方程转化为反函数的形式。

观察方程，我们可以发现x的系数是2，常数项是1，而等式右边是5。

根据反函数的定义，我们可以将方程改写为f(x)=2x+1和g(x)=5两个函数的关系。

其中，f(x)是原函数，g(x)是反函数。

接下来，我们需要找到f(x)和g(x)的关系。

由于f(x)和g(x)是反函数，它们的自变量和因变量互换，即f(g(x))=x和g(f(x))=x。

将f(x)=2x+1和g(x)=5代入这两个等式中，我们可以得到2g(x)+1=x和5f(x)+1=x两个方程。

现在，我们可以利用这两个方程求解原来的方程2x+1=5了。

将2g(x)+1=x代入2x+1=5中，得到2(5)+1=x，化简得到x=11。

同样地，将5f(x)+1=x代入2x+1=5中，得到5(2x+1)+1=x，化简得到x=9/4。

通过利用反函数，我们成功地求解了方程2x+1=5，得到了两个不同的解x=11和x=9/4。

这个例子展示了如何利用反函数求解方程的步骤和方法。

那么，利用反函数求解方程的考点是什么呢？首先，我们需要理解反函数的概念和性质。

反函数是指满足f(g(x))=x和g(f(x))=x的两个函数之间的关系。

其次，我们需要掌握将方程转化为反函数形式的技巧。

通过观察方程的系数和常数项，我们可以将方程转化为两个函数的关系，从而利用反函数求解方程。

最后，我们需要熟练运用反函数的性质解题。

通过将反函数代入原方程，我们可以得到新的方程，从而求解出方程的解。

利用反函数求解方程的方法不仅适用于简单的一元一次方程，还可以推广到更复杂的方程类型。

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2．4 反函数·例题解析【例1】求下列函数的反函数：(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+ (3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0)(0x 1)＝≤．＝－≤≤－＜≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪ 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．35211232352153253232x x x x y y y y -+-++-+-解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)，由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11111122x x yy xx++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤，得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤，x x +-1 得值域－≤＜，反函数＝－≤＜，故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1)x(1x 0)1222-⎧⎨⎪⎩⎪x【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．(1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1，由＝－，得反函数＝＋＋≥－．函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2，反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23它们的图像如图2．4－2所示．【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值．解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠，31x x a ++若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313-----ay y ax x(2)f(x)f (x)x 1若＝，即＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113x x a axx 令x ＝0，∴a ＝－3．或解由f(x)＝f -1(x)，那么函数f(x)与f -1(x)的定义域和值域相同，定义域是{x|x ≠a ，x ∈R }，值域y ∈{y|y ≠3，y ∈R }，∴－a ＝3即a ＝－3．【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax bcx d++试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时，它的反函数仍是自身．解 f(x)bc ad 0f (x)x 1＝＋，∵常数函数没有反函数，∴－≠．又＝，要使＝，对定义域内一切值恒成立，a c bc adc cxd dx bcx adx b cx a ax b cx d-+-+--+-++-()令x ＝0，得－a ＝d ，即a ＋d ＝0．事实上，当a ＋d ＝0时，必有f -1(x)＝f(x)，因此所求的条件是bc －ad ≠0，且a ＋d ＝0．【例5】设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f -1(x)，(2)证明f -1(x)在其定义域内是减函数．解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪--1373137313737373x设＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，故在－∞，上是减函数．x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]121211121737337312-----x x x【例6】解法一若函数＝，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x xx-+-++-+----121212112212111解法(二) 由函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f -1(x)之间的一一对应关系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a--111证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由＝，≠，≠，得－＝－，如果－＝，则＝，∴＝得＝，这与已知≠矛盾，x ax aa x ax ----111111∴－≠，故＝，∴＝，即证得＝的反函数就是它本身．ay 10x f (x)f(x)1y ay x ax x ax -------111111因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y ＝x 对称， ∴函数y ＝f(x)的图像关于直线y ＝x 对称．赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，，且2t t -，是关于x的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m =代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，，且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ）由（I ）得，3mt =-，即0m >．将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-． ∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（）Ａ．24米Ｂ．12米Ｃ．米Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．函数关系式；（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式；（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+．图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． ) 图(1)90 图(2)90天21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >．（3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价．故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100；②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593； ③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56．综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取7=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取5=）答案：解：（1）（3抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+．由已知：当0x =时1y =．即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++）（2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+ 1210CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）．解法二：令21(6)4012x --+=．解得16x =-（舍），2613x =+．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：11313k =-<（舍去），2667518k =+++=．21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+，0．118x =-，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）．解法三：由解法二知，18k =，所以2(1813)10CD =-=，所以(136)1017BD =-+=．答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元．（1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+．（2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚．（3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程．解得抛物线方程为21224y x x =-++ （2）令4y =，则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知21122x x -=> ∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令M N x =，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ， MN MFAD AB∴=．B A D MF2AB AD MN x ==，，2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-．(102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．第18题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A B ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．2.4423.2164a ba b =+⎧∴⎨=+⎩ 解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱3350m A B =，5根支柱1122334455A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中．（1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标；（2）求图（2）中抛物线的函数表达式；（3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，；（2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=． 130a =-∴．BB 图(1)图(2)l∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+．（3）4B ∵点的横坐标为15， 4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=． 3350A B =∵，拱高为30， ∴立柱44458520(m)22A B =+=．由对称性知：224485(m)2A B A B ==。

高中数学解题思路大全—例析反函数的几种题型及解法

1 例析反函数的几种题型及解法一般地，如果x 与y 关于某种对应关系f （x ）相对应，y=f （x ），则y=f （x ）的反函数为y=f -(x)。

存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。

y=f -(x) 的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域原函数和反函数的图象关于直线 y = x 对称运用：如果原函数或反函数的图象经过点（a,b ）那么，如果点（m,n ）是点（a,b ）关于直线 y = x 对称点，则它的反函数或原函数的图象必经过点（m,n ）。

一. 反函数存在的充要条件类型例1. （2004年北京高考）函数f x x ax ()=--223在区间[]12，上存在反函数的充要条件是（） A. (]a ∈-∞，1 B. [)a ∈+∞2， C. (][)a ∈-∞+∞，，12 D. []a ∈12，二. 反函数的求法类型例2. （2005年全国卷）函数yx x =-≤2310()的反函数是（） A.y x x =+≥-()()113 B. y x x =-+≥-()()113 C. y x x =+≥()()103 D. y x x =-+≥()()1032.2 求y x x x =--≤-2231()的反函数。

三. 求反函数定义域、值域类型例3. （2004年北京春季）若f x -1()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f －1（x ）的值域为_________。

四. 反函数的奇偶性、单调性类型例4. 函数y e e x x=--2的反函数是（）A. 奇函数，在（0，+∞）上是减函数B. 偶函数，在（0，+∞）上是减函数C. 奇函数，在（0，+∞）上是增函数D. 偶函数，在（0，+∞）上是增函数五. 反函数求值类型例 5. （2005年湖南省高考）设函数f （x ）的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f x f -=140()()，，则f -=14()___________。

高中数学三角函数图像反函数问题解析与实例分析

高中数学三角函数图像反函数问题解析与实例分析三角函数是高中数学中的重要内容，它们的图像和性质经常出现在各类数学题目中。

在解题过程中，我们经常需要考虑三角函数的反函数，即反三角函数。

本文将对三角函数图像反函数问题进行解析与实例分析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。

一、正弦函数的反函数我们首先来看正弦函数的反函数，即反正弦函数。

反正弦函数的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2, π/2]。

我们知道，正弦函数的图像是一条连续的曲线，其最大值为1，最小值为-1。

而反正弦函数则是正弦函数的逆运算，它的图像是一条由(-π/2, -1)到(π/2, 1)的连续曲线。

考虑以下例题：已知sin(x) = 0.5，求解x的取值范围。

我们可以通过反正弦函数来解决这个问题。

根据反正弦函数的定义，我们可以得到sin(x) = 0.5的解为x = arcsin(0.5)。

根据反正弦函数的值域，我们知道arcsin(0.5)的取值范围是[π/6, π/2]。

因此，x的取值范围是[π/6, π/2]。

这个例题展示了如何利用反正弦函数解决问题，同时也说明了反正弦函数的值域对解的范围有一定的限制。

二、余弦函数的反函数接下来我们来看余弦函数的反函数，即反余弦函数。

反余弦函数的定义域是[-1, 1]，值域是[0, π]。

与反正弦函数类似，反余弦函数的图像是一条由(0, π)到(-1, 1)的连续曲线。

考虑以下例题：已知cos(x) = 0.5，求解x的取值范围。

我们可以通过反余弦函数来解决这个问题。

根据反余弦函数的定义，我们可以得到cos(x) = 0.5的解为x = arccos(0.5)。

根据反余弦函数的值域，我们知道arccos(0.5)的取值范围是[0, π/3]。

因此，x的取值范围是[0, π/3]。

这个例题展示了如何利用反余弦函数解决问题，同时也说明了反余弦函数的值域对解的范围有一定的限制。

三、正切函数的反函数最后我们来看正切函数的反函数，即反正切函数。

高考反函数问题常见类型解析

高考反函数问题常见类型解析反函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。

在历年高考中占有一定的比例。

为了更好地掌握反函数相关的内容，本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法。

一. 条件存在型例1.函数f x x ax ()=--223在区间[]12，上存在反函数的充要条件是（）A. (]a ∈-∞，1B. [)a ∈+∞2，C. (][)a ∈-∞+∞，，12D. []a ∈12，解析：因为二次函数f x x ax ()=--223不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间(]-∞，a 或[)a ，+∞上是单调函数。

而已知函数f x ()在区间［1，2］上存在反函数，所以[](]12，，⊆-∞a 或者[][)12，，⊆+∞a ，即a ≤1或a ≥2。

故选（C ）点评：函数y f x =()在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。

特别地：如果二次函数y f x =()在定义域内的单调函数，那么函数f （x ）必存在反函数；如果函数f （x ）不是定义域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数f （x ）在这个子区间上必存在反函数。

二. 式子求解型例2.函数y x x =-≤2310()的反函数是（）A. y x x =+≥-()()113B. y x x =-+≥-()()113C. y x x =+≥()()103 D. y x x =-+≥()()103解析：由x ≤0可得x 230≥，故y ≥-1，从y x =-231解得x y =±+()13因x ≤0，所以x y =-+()13即其反函数是y x x =-+≥-()()113故选（B ）。

点评：反函数的定义域即为原函数的值域，所以求反函数时应先求出原函数的值域，不应该直接求反函数的定义域。

三.求定义域值域型例3.若fx -1()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f －1（x ）的值域为_________。

《反函数典型例题精析》

《反函数_典型例题精析》反函数是指在函数关系中，将自变量和因变量的角色互换，从而得到一个新的函数关系。

它是函数关系的逆运算，用于解决一些特定的问题。

下面将通过几个典型的例题来对反函数进行精析。

例题1：已知函数y = 2x + 3，求它的反函数。

解析：要求反函数，需要将自变量和因变量的角色互换。

首先将原函数中的自变量x换成y，因变量y换成x：x = 2y + 3。

然后解方程，将y表示出来：y = (x - 3) / 2。

所以，原函数的反函数为f^(-1)(x) = (x - 3) / 2。

例题2：已知函数f(x) = x^2，求它的反函数。

解析：同样地，需要将自变量和因变量的角色互换。

将原函数中的自变量x换成y，因变量y换成x：x = y^2。

然后解方程，将y表示出来。

但是，由于原函数f(x) = x^2不是一一对应的函数，即存在多个x对应同一个y的情况，所以它没有反函数。

例题3：已知函数f(x) = e^x，求它的反函数。

解析：同样地，需要将自变量和因变量的角色互换。

将原函数中的自变量x换成y，因变量y换成x：x = e^y。

然后解方程，将y表示出来：y = ln(x)。

所以，原函数的反函数为f^(-1)(x) = ln(x)。

通过以上例题的分析可以看出，反函数的求解过程主要是将原函数中的自变量和因变量互换，然后解方程将因变量表示出来。

需要注意的是，反函数存在的条件是原函数必须是一一对应的函数，即每个自变量对应唯一的因变量。

如果原函数不是一一对应的函数，则不存在反函数。

反函数在实际问题中有着重要的应用，例如在金融领域中，可以利用反函数来解决利率计算、贷款计算等问题；在物理学中，可以利用反函数来解决速度、加速度等问题。

因此，熟练掌握反函数的求解方法对于解决实际问题具有重要意义。

总结起来，反函数是函数关系的逆运算，通过将自变量和因变量的角色互换，得到一个新的函数关系。

反函数的求解过程主要是将原函数中的自变量和因变量互换，然后解方程将因变量表示出来。

第13讲反函数的概念题型与解题策略(原卷+解析)-高考数学二轮复习

第13讲反函数的概念题型与解题策略一、知识与方法1．反函数的定义对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，对应法则为f ，若对于每一个y ∈A ，都有唯一的x D ∈满足()f x y =．则这样的对应也构成一个函数，称为原来函数y =()f x 的反函数，记作1()x f y -=．习惯上，自变量常用x 表示，因变量常用y 表示，所以我们对调反函数式1()x f y -=中的,x y ，把它改写成1(),y f x x A -=∈．2．求函数()y f x =的反函数的基本步骤(1)由()y f x =解出x ，得1()x f y -=；(2)将,x y 互换得1()y f x -=；(3)由原函数的值域写出反函数1()y f x -=的定义域．若()f x 与1()f x -互为反函数，则①()f x 的定义域和值域分别为1()f x -的值域和定义域；②()f x 和1()f x -的对应法则互递；③()f x 和1()f x -的图像关于直线y x =对称．3．原函数与反函数的“交叉关系”原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量互换、定义域与值域互换，应特别注意以下两点．(1)()111()(),(),(())f a b f b a f f x x f f x x ---=⇔===，但()1()f f x -≠1(())f f x -(2)函数()(0)y f x a a =+≠的反函数是1()y f x a -=-，而不是1()y f x a -=+．4．对反函数概念的进一步阐述(1)不是每个函数都有反函数，由定义可知，对每个y A ∈都能从()f x y =中解出唯一的x D ∈(与之对应)，这样的函数存在反函数；(2)单调函数具有反函数，且可以证明其反函数的单调性与原来函数的单调性一致．二、典型例题【例1】(1)若121(),()()21x x f x g x f x --==+，则35g ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．(2)函数11,1ax y x x ax a -⎛⎫=≠-∈ ⎪+⎝⎭R 的图像关于y x =对称，则a 的值为________．(3)设1()f x -是函数()1()(1)2x x f x a a a -=->的反函数，则1()1f x ->成立的x 的取值范围是________．(4)2()f x a x b =++与()13c g x x =-+-互为反函数，则a b c ，，的值依次为________．【例2】(1)已知函数3(0)3x x f x x +⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，求13x f -⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)已知函数1()(0,1)x f x a b b b -=+>≠的图像经过点(1,3)，函数1()f x a -+(0)x >的图像经过点(4,2)，试求函数1()f x -的表达式；(3)已知函数13()12x f x x+=-与函数()g x 的图像关于直线y x =对称，又函数()h x 与(2)g x +互为反函数，求(4)h 的值；(4)判断函数2,0,2,0x x x y x x ⎧-=⎨->⎩是否有反函数，如果有，求出反函数，否则说明理由．【例3】为研究“原函数图像与其反函数图像的交点是否在定直线y x =上”这一课题，可以分3步进行研究：(1)首先选取如下函数：221,,1x y x y y x =+==+图像的交点坐标：21y x =+与其反函数12x y -=的交点坐标为(1,1)--． 21x y x =+与其反函数2x y x=-的交点坐标为(0,0),(1,1)．y =21(0)y x x =-的交点坐标为⎝⎭，(1,0),(0,1)--(2)观察分析上述结果得到研究结论．(3)对得到的结论进行证明，现在请完成(2)和(3)．三、易错警示【例】已知23()1xf xx+=-，若函数()g x的图像与1(1)y f x-=+的图像关于直线y x=对称，求g(3)的值．四、难题攻略【例】已知函数210()(10)10x f x x x -⎛⎫=> ⎪+⎝⎭． (1)求的反函数；(2)如果不等式对于上的每一个的值都成立，求实数的取值范围；(3)设，求函数的最小值及相应的的值．()fx 1(1()(f x m m ->11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦xm 11()()g x f x -=()y g x =x五、强化训练1．在上的递减函数满足：当且仅当时，函数值的集合为，且，又对中的任意，都有． (1)判断和是否都是中的元素，并说明理由． (2)若表示在上的反函数，则是否具有这样的性质：并说明理由．(3)不等式是否有解?如有，求出解集；如没有解，说明理由．R ()f x x M +∈⊆R ()f x [0,2]112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭M 12,x x ()()()1212f x x f x f x =+1418M 1()f x -()f x M 1()f x -()()()1111212f x f x f x x ---=+()1211(2)([0,2])4f x x f x x --++∈2．设． (1)试判断函数的单调性，并用函数单调性的定义，给出证明；(2)若的反函数为，证明：对任意的自然数都有； (3)若的反函数为，证明：方程有唯一解．211()log ,()()12x f x F x f x x x+==+--()F x ()f x 1()f x -(3)n 1()1n f n n ->+()F x 1()F x -1()0F x -=第13讲反函数的概念题型与解题策略一、知识与方法1．反函数的定义对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，对应法则为f ，若对于每一个y ∈A ，都有唯一的x D ∈满足()f x y =．则这样的对应也构成一个函数，称为原来函数y =()f x 的反函数，记作1()x f y -=．习惯上，自变量常用x 表示，因变量常用y 表示，所以我们对调反函数式1()x f y -=中的,x y ，把它改写成1(),y f x x A -=∈．2．求函数()y f x =的反函数的基本步骤(1)由()y f x =解出x ，得1()x f y -=；(2)将,x y 互换得1()y f x -=；(3)由原函数的值域写出反函数1()y f x -=的定义域．若()f x 与1()f x -互为反函数，则①()f x 的定义域和值域分别为1()f x -的值域和定义域；②()f x 和1()f x -的对应法则互递；③()f x 和1()f x -的图像关于直线y x =对称．3．原函数与反函数的“交叉关系”原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量互换、定义域与值域互换，应特别注意以下两点．(1)()111()(),(),(())f a b f b a f f x x f f x x ---=⇔===，但()1()f f x -≠1(())f f x -(2)函数()(0)y f x a a =+≠的反函数是1()y f x a -=-，而不是1()y f x a -=+．4．对反函数概念的进一步阐述(1)不是每个函数都有反函数，由定义可知，对每个y A ∈都能从()f x y =中解出唯一的x D ∈(与之对应)，这样的函数存在反函数；(2)单调函数具有反函数，且可以证明其反函数的单调性与原来函数的单调性一致．二、典型例题【例1】(1)若121(),()()21x x f x g x f x --==+，则35g ⎛⎫= ⎪⎝⎭________． (2)函数11,1ax y x x ax a -⎛⎫=≠-∈ ⎪+⎝⎭R 的图像关于y x =对称，则a 的值为________． (3)设1()f x -是函数()1()(1)2x x f x a a a -=->的反函数，则1()1f x ->成立的x 的取值范围是________．(4)2()f x a x b =++与()13c g x x =-+-互为反函数，则a b c ，，的值依次为________．【分析】解决反函数问题要特别注意利用原函数和反函数之问的关系．概念清晰非常重要，可以大大减少解题时的运算量．【解析】(1)设13355g f t -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3()5f t =，即213,2215t t t -=∴=+．即325g ⎛⎫= ⎪⎝⎭． (2)一个函数的图像关于直线y x =对称，则这个函数的反函数就是原函数，利用待定系数法可求出a 的值．由11,1ax y x x ax a -⎛⎫=≠-∈ ⎪+⎝⎭R 得1(1)(1)y x y a y -=≠-+．设11()(1)(1)x f x x a x --=≠-+．由题知：1()()f x f x -=，即11,1(1)1x ax a a x ax --=∴=++． (3)【解法一】由()12x x y a a -=-得()2210x x a ya --=．∴x a y =(负值舍去)，∴(log a x y =+，即(1()log a f x x -=+．由(log 1a x +>得x a >，解得212a x a ->．【解法二】∵1,()a f x >∴为增函数且值域为R ，∴()1()(1)f f x f ->，即(1)x f >．即211122a x a a a -⎛⎫>-= ⎪⎝⎭． (4)∵3()f x a x b =++的定义域为x b ≠-，值域为y a ≠，()13c g x x =-+-的定义域为3x ≠，值域1y ≠-，∴21,3,()31b a f x x -=-=∴=++．在()f x 上取一点(0,5)，则点(5,0)在()g x 上，∴(5)1053c g =-+=-．解方程得2c =，故a b c ，，的值分别为3,1,2．【例2】(1)已知函数3(0)3x x f x x +⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，求13x f -⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)已知函数1()(0,1)x f x a b b b -=+>≠的图像经过点(1,3)，函数1()f x a -+(0)x >的图像经过点(4,2)，试求函数1()f x -的表达式； (3)已知函数13()12xf x x+=-与函数()g x 的图像关于直线y x =对称，又函数()h x 与(2)g x +互为反函数，求(4)h 的值；(4)判断函数2,0,2,0x x x y x x ⎧-=⎨->⎩是否有反函数，如果有，求出反函数，否则说明理由．【分析】本题的解题要诀：按部就班，不要“跳跃”，吃透概念，循序渐进，读出“几何条件”背后的“代数信息”．【解析】 (1)设3x t =，则33113,().().13t t x x t f t y f x yx x t t x+++===∴==∴=+．∴1(1)1,1x y x y -=∴=-，得11()1f x x -=-．可得1133313x f x x -⎛⎫== ⎪-⎝⎭-，得1333x f x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭． (2)10,1,()x b b y f x a b ->≠==+，则1,1log ()x b b y a x y a -=--=-．∴1()log ()1()b f x x a x a -=-+>，可得1()log 1b f x a x -+=+．1()x f x a b -=+的图像经过点(1,3)，可得2a =．1()(0)f x a x -+>的图像经过点(4,2)，可得4b =．∴14()log (2)1(2)f x x x -=-+> (3)设(4)h t =，则点(4,)t 在函数()y h x =的图像上．又函数()h x 与(2)g x +互为反函数，∴点(,4)t 在(2)y g x =+的图像上，即(2)4g t +=，即点(2,4)t +在函数()y g x =的图像上．又函数13()12xf x x+=-与函数()g x 的图像关于直线y x =对称， ∴点(4,2)t +在13()12x f x x +=-的图像上．∴13272,77t t =+∴=--． (4)由反函数的概念判断所给的函数存在反函数．①当0x 时，221124y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，由二次函数的性质可知[0,y ∈+)∞．反解，得102x y =-． ②当0x >时，2y x =-，由一次函数的性质可知(,0)y ∈-∞．反解，得12x y =-，0y <．由①，②得10,21,0.2y x y y ⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩互换,x y得所求的反函数为1021,0.2x y x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩．【例3】为研究“原函数图像与其反函数图像的交点是否在定直线y x =上”这一课题，可以分3步进行研究：(1)首先选取如下函数：221,,1xy x y y x =+==+图像的交点坐标：21y x =+与其反函数12x y -=的交点坐标为(1,1)--． 21x y x =+与其反函数2xy x=-的交点坐标为(0,0),(1,1)．y =21(0)y x x =-的交点坐标为⎝⎭，(1,0),(0,1)--(2)观察分析上述结果得到研究结论．(3)对得到的结论进行证明，现在请完成(2)和(3)．【分析】本例研究函数()f x 与其反函数1()f x -的交点有什么特点，是一个很好的研究性课题，一是交点的个数，二是交点的位置，这些疑点，本例均可以破解．21y x =+与其反函数12x y -=只有1个交点，且在y x =上；21x y x =+与其反函数2xy x=-的交点有2个，且都在y x =上；y =21(0)y x x =-的交点有3个，不都在y x =上，故第三例是一个很好的研究点．21),1(0)y x y x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩⇒21x -，两边平方解42424222121200(1)x x x x x x x x x x x x +=-+⇒--=⇒---=⇒+(1)(1)0x x x --+=⇒()2(1)100x x x x x +--=⇒=或1x =-或x =，由于[1,0],x x ∈-∴=舍去，∴1,0,0,1,x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故有3个交点，(0,1)-不在y x =上，⎝⎭在y x =上．又比如函数1y x=-的反函数就是其本身，图像不与直线y x =相交，但与直线y x =对称，图像上每一点都是它与反函数的交点，故可以说有无穷多个交点且与直线y x =对称．再举一例我们探究方程1161log 16xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解的个数，实质就是互为反函数的116xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与116log y x =图像交点的个数，有3个交点，其中1111,,,2442⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两个交点也不在直线y x=上．根据上面的分析可以得出如下结论：()y f x =与1()y f x -=的交点可能在y x =上，也可能不在直线y x =上．若不在y x =上，则必关于y x =对称．交点的个数可以有1个，2个，3个或无穷多个．【解析】 (1)略．(2)原函数图像与其反函数图像的交点不一定在直线y x =上．(3)证明：设点(,)a b 是()f x 的图像与其反函数图像的任一交点，由于原函数与其反函数的图像关于直线y x =对称，则点(,)b a 也是()f x 的图像与其反函数图像的交点，且有(),()b f a a f b ==．若a b =，则交点显然在直线y x =上；若a b <且()f x 是增函数时，有()()f b f a <，从而有b a <，前后矛盾；若b a <且()f x 是增函数时，有()()f a f b <，从而有a b <，前后矛盾；若a b <且()f x 是减函数时，有()()f b f a <，从而有a b <成立，此时交点不在直线y x =上．同理，若b a <且()f x 是减函数时，交点也不在直线y x =上．综上所述，如果函数()f x 是增函数，并且()f x 的图像与其反函数的图像有交点，则交点一定在直线y x =上；如果函数()f x 是减函数，并且()f x 的图像与其反函数的图像有交点，则交点不一定在直线y x =上．三、易错警示【例】已知23()1x f x x +=-，若函数()g x 的图像与1(1)y f x -=+的图像关于直线y x =对称，求g (3)的值．【错解】(若对反函数的概念不够清晰，则易出现如下的错解)由题意知，()g x 是1(y f x -=1+)的反函数，而1(1)y f x -=+的反函数是(1)y f x =+， ∴2(1)325()(1)(1)1x x g x f x x x +++=+==+-，于是23511(3)33g ⨯+==．【分析】事实上，()y f x =的反函数为1()y f x -=，因此1()y f x -=是函数1()y f x -=当x 取1x +时所得的函数值．另一方面，(1)y f x =+的反函数是这样求出的：由(1)y f x =+得11()x f y -+=．即1()1x f y -=-，互换,x y ，得1()1y f x -=-， ∴(1)y f x =+的反函数是1()1y f x -=-，而不是1(1)y f x -=+．【解析】【正解一】∵1233(),()12x x f x f x x x -++=∴=--．则14(1)1x f x x -++=-，令1(1)y f x -=+41x x +=-，则41y x y +=-，互换x y 、得1(1)y f x -=+的反函数为()y g x ==4347,(3)1312x g x ++∴==--．【正解二】设(3)g x =，则1()3g x -=．()y g x =的图像与1(1)y f x -=+的图像关于直线y x =对称． ∴()y g x =与1(1)y f x -=+互为反函数．因此有11()(1)3g x f x --=+=．因此2339(3)1312f x ⨯+=+==-．于是97(3)122g x ==-=．四、难题攻略【例】已知函数210()(10)10x f x x x -⎛⎫=> ⎪+⎝⎭．(1)求的反函数；(2)如果不等式对于上的每一个的值都成立，求实数的取值范围；(3)设，求函数的最小值及相应的的值．【分析】本例是一道涉及函数与反函数、含参数无理不等式恒成立，以及求函数最值等众多数学知识的综合题，包含的信息很多．如何处理这些信息，使问题的解决一步步获得进展并最后加以攻克呢?数学教育家·波利亚为我们提供了这样一条路线：(1)为了解答一道题目，我们必须具备关于题目的一些知识，此外还必须在我们已经存在的，但原本潜伏着的知识中挑选和收集相关的内容……从我们的记忆中萃取这样的相关元素可以称之为‘动员’．(2)然而，要解答一道题目，仅仅回忆起一些孤立的事实是不够的，我们必须把它们组织起来，而且它们的组合必须能很好地适用于我们手头的题目．(3)动员和组织绝不可能真正分开．(4)工作取得进展的另一个方面，是我们概念转换的模式．(5)当我们在向最终目标前进时，就可以越来越清楚地看到它，当我们看得更清楚一些时，就可以判断，我们离它更近了一些．(6)什么是趋向解答的进展?我们可以以不易觉察的小脚步稳步前进，但又不时跳跃腾飞，()fx 1(1()(f x m m ->11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦xm 11()()g x f x -=()y g x =x G取得突破性的进展．解综合题的过程实质就是汇聚相关知识，恰到好处地加以运用，一步步使之深入并完美地获得最终结果的过程，这里既有知识的再现、思维的不断深化、解题策略的实施，也是解题能力的展示．本例第(2)问可转化为含参数一次不等式在区问上恒成立，求参数的取值范围，且必须分类讨论．第(3)问的解题关键是有效变形后运用基本不等式求最小值．【解析】(1)得．．(2)要使对于上的每一个的值都成立．即，也即在，则．设，①当，即时，要使恒成立，只要即可．∴．又．②当，即时，．③当，即时，要使恒成立，只要即可．∴，即，解得．又．．（3）． 210(10)10x y x x -⎛⎫=>⎪+⎝⎭1)x y =<<1()1)f x x -∴=<<1(1()(f x m m ->11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦x (1(m m >-10(1(m m >11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦t =211,(10)10032t m t m ++->2()(10)10M t m t m =++-100m +>10m >-()0M t >103M ⎛⎫> ⎪⎝⎭2210100,34003m m m m ++->--<m <10,m >-m <<100m +=10m =-()900.10M t m =-<∴≠-100m +<10m <-()0m t >102M ⎛⎫> ⎪⎝⎭2101002m m ++->22300m m --<m <<10,m m <-∴∈∅m <<111()2()10f x f x -⎤=+=⎥⎦111122101010⎛==⨯+⨯ ⎝5=等号成立的条件为(舍去，∴．∴当时，．五、强化训练1．在上的递减函数满足：当且仅当时，函数值的集合为，且，又对中的任意，都有．(1)判断和是否都是中的元素，并说明理由．(2)若表示在上的反函数，则是否具有这样的性质：并说明理由．(3)不等式是否有解?如有，求出解集；如没有解，说明理由．【解析】(1)∵[]1110,2.22f M⎛⎫=∈∴∈⎪⎝⎭于是111112[0,2]42222f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=+=∈⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.1.4M∴∈又1111111.213[0.2]..8248248f f f M⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯∴=+=+=∉∴∉⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)∵()f x是R上的减函数,而,()M f x∴R是M上的减函数.故()f x在M上的反函数必然存在,且1()f x-的定义域为()f x的值域[0,2].对于任意的12,[0,2]x x∈,记()()111122,y f x y f x--==.则()()()112212,,x f y x f y y y M==∈.故()()()()11212121212.x x f y f y f y y y y f x x-+=+=∴=+.而()()()()()1111112121212.y y f x f x f x f x f x x-----=∴=+.故1()f x-具有性质()()()2111112=.+f x f x f x x---（3）∵()f x在M上是减函数,,∴1()f x-在[0,2]上也是减函数.由()1211(2)4f x x f x--++,得()1211(2)(2)f x x f x f---+⋅+.11=-1-3x=-3x=-()g xR()f x x M+∈⊆R()f x[0,2]112f⎛⎫=⎪⎝⎭M12,x x()()()1212f x x f x f x=+1418M1()f x-()f x M1()f x-()()()1111212f x f x f x x---=+()1211(2)([0,2])4f x x f x x--++∈即()()121121(2)2(2)fxx f x f x x x f ----++=+++.∴{}2202022,0,0.222x x x x x x ⎧+⎪+=∴⎨⎪++⎩即不等式的解集是2．设． (1)试判断函数的单调性，并用函数单调性的定义，给出证明；(2)若的反函数为，证明：对任意的自然数都有； (3)若的反函数为，证明：方程有唯一解．【解析】211(1)()log ,(1,1),21x F x x x x +=+∈---函数12y x=-在(1,1)-上单调递增,且函数y =21log 1x x +-可写成22log (1)1y x =---，在(-1，1)上单调递增.211()log 21xF x x x+∴=+--在(-1，1)上单调递增。

关于反函数几类问题的解答

1关于反函数几类问题的解答反函数及互为反函数图像的关系是中学数学教学中的重点难点之一，本文将讨论反函数教学中的几类问题的解答。

一、“象”与“原象”的问题根据反函数定义，函数y=f(x)与y=f —1(x)中的自变量和函数处在一种对换的关系。

即函数y=f(x)表示定义域A 中的元素x 0（即原象）在“f”的作用下得到值域C 中的元素y 0（即象）。

而它的反函数y=f —1(x)恰好将C 中的元素y 0作用成A 中的元素x 0。

例1．若f(x)=3x —2，则f —1[f(x)]等于（）A. x+89B. 9x —8C. xD. 3x —2 解： ∵f(x)是将“x ”加2成“y ”，而f —1(y)是将y 作用成x ，∴f —1[f(x)]=x 。

故选（C ）例2．已知f(x)=10X —1—2，则f —1 (8)等于（）A ．2 B. 4 C. 8 D. 12解：由互为反函数“象”与“原象”的对换关系，只需求出f(x)=8中的x 的值，由10X —1—2=8得x=2，故选（A ）二、定义域和值域问题函数y=f(x)的定义域为A ，值域为C ，则其反函数y=f —1(x)的定义域为C ，值域为A 。

例3．函数f(x)=—12.x 2—1 （x ≤—1）的反函数的定义域为（） A ．（—∞，0） B ．（—∞，+∞）C ．（—1，1）D ．（—∞，—1）∪（1，+∞）解：因反函数定义域即原函数的值域，故只需求出f(x)的值域。

∵x ≤—1 ∴x 2≥1x 2—1≥0 ∴—12. x 2—1 ≤0 即 f (x)∈(—∞，0] 因此f —1(x)的定义域为(—∞，0] ∴选（A ）三、奇偶性与单调性问题互为反函数的两个函数，其奇偶性，单调性有以下定理。

定理1：若函数y=f(x)（x ∈A ）是奇函数，且存在反函数，则它的反函数y=f —1(x) （x ∈C ）也是奇函数。

证明：∵y=f(x)是奇函数 ∴f(—x)=—f(x) 即f(—x)=—y 。

高考数学中的反函数与复合函数解题思路

高考数学中的反函数与复合函数解题思路在高考数学中，反函数与复合函数是常见的考点，因为这两个概念在实际生活中有非常广泛的应用。

掌握解题思路，能够准确地运用公式和定理，就能够顺利地应对这部分考试内容。

一、反函数的定义和性质在数学中，如果函数f将集合A中的元素映射到B中的元素，那么可以使用反向映射将B中的元素重新映射到A中。

这个映射被称为函数f的反函数，并且通常记为f-1(x)。

正好和f(x)的输出和输入相反。

反函数具有一些重要的性质。

首先，它们是一一映射的，即每个输入只有一个输出。

其次，当f函数是连续的时候，它的反函数也是连续的。

最后，这些函数具有相同的导数，也就是说f-1(x)的导数等于f(x)的导数的倒数：(f-1(x))' = 1/(f'(f-1(x)))。

二、反函数解题思路对于反函数的解题思路，通常涉及到两个方面：如何找到它的反函数以及如何应用反函数解决问题。

1. 找到反函数首先，要判断函数是否有反函数。

使用水平线测试会有所帮助。

如果函数在它的定义域内是一一映射，则它具有反函数。

要找到反函数，需要以下步骤：将f(x)表示为y = f(x)交换x和y解出y = f-1(x)例如，如果函数f(x) = 2x + 1，则可以表示为y = 2x + 1。

然后交换x和y，得到x = 2y + 1。

最后解出y，可以得到f-1(x) = (x-1)/2。

2. 应用反函数解决问题反函数常常用于解决一系列复杂的问题，尤其是那些需要反向计算的问题。

例如，假设一个公司制造x件物品需要c(x)美元。

如果现在预算了b美元，那么公司将能够生产多少件物品？这个问题通常需要求两个未知数：x和b。

使用逆函数可以解决这个问题。

假设反函数为c-1(x)，则生产x件物品所需的成本为b = c(x)。

将这个方程式表示为x = c-1(b)，就可以得到公司应该生产的物品数量x。

三、复合函数的定义和性质在复合函数中，两个或更多函数在一起使用。

高中数学课件反函数题型分析

§2.3反函数题型分析
数学复习课件
反函数
1、反函数存在的判定: 决定原函数的映射是一一映射 (1)求原函数的值域； 2、求反函数的步骤： (2)反解出x;
(3)互换x，y； 3、反函数的定义域是原函数的值域； (4)写出反函数反函数的值域是原函数的定义域。 (包括定义域)
4、反函数的图象与原函数的图象关于直线y=x对称。点(a,b) 点(b,a)
2
y x 1(1 x 0)
§2.3反函数题型分析
2
数学复习课件
当 1 x 0时, y x 的值域为0,1, 解出x y
§2.3反函数题型分析
数学复习课件
一.与反函数概念有关的题：
例1.已知函数y = f (x)有反函数,则方程f (x) = 0 的根的情况是( C ). A.有且仅有一实根 B.至少有一实根 C.至多有一实根 D.0个,1个或1个以上实根. 解: 反函数确定的对应关系是一一对应, ∴f (x) = 0的根至多有1个,
2
定义域和值域都是 1 x 0.由此可排除A, C , D.
§2.3反函数题型分析
数学复习课件
x2 1 A . 例2.函数y ( x R, 且x )的反函数是 ____ 2x 1 2
x2 1 A. y ( x R, 且x ) 2x 1 2 2x 1 B. y ( x R, 且x 2) x2 x2 1 C. y ( x R , 且x ) 2x 1 2 2x 1 D. y ( x R, 且x 2) x2
f ( x) 1 1 x
1
1
2
(0 x 1)
1 1 2 3 f ( ) 1 1 ( ) 1 . 2 2 2

(完整)高一反函数·典型例题精析

反函数·例题解析【例1】求下列函数的反函数：(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+(3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝≤．＝－≤≤－＜≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪ 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．35211232352153253232x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)，由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11111122x x y y x x++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤，得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤，x x +-1得值域－≤＜，反函数＝－≤＜，故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-⎧⎨⎪⎩⎪x【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．(1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1，由＝－，得反函数＝＋＋≥－．函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2，反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23它们的图像如图2．4－2所示．【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值．解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠，31x x a ++若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313-----ay y ax x(2)f(x)f (x)x 1若＝，即＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3．或解由f(x)＝f -1(x)，那么函数f(x)与f -1(x)的定义域和值域相同，定义域是{x|x ≠a ，x ∈R }，值域y ∈{y|y ≠3，y ∈R }，∴－a ＝3即a ＝－3．【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax b cx d++ 试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时，它的反函数仍是自身．解 f(x)bc ad 0f (x)x 1＝＋，∵常数函数没有反函数，∴－≠．又＝，要使＝，对定义域内一切值恒成立，a c bc ad c cx d dx b cx adx b cx a ax b cx d-+-+--+-++-()令x ＝0，得－a ＝d ，即a ＋d ＝0．事实上，当a ＋d ＝0时，必有f -1(x)＝f(x)，因此所求的条件是bc －ad ≠0，且a ＋d ＝0．【例5】设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f -1(x)，(2)证明f -1(x)在其定义域内是减函数．解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪--1373137313737373x 设＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，故在－∞，上是减函数．x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]121211121737337312-----x x x【例6】解法一若函数＝，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x x x-+-++-+----121212112212111 解法(二) 由函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f -1(x)之间的一一对应关系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a --111证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由＝，≠，≠，得－＝－，如果－＝，则＝，∴＝得＝，这与已知≠矛盾，x ax aa x ax ----111111 ∴－≠，故＝，∴＝，即证得＝的反函数就是它本身．ay 10x f (x)f(x)1y ay x ax x ax -------111111因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y ＝x 对称，∴函数y ＝f(x)的图像关于直线y ＝x 对称．。

高中数学函数性质与反函数解题技巧

高中数学函数性质与反函数解题技巧函数是高中数学中一个重要的概念，它在解决实际问题中起到了至关重要的作用。

本文将重点讨论函数的性质以及如何运用反函数解题的技巧。

一、函数的性质1. 定义域和值域：在解题过程中，我们常常需要确定函数的定义域和值域。

例如，考虑函数$f(x)=\sqrt{x-2}$，我们需要确定$x$的取值范围，使得$x-2$非负，即$x\geq 2$。

这样，我们就确定了函数的定义域为$[2,+\infty)$。

同时，我们还需要确定函数的值域，即函数的输出范围。

对于这个函数，我们可以发现，当$x\geq2$时，$f(x)$大于等于0。

因此，函数的值域为$[0,+\infty)$。

2. 奇偶性：奇偶性是函数的一个重要性质，它可以帮助我们简化计算过程。

对于一个函数$f(x)$，如果对于任意的$x$，有$f(-x)=f(x)$，则称该函数为偶函数；如果对于任意的$x$，有$f(-x)=-f(x)$，则称该函数为奇函数。

例如，考虑函数$f(x)=x^2$，我们可以发现，对于任意的$x$，有$f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$，因此，该函数是一个偶函数。

3. 单调性：单调性是函数的另一个重要性质，它可以帮助我们确定函数的增减区间。

对于一个函数$f(x)$，如果对于任意的$x_1$和$x_2$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)<f(x_2)$，则称该函数为增函数；如果对于任意的$x_1$和$x_2$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)>f(x_2)$，则称该函数为减函数。

例如，考虑函数$f(x)=x^2$，我们可以发现，当$x_1<x_2$时，$f(x_1)=x_1^2<x_2^2=f(x_2)$，因此，该函数是一个增函数。

二、反函数解题技巧反函数是函数的一种特殊形式，它与原函数之间存在一种互逆的关系。

在解题过程中，我们常常需要利用反函数来简化计算。

反函数求解技巧

反函数求解技巧反函数求解是在数学中常用的方法，用于求解给定函数的反函数。

反函数求解技巧可以帮助我们找到函数的反函数，并用简单的方法表示出来。

本文将介绍一些常见的反函数求解技巧。

一、一元函数反函数求解技巧：1. 将函数转化为方程：对于给定的函数y=f(x)，我们可以将其转化为方程y=f(x)，然后通过解方程的方法求得x 和y之间的关系。

如：设 y = f(x)，求 f(x) 的反函数。

解法：令 x = f(y)，然后解方程得到 y = f^-1(x)。

2. 利用函数的性质：对于一些特定的函数，可以利用函数的性质来求解反函数。

例如，对于指数函数y=a^x，其反函数为y=log_a(x)，其中log_a(x)表示以a为底的对数。

对数函数y=log_a(x)的反函数为y=a^x。

3. 对称性法：对于一些具有对称性的函数，可以利用函数的对称性来求解反函数。

例如，对于奇函数y=f(x)，其反函数也是奇函数，可以利用对称性来求解。

同样，对于偶函数y=f(x)，其反函数也是偶函数，可以利用对称性来求解。

4. 逆运算法：对于一些函数，可以通过求其逆运算来求得反函数。

例如，对于三角函数y=sin(x)，其反函数为y=arcsin(x)，表示求解反三角函数。

同样，对于指数函数y=a^x，其反函数为y=log_a(x)，表示求解反对数函数。

5. 图像法：对于一些函数，可以通过观察函数的图像来求解反函数。

例如，对于单调递增函数，其反函数也是单调递增函数；对于单调递减函数，其反函数也是单调递减函数。

可以通过观察函数的图像来确定反函数的性质。

二、多元函数反函数求解技巧：对于多元函数，反函数求解技巧变得更加复杂。

以下是一些常见的技巧：1. 隐函数求导法：对于给定的方程表达式，可以通过求导来求解反函数。

首先，将方程关于y求导，然后解此方程得到关于x的表达式，即为反函数的表达式。

例如，对于方程y=x^2+2x+1，可以通过求导得到dy/dx=2x+2，然后解此方程得到x=(y-1)/2，即为反函数的表达式。

第13招如何让求反函数

第13招如何让求反函数？如何让利用反函数的概念和性质解题？反函数的内容在高考中是常考的知识点，且多以选择题、填空题的而形式出现.解法指导与经典范例（一）求函数y=f （x ）的反函数的方法步骤1.把原函数y=f(x)看作是以x 为未知数的方程，解方程求出x=);(1y f-2.把x 、y 互换，得y=这就是原函数y=f(x)的反函数；(),1x f-3.写出反函数的定义域.注意：（1）求函数的反函数时，要从y=f(x)中解出x ，在变形过程中如果遇到平方、开方、去分母等，不能改变原函数式中x 、y 的取值范围，因此写反函数的解析式时必须连同其定义域写在一起.（2）分段函数的反函数仍是分段函数.要求分段函数反函数，可先分别求出各段函数的反函数，然后再合并在一起.【例1】2001.全国、广东文、理一(6)函数y=2的反函数是（）()01>+-x xA. B.()2,1,11log 2∈-x x ()2,1,11log 2∈--=x x y C. D.(]2,1,11log 2∈-=x x y (]2,1,11log 2∈--=x x y 解一则原函,21log ,112,12.2121,02x -=∴-=-=<+=<∴>--y x y y y x x x得由数的反函数为因此应选A.().2,1,11log 2∈-=x x y 解二（排除法+特殊值判断法）区间（1,2）是反函数的∴<+=<∴>-.2121,0xy x 定义域，排除C 、D.又当x=1时，y=2对反函数来说，.2311=+-而这时应等于时.1,23y x =被排除.因此应选A.B x ∴≠-=--=--,111231log 11log 22【例2】求函数f(x)=.2的反函数x x x +解 f(x)=()()⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥+020222x x x x x x 当x .11,02,2022y x y x x x x y ++-==-++=≥解得即时，由,因此反函数为y=-1+02,02≥+=∴≥x x y x )01≥+x x 当x<0时，由y=-x 时，解得即0.1102,222<---==+-+x y x y x x x因此反函数为.,022<+-=∴x x y )()()()⎪⎩⎪⎨⎧<---≥++-∴<---=-0110110111x x x x x f x x y 【例3】函数的反函数是其本身，则a 的值是（）ax x y +-=32A.-2 B.0 C.1 D.2解一由()时：当得2,32,3232≠+=--=++-=y ay x y x ay xy ax x y .23,23xax y y ay x -+=∴-+=反函数是依题意：..2.2332A a xax a x x 应选易见-=-+≡+-解二（特殊值判断法）当x=0时f(0)=的反函数是其本身，ax x y +-=32,a 3由于..2,036,0a3-3a 32.0,3A a a a y a x 选代入得时-==--=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-=∴（二）反函数概念在解题中的应用有关反函数的一些问题，如求反函数的定义域、求反函数的某个函数值，求函数的值域、判断反函数的奇偶性、单调性、作反函数图象等问题，可以不必把反函数求出来，而是利用反函数与原函数的关系，将其转化为原函数的相应问题来求解或证明.1.求反函数定义域的方法（1）直接求，先求出反函数在求其定义域；（2）间接求，利用：“反函数的定义域就是原函数的值域”的关系，改为去求原函数的值域（若原函数的值域比较好求.）【例4】1999.上海文理一（2）函数f(x)=log 的定义域是____.()()x fx x 1241-≥+的反函数解由得即f(x)的值域是反函4≥x ().31log ,24log log 222≥+=∴=≥x x f x [)∴+∞,,3数的关系，改为去解方程f(x)=方程的解就是所求的反函数的a b f b f=⇔=-)()0(1,0x 值.【例5】1993.全国文、理二（23）设_______.()=-=-+)0(,2411fx f x x则解一令_______.==∴===--+)0(,0)1(1,02411ff x x x ，即解得解二可求反函数为于是有()().111log )(2121-≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=-x x x f .()1101log )0(2121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=-f3.利用反函数求函数值域的方法由于反函数的定义域就是原函数的值域，因此要求原函数的值域可改为去求其反函数的定义域.特别是形如的分式函数求值域时常用此法.()0≠++=a b ax dcx y 【例6】求函数的值域.112+-=x x y 解由反函数为()∴-+=≠+=-+-=.212,1y 2112y y x y y x x x y 时，当得(),2.21≠-+=x xx y 因此原函数的值域为()().,22,+∞∞-∈ y 4.判断反函数奇偶性、单调性的方法由于反函数与原函数具有相同的单调性和相同的奇偶性，因此要判断反函数的奇偶性、单调性时，不必将反函数求出，而改为去判断原函数的奇偶性、单调性.注意：由于偶函数没有反函数，多以反函数也不能使偶函数.【例7】1992.全国文理一（6）函数的反函数（）.2xx e e y --=A.是奇函数，它在上是减函数B.是偶函数，它在上是减函数()+∞,0()+∞,0C.是奇函数，它在上是增函数D.是偶函数，它在上是增函数()+∞,0()+∞,0解一是奇偶数.又是增函数，()()2,22x x x x x x e e y x f e e e e x f ----=∴-=--=-=-xe 是减函数，是增函数，因此它的反函数是奇函数，又是增函数.xxe e⎪⎭⎫⎝⎛=-12x x e e y --=∴选C.解二（特殊值判断法）令.815,43,43,2ln 2,2ln ,2ln 321321=-===-==y y y x x x 可得对反函数来说，可知,2ln 2815;2ln 43;2ln 43332211=→=-=→-==→=y x y x y x A 、B 、D 应排除.因此选C.注意：本题若去求反函数，运算很繁，反函数的式子也繁，再要判定其奇偶性、增减性，难度较大.（三）互为反函数的函数图象的位置关系在解题中的应用1.由于互为反函数的两函数图象关于直线y=x 对称，由此可得：若点（a 、b ）在函数y=f(x)（或的图象上，则点（b 、a ）再其反函数图象上，()x fy 1-=()()()的或x f y x fy ==-1牵涉到有原函数和反函数的图象时，要注意利用者性质来解题.【例8】2002.全国文二（14）函数图象与其反函数图象的交点坐()()+∞-∈+=,1,12x xxy 标为_______.解一由交点为（0,0），()∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-=+=-.1100212.2121y x y x x x y x x y x x x f x x y 或解得由得（1,1）.解二设两函数图象交点为在反函数图象上，()()0000,.,y x y x ()00,x y ∴于是交点为（0,0），（1,1）.图象上在)(x f y =∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.1100,12120000000000y x y x x y x x x y 或解得【例9】1994.全国文理一（12）设函数的图象（如图2-11）是（）()()x fy x x x f 12,01,11)(-=<≤---=则函数A. B. C. D.解一由()()().0111,11,1111222222<≤-=-+-=--=---=x y x y x y x x y 得可见函数的图象.111,0122≤--=∴≥-x y x ()()1,011122≤<≤-=-+y x y x 是以点为圆心，1为半径，且.它的反函数图()1,0()122411,01-≤<≤-如图圆弧的y x 象时关于直线y=x 对称的圆弧.因此应选B.41解二 (特殊值判断法)当 x=-1时，f(-1)=1.则（1，-1）应在其反函数的图象上，排除A 、C.当x=-则应在其反函数的图象上，,13.02312121≈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,13.0排除D.应选B.解三（特殊值判断法）在各选择支中作出关于直线y=x 对称的图形，既得y=f(x)的图象（如图2-13）.A . B. C. D.令x=-1，得f(-1)=1,从图2-13可见排除A 、C令x=.,13.023121,21B D f ，应选排除得≈-=⎪⎭⎫⎝⎛--2.函数图象关于直线y=x 对称的证明方法要证明两个函数y=f(x)和y=g(x)的图象关于直线y=x 对称或要证明函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，除可用第16招中所介绍的方法外，还可利用原函数与反函数的图象之间的对称关系来证明.其方法如下：（1）要证函数y=f(x)和y=g(x)的图像关于直线y=x 对称，只须证()()x g x f=-1.(2)要证函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，只须证它的反函数是其本()()()x f x g =-1或身，即只须证()().1x f x f=-【例10】1988.全国理六给定实数，()⎪⎭⎫⎝⎛≠∈--=≠≠a x R x ax x y a a a 111,10且设函数且证明：这个函数的图象关于直线y=x 成轴对称图形.证一由（1）若由（1）式().1111-=---=y x ay ax x y 得,1,0,01ay a ay =∴≠∴=-得0=这与已知条件矛盾。

高三数学反函数2

反函数一、学习目标1、了解反函数的概念：2、掌握求一引起简单函数的反函数：3、了解互为反函数的函数图像间的关系：能解决与反函数图像有关的简单问题：4、培养用辩证的观念观察、分析、解决问题的能力：5、培养探索、猜想、辨证的思维习惯。

二、例题分析第一阶梯[例1]分析：求反函数主要在于求解关于x的方程。

解：∵原来函数的值域就是反函数的定义域。

∴由原来函数的值域为说明：反函数的定义域是原来函数的值域：应先求原来函数的值域：然后得出反函数的定义域：一般情况下：不能直接从求得的反函数的解析式中得出：例如y=x3(x≥1)的反函数为：定义域是{x|x≥1}：而不是R。

[例2]分析：x的求解须先平方后开方。

解：由已知可求得原函数值域为0≤y≤5.说明：第二阶梯[例3]分析：解：说明：解题时要注意条件的演变。

[例4]思路分析：题中给出的函数的定义域有特定的限制：在求它的反函数时：要寻求使反函数存在的条件：进而确定反函数的定义域和值域。

解答：第三阶梯[例5]思路分析：根据反函数的概念求解。

解答：解得：[例6]思路分析：解答：三、检测题2.若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab≠0：则g(b)等于（）A. aB. a-1C. bD. b-13.若函数y=f(x)的图像经过点(1,0)：则函数y=f-1(x)的图像必经过点（）A. (0,-1)B. (1,0)C. (-1,0)D. (0,1)4.函数y=ax+b与它的反函数是同一个函数：则系数a：b必满足条件（）A. a=1, b=0B. a=-1, b=0C. a=±1： b=0D. a=1, b=0或a=-1, b RA. 2,1,3B. -2,-1,-3C.3,-1,-2 D. -1,3,-26.如果f(x)的图像经过点（1：2）：那么y=f-1(x)-1的图像必过点__________.7.若函数f(x)的图像经过(0,1)点：则f(x+2)的反函数的图像恒经过点____________.9.已知命题：（1）若互为反函数的两个函数的图像有个交点：则交点必在直线y=x上：（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性：（3）函数y=f(x)与函数x=f-1(y)的图像关于直线y=x对称：（4）函数y=f(x)在单调区间必存在反函数。