函数的最大值与最小值(苏教版)

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第二章第2节第2课时函数的最大值、最小值 2017-2018学年高中数学(苏教版)必修一教学 ppt课件

[一点通] 如果函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，那么函数 y＝f(x)必定存在最大值和最小值．若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则 f(x)在[a，b]上的最大值为 f(a)，最小值为 f(b)；若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则 f(x)在[a，b]上的最大值为 f(b)，最小值为 f(a)．
如图是某市一天 24 小时内的气温变化图．
问题 1：该城市在这一天内气温随时间变化的特点是什么？
提示：气温从开始到4点下降，4点到14点呈上升，14点到24点又呈下降趋势．
问题2：这一天中的最高气温和最低气温分别是多少？
提示：最高气温是10 ℃，最低气温为零下2 ℃.
问题3：设f(x0)是x0时刻的温度，则f(x0)的范围是什么？提示：－2≤f(x0)≤10.
(1)求 f(x)的最小值； (2)若 f(x)>a 恒成立，求 a 的取值范围．
[思路点拨] (1)先证明函数在[2，＋∞)上的单调性，再求最值； (2)将恒成立问题转化为最值问题，即 a<[f(x)]min.
[精解详析] (1)任取 x1，x2∈[2，＋∞)，且 x1<x2， x2＋2x＋3 3 f(x)＝＝ x ＋ x x＋2，
解：设 x1 ， x2 是区间[2,6]上的任意两个实数，且 x1<x2，则 f(x1) 2 2 －f(x2)＝－ x1－1 x2－1 2[x2－1－x1－1] ＝ x1－1x2－1 2x2－x1 ＝ . x1－1x2－1 由 2≤x1<x2≤6，得 x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，于是 f(x1)－f(x2)>0.即 f(x1)>f(x2)．
定义最如果存在x0∈A，使得对于任意的 f(x)≤f(x0) ，那么称大一般地， x∈A，都有__________ 值设y＝f(x) f(x0)为y＝f(x)的最大值最的定义域如果存在x0∈A，使得对于任意的 f(x)≥f(x0) 小为A x∈A，都有__________ ，那么称值 f(x0)为y＝f明．

苏教版数学高二数学苏教版选修2-2知识必备1.3.3最大值与最小值

1.3.3 最大值与最小值知识梳理1.函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的.函数的极值可以有____________,但最大(小)值只有____________;极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得;有极值的不一定有最值,有最值的未必有极值;极值可能成为最值.2.在闭区间［a ，b ］上连续的函数f(x)在［a ，b ］上____________最大值与最小值；在(a ，b)上连续的函数或在［a ，b ］上的不连续函数____________最大值与最小值.3.求f(x)在［a ，b ］上的最大值与最小值的步骤是：(1) ________________________________________________;(2) ________________________________________________.知识导学通过前面的学习,我们知道函数的极值是在定义域内的某个区域内的特征,是一局部概念,极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小；在现实生活和社会实践中,为了发挥最大的经济效益,常常会遇到如何使用料最省、产量最高、效益最大、成本最低等问题.解决这些问题常常需转化为求导函数最大值和最小值问题,函数在什么条件下有最大和最小值，它们和函数极值的关系如何等来处理.求函数f(x)在［a,b ］内的最大值与最小值的步骤:(1)首先确定函数f(x)在［a,b ］内连续,在(a,b)内可导;(2)求函数f(x)在开区间(a,b)内的极值;(3)求函数f(x)在区间端点的值f(a)、f(b);(4)将函数f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值,最小的是最小值. 疑难突破本节的难点在于搞清函数的最大、最小值与函数极值的关系.函数的最大值、最小值与函数的极值之间有怎样的关系?求最值的过程体现了数学中的哪些数学思想?剖析:函数的极值是在局部范围内讨论问题,是局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是一个整体性概念.闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.函数在其定义区间最大值和最小值最多各有一个,而函数的极值则可能有多个,也可能没有.求函数的最值实质上是实现新问题向旧问题、复杂问题向简单问题的转化过程.导数具有丰富多彩的性质和特性,这些特性为我们解决问题提供了“肥沃”的等价转化的“土壤”，只要我们认真梳理知识,夯实基础,善于利用等价转化、数形结合的数学思想方法,定能不断提高解题的能力.典题精讲【例1】求下列函数的最值.(1)f(x)=3x-x 3,3-≤x≤3;(2)f(x)=6-12x+x 3,x ∈［31-,1］. 思路分析:利用求最值的一般步骤,要注意应用适当的计算方法,保证运算的准确性.解:(1)f′(x)=3-3x 2,令f′(x )=0,得x=±1.∴f(1)=2,f(-1)=-2，f(3-)=0,f(3)=-18.∴f(x)max =2,f(x)min =-18.(2)f′(x)=-12+3x 2=0，∴x=±2.当x ∈(-∞,-2)时，f′(x)＞0，∴f(x)为增函数；当x ∈(-2,2)时,f′(x)＜0，∴f(x)为减函数;当x ∈［31-,1］时,f(x)为减函数. ∴f(x)min =f(1)=-5,f(x)max =f(-31)=27269. 绿色通道：函数f(x)在给定区间上连续可导,必有最大值和最小值.因此,在求闭区间［a,b ］上函数的最值时,只需求出函数f(x)在开区间(a,b)内的极值，然后与端点处的函数值比较即可. 变式训练：求下列函数的最值. (1)f(x)=sin2x-x(-2π≤x≤2π); (2)f(x)=xb x a -+122(0＜x ＜1,a ＞0,b ＞0). 解:(1)f′(x)=2cos2x-1,令f′(x)=0，得x=±6π. ∴f(6π)=623π-,f(-6π)=623π+-. 又f(2π)=-2π,f(-2π)=2π, ∴［f(x)］max =2π,［f(x)］min =2π-. (2)f′(x)=2222222222)1()1()1(x x x a x b x b x a ---=-+-. 令f′(x)=0,即b 2x 2-a 2(1-x)2=0,解得x=b a a +. 当0＜x ＜b a a +时,f′(x)＜0,当ba a +＜x ＜1时,f′(x)＞0. ∴函数f(x)在点x=b a a +处取得极小值,也是最小值为f(ba a +)=(a+b)2,即［f(x)］min =(a+b)2. 【例2】设函数f(x)是定义在［-1,0)∪(0,1］上的偶函数,当x ∈［-1,0)时,f(x)=x 3-ax(a ∈R ).(1)当x ∈(0,1］时，求f(x)的解析式；(2)若a ＞3，试判断f(x)在(0，1］上的单调性，并证明你的结论;(3)是否存在a ，使得当x ∈(0,1］时,f(x)有最大值1.思路分析:此题具有较强的综合性,应注意知识之间的相互转化和相互联系.解:(1)∵x ∈(0,1］时,-x ∈［-1,0),∴f(-x)=(-x)3-a(-x)=ax-x 3.又f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即f(x)=ax-x 3.(2)f′(x)=-3x 2+a.∵x ∈(0,1］,∴x 2∈(0,1］.∴-3x 2≥-3.∵a ＞3,∴-3x 2+a ＞0.故f(x)在(0,1］上为增函数.(3)假设存在a,使得当x ∈(0,1］时,f(x)有最大值1.∴f′(x)=a -3x 2;令f′(x)=0,∴-3x 2+a=0,即a ＞0时,x=±33a .又∵x ∈(0,1］,∴x=33a 且33a ＜1.∴f′(x)在(0, 33a )上大于0，在(33a ,1)上不小于0. ∴f(x)极大值=f(33a )=19329333==-a a a a a a . ∴a=2233时，f(x)有最大值1. 绿色通道：关于存在性问题,处理的方法可以先假设存在,再寻找所得的结论.变式训练：求f(x)=322)2(x x -在［-1，3］上的最大值及最小值.解:对f(x)求导得f′(x)=3)2(134--x x x . 在定义域内不可导点为x 1=0,x 2=2.令f′(x)=0，得x=1.又f(-1)=39,f(0)=0, f(1)=1,f(2)=0,f(3)=39,∴在x=-1点和x=3点，y 有最大值f(-1)=f(3)=39.∴在x=0点和x=2点,y 有最小值f(0)=f(2)=0.【例3】已知x 、y 为正实数,且满足关系式x 2-2x+4y 2=0,求x·y 的最大值.思路分析:题中有两个变量x 和y,首先应选择一下主要变量,将x 、y 表示为某一个变量(x 或y 或其他变量)的函数关系,实现问题的转化.同时根据题设条件确定变量的取值范围,再利用导数(或均值不等式等)求函数的最大值.解:方法一:4y 2=2x-x 2,∵y ＞0,∴y=2221x x -. ∴x·y=21x·22x x -.由⎩⎨⎧≥->,02,02x x x 解得0＜x≤2. 设f(x)=xy=2221x x x -(0＜x≤2). 当0＜x ＜2时,f′(x)=21［222)1(2x x x x x x --+-］=222)23(x x x x --.令f′(x)=0，得x=23或x=0(舍)， ∴f(23)=833.又f(2)=0,∴函数f(x)的最大值为833,即x·y 的最大值为833. 方法二:由x 2-2x+4y 2=0,得(x-1)2+4y 2=1(x ＞0,y ＞0).设x-1=cos α,y=21sin α(0＜α＜π), ∴x·y=21sin α(1+cos α). 设f(α)=21sin α(1+cos α), 则f′(α)=21［-sin 2α+(1+cos α)·cos α］ =21(2cos 2α+cos α-1)=(cos α+1)(cos α-21). 令f′(α)=0,得cos α=-1或cos α=21. ∵0＜α＜π,∴α=3π,此时x=23,y=43. ∴f(3π)=833. ∴［f(3π)］max =833, 即当x=23,y=43时,［x·y ］max =833. 绿色通道：明确解决问题的策略、指向和思考方法需要抓住问题的本质,领悟真谛,巧施转化.在实现转化的过程中,关键是要注意变量的取值范围必须满足题设条件以免解题时陷于困境,功亏一篑.变式训练：已知动点M 在抛物线y 2=2px(p ＞0)上,问M 在何位置时到定点P(p,p)的距离最短.解:设M(p y 22,y),则d=|MP|2=(py 22-p)2+(y-p)2, d′=2(p y 22-p)·p y +2(y-p)=23py -2y+2y-2p. 由d′=0,得y=p 32.此时M(p p 332,21)为所求.问题探究问题：怎样理解在闭区间［a,b］上连续的函数f(x)在［a,b］上必有最大值和最小值?导思:主要区分闭区间和开区间上连续函数是否有最值的关系.探究:给定函数的区间必须是闭区间,即f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值和最小值.在闭区间上的每一点必须连续,即在闭区间上有间断点亦不能保证f(x)有最大值和最小值.。

函数的最大值、最小值ppt 苏教版

最小值为f(a)．【解题方法】【解题易错】缺少函数单调性的判断，直接代入端点求端点处的函数值，即为最值．
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数学
（苏教版 ·必修1）
【解题过程】 x－1＋3 ＝ x－1 3 ＝1＋ x－1
x＋2 函数 y＝ x－1
第章函数概念与基本初等函数
2 Ⅰ
设 2≤x1<x2≤3，则 f(x1)－f(x2)＝ 3 3 － x1－1 x2－1
2 Ⅰ
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数学
（苏教版 ·必修1）
图象法求函数的最值
第章函数概念与基本初等函数 2 Ⅰ
如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
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数学
标值．
（苏教版 ·必修1）
【解题方向】从图象上看，最大(小)值是整个函数图象的最高(低)点的纵坐
(2)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①对于任意x∈I ，都有 f(x)≥M ，
②存在 x0∈I ，使 f(x0)＝M .
那么称M是函数y＝f(x)的最小值．
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数学
（苏教版 ·必修1）
3．你知道函数最大值、最小值的几何意义是什么吗？
第章函数概念与基本初等函数
x＋2 求函数 y＝ x∈[2,3]上的最值． x－1
第章函数概念与基本初等函数
2 Ⅰ
【解题方向】利用单调性求最值，注意单调性与最值的关系．若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为

新教材苏教版高中数学选择性必修一第二课时函数的最大(小)值

第二课时函数的最大(小)值课标要求 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法.素养要求通过学习求函数最大(小)值的方法，提升学生的数学抽象素养.1.思考函数f(x)＝x2＋1≥1，则f(x)的最小值为1吗？提示当x＝0时，f(x)的最小值为1.2.填空函数的最大(小)值：一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D. (1)如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；(2)如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点；(3)最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.温馨提醒求函数最值的常用方法(1)图像法：作出y＝f(x)的图像，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值.(2)运用已学函数的值域.(3)运用函数的单调性.(4)分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个.3.做一做函数y＝f(x)在[－2，2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A.－1，0B.0，2C.－1，2D.12，2答案 C题型一图像法求函数的最值例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x ，x >1.求f (x )的最大值、最小值.解作出函数f (x )的图像(如图).由图像可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (1)＝f (－1)＝1. 当x ＝0时，f (x )取最小值为f (0)＝0，故f (x )的最大值为1，最小值为0. 思维升华图像法求函数最值的一般步骤训练1 已知函数y ＝－|x －1|＋2，画出函数的图像，确定函数的最值情况，并写出值域.解 y ＝－|x －1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ≥1，x ＋1，x <1，图像如图所示，由图像知，函数y＝－|x＋1|＋2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2].题型二利用函数的单调性求最值例2 已知函数f(x)＝x－1x＋2，x∈[3，5].(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数f(x)的最大值和最小值.解(1)f(x)是增函数，证明如下：任取x1，x2∈[3，5]且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x1－1x1＋2－x2－1x2＋2＝3（x1－x2）（x1＋2）（x2＋2），因为3≤x1<x2≤5，所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).所以f(x)在[3，5]上为增函数.(2)由(1)知，f(x)在[3，5]上为增函数，则f(x)的最大值为f(5)＝47，f(x)的最小值为f(3)＝2 5.思维升华利用单调性求最值的步骤：(1)判断函数的单调性；(2)利用单调性写出最值.训练2 已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2，6])，求函数的最大值和最小值. 解设x 1，x 2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2[（x 2－1）－（x 1－1）]（x 1－1）（x 2－1）＝2（x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）.由2≤x 1<x 2≤6，得x 2－x 1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2). 所以，函数f (x )＝2x －1在区间[2，6]上是减函数. 因此，函数f (x )＝2x －1在区间[2，6]上的两个端点处分别取得最大值和最小值，即在x ＝2时取得最大值，最大值是2，在x ＝6时取得最小值，最小值是25. 题型三二次函数的最值问题例3 (1)求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2，4]上的最小值； (2)求函数f (x )＝x 2－4x －4在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值. 解 (1)∵函数图像的对称轴是x ＝a ， ∴当a <2时，f (x )在[2，4]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2，4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2. 设f (x )在[2，4]上的最小值为g (a ).∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.(2)f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8. 设f (x )在[t ，t ＋1]上的最小值为g (t ). 当t >2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， ∴g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4；当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，g (t )＝f (2)＝－8；当t ＋1<2即t <1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数， ∴g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7. 综上，g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －7，t <1，－8，1≤t ≤2，t 2－4t －4，t >2.思维升华二次函数在闭区间上的最值对于二次函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a >0)在区间[m ，n ]上的最值问题，有以下结论： (1)若h ∈[m ，n ]，则y min ＝f (h )＝k ， y max ＝max{f (m )，f (n )}；(2)若h ∉[m ，n ]，则y min ＝min{f (m )，f (n )}， y max ＝max{f (m )，f (n )}(a <0时可仿此讨论).训练3 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3，若x ∈[0，2].求函数的最小值. 解 f (x )＝x 2－2ax －3的对称轴为x ＝a . ①当a ≤0时，f (x )在[0，2]上为增函数，∴f(x)min＝f(0)＝－3；②当0<a≤2时，f(x)min＝f(a)＝－a2－3；③当a>2时，f(x)在[0，2]上为减函数，∴f(x)min＝f(2)＝1－4a.综上所述，当a≤0时，最小值为－3；当0<a≤2时，最小值为－a2－3；当a>2时，最小值为1－4a.[课堂小结]1.若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中取出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值.2.函数的最值与单调性的关系：(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).一、基础达标1.函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小值、最大值分别为()A.3，5B.－3，5C.1，5D.5，－3答案 B解析因为f(x)＝－2x＋1在[－2，2]是减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.2.(多选)下列说法中正确的有()A.若x 1，x 2∈I ，对任意的x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数B.函数y ＝x 2在R 上是增函数C.函数y ＝－1x 在定义域上是增函数D.y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞) 答案 AD解析对于B ，在[0，＋∞)上是增函数；对于C ，在整个定义域内不是增函数，如－3<5，而f (－3)>f (5)，故不正确. 3.函数y ＝x －1x 在[1，2]上的最大值为( ) A.0 B.32 C.2 D.3答案 B解析函数y ＝x 在[1，2]上是增函数，函数y ＝－1x 在[1，2]上是增函数，所以函数y ＝x －1x 在[1，2]上是增函数. 当x ＝2时，y max ＝2－12＝32. 4.函数f (x )＝11－x （1－x ），x ∈[1，2]的最大值是( )A.54B.43C.1D.34答案 C解析令g (x )＝1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，则g (x )在[1，2]上单调递增，所以g (x )∈[1，3]，所以13≤11－x （1－x ）≤1.故f (x )的最大值为1.5.函数f (x )＝x －1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 B.[－1，2]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 答案 A解析 f (x )＝x －1x ＝1－1x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )为增函数，∴当x ＝12时，函数取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－112＝1－2＝－1，当x ＝2时，函数取得最大值，最大值为f (2)＝1－12＝12，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，故选A.6.函数y ＝⎩⎨⎧x ＋1，x ∈[－3，－1]，－x －1，x ∈（－1，4]的最小值为________，最大值为________.答案－5 0解析由题意可知，当x ∈[－3，－1]时，函数y ＝x ＋1单调递增，∴当x ＝－3时，y min ＝－2；当x ∈(－1，4]时，函数y ＝－x －1单调递减，当x ＝4时，y min ＝－5，故最小值为－5，同理可得，最大值为0. 7.函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为________. 答案 12 解析易知y ＝1x －1在[2，3]上递减， ∴y min ＝f (3)＝12.8.函数f (x )＝6－x －3x 在区间[2，4]上的最大值为________. 答案－4 解析 ∵函数f (x )＝6－x －3x 在区间[2，4]上是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝6－2－3×2＝－4. 9.已知函数f (x )＝61－x＋3(x ∈[2，4])，求函数f (x )的最大值和最小值.解设x 1，x 2是[2，4]上任意两个实数，且x 1<x 2，所以f (x 1)－f (x 2)＝61－x 1＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫61－x 2＋3＝61－x 1－61－x 2＝6（1－x 2）－6（1－x 1）（1－x 1）（1－x 2）＝6（x 1－x 2）（1－x 1）（1－x 2），因为2≤x 1<x 2≤4，所以x 1－x 2<0，1－x 1<0，1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在[2，4]上是增函数，所以f (x )的最大值为f (4)＝1，f (x )的最小值为f (2)＝－3.10.已知函数f (x )＝ax 2－4ax ＋b (a >0)在区间[0，1]上有最大值1和最小值－2. (1)求a ，b 的值；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x )>－x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)∵f (x )＝a (x －2)2＋b －4a ，又a >0，∴函数图像开口向上，对称轴x ＝2， ∴f (x )在[0，1]上是减函数，∴f (0)＝b ＝1，且f (1)＝b －3a ＝－2， ∴a ＝b ＝1.(2)f (x )>－x ＋m ⇔x 2－4x ＋1>－x ＋m即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于0即可. ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1). 二、能力提升11.(多选)如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中正确的是( ) A.f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0B.(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C.f (a )≤f (x 1)<f (x 2)≤f (b )D.f (x 1)>f (x 2) 答案 AB解析由函数单调性的定义可知，若函数y ＝f (x )在给定的区间上是增函数，则x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，由此可知，选项A ，B 正确；对于选项C ，D ，因为x 1，x 2的大小关系无法判断，所以f (x 1)与f (x 2)的大小关系也无法判断，故C ，D 不正确.12.定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，设函数f (x )＝min{－x 2＋2x ＋5，x ＋3}，则f (1)＝________；f (x )的最大值为________. 答案 4 5解析由－x 2＋2x ＋5<x ＋3，得x <－1或x >2；由－x 2＋2x ＋5≥x ＋3，得－1≤x ≤2，据题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋5，x <－1或x >2，x ＋3，－1≤x ≤2，∴f (1)＝4，当x <－1或x >2时，f (x )＝－(x －1)2＋6，则f (x )<5；当－1≤x ≤2时，2≤f (x )≤5，∴f (x )的最大值为5.13.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞). (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x 2＋2x ＋12x＝x ＋12x ＋2.设任意x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1≠x 2，则Δf Δx ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＝1－12x 1x 2 ＝2x 1x 2－12x 1x 2. 因为x 1≠x 2且x 1≥1，x 2≥1，所以x 1x 2>1，2x 1x 2－1>0，所以2x 1x 2－12x 1x 2>0，所以Δf Δx >0，即函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数.所以函数f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝1＋12＋2＝72.(2)因为f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0在[1，＋∞)上恒成立，所以x 2＋2x ＋a >0在[1，＋∞)上恒成立.记y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，所以y ＝(x ＋1)2＋a －1在[1，＋∞)上单调递增，故当x ＝1时，y 取得最小值，最小值为3＋a .所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立，所以实数a的取值范围为(－3，＋∞).三、创新拓展14.(多选)已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有()A.y＝2x＋x2B.y＝4x＋1 xC.y＝3x－1 xD.y＝x－1＋4 x＋1答案ACD解析A中，x≥1，y＝2x＋x2≥22x·x2＝2，当且仅当x＝2取得最小值2；B中，y＝4x＋1x在[1，＋∞)上递增，可得y的最小值为5；C中，y＝3x－1x在[1，＋∞)上递增，可得y的最小值为2；D中，y＝x－1＋4x＋1＝(x＋1)＋4x＋1－2≥2（x＋1）·4x＋1－2＝2，当且仅当x＝1时，取得最小值2.故选ACD.。

高中数第2章函数2.2.1.2函数的最大值、最小值课件苏教版必修1

有关.
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一
二
解(1)若 k>0,则由条件得
- + = -3,
3 + = 5,
= 2,
解得
y=2x-1.
= -1,
若 k<0,则由条件得
解得
3 + = -3,
- + = 5,
= -2,
y=-2x+3.
= 3,
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一
二
(2)函数f(x)的对称轴为x=a,且开口向上,如图.
3
4
+ ≥
4
0,
3
.
3
,从而
4
4
f(x)max= .
3
典例导学
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1
2
3
4
3.已知函数f(x)的图象如图所示,则其单调增区间是
大值为
,最小值是
. (导学号51790051)
,最
答案:[-3,1] 3 0
解析:结合图象分析可知,函数在区间[-3,1]上是上升的,故其单调增
区间为[-3,1].图象上位置最高的点是(1,3),最低点是(-3,0),所以当
作出函数图象如图.
∴当 t=5 时,ymax=1 225;当 t=20 时,y min=600.
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一
二
求解实际问题“四步曲”:
(1)读题:分为读懂和深刻理解两个层次,把“问题情景”译为数学语
言,找出问题的主要关系(目标与条件的关系).
(2)建模:把问题中的关系转化成函数关系,列出函数解析式,把实际
典例导学
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一
二

数学苏教版选修1-1课件：3.3.3最大值与最小值课件

(2)利用函数的图象; 如:求y=x2-4x+6在区间[1,5]上的值域。
(3)利用均值不等式;
(4)利用换元法思想; (5)利用函数的导数;
......
小试牛刀 1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最大值和最小值。
2、求函数y = e x x, x 2,2的值域。
最值和值域
变式训练
1、求函数y = e x x, x 0,1的值域。 2、求函数y = e x x, x 2,2的值域。 3、求函数y = xe x , x 2,2的最值。 4、求函数y = x , x 2,2的最值。
ex
例、已知函数 f(x) = -x3 3x2 9x a
（Ⅰ）求f(x)的单调减区间；
链接：2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学
10.函数y x 2 sin x的图象大致是（）。 2
The problem is the heart of mathematics．——Halmos
你想到了什么？！
y
y x 2 sin x 2
x
1、函数极值的定义
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)， x0是极大值点。
例、已知函数 f(x) = -x3 3x2 9x a
（Ⅱ）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值与极小值；
解：f / (x) = -3x2 6x 9.
令f / (x) 0, 解得x 1或x 3
x -2
(-2，-1)
-1
(-1，2)

2013高一数学必修1课件2.2.1第二课时函数的最大值、最小值(苏教版)

(2)由(1)可知，f(x)在[1,4]上递增， ∴当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝2，当x＝4时，f(x)max＝f(4)＝147. 综上所述，f(x)在[1,4]上的最大值是147，最小值是2.
[一点通] 如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，那么函数y＝f(x)必定存在最大值和最小值．若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
点此进入
成立⇔x2＋2x＋a>0恒成立．
设g(x)＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，因为g(x)＝x2＋2x
＋a＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上递增，
所以当x＝1时，g(x)min＝3＋a，当且仅当g(x)min＝3＋ a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.
[一点通] (1)不等式在某区间上的恒成立问题常转化为求某熟知函数在该区间上的最值问题．即 a≥g(x)恒成立⇔a≥g(x)max(g(x)max表示g(x)的最大值)； a≤g(x)恒成立⇔a≤g(x)min(g(x)min表示g(x)的最小值)．
3．函数y＝－x＋1在区间[12，2]上的最大值是________，最小
值是________．
解析：y＝－x＋1在R上单调递减，故在[
1 2
，2]上的最大值
为－12＋1＝12，最小值为－2＋1＝－1. 答案：12 －1
4．已知函数f(x)＝x－2 1(x∈[2,6])，求函数的最大值和最
小值．
解：设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2，

苏教版高中数学高一1.3.3最大值与最小值

跟踪训练2 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a).求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
解答
类型二由函数的最值求参数例3 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.
解答
反思与感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.
(2)求f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f(x)在区间(a，b)上的极值 . ②将第①步中求得的极值与 f(a)， f(b) 比较，得到f(x)在区间[a，b]上的
最大值与最小值.
[思考辨析判断正误] 1.定义在闭区间[a，b]上的连续函数f(x)一定有最大值和最小值.( √ ) 2.定义在开区间(a，b)上的函数f(x)没有最大值.( × ) 3.函数的所有极小值中最小的一个就是最小值.( × ) 4.有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.( × )
思考2 结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
答案存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3).
思考3 函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？答案不一定，也可能是区间端点的函数值.
梳理 (1)最大值与最小值 ①如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有 f(x)≤f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域上的最大值.最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值唯一 . ②如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有 f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最小值.最小值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最小值，那么最小值唯一 .

5.3函数的单调性第2课时函数的最大值、最小值-【新教材】苏教版(2019)(学生版+教师版)

编号：028 课题:函数的单调性——第2课时函数的最大值、最小值目标要求1.理解函数的最大值、最小值的含义；2.借助函数图象，会求函数的最值；3.会利用函数的单调性求函数的最值；4.会利用换元法、配方法、基本不等式法解决一些常见函数的最值问题.重点难点重点：函数的单调性求函数的最值；难点：常见函数的最值问题．教学过程基础知识点函数的最大值和最小值(1)定义:(2)本质:函数图象上最高点的纵坐标即为最大值;最低点的纵坐标即为最小值.(3)应用:求函数的值域,参数的范围,解决实际问题.【思考】函数f(x)=-x2的定义域为R,存在实数1,对于任意x∈R,都有f(x)≤1.那么1是函数f(x)=-x2的最大值吗?为什么?【基础小测】1.（多选．．）下列命题正确的是 ( )A.任何函数都有最大值、最小值.B.如果一个函数有最大值,那么最大值是唯一的.C.如果一个函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,那么函数的最大值是f(b).D.如果一个函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,那么函数的最大值是f(b).2.函数f(x)=x2-3x(|x|<1) ( )A.有最大值,但无最小值B.有最大值,也有最小值C.无最大值,但有最小值D.既无最大值,也无最小值3.函数2yx=在区间[2,6]上的最大值、最小值分别是 ( )A.11,3B.1,13C.11,24D.11,42关键能力·合作学习类型一利用函数的图象求函数的最值(直观想象)【题组训练】1.函数f(x)在区间[-2,5]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是( )A.-2,f(2)B.2,f(2)C.-2,f(5)D.2,f(5)2.已知函数2,11, ()1,1,x xf xxx⎧-⎪=⎨>⎪⎩≤≤则f(x)的最大值、最小值分别为________,________,减区间为________.3.已知函数23,12, ()3,25,x xf xx x⎧--=⎨-<⎩≤≤≤(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象.(2)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值.【解题策略】图象法求最值的步骤【补偿训练】已知函数2,02,()2,2,1x x xf xxx⎧-⎪=⎨>⎪-⎩≤≤求函数f(x)的最大值、最小值及增区间.类型二利用单调性求函数的最值(数学运算)【典例】已知函数1 ()2f xx=--.(1)用定义证明f(x)在区间[3,+∞)上是增函数.(2)求该函数在区间[3,5]上的最大值与最小值.【解题策略】1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性.(2)利用单调性求出最大(小)值.2.函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f (x )在区间[a ,b ]上是增(减)函数,在区间[b ,c ]上是减(增)函数,则f (x )在区间[a ,c ]上的最大(小)值是f (b ),最小(大)值是f (a )与f (c ) 中较小(大)的一个.【跟踪训练】设函数23()x f x x-=. (1)判断函数f (x )在(0,+∞)上的单调性并用定义加以证明. (2)求函数f (x )在区间[2,5]上的最大值与最小值.类型三常见的最值问题(数学运算、数学建模) 角度1 换元法求最值【典例】函数()2xf x =的最小值为 ( )A .0B .12- C .-1D .142- -角度2 基本不等式求最值【典例】已知3x <,则4()3f x x x =+-的最大值是 ( ) A .-1 B .1C .4D .7角度3 含参数的最值问题【典例】已知函数2()12af x x ax =-+-+(a ∈R ). 若函数f (x )在区间[-1,1]上的最大值为g (a ),求g (a )的解析式,并求其最小值.【变式探究】将本例的函数改为f (x )=x 2-2ax +1,试求函数在区间[0,2]上的最大值.【解题策略】1.多种方法求函数的最值首先由函数解析式的特征确定求最值的方法,灵活应用解不等式、换元法、单调性求最值. 2.含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图象开口向上、对称轴为x =m 为例,区间为[a ,b ](1)最小值:min(),,()(),,(),;f a m a f x f m a m b f b m b ⎧⎪=<<⎨⎪⎩≤≥ (2)最大值:max(),,2()(),.2a b f a m f x a b f b m +⎧⎪⎪=⎨+⎪<⎪⎩≥当开口向下、区间是闭区间时,用类似方法进行讨论,其实质是讨论对称轴与区间的位置关系.课堂检测·素养达标 1.函数21y x =+在[2,3]上的最小值为 ( ) A .1 B .12C .23 D .12-2.函数f (x )的图象如图,则其最大值、最小值分别为 ( )A.33(),()22f f-B.3(0),()2f fC.3(),(0)2f f-D.f(0),f(3)3.函数3,1,5,1,x xyx x+⎧=⎨-+>⎩≤的最大值是( )A.3B.4C.5D.64.当0≤x≤2时,a<-x2+2x恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,1]B.(-∞,0]C.(-∞,0)D.(0,+∞)5.函数1()f xx=在[1,b](b>1)上的最小值是14,则b=______.编号：028 课题:函数的单调性——第2课时函数的最大值、最小值目标要求1.理解函数的最大值、最小值的含义；2.借助函数图象，会求函数的最值；3.会利用函数的单调性求函数的最值；4.会利用换元法、配方法、基本不等式法解决一些常见函数的最值问题. 重点难点重点：函数的单调性求函数的最值；难点：常见函数的最值问题．教学过程基础知识点函数的最大值和最小值 (1)定义:(2)本质:函数图象上最高点的纵坐标即为最大值;最低点的纵坐标即为最小值. (3)应用:求函数的值域,参数的范围,解决实际问题. 【思考】函数f (x )=-x 2的定义域为R ,存在实数1,对于任意x ∈R ,都有f (x )≤1.那么1是函数f (x )=-x 2的最大值吗?为什么?提示:不是.因为不存在x 0∈R ,使得f (x 0)=20x =1. 【基础小测】1.（多选．．）下列命题正确的是 ( )A.任何函数都有最大值、最小值.B.如果一个函数有最大值,那么最大值是唯一的.C.如果一个函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,那么函数的最大值是f(b).D.如果一个函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,那么函数的最大值是f(b). 【答案】BD提示:A中×.如函数y=3x+6既没有最大值,也没有最小值.B中√.函数的最大值是唯一的.C中×.最大值为f(a).D中√.∵函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,∴函数的最大值是f(b).2.函数f(x)=x2-3x(|x|<1) ( )A.有最大值,但无最小值B.有最大值,也有最小值C.无最大值,但有最小值D.既无最大值,也无最小值【解析】选D.f(x)=x2-3x是开口向上的抛物线,其对称轴方程为32x=,则函数f(x)在(-1,1)上单调递减,所以函数f(x)=x2-3x(|x|<1)既无最大值,也无最小值.3.函数2yx=在区间[2,6]上的最大值、最小值分别是 ( )A.11,3B.1,13C.11,24D.11,42【解析】选A.因为2yx=在区间[2,6]上单调递减,所以当x=2时取最大值y=1;当x=6时取最小值13y=.关键能力·合作学习类型一利用函数的图象求函数的最值(直观想象)【题组训练】1.函数f(x)在区间[-2,5]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是( )A.-2,f(2)B.2,f(2)C.-2,f(5)D.2,f(5)【解析】选C.由函数的图象可知,最小值为-2,最大值为f(5).2.已知函数2,11, ()1,1,x xf xxx⎧-⎪=⎨>⎪⎩≤≤则f(x)的最大值、最小值分别为________,________,减区间为________. 【解析】作出函数f(x)的图象(如图).由图象可知,当x=±1时,f(x)取最大值为f(±1)=1;当x=0时,f(x)取最小值f(0)=0,故f(x)的最大值为1,最小值为0.减区间为[-1,0],[1,+∞).答案:1； 0； [-1,0],[1,+∞)3.已知函数23,12, ()3,25,x xf xx x⎧--=⎨-<⎩≤≤≤(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象.(2)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值.【解析】(1)由题意知,当x∈[-1,2]时,f(x)= - x2+3,为二次函数的一部分;当x∈(2,5]时,f(x)=x-3,为一次函数的一部分;所以,函数f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知,当x=0时,f(x)有最大值3; 当x=2时,f(x)min=-1.【解题策略】图象法求最值的步骤【补偿训练】已知函数2,02,()2,2,1x x xf xxx⎧-⎪=⎨>⎪-⎩≤≤求函数f(x)的最大值、最小值及增区间.【解析】作出f(x)的图象如图:由图象可知,当x=2时,f(x)取最大值为2;当12x=时,f(x)取最小值为14- .所以f(x)的最大值为2,最小值为14- ,增区间为1[,2]2.类型二利用单调性求函数的最值(数学运算)【典例】已知函数1 ()2f xx=--.(1)用定义证明f(x)在区间[3,+∞)上是增函数.(2)求该函数在区间[3,5]上的最大值与最小值.【解题策略】1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性.(2)利用单调性求出最大(小)值.2.函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f (x )在区间[a ,b ]上是增(减)函数,在区间[b ,c ]上是减(增)函数,则f (x )在区间[a ,c ]上的最大(小)值是f (b ),最小(大)值是f (a )与f (c ) 中较小(大)的一个.【跟踪训练】设函数23()x f x x-=. (1)判断函数f (x )在(0,+∞)上的单调性并用定义加以证明. (2)求函数f (x )在区间[2,5]上的最大值与最小值. 【解析】(1)函数f (x )在(0,+∞)上是增函数,证明如下: 设x 1,x 2是(0,+∞)上的任意两个值,且x 1<x 2,则12121221123()3333()()(2)(2)x x f x f x x x x x x x --=---=-= 因为0<x 1<x 2,所以x 1-x 2<0,x 1x 2>0, 所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 所以函数f (x )在(0,+∞)上是增函数. (2)由(1)可知函数f (x )在[2,5]上是增函数, 所以f (x )max =f (5)=75,f (x )min =f (2)=12.类型三常见的最值问题(数学运算、数学建模) 角度1 换元法求最值【典例】函数()2xf x =的最小值为 ( ) A .0 B .12- C .-1D.14-【思路导引】令t =转化为二次函数求最值.【解析】选C .t =,t ≥0,则x =t 2-1,解析式化为22111(1)1222y t t t =--=--,t ≥0, 所以t =1时,原函数的最小值为-1.角度2 基本不等式求最值【典例】已知3x <,则4()3f x x x =+-的最大值是 ( ) A .-1B .1C .4D .7【思路导引】利用基本不等式求最值. 【解析】选A .因为x <3,所以x -3<0,所以44()(3)3334133f x x x x x =+=+-+-=-=---≤, 当且仅当433x x=--,即x =1时取等号. 故f (x )的最大值为-1.角度3 含参数的最值问题【典例】已知函数2()12af x x ax =-+-+(a ∈R ). 若函数f (x )在区间[-1,1]上的最大值为g (a ),求g (a )的解析式,并求其最小值. 【思路导引】求出函数的对称轴,讨论对称轴与区间的位置关系求最值. 【解析】2()12a f x x ax =-+-+的对称轴为2a x =, (1)当2a ≥1即a ≥2时,f (x )在[-1,1]上为增函数,可得g (a )=f (1)=2a,且g (a )的最小值为g (2)=1.(2)当2a ≤-1即a ≤-2时,f (x )在[-1,1]上为减函数,可得g (a )=f (-1)= 32a - , 此时g (a )的最小值为g (-2)=3.(3)当-1<2a<1,即-2<a <2时,f (x )的最大值为2()()1242a a a g a f ==-+, 此时,当a =1时g (a )取得最小值34,综上可得23,2,2()1,22,42,2,2aa a ag a a aa ⎧- -⎪⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥且g (a )的最小值为34. 【变式探究】将本例的函数改为f (x )=x 2-2ax +1,试求函数在区间[0,2]上的最大值. 【解析】函数的对称轴为x =a , 当a ≤1时,f (x )max =f (2)=5-4a ; 当a >1时,f (x )max =f (0)=1,所以max54,1,()1, 1.a a f x a - ⎧=⎨>⎩≤ 【解题策略】1.多种方法求函数的最值首先由函数解析式的特征确定求最值的方法,灵活应用解不等式、换元法、单调性求最值. 2.含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图象开口向上、对称轴为x =m 为例,区间为[a ,b ](1)最小值:min(),,()(),,(),;f a m a f x f m a m b f b m b ⎧⎪=<<⎨⎪⎩≤≥(2)最大值:max(),,2()(),.2a b f a m f x a b f b m +⎧⎪⎪=⎨+⎪<⎪⎩≥ 当开口向下、区间是闭区间时,用类似方法进行讨论,其实质是讨论对称轴与区间的位置关系.课堂检测·素养达标 1.函数21y x =+在[2,3]上的最小值为 ( ) A .1 B .12C .23 D .12- 【解析】选B . 21y x =+在[2,3]上为减函数,所以x =3时取最小值为12.2.函数f (x )的图象如图,则其最大值、最小值分别为( )A .33(),()22f f - B .3(0),()2f fC .3(),(0)2f f - D .f (0),f (3)【解析】选B .观察函数图象,f (x )的最大值、最小值分别为3(0),()2f f .3.函数3,1,5,1,x x y x x +⎧=⎨-+>⎩≤的最大值是( )A .3B .4C .5D .6【解析】选B .函数3,1,5,1,x x y x x +⎧=⎨-+>⎩≤的图象如图所示:由图象可得函数3,1,5,1,x xyx x+⎧=⎨-+>⎩≤的最大值是4.4.当0≤x≤2时,a<-x2+2x恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,1]B.(-∞,0]C.(-∞,0)D.(0,+∞)【解析】选C.令f(x)=-x2+2x,则f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1.又因为x∈[0,2],所以f(x)min=f(0)=f(2)=0.所以a<0.5.函数1()f xx=在[1,b](b>1)上的最小值是14,则b=______.【解析】因为f(x)在[1,b]上为减函数,所以f(x)在[1,b]上的最小值为11()4f bb==,所以b=4. 答案:4。

高考数学 2.2.1 第2课时函数的最大值、最小值课件苏教版必修1

思考1 怎样求一次函数y=kx+b（k≠0)在区间[a,b]上的最大
值与最小值？
【解答】k 0时, y=f x kx b为增函数，ymin f a , ymax f b . k 0时，y=f x kx b为减函数，ymin f b, ymax f a .
x
_____ .
【解析】y 2 - 3x在-, 0上为减函数，
x
故ymin

2 -2
- 3-2

5,
ymax

2 - 3-3
-3

25 . 3
2 " "与"- 3x " 均为减函数
x
它们的和仍为减函数.
【答案】25 5 3
例3 已知函数y=f(x)的定义域是[a，b]，a<c<b ．当 x∈[a ，c]时， f(x)是单调增函数；当x∈[c，b]时， f(x)是单调减函数，试证明f(x)在x=c时取得最大值．【证明】因为当x∈[a ，c]时， f(x)是单调增函数，所以对于任意x∈[a ，c] ，都有f(x)≤f(c).又因为当 x∈[c，b]时， f(x)是单调减函数，所以对于任意x∈[c， b] ，都有f(x)≤f(c).因此对于任意x∈[a，b],都有 f(x)≤f(c) ，即f(x)在x=c时取得最大值．
思考2 怎样求反比例函数f x k k 0在区间a,b上的最大值
x 与最小值？
【解析】根据k的正负，画出反比例函数的图象，在图象上找出
a, b 上那一段，借助图象得出函数的最大值与最小值.
思考3 怎样求二次函数f x ax2 bx c在区间a,b上的最值？
提升总结： 1.函数最大（小）值的几何意义：函数图象最高（低）点的纵坐标. 2.讨论函数的最大（小）值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最高（低）点时，这个函数才存在最大（小）值，最高（低）点必须是函数图象上的点.

高中数学苏教版必修一第2章 2.2 2.2.1 第2课时函数的最大值、最小值

合
作探究
＝6 时取得最小值16，12＋16＝23.
课时分
•
层
攻重难
[答案]
2 3
作业
返首页
自
[合作探究·攻重难]
当
主
堂
预
利用图象求函数的最值
达
习
标
•
•
探
固
新
双
知
求函数 y＝|x＋1|＋|x－2|(－2≤x≤4)的最值.
基
合
【导学号：48612090】
作
课
探
时
究 •
[思路探究]
•
课时分层
攻
作
重
业
难
返首页
自主预
母题探究：(变条件)求函数 f(x)＝x－x 1在[－4，－3]上的最值．
重
业
难
故函数的最小值为 3，最大值为 7.
返首页
自
当
主
堂
预
达
习
[规律方法]
用图象法求最值的一般步骤
标
•
•
探
固
新
双
知
基
合
作
课
探
时
究
分
•
层
攻
作
重
业
难
返首页
自
当
主
堂
预
[跟踪训练]
达
习
标
• 探
新
(1)已知函数 f(x)＝2x在区间[1,2]上的最大值为 A，最小值为 B，则 A－B＝
• 固
双
知
基
达标
•

2020-2021学年新教材苏教版必修第一册 5.3.2函数的最大值、最小值课件

称_y_mif_n(_=x_f0_()_x为_0)_y=f(x)的最小值,记为
(2)本质:函数图象上最高点的纵坐标即为最大值;最低点的纵坐标即为最小值. (3)应用:求函数的值域,参数的范围,解决实际问题.
【思考】
函数f(x)=-x2的定义域为R,存在实数1,对于任意x∈R,都有f(x)≤1.那么1是
【跟踪训练】
设函数f(x)= 2x 3 .
x
(1)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义加以证明.
(2)求函数f(x)在区间[2,5]上的最大值与最小值.
(2)由(1)可知函数f(x)在[2,5]上是增函数,
所以f(x)max=f(5)=
7 5
,f(x)min=f(2)=
1.
2
类型三常见的最值问题(数学运算、数学建模)
2.函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大) 值是f(a),最大(小)值是f(b). (2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间[b,c]上是减(增)函数,则 f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c) 中较小(大) 的一个.
函数f(x)=-x2的最大值吗?为什么?
提示:不是.因为不存在x0∈R,使得f(x0)=
x
2 0
=1.
【基础小测】ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)任何函数都有最大值、最小值.
()
(2)如果一个函数有最大值,那么最大值是唯一的.
()
(3)如果一个函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,那么函数的最大值是f(b).

苏教版高中数学高二选修1-1课件最大值与最小值

23，f
43π＝23π－
3 2.
所以当x＝0时，f(x)有最小值 f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值 f(2π)＝π.
解答
反思与感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值； (3)比较极值与端点函数值大小，确定最值.
12345
解析答案
4.已知函数 y＝－x2－2x＋3 在区间[a,2]上的最大值为145，则 a＝－__12__. 解析当a≤－1时，最大值为4，不符合题意. 当－1<a<2时，f(x)在[a,2]上是减函数，所以f(x)max＝f(a)，即－a2－2a＋3＝145，解得 a＝－12或 a＝－32(舍去).
12345
解析答案
3.函数f(x)＝x3－x2－x＋t在区间[0,2]上的最小值为3，则函数在[0,2]上的最大值为__6_. 解析 f′(x)＝3x2－2x－1，令 f′(x)＝0，解得 x＝－13或 x＝1. 因为在[0,1)上，f′(x)<0；在(1,2]上，f′(x)>0，所以当x＝1时，函数f(x)取极小值，也是最小值，则 f(1)＝1－1－1＋t＝3，所以t＝4，又函数 f(x)在两端点处的函数值为f(0)＝4，f(2)＝8－4－2＋4＝6，所以函数在[0,2]上的最大值为6.
[思考辨析判断正误]
1.定义在闭区间[a，b]上的函数 f(x)一定有最大值和最小值.( × ) 2.函数 f(x)在[a，b]上的最大值是 f(b)，最小值是 f(a).( × ) 3.定义在开区间(a，b)上的函数 f(x)没有最值.( × ) 4.函数的所有极大值中最大的一个就是最大值.( × )