函数的最大值与最小值(苏教版)

2 3 ．函数 f ( x) 在 [2,4]上的最大值与最小值 x
的和是______
x 4 ． 函 数 f ( x) 在 [2,4] 上 的 最 大 值 为 x 1
______,最小值的为 _____
应用数学：
x 例 2：已知函数 f ( x) x 1 x (1) 用函数单调性定义证明 f ( x) 在区 x 1 间 1, 上是单调减函数;
应用数学：
例 4： 已知函数 f ( x) x 2x 2, x t, t 1 的
2
最小值是 g t . (1)求 g t 的函数解析式; (2)求 g t 在区间 3,2 上的最值.
应用数学：
例 5： 已知函数 f ( x) x 2ax 1 a 在
图为函数 y f ( x), x [4,7] 的图象， 指出它的单调区间。
请问:你能说出函数的最大值和最小值吗?
请问 : 你能给出函 数的最大值和最小 值定义吗?
y 3 2 -1.5 1 -4 -3 -2 -1 O
7 1 2 3 4 5 6 -1 -2 x
构建数学：
函数最值定义： 一般地，函数 f ( x) 的定义域为 A ，如果存 f ( x) f ( x0 ) 任意 x A ,都有 _________ 在 x0 A ,使得对任意 最大值 则称 f ( x0 ) 为函数 f ( x) 的________.
应用数学：
写出函数 f ( x) 在区间 4,7 上的的单调增 区间,和最大值,最小值.
4 3 2 -1.5 1 -4 -3 -2 -1 O y
1 2 -1 -2
3 4 5 6 7
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x
函数的最值 • (1) 定义：函数的最大值和最小值统称为函数的 最值． • (2)几何意义：函数y＝f(x)的最值是图象最高点或 最低点的纵坐标． • (3) 说 明 ： 函 数 的 最 值 是 在 整 个 定 义 域 内 的 性 质． • 最大值(最小值)是函数的整体概念，从图象上看， 最大值(最小值)是整个函数图象的最高点(最低点) 的纵坐标．
应用数学：
例1：求下列函数的最值。
(1) y x 2 x
2
x , 1 x 1 (3) y 2 , x 1 x
2
1 (2) y , x 3, 1 1,5 x
练习：
1 1．函数 y＝－x＋ 1 在区间 [ ， 2]上的最大值是 2 ____ 2 2．函数 y＝ 9－ ax (a>0)在区间 [0，3]上的最大 值是___
对任意 x [a, c] ，都有 f ( x) f (c) 当 x [c, b] 时， f ( x) 是单调减函数. 对任意 x [c, b] ，都有 f ( x) f (c) 因此对任意 x [a, b] 都有 f ( x) f (c) 即 f ( x ) 在 x c 时取得最大值.
2
区间 0,1 上有最大值 2,求实数 a 的值.
应用数学：
x 2x 3 ( x 2, 例 6： 已知函数 f ( x) x (1)求函数 f ( x) 的最小值 ; (2)若 f ( x) a 恒成立 ,求实数 a 的取值范 围.
2
小结：
例 3、已知函数 y f ( x) )的定义域是 [ a, b] ，
a c b ,当 x [a, c] 时， f ( x) 是单调增函数； 当 x [c, b] 时， f ( x ) 是单调减函数. 试证明 f ( x ) 在 x c 时取得最大值.
证明： 当 x [a, c] 时， f ( x ) 是单调增函数；
x (2)求函数 f ( x) 在区间 2,4 上的最值. x 1
• (1) 运用函数单调性求最值是求函数最值的 重要方法，特别是当函数图象不易作出时， 单调性几乎成为首选方法． • (2)函数的最值与单调性的关系 • 若函数在闭区间 [a ， b] 上是减函数，则 f(x) 在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)； • 若函数在闭区间 [a ， b] 上是增函数，则 f(x) 在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
ymax f ( x0 ) 一般地，函数 f ( x) 的定义域为 A ，如果存 f ( x) f ( x0 ) 任意 x A ,都有 _________ 在 x0 A ,使得对任意 最小值 则称 f ( x0 ) 为函数 f ( x) 的________. ymin f ( x0 )